Lp-Kohomologie

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In der Mathematik ist -Kohomologie eine Kohomologietheorie für Simplizialkomplexe oder glatte Mannigfaltigkeiten. Sie wird vor allem verwendet, um die "Geometrie im Unendlichen" zu untersuchen.

Simpliziale Lp-Kohomologie

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Sei ein endlichdimensionaler Simplizialkomplex beschränkter Geometrie (d. h. es gibt ein , so dass jeder Simplex höchstens Nachbarn hat). Wir statten mit der Längenmetrik aus, in der jeder Simplex isometrisch zum Standardsimplex ist. Für sei die Menge der -Simplizes von . Definiere die -Koketten von durch

.

Sie bilden mit der -Norm einen topologischen Vektorraum.

Der Korand-Operator wird definiert durch für alle . Dann definiert man die -Kohomologie von durch

und die reduzierte -Kohomologie durch

.

Beide sind topologische Vektorräume mit der von der -Norm induzierten Topologie.

Invarianz unter Quasi-Isometrien

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Sei eine Quasi-Isometrie zwischen gleichmäßig kontrahierbaren Simplizialkomplexen, dann sind und Isomorphismen topologischer Vektorräume. (Ein metrischer Raum heißt gleichmäßig kontrahierbar, wenn es zu jedem ein gibt, so dass jeder -Ball in einem -Ball kontrahierbar ist.)

Geometrische Gruppenwirkungen

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Wenn eine Gruppe geometrisch auf einem gleichmäßig kontrahierbaren Simplizialkomplex wirkt, dann ist

.

Falls zusätzlich das Zentrum von unendlich ist, gilt für alle und . Dies ist insbesondere der Fall für unendliche nilpotente Gruppen.

Für ist die -Kohomologie dual zur -Homologie .

Für Riemannsche Mannigfaltigkeiten der Dimension quasi-isometrisch zu einem Simplizialkomplex beschränkter Geometrie hat man zusätzlich die Poincaré-Dualität .

Definition mittels Differentialformen

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Für differenzierbare Mannigfaltigkeiten kann äquivalent definiert werden als Quotientenraum der geschlossenen -Formen modulo der Differentiale von -Formen mit .

Hyperbolischer Raum

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Sei der -dimensionale hyperbolische Raum. Dann gilt für oder jeweils und für jeweils .

Heintze-Gruppen

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Für Heintze-Gruppen mit und gilt genau dann, wenn .

Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung

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Für eine einfach zusammenhängende vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit der Schnittkrümmung ist für alle .

Lp-Kohomologie von Gruppen

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Die Lp-Kohomologie einer topologischen Gruppe ist definiert als stetige Gruppenkohomologie mit Koeffizienten .

Wenn eigentlich diskontinuierlich auf einem gleichmäßig kontrahierbaren Simplizialkomplex wirkt, ist .

Für Gruppen, die lokal kompakt sind, das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllen und eine eigentliche links-invariante Metrik tragen, ist die Lp-Kohomologie invariant unter Quasi-Isometrien. Insbesondere lässt sich die Berechnung der Lp-Kohomologie einfacher Lie-Gruppen auf die Berechnung der Lp-Kohomologie einer parabolischer Untergruppe zurückführen.[1]

Einzelnachweise

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  1. M. Bourdon, B. Rémy: Quasi-isometric invariance of continuous group Lp-cohomology, and first applications to vanishings. Annales Henri Lebesgue 3, 1291–1326 (2020)