Stieltjesscher Inhalt

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Der Stieltjes’sche Inhalt, benannt nach dem Mathematiker Thomas Jean Stieltjes, ist ein Inhalt, mit dem man das Riemann-Integral zum Lebesgue-Stieltjes-Integral verallgemeinern kann.

Stieltjes’scher Inhalt

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Der Stieltjes’sche Inhalt wird auf dem Halbring über definiert. Da man Inhalte auf einem Halbring eindeutig auf ihrem erzeugten Ring fortsetzen kann, kann er auf der Menge

betrachtet werden.

Ist eine monoton wachsende Funktion, so nennt man den Inhalt

den zu gehörenden Stieltjes’schen Inhalt. Er ist σ-endlich.

Darstellung von Inhalten

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Ist ein endlicher Inhalt und wird definiert durch

,

so ist eine monoton wachsende Funktion und es gilt . Damit lässt sich also jeder endliche Inhalt auf als Stieltjes’scher Inhalt darstellen.

Lebesgue-Stieltjes’sches Prämaß

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Man ist oft daran interessiert, ob ein Inhalt σ-additiv ist, also

gilt, wenn die paarweise verschieden sind. σ-additive Inhalte sind nämlich Prämaße und lassen sich zu Maßen fortsetzen. Der Stieltjes’sche Inhalt ist genau dann ein Prämaß, wenn rechtsstetig ist. In diesem Fall nennt man das zu gehörige Lebesgue-Stieltjes’sche Prämaß. Als Spezialfall ergibt sich für das Lebesguesche Prämaß. Hat man hingegen als Mengensystem den Halbring der links abgeschlossenen Intervalle gewählt, so ist ein Prämaß, genau dann wenn linksseitig stetig ist. Dieses Prämaß ist ebenfalls σ-endlich.

Lebesgue-Stieltjes-Integral

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Mithilfe des Stieltjes’schen Inhalts kann man das Riemann-Integral zum Lebesgue-Stieltjes-Integral erweitern. Dazu verwendet man den Maßerweiterungssatz von Carathéodory, um aus dem Prämaß das Lebesgue-Stieltjes-Maß zu konstruieren. Die σ-Endlichkeit des Maßes liefert die Eindeutigkeit der Fortsetzung. Aus dem Maß lässt sich schließlich der neue Integralbegriff konstruieren.