Geometrische Reihe

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Geometrische Reihen sind spezielle mathematische Reihen. Eine geometrische Reihe ist eine Folge, deren $n$ -tes Glied die Summe der ersten $n$ Glieder einer geometrischen Folge ist. Bei einer geometrischen Folge ist der Quotient zweier benachbarter Folgenglieder konstant.

Inhaltsverzeichnis

1 Berechnung einer (endlichen) geometrischen Reihe
- 1.1 Variante 1
- 1.2 Variante 2
2 Beispiele
3 Konvergenz der unendlichen Reihe
4 Herleitungen
- 4.1 Herleitung der Formel für die Partialsummen
- 4.2 Herleitung der Varianten
5 Siehe auch
- 5.1 Verallgemeinerungen

[Bearbeiten] Berechnung einer (endlichen) geometrischen Reihe

Es seien $a k$ die Glieder einer geometrischen Folge. Es gilt also $a k = a 0 q k$ , wobei $a 0$ das Anfangsglied und $q$ das Verhältnis zweier benachbarter Glieder $a k + 1 / a k$ ist. Das $n$ -te Glied $s n$ der zu dieser geometrischen Folge gehörigen (endlichen) geometrischen Reihe erhält man nun durch die Bildung der Partialsummen:

$s_n=\sum_{k=0}^{n}a_0 q^k$

Die Partialsummen lassen sich auch direkt folgendermaßen berechnen (Herleitung siehe unten) für $q \neq 1$ :

$s_n = a_0\frac{q^{n+1}-1}{q-1} = a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$

und für $q = 1$ :

s n = a 0 (n + 1)

Diese Formeln gelten nicht nur, wenn die ${a k} k = 0,1,...$ reelle Zahlen sind, sondern auch allgemeiner, wenn die Folgenglieder Elemente eines Ringes sind. Auch in letzterem Fall muss $q - 1$ invertierbar sein.

[Bearbeiten] Variante 1

Die Reihe (keine eigentliche geometrische Reihe mehr, da der Quotient benachbarter Folgenglieder nicht konstant ist)

$s_n=\sum_{k=0}^{n}a_0 q^k k$

hat die explizite Lösung für $q \neq 1$

$s_n = a_0\frac{n q^{n+2}-(n+1) q^{n+1}+q}{(q-1)^2}$

und für $q = 1$ (vgl. Gaußsche Summenformel)

$s_n = a_0 \sum_{k=0}^{n} 1^k k = a_0 \sum_{k=0}^{n} 1 k = a_0 \sum_{k=0}^{n} k = a_0 \frac{n (n+1)}{2}$

[Bearbeiten] Variante 2

Die Reihe

$s_n=\sum_{k=0}^{n}a_0 q^k k^2$

hat die explizite Lösung für $q \neq 1$

$s_n=a_0\frac{n^2q^{n+3}-(2n^2+2n-1)q^{n+2}+(n+1)^2q^{n+1}-q^2-q}{(q-1)^3}$

und für $q = 1$ (vgl. Potenzsummen)

$s_n=a_0\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

[Bearbeiten] Beispiele

[Bearbeiten] Zahlenbeispiel

Gegeben sei die geometrische Folge

$a_0=5,\ a_1=15,\ a_2=45,\ a_3=135,\ \dots$

mit a₀=5 und $q$ =3. Die zugehörige geometrische Reihe ergibt sich zu

$s_0=5=5\frac{1-3^1}{1-3}$

$s_1=5+15=20=5\frac{1-3^2}{1-3}$

$s_2=5+15+45 =65=5\frac{1-3^3}{1-3}$

$s_3=5+15+45+135 =200=5\frac{1-3^4}{1-3}$

usw.

[Bearbeiten] Rentenrechnung

Angenommen, man zahlt am Anfang eines jeden Jahres 2.000 € bei einer Bank ein und die Zinsen liegen bei 5% [d.h. der Zinsfaktor ist: (100+5)/100 = 1,05]. Wie viel Geld hat man am Ende des fünften Jahres?

Das im ersten Jahr eingezahlte Geld wird fünf Jahre lang verzinst, man erhält dafür am Ende inklusive Zinseszins 2.000 · 1,05⁵ €. Das im zweiten Jahr eingezahlte Geld wird nur noch vier Jahre verzinst und so weiter. Insgesamt ergibt sich dann ein angesparter Betrag von

$\begin{align} &2\,000 \cdot 1,05^5 + 2\,000 \cdot 1{,}05^4 + 2\,000 \cdot 1{,}05^3 + 2\,000 \cdot 1{,}05^2 + 2\,000 \cdot 1{,}05^1\\ &\quad= 2\,000 \cdot 1{,}05 \cdot ( 1{,}05^4 + 1{,}05^3 + 1{,}05^2 + 1{,}05^1 + 1{,}05^0)\\ &\quad= 2\,000 \cdot 1{,}05 \cdot \sum_{k=0}^{4} 1{,}05^k\\ &\quad= 2\,000 \cdot 1{,}05 \cdot \frac{1{,}05^{4+1}-1}{1{,}05-1}\\ &\quad= 2\,000 \cdot 1{,}05 \cdot \frac{1{,}05^5-1}{0{,}05}\\ &\quad= 11\,603{,}80 \end{align}$

Durch Zinsen hat sich das Kapital somit um 1603,80 € erhöht.

Zum Vergleich: Würden nicht Jahr für Jahr je 2000 € eingezahlt sondern gleich von Beginn an die ganzen 10000 € über 5 Jahre bei 5% Zinsen angelegt, so wäre der Endbetrag

$10\,000 \cdot 1,05^5 = 12\,762{,}80$

also ein Gewinn von 2762,80 €.

Allgemein gilt: Beträgt die Einlage am Anfang jedes Jahres $a 0$ , der Zinsfaktor q und die Laufzeit n Jahre, dann ist der Endwert

$a_0 \frac{q^{n+1}-q}{q-1}$

[Bearbeiten] Rentenrechnung mit linearer Dynamik

Zahlt man im Gegensatz zum vorigen Beispiel nicht jährlich einen festen Beitrag $a 0$ , sondern ab dem 2. Jahr jedes Jahr $d$ € mehr als im Vorjahr ein, so ist der Endwert

$\begin{align} &\sum_{k=1}^n q^k (a_0+d (n-k)) = \sum_{k=1}^n(q^k(a_0+dn)-q^kdk )\\ &\qquad= \left( \sum_{k=1}^nq^k(a_0+dn) \right) - \left( \sum_{k=1}^nq^kdk \right)\\ &\qquad= (a_0+dn)\left( \sum_{k=1}^nq^k \right) - d \left( \sum_{k=1}^nq^kk \right)\\ &\qquad= (a_0+dn)\frac{q^{n+1}-q}{q-1} - d\frac{nq^{n+2}-(n+1)q^{n+1}+q}{(q-1)^2} \end{align}$

zum Beispiel mit $a 0 = 2.000$ € im ersten Jahr, jedes Jahr $d = 100$ € mehr als im Vorjahr, 5% Zinsen (also Zinsfaktor $q = 1,05$ ) und $n = 5$ Jahren Laufzeit, dann ist der am Ende des 5. Jahres angesparte Betrag

$\begin{align} &(2\,000+100 \cdot 5) \cdot \frac{1{,}05^{5+1}-1{,}05}{1{,}05-1} - 100 \cdot \frac{5 \cdot 1{,}05^{5+2}-(5+1) \cdot 1{,}05^{5+1}+1{,}05}{(1{,}05-1)^2} \\ &\qquad= 2\,500 \cdot \frac{0{,}29}{0{,}05} - 100 \cdot \frac{7{,}03-8{,}04+1{,}05}{0{,}0025} \\ &\qquad= 2\,500 \cdot 5{,}8 - 100 \cdot \frac{0{,}0449}{0{,}0025} \\ &\qquad= 14\,504{,}78 - 100 \cdot 17{,}97 \\ &\qquad= 12\,707{,}65 \end{align}$

wobei in diesem Beispiel nicht 10.000€, sondern insgesamt 11.000€ eingezahlt wurden, also beträgt der Gewinn 1.707,65€. Zahlt man statt $a 0 = 2.000$ € im ersten Jahr nur $a 0 = 1.800$ € ein und lässt die anderen Faktoren gleich (sodass man wie im vorletzten Beispiel insgesamt 10.000€ einzahlt), dann ist der Endwert nur noch 11.547,27€, das heißt zahlt man den gleichen Betrag ein, nur zu Beginn weniger, dafür später mehr, dann entgehen einem Gewinne (Opportunitätskosten).

[Bearbeiten] Periodische Dezimalbrüche

Periodische Dezimalbruchentwicklungen enthalten eine geometrische Reihe, welche mit den obigen Formeln wieder in einen Bruch umgewandelt werden kann. Zum Beispiel:

$\begin{align} 0,2\overline{67}&=\frac{2}{10}+\frac{1}{1000} \sum_{k=0}^\infty \frac{67}{100^k}=\frac{2}{10}+\frac{67}{1000} \, \frac{1}{1-\frac{1}{100}}\\ &=\frac{2}{10}+\frac{67}{1000}\,\frac{100}{99}=\frac{2}{10}+ \frac{67}{990}\\&=\frac{265}{990} \end{align}$

[Bearbeiten] Konvergenz der unendlichen Reihe

Eine (unendliche) geometrische Reihe konvergiert genau dann, wenn der Betrag der reellen (oder komplexen) Zahl $q$ kleiner als 1 ist. Für $| q | < 1$ konvergiert die geometrische Folge gegen Null:

$\lim_{n \to \infty}q^{n}=0$

Der Wert der Reihe ergibt sich aus der obenstehenden Formel für endliche geometrische Reihen durch Grenzwertbildung ( $n \to \infty$ ) für $|q|<1 \,$ zu

$\sum_{k=0}^{\infty} a_0 q^k = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} a_0 q^k = \lim_{n \to \infty}a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q} = \frac{a_0}{1-q}$

Ist $|q|\ge 1$ so divergiert die Reihe. Die letzte Formel ist sogar in jeder Banach-Algebra gültig, solange die Norm von $q$ kleiner als 1 ist; im Kontext linearer Operatoren spricht man auch von der Neumann-Reihe.

[Bearbeiten] Herleitungen

[Bearbeiten] Herleitung der Formel für die Partialsummen

Die Partialsumme der geometrischen Reihe lässt sich wie folgt berechnen:

$s_n = \sum_{k=0}^n a_0 q^k = a_0 + a_0 q + a_0 q^2 + \dots + a_0 q^n = a_0 (1 + q + q^2 + \dots + q^n)$

Vereinfacht:

$s_n = a_0 (1 + q + q^2 + \dots + q^n)$ (Gleichung 1)

Durch Multiplikation mit $q$ ergibt sich:

$q s_n = a_0 (q + q^2 + q^3 + \dots + q^{n+1})$ (Gleichung 2)

Wenn man Gleichung 2 von Gleichung 1 subtrahiert erhält man:

s n - q s n = a 0 (1 - q n + 1)

Ausklammern von $s n$ :

$s_n (1-q) = a_0 (1 - q^{n+1}) \$

Teilen durch (1-q) liefert die gesuchte Formel für die Partialsummen:

$s_n = a_0 {{(1 - q^{n+1})} \over {1 - q}}$

[Bearbeiten] Herleitung der Varianten

Mithilfe der oben angegebenen Formel und einem Integrationstrick (bei konvergenten Potenzreihen dürfen Ableitung und Summenzeichen vertauscht werden) kann man auch folgende Reihen geschlossen darstellen, für $q\neq 1$

$\begin{align}\sum_{k=0}^{n}kq^{k}&=\sum_{k=0}^{n}q\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q}q^{k}=q\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q}\sum_{k=0}^{n}q^{k}=q\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q}\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\\ &=\frac{nq^{n+2}-(n+1)q^{n+1}+q}{(q-1)^{2}} \end{align}$

$\begin{align} \sum_{k=0}^{n}k^{2}q^{k}&=\sum_{k=0}^{n}q\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q}q\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q}q^{k}=q\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q}q\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q}\sum_{k=0}^{n}q^{k}=q\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q}q\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q}\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\\ &=\frac{n^{2}q^{n+3}-(2n^{2}+2n-1)q^{n+2}+(n+1)^{2}q^{n+1}-q^{2}-q}{(q-1)^{3}} \end{align}$

Für $| q | < 1$ konvergieren die unendlichen Reihen:

$\sum_{k=0}^\infty k q^k = q \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q}\sum_{k=0}^\infty q^k = q \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q} \frac{1}{1-q}=\frac{q}{(1-q)^2}$

$\sum_{k=0}^\infty k^2 q^k = q \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q} q \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q}\sum_{k=0}^\infty q^k = q \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q} q \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q} \frac{1}{1-q}=q \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q} \frac{q}{(1-q)^2} = \frac{q(1+q)}{(1-q)^3}$

analog für höhere Potenzen.

[Bearbeiten] Siehe auch

Die Konvergenz bzw. Divergenz der geometrischen Reihe ist die Grundlage für das Wurzelkriterium und das Quotientenkriterium.
Beispiel für praktische Folge einer unendlichen geometrischen Reihe: Wert eines Goldesels
Geometrische Verteilung
Arithmetische Reihe

[Bearbeiten] Verallgemeinerungen

Eine Verallgemeinerung ist die Hypergeometrische Funktion.

Geometrische Reihe

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Berechnung einer (endlichen) geometrischen Reihe

[Bearbeiten] Variante 1

[Bearbeiten] Variante 2

[Bearbeiten] Beispiele

[Bearbeiten] Zahlenbeispiel

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[Bearbeiten] Rentenrechnung mit linearer Dynamik

[Bearbeiten] Periodische Dezimalbrüche

[Bearbeiten] Konvergenz der unendlichen Reihe

[Bearbeiten] Herleitungen

[Bearbeiten] Herleitung der Formel für die Partialsummen

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[Bearbeiten] Siehe auch

[Bearbeiten] Verallgemeinerungen

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