Weil-Starrheit

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In der Mathematik gibt der Weilsche Starrheitssatz eine berechenbare Bedingung für die lokale Starrheit (d. h. Nicht-Deformierbarkeit) von Darstellungen. Er ist von Bedeutung in verschiedenen Gebieten der Mathematik, meist im Zusammenhang mit Darstellungen diskreter Gruppen.

Tangentialraum der Darstellungsvarietät

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Darstellungen einer Gruppe in eine Lie-Gruppe kann man als Punkte der Darstellungsvarietät auffassen. Deformationen einer Darstellung sind dann also Kurven in der Darstellungsvarietät und entsprechen somit Tangentialvektoren der Darstellungsvarietät.

Der Zariski-Tangentialraum der Darstellungsvarietät entspricht den 1-Kozykeln mit Werten in der adjungierten Darstellung:

.

Dabei entspricht ein Tangentialvektor einer Kurve (mit ) in und der zugehörige 1-Kozykel ist gegeben durch

.

Die durch Konjugation (mit ) gegebenen Deformationen entsprechen genau den 1-Korändern.

Insbesondere ist lokal starr, wenn

ist. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht, sie gilt aber für halbeinfache Darstellungen .

Weils Starrheitssatz

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Sei eine zusammenhängende halbeinfache Lie-Gruppe ohne kompakten Faktor und ein irreduzibles kokompaktes Gitter. Wenn nicht lokal isomorph zu SL(2,R) ist, dann ist

.

Insbesondere ist die Inklusion lokal starr.

  • André Weil: On discrete subgroups of Lie groups. I: Ann. of Math.(2) 72, 369–384 (1960). pdf II: Ann. of Math.(2) 75, 578–602 (1962). pdf
  • Yozô Matsushima, Shingo Murakami: On vector bundle valued harmonic forms and automorphic forms on symmetric riemannian manifolds. Ann. of Math.(2) 78, 365–416 (1963). pdf
  • Armand Borel: Cohomologie et rigidité d'espaces compacts localement symétriques. Seminaire Bourbaki, 16e année: 1963/64, Fasc. 2, Exposé 265.
  • André Weil: Remarks on the cohomology of groups. Ann. of Math.(2) 80, 149–157 (1964). pdf
  • M. S. Raghunathan: On the first cohomology of discrete subgroups of semisimple Lie groups. Amer. J. Math. 87, 103–139 (1965). pdf
  • M. S. Raghunathan: Discrete subgroups of Lie groups. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 68. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1972.
  • N. Bergeron, T. Gelander: A note on local rigidity. Geom. Dedicata 107, 111–131 (2004). pdf