In der Mathematik ist das komplexe Volumen eine Invariante 3-dimensionaler Mannigfaltigkeiten. Für Komplemente von Knoten und Verschlingungen stellt die Volumenvermutung einen Zusammenhang zwischen dem komplexen Volumen und der Asymptotik von Quanteninvarianten her.
Für eine hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit endlichen Volumens
wird das komplexe Volumen definiert als
,
wobei
das hyperbolische Volumen und
die SO(3)-Chern-Simons-Invariante des Levi-Civita-Zusammenhangs ist.
Allgemeiner kann man für Darstellungen
das komplexe Volumen definieren als
,
wobei
das flache Bündel mit Holonomie
,
![{\displaystyle {\hat {c}}_{2}(E_{\rho })\in H^{3}(M;\mathbb {C} /4\pi ^{2}\mathbb {Z} i)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9c4452a2f0def7e4a11639a684737f5c7c397f0)
seine 2. Cheeger-Chern-Simons-Klasse und
![{\displaystyle \left[M\right]\in H_{3}(M;\mathbb {Z} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e6e807cf199c3c012669154464d256884218c33)
die Fundamentalklasse von
ist.
Die Volumen-Vermutung postuliert für hyperbolische Knoten
die Gleichung
,
wobei
das
-te gefärbte Jones-Polynom von
bezeichnet.
- W. D. Neumann: Extended Bloch group and the Cheeger-Chern-Simons class. Geom. Topol. 8, 413–474 (2004). pdf
- S. Garoufalidis, D. Thurston, C. Zickert: The complex volume of SL(n,C)-representations of 3-manifolds. Duke Math. J. 164, 2099–2160 (2015). pdf