Nichtkommutative Potenzreihen stellen eine Verallgemeinerung der formalen Potenzreihen dar, derart dass verschiedene Variablen nicht kommutieren.
Sei
eine Menge und
das freie Monoid über
. (Dann ist
) Sei
ein Ring. Der nichtkommutative Potenzreihenring über
ist definiert als
![{\displaystyle R\langle \langle {\mathcal {X}}\rangle \rangle :=\{\sum _{x\in W({\mathcal {X}})}r_{w}w|r_{w}\in R\}\cong \prod _{w\in W({\mathcal {X}})}R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/356079f542b4c5191df5858686b722a20dda024a)
Die Addition auf
wird komponentenweise, die Multiplikation als Faltung
![{\displaystyle \sum _{w}a_{w}w\cdot \sum _{w}b_{w}w:=\sum _{w}(\sum _{uv=w}a_{u}b_{v})w}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af05a5f712a80ad99134e28c6fa60c68baea8d10)
definiert.
- Für endliche Mengen
schreibt man
.
für eine Variable ![{\displaystyle X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![{\displaystyle R\langle \langle {\mathcal {X}}\rangle \rangle /[R\langle \langle {\mathcal {X}}\rangle \rangle ,R\langle \langle {\mathcal {X}}\rangle \rangle ]=R[[{\mathcal {X}}]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e812c11890588ae9350325b5a1dac7a974d026d3)