Hilbert-Funktion

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In der algebraischen Geometrie gibt die Hilbert-Funktion Informationen über die Anzahl der Hyperflächen zu einem gegebenen Grad. Für hinreichend große Argumente stimmt sie mit einem als Hilbert-Polynom bezeichneten Polynom überein.

Hilbert-Funktion

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Sei eine projektive Varietät mit Verschwindungsideal

.

Für sei

der homogene Anteil vom Grad . Der Koordinatenring ist dann ein graduierter Ring

mit .

Die Dimension von gibt die Anzahl der unabhängigen, enthaltenden Hyperflächen vom Grad . Die Hilbert-Funktion ist definiert durch

,

sie gibt also die Kodimension von .

  • Sei . Dann ist für alle .
  • Sei . Dann ist und für alle .
  • Sei eine aus Punkten bestehende Menge. Dann ist für .
  • Sei eine durch ein homogenes Polynom vom Grad gegebene Kurve. Dann ist für .

Hilbert-Polynom

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Satz: Zu jeder projektiven Varietät gibt es ein Polynom vom Grad , so dass

für alle hinreichend großen gilt.

Das Polynom heißt das Hilbert-Polynom der Varietät .

  • D. Eisenbud: Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics 150, Springer-Verlag New York, ISBN 0-387-94268-8