Nichtkommutative Polynome stellen eine Verallgemeinerung der Polynome dar, derart dass verschiedene Variablen nicht kommutieren.
Sei
eine Menge und
das freie Monoid über
. (Dann ist
) Sei
ein Ring. Der nichtkommutative Polynomring über
ist definiert als
![{\displaystyle R\langle {\mathcal {X}}\rangle :=\{\sum _{x\in W({\mathcal {X}})}r_{w}w|r_{w}\in R,\;r_{w}=0\;\operatorname {f{\ddot {u}}r} {\text{ fast alle }}w\}\cong \bigoplus _{w\in W({\mathcal {X}})}R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10343443874178f81be9c678084bd2c5692f2013)
Die Addition auf
wird komponentenweise, die Multiplikation als Faltung
![{\displaystyle \sum _{w}a_{w}w\cdot \sum _{w}b_{w}w:=\sum _{w}(\sum _{uv=w}a_{u}b_{v})w}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af05a5f712a80ad99134e28c6fa60c68baea8d10)
definiert.
- Für endliche Mengen
schreibt man
.
für eine Variable ![{\displaystyle X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![{\displaystyle R\langle {\mathcal {X}}\rangle /[R\langle {\mathcal {X}}\rangle ,R\langle {\mathcal {X}}\rangle ]=R[{\mathcal {X}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7de8150dec6d6fdba78bc5f482290fd75b39e169)