Arithmetische Reihe

Arithmetische Reihen sind spezielle mathematische Reihen. Eine arithmetische Reihe ist eine Folge, die durch die Summierung einer arithmetischen Folge entsteht. Arithmetische Reihen sind üblicherweise divergent (außer im Spezialfall einer konstanten Folge). Es interessieren deshalb vor allem die Reihenglieder (d. h. die Partialsummen), die auch als endliche arithmetische Reihen bezeichnet werden.

Berechnung

Ist $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ eine (allgemeine) Folge, so ist das $n$-te Glied der zugehörigen Reihe $s_{1},s_{2},s_{3},\ldots$die $n$-te Partialsumme

$s_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}+a_{2}+\dotsb +a_{n}$.

Speziell bei einer arithmetischen Folge $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ lassen sich die Folgenglieder mithilfe des ersten Folgenglieds und der (konstanten) Differenz $d$ zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern ausdrücken:

$a_{i}=a_{1}+(i-1)d$.

Durch Einsetzen in den Summenausdruck erhält man

$s_{n}=\sum _{i=1}^{n}(a_{1}+(i-1)d)$.

Hieraus lassen sich verschiedene geschlossene Formeln für $s_{n}$ gewinnen:

• Bei Kenntnis von $a_{1}$ und $d$ lässt sich $s_{n}$ berechnen als

$s_{n}=na_{1}+{\frac {n(n-1)}{2}}d$.

• Bei Kenntnis von $a_{1}$ und $a_{n}$ lässt sich $s_{n}$ berechnen als

$s_{n}=n\cdot {\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}$.

Die letzte Formel lässt sich besonders leicht merken: Die Summe einer endlichen arithmetischen Folge ist die Anzahl der Glieder multipliziert mit dem arithmetischen Mittel des ersten und des letzten Gliedes.

Formal beweisen lassen sich die beiden Formeln mithilfe der Methode der vollständigen Induktion.

Spezielle Summen

Für die Summe der ersten $n$ natürlichen Zahlen $(a_{1}=1,d=1)$ gilt die Gaußsche Summenformel

$\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\dotsb +n={\frac {n(n+1)}{2}}$

und für die Summe der ersten $n$ ungeraden natürlichen Zahlen $(a_{1}=1,d=2)$ gilt

$\sum _{k=1}^{n}(2k-1)=1+3+5+7+\dotsb +(2n-1)=n\cdot {\frac {1+2n-1}{2}}=n^{2}$ .

Siehe auch

• Arithmetische Folge
• Geometrische Reihe
• Differenzenfolge

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Arithmetic Series. In: MathWorld (englisch).