Gemeinsames Spektrum

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Das gemeinsame Spektrum von endlich vielen Elementen einer kommutativen -Banachalgebra verallgemeinert den in der Mathematik bei der Untersuchung von Banachalgebren verwendeten Begriff des Spektrums eines Elementes.

Motivation und Definition

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Sei eine -Banachalgebra mit Einselement 1. Das Spektrum eines Elementes ist die Menge aller komplexen Zahlen , für die das Element nicht invertierbar ist. Bezeichnet man mit die Menge aller -Homomorphismen , so hat man im Falle einer kommutativen Banachalgebra die Beziehung

.

Diese Beziehung kann man auch auf mehrere Elemente einer Banachalgebra ausdehnen. Für eine kommutative -Banachalgebra mit Einselement und Elementen setzt man

.

heißt das gemeinsame Spektrum der Elemente . Hat die Banachalgebra kein Einselement, so adjungierte man ein Einselement und definiere dort das gemeinsame Spektrum.

Invertierbarkeit

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Der Zusammenhang zwischen Spektrum und Invertierbarkeit verallgemeinert sich wie folgt auf die Situation mehrerer Elemente:

Ist eine kommutative -Banachalgebra mit 1, , , so sind folgende Aussagen äquivalent:

  • Es gibt mit

Das gemeinsame Spektrum von endlich vielen Elementen einer kommutativen -Banachalgebra ist eine kompakte Teilmenge von . Die Abbildung ist nach Definition der schwach-*-Topologie, die auf dem Gelfand-Raum betrachtet wird, stetig. Da der Gelfand-Raum einer Banachalgebra mit 1 kompakt ist, ergibt sich daraus die Kompaktheit des gemeinsamen Spektrums, denn stetige Bilder kompakter Mengen sind wieder kompakt.

Polynomkonvexität

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Eine Banachalgebra wird per definitionem von Elementen erzeugt, wenn die kleinste Unterbanachalgebra von ist, die enthält.

Für eine Teilmenge kann man zeigen, dass genau dann gilt für eine kommutative -Banachalgebra mit Einselement, die von einem Element erzeugt wird, wenn kompakt und zusammenhängend ist.

Eine entsprechende topologische Charakterisierung von Mengen im , die als gemeinsames Spektrum von erzeugenden Elementen einer kommutativen -Banachalgebra mit Einselement auftreten, gelingt nicht. Da eine kompakte Menge genau dann polynomkonvex ist, wenn zusammenhängend ist, stellt der folgende Satz eine Verallgemeinerung obigen Sachverhaltes dar:

Für eine Menge sind folgende Aussagen äquivalent:

  • Es gibt eine kommutative -Banachalgebra mit Einselement, die von Elementen erzeugt wird, so dass .
  • ist kompakt und polynomkonvex.

Hat man endlich viele Elemente, die nicht die gesamte Banachalgebra erzeugen, so ist deren gemeinsames Spektrum im Allgemeinen nicht polynomkonvex.

  • F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3540063862
  • Lars Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North-Holland Mathematical Library 1973