Lokale Starrheit

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In der Mathematik beschreibt das Konzept Lokale Starrheit die Nicht-Deformierbarkeit von Darstellungen von Gruppen.

Ein stärkerer Starrheitsbegriff ist die (globale) Mostow-Starrheit.

Sei eine Matrixgruppe, zum Beispiel oder , ein Gitter und die Inklusion.

Das Gitter heißt lokal starr, wenn es eine Umgebung von in der Darstellungsvarietät gibt, so dass alle Darstellungen in dieser Umgebung zu äquivalent (d. h. vermittels eines Elementes aus konjugiert) sind.

Mit einem fest gewählten endlichen Erzeugendensystem von kann man lokale Starrheit wie folgt beschreiben: es gibt eine Umgebung des neutralen Elements in , so dass für jeden Homomorphismus mit

gilt: es gibt ein mit

.

Eine hinreichende Bedingung für lokale Starrheit einer Darstellung ist das Verschwinden der Kohomologiegruppe , wobei die adjungierte Darstellung von bezeichnet.

Aus Weil-Starrheit folgt: eine halbeinfache Darstellung ist genau dann lokal starr, wenn ist.

Lokale Starrheit wurde bewiesen:

  • für kokompakte Gitter in von Selberg[1]
  • für kokompakte Gitter in von Calabi[2]
  • für kokompakte irreduzible Gitter in einer Lie-Gruppe nicht lokal isometrisch zu von Weil[3]
  • für nicht-kokompakte Gitter in Lie-Gruppen vom -Rang 1 nicht lokal isometrisch zu oder von Garland und Raghunathan[4]
  • für nicht-kokompakte irreduzible Gitter in halbeinfachen Lie-Gruppen vom -Rang als Konsequenz des Superstarrheitssatzes von Margulis.[5]

Hyperbolische Dehn-Chirurgie: Wenn eine nicht-kompakte hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit endlichen Volumens ist, dann erhält man durch Dehn-Chirurgie unendlich viele geschlossene hyperbolische 3-Mannigfaltigkeiten . Seien und die durch die hyperbolischen Strukturen gegebenen Darstellungen.

Die Darstellungen können mit dem durch die Inklusion induzierten Homomorphismus verknüpft werden. Die so erhaltene Folge von Darstellungen konvergiert für gegen , ist aber nicht zu äquivalent. Die Darstellung ist also nicht lokal starr.

  • Joan Porti: Local and infinitesimal rigidity of representations of hyperbolic three manifolds. RIMS Kôkyûroku, Kyoto University Vol 1836 (2013), 154–177, online (PDF; 293 kB)

Einzelnachweise

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  1. Atle Selberg: On discontinuous groups in higher-dimensional symmetric spaces. 1960 Contributions to function theory (internat. Colloq. Function Theory, Bombay, 1960) pp. 147–164 Tata Institute of Fundamental Research, Bombay
  2. Eugenio Calabi: On compact, Riemannian manifolds with constant curvature. I. 1961 Proc. Sympos. Pure Math., Vol. III pp. 155–180 American Mathematical Society, Providence, R.I.
  3. André Weil: On discrete subgroups of Lie groups. II. Ann. of Math. (2) 75 1962 578–602.
  4. H. Garland, M. S. Raghunathan: Fundamental domains for lattices in (R-)rank 1 semisimple Lie groups. Ann. of Math. (2) 92 1970 279–326.
  5. G. A. Margulis: Arithmeticity of the irreducible lattices in the semisimple groups of rank greater than 1. Invent. Math. 76 (1984), no. 1, 93–120.