Diskussion:Geometrische Reihe

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Konstanter Faktor sinnlos

Der konstante Faktor $a_{0}$ in der Formel macht eigentlich keinen Sinn. Klar, kann man die Gleichung mit einem konstanten Faktor ungleich 0 multiplizieren, aber was soll dies bezwecken ? (nicht signierter Beitrag von Fsswsb (Diskussion | Beiträge) 21:01, 9. Apr 2006)

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• Um welche Formel geht es? --NeoUrfahraner 13:01, 10. Apr 2006 (CEST)
• Warum heißt es fällt das k bei unendlichen Reihen weg? "Die letzte Formel ist sogar in jeder Banach-Algebra gültig"

a_0 ist das erste Glied der Folge. Das macht schon Sinn. -84.131.110.7 14:33, 14. Jan. 2008 (CET)

Wenn mich aber nur interessiert ob jetzt q hoch k konvergiert, und für welche q, dann ist der Faktor völlig sinnfrei und sehr verwirrend. Das ist für die Schulmathematik für Zinseszins ja ganz nett, kann man aber wo anders erwähnen. Zum Beispiel in dem entsprechenden Beispiel! (nicht signierter Beitrag von 134.60.237.44 (Diskussion) 10:33, 13. Feb. 2012 (CET))

Herleitung für Formel für den Wert der Reihe

Ich habe den Text:

Eine Herleitung gelingt aber auch ohne die Partialsummen. Man betrachtet zuerst die Summe F* = F - qF, wobei F die gesuchte unendliche Summe ist: $F^{*}=a_{0}\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}-a_{0}\cdot q\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}=a_{0}\cdot \left(q^{0}+q^{1}+q^{2}+...-\left(q^{1}+q^{2}+q^{3}+...\right)\right)=a_{0}\cdot q^{0}=a_{0}$.

F* ist also bekannt, und es ist nur eine einfache Umformung nötig, um F zu erhalten; anschließend noch den Wert für F* eingesetzt, ergibt das:

$F={\frac {F^{*}}{1-q}}={\frac {a_{0}}{1-q}}$

aus dem Artikel entfernt, da die wesentlichen Gedanken in besserer Form bereits weiter unten im Artikel stehen und wegen ein paar Ungenauigkeiten. Es wird nicht darauf eingegangen, dass die Reihe konvergieren muss damit die Herleitung stimmt und es gibt keine unendliche Summe (nur Kleinigkeiten aber es steht halt schon besser im Artikel) Gruss Stefanwege 18:58, 3. Jul. 2008 (CEST)

Doppelt

Die Herleitung für n gegen und endlich und Betrag von q kleiner 1 ist doppelt im Artikel enthalten:

1. Konvergenz der unendlichen Reihe
2. Herleitung der Formel für die Partialsummen

--Jobu0101 19:37, 12. Aug. 2008 (CEST)

Vermeintlicher Fehler in der Herleitung

Habe in der Herleitung der Formel für die Partialsumme einen Fehler entdeckt.

s_n = a_0 (1 + q + q^2 + \dots + q^n) Gleichung 1

richtig müsste es wohl heissen:

s_n = a_0 (1 + q + q^2 + \dots + q^n-1)

Ist mir im Vergleich mit einem Lehrbuch aufgefallen. Habe den Fehler aber nicht korrigiert.

--Wicki27 16:39, 26. Nov. 2009 (CET)

Was ist jetzt bitte falsch? Klar kann ein Buch das anders definieren, in dem es als s_n sonst etwas definiert. Aber die im Artikel definierte Summe sieht nun mal so aus, wie sie da steht. Also alles korrekt. --Juliabackhausen 23:12, 26. Nov. 2009 (CET)

$s_{n}$ ist die Partialsumme de ersten $n$ Glieder. Über die Ganze Seite gesehen ist immer der gleiche Fehler gemacht worden, nämlich ist überall $s_{n+1}$ ausgerechnet worden. Wenn man als Startwert beim Summenzeichen 0 nimmt, so muss man, um $n$ Glieder zusammenzurechnen, nur bis $n-1$ rechnen!

Bsp: $s_{3}=a_{0}+a_{1}+a_{2}=a_{0}q^{0}+a_{0}q^{1}+a_{0}q^{2}$

Die $n$-te Partialsumme $s_{n}$ ist damit:

$s_{n}=a_{0}\sum _{k=0}^{n-1}q^{k}$

Die aufgelisteten Formeln sind also explizit falsch! Swissbear (Diskussion) 16:34, 24. Jun. 2012 (CEST)

Kleiner Nachtrag: Die Formeln sind nicht falsch, aber stimmen nicht mit dem Text überrein. Entweder Text ändern: $s_{n}$ ist die Summe der ersten $n+1$ Partialglieder, oder aber man passt sich den Lehrbüchern an ändert alles ab, dass $s_{1}=a_{0}$ ist. 16:48, 24. Jun. 2012 (CEST)

Rentenrechnung

Muss die allgemeine Formel nicht um q^(n+2) im Nenner verändert werden, wenn man q mit dem Nenner multipliziert, unabhängig von der Folge, da das q zu deren ermittlung ja herausgenommen wird um bei k=0 zu beginnen. (nicht signierter Beitrag von 134.60.117.243 (Diskussion) 10:49, 24. Sep. 2010 (CEST))

Beispiele in der Einleitung

"Bei einer geometrischen Folge ist der Quotient zweier benachbarter Folgenglieder konstant.[...]

In folgendem Beispiel ist der Quotient kleiner als 1: 1, 1+1/2, 1+1/2+1/4, 1+1/2+1/4+1/8, … , also 1, 3/2, 7/4, 15/8, … ."

Nur ist bei dem Beispiel leider der Quotient der jeweils benachbarten Folgeglieder nicht konstant, ergo handelt es sich bei dem Beispiel nicht um eine geometrische Folge bzw. Reihe, oder vertue ich mich da? -- 88.76.8.241 13:09, 21. Dez. 2010 (CET)

Du musst zwischen geometrischer FOLGE und geometrischer REIHE unterscheiden. Letzteres ist die Aufsummierung der ersten n Glieder einer geometrischen FOLGE. (nicht signierter Beitrag von 141.89.79.41 (Diskussion) 11:38, 15. Jan. 2011 (CET))

Ich hatte aber den selben Gedankengang. Ist vielleicht etwas unglücklich formuliert. Wenn ich richtig verstanden habe, dann ist doch (n+2 - (n+1)) / (n+1 - n) = konstant.

--Verrain (Diskussion) 19:57, 4. Nov. 2012 (CET)

die Einleitung überhaupt

In der Einleitung steht "Eine geometrische Reihe ist eine Folge, deren..." oha, ein Apfel ist eine Birne, deren... also ich änder das mal gleich, scheint ja sonst keiner zu tun... ich hoffe, es ist jetzt klarer. Hab im Abschnitt "Rentenrechnung" noch einen Rundungsfehler verbessert und einen Warnhinweis eingefügt, dass im Bankenwesen nicht mathematisch gerundet wird.-Drgst 11:10, 16. Feb. 2011 (CET)

Die Bezeichnung einer Reihe als unendliche Summe ist mehr als ungeschickt. Mit Summen assoziieren wir automatisch Rechenregeln (Kommutativität, Assoziativität). Dies ist aber für Reihen nicht selbstverständlich - siehe dazu die Unterscheidung von absolut und nicht-absolut konvergierenden Reihen. Aus diesem Grund ist die Bezeichnung als unendliche Summe sehr unglücklich. Sinnvoller erscheint mir die Bezeichnung "Folge von Partialsummen" für die Reihe und "Grenzwert der Folge der Partialsummen" für den Reihenwert. Ich erlaube mir mal, das zu ändern.

--Sanya V 16:33, 5. Jul. 2011 (CEST)

Falls q = 1, so gilt

Im Abschnitt "Berechnung der (endlichen) Partialsummen einer geometrischen Reihe" Ist das da richtig? ich denke nicht, das a_0*(n+1) da passt. Vielmehr sollte da doch dann a_0*gauss'sche summenformel stehen oder habe ich da nen denkfehler? --empi 01:46, 16. Mär. 2011 (CET)

Allgemeine Darstellung der geom. Reihe

Ich finde, eine allgemeine Darstellung der geometrischen Reihe sollte sofort mit einem Blick auffindbar sein :). Also Summe von k = 0 bis unendlich von usw. ist gleich usw.

Also, weil das halt das auf am häufigsten zu verwendende ist. (bzw. auch der endliche Fall ist gleich wichtig). (nicht signierter Beitrag von 109.193.3.83 (Diskussion) 15:10, 25. Apr. 2011 (CEST))

Dieser Meinung bin ich auch. Habe Mal die Formel in die Einleitung eingefügt. --Steve753 (Diskussion) 00:09, 9. Apr. 2013 (CEST)

${-}\infty$

Nehmen wir ein Koordinatensystem Kartesisches Koordinatensystem mit dem Ursprungspunkt Nullpunkt, dieses Koordinatensystem besteht aus Ordinate und Abszisse, dann gibt es theoretisch auf der x-Achse ein ${-}\infty$ und auf der y-Achse ein ${-}\infty$. Beispiele findet man in der Astronomie, der Kosmos Universum ist in einem Koordinatensystem minus unendlich. 138.232.13.232 10:10, 29. Jan. 2012 (CET)

Integrationstrick?

(bei konvergenten Potenzreihen dürfen Ableitung und Summenzeichen vertauscht werden)

gibts dafür irgendwo einen beweis?138.246.2.200 22:52, 22. Apr. 2012 (CEST)

Integrationstrick benoetigt?

Wo wird der Integrationstrick hier benoetigt? Man koennte ihn verwenden bei der Herleitung, aber in der Herleitung (im Abschnitt Herleitung der Varianten) hier auf der Seite wird er meines Erachtens nicht verwendet. Hier wird ja nur im endlichen die Differentation mit der Summation vertauscht, und das sollte schlichtweg die Anwendung der Summenregel sein. [06:04, 26. Okt. 2012‎ Rothose86]

Da hast Du recht! Dieser Unsinn steht schon seit 16:26, 12. Jul. 2008‎ von Stasik drin. Es wird tatsächlich nur eine endliche Reihe gliedweise differenziert, was bei differenzierbaren Gliedern nach der Summenregel selbstverständlich immer möglich ist. Der Trick liegt vielmehr in dem Operator $x{\frac {d}{dx}}$, der bei Wirkung auf ein Polynom dessen Grad unverändert lässt.

Noch schlimmer, wird es ursprünglich sogar als "Aufleitungstrick" bezeichnet. Nur nebenbei: Beim Ableiten bzw. Integrieren geht jedoch nichts runter bzw. hoch, das wurde hier schon sehr oft diskutiert. Aus etymologischer Sicht meint in der mathematischen Fachsprache das Wort Ableitung zunächst nur eine Folgerung. So ist fachsprachlich korrekt differentielle Ableitung (kurz Ableitung genannt) bzw. integrale Ableitung (Integral bzw. Stammfunktion) zu bilden. Unabhängig davon wird sprachlich durch den Präfix auf nicht immer das Gegenteil von ab gebildet. Beispiel: aufsägen ist nicht das Gegenteil von absägen, ebenso aufheben und abheben. In beiden Fällen wird die Bedeutung im wesentlichen durch das Hauptwort sägen bzw. heben bestimmt. --Skraemer (Diskussion) 17:33, 26. Okt. 2012 (CEST)

a_0

Der Artikel könnte vereinfacht werden, indem (fast) überall $a_{0}=1$ gesetzt wird, da für $|q|<1$ gilt (ggf. siehe Reihe (Mathematik)#Summen und Vielfache):

$\sum _{k=0}^{\infty }aq^{k}=a\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}=a{\frac {1}{1-q}}={\frac {a}{1-q}}$.

Könnte der Artikel dadurch nicht vielleicht (für „Laien“) verständlicher/einfacher/übersichtlicher werden, ohne an Allgemeinheit zu verlieren? -91.63.245.103 12:58, 24. Jun. 2013 (CEST)

Das $a_{0}$ in der einleitenden Formel ist sinnlos - genauso gut könnte dort z.B. "17" stehen. --KMS-at-Wiki (Diskussion) 18:28, 11. Nov. 2017 (CET)

Sehe ich auch so. Und dies macht es nicht nur für Laien einfacher, sondern auch für alle anderen, die die Formel nicht parat haben. Schaut man diese nach, wundert man sich, was der Faktor $a_{0}$ dort soll. Man könnte ja auch beliebige andere Transformationen aufschreiben, z.B. $b+\sum _{k=0}^{\infty }aq^{k}$. (nicht signierter Beitrag von 2001:16B8:11C7:A100:148B:583F:EA73:C7C4 (Diskussion) 19:07, 24. Jun. 2020 (CEST))

Herleitung der Formel für die Partialsummen

Diese Herleitung ist sehr schöen gemacht, jedoch hat es mir anfangs einiges Kopfzerbrechen bereitet herauszufinden, warum das Ergebnis fuer ganze Zahlen auch wieder ganzzahlig ist, also ( 1 - q^n ) ist teilbar durch (1 - q ) fuer q und n aus N.

Mein Ansatz:

Bruch negieren: (q^n-1) teilbar durch (q-1). Dann sei p=q-1, somit q=p+1

(p+1)^n-1 teilbar durch p

Beim Aufloesen des (p+1)^n entstehen alle moeglichen p^n, p^(n-1) usw und am Schluss eine einzelne 1, die dann aber abgezogen wird. Es bleiben lauter p-Faktoren uebrig und somit ist die Teilbarkeit bewiesen, oder?

Grafisch koennte man das uebrigens auch sehr schoen veranschaulichen:

Ein 5x5 Quadrat, da nimmt man ein Kloetzchen raus (5^2-1). Bleibt ein 4x4 Quadrat sowie zwei 'Balken' der Laenge 4. alle drei Elemente sind wieder durch 4 teilbar.

Somit ist 5^2-1 durch 4 teilbar.

Nur so 'ne Idee, ich wollte mich da jetzt nicht am Artikel vergreifen... --Blutsauger666 (Diskussion) 00:37, 9. Feb. 2014 (CET)

Video von DorFuchs hier einbinden?

Hallo zusammen,

DorFuchs hat sich bereit erklärt, mit File:Geometrische Reihe (Mathe-Song) – DorFuchs.webm eines seiner Videos unter einer freien CC-BY-SA 4.0 Lizenz zu stellen. Damit können wir es auch in der Wikipedia verwenden. Nun würde ich es gerne in diesen Artikel einbauen. Gibt es dagegen Einsprüche?

Viele Grüße, Stephan Kulla (Diskussion) 20:38, 24. Mai 2016 (CEST)

Ich habe nun das Video eingebunden, nachdem es keine Einsprüche dafür gab. Da im Video auch eine andere Herleitung der Lösungsformel präsentiert wird, sehe ich einen Mehrwert dieses Videos für den Artikel. -- Stephan Kulla (Diskussion) 22:05, 28. Mai 2016 (CEST)

Song von DorFuchs? Deutsche Wikipedia you gotta be shitting me. Ich weiß nicht mal, wie ich mich hier her verirrt habe. -- 95.91.212.79 04:54, 15. Jan. 2017 (CET)

Widerspruch zwischen Definition der geometrischen Reihe und Zulassung von $a_{0}=0$

Vorgefunden:

"Eine geometrische Reihe ist eine spezielle mathematische Reihe. Eine geometrische Reihe ist die Reihe einer geometrischen Folge. Bei einer geometrischen Folge ist der Quotient $q$ zweier benachbarter Folgenglieder konstant."

"Eine geometrische Reihe bzw. die Folge ihrer Partialsummen konvergiert genau dann, wenn der Betrag der reellen (oder komplexen) Zahl $q$ kleiner als Eins oder ihr Anfangsglied $a_{0}$ gleich Null ist. "

(1) Wenn ein beliebiges Folgeglied $a_{n}=0$ ist, dann existiert der Quotient ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ in keinem Körper, d.h. $a_{n+1}$ existiert nicht. $a_{n}=0$ kann also allenfalls letztes Folgeglied eines (endlichen) Tupels t sein, falls Tupel als Folgen definitorisch zugelassen werden (was neuerdings der Fall zu sein scheint). Weiter ist dann ist $q={\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}={\frac {0}{a_{n-1}}}=0$ für das Tupel t, wobei $a_{n-1}\neq 0$ sein muss, weil sonst $q$ nicht definiert ist. Ein ${a_{n-1}}$ vorangehendes Glied ${a_{n-2}}$ mit $q={\frac {a_{n-1}\neq 0}{a_{n-2}}}=0$ existiert nicht. Also hat t die Form:

$(a_{0},0)$, wobei $q=0$ und $a_{0}\neq 0$ beliebig wählbar ist;

andere geometrische Folgen, die ein Glied $a_{n}=0$ enthalten, kann es nach der in der Einleitung des Artikels vorgelegten Definition nicht geben. Insbesondere gibt es dann keine geometrische Folge mit $a_{0}=0$.

(2) Ein solches t konvergiert dann (wie im Übrigen alle Tupel mit mindestens zwei Gliedern) nach Definition der Konvergenz mit N = n gegen sein n-tes Element ... aber wie sinnvoll ist die Anwendung der Konvergenzdefinition auf Tupel? Jedenfalls las ich derlei noch nie.

Kommentare? Sollte die "geometrische Folge mit dem Anfangsglied $0$" aus dem Text des Artikels entfernt werden? Sind (tivial) "konvergente Tupel" definiert?

--Psychironiker (Diskussion) 23:36, 24. Nov. 2017 (CET)

Ausdruck und Stil Einleitung

In der Einleitung steht was von "Summenabschnitten". Was sind "Summenabschnitte"? Ich habe das Wort vorher noch nie gehört. Google liefert 55 Treffer, davon die meisten ohne mathematischen Bezug. Handelt es sich um etabierte Fachsprache? Außerdem: "Also verhält sich der vom Summenindex abhängige Exponent in den Folgegliedern bezüglich des Summenindex linear." Möchte man mit solchen Sätzen Leser vergraulen? --Mathze (Diskussion) 23:36, 17. Feb. 2024 (CET)

+1. Das war keine so gute Einleitung. Habe es mal überarbeitet. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 23:58, 17. Feb. 2024 (CET)

Dankesehr @Googolplexian1221. Nun liest sich die Einleitung nicht mehr so abschreckend. Ich finde den Artikel insgesamt ungeschickt aufgebaut. Die aus meiner Sicht systematische Entwicklung der Theorie wäre wie folgt: 1) Informelle Definition einer geometrischen Reihe in der Einleitung 2) Formale Definition als Grnezwert der Folge der Partialsummen in einem Abschnitt "Definition". 3) Geschlossene Darstellung für die Partialsummen. 4) Aus dieser ergibt sich alles Wesentliche für die Konvergenz sowie die Formel für den Reihenwert durch Grenzübergang auf elementare Weise.

In dem Artikel findet sich ein weiterer unüblicher Begriff: "Summenkette". Was auch immer das sein soll. Vermutlich einfach eine endliche Summe, ausgeschrieben. Na ja, sollte meinem Vorschlag gefolgt werden, würde sich das ohnehin erledigen. --Mathze (Diskussion) 20:46, 18. Feb. 2024 (CET)

Übrigens auch erstaunlich, wie wortreich man schildern kann, dass eine Reihe die Folge von Partialsummen ist. Ein eigentlich interessantes Zahlenbeispiel ist eines, wo die Reihe konvergiert. Der Abschnitt mit linearer Dynamik gehört zum Artikel Rentenrechnung. Theoriefindung im Abschnitt Geometrische_Reihe#Herleitung_der_Varianten. Ein Kraut-und-Rüben-Artikel, der nach einer grundlegenden Überarbeitung schreit. Willst Du @Googolplexian1221, oder soll ich? --Mathze (Diskussion) 20:56, 18. Feb. 2024 (CET)

Bei genauerer Betrachtung ist dies derzeit leider kein herausragender Artikel, u.a. wegen der schon von Mathze genannten Punkte. Und dies bei gleichzeitig ca. 700 Aufrufen am Tag, was die Mathematik auf Wikipedia nicht gerade gut dastehen lässt. Ich bin aber derzeit sehr in einem anderen Artikelprojekt involviert, daher überlasse ich Dir, Mathze, gerne den Vortritt. Ich bin aber jederzeit für Fragen und Bemerkungen offen. Vor allen Dingen muss alles an den Standard der wiss. Literatur angepasst werden. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 09:46, 19. Feb. 2024 (CET)

Okay, ein paar Änderungen habe ich schonmal eingeleitet. U.a. war von der „Zahl Plus Unendlich“ die Rede. Das konnte so nicht stehen bleiben. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 10:54, 19. Feb. 2024 (CET)