Flacher Zusammenhang

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In der Mathematik sind flache Zusammenhänge in Geometrie und Eichtheorie von Bedeutung.

Sei eine Lie-Gruppe und ein -Prinzipalbündel.

Ein flacher Zusammenhang ist ein Zusammenhang , dessen Krümmungsform verschwindet: .

Aus dem Satz von Ambrose-Singer folgt, dass ein -Prinzipalbündel mit einem flachen Zusammenhang ein flaches Bündel der Form

mit für eine (vom flachen Zusammenhang abhängende) Darstellung ist. heißt die Holonomie-Darstellung des flachen Zusammenhangs.

Modulraum flacher Zusammenhänge

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Der Raum aller Zusammenhänge eines gegebenen Prinzipalbündels ist mit der -Topologie. Der Unterraum der flachen Zusammenhänge wird mit bezeichnet. Die Eichgruppe wirkt auf durch , sie bildet in sich ab.

Falls das Bündel (topologisch) trivialisierbar ist, vermittelt die Holonomie-Darstellung eine Bijektion zwischen

und einer Zusammenhangskomponente der Darstellungsvarietät

.

Der Modulraum flacher Zusammenhänge ist

.

Sein Tangentialraum in einem flachen Zusammenhang ist

mit

für .

Der Satz von Narasimhan-Seshadri identifiziert den Modulraum flacher Zusammenhänge über einer kompakten Riemannschen Fläche mit einer komplexen Mannigfaltigkeit, nämlich der Mannigfaltigkeit der stabilen Vektorbündel über .[1][2]

  1. Narasimhan, Seshadri: Stable and Unitary Vector Bundles on a Compact Riemann Surface
  2. Donaldson: A new proof of a theorem of Narasimhan and Seshadri (Memento vom 1. Februar 2017 im Internet Archive)