Konische Hülle

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Die konische Hülle, manchmal auch positive Hülle genannt, ist ein spezieller Hüllenoperator, der jeder Teilmenge eines Vektorraumes den kleinsten konvexen Kegel zuordnet, der diese Menge enthält. Die konische Hülle findet Verwendung in der Theorie der mathematischen Optimierung, insbesondere in der linearen Optimierung.

Gegeben sei ein -Vektorraum und eine beliebige Teilmenge von . Dann heißt

die konische Hülle oder auch positive Hülle von . Sie ist der kleinste konvexe Kegel, der enthält.

Äquivalent dazu ist die Definition

.
  • Allgemeiner lässt sich die Kegelhülle für beliebige -Vektorräume definieren, solange ein geordneter Körper ist.
  • Die Notation wird in der Literatur nicht einheitlich verwendet, teilweise findet sich auch die Bezeichnung . Diese Notation bezeichnet aber auch manchmal den kleinsten (gewöhnlichen) Kegel, der enthält und wird dann Kegelhülle genannt.
  • Die konische Hülle ist die kleinste Menge, die abgeschlossen bezüglich konischen Kombinationen der Elemente von ist. Dies folgt direkt aus der zweiten Charakterisierung.
  • ist ein Hüllenoperator, es gilt also für
  • ,
  • ,
  • .
  • Es gilt . Hierbei ist die Kegelhülle und die konvexe Hülle.

Endlich erzeugter Kegel

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Ein Kegel heißt endlich erzeugter Kegel, wenn es eine endliche Menge gibt, so dass

ist. Ein Kegel im ist genau dann endlich erzeugt, wenn er ein polyedrischer Kegel ist.

Sind im die zwei Vektoren

.

gegeben, so ist

,

da sich jedes Element dieser Menge (der erste Quadrant) als Positivkombination von oder darstellen lässt.

Sind die Monome gegeben, so ist

für . Dies sind dann genau alle Polynome vom Maximalgrad 2 mit positiven Koeffizienten.