Perfektoider Ring
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Ein perfektoider Ring ist ein spezieller topologischer Ring. Der Begriff wurde 2012 von Peter Scholze in seiner Theorie perfektoider Räume eingeführt.
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Sei eine feste Primzahl. Ein perfektoider Ring ist ein vollständiger und gleichmäßiger Tatescher Huber-Ring, der eine topologisch nilpotente Einheit (auch pseudo-uniformisierendes Element genannt) besitzt, sodass die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:
- teilt im Ring potenz-beschränkter Elemente .
- Der Frobenius-Homomorphismus ist bijektiv.
Ein perfektoider Körper ist ein perfektoider Ring, der ein Körper ist.[1]
Erläuterungen zu den Begriffen in der Definition:
- Ein vollständiger Huber-Ring ist ein vollständiger topologischer Ring , der einen offenen Teilring besitzt, der wiederum ein endlich erzeugtes Ideal besitzt, sodass in der Teilraumtopologie von eine Umgebungsbasis von ist. Gefordert ist lediglich die Existenz von bzw. . ist also ein -adischer Ring.
- Ein vollständiger Huber-Ring heißt Tatesch, falls er eine topologisch nilpotente Einheit besitzt. Das ist ein invertierbares Element mit für .
- Ein topologischer Ring heißt gleichmäßig, falls der Teilring potenz-beschränkter Elemente eine beschränkte Teilmenge von ist. Das heißt, dass für jede Umgebung der eine offene Umgebung der existiert, sodass für alle und alle gilt.[2]
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Sophie Morel: Adic spaces, abgerufen am 30. Dezember 2020.
- Peter Scholze: Perfectoid spaces.