Flacher Morphismus

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In der algebraischen Geometrie, insbesondere der Theorie der Schemata, ist ein flacher Morphismus ein Morphismus von Schemata, sodass für jeden Punkt der induzierte Homomorphismus von lokalen Ringen flach ist.

Flache Morphismen werden häufig verwendet, um geometrische Objekte in Familien zu setzen. Beispiele hierfür sind Hilbert-Schemata, reduktive Gruppenschemata und abelsche Schemata.

Formale Definition

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Ein Morphismus von Schemata heißt flach, falls für jeden Punkt der induzierte Homomorphismus von lokalen Ringen flach ist. Das heißt, dass ein flacher -Modul ist.

Für einen Morphismus von Schemata sind die folgenden Bedingungen äquivalent:[1]

  • ist flach im Sinne der in diesem Abschnitt gegebenen Definition.
  • Für jede affine offene Teilmenge und jede affine offene Teilmenge mit ist der -Modul flach.
  • Es gibt eine offene Überdeckung und offene Überdeckungen , sodass jede Einschränkung für flach im Sinne obiger Definition ist.
  • Es gibt eine affine offene Überdeckung und affine offene Überdeckungen , sodass jeder Ringhomomorphismus für flach ist.
  • Die Komposition zweier flacher Morphismen von Schemata ist flach.[2]
  • Ist ein flacher Morphismus von Schemata und ein beliebiger Morphismus, so ist der Basiswechsel flach.[3]
  • Ist ein flacher Ringhomomorphismus, so ist der induzierte Homomorphismus affiner Schemata flach.
  • Der Strukturmorphismus des affinen Raums und des projektiven Raums ist flach.
  • für ist nicht flach, da kein torsionsfreier -Modul ist.

Einzelnachweise

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  1. 01U5
  2. 01U7
  3. 01U9