4D

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 Dieser Artikel befasst sich mit den Dimensionen des euklidischen Raums. Zu weiteren Bedeutungen siehe 4D (Begriffsklärung).

4D oder 4-D[1] ist eine verbreitete Abkürzung für vierdimensional als Angabe einer geometrischen Dimension.

Im Gegensatz zum 3D-Raum unserer Vorstellungswelt (Länge-Breite-Höhe, oder x-y-z) bedeutet 4-D, dass ein orthogonales Objekt je 4 Zahlenangaben für seine "Position" und seine "Ausdehnung" benötigt (üblicherweise werden hier die kartesischen Koordinaten x, y, z und w verwendet) sowie vier Winkel, die seine Ausrichtung im Raum bestimmen.

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Zur vierten Dimension

Die Einführung solcher mehrdimensionaler „Überräume“, die unserer direkten Erfahrung nicht zugänglich sind, ergibt sich aus Bereichen der Höheren Mathematik bzw. der Physik. Zur Veranschaulichung kann man sich vorstellen, den 3-D-Raum durch eine zusätzliche Dimension auf 4-D zu verallgemeinern – etwa durch eine skalare Eigenschaft (siehe 1D) oder eine Art Farbskala.

Häufig wird die „vierte Dimension“ mit der Zeit gleichgesetzt und der 4-D-Raum mit dem Begriff Raumzeit. Das ist insofern nicht ganz korrekt, als ein solcher Raum nicht euklidisch ist, weil er eine so genannte Raumkrümmung aufweist. Diese entspricht der gedanklichen Übertragung von gekrümmten Flächen (2-D) auf den Raum (3-D). Die Euklidische Geometrie wird erweitert, um gekrümmte Mannigfaltigkeiten mittels Methoden der nicht-euklidischen Geometrie zu beschreiben. Nach Einstein ist es die Anwesenheit von Masse, welche die Raumkrümmung verursacht.

[Bearbeiten] Mathematisch-geometrisch anschauliche Herleitung

Eine Dimension bezeichnet eine Ausdehnung in eine Richtung, die nicht durch die Richtungen anderer, untergeordneter Dimensionen dargestellt werden kann. Als Beispiel möge der schrittweise Übergang vom Punkt (0D) zu 3-D und 4-D dienen:

Dimension 0

Ein Punkt ohne Ausdehnung (ein Kreis mit Radius 0).

Dimension 1

Wir bewegen uns in einer beliebigen Richtung vom Punkt weg und erhalten eine Strecke. (X-Achse eines Koordinatensystems, Ausdehnung nach links und rechts)

Dimension 2

Wir suchen eine Richtung, die nicht die der Strecke ist, im einfachsten Fall: senkrecht auf die Strecke. Dadurch erhalten wir ein Koordinatensystem, mit welchem wir jeden Punkt einer Ebene erreichen können. (Y-Achse eines Koordinatensystems, Ausdehnung nach vor und zurück).

Dimension 3

Wir suchen eine Richtung, die nicht in der Ebene (aus Dimension 2) liegt. Dazu zeigen wir einmal (vergleichbar dem Sekundenzeiger einer Uhr) in alle Richtungen der Ebene und schließen alle diese Richtungen aus. Zurück bleiben Richtungen, die "nach oben oder unten" zeigen, im einfachsten Fall: senkrecht auf der Ebene "nach oben". Dadurch erhalten wir ein Koordinatensystem, mit welchem wir jeden Punkt im Raum erreichen können. (Z-Achse eines Koordinatensystems, Ausdehnung nach oben und unten).

Dimension 4

Wir suchen wiederum eine Richtung, die nicht im Raum (aus Dimension 3) liegt. Dazu zeigen wir kugelförmig in alle Richtungen, die wir uns vorstellen können und schließen alle diese Richtungen aus. Zurück bleiben Richtungen, die wir uns mit unserem 3-dimensionalen Verstand nicht vorstellen können, im einfachsten Fall: senkrecht auf alle Richtungen, die wir uns vorstellen können. Erweitern wir den Raum in diese Richtung, haben wir einen 4-dimensionalen Hyperraum beschrieben. (W-Achse eines Koordinatensystems, Ausdehnung nach ana und kata, geprägt von Charles Howard Hinton)

Durch derart logische Überlegungen kann man z. B. errechnen, dass ein 4-dimensionaler (Hyper-)Würfel (Tesserakt) 16 Ecken, 32 Kanten, 24 Quadrate und 8 Würfel besitzt.

       

Jede Dimension kann man sich als Zusammensetzung einer unendlichen Anzahl der vorherigen Dimension vorstellen. Die Gerade, mit der Dimension 1 ist so die Zusammenfügung einer unendlichen Anzahl Punkte der Dimension 0. Überträgt man diese Gedanken auf die „Vierte Dimension“, so ist diese die Zusammensetzung unendlich vieler (dreidimensionaler) Räume.

Die Projektion eines vier-dimensionalen Objekts entsteht im drei-dimensionalen Raum als „Schatten“ stets in 3-D.

[Bearbeiten] Physikalisch verbreitetes Verständnis

Gemäß der obigen mathematischen Definition ist ein 4-dimensionales Koordinatensystem ein Koordinatensystem mit vier linear unabhängigen Richtungen. Es eignet sich unsere bekannten 3 Raumdimensionen und die Zeit-Dimension abzubilden.

In Einsteins Relativitätstheorie sind Raum und Zeit zu einer vierdimensionalen Raumzeit vereinigt. Der Raum zu einem bestimmten Zeitpunkt ist einfach eine Hyperfläche (in der speziellen Relativitätstheorie eine Hyperebene) in der Raumzeit. Damit ist die "Richtung" des Raumes (und der Zeit) in der Raumzeit nicht eindeutig bestimmt. In der Tat hängt die Wahl der Raum-Hyperebene vom Bezugssystem ab. Anschaulich darstellen lässt sich das in Minkowskidiagrammen (siehe auch: Minkowskiraum).

Allerdings ist die Raumzeit – auch die ungekrümmte – nicht euklidisch, da das Quadrat der Zeit mit umgekehrtem Vorzeichen in die Metrik eingeht, weil die Zeit nach der Lorentzinvarianz einer imaginären Raumdimension entspricht.

\Delta s^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2 + \Delta\left(i\,c\,t\right)^2

Hierbei ist i die imaginäre Einheit, c die Lichtgeschwindigkeit und t die Zeit. Aufgrund der Eigenschaften von i gilt:

\left(i\,c\,t\right)^2 =-c^2\cdot t^2

Das hat wichtige Folgen wie die Unumkehrbarkeit der Zeit (ohne Zusatzannahmen).

Aus topologischen Gründen ist für die Einbettung eines gekrümmten 3D-Raumes keine vierte räumliche Dimension erforderlich.

Aus einem 3D-Raum kann durch eine andere Dimension als der Zeit ein 4D-Raum entstehen. Dies lässt sich erreichen durch eine zusätzliche skalare Eigenschaft, wie bei 1D) oder eine Skala wie einer Farbskala.

[Bearbeiten] Kosmologische Bedeutung

Unsere Vorstellung erlaubt den dreidimensionalen Raum, welche tatsächlich Ausdehnung der uns umgebende Raum in weitere Richtungen hat ist das Untersuchungsobjekt der Kosmologie.

[Bearbeiten] Siehe auch

[Bearbeiten] Weblinks


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Von „http://de.wikipedia.org/wiki/4D“
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