Hilbert-Schema

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In der algebraischen Geometrie parametrisiert das Hilbert-Schema die Unterschemata des projektiven Raums.

Hilbert-Funktor

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Für ein Polynom ordnet der Hilbert-Funktor

jedem Schema die Menge der über flachen Unterschemata , deren Fasern über Punkten aus Hilbert-Polynom haben, zu.

Für ein Polynom ist das Hilbert-Schema das den Funktor darstellende Schema. ist also der Punktfunktor von .

Die Eindeutigkeit von folgt aus dem Lemma von Yoneda, während die Existenz das Ergebnis einer schwierigen Konstruktion ist.[1][2]

Graßmann-Schemata

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Das Graßmann-Schema parametrisiert die Unterschemata von Grad 1 und Dimension in für . Dies sind aber genau die Schemata, deren Hilbert-Polynom ist. Das Graßmann-Schema ist also das Hilbert-Schema zu diesem Polynom.

Hilbert-Schema für Hyperflächen

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Die Hyperflächen vom Grad im werden parametrisiert durch den projektiven Raum des Vektorraums der homogenen Polynome vom Grad in Variablen. Dieser projektive Raum ist das Hilbert-Schema der Hyperflächen vom Grad .

Einzelnachweise

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  1. David Mumford: Lectures on curves on an algebraic surface. Annals of Mathematical Studies 59, Princeton University Press 1966.
  2. Janós Kollár: Rational curves on algebraic varieties. Ergebnisse der Mathematik, 3. Folge 32, Springer-Verlag Berlin 1996.