Benutzer:Doc Taxon/Filomusa-Labor

Wunschliste

• Tensorprodukt, Tensor
• Vektorräume (auch über Schiefkörpern), wichtig übrigens nach einem wichtigen Satz von Veblen, siehe Oswald Veblen.
• Dualraum und Bidualraum
• Satz von Cayley-Hamilton
• Adel(e)ring
• Satz von Frobenius (Charakteristische Abbildung), Norm und Spur.
• Fundamentalsatz der Algebra (zwei weitere Beweise (EA-OS, H.B.))
• Azumaya-Algebra (über Körper bzw. über Ring)
• Lemma von Rieffel
• Dichte-Theorem von N. Jacobson (density theorem)
• Satz von Wedderburn: Bew E.A.
• Satz von (Albert-)Brauer-Hasse-Noether
• Zentralisatorsatz
• QFT und Gruppencharaktere, Gruppenalgebra
• Existenz einer Normalbasis (zykl und allgemeiner Fall)

Zum Fundamentalsatz der Algebra

2022-12-05 eingefügt.

Beweis mit algebraischen Methoden und Zwischenwertsatz

Beweis nach Laplace 1795

Laplace' Beweis nach Reinhold Remmert in "Zahlen", Seite 96f. Dieser Beweis sollte eigentlich VOR den Gaußschen eingefügt werden.

Benutzt für reelle Polynome bzw über $\mathbb {R}$:

• P=Q
• B-W
• Hauptsatz über elementarsymmetrische Funktionen (Newton 1673), über welchen (historisch gesehen) der Zugang zur Galoistheorie gelang.
• Existenz eines Zerfällungskörpers über $\mathbb {R}$. Dass es fiktive Wurzeln gibt, (also einen Wurzelkörper $\mathbb {W}$), galt seinerzeit auch ohne Beweis als hinreichend glaubwürdig. Euler, Lagrange und Laplace benutzen dies ohne Beweis. Wie hat Gauß diese Existenzfrage gelöst?

• Wesentlich ist der Laplacesche Kunstgriff zur Definition von $g_{x}(X)=\prod _{1\leq i<j\leq n}(X-(\alpha _{i}+\alpha _{j}+x\alpha _{i}\alpha _{j}))$. Hinter diesem Kniff steht, wie erst später deutlich wurde, der Satz vom primitiven Element (bzw. die Existenz einer „Galois-Resolvente“).
• Anstelle der Galoistheorie springen andere Argumente ein:
• Den Nachweis, dass $g_{x}(X):=g(X)\in K[X]$ (mit $K=\mathbb {R}$), liefert der Hauptsatz über elementarsymmetrische Funktionen von Newton (1673).
• An die Stelle der Aussage, dass Zwischenkörper $Z=K[\alpha _{1}+\alpha _{2},\alpha _{1}\alpha _{2}]=K[a,c]=K[y]$, tritt die Aussage, dass nach Induktionsvoraussetzung (angewandt auf die Familie der $(g_{x}(X)_{x\in K}$ für festgewähltes Paar $(i,j)$ sich ein Paar $x_{1},x_{2}\in K,x_{1}\neq x_{2}$ finden lassen muss, mit $\alpha _{i}+\alpha _{j}+x_{1}\alpha _{i}\alpha _{j},\alpha _{i}+\alpha _{j}+x_{2}\alpha _{i}\alpha _{j}\in \mathbb {C}$. Woraus (wegen $x_{1}\neq x_{2}$) folgt, dass $q:=\alpha _{i}\alpha _{j}\in \mathbb {C} ,\,p:=\alpha _{i}+\alpha _{j}\in \mathbb {C}$ und also $\alpha _{i},\alpha _{j}$ Nullstellen von $X^{2}-pX+q$ sind, also selbst komplex.

Schon Euler hatte die Idee der Induktion nach dem Exponenten, mit dem die $2$ im Polynomgrad aufgeht.

Induktiver Beweis mit Galoistheorie und Theorie formal reeller Körper

bereits eingefügt.

Einordnung in die algebraische Theorie formal reeller Körper

Der obige Beweis gehört aus heutiger Sicht in die Theorie reeller algebraischer Körper. Daher möge eine Einführung in diese Theorie diesen Beweis abrunden, der nämlich in Wahrheit den allgemeineren Satz zeigt, dass die quadratische Erweiterung $\mathbb {K} [{\sqrt {-1}}]$ eines angeordneten Körpers $\mathbb {K}$, der zusätzlich die beiden Eigenschaften „P=Q“ und „B-W“ hat, algebraisch abgeschlossen ist. Diese Eigenschaft ist kennzeichnend für so genannte „reell abgeschlossene“ Körper, wie sich herausstellen wird.

Motivation

In einer multiplikativen zyklischen Gruppe gibt es genau zwei Quadratklassen. Dies ist beispielsweise für die Einheitengruppe $\mathbb {F} ^{\times }$ eines endlichen Körpers $\mathbb {F}$ der Fall, und das Legendre-Symbol $\left({\tfrac {k}{p}}\right)$ gibt die jeweilige Klasse an. Insbesondere zeigt $\left({\tfrac {-1}{p}}\right)$ für eine ungerade Primzahl $p$ an, ob ein Element $l$ und sein Inverses $-l{\bmod {p}}$ in $\mathbb {F} _{p}^{\times }$ stets derselben Quadratklasse angehören oder aber stets in unterschiedlichen Quadratklassen liegen. Bekanntlich hängt dies davon ab, ob $p\equiv 1$ oder $p\equiv -1{\bmod {4}}$.

Für unendliche Körper ist all dies im allgemeinen nicht der Fall – wohl aber für den Körper $\mathbb {R}$ der reellen Zahlen: Die Quadrate sind gerade die positiven, die Nicht-Quadrate die negativen Zahlen. Dabei sind die reellen Zahlen vollständig geordnet, wie der Zahlenstrahl visualisiert.

Die quadratische Erweiterung $\mathbb {C} /\mathbb {R}$ verliert diese Unterscheidung in Quadrate und Nicht-Quadrate, da sie algebraisch abgeschlossen ist.

Die Frage, ob es auch andere Körper gibt, die in dieser Hinsicht dem Körper $\mathbb {R}$ ähneln, und welche algebraischen Eigenschaften sie kennzeichnet, beantwortet die algebraische Theorie der reellen Körper.

Viele Körper kommen dafür in Betracht, denn ein algebraischer Zahlkörper, also eine endliche Erweiterung von $\mathbb {Q}$ vom Grade $[K:\mathbb {Q} ]=:n$, lässt sich auf $r$ verschiedene Weisen $0\leq r\leq n$ in $\mathbb {R}$ einbetten und erbt durch jede Einbettung die Anordnung auf dem Zahlenstrahl, also die Unterscheidung in positive und negative Zahlen. Ist dabei $r=0$, d. h., ist also keine reelle Einbettung möglich, so bleiben allein $s={\tfrac {n-r}{2}}={\tfrac {n}{2}}$ Paare komplex-konjugierter Einbettungen: In diesem Falle ist keine Anordnung möglich. Im Falle einer Galois-Erweiterung $K/\mathbb {Q}$ (wie im Falle von Kreisteilungskörpern) ist notwendig $rs=0$, also entweder $r=n$ oder $2s=n$.

Ist beispielsweise $u\in \mathbb {N}$ ungerade, $m\in \mathbb {N}$ derart gewählt, dass ${\sqrt[{4u}]{m}}\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q}$, so liegt $\mathbb {Q} [{\sqrt[{4u}]{m}}]\subset \mathbb {R}$. Gemäß Körpertheorie sind $\mathbb {Q} [{\sqrt[{4u}]{m}}]\simeq \mathbb {Q} [i{\sqrt[{4u}]{m}}]$ isomorph durch die Substitution ${\sqrt[{4u}]{m}}\mapsto i{\sqrt[{4u}]{m}}$. Doch die Quadrate dieser einander zugeordneten Elemente erscheinen im einen Falle positiv, im anderen jedoch negativ.

Angeordnete Körper

Ein Anordnung auf einem Körper ist gegeben durch eine Teilmenge $P\subset K^{\times }$ mit den Eigenschaften:

• $K^{\times }=P\uplus (-P)$ (Disjunkte Vereinigung)
• $P+P\subset P$ (d. h., $P$ ist bezüglich der Addition eine Halbgruppe)
• $P\cdot P\subset P$ (d. h., $P$ ist bezüglich der Multiplikation eine Halbgruppe)

Die Elemente aus $P$ heißen positiv. Offenbar können nicht zugleich $x$ und $-x\in P$ liegen. Also ist $-1\notin P$ und notwendig $1\in P$ und mithin $n\cdot 1\neq 0$ für jede natürliche Zahl $n$. Also hat $K$ die Charakteristik Null, ist als Erweiterung des Primkörpers $\mathbb {Q}$ unendlich, vollkommen und kennt nur separable endliche Erweiterungen.

Man schreibt $x>0$ für $x\in P$ und leitet in naheliegender Weise die Relationen $\geq ,\leq ,<$ ab. Der Körper ist bezüglich $\leq$ vollständig geordnet und heißt ein (an)geordneter Körper. Den zugehörigen Betrag definiert man $|x|:=\{x,-x\}\cap P$ und $|0|:=0\in K$. Die Betragseigenschaften (wie Dreiecksungleichung) lassen sich durch Fallunterscheidung nachweisen. Der Körper wird dadurch zu einem topologischen Körper.

Zusammenfassend: In angeordneten Körpern sind Quadrate, folglich auch Quadratsummen und insbesondere die Eins und ihre Vielfachen stets positiv. Geordnete Körper haben deshalb Charakteristik Null, enthalten also den Primkörper $\mathbb {Q}$ und sind unendlich und vollständig geordnet.

Summen und Produkte, selbst Quotienten von Quadratsummen sind wieder Quadratsummen: ${\tfrac {x}{y}}=x\,y\,(y^{-1})^{2}$. Bei $x=1$ ergibt sich wegen $1\in P$ insbesondere: $y\in P\Leftrightarrow y^{-1}\in P$, daher bildet $P$ bezüglich der Multiplikation nicht nur ein Halbgruppe, sondern eine Gruppe und man erhält eine exakte Sequenz $1\to S_{1}(0,K)\to K\to P\to 1$, wobei $S_{1}(0,K):=\{x\in K,|x|=1\}=\ker |\cdot |$ die (verallgemeinerte) Einheitssphäre in $K$ ist.

Die oben genannte Eigenschaft „P=Q“ verlangt demnach die minimale Anordnung: Nur Quadrate sind positiv.

Ein geordneter Körper $K$ enthält

• für gerades $k$ höchstens zwei $k$-te Wurzeln $\xi$ und $-\xi$
• für ungerades $k$ höchstens eine $k$-te Wurzel $\xi$

von den $k$ verschiedenen $k$-ten Wurzeln eines Elementes $x\in K$ – das heißt Nullstellen von $X^{k}-x$ –, die sich in einem algebraischen Abschluss von $K$ befinden. Denn ist $k$ ungerade und $\xi \neq \eta$, ohne Einschränkung also $\xi <\eta$, so folgt $\xi ^{k}<\eta ^{k}$, so dass $\xi$ und $\eta$ nicht zugleich $k$-te Wurzel desselben Elementes $x\in K$ sein und in $K$ liegen können. Ist $k$ gerade, so liegt wegen $(-\xi )^{k}=\xi ^{k}$ mit $\xi$ auch sein Inverses $-\xi$ in $K$ und ist $k$-te Wurzel.

Im Falle $x=1$ geht es hierbei um die $k$-ten Einheitswurzeln: Eine primitive $k$-te Einheitswurzel $\zeta$ ist normal über $\mathbb {Q}$, das heißt der $k$-te Kreisteilungskörper $\mathbb {Q} [\zeta ]$ ist über $\mathbb {Q}$ galoissch, enthält also alle Einheitswurzeln der Ordnung $k$. Also kann der $k$-te Kreisteilungskörper für $k\geq 3$ nicht mit einer Anordnung ausgestattet werden, während er für $k\leq 2$ ohnehin trivial ist: $\zeta =-1\in \mathbb {Q}$.

Im Falle $0<x\neq 1$ allerdings sind die über $\mathbb {Q}$ konjugierten Wurzeln $\zeta ^{i}{\sqrt[{k}]{x}},\,(i=0,\dots ,k-1),$ von $X^{k}-x=\prod _{i=0}^{k-1}(X-\zeta ^{i}{\sqrt[{k}]{x}})$ nicht normal, und die einfache Erweiterung $\mathbb {Q} [{\sqrt[{k}]{x}}]$ ist also keine Galoiserweiterung über $\mathbb {Q}$, sondern über $\mathbb {Q}$ konjugiert zu jedem $\mathbb {Q} [\zeta ^{i}{\sqrt[{k}]{x}}]$. Diese Erweiterungen sind also sämtlich untereinander über $\mathbb {Q}$ konjugiert und algebraisch isomorph – und erben durch die Einbettung $\mathbb {Q} [\zeta ^{i}{\sqrt[{k}]{x}}]\simeq \mathbb {Q} [{\sqrt[{k}]{x}}]\hookrightarrow \mathbb {R}$ eine Anordnung. Mit wachsendem $k$ gibt es also unendlich viele verschiedene solcher Zwischenkörper zwischen $\mathbb {Q} \subset \mathbb {C}$, die mit einer Anordnung versehen werden können.

Definition: Eine Anordnung auf einem Integritätsring $R$ ist eine Teilmenge $P$ mit den entsprechenden Eigenschaften

• $R=\{0\}\uplus P\uplus (-P)$
• $P+P\subset P$ (d. h., $P$ ist bezüglich der Addition eine Halbgruppe)
• $P\cdot P\subset P$ (d. h., $P$ ist bezüglich der Multiplikation eine Halbgruppe)

Wie oben folgt, dass $R$ den Primring $\mathbb {Z}$ enthalten muss. Ferner lässt sich diese Anordnung $P=:P_{R}$ auf den zugehörigen Quotientenkörper $Q(R)=:K$ in genau einer Weise ausdehnen, indem man setzt: $P_{K}:=\{{\tfrac {x}{y}}|x,y\in R,xy\in P_{R}\}$, denn ${\tfrac {x}{y}}\cdot y^{2}=xy$.

Beispiel: Ist $\mathbb {K}$ durch $P_{K}$ angeordnet, so lässt diese Anordnung zu $P_{K[X]}$ auf $\mathbb {K} [X]$ ausdehnen. Diese Fortsetzung kann auf eine der folgenden äquivalenten Weisen geschehen:

• Ein Polynom ist genau dann positiv, wenn sein Leitkoeffizient positiv ist.
• $P_{K[X]}:=\biguplus _{n=0}^{\infty }P_{K[X]}^{(n)}$, wobei $P_{K[X]}^{(0)}:=P_{K}$ und $P_{K[X]}^{(n+1)}:=P_{K}\cdot X^{n+1}+K\cdot P_{K[X]}^{(n)}$.
• $P_{K[X]}:=\biguplus _{n=0}^{\infty }P_{K[X]}^{(n)}$, wobei $P_{K[X]}^{(0)}:=P_{K}$ und $P_{K[X]}^{(n+1)}:=P_{K}\cdot X^{n+1}+\sum _{i=0}^{n}K\cdot X^{i}$.
• $X^{n}\in P_{K[X]}$ und $X^{n+1}-K\cdot X^{n}\subset P_{K[X]}$ für jedes $n\in \mathbb {N}$.

Infolgedessen sind positive Polynome vom Grade $n+1$ größer als jedes Polynom vom Grade $n$. Insbesondere ist ein beliebiges nicht konstantes positives Polynom größer als jedes konstante (das heißt, größer als jedes Körperelement). Auf diese Weise ist auch auf dem Quotientenkörper $K(X)$ der rationalen Polynome eine Anordnung definiert.

Definition: Ist eine Körpererweiterung $L\subset K$ angeordneter Körper gegeben, so heißt $L$ archimedisch über $K$, wenn zu jedem $y\in L$ ein $x\in K$ gibt, so dass $x-y$ positiv ist. Ein angeordneter Körper $L$ heißt (absolut) archimedisch, wenn er über seinem Primkörper $\mathbb {Q}$ archimedisch ist, das heißt also, wenn es zu jedem $y\in L$ ein $n\in \mathbb {N}$ gibt, so dass $n\cdot 1-y$ positiv ist.

Beispiel: Gemäß dem obigen Beispiel ist $L=K(X)$ nicht archimedisch über $K$ geschweige denn (absolut) archimedisch.

Formal reelle und reell abgeschlossene Körper

Definition: Ein Körper heiße formal reeller Körper, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

• Quadratsummen verschwinden nur dann, wenn jeder Summand verschwindet.
• $-1$ ist keine Quadratsumme.

Beispiele:

• Angeordnete Körper sind formal reell.
• Ist $K$ formal reell, so ist auch $K(X)$ formal reell. Denn die Betrachtung der absoluten Koeffizienten $f_{i}(0)$ in $-1=\sum _{i=0}^{n}\left(f_{i}(X)\right)^{2}$ liefert die Kontraposition dieser Behauptung.

Definition: Ein formal reeller Körper, der keine echten endlichen formal reellen Körpererweiterungen besitzt, heiße reell abgeschlossen. Reell abgeschlossene Körper sind also maximale formal reelle Körper.

Definition: Ein Körper, in dem Quadratsummen stets selbst Quadrate sind, heißt pythagoreisch.

Beispiel: Körper der Charakteristik $2$ sind wegen des Frobenius-Homomorphismus (oder schlicht: wegen der Binomialformel) pythagoreisch und zugleich nicht formal reell, da $-1=1$ Quadrat ist.

Die Frage, ob $-1$ Quadratsumme ist, ist aus folgendem Grunde bedeutsam: Ist sie zu verneinen, so lässt sich bei Charakteristik ungleich $2$ zeigen, dass jedes Element eine Quadratsumme ist: Denn mit $-1$ ist auch jedes beliebige $x=\left({\tfrac {1+x}{2}}\right)^{2}+(-1)\cdot \left({\tfrac {1-x}{2}}\right)^{2}$ Quadratsumme. Andererseits wäre $-1={\tfrac {-x}{x}}$ ein Quadrat(summe), sobald nur ein $x$ und zugleich sein Inverses $-x$ Quadrate (bzw. Quadratsummen) wären.

Die Eigenschaft entscheidet also darüber, ob es überhaupt Elemente gibt, die keine Quadratsummen sind – und als negative Elemente für eine Anordnung in Frage kämen. Und tatsächlich zeigen weiterführende Überlegungen, dass es genau die Nicht-Quadratsummen sind, die bei geeigneter Anordnung negativ ausfallen.

Reell abgeschossenen Körpern sind pythagoreisch, und es lässt sich zeigen, dass reell abgeschlossene Körper genau eine Anordnung vertragen, nämlich die durch Eigenschaft „P=Q“ verlangte minimale Anordnung: Nur Quadrate sind positiv, alle anderen Elemente (die Null ausgenommen) sind negativ. Quadratsummen sind also Quadrate. (Siehe Satz „P=QS=Q“ weiter unten.)

Während also ein reell abgeschlossener genau eine Anordnung verträgt, kann ein algebraisch abgeschlossener Körper gar keine Anordnung vertragen, weil sonst negative Elemente auch Quadrate sein müssten. (Der Nachweis, dass formal reelle Körper mit mindestens einer Anordnung versehen werden können, erfordert im Allgemeinen transfinite Methoden.)

Ferner lässt sich zeigen, dass Eigenschaft „B-W“ für reell abgeschlossene Körper gilt: Polynome ungeraden Grades über reell abgeschlossenen Körpern besitzen eine Nullstelle in ihm.

Also muss ein angeordneter Körper $\mathbb {K}$, dessen quadratische Erweiterung $\mathbb {K} [{\sqrt {-1}}]$ algebraisch abgeschlossen ist, nach Definition reell abgeschlossen sein: Denn eine quadratische Erweiterung bietet einem echten Zwischenkörper keinen Platz.

Somit liefert der obige auf Gauß zurückgehende Beweis für einen angeordneten Körper $\mathbb {K}$ die Äquivalenz folgender Aussagen:

• $\mathbb {K}$ ist reell abgeschlossen.
• $\mathbb {K}$ hat die Eigenschaften „P=Q“ und „B-W“.
• $\mathbb {K} [{\sqrt {-1}}]$ ist algebraisch abgeschlossen.
• Eine quadratische Erweiterung von $\mathbb {K}$ ist algebraisch abgeschlossen.
• Jede quadratische Erweiterung von $\mathbb {K}$ ist algebraisch abgeschlossen.
• Jede endliche Erweiterung von $\mathbb {K}$ ist algebraisch abgeschlossen.

Auf der Eigenschaft „B-W“ beruht auch das Theorem von Charles-François Sturm zur Bestimmung über die Anzahl von Nulldurchgängen eines Polynoms in einem Intervall mit Hilfe der Sturmschen Kette aus dem Jahre 1829. Dieses gilt demnach allgemein in reell abgeschlossenen Körpern.

Weiterführende Betrachtungen

Satz 1: Adjungiert man zu einem angeordneten Körper die Quadratwurzeln aller positiven Elemente, so entsteht ein formal reeller Körper.

Mittels transfiniter Induktion (Lemma von Zorn oder Wohlordnungssatz) lässt sich zwischen einem formal reellen Körper $\mathbb {K}$ und einem algebraisch abgeschlossenen Erweiterungskörper $\mathbb {A} /\mathbb {K}$ mindestens ein reell abgeschlossener Zwischenkörper $\mathbb {P}$ finden, für den also $\mathbb {A} =\mathbb {P} [{\sqrt {-1}}]$ gilt. Ist dabei $\mathbb {A}$ abzählbar, so lässt sich hierbei sogar auf transfinite Induktion verzichten. Dies lässt sich insbesondere

• auf den algebraischen Abschluss von $\mathbb {K}$ anwenden, das heißt, wenn $\mathbb {A}$ keinen Transzendenzgrad hat, und
• auf $\mathbb {K} =\mathbb {Q}$.

Ein reeller Abschluss eines formal reellen Körpers induziert natürlich auf letzterem eine Anordnung. Formal reelle Körper können also mit mindestens einer Anordnung versehen werden: Jeder mögliche reelle Abschluss induziert eine Anordnung. Dabei müssen seine Quadrate bei jeder möglichen Anordnung positiv erscheinen. Darüber hinaus gilt: Induzieren zwei reelle Abschlüsse $\mathbb {P_{1}} ,\mathbb {P_{2}}$ auf $\mathbb {K}$ dieselbe Anordnung, so sind sie isomorphe (äquivalente) Erweiterung des angeordneten Körpers $\mathbb {K}$, das heißt es gibt einen Isomorphismus angeordneter Körper zwischen ihnen (der also ihre Anordnungen respektiert) und auf $\mathbb {K}$ die Identität ist. Also ist die Anzahl der Anordnungen auf einem formal reellen Körper gleich der Anzahl der Isomorphieklassen seiner reellen Abschlüsse. Da dieser Isomorphismus sogar eindeutig festgelegt ist, gibt es insbesondere auf einem reellen Abschluss nur einen $\mathbb {K}$-relativen Automorphismus. Reell abgeschlossene Körper sind starr.

Da der Körper $\mathbb {Q}$ (als Quotientenkörper von $\mathbb {Z}$) nur mit einer Anordnung versehen werden kann, gibt es nur eine Isomorphieklasse reeller Abschlüsse von $\mathbb {Q}$. Insbesondere ist eine formal reelle abzählbare algebraische Erweiterung $\mathbb {L} /\mathbb {Q}$ isomorph zu einem Teilkörper eines gewählten reellen Abschlusses $\mathbb {P}$, wodurch sie eine Anordnung erhält. Umgekehrt gehört zu jeder Anordnung auf $\mathbb {L}$ ein eindeutig bestimmter Isomorphismus zwischen seinem reellen Abschluss und $\mathbb {P}$. Also ist die Anzahl der Einbettungen $\mathbb {L} \hookrightarrow \mathbb {P}$ in einen reellen Abschluss von $\mathbb {Q}$ gleich der Anzahl der möglichen Anordnungen auf $\mathbb {L}$, und Einbettungen und Anordnungen korrespondieren miteinander. Dies gilt insbesondere bei $\mathbb {P} \subset \mathbb {R}$ für Einbettungen $\mathbb {K} \hookrightarrow \mathbb {R}$.

Definition: Ein Element eines formal reellen Körpers heißt total positiv, wenn es bei jeder der möglichen Anordnungen positiv ist.

Es ist also (bei Charakteristik ungleich 2) dann und nur dann total positiv, wenn es Quadratsumme ist.

Beweislabor

Grundlegende Vorüberlegung: Es sei $K$ ein Körper, $\xi \in K$ und ${\sqrt {\xi }}$ eine Quadratwurzel aus einem Wurzelkörper $W$ oder algebraischen Abschluss $A$.

Genau dann liegt ${\sqrt {\xi }}\in K$, wenn $\xi$ ein Quadrat in $K$ ist.

Betrachte nun die Quadratsumme $S:=\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}{\sqrt {\xi }}+y_{i}\right)^{2}=\underbrace {{\sqrt {\xi }}\cdot 2\cdot \sum _{i=1}^{n}y_{i}x_{i}} _{=:a}+\underbrace {\xi \cdot \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}} _{=:c}+\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}$ in $K[{\sqrt {\xi }}]\subset W$.

• (a) Wenn diese Summe in $K$ liegt, nicht aber die Quadratwurzel ${\sqrt {\xi }}$, so muss auf der rechten Seite der erste Summand $a$ verschwinden, so dass $-\xi ={\frac {-S+\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}$.
• (b) Ist $-S$ ein Quadrat (etwa $S=-1$), so bedeutet das Bestehen der obigen Gleichung für $S$, dass der Körper $K[{\sqrt {\xi }}]$ nicht formal reell ist, und es gilt dann darüber hinaus:
  • Falls $\xi$ kein Quadrat in $K$ ist, so ist $-\xi$ Quadratsumme.
  • Falls also $-\xi$ keine Quadratsumme, so ist $\xi$ Quadrat in $K$.
  • Ist also $-\xi$ keine Quadratsumme und $\xi$ kein Quadrat in $K$, so ist die obige Gleichung widerlegt und $S=-1$ kann nicht Quadratsumme im Körper $K[{\sqrt {\xi }}]$ sein, d. h., der Körper $K[{\sqrt {\xi }}]$ ist formal reell.
  • Ist $-\xi$ keine Quadratsumme und $\xi$ doch ein Quadrat in $K$, so kann $-1={\tfrac {-\xi }{\xi }}$ nicht Quadratsumme sein, so dass auch in diesem Falle der Körper $K[{\sqrt {\xi }}]=K$ formal reell ist.
  • Zusammenfassend gilt also: Ist $-\xi$ keine Quadratsumme, so ist $K[{\sqrt {\xi }}]$ formal reell (und damit erst recht der Teilkörper $K$).
• (c) Ist der Körper $K$ formal reell, nicht aber der Körper $K[{\sqrt {\xi }}]$ (so dass also das Element $\xi$ kein Quadrat in $K$ und $S=-1$ gemäß obiger Gleichung als Quadratsumme in $K[{\sqrt {\xi }}]$ darstellbar ist), so kann auf der rechten Seite der zweite Summand $c$ nicht verschwinden und $\xi$ keine Quadratsumme sein, wohingegen nach Teil (b) $-\xi$ eine Quadratsumme sein muss.

Definition: Elemente, die in jeder möglichen Anordnung positiv ausfallen, heißen total positiv.

Triviales Beispiel: Quadratsummen sind total positiv.

Unter gewissen Voraussetzungen gilt hiervon die Umkehrung, wie man zeigen kann. Dabei gestatten reell abgeschlossene Körper nur eine mögliche Anordnung:

Satz „P=QS=Q“: In einem reell abgeschlossenen Körpern gilt für jedes $\xi \neq 0$: Ist $-\xi$ keine Quadratsumme, so ist $\xi$ Quadrat, und jede Quadratsumme ist sogar Quadrat. Also ist entweder $\xi$ oder $-\xi$ ein Quadrat. Daher gestatten reell abgeschlossene Körper genau eine Anordnung und diese ist gegeben durch: Jede Quadratsumme und nur diese sind positiv.

Ein formal reeller Körper $K$ erlaubt mindestens eine Anordnung, und auch in diesem allgemeineren Falle gilt die Umkehrung der trivialen Beispiels:

Satz „TP=QS“: Ist $K$ formal reell und das Element $\xi \in K$ in jeder Anordnung positiv, so ist es Quadratsumme, das heißt: Nur Quadratsummen sind in jeder Anordnung positiv, nur Quadratsummen sind total positiv. Mit anderen Worten: Ist $\xi \in K$ keine Quadratsumme, so erscheint $\xi$ in einer der möglichen Anordnungen negativ.

Satz „P=QS=Q“ folgt aus dem stärkeren Satz „TP=QS“, der die Existenz von Anordnungen voraussetzt, die mittels transfiniter Methoden bewiesen werden kann. In Satz „P=QS=Q“ kann darauf verzichtet werden, weil der Beweis explizit die Existenz genau einer Anordnung liefert.

Beweis Satz „P=QS=Q“: Ist in der obigen Überlegung $K$ reell abgeschlossen und $\xi$ kein Quadrat in $K$, so kann der echte Erweiterungskörper $K[{\sqrt {\xi }}]$ nicht mehr formal reell sein, so dass tatsächlich eine Gleichung wie diejenige in der Überlegung mit $S=-1$ besteht. Die Vorüberlegung zeigt, dass $\xi$ einerseits (Teil (c)) keine Quadratsumme sein kann und $-\xi$ und andererseits (Teil (b)) eine Quadratsumme in $K$ ist. Kontraposition liefert: Jede Quadratsumme ist Quadrat, und: Ist $-\xi$ keine Quadratsumme, so muss $\xi$ Quadrat sein.

Beweis Satz „TP=QS“: Es sei also $\xi$ keine Quadratsumme. Nach der Vorüberlegung (b) ist dann $K[{\sqrt {-\xi }}]$ formal reell. Wie transfinite Methoden zeigen, wird jede Anordnung von einer Einbettung $K[{\sqrt {-\xi }}]\hookrightarrow \mathbb {R}$ induziert. In jeder dieser Einbettungen aber wird das Quadrat $-\xi$ positiv, $\xi$ also negativ erscheinen. Total positive Elemente sind also Quadratsummen.

Satz „B-W“: Polynome ungeraden Grades über einem reell abgeschlossenen Körper $\mathbb {P}$ haben (mindestens) eine Nullstelle in ihm, spalten also einen Linearfaktor ab. Denn irreduzible Polynome ungeraden Grades über $\mathbb {P}$ sind linear.

Beweis „B-W“: Es sei also $\mathbb {P}$ ein reell abgeschlossener Körper und $f(X)\in \mathbb {P} [X]$ ein Polynom vom ungeraden Grade $\deg f(X)=n$. Für $n=1$ ist die Behauptung trivial. Sie sei nun für ungerade Grade $n$ vorausgesetzt. Ist $f(X)$ reduzibel über $\mathbb {P}$, so ist die Induktionsvoraussetzung auf mindestens einen der Faktoren anwendbar. Wenn $f(X)$ hingegen irreduzibel vom Grade $\deg f(X)>1$ ist – was im Folgenden auf einen Widerspruch geführt wird –, so sei $y$ Wurzel in einem Zerfällungskörper, so dass $\mathbb {P} [y]\simeq \mathbb {P} [X]/(f(X))$ nicht mehr formal reell ist und also eine Gleichung $-1=\sum _{i=1}^{r}(h_{i}(y))^{2}=:H(X)$ besteht, worin $h_{i}(X)\in \mathbb {P} [X]$ Polynome vom Grade $1\leq \deg h_{i}(X)<\deg f(X)=n$, so dass $2\leq \deg H(X)\leq 2(n-1)$ und $2\mid \deg H(X)$, denn die Leitkoeffizienten der $h_{i}$ sind Quadrate, also sämtlich positiv, und der Leitkoeffizient von $H$ ergibt sich somit als eine Quadratsumme zum Grad $\deg H=2\max\{\deg h_{i},i=1,\dots ,r\}$. Wegen $H(y)+1=0$ gilt $f(X)|H(X)+1$, also etwa $-1=f(X)\cdot g(X)+H(X)$, woraus $2\nmid \deg g\leq 2(n-1)-n=n-2$ folgt. Also hat $g(X)$ nach Induktionsvoraussetzung eine Nullstelle $x\in \mathbb {P}$, für die somit $-1=H(x)$ gilt, wobei ja $H(x)$ Quadratsumme in $\mathbb {P}$ ist – im Widerspruch dazu, dass $\mathbb {P}$ formal reell ist. Also besitzt ein reell abgeschlossener Körper keine irreduziblen Polynome ungeraden Grades mit Ausnahme der linearen.

Nullstellensatz von Bolzano-Weierstrass über reell abgeschlossenen Körpern: Es sei also $\mathbb {P}$ ein reell abgeschlossener Körper und $f(X)\in \mathbb {P} [X]$ ein Polynom mit einem Vorzeichenwechsel $f(a)<0<f(b)$ zwischen $a,b\in \mathbb {P}$. Dann gibt es $c\in \left[\min(a,b),\max(a,b)\right]$ mit $f(c)=0$.

Beweis: Über $\mathbb {L} =\mathbb {P} [{\sqrt {-1}}]$ zerfällt das Polynome $f(X)$ in Linearfaktoren $X-x_{i}$, die mit seinen Nullstellen $x_{i}\in \mathbb {L}$ korrespondieren. Diejenigen $x_{i}$, welche nicht schon in $\mathbb {P}$ liegen, treten in (über $\mathbb {P}$) konjugierten Paaren auf: ${\overline {x_{i}}}=x_{j}$ für geeignetes $j$, so dass $(X-x_{i})(X-x_{j})$ Quadratsumme, also für beliebiges Einsetzen $X=x\in \mathbb {P}$ positiv ist. Also muss der Vorzeichenwechsel durch einen Linearfaktor $X-x_{k}$ mit $x_{k}\in \mathbb {P}$ bewirkt sein. Wähle $c=x_{k}$.

Satz KpTurm: Adjungiert man zu einem angeordneten Körper $\mathbb {K}$ die Quadratwurzeln seiner positiven Elemente, so bleibt die Erweiterung formal reell.

Beweis KpTurm: Angenommen es gibt eine Darstellung $-1=\sum _{i=1}^{s}\zeta _{i}^{2}$, so kämen darin die Quadratwurzeln nur endlich vieler positiver Zahlen $x_{i}\in \mathbb {K} \;(i=1,\dots ,r)$ vor. Wählt man diese Anzahl $r\leq s$ minimal ...

Bewertungstheoretischer Beweis

beim Fundamentalsatz einzufügen.

Ferner nutzt die zugrunde liegende Identität $a^{k}-z^{k}=z^{k}\cdot \left((z^{-1}\,a)^{k}-1\right)=z^{k}\cdot \prod _{i=0}^{k-1}(z^{-1}\,a-\zeta _{k}^{i})$ aus, dass $a$ mit $z$ und jeder Einheitswurzel (also mit ganz $\mathbb {C}$) vertauschbar ist, d. h., dass $\mathbb {C}$ im Zentrum von $\mathbb {L}$ liegt, was durch die Kommutativität der Erweiterung $\mathbb {L}$ gewährleistet ist, die schon bei der binomischen Formel in Artins Rechenkniff genutzt wurde.

Anmerkungen

Zusammenhang zwischen Bewertungstheorie und Theorie formal reeller Körper

Die beiden Beweise haben einen Zusammenhang, der sich folgendermaßen zusammenfassen lässt: Es sei $\mathbb {K}$ ein Körper, der in Bezug auf die von einer archimedischen Bewertung (also einem Absolutbetrag) induzierte Topologie vollständig ist. Er hat dann notwendig (!) Charakteristik 0, und bei der Bewertung $\Vert \cdot \Vert$ handelt sich um eine surjektive Abbildung $\Vert \cdot \Vert \colon \mathbb {K} ^{\times }\rightarrow \mathbb {R} _{>0}$. Es sei $\mathbb {L}$ eine endliche Körpererweiterung. Dann lässt sich die archimedische Bewertung auf die Körpererweiterung fortsetzen, die dadurch ebenfalls zu einem vollständigen topologischen Körper wird. Dabei ist $\Vert \cdot \Vert \colon \mathbb {L} ^{\times }\twoheadrightarrow \mathbb {R} ^{\times }$ eine surjektiver (!) Gruppenhomomorphismus, dessen Kern darüber entscheidet, welcher von zwei Fällen vorliegt: Entweder enthält er nur zwei Elemente ($\pm 1$, also die zweiten Einheitswurzeln), so dass der Betrag von einer Anordnung abstammt, oder er enthält mehr als zwei Elemente (nämlich Einheitswurzeln der Ordnung $n>3$), so dass der Körper nicht angeordnet werden kann.

Dabei gibt es genau zwei Fälle (siehe die Liste äquivalenter Kriterien bei

• Entweder die fortgesetzte Bewertung stammt von einer Anordnung auf $P\subset \mathbb {L}$: Dann ist $P=\mathbb {R} _{>0}$ und $\mathbb {L} =\mathbb {R} =P\uplus (-P)\uplus \{0\}$ ist ein formal reeller Körper – sogar reell abgeschlossener Körper – und $-1$ ist keine Quadratsumme (geschweige denn Quadrat), das heißt $X^{2}+1$ ist irreduzibel über $\mathbb {L}$. Der Kern $\ker \Vert \cdot \Vert =\{1,-1\}$, so dass $\mathbb {L} ^{\times }\cong \{1,-1\}\times \mathbb {R} _{>0}$.
• Oder sie stammt nicht von einer Anordnung. Dann ist $\mathbb {L} ^{\times }\cong S^{1}\times P$, wobei $S^{1}:=\{\zeta \in \mathbb {C} ,\Vert \zeta \Vert =1\}$ die Einheitssphäre $U(1,\mathbb {C} )$ in $\mathbb {L} =\mathbb {C}$ ist, und $-1$ ist ein Quadrat, das heißt $X^{2}+1$ zerfällt über $\mathbb {L}$. Denn $S^{1}$ schon durch reelle Linearkombinationen aus $1$ und einem Elemente $\zeta \in S^{1}\mathbb {R}$ darstellbar ist, liefert die quadratische Erweiterung $\mathbb {R} [i]/\mathbb {R}$ bereits ganz $S^{1}$, also die Einheitswurzeln jeder Ordnung, und ist umgekehrt jede Erweiterung $\mathbb {R} [\zeta ]$ quadratisch und gleich $\mathbb {C}$. Der Kern $\ker \Vert \cdot \Vert =S^{1}:=\{\zeta \in \mathbb {L} ,\Vert \zeta \Vert =1\}=\{e^{i\phi },\varphi \in [0,2\pi ]\}$, so dass $\mathbb {L} ^{\times }\cong S^{1}\times \mathbb {R} _{>0}=\{r\cdot \zeta ,(r,\zeta )\in \mathbb {R} _{>0}\times S^{1}\}$.

Es entscheidet sich alles daran, welche Gestalt der Kern des Absolutbetrages hat, also ob die folgende Bedingung gilt (erster Fall) oder nicht:

• Die „Einheits-Sphäre“ $\mathbb {S_{L}} :=\{y\in \mathbb {L} ;\Vert y\Vert =1\}=\ker \left(\Vert \cdot \Vert \right)$ enthält nur zwei Elemente.

Anmerkung zum Satz von Gelfand-Mazur

Beweis nach Helmut Hasse 1931 (bzw. Zahlentheorie, II. Theorie der bewerteten Körper, § 13 Die Typen archimedisch bewerteter vollständiger Körper, Seite 183): Helmut Hasse erwähnt, dass der folgende Satz auf Ostrowski zurückgehe: Es gibt nur zwei Typen archimedisch bewerteter vollständiger Körper: $\mathbb {R}$ und $\mathbb {C}$.

Zum Satz von Gelfand-Mazur

Geschichte

Stanisław Mazur kündigte 1938 unter Bezugnahme auf ein „wohlbekanntes Theorem von G. Frobenius“ (und einigen Erkenntnissen aus dem von Leonard E. Dickson gegebenen Beweis) ein Theorem für reelle Algebren an, ohne den Fall komplexer Algebren explizit zu erwähnen. Sein Theorem besagt, dass eine reelle normierte Divisionsalgebra isomorph zum Körper $\mathbb {R}$ der rellen, zum Körper $\mathbb {C}$ der komplexen Zahlen oder aber zur reellen Divisionsalgebra $\mathbb {H}$ der Hamiltonschen Quaternionen ist: „Theorème I – Chaque domaine de rationalité du type (B*) est isomorphe au domaine de rationalité des nombres réels, des nombres complexes ou des quaternions.“ Die Einzelheiten des Beweises von Mazur erschienen nicht in seiner knapp dreiseitigen Ankündigung, deren letzte Seite erst seine neuen Resultate zusammenfasst, wohl aber die Beweisidee (mit Bezug zu den Erkenntnissen aus Dicksons Beweisführung, die zuvor erwähnt wurden). James Michael Gardner Fell und Robert S. Doran und Wiesław Żelazko zufolge habe der Herausgeber der Comptes Rendus den Beweis seiner Länge wegen nicht abdrucken wollen. Pierre Mazet hingegen beschreibt den Beweis als „très succincte“.

Als Theorem II formuliert Mazur, dass jede reelle normierte Algebra, deren Norm sogar multiplikativ ist ($\Vert ab\Vert =\Vert a\Vert \,\Vert b\Vert$) ebenfalls isomorph zum Körper $\mathbb {R}$ der rellen, zum Körper $\mathbb {C}$ der komplexen Zahlen oder aber zur reellen Divisionsalgebra $\mathbb {H}$ der Hamiltonschen Quaternionen ist: „Theorème I – Chaque anneau du type (B*), dont la norm satisfait à la condition $\vert A\,B\vert =\vert A\vert \,\vert B\vert$, est équivalent au domaine de rationalité des nombres réels, des nombres complexes ou des quaternions.“

Als erster veröffentlichte Israel Gelfand 1939 und ausführlicher 1941 einen Beweis für den Fall komplexer Algebren: Es ist der bekannte, elegante Beweis, in dem der Satz von Liouville, angewandt auf die Resolventen-Funktion, den gewünschten Widerspruch liefert.

Mazur hingegen führt seinen Satz auf das Ergebnis von Frobenius zurück: Er zeigt, dass eine normierte reelle Algebra $A$ die Voraussetzungen des Satzes erfüllen muss, das heißt, dass jedes ihrer Elemente algebraisch über $\mathbb {R}$ ist. Dazu führt er die Annahme, dass ${\displaystyle }$ ein über $\mathbb {R}$ transzendentes Element enthält zu dem Widerspruch, dass sich dann keine Norm auf der Algebra $A$, die ja den rationalen Funktionenkörper $\mathbb {R} (X)$ enthält, definieren ließe. Dazu benutzt er harmonische Funktionen und ebenfalls den Satz von Liouville.

Den Beweis von Mazur veröffentlichte 1968 sein Schüler Wiesław Żelazko in seinem Buch Algebry Banacha.

Näheres zur Geschichte lässt sich dem Artikel von Pierre Mazet entnehmen, welcher ebenfalls den Beweis skizziert. ACHTUNG: Offenbar liefert Pierre Mazet eine kompaktere Darstellung als Wiesław Żelazko. Ich muss beide noch mal genau lesen.

ACHTUNG: Unterscheide isometrischer Isomorphismus=Norm-Isomorphimus von bistetigem (homöomorphem) Isomorphismus. Auch im Artikel zum Satz von Gelfand-Tornheim.

Literatur zur Geschichte

• Ferdinand Georg Frobenius: Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen (= J. reine ang. Math. Band 84). 1878, S. 1–63.  online bei Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek (SUB) Göttingen
• Stanisław Mazur: Sur les anneaux linéaires (= C. R. Acad. Sci. Band 207). Paris 1938, S. 1025–1027 (französisch, Séance du 14 novembre 1938). , online bei Bibliothèque nationale de France (PDF), Abruf am 2023-02-10.
• Israel Gelfand: On normed rings (= C. R. (Dokl.) Acad. Sci. URSS. Band 23). 27. März 1939, S. 430–432. 
• Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. 9 (51):1: Author Index. Vier Arbeiten von Israel Gelfand, darunter auch „Normierte Ringe“. 1941, abgerufen am 12. Februar 2023. 
  • Israel Gelfand: Normierte Ringe (= Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. Band 9(51):1). 1941, §3 Normierte Körper, Satz 3, Seite 8 (24 S.). 
• Wiesław Żelazko: Algebry Banacha (= Biblioteka Matematyczna 32). Panstwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1968 (polnisch). , englische Übersetzung:
  • Wiesław Żelazko: Banach algebras. Modern Analytic and Computational Methods in Science and Mathematics. Elsevier Publishing Company, Amsterdam 1973, S. 19–22. 
• Gottfried Köthe: Stanislaw Mazur’s contributions to functional analysis (= Math. Ann. Band 277). 1987, insb. Abschnitt 9 Normed Algebras (Seite 509 f.), S. 489–528.  online bei Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek (SUB) Göttingen
• James Michael Gardner Fell, Robert S. Doran: Representations of *-Algebras, Locally Compact Groups, and Banach *-Algebraic Bundles (= Basic Representation Theory of Groups and Algebras. vol. 1). Academic Press, 1988, ISBN 978-0-12-252721-0, S. 375 (746 S.). , online bei Google-Books
• Pierre Mazet: La preuve originale de S. Mazur pour son théorème sur les algèbres normées. (PDF) In: Gazette de la SMF. Abgerufen am 10. März 2023 (französisch). 

Quasi-Betrag oder verallgemeinerter Betrag

Definition

„Valuation“ bei mathworld.wolfram.com „Valuation“ bei planetmath.org

tabellarisch:

• Positive Definitheit
• Multiplikativität (woraus $|1|=1$ folgt).
• verallgemeinerte Dreiecksungleichung mit einer Konstante $C\geq 1$.
  • $|x+y|\leq C\cdot \max(|x|,|y|)$
  • $|x+1|\leq C\cdot \max(|x|,1)$
  • $|x|\leq 1\Rightarrow |x+1|\leq C{\dot {1}}$

Primstellen

Definition

Äquivalenz, falls gleich Topologie induziert. Satz: Äq genau dann wenn $|\cdot |_{1}=|cdot|_{2}^{r}$ mit $r>0$.

Klassifikation

• diskret = nicht-archimedisch = endlich, falls $C=1$: Die verallgemeinerte Dreiecksungleichung wird dann zur schärferen Ultra-Dreiecksungleichung.
• (indiskret), archimedisch = unendlich, falls $C>1$: Dann ist die Charakteristik gleich Null.

Körper mit positiver Charakteristik haben nur diskrete Primstellen.

Jeder verallgemeinerter Betrag lässt sich durch einen äquivalenten mit $C\in \{1,2\}$ repräsentieren. Bei $C>1$ lässt sich also Repräsentant mit $C=2$ finden.

In beiden Fällen gilt sogar die Dreiecksungleichung $|x+y|\leq |x|+|y|$. Aus dieser folgt zudem $|x-y|\geq \left\vert \,|x|-|y|\,\right\vert$.

Über die Gesamtheit möglicher Primstellen auf $\mathbb {Q}$ gibt der Satz von Ostrowski Auskunft: Es gibt nur die $p$-adischen ($p$ Primzahl) und den gewöhnlichen Absolutbetrag. Sie hängen über die Produktformel zusammen.

Zusammenhang mit Normen von Algebren

Homogenität.

Fortsetzungen von Primstellen

Allgemein: Geyer mit Artins Rechenkniff.

Archimedische Primstellen

Darüber geben Auskunft:

• Vollständigkeitssatz von Ostrowski (1916/1918), erneut 1935 in großer zweiteiliger Abhandlung zur „Arithmetischen Theorie von Körpern“.
• Satz von Gelfand-Tornheim.
• Satz von Gelfand-Mazur (1938, 1939, 1941)

endliche Primstellen

Lemma von Hensel (siehe vdWaerden).

Zum Satz von Ostrowski

Vollständigkeitssatz

Ostrowskis Beweis ist ausbaufähig, wie Leonard Tornheim 1952 gezeigt hat: Er lässt sich modifizieren zum Beweis des Satzes von Gelfand-Tornheim bzw. des Satzes von Gelfand-Mazur, ja sogar bis hin zur vollständigen Übertragung des Ergebnisses von Ferdinand Georg Frobenius über endlichdimensionale reelle Algebren von aus dem 1877 auf normierte reelle Algebren: Es gibt bis auf (topologische, ja isometrische) Isomorphie nur $\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ und $\mathbb {H}$.

Zum Satz von Frobenius (reelle Divisionsalgebren)

Ergänzung des elementaren Beweises nach Pontrjagin, Topologische Gruppen, Teil 1 bzw. seiner Arbeit Über stetige algebraische Körper (1932).

Wahrscheinlich gibt Pontrjagin hier den Beweis von Leonard Dickson wieder, auf den er am Ende seines Artikels Über stetige algebraische Körper verweist und der sich in Leonard Dicksons Buch Algebren und ihre Zahlentheorie (deutsche Ausgabe, Seite 46, Satz V) befinden soll, siehe Lew Semjonowitsch Pontrjagin: Ueber stetige algebraische Körper (= Annals of Mathematics, II. Series. Vol. 33, No. 1). Januar 1932. 

Frobenius gab also 1877 eine Klassifikation endlichdimension aller reeller Divisionsalgebren.

Im Jahre 1881 gab Charles Sanders Peirce einen Beweis, der leicht verallgemeinert zur Klassifikation aller reellen Divisionsalgebren $\mathbb {D}$, deren kommutative Zwischenkörper $\mathbb {R} (a)$ für jedes Element $a\in \mathbb {D}$ algebraisch oder (äquivalent) endlichdimensional über $\mathbb {R}$ sind. Der Fundamentalsatz der Algebra zeigt, dass es dabei in Wahrheit höchstens nur um quadratische Erweiterungen geht.

Der Satz von Gelfand-Tornheim bzw. der Satz von Gelfand-Mazur besagen, dass sich die Klassifikation reeller normierter Divisionsalgebren auf die Klassifikation nach Charles S. Peirce zurückführen lässt und dieselben Archetypen $\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H}$ identifiziert.

Elementarer Beweis von Charles S. Peirce (1881)

Im Jahre 1881 veröffentlichte Charles Sanders Peirce eine elementaren Beweis für die folgende Aussage, die etwas schwächere Voraussetzungen hat als der Satz von Frobenius:

Es sei $\mathbb {D}$ eine reelle Divisionsalgebra, in der jedes Element reell algebraisch (das heißt, Nullstelle eines reellen Polynoms) ist. Dann ist $\mathbb {D} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} \}$.

Beweis: Jedes Element $a\in \mathbb {D}$ Nullstelle seines Minimalpolynoms $\mu _{a}(X)\in \mathbb {R} [X]$, und $\mathbb {R} [a]\simeq \mathbb {R} [X]/(\mu _{a}(X))$ ein (kommutativer) Teilkörper der Divisionsalgebra $\mathbb {D}$ und endlicher Erweiterungskörper von $\mathbb {R}$ ist . Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat $\mu _{a}$ als irreduzibles Polynome den Grad $\deg \mu _{a}(X)\leq 2$. (Also bedeutet es keine Einschränkung im Satz anzunehmen, dass jedes Element $a\in \mathbb {D}$ einer quadratischen Gleichung genügt.) Für das Folgende wird die Einbettung $\mathbb {R} \hookrightarrow \mathbb {D} ,x\mapsto x\cdot 1_{\mathbb {D} }$ als vollzogen angenommen, das heißt, $\mathbb {R}$ wird als reeller Unterraum der reellen Divisionsalgebra betrachtet: $\mathbb {R} \subset \mathbb {D}$.

C. S. Peirce' Beweisschritte sind:

1. Jedes Element $a\in \mathbb {D}$ besitzt eine eindeutige Darstellung als Summe $a=s(a)+v(a)$ mit $s(a)\in \mathbb {R} \subset \mathbb {D}$ und $v(a)\in \mathbb {J} :=\{a\in \mathbb {D} \mid 0\geq a^{2}\in \mathbb {R} \}$. Dabei ist $\mathbb {R} \cap \mathbb {J} =\emptyset$.
2. Die Abbildungen $s\colon \mathbb {D} \to \mathbb {R}$ und $v\colon \mathbb {D} \to \mathbb {J}$ sind somit wohldefiniert, und dabei gilt: $a\in \mathbb {J} \Leftrightarrow s(a)=0\Leftrightarrow v(a)=a$.
3. $\mathbb {J}$ ist ein reeller Unterraum der Divisionsalgebra $\mathbb {D}$ aufgefasst als Vektorraum über $\mathbb {R}$.
4. Die Divisionsalgebra besitzt also – aufgefasst als reeller Vektorraum – die Zerlegung $\mathbb {D} =\mathbb {R} \oplus \mathbb {J}$ in reelle Unterräume.
5. Dabei gilt: $\dim \mathbb {J} \quad {\begin{cases}=0&\Rightarrow \mathbb {D} =\mathbb {R} {\text{.}}\\=1&\Rightarrow \mathbb {D} =\mathbb {C} {\text{.}}\\>1&\Rightarrow \mathbb {D} =\mathbb {H} {\text{.}}\end{cases}}$

zu 1.: Klar ist $\mathbb {R} \cap \mathbb {J} =\{0\}$. Zur Zerlegung eines $a\in \mathbb {D}$ betrachte sein Minimalpolynom $\textstyle \mu _{a}(X)=:X^{2}+pX+q=\left(X-{\frac {p}{2}}\right)^{2}+\left[q-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}\right]$. (Der Fall eines linearen Minimalpolynoms bedeutet $a\in \mathbb {R}$.) Da $\mu _{a}(X)$ reell irreduzibel ist (d. h, keine reellen Nullstellen besitzt), gilt $\textstyle \left(a-{\frac {p}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q<0$, also $\textstyle v:=a-{\frac {p}{2}}\in \mathbb {J}$, was die Zerlegung liefert (mit $\textstyle s={\frac {p}{2}}$).

Setzt man für ein $a\in \mathbb {D}$ mit quadratischem Minimalpolynom $\mu _{a}(X)=X^{2}+pX+q$ zur Bequemlichkeit $S(a)=-p\in \mathbb {R}$ und $N(a)=q\in \mathbb {R}$, so erhält man also eine Zerlegung durch $\textstyle a=\underbrace {-{\frac {1}{2}}\,S(a)} _{=:s}+\underbrace {\left[a+{\frac {1}{2}}\,S(a)\right]} _{=:v}$. Der Fall $N(a)=0$ ist der Irreduzibilität wegen ausgeschlossen. Der Fall $S(a)=0$ bedeutet $a^{2}\leq 0$, das heißt $a\in \mathbb {J}$.

Übrigens berechnet man leicht $\mu _{a}(X+r)$ für $r\in \mathbb {R}$ und folgert aus $\textstyle 0=\mu _{a}(a)=\mu _{a}((a-r)+r)=\mu _{a}(X+r){\big \vert }_{X=a-r}$, dass $\mu _{a-r}(X)=\mu _{a}(X+r)$. Für $r=S(a)$ berechnet man $\mu _{a-S(a)}(X)=X^{2}+N(a-S(a))$, also $S(a-S(a))=0$.

$\textstyle 0=\mu _{a}(X)\mu _{a}({\frac {1}{r}}Xr)=\mu _{a}(Xr){\big \vert }_{X={\frac {1}{r}}a}$, also $\textstyle \mu {{\frac {1}{r}}a}(X)={\frac {1}{r^{2}}}\cdot \left[\mu _{a}(rX)=X^{2}-S(a)rX+\right]N(a)$, so dass also $S(ra)=r\,S(a)$ und $N(ra)=r^{2}\,N(a)$.

Ist $a=s'+v'=s+v$ eine zweite Zerlegung, so folgt $v^{2}=(v'+(s'-s))^{2}=(v')^{2}+2v'(s'-s)+(s'-s)^{2}$. Es muss daher $v'(s'-s)=0$ gelten, woraus die Eindeutigkeit folgt.

Es seien also für jedes $a\in {\mathit {D}}$ die reellen („skalaren“) und imaginären („vektoriellen“) Komponenten definiert durch $a=:s(a)+v(a)=:s_{a}+v_{a}$ mit $s(a)\in \mathbb {R} \subset \mathbb {D}$ und $v(a)\in \mathbb {J}$.

zu 2.: Dies ist eine einfache Folgerung aus Textziffer 1.

Folgerung aus der eindeutigen Zerlegung

no	Angesichts der Gleichheit $\mathbb {J} =\{a\in \mathbb {D} \mid s(a)=0\}$ sind folgende Aussagen äquivalent:	Begründung
1	$\mathbb {J}$ ist ein reeller Unterraum der Divisionsalgebra $\mathbb {D}$ aufgefasst als Vektorraum über $\mathbb {R}$, das heißt $\operatorname {span} _{\mathbb {R} }(\mathbb {J} )\subset \mathbb {J}$.	Folgt aus 2, weil …
2	Die Abbildung $s\colon \mathbb {D} \to \mathbb {R}$ ist reell linear.	Beispiel
3	$\mathbb {J}$ ist bezüglich Addition eine (Halb-)Gruppe: $a,b\in \mathbb {J} \Rightarrow a+b\in \mathbb {J}$.	Beispiel
4	Die Abbildung $s\colon \mathbb {D} \to \mathbb {R}$ ist additiv.	Beispiel
5	$v(ab+ba)=0$.	Beispiel
6	$s(ab+ba)=ab+ba$.	Beispiel
7	$ab+ba\in \mathbb {R}$.	Beispiel

• „1 $\Leftarrow$ 2“: Denn $\mathbb {J} =s^{-1}(0)$.
• „2 $\Leftrightarrow$ 3“: Da in einem angeordneten Körper wie $\mathbb {R}$ Quadrate positiv sind, gilt für $a\in \mathbb {J}$ stets $(r\,a)^{2}=r^{2}\,a^{2}<0$. Also gilt $r\,v(a)\in \mathbb {J}$ für jedes $a\in \mathbb {D}$. Damit ist die reelle Homogenität ohnehin klar: $s(ra)=rs(a)$. Also folgt aus der bloßen Addivität $s(a+b)=s(a)+s(b)$ bereits die umfassendere reelle Linearität.
• „3 $\Leftrightarrow$ 4“:
• „4 $\Leftarrow$ 5“: Allgemein gilt $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+ab+ba$. Speziell für $a,b\in \mathbb {J}$ folgt daraus $a+b\in \mathbb {J} \Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+ab+ba\leq 0\Leftrightarrow ab+ba\in \mathbb {R}$. Ist nämlich $0\leq a^{2}+b^{2}+ab+ba=(a+b)^{2}$, so ist $a+b\in \mathbb {R} \cap \mathbb {J} =\{0\}$. Also ist $ab+ba\in \mathbb {R}$ tatsächlich schon hinreichendes Kriterium.
• „5 $\Leftrightarrow$ 6 $\Leftrightarrow$ 7“: Klar aufgrund der eindeutigen Zerlegung.
• „1 $\Leftarrow$4“: Gleiches Argument wie bei „4 $\Leftarrow$ 5“.

Definiere $s(ab+ba)=:s(a,b)$ und $v(ab+ba)=:v(a,b)$ für $a,b\in \mathbb {D}$.

zu 3.: Nun zeige $\operatorname {span} _{\mathbb {R} }\mathbb {J} \subset \mathbb {J}$: Dazu seien also $a,b\in \mathbb {J}$ ausgewählt. Zu zeigen ist $s(xa+yb)=0$ für jede reelle Linearkombination von $a,b\in \mathbb {J}$, wobei nur der Fall $xy\neq 0$ fraglich und zu beweisen ist.

Es gilt:

${\begin{aligned}s(xa+yb)^{2}+2\,s(xa+yb)\,v(xa+yb)+v(xa+yb)^{2}&=&(xa+yb)^{2}&=&x^{2}\,a^{2}+y^{2}\,b^{2}+xy\,(ab+ba)\\&&&=&x^{2}\,a^{2}+y^{2}\,b^{2}+xy\,(s(a,b)+v(a,b))\end{aligned}}$

Wegen der Eindeutigkeit der Summenzerlegung (Textziffer 1) müssen die imaginären Anteile stets identisch sein:

$2\,s(xa+yb)\,v(xa+yb)=xy\,v(a,b)$

(*)

Nun darf $v(xa+yb)\neq 0$ angenommen werden, denn andernfalls ist $xa+yb=r\in \mathbb {R}$, also $xa=r-yb$, also der Eindeutigkeit wegen $r=0$ und folglich $a,b$ reell linear abhängig, mithin $s(xa+yb)=0$, wie gewünscht. Hiermit ist für $a,b\in \mathbb {J}$ gezeigt: $v(xa+yb)=0\Rightarrow xa+yb=0$.

Es sei daher nun vorausgesetzt, dass $a,b\in \mathbb {J}$ reell linear unabhängig sind, also $v(xa+yb)=0$ nur für $a=0=b$.

Unter der Annahme, dass $v(a,b)\neq 0$, gilt dann die Implikation $xy\neq 0\Rightarrow s(xa+yb)\neq 0$, und für $xy\neq 0$ also stets

$xa+yb=s(xa+yb)+v(xa+yb)=s(xa+yb)+{\frac {xy}{2\,s(xa+yb)}}\,v(a,b)$

In dieser Gleichung im Schiefkörper $\mathbb {D}$ mit den Unbekannten $a,b$ und $v(a,b)$ wähle man zwei Paare $(x,y),(x',y')$ reeller Koeffizienten mit den Eigenschaften $xy\neq 0\neq x'\,y'$ und $(x',y')\notin \mathbb {R} (x,y)$, so dass zwei linear unabhängige Gleichungen entstehen, aus denen sich die Unbekannte $v(a,b)$ eliminieren lässt zu einer Gleichung $x''a+y''b=r''$ mit reellen $x'',y'',r''\in \mathbb {R}$ und ${x''}^{2}+{y''}^{2}>0$ (also $x'',y''$ verschwinden nicht beide), woraus (wie soeben) die lineare Abhängigkeit von $a,b$ folgt, was ausgeschlossen war.

Also ist die Annahme falsch, und stattdessen gilt $v(a,b)=0$, das heißt $ab+ba\in \mathbb {R}$ für Elemente $a,b\in \mathbb {J}$. Wegen Gleichung (*) folgt hieraus $s(xa+yb)=0$ und damit die Tatsache, dass $\mathbb {J} <\mathbb {D}$ reeller Unterraum ist, wie gewünscht. Die Abbildungen $s,S\colon \mathbb {D} \to \mathbb {R}$ sind also reell linear, ebenso wie $v\colon \mathbb {D} \to \mathbb {J}$.

zu 4.: Diese Formulierung fasst die bisherigen Ergebnisse zusammen. Es besteht also die spaltende exakte Sequenz $0\longrightarrow \mathbb {J} \longrightarrow \mathbb {D} {\stackrel {s}{\;\longrightarrow \;}}\mathbb {R} \longrightarrow 0$.

Folgerung aus der Zerlegung $\mathbb {D} =\mathbb {R} \oplus \mathbb {J}$

no	Schlagwort	Erläuterung
1	Erinnerung	Da in $\mathbb {R}$ (als einem angeordneten Körper) jedes Quadrat positiv ist, gilt – wie oben bereits festgestellt – die Implikation $a\in \mathbb {J} \Rightarrow \forall r\in \mathbb {R} :r\,a\in \mathbb {J}$, da ja $(ra)^{2}=r^{2}\,a^{2}\leq 0$.
2	Normalisierung	Da umgekehrt in $\mathbb {R}$ jede positive Zahl ein Quadrat ist, lässt sich jede imaginäre Größe $a\in \mathbb {J} \backslash \{0\}$ normalisieren, das heißt zu einer „Einheit“ skalieren: Ist nämlich $a^{2}=-r^{2}$ mit einem $r>0$, so ist $\textstyle {\frac {1}{r}}\,a\in \mathbb {J}$ mit $\textstyle ({\frac {1}{r}}\,a)^{2}=-1$
3	Orthogonalisierung:	Peirce rechnet das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren am Beispiel des reellen Vektorraums $\mathbb {J}$ per pedes durch. Dabei legt er (implizit) das Skalarprodukt $\mathbb {J} \times \mathbb {J} \to \mathbb {R} ,\,(a,b)\mapsto \langle a,b\rangle :=\pm s(ab)$ zugrunde, so dass $a\bot b\Leftrightarrow s(ab)=0\Leftrightarrow ab\in \mathbb {J}$. Mit anderen Worten wird (für $m=2,4$) gezeigt: Ist ein System $m$ linear unabhängiger Elemente $a_{1},\dots ,a_{m}\in \mathbb {J}$ gegeben, so können Sie (mit einer geeigneten regulären Matrix) zu einem Orthogonalsystem $b_{1},b_{2}\dots ,b_{m}\in \mathbb {J}$ transformiert werden, in dem je zwei Elemente zueinander orthogonal stehen. Der Beweis nimmt per Induktion an, dass dies für $b_{1},\dots ,b_{m-1}$ schon vollzogen sei. Ist $a_{m}b_{\mu }=s_{\mu }+v_{\mu }$ für $\mu =1,\dots ,m-1$, so ist $a_{m}\rightsquigarrow b_{m}:=a_{m}+\sum _{\nu =1}^{m-1}s_{\nu }b_{\nu }\neq 0$ die gesuchte Transformation, denn für $\mu =1,\dots ,m-1$ ist $b_{m}b_{\mu }=a_{m}b_{\mu }+\sum _{\nu =1}^{m-1}s_{\nu }b_{\nu }b_{\mu }=s_{\mu }+v_{\mu }+\underbrace {s_{\mu }\,(b_{\mu })^{2}} _{=-s_{\mu }}+\sum _{\nu =1 \atop \nu \neq \mu }^{m-1}s_{\nu }b_{\nu }b_{\mu }\in \mathbb {J}$ gemäß Voraussetzung, das heißt $b_{m}\bot b_{\nu }$, wie gewünscht.
4	Orthonormalisierung	Sind also $m$ linear unabhängige Elemente aus $\mathbb {J}$ gegeben, so kann man ohne Einschränkung annehmen, dass es sich um ein Orthonormalsystem aus Einheiten handelt.

Zu zeigen bleibt u.a., dass notwendig $m\leq 3$ und dass sich solche Einheiten im Falle $m=3=\dim \mathbb {J}$ wie die Hamiltonschen Quaternionen verhalten.

zu 5.: Der Fall $\mathbb {J} =\{0\}$ liefert offenkundig $\mathbb {D} =\mathbb {R}$, der Fall und $\dim \mathbb {J} =1$ liefert $\mathbb {J} \simeq \mathbb {R} \,\mathrm {i}$ und $\mathbb {D} \simeq \mathbb {C}$. Einzig der Fall $\dim \mathbb {J} >1$ erfordert nähere Betrachtung. Dazu wird gezeigt: $\dim \mathbb {J} \geq 2\Rightarrow 3{\stackrel {\text{(i)}}{\;\leq \;}}\dim \mathbb {J} {\stackrel {\text{(ii)}}{\;\leq \;}}3$.

Es seien dazu zunächst $\mathrm {i} ,\mathrm {j} \in \mathbb {J}$ gewählt und (ohne Einschränkung) so skaliert, dass $\mathrm {i} ^{2}=-1=\mathrm {j} ^{2}$. Dann sind äquivalent:

• $\mathrm {k} :=\mathrm {i} \,\mathrm {j} \in \mathbb {J}$
• $\mathrm {i} \bot \mathrm {j}$
• $\mathrm {i\,j} +\mathrm {j\,k} =0$
• $\mathrm {i} ,\mathrm {j}$ sind reell linear unabhängig.
• $\mathrm {i} ,\mathrm {j} ,\mathrm {k}$ sind reell linear unabhängig.

Wir zeigen, dass in diesem Fall $\mathrm {i} ,\mathrm {j} ,\mathrm {k}$ sich wie Quaternioneneinheiten in $\mathbb {H}$ verhalten und linear unabhängig über $\mathbb {R}$ sind, so dass $\mathbb {D} \hookrightarrow \mathbb {H}$.

(Auf die Normierung verzichten wir mal zunächst, da wir auch $\mathbb {Q}$ im Blick haben, verallgemeinerte Quaternionenalgebren …)

Nach Voraussetzung gelte $\mathrm {i} ^{2}=-r<0$, $\mathrm {j} ^{2}=-s<0$ und $\mathrm {k} ^{2}=-t<0$. Es ist $\mathrm {k} \mathrm {j} \mathrm {i} =\mathrm {i} \mathrm {j} \mathrm {j} \mathrm {i} =(-r)\,(-s)=rs>0$, also $\textstyle \mathrm {k} {\frac {1}{rs}}\mathrm {j} \mathrm {i} =1$, so dass $\textstyle {\frac {1}{rs}}\mathrm {j} \mathrm {i} =\mathrm {k} ^{-1}={\frac {-1}{t}}\mathrm {k} ={\frac {-1}{t}}\mathrm {i} \mathrm {j}$. Da $\mathbb {J}$ reeller Unterraum ist, muss $(\underbrace {\mathrm {i} +\mathrm {j} } _{\in \mathbb {J} })^{2}=-s-r+\mathrm {i} \mathrm {j} +\mathrm {j} \mathrm {i}$ reell (sogar negativ) sein, also auch $\mathrm {i} \mathrm {j} +\mathrm {j} \mathrm {i}$ (das gilt allgemein für $a,b\in \mathbb {J}$). Damit gilt $\textstyle {\frac {1}{rs}}\mathrm {j} \mathrm {i} ={\frac {-1}{t}}\mathrm {i} \mathrm {j} ={\frac {1}{t}}\mathrm {j} \mathrm {i}$, also $t=rs$. Für $r=1=s$ ist auch $t=1$, d. h.: Sind zwei der drei Einheiten, so auch die dritte.

Das Inverse von $\mathrm {i} \mathrm {j} =\mathrm {k}$ ist $\mathrm {j} \mathrm {i} =-\mathrm {k}$ oder äquivalent $\textstyle \mathrm {j} ^{-1}\,\mathrm {i} ^{-1}=\mathrm {k} ^{-1}={\frac {-1}{t}}\mathrm {k}$.

Multiplikation von links mit $\mathrm {i}$ ergibt $\mathrm {j} =-\mathrm {i\,k}$. Entsprechend ergeben sich auch die übrigen Relationen.

In einer Gleichung $0=x\mathrm {i} +y\mathrm {j} +z\mathrm {k}$ mit reellen $x,y,z\in \mathbb {R}$ ergibt Multiplikation von links mit $\mathrm {k}$ die Relation $y\mathrm {j} =z\mathrm {i} +z$, so dass der Eindeutigkeit wegen $z=0$ also $x\mathrm {i\,j} =-y$ folgt. Wegen $(\mathrm {i\,j} )^{2}=-1$ geht dies nur für $x=0=y$. Also sind $\mathrm {i,j,k}$ linear unabhängig.

• zu (i): Nun seien zwei reelle linear unabhängige Elemente $\mathrm {a,b} \in \mathbb {J}$ gegeben. Dann lassen sich $\mathrm {i,j,k} :=mathrm{ij}\in \mathbb {J}$ finden, die also ebenfalls linear unabhängig sind und sich wie Quaternioneneinheiten verhalten.

• zu (ii): Es sei also $\dim \mathbb {J} \geq 3$, so dass $\mathbb {H} \hookrightarrow \mathbb {D}$ und $\mathrm {i,j,k} \in \mathbb {J}$. Annahme: Es gebe $\mathrm {l} \in \mathbb {J}$, so dass $\mathrm {i,j,k,l} \in \mathbb {J}$ reell linear abhängig sind. Ohne Einschränkung sei $\mathrm {l} ^{2}=-1$.

Epilog

Für $a\in \mathbb {D}$ setze ${\overline {a}}:=s(a)-v(a)$, so ist $S(a)=a+{\overline {a}}=2\,s(a)$ und $N(a)=a\cdot {\overline {a}}=s(a)^{2}-v(a)^{2}\geq 0$. Trivialerweise gilt ${\overline {ra}}=r\,{\overline {a}}$ für $r\in \mathbb {R}$, da dies auch für $s(a),S(a)$ und $v(a)$ gilt. Es wurde gezeigt, dass die Spur $S(\cdot )\colon \mathbb {D} \to \mathbb {R}$ additiv und mithin $\mathbb {R}$-linear ist. Die Norm $N(\cdot )\colon \mathbb {D} \to \mathbb {R}$ ist multiplikativ, also auf $\mathbb {D} ^{\times }\to \mathbb {R} ^{\times }$ ein Gruppenhomomorphismus. Daher liefert $\vert \cdot \vert \colon \mathbb {D} \to \mathbb {R} _{\geq 0},\,a\mapsto {\sqrt {N(a)}}$ eine Bewertung (und erst recht eine reelle Norm), wenn es die Dreiecksungleichung erfüllt.

Für $a,b\in \mathbb {J}$ mit $a=a_{1}\,\mathrm {i} +a_{2}\,\mathrm {j} +a_{3}\,\mathrm {k}$ und $b=b_{1}\,\mathrm {i} +b_{2}\,\mathrm {j} +b_{3}\,\mathrm {k}$ gilt $\textstyle a\,b=\underbrace {-\sum _{\nu =1}^{3}a_{\nu }b_{\nu }} _{=s(a\,b)\in \mathbb {R} }+\underbrace {\mathrm {i} \,{\begin{vmatrix}a_{2}&b_{2}\\a_{3}&b_{3}\end{vmatrix}}-\mathrm {j} \,{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{3}&b_{3}\end{vmatrix}}+\mathrm {k} \,{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}} _{={\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&\mathrm {i} \\a_{2}&b_{2}&\mathrm {j} \\a_{3}&b_{3}&\mathrm {k} \end{vmatrix}}=v(a\,b)\in \mathbb {J} }$, wobei ${\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}:=\det A$ für eine Matrix definiert sei. Das Produkt $a\,b$ auf $\mathbb {J}$ lässt sich also mit Skalarprodukt $\textstyle \left\langle {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}\right\rangle$ und Vektorprodukt (Kreuzprodukt) $\textstyle {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}$auf dem dreidimensionalen reellen Raum $\mathbb {J}$ (bezogen auf die Basisvektoren $1,\mathrm {i,j,k}$) ausdrücken:

$a\,b=-\left\langle {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}\right\rangle +{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}$

Für das Kreuzprodukt gilt bekanntlich:

$\left({\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}\right)$

Literatur

• Benjamin Peirce: Linear Associative Algebra. In: American Journal of Mathematics, vol. 4, no. 1,. 1881, S. 221–226., abgerufen am 13. März 2023. 
  • online: doi:10.2307/2369153
• Richard Palais: The classification of real division algebras (= American Mathematical Monthly. Band 75). 1968, S. 366–368. 
  • online: Home Page of Richard S. Palais (PDF, Abruf am 2023-03-13)

Satz von Gelfand-Tornheim

Der Satz von Gelfand-Tornheim zeichnet die beiden Körper $\mathbb {R}$ und $\mathbb {C}$ als die beiden einzigen Archetypen reeller normierter Körper aus, woraus unmittelbar folgt, dass jeder archimedisch bewertete Körper ein Teilkörper von $\mathbb {C}$ versehen mit dem gewöhnlichen Absolutbetrag $\vert \cdot \vert$ ist. Beide Aussagen werden als Satz von Gelfand-Tornheim zitiert.

Die letzte Aussage hat Alexander Markowitsch Ostrowski bereits 1916 bewiesen, 1918 als „Vollständigkeitssatz“ veröffentlicht. Er lautet: Jeder archimedisch bewertete Körper $({\mathit {K}},\vert \cdot \vert )$ ist Teilkörper von $\mathbb {C}$ versehen mit dem gewöhnlichen Absolutbetrag. Ist ${\mathit {K}}$ zudem vollständig oder enthält $\mathbb {R}$, so ist ${\mathit {K}}$ gleich $\mathbb {C}$ oder gleich $\mathbb {R}$. Der Vollständigkeitssatz von Ostrowski ist also ein Spezialfall des Satzes von Gelfand-Tornheim und in diesem aufgegangen, Ostrowskis Beweis in Tornheims Beweis aufgehoben.

Der Satz von Gelfand-Mazur und der Satz von Gelfand-Tornheim sind zwei Seiten einer Medaille und in der Literatur nicht scharf voneinander abgegrenzt: In der Theorie der normierten Algebren, insbesondere der Banachalgebren, also in der Funktionalanalysis erscheint häufig die Bezeichnung Satz von Gelfand-Mazur, während man sich in der Theorie der Erweiterungen bewerteter Körper, also in der Zahlentheorie typischerweise auf den Satz von Gelfand-Tornheim beruft, wo er im Vollständigkeitssatz von Ostrowski einen bedeutsamen Vorreiter hat.

Beide Sätze sind zudem eng verwandt mit dem Satz von Frobenius von 1877, der die drei reellen Divisionsalgebren $\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ und $\mathbb {H}$ als die einzig möglichen Archetypen endlichdimensionaler reeller Divisionsalgebren auszeichnet.

Tatsächlich führen die Beweise von Leonard Tornheim und Stanisław Mazur diesen Satz auf den Satz von Frobenius zurück, allerdings in einer leicht verallgemeinerten Form, die Charles Sanders Peirce 1881 auf elementare Weise bewiesen hat.

Alternative Einleitung

Der Satz von Gelfand-Tornheim handelt von reell normierten Körper- oder Schiefkörpererweiterungen ${\mathit {L}}$ über dem Körper $\mathbb {R}$ der reellen Zahlen oder allgemeiner über einem Körper ${\mathit {K}}\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$. „Über dem Körper ${\mathit {K}}$“ soll im Falle von Schiefkörpern ${\mathit {L}}\supset {\mathit {K}}$ bedeuten, dass ${\mathit {K}}$ im Zentrum $Z({\mathit {L}}):=\{y\in {\mathit {L}}\mid \forall r\in {\mathit {K}}:y\,r=r\,y\}$ liegt. Die Norm $\Vert \cdot \Vert \colon {\mathit {L}}\to \mathbb {R} _{\geq 0}$ jedoch soll reell sein, das heißt, die multiplikative Homogenität soll sich (auch im Falle ${\mathit {K}}=\mathbb {C}$) lediglich auf den Teilkörper $\mathbb {R} \subset {\mathit {K}}$ beziehen:

$\forall r\in \mathbb {R} ,y\in {\mathit {L}}:\Vert r\,y\Vert =\vert r\vert \cdot \Vert y\Vert$

reelle Homogenität, reelle Norm

Darüber hinaus gelten die üblichen Regeln für eine Norm:

$\Vert y\Vert =0\Leftrightarrow y=0$

positive Definitheit

$\Vert y_{1}+y_{2}\Vert \leq \Vert y_{1}\Vert +\Vert y_{2}\Vert$

Dreiecksungleichung (Subaddivität)

$\Vert y_{1}\cdot y_{2}\Vert \leq \Vert y_{1}\Vert \cdot \Vert y_{2}\Vert$

Submultiplikativität (multiplikative Dreiecksungleichung)

Wenn ein Einselement existiert, so wird die Norm meist „normiert“ zu $\Vert 1\Vert =1$.

Der Begriff der Norm entstammt der Theorie der normierten Vektorräume, insbesondere der normierten Ringe und normierten Algebren. Tatsächlich lässt sich der Satz von Gelfand-Tornheim auch für die Kategorie der reell normierten Divisionsalgebren über ${\mathit {K}}\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$ formulieren: Dann wird er meistens als Satz von Gelfand-Mazur bezeichnet, obgleich er „dieselbe“ Aussage trifft.

Je nach benötigtem Zusammenhang werden oft nur Teilaussagen zitiert. So begegnet man in der Funktionalanalysis, zumal beim Studium von $\mathbb {C}$-Banachalgebren, häufig nur dem Fall ${\mathit {K}}=\mathbb {C}$, zumeist unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass die reell normierte komplexe Divisionsalgebra ${\mathit {A}}$ kommutativ sei. Hier bildet der Satz von Gelfand-Mazur den Ausgangspunkt der Spektraltheorie.

In der Algebra hingegen, insbesondere in der algebraischen Zahlentheorie, werden Schiefkörper- bzw. Körpererweiterungen studiert, insbesondere auch diejenigen von $\mathbb {R}$ als der Komplettierung des Primkörpers $\mathbb {Q}$ der Charakteristik Null in Bezug auf die Topologie, die von seinem gewöhnlichen Absolutbetrag $\vert \cdot \vert$ induziert wird. Die Frage, ob solche Beträge auf eine Körpererweiterungen fortgesetzt werden können, ist Gegenstand der Bewertungstheorie: Diese untersucht verallgemeinerte Beträge und erklärt, wann diese äquivalent sind, das heißt, dieselbe Topologie (bzw. uniforme Struktur) induzieren, und auf wie viele Weisen sie auf Erweiterungen fortgesetzt werden können.

Da verallgemeinerte Beträge stets zu einer Bewertung äquivalent sind und weil eine Bewertungen stets eine Norm ist, liefert der Satz von Gelfand-Tornheim eine Aussage über die reellen bzw. komplexen Primstellen, das heißt, die Äquivalenzklassen von Bewertungen.

Der Satz von Gelfand-Tornheim hat einen Vorläufer, diesen Spezialfall der bewerteten Körper (anstelle von normierten Körpern) betrachtete und zu demselben Ergebnis kam: Alexander Markowitsch Ostrowski veröffentlichte schon 1918 seinen Vollständigkeitssatz für archimedisch bewertete Körpererweiterungen von $\mathbb {R}$. Stanisław Mazur kündigte 1938 einen Beweis des allgemeinen Satzes über reell normierte komplexe oder reelle Divisionsalgebren an. Wenig später veröffentlichte Israel Gelfand einen einfachen Beweis für den Fall einer komplexen Divisionsalgebra (${\mathit {K}}=\mathbb {C}$). Leonard Tornheim gab 1953 einen Beweis, der den Grundgedanken Ostrowskis aufgreift und so modifiziert, dass er die allgemeineren Voraussetzungen in den Griff bekommt.

Formulierung

Der Satz von Gelfand-Tornheim deckt verschiedene Fälle ab, die aus dem Beweis von Tornheim folgen. Der Beweis von Tornheim zeigt sogar zwei Lemmata, die weitreichende Folgen haben.

Satz von Gelfand-Tornheim bzw. Satz von Gelfand-Mazur

Nr	Satz von Gelfand-Tornheim: Reell normierte (Schief-)Körpererweiterung ${\mathit {L}}$ von ${\mathit {K}}\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$	Satz von Gelfand-Mazur: Reell normierte Algebra ${\mathit {A}}$ über ${\mathit {K}}\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$
Lemma A	ASDF	Beispiel
Lemma B	Beispiel	Beispiel
Satz, Fall A	Beispiel	Beispiel
Satz, Fall B	Beispiel	Beispiel
Satz, Fall C	Beispiel	Beispiel

Todo

• Gliederung straffen, wenn möglich.
  • Dabei Historie in eigenen Abschnitt ausgliedern.
  • Inhalte der Sätze in den Vordergrund stellen, so dass sie schneller auffindbar sind.
• Konsequent: Bewertungen als $\vert \cdot \vert _{\mathit {K}}$ bzw. $\vert \cdot \vert _{L}$, Normen als $\Vert \cdot \Vert$.
• mathbb nur sparsam verwenden, stattdessen mathit. Es muss nicht jeder bewertete Körper gleich mathbb sein.
• Ändern: Satz von Gelfand-Tornheim ist der Vollständigkeitssatz für reell nomierte Körper. (So nämlich Emil Artin, planetmath, Cassels/Fröhlich). Serge Lang zeigt offenbar den Tornheimschen Beweiszugang.
• Schlechte Idee zur Synopse: Beide Beweise gehen aus von der Funktion $\mathbb {C} \times \mathbb {C} \to \mathbb {R} _{\geq 0}H_{a}(z_{1},z_{2})=\left\Vert {\frac {1}{a-z_{1}}}+{\frac {1}{a-z_{2}}}\right\Vert$. Ist $G(\mathbb {C} /\mathbb {R} )=\{\operatorname {id} _{\mathbb {C} },\sigma \}$ die Galoisgruppe von $\mathbb {C} /\mathbb {R}$ ($\sigma$ also die komplexe Konjugation), so betrachte ferner die Funktion $G\colon \mathbb {C} \times \mathbb {C} \to \mathbb {C} \times \mathbb {C} ,(z_{1},z_{2})\mapsto (z_{1},\sigma (z_{2}))$. Für Fall B betrachte $g_{a}=H_{a}\circ G\circ \Delta$ und für Fall A betrachte $h_{a}=H_{a}\circ G\circ G\circ \Delta$, wobei $\Delta \colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} \times \mathbb {C} ,\,z\mapsto (z,z)$ die diagonale Einbettung bezeichne.
• Gute Idee zur Synopse: $G_{a}(z)=\sum _{\sigma \in U}{\frac {^{1}}{a-\sigma (z)}}=\sum _{\sigma \in U}r_{a}(\sigma (z))$, wobei $U<G(\mathbb {C} /\mathbb {R}$ jene Untergruppe der Galoisgruppe ist, die ${\mathit {K}}\in \{\mathbb {C} ,\mathbb {R} \}$ zum Fixkörper hat. Dann mämlich ist $G_{a}(z)\in \mathbb {C} ^{U}(a)={\mathit {K}}(a)$, und es lässt sich die Norm bilden: Betrachte $g_{a}(z)=\left\Vert G_{a}(z)\right\Vert$.
  • Fall B: $U=\{\operatorname {id} _{\mathbb {C} }\}$ und ${\mathit {K}}=\mathbb {C}$: Komplexe Algebra mit Einselement, die reell normiert ist. Dann gibt es zu jedem $a$ ein komplex-lineares (oE normiertes) Polynom $f(X)=X-z\in \mathbb {C} [X]$, so dass $f(a)\in {\mathit {A}}^{\times }$ regulär ist.
  • Fall A: $U=G(\mathbb {C} /\mathbb {R} )$ und ${\mathit {K}}=\mathbb {R}$: Reelle Algebra mit Einselement, die reell normiert ist. Dann gibt es zu jedem $a$ ein reell-quadratisches (oE normiertes) Polynom $f(X)=X^{2}+pX+q\in \mathbb {R} [X]$, so dass $f(a)\in {\mathit {A}}^{\times }$ regulär ist. Dann ist $G_{a}(z)==2\Re r_{a}(z)$ Realteil einer holomorphen Funktion, also eine harmonische Funktion, das heißt durch die Mittelwerteigenschaft gekennzeichnet: Ihr Mittelwert auf einer Kreislinie ist gleich dem Funktionswert im Mittelpunkt. Daraus folgt bereits, dass $G_{a}$ auch (fast überall) auf der Kreislinie das Maximum annimmt. So wird erkennbar, dass sich der Beweis mit Hilfe der Theorie harmonischer Funktionen führen lässt, wie es Mazur getan hat. Doch lässt sich auch ohne Rückgriff auf den Mittelwertsatz harmonischer Funktionen zum selben Ergebnis gelangen.
  • Nochmal klären: Wo werden welche Vertauschungseigenschaften benötigt? Welche Bedingungen werden also ans Zentrum gestellt?
  • Die benötigte Abschätzung gelingt dann mit der Wahl von $0<r<\min \left(\underbrace {\sum _{\sigma \in U}\left\Vert {\frac {1}{a-\sigma {t}}}\right\Vert } _{=:N_{1}},\underbrace {\sqrt[{(U:1)}]{\left\Vert \prod _{\sigma \in U}{\frac {1}{(a-\sigma {t})}}\right\Vert }} _{=:N_{2}={\sqrt[{(U:1)}]{L}}}\right)$. Für $U=1$ kommt der einfachere Fall C der komplexen Algebra mit ihrem linearen Spektrum und $N_{1}=N_{2}$. Für $(U:1)=2$ kommt der allgemeine Fall A der reellen Algebra mit dem quadratischen Spektrum: Dieser führt den Satz auf den Satz von Frobenius zurück.

Für $\mathbb {K} :=\mathbb {C} ^{U}$ gilt:

• Fall A liegt vor, wenn eines der folgenden äquivalenten Kriterien vorliegt:
  • $(U:1)=2$
  • $\mathbb {K} =\mathbb {R}$.
• Der einfachere Fall C liegt vor, wenn eines der folgenden äuivalenten Kriterien vorliegt:
  • $(U:1)=1$
  • $\mathbb {K} =\mathbb {C}$.
• Fall B liegt in Fall A vor, wenn zusäzlich angenommen wird, dass der betrachtete Ring (Algebra bzw. Schiefkörper) kommutativ ist.

Wenn man den Begriff des Spektrums $\operatorname {Spec} _{\mathbb {K} }(a)$ verallgemeinert durch: für $f(X)\in \mathbb {K} [X]$ die verallgemeinerten Begriffe:

• $\operatorname {Reg} _{d,\mathbb {K} [X]}(a)=\{f(X)\in \mathbb {K} [X]\mid f(X){\text{ irreduzibel mit }}\deg f\leq d\wedge f(a)\in {\mathit {A}}^{\times }\}$.
• $\operatorname {Reg} _{\mathbb {K} [X]}(a)=\{f(X)\in \mathbb {K} [X]\mid f(X){\text{ irreduzibel und }}f(a)\in {\mathit {A}}^{\times }\}$.
• $\operatorname {Spec} _{d,\mathbb {K} [X]}(a)=\{f(X)\in \mathbb {K} [X]\mid f(X){\text{ irreduzibel mit }}\deg f\leq d\wedge f(a)\in {\mathit {A}}\backslash {\mathit {A}}^{\times }\}$.
• $\operatorname {Spec} _{\mathbb {K} [X]}(a)=\{f(X)\in \mathbb {K} [X]\mid f(X){\text{ irreduzibel und }}f(a)\in {\mathit {A}}\backslash {\mathit {A}}^{\times }\}$.

Das übliche Spektrum bzw. die gewöhnliche Resolventenmenge ist für lineare Polynome über $\mathbb {K}$ definiert, also: $\operatorname {Spec} (a)=\operatorname {Spec} _{1,\mathbb {K} [X]}(a)$, definiert für $z\in \mathbb {K}$ mit Zuordnung $\mathbb {K} \ni z\mapsto X-z\in \mathbb {K} [X]$.

• Dies genügt sogar für den komplexen Fall $\mathbb {K} =\mathbb {C}$ (also Fall C), weil $f(z)\in \operatorname {Spec} (f(a))\Leftrightarrow z\in \operatorname {Spec} (a)$ für ein Polynom $f(X)\in \mathbb {C} [X]$, ja sogar für ganzrationale Polynome $f(X)\in \mathbb {C} (X)$ (siehe Dieudonné). Beschränkt auf irreduzible (also lineare) Polynome ist dies lediglich die triviale Translationseigenschaft des Spektrums. Dies Beschränkung ist möglich, da $\mathbb {C}$ (nach dem Fundamentalsatz der Algebra) algebraisch vollständig ist.
• Für den reellen Fall $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ (also Fall A und B) jedoch gilt (ebenfalls nach dem Fundamentalsatz der Algebra) $\operatorname {Spec} _{\mathbb {R} [X]}(a)=\operatorname {Spec} _{2,\mathbb {R} [X]}(a)$.

Damit heißt Tornheims Fundamentallemma über das verallgemeinerte Spektrum für beide Fälle:

• Es sei ${\mathit {A}}$ eine Algebra mit Einselement $1_{\mathit {A}}$ über $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$. (Das heißt, es gebe eine Einbettung $\mathbb {K} \hookrightarrow Z({\mathit {A}}),x\mapsto x\,1_{\mathit {A}}$ in das Zentrum $Z({\mathit {A}})\subset {\mathit {A}}$, im Falle C etwa durch $\mathrm {i} \mapsto \mathrm {j} \in {\mathit {A}}$, wobei $\mathrm {j} ^{2}=-1_{\mathit {A}}$.) Ist dann ${\mathit {A}}$ als reelle Algebra normiert (also reell normiert), dann gilt für jedes Element $a\in {\mathit {A}}$: gilt $\operatorname {Spec} _{\mathbb {K} [X]}(a)\neq \emptyset$. Das heißt:
  • Im komplexe Falle $\mathbb {K} =\mathbb {C}$ (also Fall C) gibt es lineare Polynome $f(X)=X-z$ mit $f(a)=a-z\in {\mathit {A}}\backslash {\mathit {A}}^{\times }$.
  • Im reellen Falle $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ (also Fall A und B) gibt es quadratische Polynome $f(X)=X^{2}+pX+q$ mit $f(a)=a^{2}+pa+q\in {\mathit {A}}\backslash {\mathit {A}}^{\times }$.

Diskussion

• Wahrscheinlich handelt es sich um Leonard Tornheim, weiß es jemand genauer? Siehe:
  • Robert M. Thrall und Leonard Tornheim: Vector Spaces and Matrices, Wiley 1957, Courier Corporation 1970.
  • oder auch John H. Walter.
• Wann und wo sind die Sätze von Gelfand-Mazur und Gelfand-Tornheim und ihre Beweise veröffentlicht worden?

Formulierung des Satzes

Satz von Gelfand-Tornheim:

Es sei ${\mathit {L}}\supset \mathbb {R}$ ein vermöge einer reellen Norm $\Vert \cdot \Vert \colon {\mathit {L}}\to \mathbb {R} _{\geq 0}$ normierter Körper. Dann ist ${\mathit {L}}\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$.

Der Begriff „vermöge einer reellen Norm normierter (Schief)körper“ oder „reell normierter Körper“ ist dabei so zu verstehen: $L$ wird dank der isometrischen Einbettung $\mathbb {R} \subset {\mathit {L}}$ als reelle Algebra aufgefasst und sei als solche mit der Norm $\Vert \cdot \Vert$ versehen. Dabei wird $\Vert 1\Vert =1$ angenommen. Der Satz betrachtet also – je nach Perspektive – gleichermaßen normierte Körpererweiterungen von $\mathbb {R}$ oder kommutative normierte reelle Divisionsalgebren.

Der Satz erklärt also, dass es für reell normierte Körper nur zwei Archetypen gibt, nämlich $\mathbb {R}$ und $\mathbb {C}$. Unterscheidungskriterium ist die Frage, ob das Polynom $X^{2}+1$ über $L$ reduzibel ist oder nicht.

Der Beweis nach Tornheim erlaubt den Zusatz:

Es sei ${\mathit {L}}\supset \mathbb {R}$ ein vermöge einer reellen Norm $\Vert \cdot \Vert \colon {\mathit {L}}\to \mathbb {R} _{\geq 0}$ normierter Schiefkörper, dessen Zentrum $Z({\mathit {L}})$ eine Quadratwurzel $\mathrm {i}$ von $-1$ enthält, das heißt, in dessen Zentrum sich $\mathbb {C}$ wiederfindet: $\mathbb {C} =\mathbb {R} +\mathrm {i} \;\mathbb {R} \subset Z({\mathit {L}})$. Dann ist ${\mathit {L}}=\mathbb {C}$ und mithin kommutativ.

Der Zusatz mit Worten aus der Perspektive der Algebren-Theorie:

Eine komplexe Divisionsalgebra, die als reelle Algebra mit einer Norm versehen ist, hat die komplexe Dimension $1$.

Formuliert man den Satz von Gelfand-Tornheim (mit Zusatz) aus der Perspektive der Theorie normierter Algebren, so wird er meist als Satz von Gelfand-Mazur zitiert:

Für eine reelle normierte Divisionsalgebra ${\mathit {A}}$ gilt:

• Ist ${\mathit {A}}$ auch eine komplexe Algebra, so ist ${\mathit {A}}$ komplex eindimensional und somit kommutativ, nämlich ${\mathit {A}}=\mathbb {C} \cdot 1_{\mathit {A}}$.
• Ist ${\mathit {A}}$ kommutativ, so ist ${\mathit {A}}\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$.

Diesem Satz begegnet man in der Literatur als Satz von Gelfand-Tornheim, aber auch als Satz von Gelfand-Mazur zitiert, dabei manchmal beschränkt auf den Zusatz. Die Bezeichnung „Satz von Gelfand-Mazur“ ist in der Funktionalanalysis üblich, die normierte reelle Algebren, insbesondere komplexe bzw. reelle Banachalgebren betrachtet, während die Bezeichnung „Satz von Gelfand-Tornheim“ auf die Perspektive der Körpererweiterungen und Bewertungstheorie aus Algebra und Zahlentheorie verweist.

Insgesamt kommt der Satz von Gelfand-Tornheim dem Ergebnis sehr nahe, das Georg Ferdinand Frobenius 1877 gefunden hat: Für eine endlichdimensionale assoziative reelle Divisionsalgebra ${\mathit {A}}$ gilt

• entweder $\dim {\mathit {A}}=1$, das heißt ${\mathit {A}}=\mathbb {R}$,
• oder $\dim {\mathit {A}}=2$, nämlich ${\mathit {A}}=\mathbb {C}$,
• oder aber $\dim {\mathit {A}}=4$, nämlich ${\mathit {A}}=\mathbb {H}$ (Quaternionen-Schiefkörper).

Tatsächlich ist der Schiefkörper $\mathbb {H}$ der Hamiltonschen Quaternionen keine komplexe Algebra, sondern lediglich eine reelle Algebra.

Israel Gelfand bewies 1941 den Fall einer komplexen Banachalgebra, die zugleich Schiefkörper ist.

Stanisław Mazur veröffentlichte bereits 1938 eine Ankündigung der allgemeinen Version dieses Satzes nebst einer Beweisidee, nach welcher er den Satz auf das Ergebnis von Frobenius zurückgeführt habe.

Alexander Markowitsch Ostrowski veröffentlichte schon 1918 eine Abhandlung, die neben weiteren grundlegenden Ergebnissen aus der Bewertungstheorie Satz und Beweis für den Spezialfall archimedisch bewerteter Körpererweiterungen von $\mathbb {R}$ enthielt.

Alternative: Formulierung der Sätze

Tatsächlich handelt es sich bei Satz von Gelfand-Tornheim nicht nur um einen Satz, der so allgemein ist, dass häufig nur der jeweils benötigte Einzelfall unter diesem Namen zitiert wird. Die wichtigsten Fälle sind:

Fall C

Eine reell normierter (Schief-)Körper über $\mathbb {K} =\mathbb {C}$ ist gleich $\mathbb {C}$.

Fall B

Ein reell normierter Körper über $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ ist gleich $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$.

Fall A

Ein reell normierter Schiefkörper über $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ ist gleich $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$ oder $\mathbb {H}$. (Nochmal klären, welche Vertauschbarkeit benötigt wird, oder weshalb nicht.)

Dabei bedeute Schiefkörper über $\mathbb {K}$, dass $\mathbb {K}$ im Zentrum des Schiefkörpers liegt, das heißt, dass jedes Element $a$ des Schiefkörpers mit jedem Element $z\in \mathbb {K}$ multiplikativ vertauschbar ist: $az=za$.

Ferner bedeute reell normiert, dass der Körper bzw. Schiefkörper als Ring oder Algebra mit Einselement über $\mathbb {R}$ normiert ist, das heißt: ergänzen.

Jeder dieser Fälle impliziert offenkundig den Fundamentalsatz der Algebra.

Diese Sätze lassen sich auch als Sätze über Algebren begreifen und formulieren: Sie werden dann häufig als Satz von Gelfand-Mazur zitiert und als Ausgangspunkt der Spektraltheorie in der Funktionalanalysis gesehen, insbesondere der Fall C für Banachalgebren. In der Algebra und insbesondere in der algebraischen Zahlentheorie werden diese Sätze als Sätze über Körpererweiterungen oder algebrentheoretisch gesehen und häufig als Satz von Gelfand-Tornheim zitiert.

Sätze rund um Ostrowski-Mazur-Gelfand-Tornheim

Fall	Satz von Gelfand-Tornheim	Satz von Gelfand-Mazur
A	Ein reell normierter Schiefkörper über $\mathbb {R}$ ist identifizierbar mit $\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ oder $\mathbb {H}$.	Eine reell normierte Divisionsalgebra ist identifizierbar mit $\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ oder $\mathbb {H}$.
B	Ein reell normierter Körper über $\mathbb {R}$ ist identifizierbar mit $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$.	Eine kommutative reell normierte Divisionsalgebra ist identifizierbar mit $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$.
C	Ein reell normierter Schiefkörper über $\mathbb {C}$ ist identifizierbar mit $\mathbb {C}$.	Eine komplexe Divisionsalgebra, die mit einer reellen Norm versehen ist, ist identifizierbar mit $\mathbb {C}$.

Je nach Kontext treten zur Vereinfachung gelegentlich weitere Voraussetzungen über die Algebra ${\mathit {A}}$ mit Einselement hinzu:

• ${\mathit {A}}$ sei kommutativ, wie in Fall B.
• ${\mathit {A}}$ sei (bezüglich der reellen Norm) vollständig.
• ${\mathit {A}}$ sei kommutative Divisionsalgebra (also der bereits erwähnte Fall eines Körpers).
• ${\mathit {A}}$ sei ein archimedisch bewerteter Körper: Diese Spezialfall wird unten als Vollständigkeitssatz von Ostrowski behandelt.

Der Beweis von Leonard Tornheim aus dem Jahre 1951 (veröffentlicht 1952) benötigt diese Voraussetzungen nicht. Er beruht auf zwei Lemmata, die anstelle von Divisionsalgebren lediglich eine reell normierte Algebra ${\mathit {A}}$ mit Einselement $1_{\mathit {A}}$ voraussetzen und Aussagen über das Spektrum von Elementen $a\in {\mathit {A}}$ treffen, genauer: Quadratische und lineare reelle Polynome (Fall A) bzw. lineare komplexe Polynome (Fall C) nehmen über der Algebra ${\mathit {A}}$ auch Werte an, die nicht invertierbar sind. Im Falle von Divisionsalgebren genügt daher jedes Element $a\in {\mathit {A}}$ im Falle A einer reellen quadratischen (oder gar linearen) Gleichung bzw. im Falle C sogar eine komplexen linearen Gleichung mit der Folge, das es notwendig selbst eine komplexe Zahl ist.

Mit geeigneten abkürzenden Bezeichnungsweisen können beide Lemmata und damit alle Fälle gemeinsam abgehandelt werden.

Der allgemeinste Fall A wird hierbei zurückgeführt auf den Satz von Frobenius (reelle Divisionsalgebren) in einer (sogar leicht verallgemeinerten) Formulierung, die Charles Sanders Peirce 1881 (unabhängig von Georg Ferdinand Frobenius) auf elementare Weise bewiesen hat.

Ein Spezialfall wurde schon 1916 bewiesen (und 1918 veröffentlicht): Der Vollständigkeitssatz von Ostrowski betrachtet archimedisch bewertete Körpererweiterungen von $\mathbb {R}$. Archimedische Bewertungen sind Normen (mit strengeren Eigenschaften). So besitzen der Satz von Gelfand-Tornheim und der Satz von Gelfand-Mazur in diesem Satz einen Vorreiter, dessen Bekanntheit durch seine Nachfolger in den Hintergrund getreten ist. Tatsächlich ist Tornheims Beweisgang eine Modifikation der Ostrowskischen Beweisidee.

Die drei Beweise von Standisław Mazur, Israel Gelfand und Leonard Tornheim nehmen unterschiedliche Zugänge:

• Tornheim und Ostrowski nutzen algebraische Beziehungen der Einheitswurzeln.
• Gelfand nutzt den Satz von Liouville und transfinite Methoden zum Beweis des Falles C.
• Mazur führt (wie Tornheim) den allgemeinen Fall A auf den Satz von Frobenius zurück und nutzt dazu harmonische Funktionen.

Begrifflicher Hintergrund

Ausfülllen:

• Norm von Räumen.
• Norm von Algebren.
  • Norm von Eins
• Einheitswurzeln und Kreisteilung.
• Logarithmische Ableitung.
• (Polynomiales) Spektrum.

Beweiszugang nach Leonard Tornheim

Leonard Tornheim veröffentlichte 1952 eine Beweismethode mit Hilfe des folgenden Lemmas über das Spektrum, das auch für sich genommen Interesse beanspruchen kann und für welches Tornheim einen elementaren Beweis gefunden hat. Aus diesem Lemma folgt unmittelbar der in der Formulierung des Satzes erwähnte „Zusatz“, da $L\backslash L^{\times }=\{0\}$.

Tornheims Lemma über das Spektrum

Lemma über das Spektrum:

• Formulierung 1: Es sei ${\mathit {A}}$ eine komplexe Algebra mit Einselement, die als reelle Algebra mit einer Norm versehen sei. Dann ist für jedes $a\in {\mathit {A}}$ das Spektrum $\operatorname {Spec} (a):=\{z\in \mathbb {C} ,\,a-z\,1_{\mathit {A}}\in {\mathit {A}}\backslash {\mathit {A}}^{\times }\}$ nicht leer.
• Formulierung 2: Es sei ${\mathit {A}}$ eine reelle Algebra mit Einselement, die mit einer Norm versehen sei und ein Element $\mathrm {j}$ mit $\mathrm {j} ^{2}=-1$ enthalte. Ist $a\in {\mathit {A}}$ mit $\mathrm {j}$ vertauschbar (das heißt, $\mathrm {j} \,a=a\,\mathrm {j}$), dann ist das Spektrum $\operatorname {Spec} (a):=\{z\in \mathbb {C} ,\,a-z\,1_{\mathit {A}}\in {\mathit {A}}\backslash {\mathit {A}}^{\times }\}$ nicht leer.
• Formulierung 3: Es sei ${\mathit {A}}$ eine kommutative reelle Algebra mit Einselement, die mit einer Norm versehen sei und ein Element $\mathrm {j}$ mit $\mathrm {j} ^{2}=-1$ enthalte: $\mathrm {j} \,a=a\,\mathrm {j}$. Dann ist für jedes $a\in {\mathit {A}}$ das Spektrum $\operatorname {Spec} (a):=\{z\in \mathbb {C} ,\,a-z\,1_{\mathit {A}}\in {\mathit {A}}\backslash {\mathit {A}}^{\times }\}$ nicht leer.

Alle drei Formulierungen sind äquivalent:

• Formulierung 1 impliziert Formulierung 2: Man realisiere die Einbettung $\mathbb {C} \hookrightarrow A$ vermöge der Identifikation $\mathrm {i} \mapsto \mathrm {j}$ und erhält so eine komplexe Algebra mit Einselement.
  • Im Beweis wird diese (von der Wahl von $\mathrm {j}$ abhängige) Einbettung $\mathbb {C} \hookrightarrow {\mathit {A}}$ (ausführlich: $\mathbb {C} =\mathbb {R} +\mathbb {R} \,\mathrm {i} \hookrightarrow \mathbb {R} \cdot 1_{\mathit {A}}+\mathbb {R} \cdot \mathrm {j} \subset {\mathit {A}}$) als vollzogen ($\mathbb {C} \subset A$) betrachtet.
  • Die durch diese Einbettung auf $\mathbb {C}$ induzierte Spurtopologie stimmt mit der gewöhnlichen, durch den Absolutbetrag $|\cdot |\colon \mathbb {C} \to \mathbb {R} _{\geq 0}$ induzierten überein, denn Normen endlichdimensionaler Vektorräume über vollständigen (kompletten) Körpern (wie $\mathbb {R}$) sind äquivalent.
  • Beachte allerdings, dass die Norm auf ${\mathit {A}}$ nur die reelle Homogenität erfüllt: $\forall z\in \mathbb {R} ,a\in {\mathit {A}}:\Vert z\,a\Vert =\vert z\vert \,\Vert a\Vert$. Für $z\in \mathbb {C} \hookrightarrow A$ im Allgemeinen gilt nur die Submultiplikativität der Norm: $\Vert z\,a\Vert \leq \Vert z\Vert \,\Vert a\Vert$.
  • Immerhin gilt mit dem positiven Korrekturfaktor $c_{\mathrm {j} }:=\max _{z\in \mathbb {C} \atop \vert z\vert =1}\Vert z\Vert$ die Submultiplikativität $\Vert z\,a\Vert \leq c_{\mathrm {j} }\cdot \vert z\vert \cdot \Vert a\Vert$.
  • Beachte ferner, dass $\mathrm {j}$ und $1_{\mathit {A}}$, ebenso wie $\mathrm {i} ,1\in \mathbb {C}$, über $\mathbb {R}$ die ganze komplexe Ebene $\mathbb {C} \hookrightarrow {\mathit {A}}$ aufspannen, insbesondere alle Einheitswurzeln $\zeta _{k}^{i}$ erfassen, welche folglich sämtlich mit jedem $a\in {\mathit {A}}$ vertauschbar sind. Diese Tatsache wird im Beweis genutzt werden.
  • Beachte schließlich, dass für vertauschbare Unbestimmte $X,Y$ und eine primitive $k$-te Einheitswurzel $\zeta _{k}$ die Polynomidentät $X^{k}-Y^{k}=\prod _{i=0}^{k-1}(X-\zeta _{k}^{i}Y)\in {\mathit {A}}[X,Y]$ gilt. Denn sie gilt schon über $\mathbb {Z} [\zeta _{k}]\hookrightarrow {\mathit {A}}$.
• Formulierung 2 impliziert Formulierung 3: trivial.
• Formulierung 3 impliziert Formulierung 1: Tatsächlich enthält ${\mathit {A}}$ ja ein solches Element $\mathrm {j} :=\mathrm {i} \cdot 1_{\mathit {A}}$, das Quadratwurzel von $-1$ ist. Zum Beweis der Aussage des Lemmas für ein $a$ genügt es, sich auf die durch Adjunktion entstehende kommutative Unteralgebra $\mathbb {C} [a]=:{\mathit {A'}}\subset {\mathit {A}}$ zu beschränken. Tatsächlich wird im Beweis nämlich nur diese „monogene“ Unteralgebra betrachtet.

Eine unmittelbare Folgerung ist der Satz von Gelfand-Mazur für den Fall $\mathbb {C} \subset {\mathit {A}}$: Ist ${\mathit {A}}$ darüber hinaus ein Schiefkörper (das heißt ${\mathit {A}}\backslash {\mathit {A}}^{\times }=\{0\}$), so folgt ${\mathit {A}}=\mathbb {C}$.

Vorbemerkungen zum begrifflichen Hintergrund

Vorab sei an folgende grundlegende Tatsachen erinnert:

• Normen eines Vektorraums heißen äquivalent, wenn sie dieselbe Topologie auf dem Vektorraum induzieren.
• Bewertungen eines Körpers heißen äquivalent, wenn sie dieselbe Topologie auf ihm induzieren.
• Beliebige Normen auf Vektorräumen endlicher Dimension über kompletten Körpern sind stets äquivalent.
• Bewertungen auf einem Erweiterungskörper ${\mathit {L}}$ eines Grundkörpers ${\mathit {K}}$ lassen sich als Norm der Algebra ${\mathit {L}}$ über ${\mathit {K}}$ auffassen. Normen von Algebren ${\mathit {A}}$ mit Einselement $1_{\mathit {A}}$ werden üblicherweise zu $\Vert 1_{a}\Vert =1$ normiert („geeicht“).
  • Ist also ${\mathit {K}}$ vollständig und $[{\mathit {L}}:{\mathit {K}}]=:n<\infty$, so ist sind alle Normen auf ${\mathit {L}}$ äquivalent und induzieren die Produkttopologie auf ${\mathit {L}}$ als endlichdimensionalen ${\mathit {K}}$-Vektorraum ${\mathit {L}}\simeq \prod _{i=1}^{n}{\mathit {K}}$.
  • Falls hierbei also eine Bewertung auf ${\mathit {L}}$ existiert, welche auf ${\mathit {K}}$ die vorgegebene Topologie induziert, so ist auch diese Bewertung äquivalent zu all den möglichen Normen auf ${\mathit {L}}$. Ist dabei ${\mathit {K}}$ vollständig, so ist es auch ${\mathit {L}}$.
  • Falls es sich hierbei insbesondere um eine Fortsetzung einer Bewertung von ${\mathit {K}}$ auf ${\mathit {L}}$ handelt, so induziert diese also auf $L\simeq \prod _{i=1}^{n}K$ die Produkttopologie. Mit ${\mathit {K}}$ ist hierbei auch ${\mathit {L}}$ vollständig.
• Tatsächlich lässt sich zeigen, dass Bewertungen lokalkompakter Körper auf endliche Erweiterungen fortsetzbar sind. Damit ist ein Repräsentant äquivalenter Bewertungen, ja äquivalenter Normen gefunden.
• Ostrowski veröffentlichte 1918 einen elementaren Beweis dafür, dass sich die Bewertung eines kompletten Körpers auf eine quadratische Erweiterung fortsetzen lässt.

Folgende Definitionen für eine Algebra ${\mathit {A}}$ über dem körper $\mathbb {K}$ erhellen den begrifflichen Hintergrund der Beweisbetrachtungen:

• Resolventenmenge: $\operatorname {Res} _{\mathbb {K} }(a):=\{z\in \mathbb {K} ,\,a-z\in {\mathit {A}}^{\times }\}$.
• Spektrum: $\operatorname {Spec} _{\mathbb {K} }(a):=\{z\in \mathbb {K} ,\,a-z\in {\mathit {A}}\backslash {\mathit {A}}^{\times }\}=\mathbb {K} \backslash \operatorname {Res} (a)$.
• Im Beweis spielt die Resolventenfunktion $\operatorname {res} _{a}(z)$ eines Elements $a\in {\mathit {A}}$ eine wesentliche Rolle: $\operatorname {res} _{a}(z)\colon \operatorname {Res} (a)\to \mathbb {K} ,\,z\mapsto {\frac {1}{a-z}}$
• Es gibt folgende Translationseigenschaften:
  • $\operatorname {res} _{a}(z)=\operatorname {res} _{a+z'}(z+z')$.
  • $\operatorname {Res} _{\mathbb {K} }(z+a)=z+\operatorname {Res} _{\mathbb {K} }(a)$.
  • $\operatorname {Spec} _{\mathbb {K} }(z+a)=z+\operatorname {Spec} _{\mathbb {K} }(a)$.

Für komplexe (das heißt $\mathbb {K} =\mathbb {C}$) Divisionsalgebren ${\mathit {A}}$ werden diese Begriffe ziemlich trivial:

• $\operatorname {Res} (a)=\left({\mathit {A}}\backslash \{a\}\right)\cap \mathbb {C}$.
• $\operatorname {Spec} (a)=\{a\}\cap \mathbb {C}$.
• Daher ist in diesem Falle die Tatsache, dass das Spektrum nicht leer ist, so folgenschwer: Sie erzwingt ${\mathit {A}}=\mathbb {C}$.

Die Submultiplikativität der Norm („multiplikative Dreiecksungleichung“) gestattet folgende Schlüsse:

• Für $u\in {\mathit {A}}^{\times },k\in \mathbb {Z}$ gilt: $\Vert 1\Vert =\Vert u^{k}u^{-k}\Vert \leq \Vert u^{k}\Vert \,\Vert u^{-k}\Vert \leq \Vert u\Vert ^{k}\,\Vert u^{-k}\Vert \Rightarrow {\frac {\Vert 1\Vert }{\Vert u\Vert ^{k}}}\leq \Vert u^{-k}\Vert$.
• Mit $k=1$ folgt $\Vert 1\Vert \geq 1$, also insgesamt ${\frac {1}{\Vert u\Vert }}\leq {\frac {\Vert 1\Vert }{\Vert u\Vert }}\leq \Vert u^{-1}\Vert$.
• Normen von Algebren mit Einselement werden üblicherweise zu $\Vert 1\Vert =1$ normiert. Damit ist ${\frac {1}{\Vert u\Vert }}\leq {\sqrt[{k}]{\Vert u^{-k}\Vert }}$.
• Es gilt $\Vert a^{k}\Vert \leq \Vert a\Vert ^{k}$, mithin ${\sqrt[{k}]{\Vert a^{k}\Vert }}\leq \Vert a\Vert$ für jedes $k\in \mathbb {N}$, so dass $\limsup _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{\Vert a^{k}\Vert }}\leq \Vert a\Vert$.

.

• Also ist $g(z)=\left\Vert {\frac {1}{a-z}}\right\Vert \geq {\frac {\Vert 1\Vert }{\Vert a-z\Vert }}\geq {\frac {1}{\Vert a-z\Vert }}\geq {\frac {1}{\Vert a\Vert +\Vert z\Vert }}$.

Vorüberlegung

Abschätzungen

Im Beweis (Schritte 2 und 3) werden Abschätzungen benötigt:

Für den Vollständigkeitssatz von Ostrowski sind sie leicht einzusehen: Wegen $\Vert a\Vert +\vert z\vert \;\;{\stackrel {\text{(i)}}{\geq }}\;\;\Vert a-z\Vert \;\;{\stackrel {\text{(ii)}}{\geq }}\;\;{\Big \vert }\,\vert z\vert -\Vert a\Vert \,{\Big \vert }$ gilt zunächst für jedes $a\in \mathbb {L}$

• einerseits (i) $\Vert a\Vert \geq \inf _{z\in \mathbb {C} }\Vert a-z\Vert =:d_{a}$ und
• andererseits (ii) $\vert z\vert >2\,\Vert a\Vert \Rightarrow \Vert a-z\Vert >\Vert a\Vert$.

Folglich nimmt die stetige Funktion $f_{a}\colon \mathbb {C} \to \mathbb {R} _{>0},\,z\mapsto \Vert a-z\Vert$ nach dem Maximumprinzip ihr globales Infimum $d_{a}$ auf dem Kompaktum $C:=\{z\in \mathbb {C} ,|z|\leq 2\Vert a\Vert \}$ an.

Für den Satz von Gelfand-Tornheim führt eine „reziproke“ Argumentation für eine Norm $\Vert \cdot \Vert$ nicht zum benötigten Ergebnis. Stattdessen argumentiert Tornheim so:

Lemma A: $\Vert a\Vert \leq {\tfrac {1}{2}}\wedge (1-a)\in {\mathit {A}}^{\times }\Rightarrow \left\Vert {\tfrac {1}{1-a}}\right\Vert \leq 2\Vert 1\Vert$,

• denn es ist $\left\Vert {\tfrac {1}{1-a}}\right\Vert =\left\Vert 1+{\tfrac {a}{1-a}}\right\Vert \leq \Vert 1\Vert +\Vert a\Vert \cdot \left\Vert {\tfrac {1}{1-a}}\right\Vert$, woraus die Behauptung folgt.

Lemma B: Die Funktion ${\mathit {A}}^{\times }\to {\mathit {A}}^{\times },\,a\mapsto {\tfrac {1}{a}}$ ist stetig,

• denn aus Lemma 1 und aus $\left\Vert {\tfrac {z-a}{z}}\right\Vert \leq \Vert z-a\Vert \cdot \left\Vert {\tfrac {1}{z}}\right\Vert$ folgt $\left\Vert {\tfrac {1}{a}}-{\tfrac {1}{b}}\right\Vert <\Vert b-a\Vert \cdot \left\Vert {\tfrac {1}{b}}\right\Vert ^{2}\cdot \left\Vert {\tfrac {1}{1-{\frac {b-a}{b}}}}\right\Vert \;{\stackrel {\Vert b-a\Vert \to 0}{\longrightarrow }}\;0$.

Lemma C: Für jedes $a\in {\mathit {A}}^{\times }$ gibt es ein $R_{a}\in \mathbb {R}$ mit der Eigenschaft: $z\in \mathbb {C} \wedge z\notin C_{R_{a}}:=B_{R_{a}}(0):=\{z\in \mathbb {C} ,\,\vert z\vert \leq R\}\wedge a-z\in {\mathit {A}}^{\times }\Rightarrow \Vert {\tfrac {1}{a-z}}\Vert <\Vert {\tfrac {1}{a}}\Vert$

• Denn wegen Lemma A gilt $\left\Vert {\tfrac {1}{a-z}}\right\Vert =\left\vert -{\tfrac {1}{z}}\right\vert \cdot \left\Vert {\tfrac {1}{1-{\frac {a}{z}}}}\right\Vert \;{\stackrel {|z|\to \infty }{\longrightarrow }}\;0$, da ja $\left\Vert {\tfrac {a}{z}}\right\Vert =\left\vert {\tfrac {1}{z}}\right\vert \cdot \Vert a\Vert \to 0$.

Corollar: Daher nimmt $f_{a}$ sein Maximum auf $C_{R_{a}}$, denn außerhalb dieses Kompaktums gilt $\Vert {\tfrac {1}{a-z}}\Vert <\Vert {\tfrac {1}{a-0}}\Vert <M_{a}$.

Logarithmische Ableitung der Kreisteilungsgleichung

Der Beweis benutzt die folgende Überlegung: Für vertauschbare Unbestimmte $X,Y$ gilt über dem Ring $\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen mit den $k$-ten Einheitswurzeln die Polynomidentität $X^{k}-Y^{k}=\prod _{i=1}^{k}\left(X-\zeta _{k}^{i}\,Y\right)$ in $\mathbb {Z} [\zeta _{k}]$. Durch logarithmische Ableitung nach $X$ kommt ${\frac {k\,X^{k-1}}{X^{k}-Y^{k}}}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{X-\zeta _{k}^{i}\,Y}}$, und folglich gilt im Kreisteilungskörper $\mathbb {Q} (\zeta _{k})$ die Identität:

${\mathcal {P}}_{k}(X,Y):={\frac {1}{X-Y\,\left({\frac {Y}{X}}\right)^{k-1}}}={\frac {1}{k}}\,\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{X-\zeta _{k}^{i}\,Y}}$

(Logarithmische Ableitung der Kreisteilung)

Beachte, dass gemäß Voraussetzung $\mathbb {Q} [\zeta _{k}]\hookrightarrow A$.

Beweis des Lemmas nach Leonard Tornheim

Leonard Tornheims Beweis des Lemmas über das Spektrum ist eine Fortentwicklung jenes Beweises, den Alexander Markowitsch Ostrowski 1918 für seinen Vollständigkeitssatz veröffentlicht hat. Dieser nutzt die Multiplikativität der Betragsfunktion, wenn die Funktion $f_{a}\colon \mathbb {C} \to \mathbb {R} _{\geq 0},\,z\mapsto \Vert a-z\Vert$ betrachtet und speziell $\Vert a^{k}-z^{k}\Vert =\left\Vert \prod _{i=1}^{k}a-\zeta _{k}^{i}z\right\Vert$ abgeschätzt wird, und misslänge bei einer submultiplikativen Norm. Tornheim umgeht diese Schwierigkeit, indem er das Produkt durch logarithmische Ableitung in eine Summe verwandelt. Dazu allerdings muss der Kehrwert der Funktion betrachtet werden, also die Norm der Resolventenfunktion: $g_{a}\colon z\mapsto \left\Vert {\frac {1}{a-z}}\right\Vert$. Sie ist nur auf der Resolventenmenge definiert. In Tornheims Beweis wird die Annahme, dass diese gleich ganz $\mathbb {C}$ ist, zum Widerspruch geführt. Die übrigen Argumentationen ergeben sich mutatis mutandis: An die Stelle des Infimums $d_{a}$ von $f_{a}$ tritt das Supremum $M_{a}$ von $g_{a}$. Beide Beweise werden unten in einer Synopse einander gegenübergestellt.

Beweis: Für $a=0$ ist die Aussage trivial. Der Beweis für $a\neq 0$ wird indirekt geführt. Es sei also $0\neq a\in {\mathit {A}}$ gewählt und angenommen, dass $(a-\mathbb {C} )\subset {\mathit {A}}^{\times }$. Zur Widerlegung dieser Annahme (d. h. zum Beweis des Satzes) ist die Auswahl des Repräsentanten $a'\in (a-\mathbb {C} )=a'-\mathbb {C}$ belanglos. Gemäß dieser Annahme ist insbesondere $a$ selbst inversibel und die Funktion $g_{a}\colon \mathbb {C} \to \mathbb {R} ,\,z\mapsto \left\Vert {\frac {1}{a-z}}\right\Vert$ auf ganz $\mathbb {C}$ wohldefiniert und zudem stetig.

Da $g_{a}(z)=\left\Vert {\frac {1}{z}}{\frac {1}{{\frac {a}{z}}-1}}\right\Vert \leq \left\vert {\frac {1}{z}}\right\vert \cdot \left\Vert {\frac {1}{{\frac {a}{z}}-1}}\right\Vert$ für $z\neq 0$, konvergiert $g_{a}$ außerhalb eines großen Kreises gegen Null, nimmt also auf einem geeigneten Kompaktum $C$ ihr Supremum $M:=\sup _{z\in \mathbb {C} }g_{a}(z)=\max _{z\in C}g_{a}(z)$ an, welches nur von der affinen Ebene $(a+\mathbb {C} )\subset {\mathit {A}}$ abhängt, da trivialerweise $g_{a}(z+z')=g_{a-z}(z')$.

Die Menge $T_{a}:=\{z\in \mathbb {C} ,\,g_{a}(z)=M\}\subset C$ ist also nicht leer, dazu abgeschlossen und beschränkt (da $T_{a}\subset C$), also kompakt. Da $T_{a}+z=T_{a+z}$, lässt sich ein $a_{0}\in a+\mathbb {C}$ wählen mit der Eigenschaft $0\in T_{a_{0}}$, das heißt mit der Eigenschaft $M=g_{a_{0}}(0)=\left\Vert {\frac {1}{a_{0}}}\right\Vert$. Dazu nämlich wähle $t\in T_{a}$ und setze $a_{0}:=a-t$.

Ohne Einschränkung sei von nun an ein solches $a$ gewählt, welches diese Eigenschaften hat (also $g_{a}(0)=\left\Vert {\frac {1}{a}}\right\Vert =M_{a}$). Ferner sei $0<r<\left\Vert {\frac {1}{a}}\right\Vert ^{-1}=M_{a}^{-1}=:d$, so dass $\left\Vert {\frac {r}{a}}\right\Vert <1$.

Setzt man in der Polynomidentität aus der Vorüberlegung zur logarithmischen Ableitung („Logarithmische Ableitung der Kreisteilung“) nun $X=a$ und $Y=r$, – wobei ausgenutzt wird, dass $a$ mit allen $r\zeta$, also mit allen komplexen $z\in \mathbb {C} \subset {\mathit {A}}$ vertauschbar ist –, so erhält man die folgende Identität mit Konvergenz:

$S(k):=\left\Vert {\frac {1}{k}}\,\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{a-\zeta _{k}^{i}\,r}}\right\Vert =\left\Vert {\frac {1}{a-r\,\left({\frac {r}{a}}\right)^{k-1}}}\right\Vert \quad {\stackrel {k\to \infty }{\longrightarrow }}\quad \left\Vert {\frac {1}{a}}\right\Vert =M_{a}$.

Es wird nun gezeigt, dass $T_{a}$ zugleich offen in $\mathbb {C}$ liegt, also notwendig $T_{a}=\mathbb {C}$, im Widerspruch zur Kompaktheit. Dass die Menge $T_{a}$ Umgebung jedes ihrer Punkte ist, besagt die Zwischenbehauptung: $T_{a}+B_{0}(r)\subset T_{a}$, wobei $B_{0}(r):=\{z\in \mathbb {C} ,\,\vert z\vert <r\}$.

Zu ihrem (indirekten) Nachweis sei $t\in T_{a}$ ausgewählt. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann dabei $t=0$ angenommen werden, denn $t+B_{0}(r)\subset T_{a}\Leftrightarrow B_{0}(r)\subset T_{a}-t=T_{a-t}$, das heißt: Nötigenfalls gehe über zu $a':=a-t\in a+\mathbb {C}$.

Im Folgenden nutze die Parametrisierung $\varpi \colon [0,1]\to S^{1}:=\{z\in \mathbb {C} ,\,|z|=1\},\,\phi \mapsto \mathrm {e} ^{\phi \cdot 2\pi \,\mathrm {j} }$.

Angenommen, die Zwischenbehauptung wäre falsch, so gäbe es $r\xi \in B_{0}(r)$ mit $\vert \xi \vert =1,0<r<d$ und $g(r\xi )<M$. Zu jedem geeignet winzigen $\varepsilon >0$ gäbe es also – der Stetigkeit von $g$ wegen — ein offenes Intervall $I={]\phi _{0},\phi _{0}+\delta [}\subset [0,1]$ (mit $\delta >0$), so dass für alle $\zeta \in \varpi (I)$ aus dem abgebildeten Intervall (dem Einheitskreisbogensegment $\varpi (I)$) noch immer $g(r\zeta )<M-\varepsilon$ gölte.

Da die Einheitswurzeln $\{\zeta _{k}^{i},\,k\in \mathbb {N} ,i\in \mathbb {N} \}$ äquidistant (äquiangular) und dicht auf der Einheitskreislinie liegen, gilt für $N_{k}:=\#\{\zeta _{k}^{i}\in \varpi (I),i=1,\dots ,k\}$ im Grenzübergang ${\frac {N_{k}}{k}}{\stackrel {k\to \infty }{\longrightarrow }}\delta$.

Die fragliche Summe $S(k)$ lässt sich durch Aufteilung in zwei Summanden abschätzen, wobei die Funktion $g_{a}(r\xi )$ in Erscheinung tritt: $S(k)=\left\Vert {\frac {1}{k}}\cdot \sum _{1\leq i\leq k}\overbrace {\frac {1}{a-\zeta _{k}^{i}\,r}} ^{=:s(r,k,i)}\right\Vert \leq {\frac {1}{k}}\cdot \left\lbrack \sum _{1\leq i\leq k \atop \zeta _{k}^{i}\notin \varpi (I)}\overbrace {\left\Vert s(r,k,i)\right\Vert } ^{g_{a}(r\zeta _{k}^{i})}+\sum _{1\leq i\leq k \atop \zeta _{k}^{i}\in \varpi (I)}\overbrace {\left\Vert s(r,k,i)\right\Vert } ^{g_{a}(r\zeta _{k}^{i})}\right\rbrack <{\frac {1}{k}}{\big \lbrack }(k-N_{k})\,M+N_{k}\,(M-\epsilon ){\big \rbrack }=M-{\frac {N_{k}}{k}}\varepsilon \quad {\stackrel {k\to \infty }{\longrightarrow }}\quad M-\delta \varepsilon <M$.

Dies steht im Widerspruch zu $S(k)\to \Vert a\Vert =M$. Also ist die Zwischenbehauptung wahr. Daraus folgt, dass $T_{a}$ offen, abgeschlossen und kompakt ist, also ist $T_{a}=\mathbb {C}$ kompakt, $g$ wäre auf ganz $\mathbb {C}$ identisch $M$. All dieser Unsinn stößt auf leidenschaftlichen Widerspruch, der übrigens nur bei $d=0,M=\infty$ für ein auf einer echten offenen Teilmenge $U\subsetneq \mathbb {C}$ definiertes $g_{a}$ verschwindet, nämlich für $U=\{z\in \mathbb {C} ,a-z\in {\mathit {A}}^{\times }\}$. Dann ist das Spektrum $\operatorname {Spec} a=\mathbb {C} \backslash U$ nicht leer.

Historie

Der Satz von Gelfand-Tornheim ist eng verwandt

• mit dem Satz von Gelfand-Mazur (1938, 1939, 1941) – dieser betrachtet (je nach Variante) reell normierte Erweiterungskörper von $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$ –,
• mit dem „Vollständigkeitssatz“ von Alexander Markowitsch Ostrowski von 1916/1918 – dieser betrachtet archimedisch bewertete Erweiterungskörper von $\mathbb {R}$ – und letztlich
• mit dem Ergebnis einer umfangreichen Arbeit Georg Ferdinand Frobenius' aus dem Jahre 1877, nach dem es über dem Körper $\mathbb {R}$ der reellen Zahlen bis auf Isomorphie nur drei endlichdimensionale Divisionsalgebren gibt, nämlich die beiden kommutativen Divisionsalgebren $\mathbb {R}$ und $\mathbb {C}$ sowie die nicht-kommutative Divisionsalgebra $\mathbb {H}$ der Hamiltonschen Quaternionen, mit anderen Worten: Es treten nur die reellen Dimensionen $1,2$ und $4$ auf.

Tatsächlich veröffentlichte Stanisław Mazur im Jahre 1938 eine Beweisidee, nach der ein ähnlicher Satz gilt, wenn man auf die Voraussetzung der endlichen Dimension verzichtet und stattdessen normierte Divisionsalgebren $A$ mit Einselement über $\mathbb {R}$ betrachtet. Die Beweisidee besteht darin, die Aussage auf das Ergebnis von Frobenius zurückzuführen; der ausführliche Beweis wurde jedoch erst 1968 durch seinen Schüler Wiesław Żelazko veröffentlicht. Schon 1939 und 1941 veröffentlichte Israel Gelfand einen kurzen, eleganten Beweis für den Spezialfall komplexer normierter Divisionsalgebren: Diese sind notwendig eindimensional (über $\mathbb {C}$, scil.). Der kurze, bekannte Beweis stützt sich auf die Betrachtung (des Definitionsbereichs) der Resolventenfunktion $r_{a}(z):={\frac {1}{a-z\cdot 1_{A}}}$ eines $a\in A$, den Satz von Liouville und den Satz von Hahn-Banach (lässt also transfinite Methoden (Auswahlaxiom bzw. das Lemma von Zorn) einfließen) und verortet die Erkenntnis somit in der komplexen Funktionalanalysis und macht ihn zum Ausgangspunkt der Spektraltheorie.

Leonard Tornheim gab im Jahre 1952 einen Beweis, der mit elementaren algebraischen und topologischen Methoden auskommt und die beiden kommutativen Fälle beleuchtet: Zum Beweis des Satzes über kommutative reelle normierte Divisionsalgebren nutzt und beweist Tornheim das obige Lemma über den Definitionsbereich der Resolventenfunktion, aus welchem unmittelbar die ausgezeichnete Rolle von $\mathbb {R}$ und $\mathbb {C}$ als kommutative reell normierte Divisionsalgebren folgen.

Die Tornheimsche Beweismethodik ähnelt – zufällig oder auffällig – dem Beweis des „Vollständigkeitssatzes“ aus der 1918 veröffentlichten Arbeit von Alexander Markowitsch Ostrowski: Der Vollständigkeitssatz betrachtet den Spezialfall archimedisch bewerteter Körper über $\mathbb {R}$ und formuliert die Erkenntnis, dass es nur zwei Archetypen gibt, nämlich $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$, jeweils ausgestattet mit dem gewöhnlichen Absolutbetrag. Wie Ostrowski schon 1918 schreibt, impliziert sein Vollständigkeitssatz, dass (nicht notwendig vollständige) archimedisch bewertete Körper ${\mathit {K}}$ sich als Teilkörper in $\mathbb {C}$ wiederfinden, gegebenenfalls sogar schon in $\mathbb {R}$, falls nämlich das Polynom $X^{2}+1$ über ${\mathit {K}}$ irreduzibel, das heißt, falls $-1$ in ${\mathit {K}}$ kein Quadrat ist: Diese Erkenntnis Ostrowskis bildet den Ausgangspunkt für die Untersuchung der archimedischen (das heißt unendlichen) Primstellen in der Zahlentheorie. Ostrowskis Priorität zum Trotze firmiert sie in der Literatur gelegentlich als Satz von Gelfand-Tornheim.

Das erwähnte Tornheimsche Lemma zum Beweis Satzes von Gelfand-Tornheim impliziert das bedeutsame Lemma über die Existenz von Spektralwerten einer komplexen Banachalgebra mit Eins, aus welchem der Satz von Gelfand-Mazur folgt und das da besagt: „Jedes Element $a\in {\mathit {A}}$ einer komplexen Banachalgebra mit Eins hat ein nicht leeres Spektrum $\operatorname {Spec} :=\left\{z\in \mathbb {C} ,\,a-z\in {\mathit {A}}\backslash {\mathit {A}}^{\times }\right\}$.“ Zwar gibt es für dieses wichtige Lemma einen eleganten Beweis, der transfinite Induktion (Satz von Hahn-Banach) und elementare Ergebnisse der Funktionentheorie nutzt, doch Tornheims Lemma über das Spektrum kann (wie der Vollständigkeitssatz von Ostrowski) elementar bewiesen werden, impliziert mehr als nur den Fall einer komplexen Algebra und ist nicht nur als Hilfssatz von Bedeutung.

Der Satz von Gelfand-Tornheim und das Tornheimsche Lemma verallgemeinern den Vollständigkeitssatz von Alexander Markowitsch Ostrowski aus der Theorie bewerteter Körper auf normierte reelle (Divisions-)Algebren, und Tornheims Beweis ist tatsächlich eine Modifikation des Beweises von Ostrowski aus dem Jahre 1916. Beide Beweise nutzen weder transfinite Induktion noch Ergebnisse der Funktionentheorie, sondern elementare topologische Argumentationen anhand der Gesamtheit aller Einheitswurzeln. Die Beweise von Tornheim und benötigen nicht die Vollständigkeit der Algebra (bzw. des Erweiterungskörpers), sondern lediglich diejenige von $\mathbb {R}$ – allerdings ergibt sie sich als Folge des Satzes.

Der Satz von Gelfand-Tornheim deckt sich mit einer ebenfalls in der Literatur anzutreffenden, varianten Formulierung des Satzes von Gelfand-Mazur.

Während der Satz von Gelfand-Tornheim – oder eine Variante des Satzes von Gelfand-Mazur – eine Aussage über kommutative reelle normierte Divisionsalgebren trifft, betrachtet der Vollständigkeitssatz archimedisch bewertete Körper, wie die folgende Gegenüberstellungen verdeutlichen.

Auszeichnung von $\mathbb {R}$ und $\mathbb {C}$ …

… als vollständige archimedisch bewertete Körper durch den Vollständigkeitssatz von Ostrowski	… als reelle normierte kommutative Divisionsalgebren (mit Einselement) durch den Satz von Gelfand-Tornheim
Es gibt bis auf Isomorphie nur zwei vollständige archimedisch bewertete Körper, nämlich $\mathbb {R}$ und $\mathbb {C}$. Diese beiden sind also die Archetypen vollständiger archimedisch bewerteter Körper.	Es gibt bis auf Isomorphie nur zwei reell normierte Körper, nämlich die eindimensionale (also $\mathbb {R}$) und die zweidimensionale zu $\mathbb {C}$ isomorphe.

Auszeichnung von $\mathbb {C}$ …

… als vollständige archimedisch bewertete Körpererweitung von $\mathbb {C}$ durch eine Teilaussage bzw. Folgerung des Vollständigkeitssatzes von Ostrowski	… als komplexe kommutative Divisionsalgebra, die reell normiert ist, durch eine Teilaussage des Satzes von Gelfand-Tornheim (bzw. eine Variante des Satzes von Gelfand-Mazur)
Es gibt keine echte archimedisch bewertete Körpererweiterung von $\mathbb {C}$ (mit dem gewöhnlichen Absolutbetrag), sondern nur die triviale Erweiterung $\mathbb {C}$ selbst.	Es gibt bis auf isometrische Isomorphie nur eine komplexe Algebra, die als reelle Algebra normiert und ein Schiefkörper ist, nämlich diejenige der komplexen Dimension $1$, das heißt $\mathbb {C}$. Diese Aussage folgt unmittelbar aus dem „Lemma von Tornheim“.
–	Daraus folgt die (schwächere) Variante, dass jede normierte komplexe Schiefkörper eindimensional ist.
Ostrowski folgert aus seinem Vollständigkeitssatz, dass jeder archimedisch bewertete Körper $({\mathit {K}},\vert \cdot \vert )$ sich algebraisch und topologisch in $\mathbb {C}$ einbetten lässt. Diese Einbettung liegt sogar in $\mathbb {R}$, falls $-1$ kein Quadrat in ${\mathit {K}}$ ist.	–

Da sich archimedische Bewertungen auf reellen Körpererweiterungen als Normen der zugehörigen reellen Algebren auffassen lassen, sind alle diese Sätze Folgerungen aus dem Lemma von Tornheim, und der zuletzt erwähnte Satz über komplexe Einbettungen wird sogar gelegentlich als Satz von Gelfand-Tornheim zitiert, obschon Ostrowski ihn bereits 1916 gefunden und 1918 veröffentlicht hat.

Der Namensgebung des Satzes von Gelfand-Tornheim dürfte also mit Fug und Recht die Arbeiten von Ostrowski, Mazur, Gelfand und Tornheim ehren und zugleich die Vorarbeit Georg Frobenius' dankend erwähnen.

Die folgende Synopse legt offen, wie sehr die Beweismethodik von Tornheim derjenigen Ostrowskis ähnelt.

Synopsis: Ostrowski und Tornheim

Die folgende Tabelle stellt dem Beweis Ostrowskis die Beweismodifikation Tornheims zur Seite, die auch für submultiplikative Normen reeller Algebren anwendbar ist. Ostrowski betrachtet archimedisch bewertete Körper, Tornheim reelle normierte Algebren mit Einselement.

Fundamentallemma über das Spektrum

Auch in dieser Tabelle kann gekürzt werden. Angeleichen an die spätere Tabelle

Synopsis

	Teilaussage des Vollständigkeitssatzes von Ostrowski: Ein archimedisch bewertete Körpererweiterung $({\mathit {L}},\Vert \cdot \Vert )/(\mathbb {C} ,\vert \cdot \vert )$ ist trivial.	Teilaussage des Satzes von Gelfand-Tornheim (Tornheims Lemma zum Spektrum): Ist ${\mathit {A}}$ eine reelle normierte kommutative Algebra mit Einselement, die ein $\mathrm {j}$ mit $\mathrm {j} ^{2}=-1$ enthält, so gibt es zu jedem $a\in {\mathit {A}}$ ein $z=x+y\,\mathrm {j}$ mit nicht invertierbarem $a-z$ (das heißt $a-z\in {\mathit {A}}\backslash {\mathit {A}}^{\times }$). (Beweis nach Tornheim)
1	Ostrowski zeigt ${\mathit {L}}=\mathbb {C}$, indem er die Annahme ${\mathit {L}}\supsetneq \mathbb {C}$ zu einem Widerspruch führt.	Tornheim führt die Annahme $(a-\mathbb {C} )\subset {\mathit {A}}^{\times }$ zu einem Widerspruch.
2	Wegen $\Vert a\Vert +\vert z\vert \;\;{\stackrel {\text{(i)}}{\geq }}\;\;\Vert a-z\Vert \;\;{\stackrel {\text{(ii)}}{\geq }}\;\;{\Big \vert }\,\vert z\vert -\Vert a\Vert \,{\Big \vert }$ gilt zunächst für jedes $a\in {\mathit {L}}$ einerseits (i) $\Vert a\Vert \geq \inf _{z\in \mathbb {C} }\{\Vert a-z\Vert \}=:d_{a}$ und andererseits (ii) $\vert z\vert >2\,\Vert a\Vert \Rightarrow \Vert a-z\Vert >\Vert a\Vert$.	Betrachte gemäß Annahme die wohldefinierte, stetige Funktion $g_{a}\colon \mathbb {C} \to \mathbb {R} _{>0},\,z\mapsto \left\Vert {\frac {1}{a-z}}\right\Vert$.
3	Folglich nimmt die stetige Funktion $f_{a}\colon \mathbb {C} \to \mathbb {R} _{>0},\,z\mapsto \Vert a-z\Vert$ nach dem Maximumprinzip ihr globales Infimum $d_{a}$ auf dem Kompaktum $C:=\{z\in \mathbb {C} ,|z|\leq 2\Vert a\Vert \}$ an: $d_{a}=\max _{z\in C}\{\Vert a-z\Vert \}$.	Wegen $g_{a}(z)=\left\Vert {\frac {1}{z}}\cdot {\frac {1}{{\frac {a}{z}}-1}}\right\Vert$ konvergiert $g_{a}$ außerhalb eines großen Kreises gegen Null und nimmt daher auf einem Kompaktum $C$ sein globales Maximum an: $M:=\sup _{z\in \mathbb {C} }g_{a}(z)=\max _{z\in C}g_{a}(z)$.
4	Nach Definition hängt $d_{a}$ nur von der „affinen Ebene“ $a+\mathbb {C}$ in ${\mathit {L}}$ ab, nicht von der Auswahl ihres Repräsentanten $a'\in a+\mathbb {C} =a'+\mathbb {C}$, denn $f_{a}(z'+z)=f_{a-z}(z')$.	Nach Definition hängt $M$ nur von der affinen Ebene $a-\mathbb {C}$ in ${\mathit {A}}$ ab, nicht von der Auswahl ihres Repräsentanten $a'\in a+\mathbb {C} =a'+\mathbb {C}$, denn trivialerweise gilt $g_{a}(z)=g_{a+z'}(z'+z)$.
5	Die „Sphäre“ $S_{a}:=\{s\in \mathbb {C} ,f_{a}(s)=d_{a}\}$ ist also nicht leer, und bei geschickter Auswahl eines $a_{0}\in a+\mathbb {C}$ gilt sogar $0\in S_{a_{0}}$ und $d_{a_{0}}=\Vert a_{0}\Vert$, denn für $z\in \mathbb {C}$ gilt trivialerweise $S_{a-z}=S_{a}-z$, und für jedes $s\in S_{a}$ folgt insbesondere $0\in S_{a}-s=S_{a-s}$. Für $a_{0}:=a-s$ heißt dies $d_{a}=\Vert a_{0}\Vert \leq \Vert a_{0}-z\Vert$ für jedes $z\in \mathbb {C}$. – Von nun an sei gemäß Annahme ein $a\in {\mathit {L}}\backslash \mathbb {C}$ ausgewählt, das heißt, es sei $d:=d_{a}>0$ vorausgesetzt.	Die Menge $T_{a}:=\{t\in \mathbb {C} ,\,g_{a}(t)=M\}$ ist also nicht leer und abgeschlossen. Dabei gilt trivialerweise $T_{a+z}=T_{a}+z$, und für jedes $t\in T_{a}$ folgt insbesondere $0\in T_{a}-t=T_{a-t}$. Für $a_{0}:=a-t$ heißt dies $M=g_{a_{0}}(0)=\left\Vert {\frac {1}{a_{0}}}\right\Vert \geq g_{a}(z)$ für jedes $z\in \mathbb {C}$.
6	Es bezeichne $B_{0}(d):=\{z\in \mathbb {C} ,\,\vert z\vert <d\}$ die offene Kreisumgebung der Null in $\mathbb {C}$.	Es bezeichne $B_{0}(r):=\{z\in \mathbb {C} ,\,\Vert z\Vert <r\}$ die offene Kreisumgebung der Null in $\mathbb {C} \subset {\mathit {A}}$.
7	Behauptung: $S_{a}$ ist offen.	Behauptung: $T_{a}$ ist offen.
8	Dazu wird gezeigt: $S_{a}+B_{0}(d)\subset S_{a}$.	Dazu wird gezeigt: $T_{a}+B_{0}(r)\subset T_{a}$ für geeignetes $r>0$.
9	Dazu genügt es zu zeigen: $0\in S_{a}\Rightarrow B_{0}(d)\subset S_{a}$, denn für $s\in S_{a}$ folgt nach Übergang von $a$ zu $a'=a-s$: $0\in S_{a'}$, also $B_{0}(d)\subset S_{a'}=S_{a-t}=S_{a}-s$, mithin $s+B_{0}(d)\subset S_{a}$.	Dazu genügt es zu zeigen: $0\in T_{a}\Rightarrow B_{0}(r)\subset T_{a}$, denn für $t\in T_{a}$ folgt nach Übergang von $a$ zu $a'=a-t$: $0\in T_{a'}$, also $B_{0}(r)\subset T_{a'}=T_{a-t}=T_{a}-t$, mithin $t+B_{0}(r)\subset T_{a}$.
10	Zum Beweis habe $a$ also von nun an die Eigenschaft $0\in S_{a}$, das heißt $\Vert a\Vert =f_{a}(0)=d$.	Zum Beweis habe $a\neq 0$ also von nun an die Eigenschaft $0\in T_{a}$, das heißt, es gelte $\left\Vert {\tfrac {1}{a}}\right\Vert =g_{a}(0)=M_{a}$. Ferner sei ein reelles $r$ gewählt mit $0<r<\left\Vert {\tfrac {1}{a}}\right\Vert ^{-1}=M^{-1}=:d$, so dass $\left\Vert {\tfrac {r}{a}}\right\Vert <1$.
11	Es werden nun die $k$-ten primitiven Einheitswurzeln $\zeta _{k}\in \mathbb {C}$ (bspw. $\zeta _{k}=\mathrm {e} ^{\frac {2\pi \mathrm {i} }{k}}$) herangezogen. Für sie und für vertauschbare Unbestimmte $X,Y$ gilt in ${\mathit {L}}[X,Y]$: $X^{k}-Y^{k}=\prod _{i=0}^{k-1}(X-\zeta _{k}^{i}\,Y)$. Dabei wird wie üblich vorausgesetzt, dass die Einheitswurzeln mit den Unbestimmten vertauschbar sind.	Links stehende Polynomidentität gilt (mutatis mutandis) ebenso in ${\mathit {A}}[X,Y]$ (mit bspw. $\zeta _{k}=\mathrm {e} ^{\frac {2\pi \mathrm {j} }{k}}$). Bildet man in ${\mathit {A}}(X,Y)$ daraus die logarithmische Ableitung nach $X$, teilt beide Seiten durch $k$ und kürzt auf der linke Seite durch $X^{k-1}$, so erhält man ${\frac {1}{X-Y\,\left({\frac {Y}{X}}\right)^{k-1}}}={\frac {1}{k}}\,\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{X-\zeta _{k}^{i}\,Y}}$.
12	Setzt man in dieser Identität $X=a$ und $Y=z\in B_{0}(d)$, so erhält man die folgende Beziehungen mit Konvergenz:	Setzt man in diese Identität nun $X=a$ und $Y=r$, – wobei ausgenutzt wird, dass $a$ mit allen $r\zeta$, also mit allen komplexen $z\in \mathbb {C} \subset {\mathit {A}}$ vertauschbar ist –, so erhält man die folgende Beziehungen mit Konvergenz:
13	$d\cdot d^{k-1}\leq \underbrace {\Vert a-z\Vert } _{\geq d}\cdot \prod _{i=1}^{k-1}\underbrace {\Vert a-\zeta _{k}^{i}z\Vert } _{\geq d}\;\;{\stackrel {!}{=}}\;\;\Vert a^{k}-z^{k}\Vert \leq \Vert a\Vert ^{k}\cdot \left(1+\left({\tfrac {\Vert z\Vert }{\Vert a\Vert }}\right)^{k}\right)\;\;{\stackrel {\text{oE}}{=}}\;\;d^{k}\cdot \left(1+\left({\tfrac {\Vert z\Vert }{d}}\right)^{k}\right)$. Das Gleichheitszeichen „${\stackrel {\text{oE}}{=}}$“ gilt nach Wahl von $a$ mit $d=\Vert a\Vert$.	$M\geq {\frac {1}{k}}\,\sum _{i=1}^{k}\underbrace {\left\Vert {\frac {1}{a-\zeta _{k}^{i}\,r}}\right\Vert } _{=g(r\zeta _{k}^{i})\leq M_{a}}\geq \left\Vert {\frac {1}{k}}\,\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{a-\zeta _{k}^{i}\,r}}\right\Vert =\left\Vert {\frac {1}{a-r\,\left({\frac {r}{a}}\right)^{k-1}}}\right\Vert \quad {\stackrel {k\to \infty }{\longrightarrow }}\quad \left\Vert {\frac {1}{a}}\right\Vert =M_{a}$
14	Sodann ist gemäß Hypothese ($d\neq 0$) die Division durch $d^{k-1}$ möglich. Beachtet man dabei die Auswahl von $z\in B_{0}(d)$, so erhält man insgesamt die Abschätzung mit Konvergenz $d\leq \Vert a-z\Vert \leq d\left(1+\left({\tfrac {\Vert z\Vert }{d}}\right)^{k}\right)\;\;{\stackrel {k\to \infty }{\longrightarrow }}\;\;\ d$. Der Grenzübergang erzwingt die Gleichheit $d=\Vert a-z\Vert$.	Daher gilt für jedes $k\in \mathbb {N}$ und jedes $1\leq i\leq k$ stets $g(r\zeta _{k}^{i})=M$ (und nicht etwa $g(r\zeta _{k}^{i})<M$). Da nun die Menge aller Einheitswurzeln $\{\zeta _{k}^{i},\,k,i\in \mathbb {N} \}$ dicht auf der Sphäre $S^{1}=\{z\in \mathbb {C} ,|z|=1\}$ liegt, liegt auch die Menge $\{r\zeta _{k}^{i},0<r<d,k\in \mathbb {N} ,1\leq i\leq k\}\subset B_{0}(d)$ dicht. Daher ist die stetige Abbildung $g_{a}$ auf der offenen Kugel $B_{0}(d)$ konstant identisch $M$.
15	Damit ist die Behauptung gezeigt.	Damit ist die Behauptung gezeigt.
16	Hieraus folgt $S_{a}=\mathbb {C}$ aus topologischen Gründen (denn $S_{a}$ ist offen, zugleich jedoch abgeschlossen („abgeschloffen“)) oder induktiv durch iterierte Anwendung $S_{a}\supset S_{a}+\sum _{i=1}^{m}B_{0}(d){\stackrel {m\to \infty }{\longrightarrow }}\mathbb {C}$.	Hieraus folgt $T_{a}=\mathbb {C}$ aus topologischen Gründen ($T_{a}$ offen, zugleich jedoch abgeschlossen) oder induktiv durch iterierte Anwendung $T_{a}\supset T_{a}+\sum _{i=1}^{m}B_{0}(d){\stackrel {m\to \infty }{\longrightarrow }}\mathbb {C}$.
17	Dies liefert einen Widerspruch zur Tatsache, dass $\Vert \cdot \Vert$ ein archimedischer Betrag ist, für den gilt: $\Vert a_{0}-mz\Vert \geq {\Big \vert }\Vert a_{0}\Vert -m\Vert z\Vert {\Big \vert }\;\;{\stackrel {m\to \infty }{\longrightarrow }}\;\;\infty$, sobald nur $z\neq 0$, also zur Tatsache, dass $\mathbb {C}$ im Gegensatz zu $S_{a}$ nicht beschränkt (kompakt) ist.	Dies liefert den Widerspruch, dass $T_{a}$ kompakt ist, nicht aber $\mathbb {C}$.
18	Somit ist die Annahme $d>0$ widerlegt und der Satz bewiesen.	Somit ist die Annahme widerlegt und der Satz bewiesen.

Die Theoremata: Vollständigkeitssatz von Ostrowski und Gelfand-Tornheim

Aus diesen Fundamentallemmata lassen sich Sätze über vollständige archimedisch bewertete Körper bzw. über reell normierte Körper folgern, nämlich der Vollständigkeitssatz einerseits sowie der oben formulierte Satz von Gelfand-Tornheim andererseits.

Dieser Satz wird gelegentlich als Satz von Gelfand-Mazur zitiert, bei anderen Autoren als Satz von Gelfand-Tornheim

Synopsis: Vollständigkeitssatz von Ostrowski und Satz von Gelfand-Tornheim über reell normierte Körper

	Vollständigkeitssatz von Ostrowski über vollständige archimedisch bewertete Körper: Eine archimedisch bewertete Körpererweiterung ${\mathit {K}}$ von $(\mathbb {R} ,\vert \cdot \vert )$ ist entweder gleich $(\mathbb {R} ,\vert \cdot \vert )$ oder gleich $(\mathbb {C} ,\vert \cdot \vert )$.	Satz von Gelfand-Tornheim: Eine reelle normierte Algebra $({\mathit {A}},\Vert \cdot \Vert )$, die ein Körper ist, ist (bis auf isometrische Isomorphie, scil.) entweder gleich $(\mathbb {R} ,\vert \cdot \vert )$ oder gleich $(\mathbb {C} ,\vert \cdot \vert )$.
1	Der Körper $({\mathit {K}},\vert \cdot \vert )$ enthält notwendig den topologischen Abschluss seines Primkörpers, also $\mathbb {R} ,\vert \cdot \vert$ und seine Bewertung ist auf $\mathbb {R}$ äquivalent mit dem gewöhnlichen Absolutbetrag.	Vermöge der Einbettung $\mathbb {R} \hookrightarrow {\mathit {A}},\,r\mapsto r\cdot 1_{\mathit {A}}$ betrachte $\mathbb {R}$ als Teilkörper von ${\mathit {A}}$.
2	Fall A: Das Polynom $X^{2}+1$ über ${\mathit {K}}$ reduzibel, das heißt, $-1$ ist ein Quadrat in ${\mathit {K}}$, etwa $\mathrm {i} ^{2}=-1$.	Fall A: Das Polynom $X^{2}+1$ über ${\mathit {A}}$ reduzibel, das heißt, $-1$ ist ein Quadrat in ${\mathit {A}}$, etwa $\mathrm {j} ^{2}=-1$.
3	Dann ist ${\mathit {K}}$ eine archimedisch bewertete Körpererweiterung von $\mathbb {R} [\mathrm {i} ]=\mathbb {C}$, und die oben bewiesene Teilaussage des Vollständigkeitssatzes lässt auf ${\mathit {K}}=\mathbb {C}$ schließen.	Dann lässt die oben bewiesene Formulierung des Satzes von Gelfand-Tornheim auf ${\mathit {A}}=\mathbb {C}$ schließen, denn $a-z\in {\mathit {A}}\backslash {\mathit {A}}^{\times }=\{0\}$ bedeutet $a=z$.
4	Fall B: Das Polynom $X^{2}+1$ über ${\mathit {K}}$ irreduzibel, das heißt, $-1$ ist kein Quadrat in ${\mathit {K}}$.	Fall B: Das Polynom $X^{2}+1$ über ${\mathit {A}}$ irreduzibel, das heißt, $-1$ ist kein Quadrat in ${\mathit {A}}$.
5	Dann adjungiere eine Wurzel $\mathrm {i}$ von $X^{2}+1$: ${\mathit {L}}:={\mathit {K}}[\mathrm {i} ]\simeq {\mathit {K}}[X]/(X^{2}+1)$. Die Erweiterung hat den Grad $[{\mathit {L}}:{\mathit {K}}]=2$, und es ist ${\mathit {L}}={\mathit {K}}\oplus \mathrm {i} {\mathit {K}}$ mit der Rechenregel $\mathrm {i} ^{2}=-1$.	Definiere ${\mathit {B}}:={\mathit {A}}\oplus \mathrm {j} {\mathit {A}}$ mit der Rechenregel $\mathrm {j} ^{2}=-1$ und erhalte so eine reelle Algebra.
6	Setze den Betrag $\vert \cdot \vert _{K}$ von ${\mathit {K}}$ auf ${\mathit {L}}$ fort durch $\vert x+\mathrm {i} \,y\vert _{L}:={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ und zeige mit mit dem unten stehenden Fortsetzungssatz, dass es sich tatsächlich eine Fortsetzung zu einem archimedischen Absolutbetrag auf ${\mathit {L}}$ handelt.	Setze die reelle Norm $\Vert \cdot \Vert$ von ${\mathit {A}}$ auf ${\mathit {B}}$ fort durch $\Vert x+\mathrm {i} \,y\Vert :=\Vert x\Vert +\Vert y\Vert$ und verifiziere, dass es eine reelle Norm auf ${\mathit {B}}$ ist.
7	Damit erfüllt ${\mathit {L}}$ die Voraussetzungen der oben bewiesenen Teilaussage des Vollständigkeitssatzes von Ostrowski.	Verifiziere, dass somit ${\mathit {B}}$ die Voraussetzungen des oben bewiesenen Satzes von Gelfand erfüllt: ${\mathit {B}}$ ist eine kommutative reelle normierte Algebra mit Einselement, die eine Quadratwurzel $\mathrm {j}$ von $-1$ enthält und ein Körper ist.
8	Nach Fall (A) folgt ${\mathit {L}}=\mathbb {C}$.	Nach Fall (A) folgt ${\mathit {B}}=\mathbb {C}$, denn $b-z\in {\mathit {B}}\backslash {\mathit {B}}^{\times }=\{0\}$ bedeutet $b=z$.
9	Nach Betrachtung der Körpergrade folgt ${\mathit {K}}=\mathbb {R}$.	Nach Betrachtung der Körpergrade folgt ${\mathit {A}}=\mathbb {R}$.
9	Damit ist der Beweis des Vollständigkeitssatzes von Ostrowski erbracht.	Damit ist der Beweis des Satzes von Gelfand-Tornheim (bzw. Gelfand-Mazur) über reell normierte Körper erbracht.

Die Verifikation (in Schritt 6), dass die genannte Definition eine Fortsetzung des Betrages zu einem Betrag liefert, ist nicht so einfach, wie die auf die analoge Verifikation in der rechten Spalte für eine Norm. Zwar gehen die positive Definitheit und Multiplikativität unmittelbar aus den Eigenschaften von Quadratsummen und der Multiplikation in ${\mathit {K}}[\mathrm {i} ]$ hervor, doch die Dreiecksungleichung liegt nicht auf der Hand. Der Nachweis der Fortsetzbarkeit gelingt auf dreierlei Arten:

• Ostrowski selbst zeigt dazu mit elementaren Mitteln einen Fortsetzungssatz für quadratische Erweiterungen: Auf eine quadratische Erweiterung eines vollständigen archimedisch bewerteten Körpers kann dessen Bewertung fortgesetzt werden.
• Allgemeiner lässt sich für endliche Körperweiterungen lokalkompakter Körper zeigen, das ein (archimedischer oder nicht-archimedischer) Betrag vom Grundkörper auf den Erweiterungskörper eindeutig fortgesetzt werden kann.
• Selbst für nicht komplette bewertete Körpererweiterungen lässt sich die Existenz von Fortsetzungen mit Hilfe des Lemmas von Hensel zeigen.

Unmittelbare Folgerungen

Wie schon erwähnt, wird auch gelegentlich der folgende Satz, der unmittelbar aus der obigen Formulierung des Satzes von Gelfand-Tornheim folgt, als Satz von Gelfand-Tornheim bezeichnet: Ein archimedisch bewerteter Körper $({\mathit {K}},\vert \cdot \vert )$ ist Teilkörper von $\mathbb {C}$ mit dem gewöhnlichen Betrag $\vert \cdot \vert$.

Diesen Satz hat allerdings schon Ostrowski in seiner Arbeit von 1916 (1918 veröffentlicht) formuliert, denn er folgt, wie auch die folgende Gegenüberstellung zeigt, mit mindestens gleicher Berechtigung als (Geschenk (corollarium)) aus seinem Vollständigkeitssatz. Zwar bezieht Ostrowski in seinem Artikel nur das obige Ergebnis in seinen „Vollständigkeitssatz“, doch man darf sicher auch die unmittelbar Folgerungen in ihn einbeziehen: „Ein archimedisch bewerteter Körper $(K,\vert \cdot \vert _{K})$ lässt sich algebraisch und isometrisch in $(\mathbb {C} ,\vert \cdot \vert )$ (versehen mit dem gewöhnlichen Absolutbetrag $\vert \cdot \vert$) einbetten. Liegt $\mathbb {R} \subset {\mathit {K}}$ oder ist ${\mathit {K}}$ vollständig, so ist ${\mathit {K}}$ entweder gleich $\mathbb {C}$ oder $\mathbb {R}$ und mithin vollständig.“

Satz: „Ein archimedisch bewerteter Körper $({\mathit {K}},\vert \cdot \vert )$ ist Teilkörper von $(\mathbb {C} ,\vert \cdot \vert )$.“

	als Folgerung aus dem Vollständigkeitssatz von Ostrowski	als Folgerung aus dem Satz von Gelfand-Tornheim
1	Betrachte die topologische Vervollständigung ${\mathit {K}}\hookrightarrow {\hat {\mathit {K}}}$ mit seiner eindeutigen Fortsetzung des (stetigen) archimedischen Betrages $\vert \cdot \vert$ auf ${\hat {\mathit {K}}}$.	Betrachte die topologische Vervollständigung ${\mathit {K}}\hookrightarrow {\hat {\mathit {K}}}$ mit seiner eindeutigen Fortsetzung des (stetigen) archimedischen Betrages $\vert \cdot \vert$ auf ${\hat {\mathit {K}}}$, der sich als reelle Norm auf ${\hat {\mathit {K}}}$ auffassen lässt.
2	Der Körper ${\hat {\mathit {K}}}$ erfüllt die Voraussetzungen des Vollständigkeitssatzes von Ostrowski.	Der Körper ${\hat {\mathit {K}}}$ lässt sich somit als eine reelle normierte Algebra betrachten, die ein Körper ist, und erfüllt somit die Voraussetzungen des Satzes von Gelfand-Tornheim.
3	Also gilt entweder Fall (A) ${\mathit {K}}\subset {\hat {\mathit {K}}}=\mathbb {C}$ oder Fall (B) ${\mathit {K}}\subset {\hat {\mathit {K}}}=\mathbb {R}$	Also gilt entweder Fall (A) ${\mathit {K}}\subset {\hat {\mathit {K}}}=\mathbb {C}$ oder Fall (B) ${\mathit {K}}\subset {\hat {\mathit {K}}}=\mathbb {R}$
4	In beiden Fällen ist ${\mathit {K}}$ ein Teilkörper von $\mathbb {C}$, q.e.d.	In beiden Fällen ist ${\mathit {K}}$ ein Teilkörper von $\mathbb {C}$, q.e.d.

Folgerungen

Vollständigkeitssatz von Ostrowski

Weil, wie bereits erwähnt, die Fortsetzung $\vert \cdot \vert _{L}$ einer Bewertung $\vert \cdot \vert _{K}$ auf einem Grundkörper $K$ zu einer Bewertung auf einem Erweiterungskörper $L$ als Norm auf dem $K$-Vektorraum $L$ aufgefasst werden kann, folgt der Vollständigkeitssatz von Ostrowski aus dem Satz von Gelfand-Tornheim und kann als ein Spezialfall betrachtet werden.

Der Satz von Ostrowski betrachtet archimedisch bewertete Körper $(K,\vert \cdot \vert )$. Diese haben notwendig Charakteristik Null, also den Primkörper $\mathbb {Q}$. Da $\vert \cdot \vert$ auf $\mathbb {Q}$ zum gewöhnlichen Absolutbetrag äquialent ist, kann ohne Einschränkung kann daher angenommen werden, dass die Bewertung $\vert \cdot \vert$ den Absolutbetrag von $\mathbb {Q}$ (also die Identität auf $\mathbb {N}$) fortsetzt.

Es sei daher noch einmal zusammengefasst, zu welchem Ergebnis Ostrowski im Vollständigkeitssatz und seinen unmittelbaren Folgerungen gelangt:

Vollständigkeitssatz (Ostrowski, 1916/1918): Für einen archimedisch bewerteten Körper $(K,\vert \cdot \vert )$ sind die folgenden Aussagen äquivalent:

• $K$ ist vollständig bezüglich $\vert \cdot \vert$.
• $K$ ist gleich $\mathbb {C}$ oder gleich $\mathbb {R}$, und $\vert \cdot \vert$ ist äquivalent zum gewöhnlichen Absolutbetrag, ja sogar eine Fortsetzung desselben.
  • Genau dann, wenn $X^{2}+1$ über $K$ irreduzibel ist, gilt $K\simeq \mathbb {R}$.
  • Andernfalls gilt $K\simeq \mathbb {C}$.
• $\mathbb {R}$ lässt sich isometrisch und algebraisch in $K$ einbetten, das heißt:
• $K$ enthält $\mathbb {R}$, und $\vert \cdot \vert$ ist auf $\mathbb {R}$ äquivalent mit dem gewöhnlichen Absolutbetrag.

Deshalb lässt sich ein archimedisch bewerteter Körper stets isometrisch algebraisch einbetten in $(\mathbb {C} ,\vert \cdot \vert )$ und ist mithin stets Zwischenkörper von $\mathbb {Q} \subset \mathbb {C}$.

Diese letzte Aussage wird gelegentlich als Satz von Gelfand-Tornheim zitiert.

Satz von Gelfand-Mazur

Eine Variante des Satzes von Gelfand-Mazur besagt: Es sei ${\mathit {A}}$ eine (nicht notwendig kommutative) komplexe Banachalgebra mit Eins. Ist ${\mathit {A}}$ zudem ein Schiefkörper, so hat ${\mathit {A}}=\mathbb {C} \cdot 1_{\mathit {A}}$ die komplexe Dimension $1$ und ${\mathit {A}}$ ist kommutativ.

Wie oben erwähnt, folgt dies unmittelbar aus dem obigen Lemma.

Bemerkenswert ist, dass Tornheims Beweis ohne transfinite Methoden (ohne Auswahlaxiom, Lemma von Zorn, Satz von Hahn-Banach) auskommt.

Fundamentalsatz der Algebra

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt: Jedes (normierte) komplexe Polynom $f(X)$ zerfällt in (normierte) Linearfaktoren. Denn seine Nullstellen sind die Eigenwerte desjenigen Endomorphismus', dessen charakteristisches Polynom $f(X)$ ist, und bilden gerade das Spektrum des linearen Operators als Element der komplexen Algebra ${\mathit {A}}:=\operatorname {End} _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} ^{\deg f})\simeq \operatorname {Mat} (\deg f,\mathbb {C} )$. Dieses ist nach dem Satz von Gelfand-Tornheim nicht leer. Kurz: Nullstellen sind Eigenwerte, und im Endlichdimensionalen sind Eigenwerte Spektralwerte.

Diese Argumentation gelingt auch mit Hilfe des Vollständigkeitssatzes von Ostrowski (anstelle des Satzes von Gelfand-Tornheim), und so lässt sich der Fundamentalsatz der Algebra ganz auf elementare Argumente der Bewertungstheorie zurückführen.

Reelle normierte Divisionsalgebren im Allgemeinen

Die Tragweite des Tornheimschen Beweisansatzes wird deutlich, wenn auch der Beweis eines weiteren bedeutsamen Lemmas aus seiner Originalarbeit in den Blick genommen wird:

Jedes Element einer normierten reellen Divisionsalgebra genügt einer reellen quadratischen Gleichung, das heißt, ist Nullstelle eines quadratischen reellen Polynoms.

Das obige Fundamentallemma über das Spektrum kann in dieser Perspektive so formuliert werden:

Jedes Element einer komplexen Divisionsalgebra, die reell normiert ist, genügt einer komplexen linearen Gleichung, das heißt, ist Nullstelle eines linearen komplexen Polynoms und mithin eine komplexe Zahl.

Beide Lemmata lassen sich so zusammenfasssen:

Es sei ${\mathit {A}}$ eine reelle normierte Algebra.

Fall B: Enthält ihr Zentrum $Z({\mathit {A}})=\{b\in {\mathit {A}}\mid \forall a\in {\mathit {A}}:ab=ba\}$ ein Element $\mathrm {j}$ mit $\mathrm {j} ^{2}=-1$, so gibt es eine Einbettung $\mathbb {C} \hookrightarrow {\mathit {A}},\mathrm {i} \mapsto \mathrm {j}$ und bezüglich dieser Einbettung gibt es zu jedem $a\in {\mathit {A}}$ ein Element $z\in \mathbb {C} \hookrightarrow {\mathit {A}}$ mit $a-z\notin {\mathit {A}}^{\times }$.

Fall A: Ist dies nicht der Fall, so gibt es zu jedem $a\in {\mathit {A}}$ Elemente $p,q\in \mathbb {R} \hookrightarrow {\mathit {A}}$ mit $a^{2}+pa+q\notin {\mathit {A}}^{\times }$.

So verwundert es nicht, dass der Beweis dieses Lemmas aus dem vorigen durch eine Modifikation des Beweises hervorgeht.

Aus diesem Satz folgen erneut die Tatsachen:

Eine kommutative reelle normierte Divisionsalgebra ${\mathit {A}}$ ist (bis auf isometrische Isomorphie) gleich $(\mathbb {C} ,\vert \cdot \vert )$ oder gleich $(\mathbb {R} ,\vert \cdot \vert )$ ist. Es treten also nur die Dimensionen $1$ und $2$ auf.

Eine (nicht notwendig kommutative) komplexe normierte Divisionsalgebra ${\mathit {A}}$ ist eindimensional, das heißt, sie ist bis auf isometrische Isomorphie gleich $(\mathbb {C} ,\vert \cdot \vert )$. Zum Beweis betrachte man die kommutative Unteralgebra $\mathbb {C} (a)$ für ein $a\in {\mathit {A}}$.

Modifikation des Beweises für Fall B

Der Beweis der obigen Aussage, dass jedes Element einer reellen normierten Divisionsalgebra quadratischen Grades ist, folgt wiederum dem Beweisschema des Tornheimschen Lemmas zum Spektrum. Dazu müssen die logarithmische Ableitung der Kreisteilungsgleichung und die zu betrachtende Funktion so verändert werden, dass sie keinen Gebrauch von einer Einbettung $\mathbb {C} \hookrightarrow {\mathit {A}}$ machen, da nur die Einbettung $\mathbb {R} \hookrightarrow {\mathit {A}}$ vorausgesetzt ist.

Anstelle der Funktion $g_{a}\colon \operatorname {Res} _{\mathbb {C} }(a)\to \mathbb {R} _{\geq 0},\,z\mapsto \Vert \operatorname {res} _{a}(z)\Vert :=\left\Vert {\frac {1}{a-z}}\right\Vert$ wird daher die folgende Funktion betrachtet:

${\begin{array}{cccccccccc}h_{a}\colon &\mathbb {R} \times \mathbb {R} &{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {R} (a,\mathrm {i} )&\longrightarrow &\mathbb {R} (a)&\longrightarrow &\mathbb {R} _{\geq 0}\\&(x,y)&\mapsto &x+\mathrm {i} \,y=:z&\mapsto &{\dfrac {1}{a-z}}&\mapsto &{\dfrac {1}{a-z}}+{\dfrac {1}{a-{\overline {z}}}}={\dfrac {2(a-x)}{(a-x)^{2}+y^{2}}}&\mapsto &\left\Vert \underbrace {{\dfrac {1}{a-z}}+{\dfrac {1}{a-{\overline {z}}}}} _{\in \mathbb {R} (a){\text{ (!)}}}\right\Vert =\left\Vert {\dfrac {2(a-x)}{(a-x)^{2}+y^{2}}}\right\Vert .\end{array}}$

Ihr Definitionsbereich von $h_{a}$ beruht auf der Annahme, dass kein reelles quadratisches Polynom im Körper $\mathbb {R} (a)\subset {\mathit {A}}$ die Nullstelle $a\neq 0$ besitzt. Zwar wird zur Definition von $h_{a}$ die quadratische Körpererweiterung $\mathbb {R} (a)[\mathrm {i} ]=\mathbb {C} (a)/\mathbb {R} (a)$ genutzt, doch die Rechnung zeigt, dass schon der Teilkörper $\mathbb {R} (a)\hookrightarrow {\mathit {A}}$ ausreicht, der zudem mit der Norm von ${\mathit {A}}$ ausgestattet ist.

Beachte: Ist nämlich $-1$ kein Quadrat in ${\mathit {A}}$, so besitzt der kommutative Teilkörper $\mathbb {R} (a)$ den quadratischen Erweiterungskörper $\mathbb {R} (a)[\mathrm {i} ]=\mathbb {C} (a)$, doch ist auf ihm nicht die Norm von ${\mathit {A}}$ definiert.

Die Funktion $h_{a}$ erfüllt offenkundig diese Translations- und Symmetrieeigenschaften: $h_{a}(x,y)=h_{a+x'}(x+x',-y)$ bzw. $h_{a}(z)=h_{a+x'}({\overline {(}}z)+x')$ Als Funktion auf $\mathbb {C}$ betrachtet, ist sie also symmetrisch zur reellen Achse $y=\Im z=0$. Die Translationseigenschaft gilt nur in Bezug auf die „affine reelle Gerade“ $a+\mathbb {R}$, nicht bezüglich der „affinen Ebene“ $a+\mathbb {C}$.

Der Translationseigenschaft wegen konnte hierbei im Beweis des vorigen Falles A ohne Einschränkung $z=s=0\,(\in S_{a})$ gewählt werden. Im hiesigen Fall B hingegen kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit das $a\in {\mathit {A}}$ nur so ausgewählt werden, dass man sich auf ein rein imaginäres $z=y\mathrm {i}$ (also $\Re z=0$) zurückziehen kann. ERLEICHTERT das die RECHNUNG?

Die Funktion $h_{a}$ entsteht aus $g_{a}$, indem anstelle der Norm von $\operatorname {res} _{a}(z)$ die Norm der Summe $\operatorname {res} _{a}(z)+\operatorname {res} _{a}({\overline {z}})$ betrachtet wird, so dass $h_{a}(z)=h_{a}({\overline {z}})$. Ebenso betrachtet man anstelle von $S(k)={\mathcal {P}}_{k}(a+z,r)$ die Summe $S(k):={\mathcal {P}}_{k}(a+z,r)+{\mathcal {P}}_{k}(a+{\overline {z}},r)$ für geeignet gewählte Größen $z\in \mathbb {C}$ und $r\in \mathbb {R}$.

DELENDUM: Polynomidentität über dem maximal reellen Kreisteilungskörper

Das Folgende ist alles richtig, wird aber so gar nicht benötigt. Stattdessen wird ${\mathcal {P}}_{k}(a-t,r)+{\mathcal {P}}_{k}(a-{\overline {t}},r)$ betrachtet, wie ja auch $h_{a}$ analog aus $g_{a}$ entsteht.

Ausgangspunkt für die Modifikation ist die triviale Tatsache über die komplex Konjugierten der Einheitswurzeln auf der Einheitssphäre $S^{1}\subset \mathbb {C}$:

$\{\zeta _{k}^{i},\,1\leq i\leq k\}={\overline {\{\zeta _{k}^{i},\,1\leq i\leq k\}}}=\{{\overline {\zeta _{k}^{i}}},\,1\leq i\leq k\}$

An die Stelle der logarithmischen Ableitung der Kreisteilungsgleichung $X^{k}-Y^{k}=\prod _{i=1}^{k}(X-\zeta _{k}^{i}\,Y)$ über den Kreisteilungskörpern $\mathbb {Q} [\zeta _{k}]$ tritt die logarithmische Ableitung der Gleichung $(X^{k}-Y^{k})^{2}=\prod _{i=1}^{k}(X-\zeta _{k}^{i}\,Y)\cdot \prod _{i=1}^{k}(X-{\overline {\zeta _{k}^{i}}}\,Y)$, die invariant unter der komplexen Konjugation ist, also nur reellwertige ganzrationale Ausdrücke der Einheitswurzeln involviert und mithin über dem maximal reellen Teilkörper $\mathbb {Q} [\zeta _{k}+{\overline {\zeta _{k}}}]$ Kreisteilungskörper besteht. So tritt an die Stelle der Gleichung

${\frac {1}{X-Y\,\left({\frac {Y}{X}}\right)^{k-1}}}={\frac {1}{k}}\,\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{X-\zeta _{k}^{i}\,Y}}=:{\mathcal {P}}_{k}(X,Y)\quad \in \mathbb {Q} [\zeta _{k}](X,Y)$

(Logarithmische Ableitung der Kreisteilung)

die Gleichung

${\frac {2}{X-Y\,\left({\frac {Y}{X}}\right)^{k-1}}}={\frac {1}{k}}\,\left[\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{X-\zeta _{k}^{i}\,Y}}+\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{X-{\overline {\zeta _{k}^{i}}}\,Y}}\right]=2\,{\mathcal {P}}_{k}(X,Y)\quad \in \mathbb {Q} [\zeta _{k}+{\overline {\zeta _{k}}}](X,Y)$

(Logarithmische Ableitung der maximal reellen Kreisteilung)

Dabei kann im rationalen Funktionenkörper $\mathbb {C} (a)(X,Y)=\mathbb {R} [\mathrm {i} ](a)(X,Y)$ berechnet werden:

${\begin{aligned}{\frac {1}{k}}\,\left[\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{X-\zeta _{k}^{i}\,Y}}+\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{X-{\overline {\zeta _{k}^{i}}}\,Y}}\right]&=&{\frac {1}{k}}\,\sum _{i=1}^{k}\left[{\frac {(X-{\overline {\zeta _{k}^{i}}}\,Y)+(X-\zeta _{k}^{i}\,Y)}{(X-\zeta _{k}^{i}\,Y)\cdot (X-{\overline {\zeta _{k}^{i}}}\,Y)}}\right]&&\\&=&{\frac {1}{k}}\,\sum _{i=1}^{k}\left[{\frac {2\,X-(\zeta _{k}^{i}+{\overline {\zeta _{k}^{i}}})\,Y}{X^{2}-\zeta _{k}^{i}\,YX-X\,{\overline {\zeta _{k}^{i}}}\,Y+\zeta _{k}^{i}Y\,{\overline {\zeta _{k}^{i}}}\,Y)}}\right]&&\\&{\stackrel {!}{=}}&{\frac {2}{k}}\,\sum _{i=1}^{k}\left[{\frac {X-\Re \zeta _{k}^{i}\cdot Y}{X^{2}-\zeta _{k}^{i}\,YX-X\,{\overline {\zeta _{k}^{i}}}\,Y+Y^{2}}}\right]&&{\text{ weil }}\zeta _{k}^{i}\,{\overline {\zeta _{k}^{i}}}=\vert \zeta _{k}^{i}\vert ^{2}=1\\&{\stackrel {!!}{=}}&{\frac {2}{k}}\,\sum _{i=1}^{k}\left[{\frac {X-\Re \zeta _{k}^{i}\cdot Y}{X^{2}-2\Re \zeta _{k}^{i}\,XY+Y^{2}}}\right]&&{\text{ wenn auch }}X{\text{ mit }}\zeta _{k}^{i}{\text{ und }}Y{\text{ vertauschbar.}}\\&{\stackrel {!!!}{=}}&{\frac {2}{k}}\,\sum _{i=1}^{k}\left[{\frac {1}{X-\Re \zeta _{k}^{i}\cdot Y}}\right]&&{\text{weil Nenner niemals Null gem. Annahme}}\\\end{aligned}}$

Für die Unbestimmten dürfen Werte aus dem quadratischen Erweiterungskörper $\mathbb {C} (a)/\mathbb {R} (a)$ eingesetzt werden, und es zeigt sich, dass $2\,P_{k}(X,Y)\in \mathbb {R} (a)(X,Y)$ liegt. Das ist aber ein wahrscheinlich ziemlich triviale, aber wichtige Feststellung. Also kürzen.

Dabei gilt:

• $\mathbb {Q} [\zeta _{k}]\subset \mathbb {C}$.
• $\mathbb {Q} [\zeta _{k}+{\overline {\zeta _{k}}}]\subset \mathbb {R} \subset {\mathit {A}}$.

Abschätzungen

Zur Abschätzung von $h_{a}$ im Unendlichen sind zwei Lemmata erforderlich:

Lemma D: Die identischen Ausdrücke $\left\Vert {\tfrac {1}{a-z}}+{\tfrac {1}{a-{\overline {z}}}}\right\Vert =\left\Vert {\tfrac {2(a-x)}{(a-x)^{2}+y^{2}}}\right\Vert$ sind rechter Hand in $a,b\in \mathbb {R}$ stetig und linker Hand stetig in $z=x+\mathrm {i} \,y\in \mathbb {C}$, wobei ${\overline {z}}=x-\mathrm {i} \,y$.

Lemma E: Zu $a\in {\mathit {A}}$ existiert ein $R_{a}>0$, so dass gilt: $\vert z\vert >R_{a}\Rightarrow \left\Vert {\frac {1}{a-z}}+{\frac {1}{a-{\overline {z}}}}\right\Vert <\left\Vert {\frac {2}{a}}\right\Vert$,

• denn es gilt ${\frac {1}{a-z}}+{\frac {1}{a-{\overline {z}}}}={\frac {{\frac {2a}{z\,{\overline {z}}}}-[{\frac {1}{z}}+{\frac {1}{\overline {z}}}]}{1-a\,[{\frac {1}{z}}+{\frac {1}{\overline {z}}}]+{\frac {a^{2}}{z\,{\overline {z}}}}}}$, und aus den folgenden Konvergenzen im Körper $\mathbb {R} (a)$
  • $\left\Vert {\frac {2a}{z\,{\overline {z}}}}\right\Vert =\left\vert {\frac {1}{z\,{\overline {z}}}}\right\vert \cdot \Vert 2\,a\Vert \quad {\stackrel {\vert z\vert \to \infty }{\longrightarrow }}\quad 0$,
  • $\left\Vert {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{\overline {z}}}\right\Vert =\left\vert {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{\overline {z}}}\right\vert \cdot \Vert 1\Vert \quad {\stackrel {\vert z\vert \to \infty }{\longrightarrow }}\quad 0$,
  • $\left\Vert a\,[{\frac {1}{z}}+{\frac {1}{\overline {z}}}]\right\Vert =\left\vert {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{\overline {z}}}\right\vert \cdot \Vert a\Vert \quad {\stackrel {\vert z\vert \to \infty }{\longrightarrow }}\quad 0$ und
  • $\left\Vert {\frac {a^{2}}{z\,{\overline {z}}}}\right\Vert =\left\vert {\frac {1}{z\,{\overline {z}}}}\right\vert \cdot \Vert a^{2}\Vert \quad {\stackrel {\vert z\vert \to \infty }{\longrightarrow }}\quad 0$
• folgt ${\frac {1}{a-z}}+{\frac {1}{a-{\overline {z}}}}\quad {\stackrel {\vert z\vert \to 0}{\longrightarrow }}\quad 0$ und mithin das Lemma E.

Eine weiteres Lemma liefert einen wichtigen Grenzwert:

Lemma F: $\lim _{k\to \infty }T(k)=M$ Beweis (Seite 66).

Beweise: Synopsis

Es sei ${\mathit {A}}$ eine reelle normierte Algebra mit Einselement $1_{\mathit {A}}$.

• Fall A: Die Algebra enthalte ein Element $\mathrm {j}$ mit $\mathrm {j} ^{2}=-1_{\mathit {A}}$ und $a\mathrm {j} =\mathrm {j} a$ für jedes $a\in {\mathit {A}}$, so dass vermöge $\mathrm {i} \mapsto \mathrm {j}$ eine Einbettung $\mathbb {C} \hookrightarrow {\mathit {A}}$ definiert ist, durch welche ${\mathit {A}}$ eine komplexe Algebra wird.
  • Notabene: Das bedeutet nicht, dass ${\mathit {A}}$ zu einer komplex normierten Algebra wird.
• Fall B: Dies sei nicht der Fall.

Synopsis

	Fall B: Zu dem Element $a\in {\mathit {A}}$ einer reellen normierten Algebra ${\mathit {A}}$ gibt es ein quadratisches reelles Polynom $f(X)\in \mathbb {R} [X]$ mit $f(a)\in {\mathit {A}}\backslash {\mathit {A}}^{\times }$. Ist dabei ${\mathit {A}}$ Divisionsalgebra, so genügt also jedes ihrer Elemente einer reellen quadratischen Gleichung.	Fall A: Teilaussage des Satzes von Gelfand-Tornheim (Tornheims Lemma zum Spektrum): Ist ${\mathit {A}}$ eine reelle normierte Algebra mit Einselement, die in ihrem Zentrum ein $\mathrm {j}$ mit $\mathrm {j} ^{2}=-1$ enthält, so gibt es zu jedem $a\in {\mathit {A}}$ ein $z=x+y\,\mathrm {j}$ mit nicht invertierbarem $a-z$ (das heißt $a-z\in {\mathit {A}}\backslash {\mathit {A}}^{\times }$). (Beweis nach Tornheim)
1	Tornheim beweist die Aussage, indem er die Annahme $\forall a\in {\mathit {A}},x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} :a^{2}+r_{1}a+r_{2}\in {\mathit {A}}^{\times }$ zu einem Widerspruch führt.	Tornheim führt die Annahme $(a-\mathbb {C} )\subset {\mathit {A}}^{\times }$ zu einem Widerspruch.
2	Betrachte die gemäß Annahme wohldefinierte, stetige Funktion $h_{a}\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \quad {\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}\quad \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\;(x,y)\mapsto x+\mathrm {i} \,y=:z\mapsto \left\Vert {\frac {1}{a-z}}+{\frac {1}{a-{\overline {z}}}}\right\Vert =\left\Vert {\frac {2(a-x)}{(a-x)^{2}+y^{2}}}\right\Vert .$	Betrachte die gemäß Annahme wohldefinierte, stetige Funktion $g_{a}\colon \mathbb {C} \to \mathbb {R} _{>0},\,z\mapsto \left\Vert {\frac {1}{a-z}}\right\Vert$.
3	Wegen obiger Abschätzungen (Lemma E) konvergiert $h_{a}$ außerhalb eines großen Kreises der komplexen Ebene gegen Null und nimmt daher auf einem Kompaktum $C\subset \mathbb {C}$ sein globales Maximum an: $M:=\sup _{z\in \mathbb {C} }h_{a}(z)=\max _{z\in C}h_{a}(z)$.	Wegen $g_{a}(z)=\left\Vert {\frac {1}{z}}\cdot {\frac {1}{{\frac {a}{z}}-1}}\right\Vert =\left\vert {\frac {1}{z}}\right\vert \,\left\Vert {\frac {1}{{\frac {a}{z}}-1}}\right\Vert$ konvergiert $g_{a}$ (nach Lemma A, B und C) außerhalb eines großen Kreises gegen Null und nimmt daher auf einem Kompaktum $C$ sein globales Maximum an: $M:=\sup _{z\in \mathbb {C} }g_{a}(z)=\max _{z\in C}g_{a}(z)$.
4	Die Funktion $h_{a}(x,y)$ hängt nur von $(x,\vert y\vert )$ ab (ist also symmetrisch im Imaginärteil) und erfüllt im Realteil $x=\Re z$ die Translationseigenschaft $h_{a+x}(z+x)=h_{a}(z)$. Daher hängt $M$ nur von der affinen Gerade $a+\mathbb {R}$ ab.	Nach Definition hängt $M$ nur von der affinen Ebene $a-\mathbb {C}$ in ${\mathit {A}}$ ab, nicht von der Auswahl ihres Repräsentanten $a'\in a+\mathbb {C} =a'+\mathbb {C}$, denn trivialerweise gilt $g_{a}(z)=g_{a+z'}(z'+z)$.
5	Die Menge $T_{a}:=\{t\in \mathbb {C} ,\,h_{a}(t)=M\}$ ist also nicht leer und abgeschlossen. Dabei gilt trivialerweise $T_{a+x}=T_{a}+x$, und für jedes $t\in T_{a}$ folgt insbesondere $0\in T_{a}-\Re t=T_{a-\Re t}$. Für $a_{0}:=a-\Re t$ heißt dies $M=h_{a_{0}}(0)=\left\Vert {\frac {2\,a}{a^{2}}}\right\Vert =\left\Vert {\frac {2}{a}}\right\Vert \geq h_{a}(z)$ für jedes $z\in \mathbb {C}$.	Die Menge $T_{a}:=\{t\in \mathbb {C} ,\,g_{a}(t)=M\}$ ist also nicht leer und abgeschlossen. Dabei gilt trivialerweise $T_{a+z}=T_{a}+z$, und für jedes $t\in T_{a}$ folgt insbesondere $0\in T_{a}-t=T_{a-t}$. Für $a_{0}:=a-t$ heißt dies $M=g_{a_{0}}(0)=\left\Vert {\frac {1}{a_{0}}}\right\Vert \geq g_{a}(z)$ für jedes $z\in \mathbb {C}$.
6	Es bezeichne $B_{0}(r):=\{z\in \mathbb {C} ,\,\Vert z\Vert <r\}$ die offene Kreisumgebung der Null in $\mathbb {C} \subset {\mathit {A}}$.	Es bezeichne $B_{0}(r):=\{z\in \mathbb {C} ,\,\Vert z\Vert <r\}$ die offene Kreisumgebung der Null in $\mathbb {C} \subset {\mathit {A}}$.
7	Behauptung: $T_{a}$ ist offen.	Behauptung: $T_{a}$ ist offen.
8	Dazu wird gezeigt: $t\in T_{a}\Rightarrow t+B_{0}(r)\subset T_{a}$ für geeignetes $r>0$.	Dazu wird gezeigt: $T_{a}+B_{0}(r)\subset T_{a}$ für geeignetes $r<0$.
9	Da die Translationseigenschaft nur partiell gilt, kann man sich hier nicht ohne Beschränkung der Allgemeinheit auf eine Betrachtung des Nullpunktes zurückziehen, Wohl aber auf $x:=\Re z=0$, was die Rechnungen wenig vereinfacht.	Dazu genügt es zu zeigen: $0\in T_{a}\Rightarrow B_{0}(r)\subset T_{a}$, denn für $t\in T_{a}$ folgt nach Übergang von $a$ zu $a'=a-t$: $0\in T_{a'}$, also $B_{0}(r)\subset T_{a'}=T_{a-t}=T_{a}-t$, mithin $t+B_{0}(r)\subset T_{a}$.
10	Es sei also $t\in T_{a}$ und es sei $0<r<\min \left(\underbrace {\left\Vert {\frac {1}{a-t}}\right\Vert +\left\Vert {\frac {1}{a-{\overline {t}}}}\right\Vert } _{=:N_{1}},\underbrace {\sqrt {\left\Vert {\frac {1}{(a-t)\,(a-{\overline {t}})}}\right\Vert }} _{=:N_{2}={\sqrt {L}}}\right)$	Zum Beweis habe $a\neq 0$ also von nun an die Eigenschaft $0\in T_{a}$, das heißt, es gelte $\left\Vert {\tfrac {1}{a}}\right\Vert =g_{a}(0)=M_{a}$. Es sei nun $r$ gewählt mit $0<r<\left\Vert {\tfrac {1}{a}}\right\Vert ^{-1}=M^{-1}=:d$, so dass $\left\Vert {\tfrac {r}{a}}\right\Vert <1$.
11	Die logarithmische Ableitung der Kreisteilungsgleichung ${\frac {1}{X-Y\,\left({\frac {Y}{X}}\right)^{k-1}}}={\frac {1}{k}}\,\left[\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{X-\zeta _{k}^{i}\,Y}}\right]={\mathcal {P}}_{k}(X,Y)$, die über dem Kreiskörper $\mathbb {Q} [\zeta _{k}]\subset \mathbb {C}$ gilt, wird zu einer Gleichung im maximal reellen Teilkörper $\mathbb {Q} [\zeta _{k}+{\overline {\zeta _{k}}}]\hookrightarrow {\mathit {A}}$, indem man die Summe ${\mathcal {P}}(z,r)+{\mathcal {P}}({\overline {z}},r)$ betrachtet.	Die logarithmische Ableitung der Kreisteilungsgleichung ${\frac {1}{X-Y\,\left({\frac {Y}{X}}\right)^{k-1}}}={\frac {1}{k}}\,\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{X-\zeta _{k}^{i}\,Y}}$ gilt über dem Kreisteilungskörper $\mathbb {Q} [\zeta _{k}]\hookrightarrow {\mathit {A}}$.
12	Dabei setze man $z:=a-t$ und ${\overline {z}}=a-{\overline {t}}$. Setzt man in die Identität zur logarithmischen Ableitung der Kreisteilung nun $X=z=a-t$ (und ${\overline {X}}={\overline {z}}=a-{\overline {t}}$) und $Y=r$ – wobei wie in Fall A ausgenutzt wurde, dass im Körper $\mathbb {C} (a)$ das Element $a$ mit allen $r\zeta$, also mit allen komplexen $z\in \mathbb {C}$ vertauschbar ist und das Ergebnis ${\mathcal {P}}_{k}(X,Y)+{\mathcal {P}}_{k}({\overline {X}},Y)\in \mathbb {R} (a)(X,Y)\quad [\hookrightarrow {\mathit {A}}(X,Y)]$ liegt und mithin die Norm $T(k):=\Vert {\mathcal {P}}_{k}(X,Y)+{\mathcal {P}}_{k}({\overline {X}},Y)\Vert$ gebildet werden kann –, so erhält man die folgende Beziehungen mit Konvergenz:	Setzt man in diese Identität nun $X=a$ und $Y=r$, – wobei ausgenutzt wird, dass $a$ mit allen $r\zeta$, also mit allen komplexen $z\in \mathbb {C} \subset {\mathit {A}}$ vertauschbar ist –, so erhält man die folgende Beziehungen mit Konvergenz:
13	${\begin{aligned}M&\geq &{\frac {1}{k}}\,\sum _{i=1}^{k}\left[\underbrace {\left\Vert {\frac {1}{a-t-\zeta _{k}^{i}\,r}}+{\frac {1}{a-{\overline {t}}-{\overline {\zeta _{k}^{i}}}\,r}}\right\Vert } _{=h_{a}(t+r\,\zeta _{k}^{i})}\right]\geq \Vert {\mathcal {P}}_{k}(a-t,r)+{\mathcal {P}}_{k}(a-{\overline {t}},r)\Vert =T(k)\\&=&\left\Vert {\frac {1}{z-r\,\left({\frac {r}{z}}\right)^{k-1}}}+{\frac {1}{{\overline {z}}-r\,\left({\frac {r}{\overline {z}}}\right)^{k-1}}}\right\Vert =\left\Vert {\frac {z+{\overline {z}}-r^{k}\,M_{k-1}}{z\,{\overline {z}}\,(1-r^{k}\,M_{k})+{\frac {r^{2k}}{(z\,{\overline {z}})^{k-1}}}}}\right\Vert \\&{\stackrel {k\to \infty }{\longrightarrow }}&M=\Vert M_{1}\Vert \end{aligned}}$, wobei $M_{k}:={\frac {1}{z^{k}}}+{\frac {1}{{\overline {z}}^{k}}}={\frac {z^{k}+{\overline {z^{k}}}}{\vert z\vert ^{2k}}}$. Denn nach Lemma F konvergieren alle drei Terme $r^{k}\,M_{k-1}$, $r^{k}\,M_{k}$ und ${\frac {r^{2k}}{(z\,{\overline {z}})^{k-1}}}$ nach Wahl von $r$ mit $k\to \infty$ gegen Null. Übrigens gilt oE $z+{\overline {z}}=2(a+x){\stackrel {\text{oE}}{\;=\;}}2a$ sowie $z\,{\overline {z}}=a^{2}+\vert z\vert ^{2}{\stackrel {\text{oE}}{\;=\;}}a^{2}+y^{2}$, wenn nach geeigneter Translation von $a$ der Realteil $x:=\Re z=\Re t=0$ verschwinden kann.	$M\geq {\frac {1}{k}}\,\sum _{i=1}^{k}\underbrace {\left\Vert {\frac {1}{a-\zeta _{k}^{i}\,r}}\right\Vert } _{=g(r\,\zeta _{k}^{i})\leq M_{a}}\geq \left\Vert {\frac {1}{k}}\,\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{a-\zeta _{k}^{i}\,r}}\right\Vert =\left\Vert {\frac {1}{a-r\,\left({\frac {r}{a}}\right)^{k-1}}}\right\Vert \quad {\stackrel {k\to \infty }{\longrightarrow }}\quad \left\Vert {\frac {1}{a}}\right\Vert =M_{a}$
14	Daher gilt für jedes $k\in \mathbb {N}$ und jedes $1\leq i\leq k$ stets $h_{a}(t+r\zeta _{k}^{i})=M$ (und nicht etwa $h_{a}(t+r\,\zeta _{k}^{i})<M$). Da nun die Menge aller Einheitswurzeln $\{\zeta _{k}^{i},\,k,i\in \mathbb {N} \}$ dicht auf der Sphäre $S^{1}=\{z\in \mathbb {C} ,|z|=1\}$ liegt, liegt auch die Menge $\{r'\zeta _{k}^{i},\,0<r'<r,k\in \mathbb {N} ,1\leq i\leq k\}\subset B_{0}(r)$ dicht. Daher ist die stetige Abbildung $h_{a}$ auf der offenen Kugel $t+B_{0}(r)$ konstant identisch $M$.	Daher gilt für jedes $k\in \mathbb {N}$ und jedes $1\leq i\leq k$ stets $g(r\zeta _{k}^{i})=M$ (und nicht etwa $g(r\zeta _{k}^{i})<M$). Da nun die Menge aller Einheitswurzeln $\{\zeta _{k}^{i},\,k,i\in \mathbb {N} \}$ dicht auf der Sphäre $S^{1}=\{z\in \mathbb {C} ,|z|=1\}$ liegt, liegt auch die Menge $\{r\zeta _{k}^{i},\,0<r<d,k\in \mathbb {N} ,1\leq i\leq k\}\subset B_{0}(d)$ dicht. Daher ist die stetige Abbildung $g_{a}$ auf der offenen Kugel $B_{0}(d)$ konstant identisch $M$.
15	Nach Definition von $T_{a}$ folgt hieraus $t+B_{0}(r)\subset T_{a}$.	Damit ist die Behauptung gezeigt.
16	Hieraus folgt $T_{a}=\mathbb {C}$ aus topologischen Gründen (denn $T_{a}$ ist offen, zugleich jedoch abgeschlossen („abgeschloffen“)) oder induktiv durch iterierte Anwendung $T_{a}\supset T_{a}+\sum _{i=1}^{m}B_{0}(d){\stackrel {m\to \infty }{\longrightarrow }}\mathbb {C}$.	Hieraus folgt $T_{a}=\mathbb {C}$ aus topologischen Gründen ($T_{a}$ offen, zugleich jedoch abgeschlossen) oder induktiv durch iterierte Anwendung $T_{a}\supset T_{a}+\sum _{i=1}^{m}B_{0}(d){\stackrel {m\to \infty }{\longrightarrow }}\mathbb {C}$.
17	Dies liefert den Widerspruch, dass $T_{a}$ kompakt ist, nicht aber $\mathbb {C}$.	Dies liefert den Widerspruch, dass $T_{a}$ kompakt ist, nicht aber $\mathbb {C}$.
18	Somit ist der Definitionsbereich von $h_{a}$ nicht zulässig, das heißt: Die Annahme, dass die Menge $a^{2}+\mathbb {R} a+\mathbb {R} \subset {\mathit {A}}^{\times }$ ist widerlegt und das Lemma bewiesen.	Somit ist die Annahme widerlegt und das Lemma über das Spektrum bewiesen.

Folgerungen

Aus diesem Lemma folgt in Verbindung mit einem Ergebnis von Richard Friederich Arens bzw. Lew Semjonowitsch Pontrjagin, welches – in Verallgemeinerung des Satzes von Frobenius über reelle Divisionsalgebren (1877) – besagt, dass eine reelle Divisionsalgebra, deren Elemente sämtlich algebraisch über $\mathbb {R}$ sind, gleich $\mathbb {R}$, $\mathbb {C}$ oder $\mathbb {H}$ sind, das folgende Theorem:

Eine (nicht notwendig kommutative) normierte reelle Divisionsalgebra ist entweder isomorph zu $\mathbb {R}$, zu $\mathbb {C}$ oder zu $\mathbb {H}$ (Quaternionen-Schiefkörper). Es treten also nur die Dimensionen $1,\,2$ und $4$ auf.

Dazu siehe auch Pontrjagins Arbeit von 1932, wiedergeben in Topologische Gruppen, Teil 2, Seite 201 unten („Beweis des Satzes 22 … den letzten Teil dieses Satzes zu beweisen“) und Seite 202. Es müsste für den vorliegenden Fall, nach dem es ja nur um höchstens quadratische irreduzible Polynome geht, eine sehr einfache Abkürzung der Abkürzung geben, mutmaßlich unter Verwendung der Argumente, die auf Seite 180 Mitte beginnen („Es seien i und j zwei Element von K …“)

Für den Satz von Frobenius (1877) gibt Pontrjagin einen elementaren Beweis an.

Dieses Theorem überträgt Satzes von Frobenius über reelle Divisionsalgebren (1877) von endlichdimensionalen auf normierte reelle Divisionsalgebren.

Ein Fortsetzungssatz für quadratische Erweiterungen von Ostrowski

Satz: Es sei $({\mathit {K}},\vert \cdot \vert )$ ein vollständiger archimedisch bewerteter Körper und ${\mathit {L}}/{\mathit {K}}$ eine quadratische Erweiterung. Dann wird vermöge der Körpernorm $N:=N_{{\mathit {L}}/{\mathit {K}}}\colon {\mathit {L}}\to {\mathit {K}}$ durch $\vert y\vert _{L}:={\sqrt {\vert N_{{\mathit {L}}/{\mathit {K}}}(y)\vert }}$ eine Fortsetzung $\vert \cdot \vert _{\mathit {L}}\colon {\mathit {L}}\to \mathbb {R}$ der Bewertung $\vert \cdot \vert \colon {\mathit {K}}\to \mathbb {R}$ definiert.

Beweis der Existenz: Zunächst ist aufgrund elementarer Eigenschaften der Norm $\vert x\vert _{\mathit {L}}=\vert x\vert$ für $x\in {\mathit {K}}$. Es handelt sich also um eine Fortsetzung der Bewertungsabbildung. Die Multiplikativität (und positive Definitheit) folgt aus derjenigen der Norm (Determinantenmultiplikationssatz). Zu zeigen bleibt die Dreiecksungleichung für $y_{1},y_{2}\in {\mathit {L}}$, für welche gemäß Definition von $\vert \cdot \vert _{\mathit {L}}$ (und insbesondere der Multiplikativität) die folgende Implikation gilt: $\forall y_{1},y_{2}\in {\mathit {L}}:\vert y_{1}+y_{2}\vert _{l}\leq \vert y_{1}\vert _{\mathit {L}}+\vert y_{2}\vert _{\mathit {L}}\Leftarrow \quad \forall y\in {\mathit {L}}:\underbrace {\vert y+1\vert _{\mathit {L}}} _{={\sqrt {\vert N(y+1)\vert }}}\leq \underbrace {\vert y\vert _{\mathit {L}}+1} _{={\sqrt {\vert N(y)\vert }}+1}$

Es sei $y\in {\mathit {L}}\backslash {\mathit {K}}$, so dass sein Minimalpolynom $\mu _{y}(X)$ über ${\mathit {K}}$ die Gestalt $\mu _{y}(X)=X^{2}+pX+q$ hat, wobei $N_{{\mathit {L}}/{\mathit {K}}}(y)=q\;{\stackrel {!}{\neq }}\;0$. Es ist $\mu _{y}(X\pm 1)=X^{2}+(p\pm 2)X\pm p+q+1$ das Minimalpolynom von $y\mp 1$. Also ist $N_{{\mathit {L}}/{\mathit {K}}}(y\mp 1)=\pm p+q+1=\mu _{y}(\pm 1)$.

Zu zeigen ist also ${\sqrt {\vert -p+q+1\vert }}\leq {\sqrt {\vert q\vert +1}}$, das heißt $\vert -p+q+1\vert \leq \vert q\vert +2{\sqrt {\vert q\vert }}+1$. Dies geschieht indirekt.

Angenommen, es gölte $\vert -p+q+1\vert >\vert q\vert +2{\sqrt {\vert q\vert }}+1$, dann wäre $\vert p\vert +\vert q\vert +1\geq \vert -p+q+1\vert >\vert q\vert +2{\sqrt {\vert q\vert }}+1$, also erst recht $\vert p\vert >2{\sqrt {\vert q\vert }}\;(>0)$, und wegen $\vert p\vert >0$ hieße dies

• $\vert p\vert ^{2}-4\,\vert q\vert >0$ oder äquivalent
• ${\frac {\vert p\vert }{2}}>{\frac {2}{\vert p\vert }}\,\vert q\vert$ oder äquivalent
• $\rho :={\frac {4\,\vert q\vert }{\vert p\vert ^{2}}}<1$.

Diese Annahme ermöglicht es, eine Folge $(x_{n})$ in $K$ iterativ durch $x_{k+1}:=-p-{\frac {q}{x_{k}}}$ für $k\geq 0$ bei $x_{0}:=-p\;{\stackrel {!}{\neq }}\;0$ zu definieren. Denn $x_{k}$ verschwindet für kein $k$, weil stets sogar $\vert x_{k}\vert \geq {\frac {\vert p\vert }{2}}$, wie induktiv klar wird: $\vert x_{k+1}\vert \geq \vert p\vert -\left\vert {\frac {q}{x_{k}}}\right\vert \,{\stackrel {\text{Ind.ann.}}{\geq }}\,\vert p\vert -{\frac {2\vert q\vert }{\vert p\vert }}>\vert p\vert -{\frac {\vert p\vert }{2}}={\frac {\vert p\vert }{2}}$.

Dies entlarvt diese Folge überdies als eine Cauchy-Folge, denn $\vert x_{k+1}-x_{k}\vert =\left\vert {\frac {q}{x_{k}}}-{\frac {q}{x_{k-1}}}\right\vert =\left\vert {\frac {q\,(x_{k-1}-x_{k})}{x_{k}x_{k-1}}}\right\vert =\vert x_{k-1}-x_{k}\vert \cdot {\frac {\vert q\vert }{\vert x_{k}\vert \,\vert x_{k-1}\vert }}\leq \vert x_{k-1}-x_{k}\vert \cdot {\frac {4\,\vert q\vert }{\vert p\vert ^{2}}}=\vert x_{k-1}-x_{k}\vert \cdot \rho =\vert x_{0}-x_{1}\vert \cdot \rho ^{k}$, woraus $\vert x_{k+l}-x_{k}\vert \leq \vert x_{0}-x_{1}\vert \cdot \rho ^{k}(1+\rho +\dots +\rho ^{l}+\dots )=\vert x_{0}-x_{1}\vert \cdot \rho ^{k}{\frac {1}{1-\rho }}\longrightarrow 0$ folgt.

Da ${\mathit {K}}$ vollständig ist, läge der Grenzwert $\lim x_{k}\in {\mathit {K}}$ und wäre zugleich Nullstelle des irreduziblen quadratischen Polynoms $\mu _{y}(X)$. Also ist die Annahme widerlegt.

Eindeutigkeit der Fortsetzung

Nachsatz: Diese Fortsetzung ist die einzig mögliche, also eindeutig bestimmt.

Beweis der Eindeutigkeit: Denn die Fortsetzungsformel lässt sich für eine beliebige Bewertungsfortsetzung $|\cdot |_{\mathit {L}}$ auf ${\mathit {L}}$ auch folgendermaßen ableiten, wobei zur Bequemlichkeit $n:=[{\mathit {L}}:{\mathit {K}}]$ gesetzt sei:

• Die Norm $N_{{\mathit {L}}/{\mathit {K}}}\colon {\mathit {L}}\to {\mathit {K}}$ ist stetig in der induzierten Topologie, da stetig in der äquivalenten Supremumsnorm.
• Für $y\in {\mathit {L}}$ gilt
  • einerseits $\vert y\vert _{\mathit {L}}<1\Rightarrow y^{k}\to 0\Rightarrow N(y)^{k}\to 0\Rightarrow \vert N(y)\vert _{\mathit {L}}<1$ und in entsprechender Weise
  • andererseits $\vert y\vert _{\mathit {L}}>1\Rightarrow \left\vert N(y)\right\vert _{\mathit {L}}>1$,
  • also $\left\vert N(y)\right\vert =1\Rightarrow \vert y\vert _{\mathit {L}}=1$.
  • Nun ist $\left\vert N\left({\frac {y^{n}}{N(y)}}\right)\right\vert =\left\vert {\frac {N(y^{n})}{N(y)^{n}}}\right\vert =|1|=1$.
  • Daraus folgt $\left\vert {\frac {y^{n}}{N(y)}}\right\vert _{\mathit {L}}=1$, und das ist die behauptete Formel für die Fortsetzung.

Die Eindeutigkeit folgt auch mit Hilfe der Theorie über verallgemeinerte Beträge oder Quasi-Beträge: Sind $\vert \cdot \vert _{1}$ und $\vert \cdot \vert _{2}$ zwei Fortsetzungen von $\vert \cdot \vert$, so müssen sie als $K$-Normen von $L$ äquivalent sein, also auch als verallgemeinerte Beträge. Es muss dann $\vert \cdot \vert _{1}=\vert \cdot \vert _{2}^{r}$ mit einem $r>1$ gelten, und dieses muss gleich $1$ sein, da beide Fortsetzungen auf ${\mathit {K}}$ übereinstimmen.

Aus der Eindeutigkeit lässt sich erneut die Formel ableiten: Quadratische Erweiterungen sind Galois-Erweiterungen. Es bezeichne also $\{\operatorname {id} _{\mathit {K}},\sigma \}=G({\mathit {L}}/{\mathit {K}})$ die Galoisgruppe. Ferner sei angenommen, dass es eine Fortsetzung $\vert \cdot \vert _{\mathit {L}}$ gebe. Mit ihr ist dann auch $\vert \cdot \vert _{\sigma }\colon {\mathit {L}}\to \sigma ({\mathit {L}})={\mathit {L}},\,y\mapsto \vert y\vert _{\sigma }:=\vert \sigma (y)\vert _{\mathit {L}}$ eine Fortsetzung, muss also mit $\vert \cdot \vert _{\mathit {L}}$ übereinstimmen. Wegen $N_{{\mathit {L}}/{\mathit {K}}}(y)=y\cdot \sigma (y)\in {\mathit {K}}$ gilt $\vert N_{{\mathit {L}}/{\mathit {K}}}(y)\vert =\vert y\,\sigma (y)\vert _{\mathit {L}}=\vert y\vert _{\mathit {L}}\cdot \vert y\vert _{\sigma }=\vert y\vert _{\mathit {L}}^{2}$, wie gewünscht. Diese Herleitung gelingt auch allgemein für endliche Erweiterungen, da sie sich immer in eine Galoiserweiterung – nämlich den Zerfällungskörper (Wurzelkörper) – einbetten lassen, was für die Herleitung ausreicht: Man betrachte die „konjugierten“ Bewertungen.

Literatur

• J.W.S. Cassels: Local Fields (= London Mathematica* l Society Student Texts. 3 (Zbl. 0595.12006)). Cambridge University Press, 1986, ISBN 0-521-31525-5, S. 33. 
• Beweis von Tornheim nach Serge Lang:
  • Serge Lang: Real Analysis. Addison Wesley, 4 Banach Spaces, § 2 Banach Algebras, S. 72–74. 
  • Serge Lang: Algebra. Addison Wesley, XII Absolute Values, § 2 Completions, S. 410–412. 
• William Stein: Examples of Valuations. (PDF, HTML, PS, DVI) Mai 2004, abgerufen am 29. Januar 2023 (englisch, aus einem Skript “A Brief Introduction To Classical And Adelic Algebraic Number Theory” von William Stein “(based heavily on works of Swinnerton-Dyer and Cassels)”]). 
• William Stein: A Brief Introduction to Classical and Adelic Algebraic Number Theory. “(based heavily on works of Swinnerton-Dyer and Cassels)”. Mai 2004, abgerufen am 28. Januar 2023 (englisch). 
• John W. S. Cassels, Albrecht Fröhlich u.a.: Algebraic Number Theory. Proceedings of an Instructional Conference organized by the London Mathematical Society (a NATO Advanced Study Institute) with the Support of the International Mathematical Union. Hrsg.: John W. S. Cassels, Albrecht Fröhlich. Academic Press, New York NY 1967, ISBN 0-12-163251-2, siehe Chapter II Global Fields (Cassels), section 3 Examples of Valuations, Theorem (Gelfand-Tornheim) (ohne Beweis), Seite 45. 
• Lynn H. Loomis: An Introduction to Abstract Harmonic Analysis. D. van Nostrand Company, Toronto, New York, London 1953, Chapter IV Banach Algebras, § 22 Banach algebras; elementary theory, Theorem 22F,, S. 68 f. (190 S.). 
• Friedrich Hirzebruch, Winfried Scharlau: Einführung in die Funktionalanalysis. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim, Wien, Zürich 1971, ISBN 3-411-00296-4, VIII Kommutative Banach-Algebren § 28 Kommutative Banach-Algebren, Satz 28.1 „(Gelfand-Mazur)“, S. 123. , siehe Hirzebruch Collection
• Jean Dieudonné: Grundzüge der modernen Analysis. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975, 15 Normierte Algebren und Spektraltheorie, Abschnitt 15.2 Das Spektrum eines Elements einer normierten Algebra, 15.2.4 und 15.2.5 (Satz von Gelfand-Mazur) (Originaltitel: Elements d'Analyse, Tome II, Chapitre XII á XV, 2e edition (Gauthier-Villars, Paris/Bruxelles/Montreal 1974) Vorwort der französischen Erstausgabe von 1967.). 
• Emil Artin: Theory of algebraic numbers. Notes by Gerhard Würges from lectures held at the Mathematisches Institut, Göttingen, in 1956-1957. Translated by G. Striker. G. Striker, Göttingen 1959, Chapter 4 Normed Fields and Vector Spaces 1. The Theorem of Gelfand-Tornheim, S. 45–51 (172 S., rezensiert im zbMathOpen Zbl). 
• Wiesław Żelazko veröffentlichte Stanisław Mazurs Beweis in:
  • Wiesław Żelazko: Algebry Banacha (= Biblioteka Matematyczna 32). Panstwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1968 (polnisch). , englische Übersetzung:
  • Wiesław Żelazko: Banach algebras. Modern Analytic and Computational Methods in Science and Mathematics. Elsevier Publishing Company, Amsterdam 1973, S. 19–22. 
• Helmut Hasse: Zahlentheorie. Akademie-Verlag, Berlin 1949, Kapitel II, § 13 Die Typen archimedisch bewerteter vollständiger Körper, S. 183 f. 
• Bartel Leendert van der Waerden: Algebra II. unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether (= Heidelberger Taschenbücher Band 12). 8.  Auflage. Springer-Verlag., 1971, ISBN 3-540-03561-3, Kapitel XVIII Bewertete Körper, §§ 141 ff., Seite 200 ff., insbesondere §§ 144 bis 146. 
• Lew Semjonowitsch Pontrjagin: Topologische Gruppen. Teil I. B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig 1957, Kapitel IV. Topologische Körper, § 26 Klassische stetige Körper und § 27 Die Struktur der stetigen Körper, S. 172–204 (263 S., Deutsche Übersetzung von Viktor Ziegler (Leipzig). Originaltitel auf Russisch bereits 1954 in Moskau erschienen). 
• Lew Semjonowitsch Pontrjagin: Über stetige algebraische Körper (= Annals of Mathematics, Second Series. Vol. 33, No. 1). Januar 1932, S. 163–174. 
• Hans-Joachim Kowalsky: Zur topologischen Kennzeichnung von Körpern (= Math. Nachr. Band 9). 1953, S. 261–320. 

Originalliteratur

• Ferdinand Georg Frobenius: Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen (= J. reine ang. Math. Band 84). 1878, S. 1–63.  online bei Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek (SUB) Göttingen
• Alexander M. Ostrowski: Über einige Lösungen der Funktionalgleichung φ(x).φ(y)=φ(xy). In: Acta Mathematica 41 (1918). April 1916, S. 271–284, abgerufen am 6. Januar 2023. 
• Stanisław Mazur: Sur les anneaux linéaires (= C. R. Acad. Sci. Band 207). Paris 1938, S. 1025–1027 (französisch, Séance du 14 novembre 1938). , online bei Bibliothèque nationale de France (PDF), Abruf am 2023-02-10.
• Israel Gelfand:
  • Israel Gelfand: On normed rings (= C. R. (Dokl.) Acad. Sci. URSS. Band 23). 27. März 1939, S. 430–432. 
  • Israel Gelfand: Normierte Ringe (= Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. Band 9(51):1). 1941, §3 Normierte Körper, Satz 3, Seite 8 (24 S.). 
  • Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. 9 (51):1: Author Index. Vier Arbeiten von Israel Gelfand, darunter auch „Normierte Ringe“. 1941, abgerufen am 12. Februar 2023. 
• Richard Friederich Arens: Linear topological division algebras (= Bull. Amer. Math. Soc. 53). 1947, Seite 626, S. 623–630. 
  • online bei Project Euklid
  • oder bei American Mathematical Society (AMS), PDF
• Abraham Adrian Albert: Absolute valued real algebras. Hrsg.: Mathematics Department, Princeton University (= Annals of Mathematics,. Second Series, vol. 48, No. 2). April 1947, S. 495–501. 
  • verfügbar bei Abraham Adrian Albert: Absolute valued real algebras. In: Annals of Mathematics, Second Series, vol. 48, No. 2. Mathematics Department, Princeton University, April 1947, S. 495–501, abgerufen am 1. März 2023. 
  • Siehe auch doi:10.2307/1969182,
• Irving Kaplansky: Topological Rings (= Bull. Amerc. Math. Soc. 54). 1948, S. 809–826. 
• Irving Kaplansky: Normed algebras (= Duke Math. J. 16). 1949, S. 399–418. 
• V. Ramaswami: Normed algebras, isomorphism and the associative postulate (= J. Indian Math. soc. (N.S.) 14). 1950, S. 47–64. 
• Leonard Tornheim: Normed fields over the real and complex fields. In: Michigan Math. J. 1(1) (1952). Januar 1952, S. 61–68, abgerufen am 1. März 2023. 
  • siehe auch doi:10.1307/mmj/1028989727
  • Zusammenfassung in American Mathematical Society: Summer Meeting in Minneapolis. November 1951, S. 478, abgerufen am 28. Februar 2023 (PDF-Seite 30, Beitrag 499t). .
• Gottfried Köthe: Stanislaw Mazur’s contributions to functional analysis (= Math. Ann. Band 277). 1987, insb. Abschnitt 9 Normed Algebras (Seite 509 f.), S. 489–528.  online bei Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek (SUB) Göttingen
• James Michael Gardner Fell, Robert S. Doran: Representations of *-Algebras, Locally Compact Groups, and Banach *-Algebraic Bundles (= Basic Representation Theory of Groups and Algebras. vol. 1). Academic Press, 1988, ISBN 978-0-12-252721-0, S. 375 (746 S.). , online bei Google-Books
• Pierre Mazet: La preuve originale de S. Mazur pour son théorème sur les algèbres normées. (PDF) In: Gazette de la SMF. Abgerufen am 10. März 2023 (französisch). 
• planetmath.org: Gelfand-Tornheim theorem. Abgerufen am 24. Februar 2023. 

DELENDUM

https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Technik/Skin/Gadgets/editMenus

Emil Artin: Beweis von Satz von Wedderburn

Emil Artins Beweis konstruiert innere $Z(D)$-Algebra-Endomorphismen der Divisionsalgebra $D$ und zeigt, dass mit ihnen die gesamt multiplikative Gruppe $D^{\times }$ ausgeschöpft (abgedeckt) wird. Mit anderen Worten: Was der Satz von Skolem-Noether abstrakt liefert, leitet Emil Artin für Schiefkörper konstruktiv her. Dann liefert die Endlichkeit des Schiefkörpers das übliche Argument, dass die konjugierten Klassen nur dann die gesamte multiplikative Gruppe abdecken können, wenn sie disjunkt wären, was nicht der Fall ist, da sie sich alle in der Eins begegnen.

• Für einen Schiefkörper verfügt die Polynomalgebra $D[X]$ einer Unbekannten $X$ über einen links- und einen rechtsseitige (Hasse: vordere bzw. hintere) euklidische Division mit Rest. Daher sind Linksideal monogen (also linksseitig erzeugte Hauptideale), und Entsprechendes gilt für Rechtsideale.
• Es gilt ein Satz über die Assoziiertheit nicht verschwindender Elemente des Schiefkörpers, vgl. auch Hasses Aufgabensammlung zur Höheren Algebra: Hasse zeigt es für die Poloynomalgebra über einem nicht notwendig nullteilerfreien Ring mit Hilfe vorderer und hinterer euklidischer Division. Artin zeigt es unter Nutzung der Nullteilerfreiheit, die für Schiefkörper gewährleistet ist.
• Sodann indirekter Beweis durch Induktion – oder ebensogut durch Methode des unendlichen Abstiegs: Angenommen es gäbe endliche Schiefkörper, die nichtkommutativ sind, so sei $D$ derjenige unter ihnen mit der kleinsten Mächtigkeit (Minimalbedingung) und $Z:=Z(D)$ sein Zentrum. Es genügt schon, anzunehmen, dass bei gegebenem Zentrum $Z$ ein Schiefkörper $D\supset Z$ betrachtet wird, dessen Mächtigkeit minimal unter allen Schiefkörpern mit diesem Zentrum $Z$ ist.
• Konstruktion eines maximalen Teilschiefkörpers $D_{0}\subsetneq D$, der (wegen der Minimalbedingung) kommutativ sein muss.
• Es gibt Dimensionsbeziehungen, die unabhängig von der anfänglichen Auswahl der konstruierenden Elemente sind: Es sind also Invarianzen.
• Es gibt mehrere solcher Teilschiefkörper $D_{0},D_{1},\dots$, nämlich zu jedem $a\in D^{\times }$ ein $D_{a}$ mit $a\in D_{a}\subsetneq D$. Diese haben also sämtlich dieselbe Dimension über $Z$.
• Wegen des obigen Satzes über die Assoziiertheit (und einer weiteren Überlegung bzgl Galoisfeldern) sind sie sämtlich paarweise zueinander konjugiert.
• Dann führt der Satz über die Abdeckung von $D^{*}$ durch konjugierte, doch nicht disjunkte Nebenklassen (wie schon beim Beweis mit Skolem-Noether) zum Widerspruch.

Schön ist, dass der Beweis im Grunde die Struktur gewisser endlichdimensionaler zentraler Divisionsalgebren zeigt und zwar mit elementaren Mitteln.

ggT und kgV

Für $i=1,\dots ,n$ seien Kofaktoren $a_{i},b_{i}\in \mathbb {N}$ mit $N=a_{i}b_{i}$ gegeben. Dann gilt $\operatorname {ggT} (a_{1},\dots ,a_{n})\operatorname {kgV} [b_{1},\dots ,b_{n}]=N$. Für $n=2$ folgt $ab=(a,b)[a,b]$. Für $n=3$ folgt $abc=(a,b,c)[bc,ac,ab]$.

Direkter Durchschnitt und direkte Summe (Koprodukt)

Es sei $G$ eine Gruppe, $E\leq G$ Normalteiler, und $E\subset U_{i}\leq G$ weitere Normalteiler für $i=1,\dots ,n$. Dann sind auch $V_{i}:=\prod _{j_{i}}U_{i}$ Normalteiler in $G$, die $E$ umfassen.

Definition: $G$ ist modulo $E$ direkte Summe der $U_{i}$ genau dann, wenn

• $G=U_{1}\cdot \ldots \cdot U_{n}$ und
• $E=U_{i}\cap V_{i}$ für jedes $i=1,\dots ,n$

Ist dabei $E=\{1\}$, so heißt $G$ schlicht direkte Summe (Koprodukt) der Normalteiler $U_{i}$, in Zeichen: $G=\bigoplus _{i}U_{i}$. im Allgemeinen ist die Faktorgruppe $G/E$ die direkte Summe (Koprodukt) der seiner Normalteiler $U_{i}/E$, in Zeichen: $G/E=\bigoplus _{i}U_{i}/E$.

In komplementärer oder dualer Weise erklärt man die folgende

Definition: $E$ heißt in $G$ direkter Durchschnitt der $V_{i}$ genau dann, wenn

• $E=V_{1}\cap \dots \cap V_{n}$ und
• $G=V_{i}\cdot U_{i}$ für jedes $i=1,\dots ,n$.

Satz: Unter den genannten Voraussetzungen über die Beziehungen der $U_{i}$ und $V_{i}$ gilt: $G$ ist genau dann modulo $E$ direkte Summe seiner Normalteiler $U_{i}$, wenn $E$ in $G$ direkter Durchschnitt der Normalteiler $V_{i}$ ist.

Beispiel

Galoistheorie: Direktes Kompositum von Körpern – ist als $K$-Algebra isomorph zum Tensorprodukt der Algebren über $K$.

Eulersche Phi-Funktion

verallgemeinert nach Scholz 1934. Darstellung der Möbius-Umkehrfunktion nach Basic Algebra I gemäß Nathan Jacobson.

Lemma von Thue

Ergänzungen zum Lemma von Thue ?

Vektorräume über Schiefkörpern

Vektorräume über Schiefkörper zu betrachten, bedeutet kaum mehr Aufwand, liefert jedoch den Gewinn, dass die Eigenheiten der Dualitätstheorie deutlicher und schärfer hervortreten. So gewinnt die bekannte Tatsache „Zeilenrang und Spaltenrang sind gleich“ aus der Theorie der Matrizen an Profil, wenn sie über Schiefkörpern gewonnen wird: „Linkszeilenrang und Rechtsspaltenrang sind gleich, Rechtszeilenrang und Linksspaltenrang sind gleich“. Entsprechend stehen sich Vektorraum und Dualraum als Rechts- und Links- (bzw. Links- und Rechtsvektorraum) gegenüber. Dass der Bidualraum wieder dieselbe Seitigkeit hat, wie der Ursprungsraum und ihm dadurch wieder vergleichbar wird, wird so geradeswegs suggestiv. Die Transposition von Matrizen erhält auf diese Weise einen begriffliche Deutung, ebenso erhält die Notation von Koordinatenvektoren als Spalten- oder Zeilenvektoren einen begrifflichen Hintergrund und ist so befreit von dem Verdacht, dass es sich um eine bloß willkürliche Konvention handele. Schon aus diesem Grund lohnt es sich, Vektorräume über Schiefkörpern zu betrachten.

Definition

Es bezeichne $K$ einen Schiefkörper.

Text der Überschrift

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Beispiel	Beispiel	Beispiel
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Polynom, reduziertes

Zu einschlägigen Artikeln ... hilfreich für Serge Langs Beweis von der Existenz einer Normalbasis.

Gruppencharaktere und diskrete Fouriertransformation (DFT)

iDFT = Dualität (Spezialfall Pontrjagin)

Verzweigungstheorie (Hilbert)

Warnung vor Dopplung: Verzweigung (Algebra)

Speisers Beweis des Kroneckerschen Jugendtraums

• Andreas Speiser: Die Zerlegungsgruppe. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik (vulgo „Crelle-Journal“), Band 149 (1919). 1919, S. 174-188, abgerufen am 10. Januar 2023 (SUB Göttinger Digitalisierungszentrum). 

Irreduzibilität des n-ten Kreisteilungspolynoms

Siehe hierzu den Artikel Several Proofs von Weintraub, Steven H..

Beweise

• Heinrich Weber, Lehrbuch der Algebra, Band 2, Anhang (mit Korrektur eines irrtümlichen Beweise aus Band 1) gemäß Peter Friedrich Arndt: „Einfacher Beweis für die Irreductibilität einer Gleichung in der Kreistheilung“, aus Crelles Journal, Band 56, S. 178 (1859) und gemäß Lebesgue, Liouville's Journ, 2. Ser, Bd 4, S. 105 (1859).
• Ebenda (Seite 772) ein weiterer Beweis für den allgemeinen Fall gemäß Leopold Kronecker in Liouville's Journal, Band 19 (1854), Seite 177: „Mém. sur les facteurs irréd de l'expression $(x^{n}-1)$“
• Leopold Kronecker in Crelle's Journal, Band 29 (zitiert nach Peter Friedrich Arndt in Crelle's Journal, Band 56)
• Leopold Kronecker in Liouville's Journal Jahrgang 1856 (zitiert nach Peter Friedrich Arndt in Crelle's Journal, Band 56)
• Ebenda (Fußnote Seite 772) Verweis auf einen Beweis von Richard Dedekind in Crelles Journal, Band 58 (1859). (Finde ich aber nicht).
• Beweis von Edmund Landau in Crelles Journal, Band 29 (1929) (datiert auf „Göttingen, den 23. Juli 1928“), wiedergegeben in Helmut Hasse und Walter Klobe: „Aufgabensammlung zur Höheren Algebra“ sowie in Emil Artin: „Galoissche Theorie“, Notre Dame.
• Beweis in van der Waerden (woher stammt er?)
• Beweis mit Gaußschem Satz (woher stammt die Idee? Gauss selbst?)
• P. F. Arndt erwähnt ferner einen Beweis für den primen Fall $n=p$ von Gotthold Eisenstein: „Zur Theorie der quadratischen Zerfällung der Primzahlen 8n+3, 7n+2 und 7n+4“ in: Crelle's Journal, Band 37.
  • Oder meinte Arndt hier Band 39 mit dem Artikel von Gotthold Eisenstein: Über die Irreductibilität und einige andere Eigenschaften der Gleichung, von welcher die Theilung der ganzen Lemniscate abhängt. Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 39, 1850, S. 160–179. Dieser Beitrag enthält das bekannte Eisenstein-Schönemann-Irreduzibilitätskriterium.
• Siehe auch Robert Frickes Hinweise in seinem Lehrbuch der Algebra, Band 1 (1924), fünftes Kapitel (Algebraisch lösbare Gleichungen) § 2 (Irreduzibilität der Kreisteilungsgleichung), Seite 403:
  • Kronecker: „Démonstration de l'irréductibilité“, Journ de math, sér. II, Bd 1 (1856)
  • Dedekind: „Beweis für die Irreduzibilität der Kreisteilungsgleihcungen“, Crelle's Journal, Bd 54, Seite 27 (1856).

Polynommodul

Der Polynommodul $M[X]$ eins Moduls $M$ über einem unitären Ring $R$ ist eine Verallgemeinerung des Polynomringes $R[X]$ über einem Ring. Denn jeder Ring ist ein Modul über sich selbst. Der Polynommodul beleuchtet den begrifflichen Hintergrund für das Charakteristische Polynom, den Satz von Cayley-Hamilton sowie für den Satz von Frobenius (Ähnlichkeitskriterium). Das charakteristische Polynom ist nämlich die Determinante eines Endomorphismus, der auf dem Polynommodul definiert ist. Dieser Endomorphismus $\mathrm {X} _{\alpha }\colon M[X]\to M[X]$ heißt die charakteristische Abbildung zur gegebenen linearen Abbildung $\alpha \colon M\to M$. Sie ist eng verbunden mit der durch die lineare Abbildung $\alpha$ induzierten Struktur eines $R[X]$-Moduls auf $M$. Für Körper $R=K$ und endliche Vektorräume $M=V$ ist gehört dies also in den Zusammenhang der Sätze über das charakteristische Polynom und die Säkulargleichung.

Definition des Polynommoduls

Es bezeichne $R$ einen Ring mit Einselement (unitären Ring) und $M$ einen Linksmodul über $R$. Der Linksmodul $M^{(\mathbb {N} )}$ aller Abbildungen $f\colon \mathbb {N} \to M$ mit endlichem Träger $\operatorname {supp} (f):=\{n\in \mathbb {N} \;|\;f(n)\neq 0\}$, ausgestattet mit punktweiser Addition und punktweiser Multiplikation mit Elementen aus $R$ von links, heißt Polynommodul $M[X]$ über dem Modul $M$:

${\begin{aligned}M[X]:=M^{(\mathbb {N} )}&:=&\left\{f\colon \mathbb {N} \to M\;|\;f(n)\neq 0{\text{ für nur endlich viele }}n\in \mathbb {N} \right\}&\\&=&\left\{f\colon \mathbb {N} \to M\;|\;\#\operatorname {supp} (f)<\infty \right\}\qquad \qquad &\end{aligned}}$

Man kann eine derartige Abbildung $f$ als „formale“ Summe von Potenzen einer Unbestimmten $X$, also in der Gestalt

$f=:\sum _{n\in \mathbb {N} }f(n)\cdot X^{n}$ notieren.

Dies ist die – wie schon bei Polynomen eines Polynomringes – häufig anzutreffende Schreibweise für Polynome. Dabei sind die Koeffizienten $f_{n}:=f(n)$ gerade die Werte der Abbildung $f\colon \mathbb {N} \to M$. Weil ihr Träger $\operatorname {supp} (f)$ endlich ist, ist auch die Summe in Wahrheit endlich: Fast alle Summanden $f(i)\cdot X^{i}$ verschwinden.

Elemente des Moduls $m\in M$ können als Konstanten oder konstante Polynome durch $m=m\cdot X^{0}\in M[X]$ aufgefasst werden. So lässt sich $M\subset M[X]$ einbetten.

Bei der punktweisen Addition $f+g$ zweier Polynome $f,g\in M[X]$ kann die Unbestimmte ausgeklammert werden:

$f+g=\sum _{n\in \mathbb {N} }\left(f(n)+g(n)\right)\cdot X^{n}$.

Die Multiplikation mit einem $r\in R$ von links wird auf jedem Koeffizienten ausgeführt:

$r\cdot f=:\sum _{n\in \mathbb {N} }r\cdot f(n)\cdot X^{n}$.

Eine Multiplikation von Polynomen des Polynommoduls ist nicht definiert. Dies unterscheidet sie von Polynomen eines Polynomrings, in welchem zu diesem Zweck die Unbestimmte als vertauschbar mit den Koeffizienten angenommen wird.

Die Frage, auf welcher Seite der Koeffizienten die Potenzen der Unbestimmten notiert werden, ist gegenstandslos: Man setzt nämlich voraus, dass die Unbestimmte im Zentrum des Ringes $R[X]$ liegt, also mit allen Ringelementen vertauschbar ist: Dann nämlich ist es gleichgültig, auf welcher Seite der Koeffizienten die Unbestimmte notiert wird. Darüber hinaus lässt sich dann der Polynommodul mit der Struktur eines $R[X]$-Linksmoduls ausstatten, indem man die Linksmultiplikation $R[X]\times M[X]\to M[X]$ in naheliegender Weise definiert. Auf diese Weise erhält der Polynommodul die Struktur eines $R[X]$-Linksmoduls.

Ist $M$ selbst ein Rechtsmodul über $R$, so ist $M[X]$ in analoger Weise ein $R[X]$-Rechtsmodul.

Anmerkung: Man kann den Polynommodul auch als Koprodukt (direkte Summe) definieren:

$M[X]=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }(X^{n}\cdot M)=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }\left(\{n\}\times M\right)$

Dabei soll es sich um lauter unterscheidbare Kopien des Moduls $M$ handeln: Die Unterscheidbarkeit wird durch das Anfügen der Potenz $X^{n}$ bzw. der Markierung mit dem Index $\{n\}\subset \mathbb {N}$ erzwungen. Die Identifikation für $f\in M^{(\mathbb {N} )}$ durch $f=\left((n,f(n))\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left((X^{n}\cdot f(n))\right)_{n\in \mathbb {N} }=\sum _{n\in \mathbb {N} }f_{n}\cdot X^{n}$ gestiftet. Dies ist ein Linksmodul über $R$. Die Struktur des Linksmoduls über $R[X]$ wird mit Hilfe der Faltung definiert, wie es schon beim Polynomring $R[X]$ selbst geschieht.

Definition durch das Tensorprodukt

Der Polynommodul $M[X]$ lässt sich auch als ein Tensorprodukt von Moduln auffassen, nämlich des $R$-Rechtsmoduls $R[X]$ und des $R$-Linksmoduls $M$:

$M[X]=R[X]\otimes _{R}M$.

Diese Bildung beruht auf der $R$-balanzierten Abbildung $R[X]\times M\to M[X],\;(f,m)\mapsto f\cdot m:=\sum _{n\in \mathbb {N} }f(n)\cdot m\cdot X^{n}$ und ist zunächst nur ein $\mathbb {Z}$-Modul. Dank der zugleich bestehenden $R$-Linksmodul-Struktur von $R[X]$ ist jedoch auch $M[X]$ ein Linksmodul über $R$: Das ist die bereits beschriebene Linksmodul-Struktur.

Da nun $R[X]$ als Ring auch ein Linksmodul über sich selbst ist, wird $M[X]$ ebenfalls zu einem Linksmodul über $R[X]$.

Ist $M$ ein freier Modul über $R$, also etwa $M=\bigoplus _{i\in I}R\cdot m_{i}{\stackrel {\sim }{\to }}\bigoplus _{i\in I}R$, so ist offensichtlich $M[X]=R[X]\otimes M=\bigoplus _{i\in I}R[X]\cdot m_{i}{\stackrel {\sim }{\to }}\bigoplus _{i\in I}R[X]$.

Bei einem kommutativem Ring $R$ ist auch der Polynomring $R[X]$ kommutativ, und bei $M[X]$ handelt es sich in diesem Falle um die hier beschriebene Skalarerweiterung des $R$-Linksmoduls $M$ zu einem $R[X]$-Linksmodul.

TO DO: Idee prüfen, ggf. noch verschieben

Wie die Artikel über torsionsfreie, über flache und über endlich präsentierbare Moduln zeigen, gilt. Freie Moduln sind projektive Moduln, projektive Moduln sind flach, flache Moduln sind torsionsfrei. Über einem Haupdidealring fallen alle Begriffe zusammen, da er Dedekind-Ring ist und (als noetherscher Modul) endlich präsentierbar. Insbesondere also über einem Körper $R=K$.

Bei einem Haupdidealring $R$ ist also mit $M$ auch $M[X]$ frei.

Funktorialität

Ein Linksmodul-Homomorphismus $\alpha \colon M\to N$ eines $R$-Linksmoduls $M$ in einen $R$-Linksmoduls $N$ liefert unmittelbar zu jedem Polynom $f\in M[X]=M^{(\mathbb {N} )}$ durch Hintereinanderschaltung ein Polynom $\alpha _{*}(f)=\alpha \circ f\colon \mathbb {N} \to N,\,n\mapsto \alpha (f(n))$, das heißt: $\alpha _{*}(f)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\alpha (f(n))\cdot X^{n}$.

Der Linksmodul-Homomorphismus $\alpha \in \operatorname {Hom} _{R}(M,N)$ liefert also einen Linksmodul-Homomorphismus $\alpha [X]\in \operatorname {Hom} _{R[X]}(M[X],N[X])$.

Im Falle der Identität $\alpha =\operatorname {id} _{M}$ ist auch $\alpha [X]$ die Identität auf $M[X]$. Für $M_{1}{\stackrel {\alpha _{1}}{\longrightarrow }}M_{2}{\stackrel {\alpha _{2}}{\longrightarrow }}M_{3}$ gilt $\left(\alpha _{2}\circ \alpha _{1}\right)[X]=\alpha _{2}[X]\circ \alpha _{1}[X]$.

Bei $\alpha \mapsto \alpha [X]$ handelt es sich also um einen kovarianten Funktor. Beachtet man die Identifikation $M[X]=R[X]\otimes M$, so kann dieser Funktor auch als $\alpha \mapsto \operatorname {id} _{R[X]}\otimes \alpha$ verstanden werden.

Einsetzhomomorphismus

Setzt man bei gegebenem Polynom $f\in M[X]=M^{(\mathbb {N} )},\;f(X)=\sum _{n\in \mathbb {N} }f(n)\cdot X^{n}$ Werte aus dem Ring für die Unbestimmte ein, so liefert das Polynom Werte aus dem Modul zurück: Dazu muss die Unbestimmte natürlich auf der Seite notiert werden, von welcher auch Ringelemente an Modulelemente heranmultipliziert werden. Dies führt zu einer Abbildung $f^{\sharp }$, die jedoch häufig mit demselben Symbol wie das Polynom $f$ bezeichnet wird, obwohl es sich um eine andere Abbildung handelt:

$f=f^{\sharp }\colon R\to M,\;r\mapsto f(r):=\sum _{n\in \mathbb {N} }r^{n}\cdot f(n)$

Für diese Abbildung wird ausgenutzt, dass der Träger eines Polynoms $f\in M^{(\mathbb {N} )}$ endlich und folglich die Summe $\sum _{n\in \mathbb {N} }$ in Wahrheit endlich ist.

Hinweis: Bei dieser laxen Schreibweise muss also anhand des Arguments von $f(\cdot )$ unterschieden werden, um welche Abbildung es sich handelt: Steht eine natürliche Zahl im Argument ($f(n),n\in \mathbb {N}$), so ist der Koeffizient $f_{n}=f(n)$ des Polynoms aus dem Polynommodul gemeint, d. h. der Wert der Funktion $(f\colon \mathbb {N} \to M)\in M^{(\mathbb {N} )}$ an der Stelle $n$. Steht jedoch ein Ringelement $r\in R$ oder ein Endomorphismus $\alpha \in \operatorname {End} _{R}(M)$ darin, so ist der Wert des Einsetzhomomorphismus' gemeint. Dabei führen die beiden Fälle $0\in R$ und $0\in \mathbb {N}$ auf denselben Wert, nämlich den Koeffizienten $f^{\sharp }(0)=f_{0}=f(0)$. Vorsicht ist jedoch geboten, sobald die Herkunft des Argumentes im Unklaren bleibt, wie etwa bei „$f(1)$“: Es ist zu klären, ob $1\in \mathbb {N}$ oder $1\in R$ gemeint ist. So sind $f(1_{\mathbb {N} })=f_{1}$ und $f(1_{R})=\sum _{n\in \mathbb {N} }f_{n}$ nur für $f(X)=f_{1}X$ gleich. Eine

Diese Abbildung ist ein Homomorphismus von $R$-Linksmoduln, wenn man sie auf das Zentrum des Ringes $Z_{R}(R):=\{r\in R\;|\;\forall x\in R:rx=xr\}$ beschränkt, und heißt dann Einsetzhomomorphismus. Im Falle eines kommutativen unitären Ringes ist diese Abbildung ein Homomorphismus von $R$-Linksmoduln.

Diesen Einsetzhomomorphismus kann man auf den Zentralisator des Moduls ausdehnen: Im Falle eines Integritätsringes ist das die Menge der $R$-linearen Abbildungen in $M$

$f:\operatorname {End} _{R}(M)\to M,\alpha \mapsto f(\alpha ):=\sum _{n\in \mathbb {N} }\alpha ^{n}(f(n))$

Die Auswertung an der Stelle Null, also die Abbildung $M[X]\to M,\,f(X)\mapsto f(0)$, ist ein Homomorphismus von $R$-Linksmoduln und liefert das absolute Glied des Polynoms.

Betrachtet man auch das Polynom $f\in M[X]$ als variabel, so erhält man die Abbildungen

${\begin{alignedat}{2}Z_{R}(R)\times M[X]&\longrightarrow &M\\(r,f(X))&\longmapsto &f(r):=\sum _{n\in \mathbb {N} }r^{n}\cdot f_{n}\end{alignedat}}$

bzw.

${\begin{alignedat}{2}\operatorname {End} _{R}(M)\times M[X]&\longrightarrow &M&\quad \\(\alpha ,f(X))&\longmapsto &f(\alpha ):=\sum _{n\in \mathbb {N} }\alpha ^{n}(f_{n})&\end{alignedat}}$

Homomorphismen von Polynommoduln

Eine $R$-lineare Abbildung $\mathrm {A} \in \operatorname {Hom} _{R}(M[X],N[X])$ ist durch ihre Werte auf den Summanden $f_{j}\cdot X^{j}$ festgelegt: $\mathrm {A} (f_{j}\cdot X^{j})=\sum _{i\in \mathbb {N} }\mathrm {A} _{(j)}^{(i)}(f_{j})X^{i}$. Dabei haben die $\mathrm {A} _{(j)}^{(i)}\in \operatorname {Hom} _{R}(M,N)$ die Eigenschaft

• Für jedes $j\in \mathbb {N}$ und jedes $m\in M$ gilt $\mathrm {A} _{(j)}^{(i)}(m)\neq 0_{N}$ nur für endlich viele $i\in \mathbb {N}$.

Insgesamt ist damit $\mathrm {A} (\sum _{j\in \mathbb {N} }f_{j}X^{j})=\sum _{j\in \mathbb {N} \atop i\in \mathbb {N} }\mathrm {A} _{(j)}^{(i)}(f_{j})X^{i}$. Zur Abkürzung schreibe $\mathrm {A} _{(j)}:=\sum _{i\in \mathbb {N} }\mathrm {A} _{(j)}^{(i)}$ und $\mathrm {A} ^{(i)}:=\sum _{j\in \mathbb {N} }\mathrm {A} _{(j)}^{(i)}$.

Ist $\mathrm {A}$ sogar $R[X]$-linear, so folgt aus $\mathrm {A} (X\cdot f(X))=X\cdot \mathrm {A} (f(X))$ die Identität: $\mathrm {A} _{(j)}^{(i)}=X^{k}\cdot \mathrm {A} _{(j-k)}^{(i)}$ für jedes $0\leq k\leq j$, also $\mathrm {A} _{(j)}^{(i)}=X^{j}\cdot \mathrm {A} _{(0)}^{(i)}$.

Ein Homomorphismus $\mathrm {A} \in \operatorname {Hom} _{R[X]}(M[X],N[X])$ ist also bereits durch seine Werte auf den konstanten Polynomen $M\subset M[X]$ festgelegt, also durch $\mathrm {A} _{(0)}\colon M\to N[X]$. Ist $\mathrm {A}$ dabei ein Isomorphismus, so muss für die Umkehrabbildung dasselbe gelten, so dass notwendig $\mathrm {A} _{(0)}\colon M{\stackrel {\sim }{\to }}N$ isomorph ist. Umgekehrt lässt sich jede isomorphe Abbildung $\alpha \colon M{\stackrel {\sim }{\to }}N$ eindeutig zu einem Isomorphismus $\mathrm {A} \colon M[X]{\stackrel {\sim }{\to }}N[X]$ fortsetzen.

In diesem Sinne gilt also $\operatorname {Iso} _{R}(M,N)=\operatorname {Iso} _{R[X]}(M[X],N[X])$.

Charakteristische Abbildung

Es sei $\alpha \in \operatorname {End} _{R}(M)$ eine $R$-lineare Abbildung in $M$. Als ihre charakteristische Abbildung $\mathrm {X} _{\alpha }\in \operatorname {End} _{R[X]}(M[X])$ wird dann definiert:

$\mathrm {X} _{\alpha }\colon M[X]\to M[X],\;f(X)\mapsto \alpha (f(X))-X\cdot f(X)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\left(\alpha (f(n))-f(n-1)\right)\cdot X^{n}=\alpha (f(0))+\sum _{n\in \mathbb {N} }\left(\alpha (f(n+1))-f(n)\right)\cdot X^{n+1}$,

wobei $f(-1):=0$ gesetzt sei.

Auf dem $R$-Linksmodul $M$ betrachte die durch diesen Endomorphismus – also durch $X\cdot m:=\alpha (m)$ – induzierte $R[X]$-Modulstruktur:

${\begin{aligned}R[X]&\times &M&\longrightarrow &M&\\(\underbrace {\sum _{i\in \mathbb {N} }f_{i}X^{i}} _{=:f(X)}&,&m)&\longmapsto &f(X)\cdot m:=\sum _{i\in \mathbb {N} }f_{i}\cdot \alpha ^{i}(m)&.\end{aligned}}$

Der Modul $M$, versehen mit dieser $R[X]$-Linksmodul-Struktur, sei mit $M_{\alpha }$ bezeichnet. Damit ist die folgende Abbildung ein $R[X]$-Linksmodul-Homomorphismus.

$\phi _{\alpha }\colon M[X]\to M_{\alpha },\;\sum _{n\in \mathbb {N} }f(n)\cdot X^{n}\to \sum _{n\in \mathbb {N} }\alpha ^{n}(f(n))$.

Satz: Die folgende Sequenz ist exakt:

$0\longrightarrow M[X]{\stackrel {\mathrm {X} _{\alpha }}{\longrightarrow }}M[X]{\stackrel {\phi _{\alpha }}{\longrightarrow }}M_{\alpha }\longrightarrow 0$

Zur Begründung: Dass $\phi _{\alpha }$ surjektiv ist leicht zu sehen. Auch ist $\phi _{\alpha }\circ \mathrm {X} _{\alpha }=0$ (also $\operatorname {Bild} \mathrm {X} _{\alpha }\subset \ker \phi _{\alpha }$) leicht zu erkennen. Dass $\mathrm {X} _{\alpha }$ injektiv ist, folgt so: <text>

Wesentlich ist die Inklusion $\ker \phi _{\alpha }\subset \operatorname {Bild} \mathrm {X} _{\alpha }$: <text>

Ist dabei $M$ endlich frei erzeugt über dem Integritätsbereich $R$, so ist die Determinante $\det \mathrm {X} _{\alpha }$ das charakteristisches Polynom $\chi _{\alpha }(X)$ von $\alpha$. Denn ist $(x_{1},\dots ,x_{r})$ eine Basis von $M$ über $R$, so ist es auch eine Basis von $M[X]$ über $R[X]$, und bezeichnet $A$ die Darstellungsmatrix des Endomorphismus $\alpha \in \operatorname {End} _{R}(M)\subset \operatorname {End} _{R[X]}(M[X])$ bezüglich dieser Basis, so ist $A-XE$ die Darstellungsmatrix von $\mathrm {X} _{\alpha }$ bezüglich dieser Matrix.

Ist nun $R=K$ ein Körper und $M=V$ ein $K$-Vektorraum der Dimension $\dim _{K}V=n<\infty$, so besagt der Elementarteilersatz, dass es zum Endomorphismus $\mathrm {X} _{\alpha }\in \operatorname {End} _{K[X]}(M[X])$ eine Basis $v_{1},\dots ,v_{n}$ des freien $K[X]$-Moduls $M[X]$ gibt, so dass die Darstellungsmatrix eine zu einer Elementarteilerkette $(\varepsilon _{i})$ in $K[X]$ gehörige Diagonalmatrix $\operatorname {diag} (\varepsilon _{1},\dots \varepsilon _{r},0,\dots ,0)$ ist und sein Kern gleich dem Untermodul $\sum _{i=1}^{r}\varepsilon _{i}M[X]$ ist. <NOCHMAL PRÜFEN>.

Diese Darstellungsmatrix ist ähnlich zu $A-XE$ und besitzt also dieselbe Determinante, nämlich das charakteristische Polynom.

Wenn man sich von der Anschauung im $\mathbb {Z} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}$ (ver)leiten lassen will, so mag man sich vorstellen, dass der $k$-ten Determinantenteiler $\delta _{k}:=\prod _{i=1}^{k}\varepsilon _{i}$ das „Volumen“ der minimalen $k$-dimensionalen Fundamentalmasche des Kerns in $M[X]$ – also des Quotienten $M[X]/(\ker \mathrm {X} _{\alpha })$ – misst. Für $k=n$ ist es gerade das charakteristische Polynom.

Satz von Frobenius (Ähnlichkeitskriterium)

Es sei (weiterhin) $R$ ein unitärer Ring. Ferner seien $V,W,M,N$ Linksmoduln über $R$ sowie $\alpha \in \operatorname {Hom} _{R}(M,N)$ und $\beta \in \operatorname {Hom} _{R}(V,W)$ zwei Homomorphismen.

Definition äquivalenter und ähnlicher Homomorphismen

Definition: Die Homomorphismen $\alpha$ und $\beta$ heißen äquivalent (über $R$), wenn es zwei $R$-Linksmodul-Isomorphismen $h_{1}\in \operatorname {Hom} _{R}(V,M)$ und $h_{2}\in \operatorname {Hom} _{R}(W,N)$ gibt mit $\alpha =h_{2}\circ \beta \circ h_{1}$. Schreibweise: $\alpha \sim _{R}\beta$.

${\begin{array}{ccc}M&{\stackrel {\alpha }{\longrightarrow }}&N\\{h_{1}}\downarrow &\circlearrowright &\downarrow {h_{2}}\\V&{\stackrel {\beta }{\longrightarrow }}&W\end{array}}$

Definition: Ist dabei $V=W$ und $M=N$ und kann sogar $h_{1}=h_{2}=:h$ gewählt werden, so heißen die Endomorphismen $\alpha$ und $\beta$ ähnlich (über $R$). Schreibweise: $\alpha \approx _{R}\beta$.

${\begin{array}{ccc}M&{\stackrel {\alpha }{\longrightarrow }}&M\\{h}\downarrow &\circlearrowright &\downarrow {h}\\V&{\stackrel {\beta }{\longrightarrow }}&V\end{array}}$

Im Falle eines Körpers $R=K$ ist dies die bekannte Ähnlichkeitsrelation aus der Linearen Algebra. Ist $R$ jedoch lediglich ein unitärer kommutativer Ring, so werden die Darstellungsmatrizen der Isomorphismen $h_{i}$ unimodular sein. Handelt es sich bei dem Ring $R$ um den Polynomring $K[X]$ über einem Körper $K$ oder um den Ring der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$, so spricht man auch von arithmetischer Äquivalenz (anstelle von „Äquivalenz über $K[X]$“ bzw. „über $\mathbb {Z}$“.) Das Attribut „arithmetisch“ betont die Ganzheit, nämlich der ganz(rationalen) Polynome des Polynomrings bzw. der ganzen Zahlen.

Ähnlichkeitskriterium

${\begin{array}{ccccccccc}0&\longrightarrow &M[X]&{\stackrel {\mathrm {X} _{\alpha }}{\longrightarrow }}&M[X]&{\stackrel {\phi _{\alpha }}{\longrightarrow }}&M_{\alpha }&\longrightarrow &0\\&&h_{1}\downarrow &\circlearrowright &\downarrow h_{2}&&\downarrow h&&\\0&\longrightarrow &V[X]&{\stackrel {\mathrm {X} _{\beta }}{\longrightarrow }}&V[X]&{\stackrel {\phi _{\beta }}{\longrightarrow }}&V_{\alpha }&\longrightarrow &0\\\end{array}}$

Satz: Zwei Endomorphismen $\alpha \in \operatorname {End} _{R}(M)$ und $\beta \in \operatorname {End} _{R}(V)$ sind genau dann ähnlich über $R$, wenn ihre charakteristischen Abbildungen $\mathrm {X} _{\alpha }$ und $\mathrm {X} _{\beta }$ über dem Polynomring $R[X]$ äquivalent sind. Mit anderen Worten sind die beiden folgenden Aussagen äquivalent:

• $\alpha \approx _{R}\beta$
• $\mathrm {X} _{\alpha }\sim _{R[X]}\mathrm {X} _{\beta }$

Zur Begründung: Dass aus Ähnlichkeit die Äquivalenz folgt, ist klar, da der Isomorphismus $h$ sich eindeutig zu einem geeigneten Isomorphismus $h_{1}=h_{2}\colon M[X]\to V[X]$ fortsetzen lässt, so dass das linke Quadrat kommutiert. Sind umgekehrt Isomorphismen $h_{1},h_{2}\colon M[X]\to V[X]$ gegeben, so dass das Quadrat kommutiert, so müssen diese auf den Konstanten $M$ übereinstimmen, wie Koeffizientenvergleich zeigt:

${\begin{aligned}X\cdot h_{1}(m)-\beta (h_{1}(m))=\mathrm {X} _{\beta }(h_{1}(m))&=&h_{2}(\mathrm {X} _{\alpha }(m))\\&=&h_{2}(Xm-\alpha (m))\\&=&Xh_{2}(m)-h_{2}(\alpha (m))\\&=&Xh_{2}(m)-\beta (h_{1}(m))\end{aligned}}$

Also müssen sie auf ganz $M[X]$ übereinstimmen.

Folgerung für Torsionsmoduln über Polynomringen K[X]

Dass ähnliche Matrizen $A,B\in R:=\operatorname {Mat} (n\times n,K)$ mit Einträgen aus einem Körper $K$ dasselbe charakteristische Polynom $\chi _{A}(X)=\chi _{B}(X)\in K[X]$ und sogar dieselben Elementarteiler $\varepsilon _{i}(X)\in K[X]$ haben, ist bekannt. Dabei ist $\chi _{A}(X)=\prod _{i}\varepsilon _{i}(X)$ und das Minimalpolynom von $A$ ist derjenige unter Elementarteilern mit dem höchsten Grad. Der Satz von Frobenius (Ähnlichkeitskriterium) besagt die Umkehrung: Haben $A,B$ dieselben Elementarteiler, so sind sie ähnlich, d. h.: Kennzeichnend für die Ähnlichkeitsklassen von Matrizen $A$ sind ihre Elementarteiler, will sagen: die Elementarteiler ihrer charakteristischen Matrizen $A-XE$.

Hinweis: In diesem Zusammenhang wird der Begriff „Elementarteiler“ in der Regel nicht auf den Kontext des Hauptidealringes $K$ bezogen, denn dieser Kontext wäre trivial und lieferte ja lediglich triviale Elementarteiler $\varepsilon _{i}\in \{0,1\}$. Unter den Elementarteilern einer Matrix $A\in \operatorname {Mat} (n\times n,K)$ mit Einträgen aus einem Körper werden stattdessen in der Regel die Elementarteiler ihrer charakteristischen Matrix $A-EX\in \operatorname {Mat} (n\times n,K[X])$, welche im Hauptidealring $K[X]$ liegen und von größerem Interesse sind.

Beachte, dass Torsionsmoduln über $R=K[T]$ Vektorräume über $K$ mit einem Endomorphismus $\alpha :v\mapsto X\cdot v$ sind. Mit $\dim V=n$ und $V=\bigoplus _{i=1}^{n}K\cdot v_{i}$ ist

$V[X]=K[T]\otimes V=K[X]\otimes \left(\bigoplus _{n}K\right)=\bigoplus _{i=1}^{n}K[T]$

Die Charakteristische Abbildung $\mathrm {X} _{\alpha }$ und die Abbildung $\varphi _{\alpha }$ ist dann die folgende:

${\begin{array}{ccccccccc}0&\longrightarrow &V[X]&{\stackrel {\mathrm {X} _{\alpha }}{\longrightarrow }}&V[X]&{\stackrel {\varphi _{\alpha }}{\longrightarrow }}&V&\longrightarrow &0\\\updownarrow &\circlearrowleft &\updownarrow &\circlearrowleft &\updownarrow &\circlearrowleft &\updownarrow &\circlearrowleft &\updownarrow \\0&\longrightarrow &\bigoplus _{i=1}^{n}K[X]&\longrightarrow &\bigoplus _{i=1}^{n}K[X]&\longrightarrow &V&\longrightarrow &0\\&&&&\left(g_{i}(X)\right)_{i=1,\dots ,n}&\longmapsto &\underbrace {\sum _{i=1}^{n}g_{i}(\alpha )} _{\in K[\alpha ]\subset \operatorname {End} _{K}(V)}(v_{i})&&\end{array}}$

Spektrum einer Matrix bzw. eines Endomorphismus

Das Spektrum einer Matrix $A\in \operatorname {Mat} (n\times n,K)$ wird definiert als $\operatorname {Spec} (A)=\{x\in K|A-xE\notin \operatorname {GL} (K,n)\}$.

Das Spektrum einer Abbildung $f\in \operatorname {End} _{K}(V)$ wird definiert als $\operatorname {Spec} f=\{x\in K|f-x\cdot \operatorname {id} _{V}\notin \operatorname {Aut} (V)\}$.

Offenbar besteht das Spektrum genau aus den Nullstellen des charakteristischen Polynoms, also aus den Eigenwerten der Matrix bzw. der Abbildung.

Literatur

• Falko Lorenz: Lineare Algebra II. Bibliographisches Institut Wissenschaftsverlag, Mannheim, Wien, Zürich, zweite Auflage 1989. (In der dritten Auflage von 1991 befindet sich ein kürzerer Beweis des Satzes von Frobenius als in der zweiten Auflage.)

Satz von Frobenius (Ähnlichkeitskriterium)

Definition der arithmetischen Äquivalenz

In einem Integritätsring heißen zwei Elemente $a,b\in R$ assoziiert, wenn sie sich gegenseitig teilen.

$a\sim b:\Leftrightarrow a|b\land b|a$.

Es sind dann äquivalent:

• $a\sim b$
• $\exists u\in R^{*}\colon a=ub$
• $a|b\land b|a$

In einem nicht kommutativen unitären Ring $\mathbf {R}$ muss zwischen Links- und Rechtsteilern unterschieden werden. Beidseitige Assoziiertheit soll dann die beidseitige gegenseitige Teilbarkeit bedeuten, also: $\exists u,v\in \mathbf {R} ^{*}\colon a=ub\land a=bv$:

Eine gröbere Äquivalenzrelation – d. h. eine Äquivalenzrelation, in deren Klassen jeweils mehrere Klassen der Assoziiertheit zusammengefasst sind, – ist die arithmetische Äquivalenz (oder erweiterte Assoziiertheit):

$a\sim b:\Leftrightarrow \exists u,v\in \mathbf {R} ^{*}\colon a=ubv$

Aus einer einseitigen Assoziiertheit folgt also arithmetische Äquivalenz, aus dieser jedoch nicht die Assoziertheit.

Kann dabei sogar $u=v^{-1}$ gewählt werden, so heißen $a$ und $b$ ähnlich: $a\approx b$.

Insbesondere in einem Matrizenring $\mathbf {R} _{n}:=\operatorname {Mat} (n\times n,R)$ über einem Integritätsring $R$ ist die arithmetische Äquivalenz von Interesse: Zwei Matrizen $A,B\in \mathbf {R} _{n}$ heißen arithmetisch äquivalent, wenn es zwei invertierbare Matrizen $U,V\in \mathbf {R} _{n}^{\times }$ gibt, so dass $A=UBV$.

Zur Hervorhebung des Umstandes, dass hierbei lediglich ein Ring $R$ – und nicht ein Körper – zugrunde gelegt wird, werden die invertierbaren oder regulären Matrizen aus $\mathbf {R} _{n}^{*}$ häufig auch unimodular genannt. Auch das Attribut „arithmetisch“ soll darauf hinweisen: Die Matrizeneinträge der unimodularen Matrizen $U,V$ stammen aus $R$ und nicht etwa aus seinem Quotientenkörper.

Schließlich wird die arithmetische Äquivalenz noch allgemeiner auf dem Doppelmodul $\mathbf {R} _{m,n}:=\operatorname {Mat} (m\times n,R)$ für $A,B\in \mathbf {R} _{m,n}$ definiert:

$A\sim _{R}B:\Leftrightarrow \exists U\in \mathbf {R} _{m}^{*},V\in \mathbf {R} _{n}^{*}\colon A=UBV$

Elementarteilersatz identifiziert Repräsentanten der Äquivalenzklassen

Für einen Hauptidealring $R$ besagt der Elementarteilersatz bekanntlich, dass die Klassen arithmetisch äquivalenter Matrizen $A\in \mathbf {R} _{m,n}$ durch Matrizen $D=[\varepsilon _{j}^{i}]_{1\leq j\leq n}^{1\leq i\leq m}\in \mathbf {R} _{m,n}$ repräsentiert werden können, deren einzige nicht verschwindende Einträge $\varepsilon _{j}^{i}\neq 0$ sich nur an den Stellen $\varepsilon _{i}^{i}$ für $i=1,\dots ,r$ befinden, wobei die eindeutig bestimmte Zahl $r\leq \min\{m,n\}$ der Rang der Matrix (und aller zu ihr arithmetisch äquivalenten Matrizen) heißt und die Elemente $\varepsilon _{i}^{i}=:\varepsilon _{i}\in R$ bis auf Assoziiertheit in $R$ eindeutig bestimmt sind und sich so anordnen lassen, dass sie eine Teilerkette bilden, d. h., dass die von ihnen erzeugten Ideale eine Teilerkette bilden: $(\varepsilon _{1})\supset (\varepsilon _{2})\supset \dots \supset (\varepsilon _{r})$. Für eventuell folgende $\varepsilon _{k}$ mit $r<k\leq \min\{m,n\}$ kann die Kette also durch $\supset (0)\supset \dots \supset (0)$ fortgesetzt werden. Dabei sind also die Ideale $(\varepsilon _{j}^{i})$ sämtlich eindeutig bestimmt.

Matrixversion des Satzes

Indem nun der Polynomring $R=K[X]$ betrachtet wird, stellt der Satz von Frobenius für $m=n$ einen wichtigen Zusammenhang zwischen arithmetischer Äquivalenz bestimmter Matrizen aus $\operatorname {Mat} (n\times n,K[X])=\operatorname {Mat} (n\times n,K)[X]$ und der Ähnlichkeit der zugehörigen Matrizen aus $\operatorname {Mat} (n\times n,K)=\mathbf {R} _{n,n}=\mathbf {R}$ her.

Die Matrixversion des Ähnlichkeitskriteriums entstammt dem Büchlein Aufgabensammlung zur Höheren Algebra von Helmut Hasse und Walter Klobe, Sammlung Göschen, Band 1082, Teil 2, Seite 82 f., Aufg. 34 bis 48 und beruht lediglich auf der „vorderen“ und „hinteren“ euklidischen Division in der Polynomalgebra $\mathbf {R} [X]$ über einem nicht notwendig kommutativen unitären Ring $R$ durch normierte lineare Polynome $X-\alpha$.

Satz von Frobenius: Es sei $\mathbf {R}$ ein unitärer nicht notwendig kommutativer Ring. Für Elemente $a,a'\in \mathbf {R}$ sind äquivalent:

• $a\approx a'$ (Ähnlichkeit in $\mathbf {R}$)
• $X-a\sim X-a'$ (Arithmetische Äquivalenz der zugehörigen charakteristischen Elemente in $\mathbf {R} [X]$)

Folglich sind zwei Matrizen $A,B\in \mathbf {R} :=\operatorname {Mat} (n\times n,K)$ genau dann ähnlich (konjugiert), wenn ihre charakteristischen Matrizen $A-XE,B-XE\in \operatorname {Mat} (n\times n,K[X])$ arithmetisch äquivalent in $\mathbf {R} [X]{\stackrel {!}{=}}\operatorname {Mat} (n\times n,K[X])$ sind.

Beweisskizze: Dass Ähnlichkeit über $\mathbf {R}$ die arithmetische Äquivalenz der zugehörigen „charakteristischen Elemente“ über $\mathbf {R} [X]$ nach sich zieht, ist offensichtlich. Für die umgekehrte Implikation beachte zunächst, dass die euklidische Division durch ein Polynom mit einer Einheit als führendem Koeffizienten unter diesen allgemeinen Voraussetzungen sowohl von links als auch von rechts möglich ist, also erst recht durch ein normiertes lineares Polynom: Als Reste kommen hierbei nur Konstanten in Frage. Die Eindeutigkeit der euklidischen Division ist bei Nullteilerfreiheit von $\mathbf {R}$ gewährleistet, wird hier aber nicht gebraucht. Nach Voraussetzung gilt mit geeigneten $u,v'\in \mathbf {R} [X]^{*}$ einerseits

$u(X-a)=(X-a')v'$.

Dividiert man $u$ links durch $X-a'$ und $v'$ rechts durch $X-a$, so erhält man

$u=(X-a')p+r$ und entsprechendes für $v'$, so dass

$(X-a')p(X-a)+r(X-a)=(X-a')q'(X-a)+(X-a')s'$ mit Resten $r,s'\in \mathbf {R}$ und Quotienten $p,q'\in \mathbf {R} [X]$.

Koeffizientenvergleich ergibt $p=q'$ und $r=s'$, so dass

$r(X-a)=(X-a')r$, also $ra=a'r$. Zu zeigen bleibt $r\in \mathbf {R} ^{*}$.

Nach Voraussetzung gilt nun mit $v^{-1}=v'$ und $u'=u^{-1}$ andererseits

$(X-a)v=u'(X-a')$.

Analoge Rechnung und Bezeichnung liefert $u'=(X-a)p'+r'$ mit einem Rest $r'\in \mathbf {R}$. Es gilt $1=uu'$; man multipliziere die rechte Seite aus, beachte $r(X-a)=(X-a')r$ und nutze Koeffizientenvergleich. So gelangt man zu $uu'=rr'$, womit alles gezeigt ist.

Charakteristische Abbildung und Matrix

Die Bedeutung der charakteristischen Matrix hängt mit der charakteristischen Abbildung zusammen: Diese ist auf dem Polynommodul definiert. Für die Strukturversion des Satzes muss zunächst die charakteristische Abbildung definiert werden.

Strukturversion des Satzes

Es sei $\dim _{K}V=:n<\infty$.

Satz: Zwei Endomorphismen $\alpha ,\beta \in \operatorname {End} _{K}(V)$ sind genau dann ähnlich (konjugiert), wenn ihre charakteristischen Abbildungen arithmetisch äquivalent (also in $\operatorname {End} _{K[X]}(V)$ assoziiert) sind: $\alpha \approx \beta \Leftrightarrow \mathrm {X} _{\alpha }\sim \mathrm {X} _{\beta }$.

Dabei werden $V$ als Modul $M=V$ über der Polynomalgebra $K[X]$ aufgefasst, und die charakteristischen Abbildungen $\mathrm {X} _{\alpha },\mathrm {X} _{\beta }$ auf dem zugehörigen Polynommodul $M[X]=M\otimes K[X]$ betrachtet.

Die Implikationen „$\mathrm {X} _{\alpha }{\stackrel {K[T]}{\approx }}\mathrm {X} _{\beta }\Rightarrow \alpha \approx \beta \Rightarrow \mathrm {X} _{\alpha }\sim \mathrm {X} _{\beta }$“ sind (durch Koeffizientenvergleich) trivial.

ODER VERWEISEN auf Polynommodul#1Satz_von_Frobenius_(Ähnlichkeitskriterium).

Weiterführende Links

• Jordansche Normalform
• Smith-Normalform

Literatur

• Falko Lorenz: Lineare Algebra
• Helmut Hasse und Walter Klobe: Aufgabensammlung zur „Höheren Algebra“ (von Helmut Hasse), Sammlung Göschen, Band 1082, Teil 2, Seite 82 f., Aufg. 34 bis 48

Originalarbeiten

Für den Satz von Frobenius über ein Kriterium für die Ähnlichkeit linearer Abbildungen (von Matrizen) anhand der zugehörigen charakteristischen Abbildungen (Matrizen), und mithin durch die zugehörigen Elementarteiler, sind folgende Originalarbeiten von Georg Frobenius zu nennen:

• Ferdinand Georg Frobenius: „Über lineare Substitutionen und bilineare Formen“, Crelles Journal, Band 84, 1878, Seiten 1-63. Darin § 6 (Aequivalenz), Abschnitt 2, Seite 21 und § 7 (Ähnlichkeit). Frobenius verweist auf Ergebnisse von Weierstraß und Kronecker in: Monatsberichte der Berliner Akademie des Wisssenschaften 1868 und 1874), die jedoch mit aufwendigeren Beweisen erzielt wurden.
• Ferdinand Georg Frobenius: „Theorie der linearen Formen mit ganzen Coeffizienten“, Crelles Journal, Band 86, 1879, Seiten 146-208. (datiert: Zürich, April 1878).
• Ferdinand Georg Frobenius und Ludwig Stickelberger: „Über Gruppen von vertauschbaren Elementen“, Crelles Journal, Band 86, 1879, Seiten 217-262. (datiert: Zürich, Juli 1878).
• Ferdinand Georg Frobenius: „Theorie der linearen Formen mit ganzen Coeffizienten (Forts.)“, Crelles Journal, Band 88, 1880, Seiten 96-116. (datiert: Zürich, Januar 1879).

Im genannten Band 86, Seite 147, verweist Frobenius auf folgende Arbeiten:

• Karl Weierstraß: „Zur Theorie der bilinearen und quadratischen Formen“, Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (Monatsberichte Berlin, „B.M.“), Sitzung vom 18. Mai 1868.
• Leopold Kronecker: ebenda, 1874.
• Camille Jordan, Comptes rendus 1871, II. sém, p. 787
• Camille Jordan, Liouv. Journ. 1874, p. 35.
• Gaston Darboux, Liouv. Journ. 1874, p. 347.
• Meyer Hamburger: „Bemerkung über die Form der Integrale der linearen Differentialgleichungen mit veränderlichen Coefficienten“ Crelles Journal, Bd. 76, 1873, S. 113-125. (Berlin, Februar 1873)

Ferner verweist Frobenius auf Arbeiten von „Herrn Smith“, die ihm erst nach Vollendung seiner Arbeit zu Gesicht gekommen seien:

• Henry John Stephen Smith: „On Systems of Linear Indeterminate Equations and Congruences“, Philosophical Transactions of the Royal Society of London (Phil. Trans.) vol. 151, p. 293. (siehe auch [1])
• Henry John Stephen Smith: „Arithmetical Notes I: On the Arithmetical Invariants of a Rectangular Matrix, of which the Constituents are Integral Numbers“, Proceedings of the London Math. Soc. 1873, p. 236.
• Henry John Stephen Smith: „Arithmetical Notes II: On Systems of Linear Congruences“, Proceedings of the London Math. Soc. 1873, p. 241.

Laut Meyer Hamburger (loc. cit., Seite 124), war es Karl Weierstraß, der in der zitierten Arbeit B.M. 1868 die Definition der Elementartheiler eingeführt hat, siehe auch Karl Weierstraß.

Elementarteiler

Der Elementarteilersatz liefert die Klassifikation endlich erzeugter Moduln über einem Hauptidealring (wie bspw. einem euklidischen Ring): Solche Moduln sind nämlich gerade durch die Familie ihrer Elementarteiler, ja durch ihre Elementarteilerkette gekennzeichnet, freilich bis auf Isomorphie bzw. Assoziiertheit. Zuerst waren es natürlich Moduln über dem Ring der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$, also abelsche Gruppen, für die dieser Satz erkannt wurde und häufig als „Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen“ ausgesprochen wurde.

Es ist erhellend, sich zunächst das historische Verständnis des Begriffs „Elementarteiler“ zu vergegenwärtigen, denn dieses verrät wesentlich mehr von der Aussage des Elementarteilersatzes als man zunächst – bei landläufigem Verständnis der Wortbestandteile – vermuten möchte.

Bedeutung, Bedeutungswandel und Definition

Der Begriff Elementarteiler hat einen Bedeutungswandel erfahren. Ursprünglich bezeichnete dieser Begriff – analog zum noch heute üblichen Begriff des Normalteilers – eine Untergruppe einer gegebenen Gruppe mit der Eigenschaft, elementar zu sein. Der Begriff „Theiler einer Gruppe“ (oder „Divisor einer Gruppe“) bezeichnete in den Anfängen der Gruppentheorie nämlich eine Untergruppe einer abelschen Gruppe (eines Moduls), und eine zyklische Gruppe wurde „elementar“ genannt, wird sie doch von einem Element erzeugt. Bspw. trägt noch 1898 Heinrich Weber in seinem Lehrbuch der Algebra den Begriff Untergruppe lediglich in der Fußnote nach, während er im Haupttext die Begriffe Theiler und Divisor nennt. In Ermangelung des Mengenbegriffs wurden seinerzeit noch kaum abstrakte Gruppen betrachtet, sondern stets Gruppen von Zahlen, Substitutionen oder Formen etc. Dass die wesentlichen Eigenschaften hierbei auf die Gruppenaxiome zurückführbar sind, die daher konstitutiv sind, trat freilich mehr und mehr ins Bewusstsein, wie aus Heinrich Webers Vorwort hervorgeht.

Die Kardinalität eines minimalen Erzeugendensystems einer abelschen Gruppe (einer „Basis“, wie es früher auch hieß) wurde Rang der Gruppe genannt. Gruppen vom Rang eins hießen also elementar, und „Elementarteiler einer Gruppe“ sind demnach zyklische Untergruppen.

Tatsächlich zerfällt jede endlich erzeugte abelsche Gruppe $M$ nach dem Elementarteilersatz in eine direkte Summe $M=\bigoplus _{i=1}^{N}Z_{i}$ zyklischer Untergruppen $Z_{i}$, die gemäß altem Sprachgebrauch auch die „Elementarteiler der Gruppe“ hießen. Diese Untergruppen werden also jeweils von einem Element erzeugt: $Z_{i}=\langle z_{i}\rangle$, wobei $\langle z_{i}\rangle$ je nachdem, ob die Gruppe additiv oder multiplikativ notiert wird, $\mathbb {Z} \cdot z_{i}$ oder $z_{i}^{\mathbb {Z} }$ bedeuten möge. Diese Untergruppen sind nach dem Elementarteilersatz bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt, das heißt, dass die Elemente $z_{i}\in M$ zwar nicht eindeutig festgelegt sind, wohl aber ihre Ordnung $\operatorname {ord} z_{i}:=\min\{h\geq 1\,|\,h\cdot z_{i}=0\}=\operatorname {ord} (Z_{i})$. Elemente gleicher Ordnung erzeugen nämlich isomorphe zyklische Gruppen und umgekehrt haben Erzeugende isomorpher zyklischer Gruppen dieselbe Ordnung. Der Elementarteilersatz besagt darüber hinaus, dass eben diese Ordnungen (bei passender Indizierung) einer Teilerkette bilden: $\varepsilon _{r}|\varepsilon _{r-1}|\varepsilon _{r-2}|\dots |\varepsilon _{1}$, wobei $\varepsilon _{i}:=\operatorname {ord} (z_{i})$ für $i=1,\dots ,r$, oder in äquivalenter Notation $(\varepsilon _{1})\subset (\varepsilon _{2})\subset \dots \subset (\varepsilon _{r-1}\subset (\varepsilon _{r})$. Für die Eindeutigkeit können triviale Faktoren $\varepsilon =1$ ignoriert werden, denn die Eins ist Teiler einer jeden ganzen Zahl und stünde ja nur für die triviale zyklische Gruppe, die nur aus dem neutralen Element besteht, dem Null- bzw. Einselement. Aus demselben Grunde kann ebensogut die Folge der Elementarteiler $(\varepsilon _{i})_{i}$ für $i\geq r$ durch $\varepsilon _{i}:=1$ aufgefüllt werden. Die Null hingegen ist Vielfaches einer jeden ganzen Zahl, und ein Elementarteiler $\varepsilon _{i}=0$ zeigt, dass die Untergruppe $\langle z_{i}\rangle$ isomorph zu $\mathbb {Z} =\mathbb {Z} /(0)$ ist. Für endlich erzeugte Torsionsmoduln $M$ tritt dieser Fall jedoch nicht ein, denn jedes Element $x$ einer Torsionsgruppe hat Torsion, das heißt: Es gibt $h\in \mathbb {Z}$ mit $h\cdot x=0$. Für den Torsionsanteil endlich erzeugter Moduln ist daher stets $\varepsilon _{i}\neq 0$, während sich für den torsionsfreien Anteil Elementarteiler $\varepsilon =0$ zu Beginn der Elementarteilerkette (für $i=1,\dots ,s$, wenn $s$ der Rang des freien Anteils ist) einfügen. Damit ist der Rang der abelschen Gruppe gleich der Länge $r$ dieser Teilerkette, wenn $r$ maximal mit $\varepsilon _{r}\not \sim 1$. So spiegelt sich der Isomorphietyp eines endlich erzeugten Moduls über einem Hauptidelaring in der Folge $(\varepsilon _{i})_{i\in \mathbb {N} }$ seiner Elementarteiler $\varepsilon _{i}\in R$, die (ohne Einschränkung) von einem Glied $i\geq r+1$ an identisch $1$ wird.

Auch diese Ordnungen $\varepsilon _{i}$ wurden gelegentlich als Elementarteiler bezeichnet: Das ist gut nachvollziehbar, lassen sich doch „elementare Gruppen von vertauschbaren Elementen“ (also zyklische Gruppen) der Ordnung $\varepsilon \in \mathbb {Z}$ mit dem Paradigma $\mathbb {Z} /(\varepsilon )$ identifizieren. Jede elementare abelsche Gruppe ist mit ihrer Ordnung identifiziert.

Elementarteiler $\varepsilon _{i}$ einer endlich erzeugten abelschen Gruppe $M$ sind also genau jene Teiler der Gruppenordnung $\operatorname {Ord} M$, welche die Ordnungen der elementaren Untergruppen $Z_{i}$ angeben, in welche die Gruppe nach dem Elementarteilersatz (als direkte Summe) zerfällt. Ihr Produkt ist die Gruppenordnung, falls diese endlich ist: $\#M=\prod _{i=1}^{r}\varepsilon _{i}$. (Falls sie nicht endlich ist, so sind einige der $\varepsilon _{i}$ gleich Null. Die Gleichheit gilt nur für Torsionsmoduln.)

Allerdings muss unterschieden werden: Die Ordnungen der zyklischen Untergruppen bilden eine Teilerkette, nicht aber die Untergruppen $Z_{i}$ selbst, denn sie sind ja direkte Summanden, will sagen: Es gilt zwar $\operatorname {Ord} (Z_{r})|\operatorname {Ord} (Z_{r-1})|\operatorname {Ord} (Z_{r-2})|\dots |\operatorname {Ord} (Z_{1})$, nicht jedoch $Z_{r}\subset Z_{r-1}\subset Z_{r-2}\subset \dots \subset Z_{1}$. So mag die Verwendung des Begriffs „Elementarteilerkette“ ein Grund dafür sein, dass sich die Bedeutung des Begriffes „Elementarteiler“ auf die Ordnungen der zyklischen Untergruppen verengt hat, um Missverständnisse zu vermeiden.

Als Synonyme für die Elementarteiler werden verwendet: Invarianten oder invariante Faktoren einer Gruppe (engl.: invariant factor, elementary divisors)

Abelsche Gruppen sind Module über dem Ring $\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen. Dieser ist ein euklidischer Ring, ja sogar ein prinzipaler Ring. Tatsächlich gilt der Elementarteilersatz allgemeiner für Module über einem Hauptidealring $R$. Dazu muss jedoch der Begriff der Ordnung einer Gruppe geeignet definiert werden, weil das oben für die Ordnungsdefinition verwendeten Minimum seinen Sinn verliert: Anstelle der Ordnung $\operatorname {ord} (x)$ eines Elementes $x$ betrachtet man das von ihm erzeugte Ordnungsideal $\operatorname {Ord} (x)=\operatorname {ord} (x)\mathbb {Z}$ und verallgemeinert es folgendermaßen: $\operatorname {Ord} (x)=\{r\in R\,|\,r\cdot x=0\}=\operatorname {Ann} (x)$. Es wird auch Annullator(ideal) genannt.

Dass es sich um ein Ideal handelt, ist leicht nachzuprüfen. In Hauptidealringen ist jedes Ideal ${\mathfrak {a}}\triangleleft R$ von einem geeigneten Element erzeugbar: ${\mathfrak {a}}=Ra$. Ein solches erzeugendes Element $a$ ist bis auf Assoziiertheit festgelegt, denn $a_{1}|a_{2}\Leftrightarrow Ra_{1}\supset Ra_{2}$, also $Ra_{1}=Ra_{2}\Leftrightarrow a_{1}|a_{2}\wedge a_{2}|a_{1}$.

Endlich erzeugte Torsionsmoduln über $\mathbb {Z}$ sind genau die endlichen abelschen Gruppen. Daher firmiert die Klassifikation der endlich erzeugter Moduln über Hauptidealringen in diesem Falle auch als Fundamentalsatz über endliche (oder endlich erzeugte) abelschen Gruppen. Die von einem Element $p\in G$ erzeugte zyklische Untergruppe $\langle p\rangle$ wurde übrigens auch als Periode von $p$ bezeichnet.

Elementarteilersatz

Der Elementarteilersatz lässt sich in verschiedene Versionen kleiden und liefert dabei folgende Aussagen:

• Die Strukturversion ist eine Klassifikation endlich erzeugter Moduln über Hauptidealringen. Sie stellt ferner einen Zusammenhang hang zwischen Elementarteilern und alternierenden Multilinearformen auf dem Modul her.
• Die Matrixversion ist eine Klassifikation quadratischer Matrizen aufgrund einer Äquivalenzrelation: der Assoziiertheit. Sie stellt ferner einen Zusammenhang zwischen Elementarteilern und Determinantenteilern her.

• Die Basisversion klassifiziert Untermoduln freier Moduln und gibt das Volumen der Grundmasche als eine Determinante an (und das Volumen von Grundmaschen niedrigeren Ranges).
• Die Homomorphismusversion klassifiziert folglich Kerne.

Somit liefert der Elementarteilersatz Invarianten: Invarianten eines endlicher erzeugten Moduls und einer Matrix sind die (bis auf Assoziiertheit eindeutig bestimmten) Elementarteiler und die Länge dieser Elementarteilerkette. Dabei hängen diese Invarianten nur von Isomororphieklasse des Moduls bzw. der Äquivalenzklasse der Matrix (in Bezug auf die arithemtische Äquivalenz ab). Die Elementarteiler heißen daher auch invariante Faktoren (engl. invariant factors).

Die Länge der Elementarteilerkette einer Matrix heißt der Rang dieser Matrix.

Es sei $R$ ein Hauptidealring. Unter einer aufsteigenden Idealkette werde eine Kette von Idealen $(\varepsilon _{i})_{1\leq i\in \mathbb {N} }$ verstanden mit:

1. $(\varepsilon _{i})\subset (\varepsilon _{i+1})$,
2. $(\varepsilon _{1})\supset (0)$ und
3. $(\varepsilon _{s}+1)=(1)$ für ein $s\in \mathbb {N}$ und damit auch $(\varepsilon _{i})=(1)$ für jedes $i\leq s+1$.

Die Erzeugenden $\varepsilon$ sind bis auf Einheiten eindeutig durch das Ideal $(\varepsilon _{i})$ bestimmt. Zwei derartige Idealketten heißen gleich, wenn für jeden Index $i$ die zugehörigen Ideale gleich sind.

Beispiel: $\underbrace {(0)\subset (0)\subset \dots \subset (0)} _{r{\text{ Mal}}}\subset (1)\subset \dots$.

Der Elementarteilersatz lässt sich als eine Klassifikationsaussage verstehen, nämlich: Die Menge der (schwach) aufsteigenden Idealketten repräsentiert

• die Isomorphieklassen endlicher erzeugter Moduln über $R$ bzw.
• die Äquivalenzklassen endlicher Matrizen mit Einträgen aus $R$. Es handelt sich dabei um die Äquivalenzrelation der arithmetischen Äquivalenz von Matrizen.

Der Elementarteilersatz klassifiziert also endlich erzeugte Moduln oder – gleichbedeutend – endliche Matrizen über einem Hauptidealring.

Zur bequemen Formulierung sei deshalb

• der $R$-Modul $\bigoplus _{1\leq i\in \mathbb {N} }R/(\varepsilon _{i})=\bigoplus _{i=1}^{s}R/(\varepsilon _{i})$, wobei $(\varepsilon _{s})=(1)=R$, als der zur Idealkette $(\varepsilon _{i})_{i}$ gehörige oder von ihr induzierte $R$-Modul,
• und die Matrix $\sum _{i=1}^{\min\{m,n\}}\varepsilon _{i}E_{i}^{i}$ als die zur Idealkette $(\varepsilon _{i})_{i}$ gehörige oder von ihr induzierte Matrix aus $\operatorname {Mat} (m\times n,R)$ bezeichnet. Dabei sei $E_{j}^{i}\in \operatorname {Mat} (m\times n,R)$ die Matrix, die überall Nullen hat, lediglich in der Stelle der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte eine Eins.

Nun ist ein Hauptidealring faktoriell, d. h., in ihm besteht also eine (bis auf Assoziiertheit) eindeutige Zerlegung in Primelemente (ZPE). Mit anderen Worten: Es ist ein ZPI-Ring, in dem jedes Ideal Hauptideal ist, insbesondere auch die Primideale.

Eine aufsteigende Idealkette $(\varepsilon _{i})_{1\leq i\in \mathbb {N} }$ kann also auch durch gekennzeichnet werden, indem für jedes Primideal $(p)$ und für jede natürliche Zahl $k\in \mathbb {N}$ der folgende Werte angegeben wird: $m_{p,k}:=\#\left\{i\in \mathbb {N} \;|\;(p^{k})\supset (\varepsilon _{i})\,\land \,(p^{k+1})\not \supset (\varepsilon _{i})\right\}$. Diese Kennzahl gibt also die Anzahl derjenigen Elementarteiler an, in denen $p$ mit der genauen Potenz $p^{k}$ aufgeht. Diese Werte $m_{p,k}$ verschwinden für fast alle Primelemente $p$ und fast alle natürliche Zahlen $k$. Zudem sind sie fast alle endlich, wenn die Null nicht als Elementarteiler erscheint: Die Häufigkeit des Wertes $\infty$ gibt die Häufigkeit der Null als Elementarteiler an.

Arithmetische Äquivalenz

Definition: text text.

Ein wichtiges Kriterium für die arithmetische Äquivalenz zweier Matrizen formuliert der Satz von Frobenius (Ähnlichkeitskriterium): Zwei Matrizen $A,B\in \operatorname {Mat} (n\times n,R)$ sind genau ähnlich $A\approx B$, wenn ihre zugehörigen charakteristischen Matrizen $A-XE,B-XE\in \operatorname {Mat} (n\times n,R[X])$ arithmetisch äquivalent ($A-XE\sim B-XE$) sind.

Dieses Kriterium stiftet den Zusammenhang zwischen der Eigenwerttheorie und der Elementarteilertheorie: text text text.

Matrixversion

Elementarteilersatz (Matrixversion): Jede Matrix ist arithmetisch äquivalent zu einer Matrix, die von einer wachsenden Idealkette induziert ist. Das heißt: Jede Matrix $A\in \operatorname {Mat} (m\times n,R)$ gibt es zwei Matrizen $P\in \operatorname {GL} (m\times m,R)$ und $Q\in \operatorname {GL} (n\times n,R)$, so dass $PAQ$ von einer aufsteigenden Idealkette $(\varepsilon _{i})$ in $R$ induziert wird, das heißt die folgende Gestalt hat:

${\begin{pmatrix}\varepsilon _{1}&0&0&\cdots &0&0&\cdots &0\\0&\varepsilon _{2}&0&\cdots &0&0&\cdots &0\\0&0&\varepsilon _{3}&\cdots &0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &\varepsilon _{s}&0&\cdots &0\\0&0&0&\cdots &0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &0&0&\cdots &0\\\end{pmatrix}}$, wobei $s\leq \min\{m,n\}$ und $\varepsilon _{s}|\varepsilon _{s-1}|\varepsilon _{s-2}|\cdots |\varepsilon _{1}$.

Eigentlich wäre es (im Sinne der aufsteigenden Kette) schöner, wenn <nochmal über die Indexreihenfolge nachdenken>

mit Determinantenteilern ...

Insbesondere sind torsionsfreie endlich erzeugte Moduln frei, denn ein minimales Erzeugendensystem ist linear unabhängig.

Strukturversion

Elementarteilersatz (Strukturversion) Jeder endlich erzeugte Modul über einem Haupidealring $R$ ist isomorph zu einem von einer aufsteigenden Idealkette in $R$ induzierten Modul.

Idee: Bei Elementarteilerzerlegung $G=\bigoplus _{i=1}^{n}R/\varepsilon _{i}$ sei $a_{G}(p^{k}):=\#\left\{i\in \{1,\dots ,n\}|v_{p}(\varepsilon _{i})=k\right\}$, so das also $\varepsilon _{i}=\prod _{p}p^{v_{p}(\varepsilon _{i})}$. (So ist es auch im Artikel Hauptidealringe dargestellt.)

Insbesondere sind torsionsfreie Moduln frei, denn für sie ist $(\varepsilon _{s})=(0)$, also verschwinden alle Elementarteiler $\varepsilon _{i}=$.

Der Elementarteilersatz lässt sich offensichtlich noch in zwei weitere Versionen kleiden:

Basisversion

Elementarteilersatz (Basisversion) mit Determinantenteilern und alternierenden Multilinearformen ..

IDEE: Die Basisversion (ebenso wie die Homomorphismenversion) offenbart, dass endlich erzeugte Moduln über Hauptidealringen endlich präsentierbar sind.

Homomorphismenversion

Elementarteilersatz (Homomorphismenversion)

Primärzerlegung

Gewissermaßen „quer“ zur Zerlegung des Elementarteilersatzes gibt es eine weitere Zerlegung, für die der Chinesische Restsatz paradigmatisch ist. Beachte, dass Hauptidealringe faktoriell sind.

Satz: Es sei $M$ ein endlicher erzeugter $R$-Modul mit dem Annullatorideal $\operatorname {Ann} (M):=\{z\in \mathbb {Z} \,|\,\forall m\in M:z\cdot m=0\}=\{z\in \mathbb {Z} \,|\,z\cdot M=0\}=Ra$ mit $a\neq 0$ (also ein Torsionsmodul). Dabei sei $a=a_{1}\cdot a_{2}$ mit zwei teilerfremden $a_{i}\in R$, das heißt mit $Ra_{1}+Ra_{2}=R$. Dann lässt sich $M$ in eine direkte Summe $M=M_{1}\oplus M_{2}$ zweiter Untermoduln $M_{i}$ zerlegen, für die gilt: $\operatorname {Ann} (M_{1})=Ra_{1}$ und $\operatorname {Ann} (M_{2})=Ra_{2}$. Setzt man die Zerlegung von $a$ bis zu einer Zerlegung $a=\prod _{p|a}p^{v_{p}(a)}$ in Potenzen von Primelementen $p\in R$ fort, so erhält man die Primärzerlegung : $M=\bigoplus _{p|a}M_{p}$ mit $\operatorname {Ann} (M_{p})=Rp^{v_{p}(a)}$. Die Summe erstreckt sich natürlich nur über endlich viele Primelemente, nämlich jene, die $a$ teilen: $p|a$.

Anmerkung: Hat $M$ einen torsionsfreien Anteil, so kann dieser zunächst (gemäß Elementarteilersatz) abgespalten werden und sodann die Primärzerlegung angewendet werden. Der torsionsfreie Anteil ist ein freier Modul.

• Auf jede dieser Primärkomponenten $M_{p}$ lässt sich nun der Elementarteilersatz anwenden und somit ihre Elementarteilerkette bestimmen: Notwendigerweise werden sämtliche $\varepsilon _{p,i}$ Teiler von $p^{v_{p}(a)}$ sein, also Potenzen von $p$.
• Auch das umgekehrte Vorgehen ist möglich: Zerlege $M$ zuerst in seine „Elementarteiler“ (will sagen: in zyklische Untergruppen, deren Ordnungen $\varepsilon _{i}$ eine Teilerkette bilden) und anschließend zerlege jede zyklische Untergruppe in ihre Primärkomponenten.

Ob zuerst die zyklischen Untergruppen $Z_{i}<M$ (also die Elementarteiler, deren Ordungen eine Teilerkette bilden,) eines Moduls $M$ bestimmt wird und dann jede von ihnen in ihre Primärkomponenten $Z_{i}=\bigoplus _{p}Z_{(i,p)}$ zerlegt wird oder aber umgekehrt zunächst der Modul in seine Primärkomponenten $M=\bigoplus _{p}M_{p}$ und dann jede von diesen in ihre Elementarteiler $M_{p}=\bigoplus _{i}M_{(p,i)}$, ist gleichgültig: Beides läuft auf isomorphe Zerlegungen, das heißt auf Zerlegungen in primärzyklische Untergruppen, die paarweise einander isomorph sind: $Z_{(i,p)}\cong M_{(p,i)}$.

Text der Überschrift

$M$	zugehöriger Elementarteiler $\varepsilon$	Primärzerlegung →	$M_{p_{1}}$	$M_{p_{2}}$	$\cdots$	$M_{p_{s}}$	Überschrift
Zerlegung in zyklische Untergruppen („Elementarteiler“) ↓	$(\varepsilon _{i})=\operatorname {Ann} (Z_{i})=\operatorname {Ord} (z_{i})$	↓ oder →	Zerlegung in Elementarteiler ↓	Zerlegung in Elementarteiler ↓	Zerlegung in Elementarteiler ↓	Zerlegung in Elementarteiler ↓	Beispiel
$Z_{1}$	$\varepsilon _{1}\sim \prod _{p}(\dots )$ Es ist $(\varepsilon _{1})=\operatorname {Ann} (M).$	Primärzerlegung →	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel
$Z_{2}$	$\varepsilon _{2}\sim \prod _{p}(\dots )$	Primärzerlegung →	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel
$Z_{3}$	$\varepsilon _{3}\sim \prod _{p}(\dots )$	Primärzerlegung →	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel
$\vdots$	$\varepsilon _{i}\sim \prod _{p}(\dots )$	Primärzerlegung →	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel
$Z_{r}$	$\varepsilon _{r}\sim \prod _{p}(\dots )$	Primärzerlegung →	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel
$\{0\}$	$\varepsilon _{r+1}\sim 1$	Primärzerlegung →	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel
$\vdots$	$\varepsilon _{r+2}\sim 1$	Primärzerlegung →	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel	Beispiel

Da $R/(p)$ für ein Primelement $p\in R$ ein Körper ist, lassen sich zum Beweis der Sätze der Elementarteilertheorie die Primärzerlegung zusammen mit Ergebnissen der Linearen Algebra verwenden. So lassen sich bspw. die Ulmschen Invarianten betrachten: $U(i,p,M):=\dim _{R/pR}\left(p^{k-1}M/p^{k}M\right)$.

Elementarteiler von Primärmoduln

Beweis mit Mitteln der linearen Algebra möglich. Ulmsche Invarianten. Heckescher Beweis. etc.

Induktiver Beweis über reine Untermoduln

Nach Heinz Prüfer lässt sich der Elementarteilersatz auch durch Induktion über so genannte reine Untermoduln führen.

Literatur

• Nathan Jacobson: Basic Algebra. Seite 188 letzte drei Aufgaben.
• Irvin Kaplansky: Infinite Abelian Groups, Ann Arbor, The University of Michigan Press, 1954, 1969 (Revised Edition).
• Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra, Teil 2, Teubner, Stuttgart, 1988.
• Heinz Prüfer (Mathematiker):
  • Untersuchungen über die Zerlegbarkeit der abzählbaren primären abelschen Gruppen, Math. Zeit., Band 17 (1923), Seiten 35-62. DigiZeitschriften online
  • Theorie der abelschen Gruppen, I, Grundeigenschaften, Math. Zeit., Band 20 (1924), Seiten 165-187. DigiZeitschriften online
  • Theorie der abelschen Gruppen, II, Ideale Gruppen, Math. Zeit., Band 22 (1925), Seiten 222-249. DigiZeitschriften online

Folgerungen

Kriterium für Zyklizität

Für endliche zyklische Gruppen (Module über $\mathbb {Z}$ oder allgemeiner über euklidischen Ringen oder gar Hauptidealringen) sind Annullator(ideal) und Ordnung(sideal) gleich:

$G=\langle x\rangle \Rightarrow \operatorname {Ann} (G)=\operatorname {Ord} (G)\;,$

wobei $\operatorname {Ann} (G):=\operatorname {min} \{0\neq r\in \mathbb {N} |\forall x\in G:rx=0\}$ und $\operatorname {Ord} (G):=(G:1)=\#G$. Bei multiplikativ notierten abelschen Gruppen spricht man den Annullator auch als den Exponenten der Gruppe an. Der Elementarteilersatz liefert auch die Umkehrung: Stimmen Ordnung und Annullator überein, so ist die Gruppe zyklisch. Der Elementarteilersatz liefert überdies eine allgemeinere Aussage: Jede abelsche Gruppe ist isomorph einem direkten Produkt zyklischer Gruppen, deren Ordnungen eine Teilerkette bilden. Dabei ist die Teilerkette (bis auf Einheiten, also im Falle von Moduln über $\mathbb {Z}$ bis auf $\pm 1$) eindeutig bestimmt, insbesondere auch ihre Länge. Zyklische Moduln sind gerade dadurch gekennzeichnet, dass ihre Elementarteilerkette die Länge 1 hat. Anmerkung: Dies sind sämtlich Torsionsgruppen. Nimmt man auch torsionsfreie Anteile hinzu und gibt ihnen die Ordnung 0 (Die Null ist Vielfaches einer jeden Zahl), so gelangt auch die unendliche Gruppe $\mathbb {Z} =\mathbb {Z} /(0)$ in den Blick.

Die Aussagen des Elementarteilertheorie gelten nicht nur für Moduln über dem Ring $\mathbb {Z}$ (also abelsche Gruppen), sondern für beliebige Moduln über Hauptidealringen. Typisches Beispiel ist die Polynomalgebra $K[X]$ in einer Unbestimmten $X$ über einem Körper $K$.

Torsionsfreiheit und Freiheit

Nachdem Elementarteilersatz sind torsionsfreie Moduln über Hauptidealringen frei. Nach dem Artikel über flache und über torsionsfreie Moduln fallen also für Moduln über einem Hauptidealring $R$ die Begriffe „frei“, „projektiv“, „flach“ und „torsionsfrei“ zusammen.

Tatsächlich ist $R$ Dedekind-Ring, so dass aus Torsionsfreiheit die Flachheit folgt. Ferner sind endlich erzeugte Moduln über $R$ nach der Basisversion des Elementarteilersatzes endlich präsentabel, so dass aus der Flachheit die Projektivität folgt. Über Hauptidealringen folgt aus der Projektivität die Freiheit.

Anwendungen

Der Elementarteilersatz besitzt eine Reihe interessanter Anwendungen. Umgekehrt ordnen sich eine Reihe bekannter Ergebnisse aus verschiedenen Bereichen ihm unter. Hier seien aufgeführt:

• Fall $R=\mathbb {Z}$
  • Kriterium für endliche zyklische Gruppen
  • Zyklizität endlicher Untergruppen der Einheitengruppe von Körpern
  • Existenz primitiver Einheitswurzeln bzw. einer Primitivwurzel modulo p
• Fall $R=K$: Klassifikation endlicher erzeugter Vektorräume anhand ihrer Dimension.
• Fall $R=K[X]$
  • Struktur von Endomorphismen auf Vektorräumen der Dimension $n<\infty$ und $n$ reihigen quadratischen Matrizen
  • Satz über die Existenz einer Normalbasis einer zyklischen Galoiserweiterung
  • Rekursive Folgen
  • Lösungen linearer DGl erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten.
  • Partialbruchzerlegung

Endlich erzeugte Moduln über Z: Abelsche Gruppen und Kriterium für Zyklizität

Im Falle $R=\mathbb {Z}$ heißt der Elementarteilersatz auch Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen. Beschränkt man sich dabei auf endlich erzeugte Torsionsmoduln, so ist es der Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen.

Es ergeben sich Kriterien für Zyklizität endlicher abelscher Gruppen, denn für eine endliche abelsche Grupppe $G$ sind gemäß Elementarteilersatz (und Primärzerlegung) äquivalent:

• $G$ ist zyklisch.
• Annullatorideal (ihr Exponent) und Ordnung(sideal) von $G$ sind gleich.
• Zu jedem Teiler $d|(G:1)$ der Gruppenordnung gibt es genau eine zyklische Untergruppe der Ordnung $d$.
• Zu jedem Primzahlpotenzteiler $p^{m}|(G:1)$ der Gruppenordnung gibt es genau eine zyklische Untergruppe der Ordnung $p^{m}$.
• Zu jedem maximalen Primzahlpotenzteiler $p^{m}|(G:1)$ (also mit $p^{m+1}\not |(G:1)$) gibt es genau eine zyklische Untergruppe der Ordnung $p^{m}$.
• Zu jedem Primteiler $p|(G:1)$ gibt es genau eine zyklische Untergruppe der Ordnung $p$.
• Zu jedem Primteiler $p|(G:1)$ gibt es genau $p-1$ Elemente aus $G$ mit der Ordnung $p$.
• Für jedes $0<k\in \mathbb {N}$ ist $\#\{x\in G\;|\;x^{k}=1\}\leq k$.

Zyklizität endlicher Untergruppen der Einheitengruppe von Körpern

Satz: Jede endliche Untergruppe $G\leq K^{\times }$ der multiplikativen Gruppe $K^{\times }$ eines Körpers $K$ ist zyklisch. Zum Beweis wähle man $h\in \mathbb {N}$ wie folgt:

$h=\operatorname {min} \{h\in \mathbb {N} \backslash \{0\}\,|\,\forall x\in G\colon x^{h}=1\}=:\operatorname {ann} (G)$

Diese Zahl wird bei multiplikativ notierten abelschen Gruppen auch der Exponent der Gruppe $G$ genannt. Sie erzeugt das Annullatorideal der Gruppe $G$ betrachtet als $\mathbb {Z}$-Modul: $(h)=\operatorname {Ann} (G)$. Dann ist jedes Gruppenelement aus $G$ Nullstelle des Polynoms $X^{h}-1$. Da dieses Polynom (schon in einem Integritätsring, also erst recht in einem Körper) einerseits höchstens $h$ Nullstellen besitzt, andererseits der Exponent $h$ ein Teiler der Gruppenordnung $n:=(G:1)\in (h)$ ist, folgt die Gleichheit: $n:=(G:1)\leq h|n$, also $h=n$. Vor dem Hintergrund der Elementarteilertheorie ist dies gerade das Kriterium ($\operatorname {char} M=\operatorname {ann} M$) für die Zyklizität.

Ohne Berufung auf den Elementarteilersatz und sein Kriterium für Zyklizität kann der Beweis auf folgende Weisen zu Ende geführt werden. Dazu vergegenwärtige man sich zunächst, dass obige Überlegung natürlich auch auf jede Untergruppe $U<G$ zutrifft: Die Gruppenordnung $(U:1)$ stimmt mit dem Annullator (Exponent) der abelschen Gruppe (betrachtet als Modul über $\mathbb {Z}$) überein.

1. Nachvollzug der Primärzerlegung: Zerlege $h=\prod _{i}p_{i}^{v_{i}}$ in Primfaktoren, setze $h_{i}:={\frac {h}{p_{i}}}$ und finde $x_{i}\in G$ mit $x_{i}^{h_{i}}\neq 1$. Das ist möglich, weil $X^{h_{i}}-1$ nicht mehr als $h_{i}$ Nullstellen haben kann. Für $y_{i}:=x_{i}^{\frac {h}{p_{i}^{v_{i}}}}$ gilt somit $(\langle y_{i}\rangle :1)=:\operatorname {ord} y_{i}=p_{i}^{v_{i}}$, denn $y_{i}^{p_{i}^{v_{i}-1}}=x_{i}^{h_{i}}\neq 1=x_{i}^{h}=y_{i}^{p_{i}^{v_{i}}}$. Für das Produkt $y:=\prod _{i}y_{i}$ dieser $y_{i}$ gilt nun: $\operatorname {ord} y=\operatorname {kgV} \{\operatorname {ord} y_{i}|i\}=\prod _{i}\operatorname {ord} y_{i}=h.$ – Tatsächlich erhält man auf diese Weise die Primärzerlegung der Gruppe $G$ in $p_{i}$-primäre Torsionsmoduln: $G=\bigoplus _{i}\langle y_{i}\rangle \cong \bigoplus _{i}\mathbb {Z} /(p_{i}^{v_{i}})$ – Für die beiden folgenden Beweise genügt als Voraussetzung über die Gruppe $G$: Zu jedem Teiler $d|n:=(G:1)$ enthält die Untergruppe (!) $U:=\{x\in G\,|\,x^{d}=1\}$ höchstens $d$ Elemente. Es bezeichne $f(m):=\#\{x\in G|\operatorname {ord} x=m\}$.
2. Nutzung der Möbiussche Umkehrformel: Für Teiler $d|n:=(G:1)$ der Gruppenordnung gibt dann die Summe $F(d):=\sum _{m|d}f(m)$ die Anzahl der Nullstellen von $X^{d}-1$ in $G$ an. Dabei ist $F(d)=d$, denn das Polynom $X^{n}-1$ zerfällt schon in der betrachteten Gruppe $G$ in Linearfaktoren $\prod _{x\in G}(X-x)$, also auch seine Polynomteiler $X^{d}-1|X^{n}-1$. Nach der Möbiusschen Umkehrformel ist also $f(m)=\sum _{d|m}F({\frac {m}{d}})\mu (d)=\sum _{d|m}{\frac {m}{d}}\mu (d)=\varphi (m)$, was für $m=n$ zu zeigen war. – Der strukturelle Hintergrund dieser Argumentation tritt deutlicher hervor (und die Möbiussche Umkehrformel in den Hintergrund), wenn man die Reihenfolge der Argumente ändert und dazu die zahlentheoretische Funktion $f$ gleich mit Hilfe der Eulerschen Phi-Funktion notiert, wie in der folgenden Argumentation:
3. Nachweis, dass die Kette der Elementarteiler die Länge 1 hat: Für eine endliche abelsche Gruppe $G$ der Ordnung $n:=(G:1)$ bezeichne $\kappa _{G}(d)$ die Anzahl ihrer zyklischen Untergruppen der Ordnung $d$. Da jedes Element von $G$ eine zyklische Gruppe erzeugt, deren Ordnung $d$ ein Teiler von $n$ ist und die genau $\varphi (d)$ (Eulersche Phi-Funktion) erzeugende Elemente enthält, gilt $f(d)=\kappa _{G}(d)\varphi (d)$ für jeden Teiler $d|n$, und durch Summation erhält man $n=\sum _{d|n}\kappa _{G}(d)\cdot \varphi (d)$. Wenn es sich bei $G$ um eine endliche Untergruppe der Einheitengruppe eines Körpers handelt, so ist $\kappa _{G}(d)\in \{0,1\}$, d. h., es kann zu einem Teiler $d|n$ höchstens eine solche zyklische Untergruppe geben, da $X^{d}-1$ höchstens $d$ Nullstellen hat. Also folgt in diesem Falle $n=\sum _{d|n}\kappa _{G}(d)\cdot \varphi (d)\leq \sum _{d|n}\varphi (d)=n$, mithin $\forall d|n\colon \kappa _{G}(d)=1$, was für $d=n$ zu zeigen war.

Dabei wurde die Summationsformel $\sum _{d|n}\varphi (d)=n$ benutzt: Ihr elementarer Beweis enthält also im Kern ein Kriterium für die Zyklizität einer endlichen abelschen Gruppen der Ordnung $n$: Gibt es zu jedem ihrer echten Teiler $d|n$ genau eine zyklische Untergruppe dieser Ordnung, so ist sie selbst auch zyklisch (vgl. Frey). Ein anderer elementarer Beweis dieser Summationsformel nutzt hingegen die Möbiussche Umkehrformel (siehe Vinogradov). – Wendet man die Möbiussche Umkehrformel auf die obige Gleichung $n=\sum _{d|n}\kappa _{G}(d)\cdot \varphi (d)$ an, so erhält man $\kappa _{G}(n)\cdot \varphi (n)=\sum _{d|n}\mu (d){\frac {n}{d}}$. Zusammen mit $\sum _{d|n}\mu (d){\frac {n}{d}}=\varphi (n)$ ergibt sich $\kappa _{G}(n)=1$.

Es ist hiermit zugleich erneut (ohne Nutzung der Elementarteilertheorie) der allgemeine Satz gezeigt: Verfügt eine endliche Gruppe der Ordnung $n$ zu jedem Teiler $d|n$ über höchstens $d$ Elemente mit $X^{d}=1$, so ist sie zyklisch.

Beispiele hierfür sind die folgenden Anwendungen:

Existenz primitiver Einheitswurzeln

Angewandt auf die Untergruppe $\mu _{n}$ der $n$-ten Einheitswurzeln, falls $\operatorname {Char} K\not |\;n$, d. h., falls $n\cdot 1_{K}\neq 0_{K}$: Es gibt $\varphi (n)$ primitive Einheitswurzeln. Hierbei wird benutzt, dass $X^{n}-1$ separabel ist. Dabei beachte, dass die Polynome $X^{n}-1$ und $X^{p^{k}n}-1=(X^{n})^{p^{k}}-1^{p^{k}}=(X^{n}-1)^{p^{k}}$ aus dem Polynomring $K[X]$ für $\operatorname {Char} K=:p\not |\;n$ dieselben Nullstellen haben, mit dem einzigen Unterschied, dass es für das zweite Polynom $p^{k}$-fache Nullstellen sind.

Existenz von Primitivwurzeln (modulo p)

Speziell für die Einheitengruppen endlicher Primkörper $K=\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /(p)$ ergibt sich der Satz über die Existenz von Primitivwurzeln modulo $p$, wobei $n=p-1$ zu setzen ist.

Moduln über R = K: Vektorräume, Dimension und Rang als Invarianten

Im Falle eines Körpers als Hauptidealring erhält man bekannte Ergebnisse aus der linearen Algebra:

• die Klassifikation von Vektorräumen durch ihre Dimension und
• die Klassifikation quadratischer Matrizen (bzw. von Vektorraum-Endomorphismen) durch ihren Rang.

Denn: Körper sind Hauptidealringe mit nur zwei Idealen: Da ein Körper $K=\{0\}\;{\stackrel {\bullet }{\cup }}\;K^{*}$ neben der Null nur Einheiten enthält, sind die beiden trivialen Ideale $(0)$ und $(1)=K$ die einzigen Ideale. Das Nullideal ist maximal und Primideal. Als Elementarteiler ist nur die Null von Interesse und liefert nach der Strukturversion einen eindimensionalen freien Anteil. Ein endlich erzeugter Vektorraum über $K$ ist also durch den Rang des freien Anteils bis auf Isomorphie gekennzeichnet, und dieser heißt bekanntlich die Dimension des Vektorraums.

Die Basisversion liefert den bekannten Basisergänzungssatz.

Die Homomorphismusversion liefert für eine $K$-lineare Abbildung $T:V\to W$ die bekannte Beziehung $\dim \ker f+\dim \operatorname {bild} f=\dim V$.

Für Matrizen $A,B\in \operatorname {Mat} (n,K)$ liefert die Matrixversion des Elementarteilersatzes eine Äquivalenzrelation der Assoziiertheit:

$A\sim B:\Longleftrightarrow \exists Q,P\in \operatorname {GL} (n,K)\colon A=QBP$

Die Äquivalenzklassen sind gekennzeichnet durch den Rang einer Matrix, das heißt es sind äquivalent:

• $A\sim B$
• $\operatorname {rang} A=\operatorname {rang} B$

Repräsentanten für die Äquivalenzklassen sind Matrizen mit lauter Nullen und genau $\operatorname {rang} A$ Einsen in der Hauptdiagonale:

$A\sim {\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&0&\cdots &0\\0&0&\cdots &0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\cdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}$

Die Äquivalenzklassen von Matrizen $A\in \operatorname {Mat} (n\times n,K)=:\mathbf {R}$ gleichen Ranges sind sehr groß. Das spiegelt sich darin wider, dass die Elementarteiler für Körper $R=K$ trivial (1 oder 0) sind und die Äquivalenzklassen „nur“ Ergebnisse aus der linearen Algebra zurückliefern, nämlich die Klassifikation endlichdimensionaler Vektorräume durch ihre Dimension.

Interessanter ist in diesem Falle eine feinere Klassifikation, welche von der Äquivalenzrelation der Ähnlichkeit geliefert wird:

$A\approx B:\Longleftrightarrow \exists P\in \operatorname {GL} (n,K)\colon A=PBP^{-1}$.

Ähnliche Matrizen stellen bekanntlich denselben Endomorphismus bezüglich verschiedener Basen dar.

Ein Licht auf die Ähnlichkeitsklassen wird bemerkenswerterweise durch die nun folgende Anwendung $R=K[X]$ geworfen. Dies ist vor allem der Satz von Frobenius (Ähnlichkeitskriterium) zu danken. Aus diesem Grund versteht man in der Regel – in abkürzender Sprechweise – unter den Elementarteilern einer Matrix $A\in \operatorname {Mat} (n\times n,K)=:\mathbf {R}$ nicht die obigen trivialen Elementarteiler (nur Einsen und Nullen), sondern die Elementarteiler der zugehörigen so genannten charakteristischen Matrix $A-XE\in \operatorname {Mat} (n\times n,K[X])=\mathbf {R} [X]$: Diese sind also Polynome aus dem Polynomring $K[X]$, einem Hauptidealring. Sie sind nicht a priori trivial und enthalten tieferliegende Information über die Matrix $A$. Dies ist Gegenstand der nun folgenden Anwendung.

Torsionsmoduln über R = K[X]: Zerlegung quadratischer Matrizen und von Vektorraum-Endomorphismen

Wählt man als Hauptidealring $R$ die Polynomalgebra $R=K[X]$ über einem Körper $K$, so liefert die Strukturversion des Elementarteilersatzes – angewandt auf endlich erzeugte Torsionsmoduln – strukturelle Erkenntnisse über einen $K$-Vektorraum $V$ endlicher Dimension $n:=\dim V$ und seine Endomorphismen: Denn ein endlich erzeugter $K[X]$-Torsionsmodul $V$ ist ein Vektorraum endlicher Dimension über $K$ mit einem ausgezeichneten Endomorphismus $V\to V\colon v\mapsto X\cdot v$. Umgekehrt induziert jeder Endomorphismus $f$ auf einem $K$ Vektorraum $V$ auf diesem eine Struktur als $K[X]$-Modul durch $X\cdot v:=f(v)$. Die Struktur eines endlich erzeugten $K[X]$-Moduls $V$ zu beschreiben, heißt also, die Struktur des $K$ Vektorraumes $V$ in Bezug auf den Endomorphismus $v\mapsto X\cdot v$ zu beschreiben.

In dieser Perspektive besagt der Satz von Cayley-Hamilton, dass der charakteristische Divisor (das charakteristischen Polynom) eines Endomorphismus (bzw. einer Matrix) ein Vielfaches des zugehörigen Annullatorideals (des Minimalpolynoms) ist und daher ebenfalls den Endomorphismus (die Matrix) annulliert.

Dabei hat das Minimalpolynom $\mu _{f}(X)=\epsilon _{r}(X)$ den höchsten Grad in der Kette der Elementarteiler $\varepsilon _{i}(X)|\varepsilon _{i+1}(X)$ aus $R=K[X]$, annulliert daher den gesamten Raum und ist it dieser Eigenschaft von minimalem Grad. Das Produkt $\prod _{i=1}^{r}\varepsilon _{i}(X)$ der Elementarteiler gerade das charakteristische Polynom $\chi _{f}(X)$ vom Grad $\deg \chi _{f}(X)=\dim _{K}V$ ist. Zu jedem Elementarteiler $\varepsilon _{i}(X)$ gehört ein zyklischer $K[X]$-Untermodul des $K[X]$-Moduls $V$: Dies sind also $f$-invariante $K$-Unterräume $V_{i}$ des Vektorraumes $V$, die dadurch gekennzeichnet sind, dass sie als $K[X]$-Moduln zyklisch sind: Minimalpolynom $\mu _{i}(X):=\mu _{f|_{V_{i}}}(X)$ und charakteristisches Polynom $\chi _{i}(X):=\chi _{f|_{V_{i}}}(X)$ der auf $V_{i}$ eingeschränkten Abbildung $f|_{V_{i}}$ sind also gleich $\varepsilon _{i}(X)$ und haben den Grad $\deg \mu _{i}(X)=\deg \chi _{i}(X)=\deg \varepsilon _{i}(X)=\dim _{K}V_{i}=:n_{i}$. Dabei ist die Summe $\sum _{i=1}^{r}n_{i}=\deg \chi (X)=\dim _{K}V=n$.

Die Darstellungsmatrix derartiger zyklischer Endomorphismen ist (bei geeigneter Basiswahl) die Frobeniussche Begleitmatrix zum Polynom $\mu _{i}(X)=\chi _{i}(X)$.

Hat man zuvor die Primärzerlegung des $K[X]$-Moduls $V$ in seine Primärkomponenten $V_{p}$ vorgenommen, so lässt sich (ohne Einschränkung der Allgemeinheit also) annehmen, dass jedes $\mu _{i}=\chi _{i}=\varepsilon _{i}$ eine Potenz $\mu _{i}(X)=p_{i}(X)^{m_{i}}$ eines irreduzible Polynoms $p_{i}(X)$ ist.

Wenn ein Elementarteiler $\mu _{i}(X)=\chi _{i}(X)=(X-\alpha _{i})^{n_{i}}\in K[X]$ Potenz eines Linearpolynoms ist, so handelt sich beim zugehörigen Teilraum $V_{i}$ um den Hauptraum zum Eigenwert $\alpha _{i}$ von der Dimension $\dim V_{i}=n_{i}$. Ist dabei $n_{i}=1$, so ist es der Eigenraum zum Eigenwert $\alpha _{i}$, denn es gilt für jedes $v\in V_{i}$: $X\cdot v=f(v)=\alpha _{i}\cdot v$, mit anderen Worten: $V_{i}=\ker(f-\alpha _{i})$. <STIMMT NOCH NICHT GANZ. Algebraische und geometrische Vielfachheit unterscheiden ...>

Ist $K$ algebraisch abgeschlossen, so ist jedes irreduzible Polynom linear.

Dieser Endomorphismus $v\mapsto X\cdot v=f(v)$ wird – nach Wahl einer willkürlich gewählten Basis – durch eine quadratische Matrix dargestellt. So spiegeln sich die strukturellen Einsichten in dieser Matrix wider. Dabei wird die Wahl einer anderen Basis eine ähnliche Darstellungsmatrix liefern, also aus derselben Ähnlichkeitsklasse.

So wird sich die Strukturversion des Elementarteilersatzes in Ähnlichkeitsklassen von Matrizen widerspiegeln, die in der Diagonalen aus Frobeniusschen Begleitmatrizen bestehen.

Nun betrachtet die Matrixversion des Elementarteilersatzes eine Klassifikation der quadratischer Matrizen $A(X),B(X)\in \operatorname {Mat} (n\times n,K[X])$ durch die Äquivalenzrelation der arithmetischen Äquivalenz („$\sim$“):

$A(X)\sim B(X):\Longleftrightarrow \exists P(X),Q(X)\in \operatorname {GL} (n,K[X])\colon A(X)=P(X)B(X)Q(X)$.

Der Satz von Frobenius erkennt nun einen wichtigen Zusammenhang zwischen der Ähnlichkeit von Matrizen $A,B\in \operatorname {Mat} (n\times n,K)$ und der arithmetischen Äquivalenz der zugehörigen charakteristischen Matrizen $A-XE,B-XE\in \operatorname {Mat} (n\times n,K[X])=\mathbf {R} [X]$: Er besagt nämlich, dass die Ähnlichkeit zweier Matrizen $A,B\in \operatorname {Mat} (n\times n,K)$ gleichbedeutend mit der arithmetischen Äquivalenz der zugehörigen charakteristischen Matrizen $A-XE,B-XE\in \operatorname {Mat} (n\times n,K[X])=\operatorname {Mat} (n\times n,K)[X]$ ist. Die beiden folgenden Aussagen sind nach diesem Satz (bzw. der Definition arithmetischer Äquivalenz) äquivalent:

• $A\approx B$
• $\exists P\in \operatorname {GL} (n,K)\colon AP=PB$.
• $A-XE\sim B-XE$
• $\exists P,Q\in \operatorname {GL} (n,K[X])\colon AQ=PB$

Die Determinante der charakteristischen Matrix $A-XE$ heißt charakteristisches Polynom der Matrix $A$ und hängt also nur von ihrer Ähnlichkeitsklasse ab. Die Zerlegung des charakteristischen Polynoms in irreduzible Faktoren liefert die Primärzerlegung und birgt aus Sicht des Elementarteilersatzes die Zerlegung in zyklische Unterräume.

Nullstellen $\alpha$ des charakteristischen Polynoms sind Eigenwerte, weil für sie die Matrix $A-\alpha E$ nicht regulär ist, die dargestellte Abbildung also einen nicht verschwindenden Kern hat: Dieser besteht aus Eigenwerten zu $\alpha$.

Basisversion: <text text>

Homomomorphismen von Moduln über Polynomringen

Es seien $V$ ein (endlich erzeugter) Modul über dem Polynomring $K[X]$ und $W$ ein (endlich erzeugter) Modul über dem Polynomring $K[Y]$. Die Unterscheidung der beiden Unbestimmten $X$ und $Y$ dient nur der augenfälligen Unterscheidung der beiden Endomorphismen $V\to V,\,v\mapsto X\cdot v$ und $W\to W,\,w\mapsto Y\cdot w$.

Ein Homomomorphismus $T\colon V\to W$ ist offenbar ein $K$-Vektorraum-Homomorphismus $V\to W$ mit der Eigenschaft $T(X\cdot v)=Y\cdot T(v)$, also auch $T(X^{i}\cdot v)=Y^{i}\cdot T(v)$ und folglich $T(f(X)\cdot v)=f(Y)\cdot T(v)$.

Sind $V,W$ als $K$-Vektorräume gleich, so ist ein Homomorphismus $T\colon \sideset {_{K[X]}}{}{V}\to \sideset {_{K[Y]}}{}{V}$ als ein Endomorphismus der $K$-Vektorräume zu verstehen, der die Eigenschaft hat: $T(X\cdot v)=Y\cdot T(v)$. Im Falle von $X=Y$ (soll heißen: gleicher Abbildung $X\cdot v=Y\cdot v$ für alle $v\in V$) ist also $T$ mit $X$ vertauschbar: Beide sind vertauschbare $K$-Vektorraumhomomorphismen auf $V$. Ein $K[X]$-Endomorphismus auf $V$ ist also ein $K$-linearer Endomorphismus auf $V$ der mit einem anderen (nämlich dem durch $X$ induzierten) vertauschbar ist. Die Vertauschbarkeit zweierEndomorphismen lässt sich also in der Sprache von $K[X]$-Endomorphismen beschreiben.

Homomorphismusversion: <text text>

Existenz einer Normalbasis für zyklische Körpererweiterungen

Endliche Galois-Erweiterungen besitzen eine Normalbasis. Der Beweis für den Fall einer zyklischen Galoiserweiterung $L/K$ ergibt sich als Folge der Theorie von Moduln über euklidischen oder allgemeiner Hauptidealringen. Die Argumentation ist analog derjenigen zum Beweis, dass endliche Untergruppen der Einheitengruppen von Körpern zyklisch sind. Als wesentliches Argument tritt der Unabhängigkeitssatz von Dedekind an die wesentliche Stelle des Satzes über die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms. Der Beweis ist beim Zeichen „◀“ erbracht, wenn das Zyklizitätskriterium genutzt werden kann. Wenn es nicht genutzt werden soll, so kann der Beweis durch Primärzerlegung zu Ende geführt werden, wie nach dem Zeichen dargestellt.

Beweis, dass Länge der Elementarteilerkette gleich 1: Gegenüberstellung der Beweisführungen

Satz: Endliche Untergruppen der Einheitengruppe eines Körpers sind zyklisch.	Satz: Zyklische Galois-Erweiterungen besitzen eine Normalbasis.
Voraussetzungen: Es sei $U<K^{\times }$ endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers. Es sei $n:=(U:1)$, so dass nach dem Satz von Lagrange $x\in U\Rightarrow x^{n}=1$. Also ist der Annullator (Exponent) $h:=\operatorname {ann} (U):=\operatorname {min} \{k\geq 1|\forall x\in K:x^{k}-1=0\}$ ein Teiler von $n$.	Voraussetzungen: Es sei $L/K$ eine zyklische Erweiterung vom Grade $[L:K]=n$ mit Galoisgruppe $G=G(L/K)$, so dass $(G:1)=n$ und $K=L^{\sigma }=L^{G}$ für ein $\sigma \in G$ mit $G=\langle \sigma \rangle$ und $\operatorname {ord} \sigma =n$. Es gilt dann $\sigma ^{n}=1$. Also ist das Minimalpolynom $\mu _{\sigma }(X)$ von $\sigma$ ein Teiler von $X^{n}-1$, mithin $\deg \mu _{\sigma }\leq n$.
Andererseits liefert der Satz über die Anzahl von Nullstellen die umgekehrte Implikation, also die Gleichheit von Annullator und Ordnung der Gruppe $U$: $h=n$.	Andererseits liefert der Unabhängigkeitssatz von Dedekind die Umkehrung: $(G:1)\leq \deg \mu _{\sigma }$. Also gilt die Gleichheit $\deg \mu _{\sigma }(X)=n=(G:1)=\dim _{K}L$, mithin sind Minimal- und charakteristisches Polynom gleich, nämlich $\mu _{\sigma }(X)=X^{n}-1=\chi _{\sigma }(X)$.
Also ist $U$ zyklisch über $\mathbb {Z}$, das heißt es gibt ein $x\in U$ mit $U=x^{\mathbb {Z} }$. ◀	Also ist $L$ zyklisch als Modul über dem Hauptidealring $K[X]$ bezogen auf $\sigma$ mit $X^{n}-1$ als Minimalpolynom. Das heißt, es gibt ein $y\in L$ mit $L=K[X]\cdot y=\bigoplus _{i=0}^{n-1}K\cdot \sigma ^{i}(y)$. Damit ist die gesuchte Normalbasis gefunden. ◀
Wenn die Gleichheit von Annullator (Exponent) und charakteristischem Divisor (Ordnung) als Kriterium für Zyklizität nicht zur Verfügung stehen, kann der Beweis durch Primärzerlegung wie folgt zu Ende geführt werden.	Wenn die Gleichheit von Annullator (Minimalpolynom) und charakteristischem Divisor (Charakeristischem Polynom) als Kriterium für Zyklizität nicht zur Verfügung stehen, kann der Beweis durch Primärzerlegung wie folgt zu Ende geführt werden.
Zerlege $n=h=\prod _{i}p_{i}^{v_{i}}$ in Primfaktoren, setze $h_{i}:={\frac {h}{p_{i}}}$ und finde $x_{i}\in U$ mit $x_{i}^{h_{i}}\neq 1$. Das ist möglich, weil $X^{h_{i}}-1$ nicht mehr als $h_{i}$ Nullstellen haben kann, aber $h_{i}<h=n=(U:1)$.	Zerlege $\mu (X)=\prod _{i}p_{i}(X)^{v_{i}}$ in irreduzible Faktoren, setze $\mu _{i}:={\frac {\mu (X)}{p_{i}(X)}}$ und finde $x_{i}\in L$ mit $\mu _{i}\cdot x_{i}\neq 0$ für jedes $i$. Das ist möglich, weil $\deg \mu _{i}<\deg \mu =\operatorname {ord} \sigma$.
Für die Ordnung $\operatorname {ord} y_{i}:=(\langle y_{i}\rangle :1)$ von $y_{i}:=x_{i}^{\frac {h}{p_{i}^{v_{i}}}}$ gilt somit $\operatorname {ord} y_{i}=p_{i}^{v_{i}}$, denn $y_{i}^{p_{i}^{v_{i}-1}}=x_{i}^{h_{i}}\neq 1=x_{i}^{h}=y_{i}^{p_{i}^{v_{i}}}$.	Für das Minimalpolynom $\mu _{y_{i}}(X)$ von $y_{i}:={\frac {\mu (X)}{p_{i}(X)^{v_{i}}}}\cdot x_{i}$ gilt somit $\mu _{y_{i}}(X)=p_{i}(X)^{v_{i}}$, denn ${p_{i}(X)^{v_{i}-1}}\cdot y_{i}=\mu _{i}\cdot x_{i}\neq 0=\mu \cdot x_{i}=p_{i}(X)^{v_{i}}\cdot y_{i}$
Für das Produkt $y:=\prod _{i}y_{i}$ dieser $y_{i}$ gilt nun $\operatorname {ord} y=\operatorname {kgV} \{\operatorname {ord} y_{i}|i\}=\prod _{i}\operatorname {ord} y_{i}=h=n\,.$	Für die Summe $y:=\sum _{i}y_{i}$ dieser $y_{i}\in L$ gilt nun $\operatorname {ann} y=\operatorname {kgV} \{\operatorname {ann} y_{i}|i\}=\prod _{i}\operatorname {ann} y_{i}=\mu (X)\,.$
Also ist $\mathbb {Z} \to U,\,k\mapsto y^{k}$ surjektiv mit Kern $(h)=(n)$, d. h. $U=\{y^{i}|i=0,\dots ,h-1\}$.	Also ist $K[X]\to L,\,f(X)\mapsto f(X)\cdot y$ surjektiv mit Kern $\mu (X)=X^{n}-1$, d. h. $L=\bigoplus _{i=0}^{n-1}K\sigma ^{i}(y)$.

Hintergrund: Diese Polynomalgebra $R:=K[X]$ ist ein euklidischer Ring, also ein Hauptidealring. Für das charakteristische Ideal $\operatorname {Char} L$ des $R$-Moduls $L$ gilt im Allgemeinen: $\operatorname {Ann} L{\big \vert }\operatorname {Char} L$. Nun wurde sogar gezeigt: $\operatorname {Char} L=\operatorname {Ann} L$. Diese Bedingung ist gleichwertig damit, dass die Länge der Elementarteilerkette des Moduls $L$ über $R$ gleich $1$ ist. Dies aber bedeutet, dass der Modul zyklisch ist.

Da endliche Galois-Erweiterungen endlicher Körper zyklisch sind, ist damit der Fall endlicher Körper erledigt: Endliche Erweiterungen von Galois-Feldern besitzen eine Normalbasis.

Für endliche nicht-zyklische Erweiterungen, die notwendig unendliche Grundkörper besitzen, wird der Beweis auf andere Weise geführt.

Rekursive Folgen

Die Polynomalgebra $K[X]$ über dem Körper einem $K$ operiert auf dem Modul aller Folgen $f\colon \mathbb {N} \to K$ (auch als $(f_{i})$ mit $f_{i}:=f(i)$ notiert) durch punktweise Multiplikation mit einem $x\in K$ und durch $(X\cdot f)(i):=f(i+1)$ für jedes $i\geq 0$.

Für eine Folge $f$ sind dann offensichtlich äquivalent:

• $f$ erfüllt die Rekursionsgleichung $f_{n+k}:=x_{0}\cdot f_{n}+x_{1}\cdot f_{n+1}+\dots x_{k-1}\cdot f_{n+k-1}$
• $f$ wird vom Polynom $\mu _{f}=X^{k}-x_{k-1}X^{k-1}-\dots -x_{0}$ annulliert.

Das minimale Polynom, welches eine Folge $f$ annulliert, heißt minimales Rekursionspolynom $\mu _{f}(X)$ und ist zugleich Minimal- und charakteristisches Polynom des zyklischen Folgenraumes $K[X]\cdot f$, welcher über $K$ die Dimension $k$: Dies ist der Freiheitsgrad, der bei der Festlegung der ersten $k$ Folgenglieder $f_{0},\dots f_{k-1}$ besteht. Die nachfolgenden Glieder sind durch die Rekursion festgelegt.

Beispielsweise wird die Fibonacci-Folge vom Polynom $X^{2}-X-1$ annulliert, dessen positive Nullstelle gerade der goldene Schnitt (aurea divisio) ist: $x^{2}-x-1=0\Leftrightarrow x(x-1)=1\Leftrightarrow x:1=1:(x-1)$.

Kein Zufall, dass in der Fibonacci-Folge auch die Nullstellen dieses Polynoms schlummern, nämlich in Gestalt der Formel von Moivre-Binet.

Für ein über $K$ zerfallendes Rekursionspolynom $f(X)=\prod _{i}(X-\alpha _{i})\in K[X]$ besitzt diese Formel eine Verallgemeinerung in Abhängigkeit von ihren Wurzeln $\alpha _{i}\,(i=1,\dots ,\deg f)$.

Partialbruchzerlegung

Es sei $R$ ein Hauptidealring und $K=Q(R)$ sein Quotientenkörper, betrachtet als $R$-Modul, so dass sich der Faktormodul $K/R$ bilden lässt. Dieser ist ein $R$-Modul. Allerdings ist er nicht endlich erzeugt.

Literatur

• Bartel Leendert van der Waerden
• Serge Lang

Originalarbeiten

Für den Elementarteilersatz sind folgende Originalarbeiten von Georg Frobenius zu nennen:

• Ferdinand Georg Frobenius: „Über lineare Substitutionen und bilineare Formen“, Crelles Journal, Band 84, 1878, Seiten 1-63. Darin § 6 (Aequivalenz), Abschnitt 2, Seite 21 und § 7 (Ähnlichkeit). Frobenius verweist auf Ergebnisse von Weierstraß und Kronecker in: Monatsberichte der Berliner Akademie des Wisssenschaften 1868 und 1874), die jedoch mit aufwendigeren Beweisen erzielt wurden.
• Ferdinand Georg Frobenius: „Theorie der linearen Formen mit ganzen Coeffizienten“, Crelles Journal, Band 86, 1879, Seiten 146-208. (datiert: Zürich, April 1878).
• Ferdinand Georg Frobenius und Ludwig Stickelberger: „Über Gruppen von vertauschbaren Elementen“, Crelles Journal, Band 86, 1879, Seiten 217-262. (datiert: Zürich, Juli 1878).
• Ferdinand Georg Frobenius: „Theorie der linearen Formen mit ganzen Coeffizienten (Forts.)“, Crelles Journal, Band 88, 1880, Seiten 96-116. (datiert: Zürich, Januar 1879).

Im genannten Band 86, Seite 147, verweist Frobenius auf folgende Arbeiten:

• Karl Weierstraß: „Zur Theorie der bilinearen und quadratischen Formen“, Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (Monatsberichte Berlin, „B.M.“), Sitzung vom 18. Mai 1868.
• Leopold Kronecker: ebenda, 1874.
• Camille Jordan, Comptes rendus 1871, II. sém, p. 787
• Camille Jordan, Liouv. Journ. 1874, p. 35.
• Gaston Darboux, Liouv. Journ. 1874, p. 347.
• Meyer Hamburger: „Bemerkung über die Form der Integrale der linearen Differentialgleichungen mit veränderlichen Coefficienten“ Crelles Journal, Bd. 76, 1873, S. 113-125. (Berlin, Februar 1873)

Ferner verweist Frobenius auf Arbeiten von „Herrn Smith“, die ihm erst nach Vollendung seiner Arbeit zu Gesicht gekommen seien:

• Henry John Stephen Smith: „On Systems of Linear Indeterminate Equations and Congruences“, Philosophical Transactions of the Royal Society of London (Phil. Trans.) vol. 151, p. 293. (siehe auch [2])
• Henry John Stephen Smith: „Arithmetical Notes I: On the Arithmetical Invariants of a Rectangular Matrix, of which the Constituents are Integral Numbers“, Proceedings of the London Math. Soc. 1873, p. 236.
• Henry John Stephen Smith: „Arithmetical Notes II: On Systems of Linear Congruences“, Proceedings of the London Math. Soc. 1873, p. 241.

Laut Meyer Hamburger (loc. cit., Seite 124), war es Karl Weierstraß, der in der zitierten Arbeit B.M. 1868 die Definition der Elementartheiler eingeführt hat, siehe auch Karl Weierstraß.

Kummersche Erweiterungen

Artikel: Kummertheorie

• Verbindung zur Lagrange-Resolvente, Noethersche Gleichung, Hilbert 90
• Galois-Resolvente Heinrich Weber, Algebra, §152.

Eisenstein-Kriterium

Schönemann: Crelle Bd 32. Eisenstein: Crelle Bd 39. Siehe Arbeit dazu von David Cox!

Symmetrische Polynome

Zum einschlägigen Artikel: Zwei Beweise zum Hauptsatz über symmetrische Polynome $A[X_{1},\dots ,X_{n}]^{S_{n}}=A[\sigma _{k}^{(n)},k=1,\dots ,n]$:

• mit Hilfe Induktion nach der Ordnung symmetrischer Polynome gemäß einem Grundgedanken von E. Waring (Meditationes algebraicae) und der Fortentwicklung von Gauß (Demonstratio nova altera theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factorem realis primi vel secundi gradus resolvi posse, Werke Band III, S. 36 (oder Seite 31?)) oder
• mit Hilfe von Induktion nach dem Symmetriegrad (Cauchy Exercices de mathématiques, 4ème année).

Elementarsymmetrische Polynome

(früher: Symmetrische Grundfunktionen bzw. -polynome)

Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins.

Für den Symmetriegrad $n\geq 1$ sei $N_{n}:=\{1,\dots ,n\}$, und für eine Teilmenge $I\subset N_{n}$ bezeichne $|I|:=\#I$ die Anzahl der Elemente. Die elementarsymmetrischen Polynome zum Symmetriegrad $n$ vom homogenen (Total-)Grad $k\geq 0$ sind definiert als $\sigma _{k}^{(n)}(X_{1},\dots ,X_{n}):=\sum _{I\subset N_{n} \atop |I|=k}\prod _{i\in I}X_{i}\in R[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}2]$.

Die Anzahl der Summanden (Monome) ist demnach gleich $\#\left\{I\;|\;I\subset N_{n}\land |I|=k\right\}={\binom {n}{k}}$, also insbesondere gleich $1$ für $k\in \{0,n\}$.

Das Polynom $\sigma _{n}^{(n)}=X_{1}\cdots X_{n}$ ist $n$-stufig multilinear, d. h. linear in jeder der $n$ Unbestimmten und folglich homogen vom Grade $n$. Die übrigen elementarsymmetrischen Polynome $\sigma _{k}^{(n)}$ sind ebenfalls homogen vom Grade $k$, aber nicht multilinear.

In $R[X_{1},\dots ,X_{n}][X]$ gilt $\prod _{i=1}^{n}(X-X_{i})=\sum _{i=0}^{n}\,(-1)^{i}\sigma {(n)}_{i}X^{n-i}$. Von besonderem Interesse sind dabei $\sigma _{1}^{(n)}=X_{1}+\cdots +X_{n}$ (Spur) und $\sigma _{n}^{(n)}=X_{1}\cdots X_{n}$ (Norm).

Für $k=0$ erhält man also das leere Produkt gebildet über der leeren Indexmenge $I=\emptyset$, mithin das konstante Einspolynom $\sigma _{0}^{(n)}(X_{1},\dots ,X_{n})=1$.

Für $k>n$ liefert dies die leere Summe, also das Nullpolynom: $\sigma _{k}^{(n)}(X_{1},\dots ,X_{n})=0$.

Potenzsummen

$\pi _{k}^{(n)}(X_{1},\dots ,X_{n}):=\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{k}$. Für $k=0$ liefert dies das konstante Polynom $\pi _{k}^{(n)}(X_{1},\dots ,X_{n}):=\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{0}=n$.

Potenzproduktsummen

Nach Perron, Seite 157.

Newtonsche Formeln

Siehe Aufgabe bei v. d. Waerden, Hasse/Klobe. Siehe Text bei Perron, Weber, etc.pp.

Bemerkung 1: Elemetarsymmetrische Polynome und Potenzsummen sind algebraisch abhängig, denn für $N\geq 0$ gilt:

$\sum _{k=0}^{N}(-1)^{k}\sigma _{k}^{(n)}\pi _{N-k}=0$.

Für $N>n$ verschwinden einige Glieder der Summe, so dass diese sich zu $\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\sigma _{k}^{(n)}\pi _{N-k}=0$ verkürzt.

Hauptsatz für symmetrische Polynome

Siehe van der Waerden (nach Waring und Gauß) Lang (nach Cauchy), Weber (beide Beweismethoden) und Perron (vier Beweise) etc.pp.

Oder Beweis nach Furtwängler: Hasse, HA, Aufgabensammlung: 2.V.§23, Aufgabe 3, Seite 175.

Oder als Folge der Galois-Theorie.

Zyklante oder Zirkulante

Verbindung zu Matrixkriterium für Normalbasis. Die Zyklante müsste ein neues Licht auf den zyklischen Fall einer Normalbasis werfen oder aber deutlich machen, weshalb der Artinsche Beweis im zyklischen Falle endlicher Körper nicht gelingt.

Hasse/Klobe: Aufgaben zur Zyklante.

Es bezeichne $K$ einen Körper. Betrachte die quadratische Matrix in den $n$ Unbestimmten $X_{i},\,i=0,\dots ,n-1$:

$Z(X_{0},X_{1},X_{2},\dots ,X_{n-1}):={\begin{pmatrix}X_{0}&X_{1}&X_{2}&\cdots &X_{n-3}&X_{n-2}&X_{n-1}\\X_{n-1}&X_{0}&X_{1}&\cdots &X_{n-4}&X_{n-3}&X_{n-2}\\X_{n-2}&X_{n-1}&X_{0}&\cdots &X_{n-5}&X_{n-4}&X_{n-3}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\X_{3}&X_{4}&X_{5}&\cdots &X_{0}&X_{1}&X_{2}\\X_{2}&X_{3}&X_{4}&\cdots &X_{n-1}&X_{0}&X_{1}\\X_{1}&X_{2}&X_{3}&\cdots &X_{n-2}&X_{n-1}&X_{0}\\\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (n\times n,K[X_{i},\,i=0,\dots ,n-1])=\operatorname {Mat} (n\times n,K)[X_{i},\,i=0,\dots ,n-1]$

Durch Einsetzen von $X_{i}\mapsto 1\cdot \delta (i,0)\in K$ (Kronecker Delta) wird $Z(1,0,0,\cdots ,0)=E$ die Einheitsmatrix, während mit $X_{i}:=1\cdot \delta (i,k)\in K$ Matrizen $N_{k}\in \operatorname {GL} (n,K)$ entstehen, die Potenzen der ersten unter ihnen sind, das heißt: Mit $N:=N_{1}$ gilt also:

• $N_{k}=N^{k}=Z(0,\dots ,0,{\stackrel {k{\text{-te Stelle}} \atop \downarrow }{1}},0,\dots ,0)$,
• $N^{n}=E$,
• $\det N=(-1)^{n-1}$ (durch Entwicklung nach erster Spalte oder letzter Zeile) und daher
• $\det N^{k}=(-1)^{(n-1)k}$.

Die Matrix $N$ ist die Frobeniussche Begleitmatrix (bzw. ihre Transponierte) zum Polynom $X^{n}-1$: Ihr Minimal- und ihr charakteristisches Polynom sind gleich: $\chi _{N}(X)=X^{n}-1=\mu _{N}(X)\in K[X]$. Nullstellen dieses Polynoms sind die $n$-ten Einheitswurzeln über $K$, die im $n$-ten Kreisteilungskörper $K[\zeta _{n}]$ von $K$ liegen, gegebenenfalls schon in $K$ selbst. Dabei bezeichne $\zeta :=\zeta _{n}$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel, so dass ihre Potenzen die gesamte Gruppe der $n$-ten Einheitswurzeln ausschöpfen und die Gleichung $\prod _{i=0}^{n-1}(X-\zeta ^{i})=X^{n}-1=(X-1)\cdot \sum _{i=0}^{n-1}X^{i}$ gilt.

Daraus folgt:

$\prod _{i=1}^{n-1}(\zeta ^{k}-\zeta ^{i})=\sum _{i=0}^{n-1}\zeta ^{ki}={\begin{cases}n\cdot 1_{K}\in K,&{\text{falls }}k\equiv 0{\bmod {n}},\\0\in K,&{\text{andernfalls.}}\end{cases}}$

Da $N$ zyklisch ist und die $n$ (nur für $n\not \equiv 0{\bmod {\operatorname {Char} }}K$ notwendig verschiedenen) Eigenwerte $\zeta ^{i}\;(i=0,\dots n-1)$ besitzt, ist $N$ zu einer Matrix in Diagonalgestalt $\operatorname {diag} (\zeta ^{0},\zeta ^{1},\zeta ^{2},\dots ,\zeta ^{n-1})$ ähnlich. Die Ähnlichkeitstransformation liefert (bis auf passende Normierung) die Vandermonde-Matrix

$V:=V(\zeta ^{0},\zeta ^{1},\zeta ^{2},\dots ,\zeta ^{n-1})={\begin{pmatrix}1&1&1^{2}&\cdots &1&1&1\\1&\zeta ^{1}&\zeta ^{1\cdot 2}&\cdots &\zeta ^{1\cdot (n-3)}&\zeta ^{1\cdot (n-2)}&\zeta ^{1\cdot (n-1)}\\1&\zeta ^{2}&\zeta ^{2\cdot 2}&\cdots &\zeta ^{2\cdot (n-3)}&\zeta ^{2\cdot (n-2)}&\zeta ^{2\cdot (n-1)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\1&\zeta ^{n-3}&\zeta ^{(n-3)\cdot 2}&\cdots &\zeta ^{(n-3)\cdot (n-3)}&\zeta ^{(n-3)\cdot (n-2)}&\zeta ^{(n-2)\cdot (n-1)}\\1&\zeta ^{n-2}&\zeta ^{(n-2)\cdot 2}&\cdots &\zeta ^{(n-2)\cdot (n-3)}&\zeta ^{(n-2)\cdot (n-2)}&\zeta ^{(n-2)\cdot (n-1)}\\1&\zeta ^{n-1}&\zeta ^{(n-1)\cdot 2}&\cdots &\zeta ^{(n-1)\cdot (n-3)}&\zeta ^{(n-1)\cdot (n-2)}&\zeta ^{(n-1)\cdot (n-1)}\end{pmatrix}}$, jedoch nur unter der Voraussetzung, dass eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist: <Nachweis? Genügt Voraussetzung? n Primzahl?>

• $V\in \operatorname {GL} (n,K[\zeta ])$ (d.h., $V$ ist regulär).
• $\det V\neq 0$.
• Das Polynom $X^{n}-1$ hat genau $n$ paarweise verschiedene Nullstellen.
• Das Polynom $X^{n}-1$ hat in seinem Zerfällungskörper keine mehrfachen Nullstellen.
• Sein Zerfällungskörper ist separabel über $K$.
• Die Charakteristik $\operatorname {Char} K=:p$ geht nicht in $n$ auf.

In diesem Fall ist also

$N=Z(0,1,0,\dots ,0)={\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &0&0&0\\0&0&1&\cdots &0&0&0\\0&0&0&\cdots &0&0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &0&1&0\\0&0&0&\cdots &0&0&1\\1&0&0&\cdots &0&0&0\\\end{pmatrix}}\approx VNV^{-1}={\begin{pmatrix}\zeta ^{0}&0&0&\cdots &0&0&0\\0&\zeta &0&\cdots &0&0&0\\0&0&\zeta ^{2}&\cdots &0&0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &\zeta ^{n-3}&0&0\\0&0&0&\cdots &0&\zeta ^{n-2}&0\\0&0&0&\cdots &0&0&\zeta ^{n-1}\\\end{pmatrix}}$.

Auch auf diese Weise wird klar, dass $\det N=\prod _{i=0}^{n-1}\zeta ^{i}=\zeta ^{\frac {(n-1)n}{2}}=\left.{\begin{cases}(-1)^{n-1}{\text{, falls }}n{\text{ gerade,}}\\1^{\frac {n-1}{2}}{\text{, falls }}n{\text{ ungerade.}}\end{cases}}\right\}=(-1)^{n-1}$.

Mit dem Polynom $g(X)=\sum _{k=0}^{n-1}X_{k}\cdot X^{k}\in K[X_{i},\,i=0,\dots ,n-1][X]$ gilt also $Z:=Z(X_{0},X_{1},X_{2},\dots ,X_{n-1})=g(N)\in \operatorname {Mat} (n\times n,K[X_{i},\,i=0,\dots ,n-1])$.

Nun gilt für jedes Polynom $f\in K[X]$ und für beliebige Matrizen $A\in \operatorname {Mat} (n\times n,K)$ und $B\in \operatorname {GL} (n,K)$ die Beziehung: $B\cdot f(A)\cdot B^{-1}=f(BAB^{-1})$.

Die Eigenwerte ähnlicher Matrizen $A$ und $A'=BAB^{-1}$ stimmen überein und stehen (ohne Einschränkung) in der Hauptdiagonalen von $A'$. Für $i=1,\dots ,n$ seien $\alpha _{i}$ die Eigenwerte von $A$ (also mit Vielfachheit genannt), so sind daher $f(\alpha _{i})$ die Eigenwerte von $f(A)$, und es gilt $\det A=\prod _{i}\alpha _{i}$ und $\det f(A)=\prod _{i}f(\alpha _{i})$.

Die Zyklante $Z(X_{0},\dots ,X_{n-1})$ hat also die $n$ Eigenwerte $g(\zeta ^{i})=\sum _{k=0}^{n-1}X_{k}\cdot \zeta ^{ik}\in K[X_{i},i=0,\dots ,n-1]$, und zwar für jedes $i\in \{0,\dots ,n-1\}$ einen.

Es ist also

${\begin{aligned}\det Z&=\det g(N)=\det g(VNV^{-1})\\&=\det g(\operatorname {diag} (\zeta ^{i},i=0,\dots ,1))=\prod _{i=0}^{n-1}g(\zeta ^{i})\\&=\prod _{i=0}^{n-1}\left(\sum _{k=0}^{n-1}X_{k}\cdot \zeta ^{ik}\right)=\sum _{k=0}^{n-1}\left(\prod _{i=0}^{n-1}\zeta ^{ik}\cdot X_{k}\right)\\&=\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{(n-1)k}\cdot X_{k}^{n}\\&=\left.{\begin{cases}\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}X_{k}^{n}{\text{, falls }}n{\text{ gerade, }}\\\sum _{k=0}^{n-1}X_{k}^{n}{\text{, falls }}n{\text{ ungerade.}}\end{cases}}\right\}=\sum _{k=0}^{n-1}(\pm 1)^{k}X_{k}^{n}{\text{, wobei das }}\left.{\begin{cases}{\text{Pluszeichen, falls }}n{\text{ ungerade, }}\\{\text{Minuszeichen, falls }}n{\text{ gerade}}\end{cases}}\right\}{\text{ zu wählen ist.}}\end{aligned}}$

Der Teiler $\sum X_{k}$ ist leicht zu erkennen, indem man zu einer ausgewählten Zeile alle übrigen addiert und diese nach Laplace entwickelt.

Die Beweise von Lang und Artin nutzen die Unendlichkeit des Grundkörpers, um die Existenz einer Nullstelle für das Determinantenpolynom der regulären Matrix $[X_{\sigma \tau }]_{\tau }^{\sigma }$ sicherzustellen.

Lässt sich die Existenz solcher Nullstellen auf bei endlichem Grundkörper unter bestimmten Voraussetzungen erzwingen? Wann genau schlägt die Argumentation mit dieser Matrix fehl?

Diese reguläre Matrix ist im Falle abelscher Erweiterungen symmetrisch und im Falle zyklischer Erweiterungen hängt sie mit der Zyklante zusammen. Dazu allerdings ist es besser, die reguläre Matrix $[X_{\sigma ^{-1}\tau }]_{\tau }^{\sigma }$ zu betrachten, die durch diejenige Permutation auf $G$ entsteht, welche die Inversion $\sigma \mapsto \sigma ^{-1}$ erzeugt. Auf diese Weise nämlich wechselt das Einselement $\sigma ^{0}$ von der Nebendiagonale in die Hauptdiagonale. Die Symmetrie besteht dann freilich zur Nebendiagonale, nicht zur Hauptdiagonale, die Matrix ist also eine persymmetrische Matrix:

${\begin{pmatrix}\sigma ^{0}&\sigma ^{1}&\sigma ^{2}&\cdots &\sigma ^{n-3}&\sigma ^{n-2}&\sigma ^{n-1}\\\sigma ^{n-1}&\sigma ^{0}&\sigma ^{1}&\cdots &\sigma ^{n-4}&\sigma ^{n-3}&\sigma ^{n-2}\\\sigma ^{n-2}&\sigma ^{n-1}&\sigma ^{0}&\cdots &\sigma ^{n-5}&\sigma ^{n-4}&\sigma ^{n-3}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\\sigma ^{3}&\sigma ^{4}&\sigma ^{5}&\cdots &\sigma ^{0}&\sigma ^{1}&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&\sigma ^{3}&\sigma ^{4}&\cdots &\sigma ^{n-1}&\sigma ^{0}&\sigma ^{1}\\\sigma ^{1}&\sigma ^{2}&\sigma ^{3}&\cdots &\sigma ^{n-2}&\sigma ^{n-1}&\sigma ^{n}(=\sigma ^{0})\end{pmatrix}}$

Fasst man, wie im Beweis von Serge Lang, die Automorphismen $\sigma ^{i}$ als Unbestimmte $X_{i}$ auf, so handelt es sich also um die Zyklante, deren Determinante oben unter der Voraussetzung berechnet wurde, dass für die Charakteristik des Körpers gilt: $\operatorname {Char} K=:p\not \mid n$.

Der kritische Fall

Der Beweis von Lang grundsätzlich auch für zyklische Erweiterungen, er gerät jedoch in Gefahr bei endlichem Grundkörper: Lässt sich dann eine Nullstelle in ihm finden? in diesem Fall ist die Charakteristik notwendig positiv: $p:=\operatorname {Char} K$.

Kritisch ist insbesondere der Fall $n=p^{r}$. Welche Gestalt hat dann die Determinante der Zyklante? Ist sie vom Nullpolynom verschieden, die Zyklante regulär? Nach obigen Formeln ist dann

• $\det N=1$ und $\det N^{p^{r}}=1$.
• $\det Z=\sum _{k=0}^{p^{r}-1}X_{k}^{p}=\left(\sum _{k=0}^{p^{r}-1}X_{k}\right)^{p^{r}}$,

da die Primzahl entweder ungerade ist oder aber bei $p=2$ die Gleichheit $1=-1$ besteht. Diese Formeln lassen sich im Übrigen auch direkt herleiten. Dabei ist $1\in K$ die einzige, also eine $p^{r}$-fache Nullstelle von $X^{p^{r}}-1$.

Zusammenhang der Beweise nach Lang und Artin

Zugleich enthüllt die Zyklante, wie Artins und Langs Beweis zusammenhängen: Das Lagrangesche Interpolationspolynom $p(X)=\sum _{i=0}^{n-1}p_{i}X^{i}\in L[X]$ aus Artins Beweis ist nämlich die Lösungen des Ansatzes mit der Vandermonde-Matrix $V=V(\alpha _{0},\dots ,\alpha _{n-1})$, wenn für die Stützstellen die Konjugierten $\sigma (\alpha )=\alpha _{i}$ eines primitiven Elements $\alpha =\alpha _{0}$ mit Minimalpolynom $\mu (X)$ gewählt werden:

$V\cdot {\begin{pmatrix}p_{0}\\p_{1}\\\vdots \\p_{n-2}\\p_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\0\\0\end{pmatrix}}$

und für die konjugierten Interpolationspolynome $\sigma (p(X))=:p^{\sigma }(X)=\sum _{i=0}^{n-1}p_{i}^{\sigma }X^{i}$ entsprechend:

$V\cdot {\begin{pmatrix}p_{0}^{\sigma }\\p_{1}^{\sigma }\\\vdots \\p_{n-2}^{\sigma }\\p_{n-1}^{\sigma }\end{pmatrix}}={\big (}\delta (\sigma ,\tau {\big )}^{\tau \in G}$

wobei $V:=V(\alpha _{0},\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n-1})=V\left((\tau (\alpha ))^{\tau \in G}\right)={\big (}1,\alpha ^{1},\alpha ^{2},\cdots ,\alpha ^{n-3},\alpha ^{n-2},\alpha ^{n-1}{\big )}^{\tau \in G}={\big [}\tau (\alpha ^{i}){\big ]}_{0\leq i\leq n-1}^{\tau \in G}$

Für weitere interessante Dinge zur Zirkulante wie Fourier-Transformation etc. siehe den Artikel Zyklische Matrix.

Resultante

Siehe auch Oskar Perron, Algebra 1: $\deg \operatorname {ggT} (f,g)+\operatorname {Rang} (\operatorname {Sylvestermatrix(f,g)} )=\deg f+\deg g$. Für $\deg \operatorname {ggT} (f,g)>0$ folgt Resultantenkriterium. (Beweis von Perron in Sitzungsberichte der Bayer. Akademie 1928). $R(f,g)$ ist multiplikativ in beiden Argumenten, dazu mit Faktor $(-1)^{\deg f\cdot \deg g}$ (anti)symmetrisch.

Jacobson, Basic Algebra, Abschnitt 5.4 (Tarski).

Hasse/Klobe, HA2, 2.III.§11, Aufgabe 22 (elementarsymmetrische Funktionen), 23 (Resultante) und 24 (Determinantenkriterium) für $(f(X),g(X))=1$.

Diskriminante

Auch zur Diskriminante (und ihrer Normierung) vergleiche Perron.

Eine Diskriminante (lat.: discriminare, trennen, unterscheiden) ist eine Kennzahl, die einen mathematischen Untersuchungsgegenstand klassifiziert und damit eine hilfreiche Fallunterscheidung gestattet. Berühmt-berüchtigtes Beispiel ist der Diskriminante quadratischer Gleichungen $x^{2}+px+q=0$: An ihr lässt sich ablesen, ob die Gleichung genau zwei verschiedene reelle Lösungen $x_{1},x_{2}\in \mathbb {R}$ besitzt oder nur eine $x_{1}=x_{2}\in \mathbb {R}$ oder gar keine reelle Lösung (sondern komplexe Lösungen $x_{1},x_{2}\in \mathbb {C}$).

Diskriminante eines Polynoms

Diese obige elementare Beispiel zur Mitternachtsformel zeigt bereits Wesentliches: Ohne die Wurzeln (Lösungen) einer Gleichung zu kennen, möchte man anhand der Diskriminante Aussagen über die Lösungen treffen können: Sind sie paarweise voneinander verschieden oder fallen zwei in einer zusammen?

$f(X)=X^{n}+a_{1}X^{n-1}+a_{1}X^{n-1}+\dots +a_{n-1}X+a_{n}\in K[X]$

Zerfällt das Polynom in einem Erweiterungskörper $L$ von $K$ in Linearfaktoren $f(X)=\prod _{i}(X-x_{i})$, so sind diese $x_{i}\in L$ also Lösungen der Gleichung $f(x)=0$ in $L$. Dabei sind die Koeffizienten $a_{i}$ symmetrische Polynome in den Lösungen: $a_{i}=(-1)^{i}\sigma _{i}(x_{1},\dots x_{n})$.

Ob zwei Lösungen $x_{k},x_{l}$ zusammenfallen (also gleich sind $x_{k}=x_{l}$), lässt sich an folgendem Differenzenprodukt ablesen: $\prod _{i\neq j}(x_{i}-x_{j})$. Es verschwindet, sobald nur zwei der $x_{i}$ gleich sind. Dieses Produkt lässt sich aufspalten in zwei Faktoren: $\prod _{i\neq j}(x_{i}-x_{j})=\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})\cdot \prod _{i>j}(x_{i}-x_{j})$. Beide Faktoren unterscheiden sich möglicherweise um ihr Vorzeichen: $\prod _{i>j}(x_{i}-x_{j})=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})$, je nachdem ob $4|n(n-1)=n^{2}-n$ oder nicht. Also ist

${\begin{aligned}\prod _{i\neq j}(x_{i}-x_{j})&=\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})\cdot \prod _{i>j}(x_{i}-x_{j})\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}\left(\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})\right)^{2}\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}\left(\prod _{i>j}(x_{i}-x_{j})\right)^{2}\end{aligned}}$

Man definiert die Diskriminante als Polynom in den Unbestimmten $X_{1},\dots ,X_{n}$ als $D(X_{1},\dots ,X_{n}):=\left(\prod _{i<j}(X_{i}-X_{j})\right)^{2}=\prod _{i<j}\left(X_{i}-X_{j}\right)^{2}$.

Für die Vandermonde-Determinante gilt die Polynomidentität in den Unbestimmten $X_{i}\;(i=1,\dots ,n)$: $\det V(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})=\det V((X_{i}))=\det {\begin{pmatrix}1&X_{1}&X_{1}^{2}&\cdots &X_{1}^{n-1}\\1&X_{2}&X_{2}^{2}&\cdots &X_{2}^{n-1}\\1&X_{3}&X_{3}^{2}&\cdots &X_{3}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&X_{n}&X_{n}^{2}&\cdots &X_{n}^{n-1}\end{pmatrix}}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(X_{j}-X_{i})$

Also gilt $D((X_{i}))=\left(\det V((X_{i}))\right)^{2}$, so dass $\prod _{i\neq j}(X_{i}-X_{j})=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}\cdot D(X_{i})=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}\cdot (\det V(X_{i}))^{2}$

Andererseits ist $\left(\det V((X_{i}))\right)^{2}=\det \left(V(X_{i})^{t}\cdot V(X_{i})\right)=\det \left(\pi _{i+j}^{(n)}\right)_{0\leq j<n}^{0\leq i<n}$, wobei $\pi _{i}^{(n)}=\sum _{k=1}^{n}X^{i}$ die $i$-te Potenzsumme in $n$ Unbestimmten bezeichne.

Es ist also $D(X_{i})=\left(\det V(X_{i})\right)^{2}=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}\cdot \prod _{i\neq j}(X_{i}-X_{j})=\det \left(\pi _{i+j}^{(n)}\right)_{0\leq j<n}^{0\leq i<n}=\det {\begin{pmatrix}\pi _{0}^{(n)}&\pi _{1}^{(n)}&\pi _{2}^{(n)}&\cdots &\pi _{n-1}^{(n)}\\\pi _{1}^{(n)}&\pi _{2}^{(n)}&\pi _{3}^{(n)}&\cdots &\pi _{n}^{(n)}\\\pi _{2}^{(n)}&\pi _{3}^{(n)}&\pi _{4}^{(n)}&\cdots &\pi _{n+1}^{(n)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\pi _{n-1}^{(n)}&\pi _{n}^{(n)}&\pi _{n+1}^{(n)}&\cdots &\pi _{2n-2}^{(n)}\end{pmatrix}}$

Die Diskriminante ist offensichtlich ein symmetrisches Polynom $X_{i}$.

Galois-Theorie

zum einschlägigen Artikel ergänzende Idee: Klassischer Zugang kommt vom Hauptsatz über die elementarsymmetrischen Polynome („symmetrischen Grundfunktionen“) her. Dabei werden Polynomalgebren in $n$ Unbestimmten betrachtet, wobei $n$ der Grad der betrachteten Gleichung ist.

Der Artinsche Ansatz betrachtet den Polynomring in einer Unbekannten und seinen Quotientenring. Lemma von Dedekind etc.pp.

Van der Waerden die relativen Körperhomomorphismen. (Satz vom primitiven Element)

Die Beweise für die Existenz einer Normalbasis spiegeln beide Perspektiven wider: Lang (mehrere Unbestimmte) versus Artin (eine Unbestimmte, Lagrangesche Interpolation), van der Waerden (Tensorprodukt zweier isomorpher Körper).

Die Existenz einer (!) Galoissche Resolvente ist modern gesprochen der Satz von der Existenz eines primitiven Elements (Satz vom primitiven Element, den Hasse auch den Abelschen Satz nennt und der früher auch mit dem Hauptsatz über symmetrische Funktionen bewiesen wurde (Hasse, S. 80)): Eine Galoissche Resolvente ist das Minimalpolynom eines primitiven Elementes und damit ein normales Element und normales Polynom. Vgl. Hasse und v.d.Waerden im Paragraphen unmittelbar vor demjenigen zur Normalbasis.

Hasse verweist auf A. Loewys Zugang (Hasse, HA2, Fußnote auf Seite 114), der das Gruppoid der relativen Isomorphismen (nicht Automorphismen) betrachte und daraus bereits die Galoistheorie herleitet.

Zushg mit symmetrischen Grundfunktionen (elementarsymmetrischen Polynomen): Siehe Hasse, HA2, Seiten 150 und 153 (Beweise von Ph. Furtwängler). Siehe Aufgabensammlung, 2.V.§23, Aufgaben 3 ff.

Beweis des Satzes vom primitiven Element mit Hilfe des Hauptsatzes über die elementarsymmetrischen Polynome, gemäß einer Aufgabe aus Hasse/Klobe, 2.V.§23.

Interessante Passagen bei Hasse, HA2:

• S. 124, Mitte.
• S. 113f. unten (kleingedruckt) zu Satz 114.
• überhaupt Sätze 110 bis 114.

Idee einer Gliederung:

• Operationen von Gruppen auf Moduln (G-Moduln) (Transitivitätsgebiete, Imprimitivität, Bahnenformel)
• Unabhängigkeitssatz von Dedekind und Lineare Algebra liefern Hauptsatz der Galoistheorie
• Konjugierte Untergruppen entsprechen konjugierten Zwischenkörpern.
• Also entsprechen den in $G$ normalen Untergruppen $N$ (lies: den Normalteilern von $G$) die über $K$ normalen Zwischenkörper ${\displaystyle }$, das heißt die Zerfällungskörper gewisser Polynome.
• (Für $N=\{1\}$ ist es gerade $L$ selbst als Zerfällungskörper einer sogenannten Galois-Resolvente, deren Nullstellen als primitive Elemente geeignet sind.)
• Für jedes $y\in L$ sei $G(y,K)=G(L/K[y])$. Sein Minimalpolynom ist dann ... Ferner sind äquivalent:
  • $y$ normal über $K$
  • $G(y,K)\subset G(L/K)$ Normalteiler
  • $\mu _{y}(X)$ Galois-Resolvente.
• Setzt man $\alpha \in \operatorname {ErzElt} (Z/K):\Leftrightarrow Z=K[\alpha ]$ und $\beta \in \operatorname {XYZ} (U,G):\Leftrightarrow \#U\beta =(U:1)$ so gilt: ...
• Beziehungen mit dem Index $(G:U)$
• Deutung als Transitivitätsgebiete, Imprimitivitätsgebiete, siehe vdW und Hasse, Satz 114, Seite 114ff.
• Satz vom primitiven Element. Separabilität
• Deutung der Gaußschen Perioden als Erzeugung eines primitiven Elementes für bestimmte Zwischenerweiterungen (oder?) Siehe auch vdW im Paragraphen vor „Normalbasis“.
• Die historische Perspektive betrachtet die Galois-Gruppe $G(f,K)$ eines separablen Polynoms $f$ über dem Grundkörper $K$ als Untergruppe der Permutationsgruppe $\operatorname {Perm} (N_{f})$ auf seiner Nullstellenmenge $N_{f}\subset W$ in einem Wurzelkörper $W:=\operatorname {Zerf} (f,K)$, definiert wie bei Hasse (Satz 107) oder Helmut Koch.
• Die moderne Perspektive betrachtet die Galois-Gruppe $G(L/K)$ einer separablen Körpererweiterung $L/K$.
• Der Satz vom primitiven Element (oder von der Galois-Resolvente) bringt Licht in den Zusammenhang für $L=W$, nämlich in Gestalt von Helmut Koch, 7.6, Satz 8 (Seite 66f.): $G(L/K)\to G(f,K),\,\sigma \mapsto \sigma |_{N_{f}}\in \operatorname {Perm} (N_{f})$. Für $N_{f}=\{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m}\}$ und $L:=K[N_{f}]=W$ sei Galois-Resolvente $g(X)\in K[X]$ gewählt mit $N_{g}=\{\beta =\beta _{1},\dots ,\beta _{n}\}$, so dass $L=K[\beta ]=K[\beta _{j}]$ für jedes $j=1,\dots ,n$ und $\alpha _{i}=h_{i}(\beta )$ mit geeignet bestimmten $h_{i}(X)\in K[X]$. Die Automorphismen $\sigma \in G(L/K)$ korrespondieren bijektiv mit den Substitutionen $L=K[\beta ]\to K[\beta _{j}]=L,\;\beta \mapsto \beta _{j}\;(j=1,\dots ,n)$, das heißt $\sigma _{j}(\beta ):=\beta _{j}$ und $G(L/K)=\{\sigma _{j}|j=1,\dots ,n\}$. Damit ist $\sigma _{j}(\alpha _{i})=h_{i}(\beta _{j})$.
• Ist umgekehrt $k_{j}(X_{1},\dots ,X_{m})\in K[X_{1},\dots ,X_{m}]$ mit $k_{j}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m})=\beta _{j}$, so permutiert jeder Automorphismus $\sigma \in G(L/K)$ die Nullstellen $\alpha _{i}\in N_{f}$ so, dass $k_{j}(\sigma (\alpha _{1}),\dots ,\sigma (\alpha _{m}))=\sigma (\beta _{j})$. Für $k=k_{1}\in K[X_{1},\dots ,X_{m}]$ insbesondere: $k^{\sigma _{j}}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m})=\beta _{j}$. (Vergleich Hasse, Satz 107)
• Hasse Satz 105 und 106 (und 107) beschreiben, wie sich die Automorphismen $\sigma \in G(K[\beta ]/K)$ Stammkörper $K[X]/(\mu _{\beta }(X))$ darstellen, nämlich offensichtlich als die Substitutionen $X\mapsto \mu _{j}(X){\bmod {(}}\mu _{\beta }(X))$, wobei $\beta _{j}=:\mu _{j}(\beta )$.

Zum Wechsel der Perspektive:

• Der zu einer Untergruppe gehörige Fixkörper bestimmt einen Teilkörper eines gegebenen „Dachkörpers“. Der Hauptsatz der Galoistheorie ist so formulierbar und mit Mitteln der LinAlg und dem Unabhängigkeitssatz von Dedekind beweisbar. Offen bleiben dann aber die körpertheoretischen Begriffe der Adjunktion, Separabilität und Normalität (Zerfällungskörper), überhaupt der Zusammenhang mit Polynomen und ihren Nullstellen.
• Diese Begriffe gehen nämlich von einem Grundkörper aus: Durch Adjunktion entsteht ein Erweiterungskörper, der als Faktorring des Polynomringes nach einem Ideal zu verstehen ist, das von einem bestimmten Polynom erzeugt wird: Dessen Eigenschaften bestimmen die Eigenschaften des Faktorringes: Irreduzibilität gewährleistet einen Körper, zusätzliche Normalität liefert einen Zerfällungskörper, und schließlich zusätzliche Separabilität liefert einen Zerfällungskörper mit $[L:K]=G(L/K)$. Tatsächlich sind diese Eigenschaften äuqivalent mit dem Bestehen dieser Gleichheit.

Ferner:

• Translationssatz (Emil Artin) und Komposita von Körpern, insbesondere direkte Komposita (Helmut Koch, Kapitel 16). Oder auch Hassse („Wechsel des Grundkörpers“).

Beispiel: Aufgabe von Hasse (nach Anchoa, Madrid).

Direktes Kompositum und direkter Durschnitt von Zwischenkörpern

Ist die Galoisgruppe direkte Summe (Koprodukt) von Normalteilern $U_{i}$, so ist der Grundkörper der direkte Durchschnitt der zugehörigen normalen Fixkörper $Z_{i}$. In diesem Falle ist der Erweiterungskörper das direkte Kompositum gewisser anderer („komplementärer“) normaler Zwischenkörper $Y_{j}$, deren Fixgruppen $V_{j}$ die $\{1\}\subset G(L/K)$ als direkten Durchschnitt besitzen.

Insbesondere sind also abelsche Erweiterungen das direkte Kompositum geeigneter Teilkörper.

Galois-Gruppe eines separablen Polynoms

Die einleitenden Absätze des Abschnittes zur klassischen Ansatz der Galois-Theorie erläutern:

„Eine ‚Symmetrie der Nullstellen von Polynomen‘ ist eine Permutation der Nullstellen, so dass jede algebraische Gleichung über diesen Nullstellen auch dann noch gültig ist, nachdem man die Nullstellen mittels der Permutation vertauscht hat. Diese Permutationen bilden eine Gruppe. Abhängig von den Koeffizienten, die in den algebraischen Gleichungen erlaubt sind, ergeben sich unterschiedliche Galoisgruppen.

Galois selbst beschrieb eine Methode, mit der eine einzelne von den Nullstellen erfüllte Gleichung konstruiert werden kann (die sog. Galois-Resolvente), so dass die Galois-Gruppe aus den Symmetrien dieser einen Gleichung besteht.“

Diese Formulierung skizziert die Definition der Galois-Gruppe $G(f,K)$ eines separablen Polynoms $f(X)\in K[X]$ über einem Grundkörper $K$. Dazu bezeichne $N_{f}:=\{\alpha =\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m}\}\subset Z$ die Menge der paarweise verschiedenen einfachen Nullstellen von $f(X)$ in einem Zerfällungskörper (Wurzelkörper) $Z=\operatorname {Zerf} (f,K)$, in dem also $f(X)=\prod _{1\leq i\leq m}(X-\alpha _{i})$ in (das Produkt der) Linearfaktoren $X-\alpha _{i}$ zerfällt. Mit $\operatorname {Perm} (N_{f})$ sei die Menge aller Permutationen der Menge $N_{f}$ bezeichnet, das heißt die Menge aller bijektiven Abbildungen $N_{f}\to N_{f}$. Sie lässt sich als die symmetrische Gruppe $S_{m}$ der Ordnung $m$ verstehen, wenn man die Permutation mit Hilfe eines $\sigma \in S_{m}$ schreibt: $\alpha _{i}\mapsto \alpha _{\sigma (i)}$. Für ein Polynom $h(X_{1},\dots ,X_{m})\in K[X_{1},\dots ,X_{m}]$ in $m$ Unbestimmen $X_{i}$ und ein $\sigma \in S_{m}$ setze $h^{\sigma }(X_{1},\dots ,X_{m}):=h(X_{\sigma (1)},\dots ,X_{\sigma (m)}$.

Nun betrachte man die Menge

$H(f,K):=\left\{h(X_{1},\dots ,X_{m})\in K[X_{1},\dots ,X_{m}]{\big |}h(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m})\in K\right\}$

der Polynome in $m$ Unbestimmten, die auf dem Nullstellentupel Werte in $K$ annehmen.

Definiere nun die Galois-Gruppe $G(f,K)$ des separablen Polynoms $f(X)$ über dem Körper $K$ wie folgt:

$G(f,K):=\left\{\sigma \in S_{m}{\big |}h(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m})=h^{\sigma }(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m})\right\}$.

Mit $H(f,0):=\left\{h(X_{1},\dots ,X_{m})\in K[X_{1},\dots ,X_{m}]{\big |}h(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m})=0\right\}$ lässt sich sich die Galois-Gruppe ebenso gut folgendemaßen definieren:

$G(f,K):=\left\{\sigma \in S_{m}{\big |}h\in H(f,0)\Rightarrow h^{\sigma }H(f,0)\right\}$

Es gilt der Satz (Helmut Koch, Abschnitt 7.6, Satz 7): Für ein Polynom $h(X_{1},\dots ,X_{m})\in K[X_{1},\dots ,X_{m}]$ gilt:

$h(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m})=h^{\sigma }(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m})\forall \sigma \in G(f,K)\;\Rightarrow \;h\in H(f,K)$.

Beispiel (G. Ancochea, Madrid)

(nach G. Ancochea, Madrid, aus Hasse/Klobe (3. Auflage, 1961), 2.VI.§ 17, Aufgabe 17, Seite 150,)

Es sei $\operatorname {char} K\neq 2$ und $f(X)=X^{4}+aX^{3}+bX^{2}+aX+1\in K[X]$ irreduzibel. Man bestimme (i) eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Normalität von $f(X)$ und (ii) die Galois-Gruppe $G(f,K)$.

Anleitung: Substitution $Z=X+{\frac {1}{X}}$ reduziert die Gleichung $f(X)=0$ auf zwei quadratische Gleichungen. Betrachtet man $L:=K[\beta ]$ mit $\beta :={\sqrt {a^{2}-4(b-2)}}$ und setzt $x:=(b+2)^{2}-4a^{2}$, so erhält man als Bedingung für Normalität: ${\sqrt {x}}\in L$. Dafür ist hinreichend und notwendig, dass entweder $x$ oder $y={\frac {\beta }{x}}$ ein Quadrat in $K$ ist.

Für die Galois-Gruppe ergibt sich im ersten Falle die Kleinsche Vierergruppe, im zweiten eine zyklische Gruppe der Ordnung 4.

Zum Artikel Satz vom primitiven Element

Satz

Der Satz vom primitiven Element behauptet die Existenz eines primitiven Elements $y\in L$ für eine endliche Körpererweiterung $L/K$ unter gewissen Voraussetzungen, das heißt: Unter gewissen Bedingungen gibt es ein $y\in L$ mit $L=K[y]$. Dabei gibt es verschiedene Varianten des Satzes, die sich in den geforderten Voraussetzungen unterscheiden:

• (A1) Es gibt $a,c\in L$ mit $L=K[a,c]$, wobei $c$ separabel über $K$ ist.
• (A2) Es gibt $a,c_{1},\dots ,c_{s}\in L$ mit $L=K[a,c_{1},\dots ,c_{s}]$, wobei jene $c_{j}$ separabel über $K$ sind.
• (A3) Es gibt $a,c_{1},\dots ,c_{s}\in L$ mit $L=K[a,c_{1},\dots ,c_{s}]$, wobei $a$ und jene $c_{j}$ separabel über $K$ sind.
• (A4) Die Körpererweiterung $L/K$ ist separabel.

Dass es genügt, den Satz unter der ersten Voraussetzung (A1) zu beweisen, liegt auf der Hand: Die übrigen Varianten folgen durch vollständige Induktion oder unmittelbar. Eine weitere Variante behauptet, dass die Existenz eines primitiven Elements äquivalent mit der folgenden Bedingung ist:

• (B) Die endliche Körpererweiterung $L/K$ besitzt nur endlich viele Zwischenkörper.

Tatsächlich lässt sich zeigen, dass aus (A4) die Aussage (B) folgt. (Artin).

Beweis des Satzes

Die Aussage des Satzes folgt per Induktion leicht aus dem folgenden Satz: Sind $a,c$ algebraisch und $c$ darüber hinaus separabel über $K$, so ist $K[a,c]/K$ eine einfache Körpererweiterung, das heißt: Es gibt ein $y\in K[a,c]$ mit $K[y]=K[a,c]$.

Zum Beweis: Bei endlichem Grundkörper $K$ ist die multiplikative Einheitengruppe $K[a,c]^{\times }$ zyklisch, nämlich von einer einer primitiven Einheitswurzel $\zeta$ erzeugt. Dieses eignet sich somit als primitives Element $y:=\zeta$. Damit bleibt der Satz im Folgenden lediglich für unendliche Grundkörper $K$ zu beweisen.

Dafür bezeichne $r$ die Mächtigkeit der Nullstellenmenge $N_{f}:=\{a_{1},\dots ,a_{r}\}$ des Minimalpolynoms $f(X)$ von $a$. Dabei ist $r\leq m:=\deg f$, da die Nullstellen nicht notwendig einfach sind. Es bezeichne $n$ die Mächtigkeit der Nullstellenmenge $N_{g}:=\{c_{1},\dots ,c_{n}\}$ des Minimalpolynoms $g(X)$ von $c$. Da diese Nullstellen einfach sind, sind sie paarweise verschieden, und es gilt $n=\deg g$. Die Indizierung beginne jeweils mit $a_{1}=a$ bzw. $c_{1}=c$.

Für jedes der endlich vielen Paare $(i,j)$ mit $1\leq i\leq r$ und $2\leq j\leq n$ bestimmt die Gleichung $Xc+a=Xc_{j}+a_{i}$ höchstens eine Lösung $x_{i,j}\in K$. Wählt man $x\in K\backslash \{x_{i,j},i,j\}\neq \emptyset$, also ungleich allen diesen $x_{i,j}$, so folgt $y:=xc+a\neq xc_{j}+a_{i}$ für alle $r(n-1)$ Paare $(i,j)$ mit $1\leq i\leq r,2\leq j\leq n$.

Dabei gilt $f(y-xc)=f(a)=0=g(c)$, und da $f(y-xX)$ und $g(X)$ nach Wahl von $x$ nur diese eine gemeinsame Nullstelle $c$ haben, ist ihr größter gemeinsamer Teiler $\operatorname {ggT} _{K[y][X]}{\big (}g(X),f(y-xX){\big )}=X-c$ in $K[y][X]$, woraus $c\in K[y]$ und mithin $a=xc-y\in K[y]$ folgen, was zu beweisen genügt.

Anmerkung 1: Der Leitkoeffizient von $f(y-xX)$ ist $(-x)^{r}$.

Anmerkung 2: Selbstverständlich kann man $x$ auch so wählen, dass die $rn$ Elemente $a_{i}+xc_{j}=:y_{i,j}$ für $1\leq i\leq r,1\leq j\leq n$ sämtlich untereinander paarweise verschieden sind (also unter Einbeziehung von $j=1$).

Anmerkung 3: Ist dabei zusätzlich auch $a$ separabel, also $r=\deg f=m$, so zerfällt das Polynom $f(y-xX)$ in einem Zerfällungskörper $\operatorname {Zerf} (f(X),K[y])$ folgendermaßen: $f(y-xX)=\prod _{i=1}^{n}(y-xX-a_{i})=\prod _{i=1}^{n}\left(y-(xX+a_{i})\right)=\prod _{i=1}^{n}((a+xc)-(a_{i}+xX))$. Daran lässt sich wiederum ablesen, dass $f(y-xX)$ und $g(X)$ nur die eine gemeinsame Nullstelle $X=c$ haben. Ferner wird deutlich, dass dann auch $y$ separabel ist: Die $mn$ Elemente $y_{i,j}\;(1\leq i\leq m,1\leq j\leq n)$ sind sämtlich paarweise verschieden und über $K$ konjugiert. Ihr Minimalpolynom über $K$ lautet $\mu _{y}(X)=\prod _{i=1}^{m}\prod _{j=1}^{n}(X-y_{i,j})=\prod _{i=1}^{m}\prod _{j=1}^{n}(X-(a_{i}+xc_{j}))$. Tatsächlich hat es Koeffizienten aus $K$, denn zunächst liegt $\phi (X,Y):=\prod _{j=1}^{n}(X-(Y+xc_{j}))\in K[X,Y]$, da es unter der Galois-Gruppe des Zerfällungskörpers von $g(X)$ über $K$ invariant ist. Aus entsprechendem Grunde liegt auch $g(X)=\prod _{i=1}^{m}\phi (X,a_{i})\in K[X]$.

Folgerungen aus dem Satz

Folgerung: Sind im Satz $a$ und $c$ separabel, so ist die einfache Erweiterung $K[a,c]=K[y]$ separabel über $K$ vom Grade $mn$.

Im Zerfällungskörper $W:=\operatorname {Zerf} (\mu _{y}(X),K)$ des Minimalpolynoms $\mu _{y}(X)$ von $y$ sind (per definitionem) alle Wurzeln $y_{i,j}$ enthalten und über $K$ konjugiert, das heißt: Sie liegen in der Bahn $G(W/K)(y)$ der Galois-Gruppe $G(W/K)$. Diesen Zerfällungskörper erhält man durch Adjunktion $W=K[y_{i,j},\,1\leq i\leq m,1\leq j\leq n]$.

Darauf lässt sich der Satz vom primitivem Element anwenden: Wählt man nämlich $x_{i,j}\in K$ so, dass sämtliche Permutationen $\sigma \in S_{m},\tau \in S_{n}$ zu untereinander paarweise verschiedenen $z_{\sigma ,\tau }:=\sum _{1\leq i\leq m \atop 1\leq j\leq n}x_{i,j}\,y_{\sigma (i),\tau (j)}$ führen, so erzeugt jedes der $z_{\sigma ,\tau }$ den Zerfällungskörper: $W=K[z_{\sigma ,\tau }]$. Dabei kann ohne Einschränkung eines der $x_{i,j}$ gleich Eins gewählt werden, bspw. $x_{1,1}=1$. Denn ein Element $z\in W$ ist nach dem Hauptsatz der Galoistheorie genau dann normal mit $W=K[z]$, wenn seine Bahn unter $G$ genau $(G:1)$ Elemente hat, seine Standgruppe also gleich $\{1\}$ ist. Nun permutiert jeder Automorphismus $\rho \in G(E/K)$ die Wurzeln $a_{i}$ und $c_{j}$, liefert also Permutationen $\sigma \in S_{m}$ und $\tau \in S_{n}$, so dass die diese Bedingung gewährleistet ist.

Hieran lässt sich ablesen: Sind $a$ und $c$ normal über $K$ so ist es auch $K[a,c]=K[y]$. Dann nämlich erübrigt sich die Adjunktion der von $y$ verschiedenen $y_{i,j}$ und es ist $W=K[y]$ und $(G:1)=[K[y]:K]=mn$. Zur Bestimmung eines Automorphismus $\rho \in G$ genügt dann nämlich schon, die Substitutionen $a\mapsto a_{i}=a_{\sigma (1)}$ und $c\mapsto c_{j}=c_{\tau (1)}$ anzugeben. Ist aber nichts über die Normalität von $a$ oder $c$ bekannt, so lässt sich nur folgern, dass $mn|(G:1)|m!n!$.

Zusammenhang zur Galois-Resolvente

Definition: Eine Galois-Resolvente der Gleichung $\mu _{y}(X)=0$ ist das Minimalpolynom $\mu _{z}(X)$ eines solchen primitiven Elements $z$, welches den Zerfällungskörper von $\mu _{y}(X)$ erzeugt. Da jede $y_{i,j}\in K[z]$ liegt, sind sie als ganzrationale Ausdrücke von $z$ darstellbar: $y_{i,j}=h_{i,j}(z)$. Allgemeiner heißt ein irreduzibles, separables Polynom $q(X)\in K[X]$ eine Galois-Resolvente eines Polynoms $f(X)$ über $K$, wenn es Minimalpolynom eines primitiven Elements $z$ für den Zerfällungskörper $W:=\operatorname {Zerf} (f(X),K)$ von $f(X)$ über $K$ ist.

Daher ist die Existenz einer Galois-Resolvente mit der Existenz eines primitiven Elements äquivalent.

Die Nullstellen $a_{i}$ von $f(X)$ sind dann über $K$ ganzrationale Ausdrücke von $z$: $a_{i}=h_{i}(z)$ mit $h(X)\in K[X]$. Umgekehrt gilt $z=H(a_{1},\dots ,a_{r})$ mit einem Polynom $H(X_{1},\dots ,X_{r})\in K[X_{1},\dots ,X_{r}]$, und für $\rho \in G(W/K)$ gilt folglich $\rho (z)=H^{\rho }(a_{1},\dots ,a_{r})=H(\rho (a_{1}),\dots ,\rho (a_{r}))=(a_{\rho (1)},\dots ,a_{\rho (r)})$, wenn man die Automorphismen $\rho \in G(W/K)$ zugleich als Permutationen $\rho \in S_{r}$ der Wurzeln auffasst, was der historischen Perspektive entspricht.

Da indes eine Galois-Resolvente $q(X)$ bei der Lösung der zugehörigen Wurzelgleichung $f(X)=0$ nicht behilflich ist, hat sich die Bedeutung der Galois-Resolvente in der heute üblichen Perspektive auf das zugehörige primitive Element und die von ihr erzeugte einfache Körpererweiterung konzentriert.

Historische Perspektive: Galois-Resolvente und -Theorie

Helmut Hasse bezeichnet den Satz unter Hinweis auf seinen „Entdecker“ als den Abelschen Satz. In einer Fußnote zum Beweis bemerkt Hasse: „Dieser Beweis wurde bisher fast immer unter Anwendung des Satzes von den symmetrischen Funktionen [...] geführt. Der Grundgedanke des im Text gegebenen, ohne jenen Satz auskommenden Beweises wurde aber schon von Galois zu dem entsprechenden Zwecke verwandt.“

Eine Galois-Resolvente einer Gleichung $f(X)=0$ ist (nach Definition) ein irreduzibles Polynom $g(X)$ (bzw. eine irreduzible Gleichung $g(X)=0$) mit einer der folgenden äquivalenten Eigenschaften, die den Zerfällungskörper $\operatorname {Zerf} (f(X),K)$ von $f(X)$ über $K$ betreffen:

• $\operatorname {Zerf} (f(X),K)\simeq K[X]/(g(X))$. (In historischen Worten: „Der Stammkörper von $g(X)=0$ ist der Wurzelkörper von $f(X)=0$.“)
• Für eine Wurzel $\beta$ von $g(X)=0$ gilt: $\operatorname {Zerf} (f(X),K)=K[\beta ]$.
• Für jede Wurzel $\beta$ von $g(X)=0$ gilt: $\operatorname {Zerf} (f(X),K)=K[\beta ]$.
• Jede Wurzel von $f(X)=0$ ist dann als „ganzrationale Funktion“ einer Wurzel von $g(X)=0$ (und damit jeder ihrer Wurzeln) ausdrückbar.

Damit ist insbesondere der Stammkörper einer Galois-Resolvente ihr eigener Zerfällungskörper („Wurzelkörper“): Es genügt eine beliebige der Wurzeln zu adjungieren, da sich mit ihr alle übrigen ganzrational ausdrücken lassen. Polynome mit dieser Eigenschaft heißen galoissch oder normal (vgl. unten).

Zur Erläuterung des erwähnten „entsprechenden Zwecks“ beachte man nun, dass für eine Galois-Erweiterung $L/K$ die Existenz eines primitiven Elementes $x\in L$ (mit $L=K[x]$) und die Existenz einer Galois-Resolvente $g(X)\in K[X]$ im Wesentlichen dasselbe besagen, denn mit dem Minimalpolynom $\mu _{x}(X)$ eines primitiven Elementes $x\in L=K[x]$ ist eine Galois-Resolvente gefunden und umgekehrt ist jede Nullstelle $x\in \{x_{1},\dots ,x_{n}\}=\{x\in L|g(x)=0\}$ einer Galois-Resolvente $g(X)\in K[X]$ als primitives Element geeignet. Ein solches primitives Element erzeugt bereits den Zerfällungskörper der Galois-Resolvente, denn dieses irreduzible Polynom ist per definitionem galoissch, das heißt, dass mit Adjunktion nur einer der Nullstellen $\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$ auch alle übrigen Nullstellen im entstandenen Erweiterungskörper enthalten sind: $K[x]=K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ für beliebige Wahl von $x\in \{x_{1},\dots ,x_{n}\}$.

Ein irreduzibles separables Polynome, dessen Nullstellen $x_{i}$ diese Eigenschaft haben, heißt galoissch (oder normal), und entsprechend heißt ein Element $x\in L$ galoissch (oder normal), dessen Minimalpolynom $\mu _{x}(X)$ galoissch ist. Für solch ein Element $x\in \{x_{1},\dots ,x_{n}\}$ fallen der zugehörige Stammkörper $K[x]\cong K[X]/(\mu _{x}(X))$ und der Zerfällungskörper $K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ zusammen.

Ist $L$ Zerfällungskörper eines über $K$ irreduziblen separablen Polynoms $g(X)\in K[X]$ vom Grad $\deg g=n$, so ist $L/K$ eine Galois-Erweiterung. Die Galois-Gruppe $G(g,K)$ des Polynoms $g$ ist definiert als diejenige Untergruppe $G(g,K)<S_{n}\simeq \operatorname {Perm} (\{x_{1},\dots ,x_{n}\})$ aller Permutationen $\sigma$ auf seiner Nullstellenmenge $N_{g}:=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$, die durch folgende Eigenschaft gekennzeichnet ist:

$\sigma \in G(f,K)\;:\Longleftrightarrow \;\forall f(X_{1},\dots ,X_{n})\in K[X_{1},\dots ,X_{n}]:\;{\Big [}f(x_{1},\dots ,x_{n})=0\,\Rightarrow \,f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})=0{\Big ]}\,.$

Setzt man $H(N_{g},K):=\left\{h(X_{1},\dots ,X_{n})\in K[X_{1},\dots ,X_{n}]{\Big \vert }h(x_{1},\dots ,x_{n})\in K\right\}$, so gilt offensichtlich:

$\sigma \in G(f,K)\;\,\Longleftrightarrow \;\forall h\in H(N_{g},K):\;h(x_{1},\dots ,x_{n})=h(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})$

Daraus folgt zunächst $(G(g,K):1)|n!=(S_{n}:1)$.

Wählt man hierbei $g(X)$ galoissch (normal) – also eine Galois-Resolvente $g(X)$ für $L/K$, was nach dem Satz vom primitiven Element möglich ist –, so lässt sich sogar $(G:1)=n=\deg g=[L:K]$ folgern, weil jeder Automorphismus $\sigma \in G(L/K)$ auf $L=K[x]$ bereits durch das Bild $\sigma (x)\in \{x_{1},\dots ,x_{n}\}$ festgelegt ist.

Da die Koeffizienten des Polynoms $g(X)$ die elementarsymmetrischen Polynome seiner Nullstellen sind und symmetrische Polynome nach dem Hauptsatz über elementarsymmetrische Polynome (sogar in eindeutiger Weise) als Polynome in den elementarsymmetrischen Polynomen dargestellt werden können, enthält $H(N_{g},K)$ die symmetrischen Polynome.

Die Galois-Gruppe $G(g,K)$ eines Polynoms hängt vom gewählten Polynom $g(X)\in K[X]$ ab. Doch lässt sich zeigen, dass sie im Falle einer Galois-Erweiterung $L/K$ isomorph zu deren Galois-Gruppe $G(L/K):=\operatorname {Aut} (L/K)$ ist. Daher hängt ihre Isomorphieklasse nicht von der Wahl des Polynoms $g$ ab, und es folgt $\left(G(L/K):1\right)=n=[L:K]$.

Wurde in älterer, „klassischer“ Literatur der Weg über die „symmetrischen Grundfunktionen“ (sprich: elementarsymmetrischen Polynome) und die Galois-Resolvente beschritten, so rückte Bartel Leendert van der Waerden in seinem Lehrbuch „Moderne Algebra“ (Erstauflage 1930/1931 in Springer Grundlehren) die Galois-Gruppe $G(L/K)$ und den Satz vom primitiven Element in den Vordergrund. Er hatte in diesem Lehrbuch Vorlesungen aus den 1920er Jahren von Emmy Noether in Göttingen und von Emil Artin in Hamburg verwendet.

Emil Artin selbst veröffentlichte nach seiner Emigration einen Zugang zur Galois Theory im Jahre 1942. Schon dessen erstes grundlegendes Kapitel „Lineare Algebra“ kündigt den Wandel der Perspektive an. Artin zeigte mit Hilfe des Unabhängigkeitssatz von Dedekind und eines ähnlichen Argumentes – angewandt auf die Spurabbildung $\operatorname {Spur} _{L/K}$ –, dass die Gleichheit $(G(L/K):1)=[L:K]$ besteht, sobald der Grundkörper $K$ Fixkörper eine Gruppe von Automorphismen auf einem Erweiterungskörper $L$ ist. Solche Erweiterungskörper nennt Artin galoissch über dem Grundkörper. Er zeigt im Nachhinein, dass Erweiterungskörper diese Eigenschaft genau dann erfüllen, wenn sie Zerfällungskörper eines über dem Grundkörper $K$ separablen Polynoms sind. Am Ende dieses Buches steht der Beweis der Existenz einer Normalbasis, und auch dieser beruht auf der Determinantentheorie der Linearen Algebra.

Literatur (Ergänzungen)

• Emil Artin: Galois Theory. In: Lectures delivered at the University of Notre Dame, Indiana. 1942, abgerufen am 27. Oktober 2022 (edited and supplemented with a Section on Applications by Dr. Arthur N. Milgram, Notre Dame).  – Eine Übersetzung ins Deutsche erfolgte 1968:
• Emil Artin: Galoissche Theorie. Verlag Harri Deutsch, Berlin (u. a.) 1968.

Zentralisator

Ergänzung im einschlägigen Artikel:

Zentralisator in Ringen

Es sei $R$ ein assoziativer Ring, $s\in R$. Der Zentralisator von $s$ in $R$ ist definiert als die Menge aller mit $s$ vertauschbaren Ringelemente: $Z_{R}(s):=\{r\in R\,|sr=rs\}\,.$ Offenkundig ist stets $\{0,s,s^{2},s^{3},\dots \}\subset Z_{R}(s)$. Enthält der Ring $R$ überdies eine $1$ (und ist somit unitär), so ist $Z_{R}(1)=R=Z_{R}(0)$, also auch $\{0,1,s,s^{2},s^{3},\dots \}\subset Z_{R}(s)$ für jedes $s\in R$.

Der Zentralisator einer Teilmenge $S\subset R$ in $R$ ist definiert als

$Z_{R}(S):=\{r\in R\,|\,\forall s\in S:sr-rs=0\}=\bigcap _{s\in S}Z_{R}(s)\,.$

Insbesondere heißt $Z(R):=Z_{R}(R)$ das Zentrum des Ringes $R$.

Die Kommutatorklammer, definiert durch $[a,b]:=ab-ba$ für $a,b\in R$, ist offensichtlich bilinear über $\mathbb {Z}$, d. h., für $a_{i},b_{i}$ gelten:

• $[a_{1}\pm a_{2},b]=[a_{1},b]\pm [a_{2},b]$
• $[a,b_{1}\pm b_{2}]=[a,b_{1}]\pm [a,b_{2}]$

Ferner gilt für $a,b,s\in R$:

• $[a,s]=0=[b,s]\Longrightarrow [ab,s]=a[b,s]=0$.

Daher ist der Zentralisator $Z_{R}(S)$ stets ein Teilring von $R$.

Zentralisator eines Moduls

Es bezeichne $M:=\sideset {_{A}}{}{M}$ einen Links-Modul (bzw. $M:=\sideset {}{_{A}}{M}$ einen Rechts-Modul) über dem Ring $A$, also eine abelsche Gruppe, auf welcher der Ring $A$ von links (bzw. von rechts) operiert. Betrachte zunächst $M$ als einen $\mathbb {Z}$-Modul (also als abelsche Gruppe): Es bezeichne $\operatorname {End} (M)=\operatorname {End} _{\mathbb {Z} }(M)=:R$ dem Ring der Endomorphismen der abelschen Gruppe $M$. Jede Links- (bzw.Rechts-) Multiplikation mit einem Ringelement $a\in A$ (also $\lambda _{a}\colon M\to M,m\mapsto \lambda _{a}(m):=am$ (bzw. $\rho _{a}\colon M\to M,m\mapsto \rho _{a}(m):=ma$)) ist ein solcher Endomorphismus. Auf diese Weise erhält man einen Homomorphismus $\lambda \colon a\mapsto \lambda _{a}$ (bzw. einen Antihomomorphismus $\rho \colon a\mapsto \rho _{a}$) $A\to R$. Dieser (Anti-)Homomorphismus ist die zum $A$-Modul gehörige, also die reguläre Darstellung des Links- (bzw. Recht-)Moduls $M$. Diese ist (per definitionem) genau dann treu, wenn dieser Homomorphismus (bzw. Anti-Homomorphismus) injektiv ist, so dass sich der Ring $A$ im Ring $R$ als Teilring wiederfindet. (Auf sich selbst als Modul $M=A$ angewendet ist dies genau dann der Fall, wenn $A$ links- (bzw. rechts-)nullteilerfrei ist.) Bezeichnet $S$ das Bild $\lambda (A)=\{\lambda _{a}|a\in R\}$ dieses Homomorphismus' (bzw. das Bild $\rho (A)=\{\rho _{a}|a\in R\}$ dieses Anti-Homomorphismus'), so wird der Zentralisator des Moduls $M$ definiert als $Z_{R}(S)$. Offensichtlich ist dies gerade derjenige Teilring des Endomorphismenrings $R=\operatorname {End} _{\mathbb {Z} }(M)$, welcher alle $A$-(links- bzw. rechts-)linearen Endomorphismen enthält, das heißt, es gilt $Z_{R}(S)=\operatorname {End} _{A}(M)$. Dabei sei definiert $\operatorname {End} _{A}(M):=\operatorname {End} (\sideset {_{A}}{}{M})$ bzw. $\operatorname {End} _{A}(M):=\operatorname {End} (\sideset {}{_{A}}{M})$, je nachdem, ob $M$ ein Links- oder Rechtsmodul ist. Denn tatsächlich gilt:

• $f\in Z_{R}(S)\Leftrightarrow f\in \operatorname {End} _{\mathbb {Z} }(M)$ mit der Eigenschaft: $\forall a\in A:f\circ \lambda _{a}=\lambda _{a}\circ f\Leftrightarrow f\in \operatorname {End} _{\mathbb {Z} }(M)$ mit der Eigenschaft: $\forall a\in A,m\in M:f(am)=af(m)$ bzw.
• $f\in Z_{R}(S)\Leftrightarrow f\in \operatorname {End} _{\mathbb {Z} }(M)$ mit der Eigenschaft: $\forall a\in A:f\circ \rho _{a}=\rho _{a}\circ f\Leftrightarrow f\in \operatorname {End} _{\mathbb {Z} }(M)$ mit der Eigenschaft: $\forall a\in A,m\in M:f(ma)=f(m)a$.

Nathan Jacobson definiert den Zentralisator $\Gamma$ eines Moduls und seine Operation auf dem Modul derart, dass Zentralisator und Endomorphismenring $R$ auf einander gegenüberliegenden (opponierten) Seiten operieren. Dann bilden $Z_{R}(S)$ und der Zentralisator $\Gamma$ zueinander opponierte Ringe (Gegenringe) bilden, das heißt, sie sind zueinander anti-isomorph.

Man beachte, dass zwar

• $a\in A\Rightarrow \lambda _{a}\in \operatorname {End} _{\mathbb {Z} }(M)$ bzw.
• $a\in A\Rightarrow \rho _{a}\in \operatorname {End} _{\mathbb {Z} }(M)$,

nicht aber die stärkere Aussage für die $A$-linearen Endomorphismen:

• $a\in A\not \Rightarrow \lambda _{a}\in \operatorname {End} (\sideset {_{A}}{}{M})$ bzw.
• $a\in A\not \Rightarrow \rho _{a}\in \operatorname {End} (\sideset {}{_{A}}{M})$.

Der Kern des Homomorphismus $\lambda$ (bzw. des Anti-Homomorphismus $\rho$) heißt das Annullatorideal $\operatorname {Ann} (M)$ des Moduls $M$. Es ist also

• $\operatorname {Ann} (M)=\{a\in A\,|\,aM=0\}\triangleleft R$ bzw.
• $\operatorname {Ann} (M)=\{a\in A\,|\,Ma=0\}\triangleleft R$.

Für $a,b\in A$ und für einen Linksmodul $M$ gilt offenbar:

$\lambda _{a},\lambda _{b}\in Z_{R}(S)\Rightarrow ab-ba\in \operatorname {Ann} (M)\;,$

und für einen Rechtsmodul $M$ gilt Entsprechendes mit $\rho$ als regulärer Darstellung. Bei einer treuen Darstellung $\lambda$ bzw. $\rho$, also einer Einbettung $A{\stackrel {\sim }{\to }}S\subset R$ von Ringen, ergibt sich hier die gewohnte Definition des Zentralisators für Ringe.

Für die nächsten Überlegungen sei die Quotienten-Schreibweise aus der Noetherschen Idealtheorie eingeführt: Für $x,t\in M$ und einen Teilring $B\subset A$ sei

• der Linksquotient$\;\;\;\sideset {_{B}}{}{(x:t)}\;\;:=\{b\in B\,|\,bt=x\}$ im Falle eines Linksmoduls $M$ bzw.
• der Rechtsquotient $\;\;\sideset {}{_{B}}{(x:t)}:=\{b\in B\,|\,tb=x\}$ im Falle eines Rechtsmoduls $M$ definiert.

Wenn $B=A$ und die Seitigkeit des Moduls $M$ klar ist, so wird der Index fortgelassen. Das Links- (bzw. Rechtsideal) $(0:t)$ heißt das Ordnungsideal des Elementes $t$ aus dem Linksmodul (bzw. Rechtsmodul) $M$.

Für zwei Teilmengen $N,T\subset M$ und einen Teilring $B\subset A$ sei

• $\;\sideset {_{B}}{}{(N:T)}\;\;:=\{b\in B\,|\,bT\subset N\}=\{b\in B\,|\,\forall t\in T:bt\in N\}$ im Falle eines Linksmoduls $M$ bzw.
• $\;\;\;\sideset {}{_{B}}{(N:T)}:=\{b\in B\,|\,Tb\subset N\}=\{b\in B\,|\,\forall t\in T:tb\in N\}$ im Falle eines Rechtsmoduls $M$ definiert.

Es ist also

• $\;\sideset {_{B}}{}{(N:T)}\;\;=B\cap \bigcap _{t\in T}\bigcup _{x\in N}(x:t)$ für einen Linksmodul bzw.
• $\;\;\;\sideset {}{_{B}}{(N:T)}=B\cap \bigcap _{t\in T}\bigcup _{x\in N}(x:t)$ für einen Rechtsmodul.

Für einen linksseitigen (bzw. rechtsseitigen) $A$-Untermodul $N$ von $M$ ist $\sideset {_{B}}{}{(N:T)}$ ein Linksideal (bzw. $\sideset {}{_{B}}{(N:T)}$ ein Rechtsideal) in $B$.

Ist zusätzlich $T$ ein links- bzw. rechtsseitiger Untermodul von $M$, so handelt es sich bei beiden, sowohl bei $\sideset {_{B}}{}{(N:T)}$ als auch bei $\sideset {}{_{B}}{(N:T)}$, um beidseitige Ideale in $B$. Dies trifft bspw. auf $T=M,N=(0)$ zu: Es ist damit $\operatorname {Ann} (M)=\sideset {_{A}}{}{(0:M)}$ bzw. $\operatorname {Ann} (M)=\sideset {}{_{A}}{(0:M)}$. Allgemeiner ist $\operatorname {Ann} (M/N)=\sideset {_{A}}{}{(N:M)}$ bzw. $\operatorname {Ann} (M/N)=\sideset {}{_{A}}{(N:M)}$ für einen links- bzw. rechtsseitigen Untermodul $N\triangleleft M$. Im Falle $B=A$ wird meistens auf die Angabe des Index verzichtet, wenn nämlich klar ist, von welcher Seite der Ring $A$ operiert, und in diesem Sinne gilt

• $\;\sideset {_{B}}{}{(N:T)}\;\;=B\cap (N:T)$ für Linksmoduln $N\triangleleft M$ bzw.
• $\;\;\;\sideset {}{_{B}}{(N:T)}=B\cap (N:T)$ für Rechtsmoduln $N\triangleleft M$.

Ringe $A$ können als Links- oder Rechts-Moduln über sich selbst betrachtet werden, und zwar (dank der Assoziativität) sogar als Bimodul (oder Doppelmodul) über dem Paar $(A,A)$ von Ringen. Allgemeiner wird nämlich ein Modul $M$, auf dem zwei (oder gar mehrere Ringe) $A_{1},\dots ,A_{n}$ von operieren, nämlich $A_{1},\dots ,A_{r}$ von links und $A_{r+1},\dots ,A_{r+s}$ von rechts ($n=r+s$), ein $(A_{i})_{i}$-Bimodul oder -Doppelmodul ($n=2$) oder -Multimodul ($n\geq 3$) genannt, wenn die zugehörigen Darstellungen $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{r},\rho _{1},\dots ,\rho _{s}$ sämtlich paarweise vertauschbar sind.

Ist $I\triangleleft A$ ein Linksideal (bzw. Rechtsideal) in $A$, so heißt

• $\;\;\;\sideset {}{_{A}}{(I:I)}:=\{b\in A\,|\,Ib\subset I\}=:N_{A}(I)$ bzw.
• $\;\sideset {_{A}}{}{(I:I)}\;\;:=\{b\in A\,|\,bI\subset I\}=:N_{A}(I)$

der Normalisator (engl. normalizer) von $I$ in $A$ und ist der größte Teilring von $A$, in welchem $I$ als ein beidseitiges Ideal liegt: $I\triangleleft N_{A}(I)$.

Bezeichnet also also $B:=N_{A}(I)$ den Normalisator eines Links- bzw. Rechtsideals $I$ und setzt man

• $K:=\sideset {}{_{B}}{(I:A)}=\{k\in B\;|\;Ak\subset I\}$ im Falle eines Linksideals $I\triangleleft A$ bzw.
• $K:=\sideset {_{B}}{}{(I:A)}=\{k\in B\;|\;kA\subset I\}$ im Falle eines Rechtsideals $I\triangleleft A$,

so liegt $I\subset K$. Ferner ist im Ring $A$ neben $I$ auch $K$ ein einseitiges Ideal (nämlich Links- bzw. Rechtsideal). Im Teilring $B$ hingegen sind beide, zunächst $I$ und folglich auch $K$, beidseitige Ideale: $K,I\triangleleft B$.

Der Zentralisator strikt zyklischer Moduln

Moduln heißen strikt zyklisch (über $A$), wenn sie $A$-Vielfaches eines Elements sind, d. h., wenn es ein Element $m\in M$ mit

• $M=Am$ im Falle von Linksmoduln $M$ bzw.
• $M=mA$ im Falle von Rechtsmoduln $M$.

Das Adverb „strikt“ weist darauf hin, dass die zyklische Erzeugung allein über $A$ geschieht, nicht zusätzlich über der $\mathbb {Z}$-Modulstruktur der abelschen Gruppe $M$. Das Erzeugnis besteht also nur aus den $A$-Vielfachen des Erzeugenden $m$. Ob darin auch $\mathbb {Z}$-Vielfache (wie $2m:=m+m$) enthalten sind, hängt von $A$ ab.

Für strikt zyklische Linksmoduln $M=Am$ (bzw. Rechtsmoduln $M=mA$; $m\in M$ ein fest gewähltes strikt erzeugendes Element) betrachte das Ordnungsideal

• $I:=(0:m):=\{a\in A|am=0\}$ bzw.
• $I:=(0:m):=\{a\in A|ma=0\}$

des strikt Erzeugenden $m$. Hinweis: Es handelt sich bei $I$ um eine Links- bzw. um ein Rechtsideal, aber nicht notwendig um ein beidseitiges Ideal. Insbesondere ist es im Allgemeinen verschieden vom beidseitigen Annullatorideal $\operatorname {Ann} (M)$, denn $am=0\not \Rightarrow \forall b\in A:abm=0\Leftrightarrow aM=0$. Also darf keineswegs $N_{A}(I)=A$ angenommen werden. Wohl aber ist $I=\operatorname {Ann} (m)=\ker \left(\lambda ^{(m)}\colon A\to M,a\mapsto am\right)$ (bzw. $\rho ^{(m)}\colon a\mapsto ma$).

Für einen strikt zyklischen Modul ist dieser Homomorphismus surjektiv und induziert eine exakte Sequenz

• $0\longrightarrow \sideset {_{A}}{}{(0:m)}\longrightarrow A\longrightarrow M\longrightarrow 0$ von Linksmoduln bzw.
• $0\longrightarrow \sideset {}{_{A}}{(0:m)}\longrightarrow A\longrightarrow M\longrightarrow 0$ von Rechtsmoduln über $A$.

Dann ist also $A/(0:m)\cong M$.

Der Surjektivität der Abbildung $\lambda ^{(m)}$ wegen muss es ein Element $e\in A$ geben, für welches eine (und damit jede) der folgenden vier äquivalenten Aussagen erfüllt ist:

1. $em=m$
2. $\forall a\in A:(ae-a)m=0$
3. $\forall a\in A:ae-a\in I:=(0:m)$
4. $\forall a\in A:ae\equiv a{\pmod {I:=(0:m)}}$

Dieses Element $e$ ist also modulo dem Linksideal $I$ ein Rechtseinselement. Entsprechendes gilt für den Fall eines Rechtsmoduls und seiner Abbildung $\rho ^{(m)}$.

Definition: Ein Linksideal (bzw. Rechtsideal), für das es ein Rechts- (bzw. Links-)-Einselement gibt, heißt modular. Für ein Linksideal $I$ und ein Element $e\in A$ sind also äquivalent:

1. $I$ ist modulares Linksideal mit Rechtseinselement $e$.
2. $A/I$ ist strikt zyklischer Linksmodul mit dem Erzeugenden $e+I$.
3. Es gibt einen strikt zyklischen Linksmodul $M=Am$ mit Erzeugendem $m=em$ und $I=(0:m)$.

Ist ein Linksideal $I$ modular mit Rechtseinselement $e$, so ist das beidseitige Ideal $\sideset {_{A}}{}{(I:A)}=\{b\in A\;|\;bA\subset I\}$ in $I$ enthalten, denn $bA\subset I\Rightarrow b=be\in I$. Ist $I'\triangleleft A$ ein beidseitiges Ideal in $A$ mit $I'\subset I$, so gilt $\forall b'\in I':b'A\subset I'\subset I$, also $I'\subset \sideset {_{A}}{}{(I:A)}$. Also ist $\sideset {_{A}}{}{(I:A)}$ das größte im modularen Linksideal $I$ befindliche beidseitige Ideal in $A$. Beachte hierbei jedoch, dass ein beidseitiges Ideal $I$, welches als Linksideal modular ist, nicht notwendig auch als Rechtsideal modular ist: Es ist dann zwar $I=\sideset {_{A}}{}{(I:A)}$, doch über $\sideset {}{_{A}}{(I:A)}$ lässt sich keine Aussage treffen, da die Existenz eines Linkseinselements für $I$ ungewiss ist.

Strikt zyklische links- bzw. rechtseitige Untermoduln in Ringen sind die links- bzw. rechtsseitigen Hauptideale.

Konstruktion einer Abbildung:

• Für einen strikt zyklischen Linksmodul $M=Am$ konstruiere nun die Abbildung

$\rho ^{*}\colon b\longmapsto \left[\lambda ^{(m)}(a)=am\longmapsto \lambda ^{(m)}(\rho _{b}^{A}(a))=\lambda ^{(m)}(ab)=abm\right]$

• Für einen strikt zyklischen Rechtssmodul $M=mA$ konstruiere nun die Abbildung

$\lambda ^{*}\colon b\longmapsto \left[\rho ^{(m)}(a)=ma\longmapsto \rho ^{(m)}(\lambda _{b}^{A}(a))=\rho ^{(m)}(ba)=mba\right]$

Definitionsbereich und Wohldefiniertheit gehen aus dem folgenden Satz hervor.

<Diagramm erstellen und an dieser Stelle einfügen>

Mit diesen Bezeichnungen gilt nämlich der Satz:

• Für strikt zyklische Linksmoduln $M=Am$ induziert die Abbildung $\rho ^{*}\colon b\longmapsto [\rho ^{*}(b)\colon am\mapsto abm]$ einen Anti-Homomorphismus $N_{A}(I)\longrightarrow Z_{R}(\lambda (A))$ mit Kern $K=\sideset {}{_{N_{A}(I)}}{(I:A)}$, wobei $I:=(0:m)$ ein modulares Linksideal ist. Also besteht ein Anti-Isomorphismus von Ringen: $N_{A}(I)/K{\stackrel {\text{anti}}{\cong }}Z_{R}(S)$.

• Für strikt zyklische Rechtsmoduln $M=mA$ induziert die Abbildung $\lambda ^{*}\colon b\longmapsto [\lambda ^{*}(b)\colon ma\mapsto mba]$ einen Homomorphismus $N_{A}(I)\longrightarrow Z_{R}(\rho (A))$ mit Kern $K=\sideset {_{N_{A}(I)}}{}{(I:A)}$, wobei $I=(0:m)$ ein modulares Rechtsideal ist. Also besteht ein Isomorphismus von Ringen: $N_{A}(I)/K\cong Z_{R}(S)$.

Zur Erläuterung:

Zur Surjektivität beachte zunächst, dass es für einen strikt zyklischen Linksmodul $M=Am$ zu jedem Endomorphismus $f\in R$ ein (nicht notwendig eindeutig) bestimmtes $b\in A$ mit $f(m)=bm$. Wählt man ein solches, so gilt: $f\in Z_{R}(S)\Leftrightarrow \forall a\in A:f(am)=af(m)=abm=\rho ^{*}(b)(a)$. Durch $\rho ^{*}(b)\colon am\mapsto abm$ ist also bei geeignet gewähltem $b$ jedes $f\in Z_{R}(S)$ und damit die Surjektivität von $\rho ^{*}$ gegeben. Dabei gilt notwendig $a\in I\Rightarrow 0=f(0)=f(am)=abm\Leftrightarrow ab\in I$, also $b\in N_{A}(I)=K$, und des Weiteren $f=0\Leftrightarrow \forall a\in A:0=f(am)=abm\Leftrightarrow \forall a\in A:ab\in I\Leftrightarrow b\in \sideset {}{_{N_{A}(I)}}{(I:A)}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}K$.

Dies zeigt gleichermaßen, dass $K=\ker \left(\rho ^{*}\colon N_{A}(I)\rightarrow Z_{R}(\lambda (A)),b\mapsto [am\mapsto abm]\right)$ und dass obiges $b\in N_{A}(I)$ nur modulo $K$ durch $f\in Z_{R}(S)$ bestimmt ist.

Es ist also für jedes $b\in N_{A}(I)$ im Falle strikt zyklischer Linksmoduln die Abbildung $\rho ^{*}(b)=f_{b}\colon M\to M,am\mapsto abm$ (bzw. im Falle strikt zyklischer Rechtsmoduln $\lambda ^{*}(b)=f_{b}\colon M\to M,ma\mapsto mba$) ein $A$-linearer Endomorphismus auf $M$: $f_{b}\in Z_{R}(S)=\operatorname {End} _{A}(M)$. Dabei ist die Abbildung $b\mapsto f_{b}$ im Falle von Linksmoduln ein Anti-Homomorphismus und im Falle von Rechtsmoduln ein Homomorphismus von Ringen: $bc\mapsto f_{bc}=f_{c}\circ f_{b}$ bzw. $bc\mapsto f_{bc}=f_{b}\circ f_{c}$.

Anmerkung: Wenn Endomorphismen $f$ auf derselben Seite von $M$ operieren, auf welcher auch der Ring $A$ auf $M$ operiert, dann handelt es sich um Anti-Homomorphismen. Werden sie auf der Gegenseite notiert, dann handelt es sich um einen Homomorphismus. Daher lässt man vorzugsweise Zentralisator $\Gamma$ und Endomorphismenring $Z_{R}(S)$ „gegenseitig“ (nicht gleichseitig) operieren, so dass sie isomorphe Ringe sind.

Anwendungen

• Ist $A$ Ring mit Rechtseinselement $e$, so ist $A=\sideset {_{A}}{}{A}=\sideset {_{A}}{}{M}$ als Linksmodul über sich selbst strikt zyklisch: $A=Ae$, also strikt erzeugt durch $m=e$, und es ist $I=(0:e)=\{a\in A\;|\;ae=0\}=(0)$, folglich $N_{A}(I)=A$ und $K=\sideset {}{_{A}}{(I:A)}=\{a\in A\;|\;Aea\subset (0)\}$ ist das Linksideal aller rechtsseitigen Annihilatoren von $e$. Folglich sind Ringe mit Rechtseinselement als Linksmoduln strikt zyklisch, und ihr Zentralisator ist anti-isomorph zu $A/K$.
• Linkseinselemente lassen entsprechende Schlüsse über den Ring als Rechtsmodul über sich selbst zu: Ihr Zentralisator ist isomorph zu $A/K$.
• Ist $A$ ein Ring mit (beidseitigem, scil.) Einselement $e=1$, so ist $Ae=A=eA$. Dann ist $I=\operatorname {Ann} (\sideset {_{A}}{}{M})=\{a\in A\;|\;aA=0\}=(0)$, folglich $N_{A}(I)=A$ und $K=(I:A)=\{a\in A\;|\;aA\subset \operatorname {Ann} (A)\}=(0)$, so dass $\rho ^{*}=\rho ^{(1)}\colon A\to \operatorname {End} (\sideset {_{A}}{}{A})$ anti-isomorph: Der Zentralisator eines Ringes $A$ mit Einselement, betrachtet als Linksmodul $\sideset {_{A}}{}{A}$, ist also anti-isomorph zum Ring selbst, zu deuten als von rechts auf sich selbst operierend:

$\rho ^{*}=\rho ^{(1)}\colon A{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}\operatorname {End} ^{\text{opp}}(\sideset {_{A}}{}{A}),\;b\longmapsto [a\mapsto ab]\;.$

• Ebenso ist der Zentralisator eines Ringes $A$ mit Einselement, betrachtet als Rechtsmodul $\sideset {}{_{A}}{A}$, isomorph zum Ring selbst, zu deuten als von links auf sich selbst operierend:

$\lambda ^{*}=\lambda ^{(1)}\colon A{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}\operatorname {End} (\sideset {}{_{A}}{A}),\;b\longmapsto [a\mapsto ba]\;.$

• Ist $M$ ein irreduzibler (oder einfacher) strikt zyklischer Linksmodul (bzw. Rechtsmodul), so ist $A/(0:m)\cong M$. Also ist $I=(0:m)$ ein modulares maximales Linksideal (bzw. Rechtsideal) in $A$. Ist $B=N_{A}(I)$, so bleiben für das linksseitige (bzw. rechtsseitige) Ideal $K\triangleleft A$ nur die Möglichkeiten $K\in \{A,I\}$, da $I\subset K$ und $I$ maximales Linksideal (bzw. Rechtsideal) in $A$. Dabei führt $K=A$ zu einem Widerspruch, hier für den Fall des Linksmoduls gezeigt: Denn nach Definition von $K=\sideset {}{_{B}}{(I:A)}$ ist $AA=AK\subset I$, also $A\subset \sideset {_{A}}{}{(I:A)}$. Da $I$ jedoch modulares Linksideal ist, ist $\sideset {_{A}}{}{(I:A)}$ das größte beidseitige Ideal in $A$, welches in $I$ liegt. Mit $\sideset {_{A}}{}{(I:A)}\subset I$ folgt $A=I$, im Widerpruch zur Maximalität $I\neq A$. Es gilt somit $K=I$, und für den Zentralisator eines einfachen, strikt zyklischen Links- bzw. Rechtsmoduls folgt $\operatorname {End} _{A}(M)=Z_{R}(S){\stackrel {\text{(anti)}}{\cong }}B/I$. Dieser Ring der linkslinearen bzw. rechtslinearen Endomorphismen eines irreduziblen Moduls $M$ ist nach dem Lemma von Schur ein Divisionsring.

Jacobson-Radikal eines assoziativen Ringes

Es sei $A$ ein assoziativer Ring, nicht notwendig mit Einselement. Zur Abkürzung setze:

• $\operatorname {LMax} _{\text{mod}}(A):=\{I\subset A\;|\;I{\text{ ist modulares, maximales Linksideal in }}A\}$ bzw.
• $\operatorname {RMax} _{\text{mod}}(A):=\{I\subset A\;|\;I{\text{ ist modulares, maximales Rechtsideal in }}A\}$.

Definition: Das Jacobson-Radikal ist definiert als der Durchschnitt aller modularen, maximalen Linksideale.

$\operatorname {Jac} (A):=\bigcap _{I\in \operatorname {LMax} _{\text{mod}}(A)}I$

Satz: Das Jacobson-Radikal ist ein beidseitiges Ideal. Denn es gilt

$\operatorname {Jac} (A)=\bigcap _{I\in \operatorname {LMax} _{\text{mod}}(A)}(I:A)\qquad {\stackrel {\text{def}}{=}}\qquad \bigcap _{I\in \operatorname {LMax} _{\text{mod}}(A)}\;\bigcap _{a\in A}(I:a)\;,$

in Worten: Das Jacobson ist der Durchschnitt aller derjenigen beidseitigen Ideale $(I:A)$, deren jedes als das größte beidseitige Ideale in einem modularen maximalen Linksideal $I$enthalten ist.

Zur Erläuterung: Die Inklusion „$\supset$“ folgt aus $I\supset (I:A)$. – Für die umgekehrte Inklusion „$\subset$“ ist zu zeigen, dass $\operatorname {Jac} (A)\subset (I:A){\stackrel {\text{def}}{=}}\bigcap _{a\in A}(I:a)$ für jedes modulare maximale Linksdeal $I$.

Dies ergibt sich aber aus dem folgenden Lemma über $(I:a)$: Ist $I\in \operatorname {LMax} _{\text{mod}}(A)$ und $a\in A$, so ist entweder $(I:a)=A$ oder $(I:a)\in \operatorname {LMax} _{\text{mod}}(A)$.

Zur Begründung betrachte für ein $I\in \operatorname {LMax} _{\text{mod}}(A)$ und ein $a\in A$ den Linksquotientenmodul $(Aa+I)/I$ und seine reguläre Darstellung $\lambda _{I}^{(a)}\colon A\to Aa\to (Aa+I)/I\,,x\mapsto xa\mapsto xa+I$ mit dem Kern $(I:a)$ gemäß der exakten Sequenz

$0\longrightarrow (I:a)\longrightarrow A{\stackrel {\lambda _{I}^{(a)}}{\longrightarrow }}(Aa+I)/I\longrightarrow 0\;.$

Es ist also $A/(I:a){\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}(Aa+I)/I\,,$ und dabei sind genau zwei Fälle möglich:

1. Fall: Eines der folgenden gleichbedeutenden Kriterien ist erfüllt:
   1. $a\in I$
   2. $Aa\subset I$
   3. $A=(I:a)$
   4. $Aa+I=I$
   5. $\lambda _{I}^{(a)}=0$
2. Fall: $a\notin I$. Da $I$ maximal, erzwingt dies $Aa+I=A$, woraus folgt, dass mit $I$ auch $(I:a)\in \operatorname {LMax} _{\text{mod}}(A)$ liegt.

Tatsächlich ist das Jacobson-Radikal auch der Durchschnitt aller modularen, maximalen Rechtsideale:

$\operatorname {Jac} (A)=\bigcap _{I\in \operatorname {RMax} _{\text{mod}}(A)}I\;$

Zum Nachweis wird das Sternprodukt „$*$“ betrachtet: $a*b:=a+b-ab$. Ist $1\in A$, so gilt $a*b=c\Leftrightarrow (1-a)(1-b)=1-c$. Dieses Produkt ist assoziativ ($a*b*c=a+b+c-(ab+ac+bc)+abc$), nicht distributiv, und die Null agiert als neutrales Element: $0*x=x=x*0$.

Dichtheitssatz von Nathan Jacobson

Vg. Nathan Jacobson, Structure of Rings Chapter I, §§ 2 f.

Existiert bereits: Dichtheitssatz von Jacobson.

Skizze: Voraussetzung (noch mal prüfen): Es sei $R$ ein Ring mit Eins und $M$ ein halbeinfacher Rechts-Modul über $R$. Es bezeichne $S:=\operatorname {End} _{R}(M)$ den Ring der über $R$ rechts-linearen Endomorphismen in $M$. Usw. (Einbettung von R in S). Dann liegt $R$ dicht in $S$ im Sinne der Topologie mit folgenden Umgebungsfiltern für ein $f\in S$:

Zu jeder endlichen Punktmenge $E:=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}\subset M$ bilde $U_{E}(f):=\{g\in S\,|\,\forall x\in E:g(x)=f(x)\}$.

Mit anderen Worten: Zu jedem $f\in S$ und zu jeder endlichen Punktmenge $E\subset M$ lässt sich ein $r\in R$ finden, so dass für jeden Punkt $x\in E$ gilt: $f(x)=x\cdot r$.

Modulbegriffe

endlich erzeugbar -- endlich koerzeugbar (Jantzen, Algebra) Lemma von Nakayama (Jantzen, Algebra) direkter Durchschnitt (gem. Noether in vdWaerden)

Zentralisatorsatz

Folgt aus Skolem-Noether. Liefert Kriterium für Zerfällungskörper.

Azumaya-Algebra über einem Körper

Frage: sollte es einen Artikel namens Azumuya-Algebra geben oder drei Artikel Azumaya-Algebren über Körpern, Azumaya-Algebren über Ringen und Azumaya-Algebren über Schemata und womöglich einen übergreifende Artikel Azumaya-Algebra mit Links zu diesen dreien?

Bezug zu Artikelabschnitt Quaternion#Die Quaternionen als Algebra herstellen?

Definition von Azumaya-Algebren

REDIRECT: Zentraleinfache Algebra, zentral-einfache Algebra.

Es bezeichne $K$ einen kommutativen Körper und $A$ eine unitäre Algebra über $K$.

Vorüberlegungen:

• Da $K$ kommutativ ist, ist es gleichgültig, ob die Multiplikation mit Körperelementen $x\in K$ von rechts $a\cdot x$ oder von links $x\cdot a$ notiert wird.
• Dank der Multiplikation mit der $1\in A$ werde der Körper $K$ zugleich als Teilring von $A$ aufgefasst: $K\subset A,\;x\mapsto 1_{A}\cdot x$.
• Dann liegt nach Definition einer Algebra der Grundkörper $K$ auf jeden Fall im Zentrum der Algebra: $K\subset Z(A):=\{z\in A\mid \forall a\in a\colon z\,a=a\,z\}$ , denn für $x\in K$ ist stets $x\,a=1_{A}\,x\,a=1_{A}\,a\,x=a\,x$ .
• Die Algebra $A$ lässt sich als ein Modul über sich selbst auffassen, und zwar als Rechtsmodul oder aber als Linksmodul. Ein Rechtsideal ${\mathfrak {r}}$ in $A$ ist ein Untermodul des Rechtsmoduls, ein Linksideal ${\mathfrak {l}}$ ein Untermodul des Linksmoduls. Es gilt dann bekanntlich ${\mathfrak {r}}\,A\subset {\mathfrak {r}}$ bzw. $A\,{\mathfrak {l}}\subset {\mathfrak {l}}$.
• Aufgrund von $K\subset A$ sind Rechtsideale und Linksideale insbesondere Vektor(unter)räume über $K$ in der Algebra.
• Hat die Algebra also endliche Dimension, so wird jede Inklusions- oder Teilerkette von Rechtsidealen (bzw. Linksidealen) notwendig stationär: Im Falle absteigender Ketten ${\mathfrak {l_{0}}}\supset {\mathfrak {l_{1}}}\supset {\mathfrak {l_{2}}}\supset \dots$ spricht man von (rechts- (bzw. linksseitig)) artinschen Ringen $A$ (Ringe mit Minimalbedingung), im Falle aufsteigender Ketten ${\mathfrak {l_{0}}}\subset {\mathfrak {l_{1}}}\subset {\mathfrak {l_{2}}}\subset \dots$ von (rechts- (bzw. linksseitig)) noetherschen Ringen $A$ (Ringe mit Maximalbedingung). Man definiert:
  • Ein minimales Rechtsideal ist ein Rechtsideal ${\mathfrak {r}}\neq (0)$, welches kein weiteres nichtverschwindendes Rechtsideal enthält, sondern nur noch das verschwindende (das heißt das triviale Null-Ideal). Die gesamte Algebra $A$ ist also nur dann ein minimales Rechtsideal, wenn sie lediglich zwei Rechtsideale besitzt: das Null-Ideal $(0)$ und sich selbst.
  • Entsprechend werden minimale Linksideale definiert.
• Ein zweiseitiges oder beidseitiges Ideal ${\mathfrak {a}}$ ist zugleich Links- und Rechtsideal: $A{\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {a}}\supset {\mathfrak {a}}A$.

Definition: Die Algebra $A$ heißt eine Azumaya-Algebra oder zentraleinfache Algebra, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt:

• $A$ hat (als Vektorraum) über $K$ endliche Dimension: $\dim _{K}A>\infty$.
• Als Modul über sich selbst betrachtet ist sie einfach, d. h., sie ist ein einfacher Ring, m. a. W., sie besitzt nur die beiden trivialen beidseitigen Ideale $A$ und $\{0\}$; vgl. die Definition für einfacher (und halbeinfacher) Ringe .
• Die Algebra $A$ ist zentral (über $K$), das heißt: Der Körper $K$ ist genau das Zentrum der Algebra: $Z(A)=K$.

Azumaya-Algebren sind also per definitionem zentrale einfache Algebren endlicher Dimension (über ihrem Zentrum (scil.)).

Der Name ehrt den japanischen Mathematiker Azumaya Gorō.

Äquivalente Charakterisierungen

Bezeichnet $A^{\mathrm {op} }$ die Gegenalgebra oder oppositionelle Algebra einer endlichdimensionalen Algebra $A$ und $\operatorname {Mat} (n,R):=\operatorname {Mat} (n\times n,R)$ den Ring quadratischer Matrizen über einem Ring $R$, so sind die folgenden Aussagen äquivalent:

• $A$ ist Azumaya-Algebra über dem Körper $K$.
• Der folgende $K$-Algebra-Homomorphismus ist ein Isomorphismus:

${\begin{array}{ccc}A\otimes _{K}A^{\mathrm {op} }&\longrightarrow &\operatorname {End} _{K}(A),\\a_{1}\otimes a_{2}&\longmapsto &[\alpha \mapsto a_{1}\cdot \alpha \cdot a_{2}]\end{array}}$

Dabei bezeichnet $\operatorname {End} _{K}$ den Ring aller $K$-linearen Endomorphismen auf $A$, betrachtet als Modul über $K$. Als Ringe sind also (gemäß linearer Algebra) isomorph: $\operatorname {End} _{K}(A)\cong \operatorname {Mat} (n,K)$, wobei $n:=\dim _{K}A$.

• Es gibt eine über $K$ zentrale Divisionsalgebra $D$ und ein $m\in \mathbb {N}$, so dass $A\cong \operatorname {Mat} (m,D)$. In Worten: Die Algebra $A$ ist einem vollen Matrizenring über einem Schiefkörper $D\supset K$ isomorph.
• Es gibt eine Körpererweiterung $L/K$ und für die Skalarerweiterung $A\otimes _{K}L$ einen Isomorphismus von $L$-Algebren $A\otimes _{K}L{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}\operatorname {Mat} (n,L)$ für ein $n\in \mathbb {N}$.

Anmerkung zum dritten Spiegelpunkt: Dabei ergibt sich die zur Azumaya-Algebra $A$ gehörige Divisionsalgebra $D$ als der Endomorphismenring $D=\operatorname {End} _{A}({\mathfrak {r}})$ der $A$-Rechts-Modul-Endomorphismen eines minimalen Rechtsideals ${\mathfrak {r}}$ von $A$ (betrachtet als $A$-Rechtsmodul). Dies Auswahl dieses minimalen Rechtsideal spielt keine Rolle, weil sie alle zueinander isomorph sind. – Dass die Algebra $A$ zentral über $K$ ist, wird allein für die Aussage benötigt, dass auch die zugehörige Divisionalgebra $D$ zentral über $K$ ist. Wird für $A$ und $D$ auf die Eigenschaft der Zentralität verzichtet, bleibt der Satz richtig: Es ist einer der Struktursätze von Wedderburn.

Grundlegende Sätze und Eigenschaften

• Satz von Issai Schur: Endomorphismenring eines minimalen Rechtsideals (Linksideals) ist Divisionsalgebra. (Benennung des Satzes von Draxl und Jacobson überliefert)
• Satz von Artin-Wedderburn (obiger dritter Spiegelpunkt hierher)
• der Satz von Skolem-Noether

u.a.

Ähnlichkeitsklassen von Azumaya-Algebren

Die Isomorphieklasse $[\![A]\!]$ einer Azumaya-Algebra $A$ über dem Körper $K$ ist also bestimmt durch die Isomorphieklasse $[\![D]\!]$ der zugehörigen Divisionsalgebra $D$ und durch die natürliche Zahl $r>0$, so dass $A{\stackrel {\sim }{\to }}\operatorname {Mat} (r,D)$. Sieht man hierbei von der natürlichen Zahl $r$ ab, so gelangt man zu den Ähnlichkeitsklassen, die eine gröbere Äquivalenzrelation induzieren:

Definition: Zwei Azumaya-Algebren $A,B$ über dem Körper $K$ heißen ähnlich, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

1. Die jeweils zugehörigen Divisionsalgebren $D_{A}$ und $D_{B}$ sind als $K$-Algebren isomorph.
2. Für zwei geeignet gewählte natürlich Zahlen $m,n$ besteht ein $K$-Algebra-Isomorphismus

$A\otimes \operatorname {Mat} (m,K){\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}B\otimes \operatorname {Mat} (n,K)\;.$

Denn es gilt $A\otimes \operatorname {Mat} (m,K){\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}\operatorname {Mat} (m,A){\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}\operatorname {Mat} (rm,D)$, wenn $A\cong \operatorname {Mat} (r,D)$, und entsprechend für $B,n,s$ mit $rm=sn$.

In der Ähnlichkeitsklasse $[A]$ einer Azumaya-Algebra liegt genau eine Divisionsalgebra: Diese ist gerade die zu $A$ gehörige Divisionsalgebra $D_{A}$ und kennzeichnet folglich die Ähnlichkeitsklasse.

Als ausgezeichnete Ähnlichkeitsklasse sticht dabei natürlich die besonders einfache Klasse des Körpers $K$ selbst hervor.

Beispiele

Quaternionen-Algebra

Die Algebra $\mathbb {H}$ der Hamiltonschen Quaternionen ist eine Azumaya-Algebra über $\mathbb {R}$.

Verallgemeinerte Quaternionen-Algebra

Skizze: Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $\operatorname {char} K\neq 2$ und $a,b\in K^{\times },a\neq b$ zwei Körperlemente, so dass $K[{\sqrt {-a}}]/K$ und eine quadratische und folglich galoissche Körpererweiterungen von $K$ ist und $b\in K^{\times }$. Betrachtet man den über $K$ vierdimensionalen Vektorraum $A:=K\oplus K\,j\oplus K\,k\oplus K\,l$ und setzt $j^{2}:=-a,\,\;k^{2}:=-b$ sowie $j\,k:=l=:-k\,j$, so ist eine Algebra über $K$ definiert. Für $x=x_{1}+j\,x_{2}+k\,x_{3}+l\,x_{4}$ setzt man ${\overline {x}}:=x_{1}-j\,x_{2}-k\,x_{3}-l\,x_{4}$, so dass $x{\overline {x}}={\overline {x}}x=x_{1}^{2}+a\,x_{2}^{2}+b\,x_{3}^{2}+ab\,x_{4}^{2}=:Q(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=\Vert x\Vert ^{2}$ eine quadratische quaternäre Form mit Werten in $K$ liefert. Diese stellt genau dann die Null dar, wenn es nicht-verschwindende Quaternionen mit verschwindender Norm gibt. Wenn dies nicht der Fall ist, ist die verallgemeinerte Quaternionen-Algebra also eine Divisionsalgebra.

• Ist beispielsweise der Körper $K$ formal reell und sind $a=1=b$, so erhält man also eine Divisionsalgebra.
  • Im Falle $K=\mathbb {R}$ handelt es sich um die reelle Algebra $\mathbb {H}$ der Hamiltonschen Quaternionen.

Zyklische Algebren

Die Verallgemeinerte Quaternionen-Algebra ist ein Beispiel für eine zyklische Algebra nach Noether/Hasse. Dabei sei $G$ eine zyklische Gruppe von Automorphismen auf dem Körper $L$ und $b\in L^{G}:=K$ ein Element des Fixkörpers ungleich Null. Die zyklische Algebra $(L,\rho ,b)$ gemäß Emmy Noether und Helmut Hasse ist wie folgt definiert: ...

Die verallgemeinerte Quaternionenalgebra ist gerade $(K[{\sqrt {-a}}],\rho ,b)$, wobei $\rho$ die Konjugation ${\sqrt {-a}}\mapsto -{\sqrt {-a}}$ bezeichnet, welche die Galoisgruppe der Ordnung zwei erzeugt.

Zusammenhang mit dem Normrestsymbol.

Das verschränkte Produkt nach Emmy Noether

Zyklische Algebren sind Beispiele für Azumaya-Algebren, die das verschränkte Produkt eines Körpers $L$ mit einer Gruppe $G$ von Automorphismen auf $K$ nach Emmy Noether sind. Das verschränkte Produkt $A:=(L,G,f)$ nach Emmy Noether einer Galoisschen Körpererweiterung $L/K$ mit der zugehörigen Galois-Gruppe $G=G(L/K)$ (von Automorphismen auf $L$ mit Fixkörper $K$) ist eine Azumaya-Algebra. Sie wird in folgender Weise bis auf Isomorphie definiert: Als Vektorraum über $L$ wird sie frei erzeugt von Basiselementen $u_{\sigma },\,\sigma \in G$:

$A=(L,G,f)=\bigoplus _{\sigma \in G}Lu_{\sigma }$

Die – nicht-kommutative – Multiplikation der Algebra wird folgendermaßen definiert: Für $\lambda \in L$ und jedes $\sigma \in G$: $\lambda u_{\sigma }=u_{\sigma }\lambda ^{\sigma }$, wobei häufig die Notationsweise $\lambda ^{\sigma }:=\sigma (\lambda )\in L$ verwendet wird. Die Multiplikation der Basiselemente untereinander folgt der Festsetzung $u_{\sigma }u_{\tau }=u_{\sigma \tau }f(\sigma ,\tau )\,.$ Dabei ist $f\colon G\times G\to L^{\times }$ eine Abbildung, die so beschaffen sein muss, dass die Assoziativität der Multiplikation $(u_{\rho }u_{\sigma })u_{\tau }=u_{\rho }(u_{\sigma }u_{\tau })$ gewährleistet ist, und dies bedeutet für $f$ die folgende so genannte 2-Kozykel-Bedingung für beliebige $\rho ,\sigma ,\tau \in G$: $f(\rho \sigma ,\tau )\left(f(\rho ,\sigma )\right)^{\tau }=\left(f(\rho ,\sigma \tau )\right)^{\sigma \tau }f(\sigma ,\tau )$ Die Menge der Faktoren $f(\sigma ,\tau )\in L^{\times }$ – oder die Abbildung $f$ selbst – heißt ein Noethersches Faktorensystem oder ein 2-Kozyklus.

Ohne Einschränkung lässt sich erreichen, dass das zum Einheitselement $\epsilon \in G$ gehörige Basiselement $u_{\epsilon }$ die Rolle des Einselements $u_{\epsilon }=1$ der Algebra übernimmt: Dazu skaliere die Basiselemente mit Faktoren $h_{\sigma }=h(\sigma )\in L^{\times }$ nötigenfalls zu neuen Basiselementen $v_{\sigma }=h_{\sigma }u_{\sigma }$. Das zu dieser Basis gehörige Faktorensystem $g$ erfüllt die Beziehung $g(\sigma ,\tau )=$ und heißt ein zu $f$ assoziiertes Faktorensystem. Insbesondere für $\tau =\epsilon$ ist also . ... normierter Kozyklus ...

Es war – basierend auf Arbeiten von Richard Brauer und Leonard Eugene Dickson – Emmy Noether, die erkannte, dass jede Azumaya-Algebra einem verschränkten Produkt ähnlich ist: Siehe #Ähnlichkeitsklassen_und_verschränkte_Produkte.

Gruppenalgebra

$L[G]$ mit $G=G(L/K)$ ist gerade $(L,G,1)$, wobei $1$ den konstanten trivialen Kozyklus bezeichne.

Ähnlichkeitsklassen und verschränkte Produkte

Satz (Emmy Noether): Verschränkte Produkte sind Azumaya-Algebren. Jede Azumaya-Algebra ist einem verschränkten Produkt (L, G, f) ähnlich. Die Isomorphieklasse einer Azumaya-Algebra bestimmt den 2-Kozyklus bis auf einen 2-Korand. Also sind Brauergruppe und die Kohomologiegruppe $H^{2}(G,L^{\times })$ (zunächst nur als Mengen) isomorph.

Grundlegende Sätze zum Tensorprodukt von Algebren

• Tensoreigenschaften
• Z(A) otimes Z(B) = Z(A otimes B) (unter geeigneten Vorauss.)
• Zentralisatorsatz

Die Brauer-Gruppe der Ähnlichkeitsklassen

Durch das Tensorprodukt wird die Menge der Ähnlichkeitsklassen eine Gruppe mit dem ausgezeichneten Element als Einselement.

• Da (nach dem Satz von Wedderburn) jeder endliche Schiefkörper kommutativ ist, ist die Brauergruppe endlicher Körper trivial.
• Die Brauergruppe algebraisch abgeschlossener Körper ist trivial.
• Satz von Brauer-Hasse-Noether

Weiterführende Themen

Azumaya-Algebren über kommutativen Ringen

Insbesondere über lokalen Ringen.

Anmerkung: Körper sind lokale Ringe mit dem maximalen Ideal $(0)$.

Literatur siehe Auslander-Goldman, DeMeyer-Ingraham, Knus-Ojanguren und Orzech-Small.

Azumaya-Algebren über Schemata

Literatur siehe Grothendieck und Milne.

Verallgemeinerung

vgl. englischer Wikipedia-Artikel

Ergänzung zur Normalbasis einer endlichen Galoiserweiterung

in den Artikel verschoben.

Ergänzung zum Tensorprodukt

Tensorprodukt von Algebren

Beispiel aus der Galoistheorie (zu prüfen, ob sinnvoll)

Ist $G=\bigoplus _{1\leq i\leq n}U_{i}$ direkte Summe normaler Untergruppen $U_{i}$ von $G=G(L/K)$, so wird $L=L_{1}\cdots L_{n}$ das „direkte Kompositum“ der Fixkörper $L_{j}=L^{V_{j}}$ sein, die ihrerseits galoissch über Grundkörper $K$ sind, wenn $V_{j}:=\sum _{j\neq i}U_{i}$, das heißt: Ihr Kompositum sollte der gesamte galoissche Erweiterungskörper sein und die Durchschnitte $L_{i}\cap \prod _{j\neq i}L_{j}=K$ für jedes $i$. (Dazu siehe Aufgabensammlung Hasse/Klobe, 2.IV.§17, Aufgaben 11 u 12, Seite 148).

Idee: Ein direktes Kompositum über $K$ und das Tensorprodukt über $K$ dürften als $K$-Algebren isomorph sein, oder? M.a.W.: Dabei sollte $L$ zugleich als $K$-Algebra isomorph zum Tensorprodukt der $K$-Algebren $L_{i}$ sein: $L\simeq \bigotimes _{i}L_{i}$. Aber nicht als Körper!

Schlussfolgerung: Abelsche Erweiterungen lassen sich auf zyklische zurückführen (a.a.O.: Aufgabe 12)

Topologisches Tensorprodukt

Tensorprodukt lokalkonvexer Räume (zu verifizieren)

Sind $E,F$ zwei lokalkonvexe topologische Vektorräume, so kann man $E\otimes F$ mit einer Topologie ausstatten, sodass die universelle Eigenschaft des Tensorproduktes eine Bijektion zwischen stetigen bilinearen Abbildungen von $E\times F$ in einen lokalkonvexen Raum $G$ und stetigen linearen Abbildungen $E\otimes F\to G$ induziert.

Die Vervollständigung von $E\otimes F$ erfüllt die genannte universelle Eigenschaft für vollständige lokalkonvexe Räume $G$ und wird mit $E{\hat {\otimes }}F$ bezeichnet.

Sind $E,F$ normierte Räume, so ist $E{\hat {\otimes }}F$ die Vervollständigung von $E\otimes F$ bezüglich der Norm

$\|v\|=\inf \left\{\left.\sum \|e_{i}\|\cdot \|f_{i}\|\right|\,v=\sum e_{i}\otimes f_{i}\right\}\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \ v\in E\otimes F.$

Beispiele

• Ist $E$ ein Banachraum und $\mu$ ein positives Borelmaß auf einem lokalkompakten Raum, so gilt

$L^{1}(\mu ){\hat {\otimes }}E\cong L^{1}(\mu ,E).$

Literatur

• Leonard Eugene Dickson: Linear Algebras, online verfügbar.
• Ina Kersten: Brauergruppen. Universitätsdrucke Göttingen, Göttingen 2007, PDF (abgerufen am 6. Juni 2021).
• Ina Kersten: Brauergruppen von Körpern. Verlag Vieweg, Braunschweig, Wiesbaden, 1990, ISBN 3-528-06380-7.
• Emil Artin: Galoissche Theorie. Verlag Harri Deutsch, Berlin (u. a.) 1968.
• Emil Artin: Galois Theory. In: Lectures delivered at the University of Notre Dame, Indiana. 1942, abgerufen am 27. Oktober 2022 (edited and supplemented with a Section on Applications by Dr. Arthur N. Milgram, Notre Dame). 
• Bartel Leendert van der Waerden: Algebra II. Unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether, 5. Auflage (der Modernen Algebra) Springer-Verlag, 1967, Heidelberger Taschenbücher Band 23, ISBN 3-540-03869-8.
• Nathan Jacobson: The Structure of Rings, Herausgeber: American Mathematical Society, 1956 (2nd edition: 1. Januar 1964?), ASIN: B007QBUO2A. Colloquium Publications Volume 37. ISBN 0-8218-1037-5.
• William Rowen
• Israel N. Herstein: Noncommutative rings, The Carus Mathematical Monographs, No. 15 Published by The Mathematical Association of America; distributed by John Wiley & Sons, Inc., New York 1968 xi+199 pp. Siehe ZBL ZBmath.org oder MathSciNet.ams.org.
• Richard Brauer
• Max Deuring: Algebren, 1. Auflage, 1935, 2. Auflage 1968, beide Springer, Berlin.
• Max Deuring: Algebren, Ergebnisse der Mathematik, vol. 4, no. 1, Berlin 1935
• A. A. Albert: Structure of Algebras, New York, 1939.
• Emmy Noether
• Emil Artin:
  • Über einen Satz von Herrn J. H. Maclagan Wedderburn, Hamb. Abh. 5 (1928), Seiten 245-250.
  • Zur Theorie der hyperkomplexen Zahlen, Hamb. Abh. 5 (1928), Seiten 251-260.
  • Zur Arithmetik der hyperkomplexen Zahlen, Hamb. Abh. 5 (1928), Seiten 261-289.
  • with George Whaples: The Theory of Simple Rings, Am. J. Math, 65 (1943), Seiten 87-107.
  • Kennzeichnung des Körpers der reellen algebraischen Zahlen, Hamb. Abh. 3 (1924), Seiten 319-323
  • mit Otto Schreier: Algebraische Konstruktion reeller Körper, Hamb. Abh. 5 (1926), Seiten 85-99.
  • mit Otto Schreier: Eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper, Hamb. Abh. 5 (1927), Seiten 225-231.
  • Über die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate, Hamb. Abh. 5 (1927), Seiten 100-115.
  • The Influence of J. H. M. Wedderburn on the Development of Modern Algebra, Bull. Am. Math. Soc. 56 (1950), Seiten 65-72.
  • mit C. Nesbitt und R. Thrall: Rings with Minimum Condition, University of Michigan, 1944.
• P. K. Draxl: Skew Fields, Cambridge University Press, 1983. ISSN 0076-0552. ISBN 0-521-27274-2.
• Helmut Hasse:
  • Höhere Algebra I (lineare Gleichungen), sechste neubearbeitete Auflage, Walter de Gruyter, Berlin, 1967, Sammlung Goeschen Band 931. (Erstauflage 1926)
  • Höhere Algebra II (Gleichungen höheren Grades), fünfte durchgesehene Auflage, Walter de Gruyter, Berlin, 1969, Sammlung Goeschen Band 932. (dritte Auflage 1951. Erstauflage 1926/27)
• Helmut Hasse und Walter Klobe: Aufgabensammlung zur höheren Algebra, dritte verbesserte Auflage, Berlin 1961, Sammlung Goeschen Band 1082. (dritte Auflage 1963. Erstauflage 1926/27)
• Helmut Hasse: Zahlentheorie. Akademie-Verlag, Berlin 1949, Kapitel II, § 13 Die Typen archimedisch bewerteter vollständiger Körper, S. 183 f. 
• Peirce: Associative Algebras.
• Serge Lang: Algebra. Second Edition, Addison-Wesley, 1984.
• Arnold Scholz und Bruno Schoeneberg: Einführung in die Zahlentheorie. Berlin, New York, 1973, Walter de Gruyter, Sammlung Göschen Band 5131. ISBN 3-11-004423-4.
• Iwan Matwejewitsch Winogradow: Elemente der Zahlentheorie. München, 1956, Verlag Oldenbourg und VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin.
• Gerhard Frey: Elementare Zahlentheorie, Vieweg.
• Siegfried Bosch: Algebra. 7. Auflage. Springer-Verlag, 2009, ISBN 3-540-40388-4, doi:10.1007/978-3-540-92812-6.
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• Alexander M. Ostrowski: Über einige Lösungen der Funktionalgleichung φ(x)·φ(y) = φ(xy). In: Acta Mathematica 41 (1918). April 1916, S. 271–284, abgerufen am 6. Januar 2023.  Siehe auch:
  • Project Euklid oder
  • Wikisource
• Alexander M. Ostrowski: Über einige Fragen der allgemeinen Körpertheorie. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik, (143). 1913, S. 255–284, abgerufen am 8. Februar 2023. 
• Alexander M. Ostrowski: Über sogenannte perfekte Körper. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik (147). 1917, S. 191–204, abgerufen am 8. März 2023. 
• Alexander M. Ostrowski: Untersuchungen zur arithmetischen Theorie der Körper. Die Theorie der Teilbarkeit in allgemeinen Körpern. Teil I. In: Mathematische Zeitschrift (39). 1938, S. 269–320, abgerufen am 3. Februar 2023 („Eingegangen am 2. August 1932“). 
• Alexander M. Ostrowski: Untersuchungen zur arithmetischen Theorie der Körper. Die Theorie der Teilbarkeit in allgemeinen Körpern. Teil II und III. In: Mathematische Zeitschrift (39). 1938, S. 321–404, abgerufen am 3. Februar 2023 („Eingegangen am 2. August 1932“). 
• J. Kürschák: Über Limesbildung und die allgemeine Körperheorie. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik (142). 1913, S. 211–253, abgerufen am 8. März 2023. 
• David A. Cox: Galois Theory (= Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts. Band 106). 2. Auflage. John Wiley & Sons, 2012, ISBN 978-1-118-21842-6, S. 218 f. (608 S.). 
• Emil Artin: Algebraic Numbers and Algebraic Functions. Gordon and Breach, New York 1968, ISBN 978-0-8218-4075-7. 
• Helmut Koch: Einführung in die klassische Mathematik I. Springer-Verlag, ISBN 3-540-16665-3, Kapitel 7.6 Die Galois-Gruppe eines Polynoms. 

• Alexander M. Ostrowski: Über einige Lösungen der Funktionalgleichung φ(x).φ(y)=φ(xy). In: Acta Mathematica 41 (1918). April 1916, S. 271–284, abgerufen am 6. Januar 2023. 
• J.W.S. Cassels: Local Fields (= London Mathematica* l Society Student Texts. 3 (Zbl. 0595.12006)). Cambridge University Press, 1986, ISBN 0-521-31525-5, S. 33. 
• Beweis von Tornheim nach Serge Lang:
  • Serge Lang: Real Analysis. Addison Wesley, 4 Banach Spaces, § 2 Banach Algebras, S. 72–74. 
  • Serge Lang: Algebra. Addison Wesley, XII Absolute Values, § 2 Completions, S. 410–412. 
• William Stein: Examples of Valuations. (PDF, HTML, PS, DVI) Mai 2004, abgerufen am 29. Januar 2023 (englisch, aus einem Skript “A Brief Introduction To Classical And Adelic Algebraic Number Theory” von William Stein “(based heavily on works of Swinnerton-Dyer and Cassels)”]). 
• William Stein: A Brief Introduction to Classical and Adelic Algebraic Number Theory. “(based heavily on works of Swinnerton-Dyer and Cassels)”. Mai 2004, abgerufen am 28. Januar 2023 (englisch). 
• John W. S. Cassels, Albrecht Fröhlich u.a.: Algebraic Number Theory. Proceedings of an Instructional Conference organized by the London Mathematical Society (a NATO Advanced Study Institute) with the Support of the International Mathematical Union. Hrsg.: John W. S. Cassels, Albrecht Fröhlich. Academic Press, New York NY 1967, ISBN 0-12-163251-2, siehe Chapter II Global Fields (Cassels), section 3 Examples of Valuations, Theorem (Gelfand-Tornheim) (ohne Beweis), Seite 45. 
• Lynn H. Loomis: An Introduction to Abstract Harmonic Analysis. D. van Nostrand Company, Toronto, New York, London 1953, Chapter IV Banach Algebras, § 22 Banach algebras; elementary theory, Theorem 22F,, S. 68 f. (190 S.). 
• Friedrich Hirzebruch, Winfried Scharlau: Einführung in die Funktionalanalysis. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim, Wien, Zürich 1971, ISBN 3-411-00296-4, VIII Kommutative Banach-Algebren § 28 Kommutative Banach-Algebren, Satz 28.1 „(Gelfand-Mazur)“, S. 123. , siehe Hirzebruch Collection
• Jean Dieudonné: Grundzüge der modernen Analysis. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975, 15 Normierte Algebren und Spektraltheorie, Abschnitt 15.2 Das Spektrum eines Elements einer normierten Algebra, 15.2.4 und 15.2.5 (Satz von Gelfand-Mazur) (Originaltitel: Elements d'Analyse, Tome II, Chapitre XII á XV, 2e edition (Gauthier-Villars, Paris/Bruxelles/Montreal 1974) Vorwort der französischen Erstausgabe von 1967.). 
• Lew Semjonowitsch Pontrjagin: Topologische Gruppen. Teil I. B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig 1957, Kapitel IV. Topologische Körper, § 26 Klassische stetige Körper und § 27 Die Struktur der stetigen Körper, S. 172–204 (263 S., Deutsche Übersetzung von Viktor Ziegler (Leipzig). Originaltitel auf Russisch bereits 1954 in Moskau erschienen). 
• Lew Semjonowitsch Pontrjagin: Über stetige algebraische Körper (= Ann. of Math., II. Ser. Band 33). 1932, S. 163–174. 
• Hans-Joachim Kowalsky: Zur topologischen Kennzeichnung von Körpern (= Math. Nachr. Band 9). 1953, S. 261–320. 

Schmierzettel

Es sei $\dim V=l,\dim W=m$ und $A=(a_{j}^{i})_{1\leq j\leq l}^{1\leq i\leq m}=:\sideset {_{w}}{_{v}}{\underline {\quad f\quad }}\in \operatorname {Mat} (m\times l,K)$ darstellende Matrix von $f\in \operatorname {Hom} (V,W)$ bezüglich Basen ${\boldsymbol {v}}=(v_{1},\dots ,v_{l})$ und ${\boldsymbol {w}}=(w_{1},\dots ,w_{m})$.

$f({\boldsymbol {v}}):=\left(f(v_{1}),\dots ,f(v_{i}),\dots ,f(v_{l})\right)={\boldsymbol {w}}\cdot (a_{j}^{i})=(w_{1},\dots ,w_{m})\cdot \sideset {_{w}}{_{v}}{\underline {\quad f\quad }}=\left(\underbrace {\sum _{i=1}^{m}w_{i}\cdot a_{1}^{i}} _{=f(v_{1})},\dots ,\underbrace {\sum _{i=1}^{m}w_{i}\cdot a_{j}^{i}} _{=f(v_{j})},\dots ,\underbrace {\sum _{i=1}^{m}w_{i}\cdot a_{l}^{i}} _{=f(v_{l})}\right)\in \underbrace {W\times \dots \times W} _{l{\text{ mal}}}$

Dies ist übrigens die duale Erkenntnis zu derjenigen #aus Sicht des Martirzenkalküls. Diese würde mit $f^{(i)}=\pi _{i}\circ f$ und $\lambda ^{(i)}\cdot w_{i}:=f^{(i)}$ lauten:

$\sideset {_{w}}{_{v}}{\underline {\quad f\quad }}\cdot (v_{1},\dots ,v_{l})^{*}=\sideset {_{w}}{_{v}}{\underline {\quad f\quad }}\cdot {\begin{pmatrix}v_{1}^{*}\\\vdots \\v_{l}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum _{j=1}^{l}a_{j}^{1}\cdot v_{j}^{*}\\\vdots \\\sum _{j=1}^{l}a_{j}^{i}\cdot v_{j}^{*}\\\vdots \\\sum _{j=1}^{l}a_{j}^{m}\cdot v_{j}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda ^{(1)}\\\vdots \\\lambda ^{(i)}\\\vdots \\\lambda ^{(m)}\end{pmatrix}}$

Zusammengenommen ergibt sich die Darstellung des Homomorphismus $f\in \operatorname {Hom} (V,W)$ als Tensor $f=\sum _{i,j}a_{j}^{i}v^{(j)}\otimes w_{i}$.

Für entsprechendes $g\in \operatorname {Hom} (W,X)$ mit $\dim X=n$ und $B=(b_{k}^{j})_{1\leq k\leq m}^{1\leq j\leq n}$, etc. gilt:

$\sideset {_{x}}{_{w}}{\underline {\quad g\quad }}\bullet \sideset {_{w}}{_{v}}{\underline {\quad f\quad }}=\sideset {_{x}}{_{v}}{\underline {\quad g\circ f\quad }}$

Für $l=m=n$ und $V=X$ und ${\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {x}}$ sowie $g=f^{-1}$ gilt also:

$\sideset {_{v}}{_{w}}{\underline {\quad f^{-1}\quad }}\bullet \sideset {_{w}}{_{v}}{\underline {\quad f\quad }}=\sideset {_{x}}{_{v}}{\underline {\quad \operatorname {id} _{V}\quad }}=E_{n}$

also

$\sideset {_{v}}{_{w}}{\underline {\quad f^{-1}\quad }}=\left(\sideset {_{w}}{_{v}}{\underline {\quad f\quad }}\right)^{-1}\;.$

Tensorprodukt

Ich bin sehr begeistert mit Euren Verbesserungen in der Einleitung des Artikels Tensorprodukt - genau so wäre ich auch das beschreiben. Vielleicht könnten sie ähnlich noch den Graßmann Algebra Artikel verbessern! Entschuldingen Sie, dass ich es hier schreibe - Sie können meine Sätze hier nach dem Lesen sofort entfernen :-) A.kotlorz

Danke für die Blumen, „A.kotlorz“, das ist sehr nett und freut mich natürlich! Ich nehme Ihre Anregung mal mit – und lasse sie deshalb erst einmal hier stehen. Ich war zuletzt im Satz von Wedderburn (das wundervolle Beweiszauberwerk von Ernst Witt (1931)) und dem Fundamentalsatz der Algebra unterwegs. Mal sehen, ob und wann ich zur Graßmann-Algebra komme. --Filomusa (Diskussion) 23:20, 24. Mai 2021 (CEST)

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Hallo, Orgelputzer, ich bin Filomusa. Wie legt man einen neuen Wikipedia-Artikel über einen (noch lebenden) Musiker an? Was sind die Standards dafür, die man beachten sollte? Natürlich habe ich auch eigene Vorstellungen, da ich auch selbst "aus der Branche komme", aber ich würde mir gerne sinnvolle Erfahrungswerte abholen. Vielen Dank für angelegentliche Rückmeldung. --Filomusa (Diskussion) 21:19, 24. Mai 2021 (CEST)