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Zum Fundamentalsatz der Algebra

[… Vorspann …] Die Namensgebung wurzelt in einem traditionellen Verständnis der Algebra als der Lehre von Gleichungen höheren Grades mittels „Buchstabenrechnen“.

Beweisvarianten

Zu Gauß Beweis von 1815:

• Induktiver Beweis für reell abgeschlossene Körper
• Artins Beweis nach Serge Lang mit Hilfe von Sylow-Gruppen

Induktiver Beweis mit algebraischen Methoden und dem Zwischenwertsatz

Die Grundidee der Beweise dieses Abschnittes geht zurück auf Carl Friedrich Gauß (1815), dessen Beweis daher als erster dargestellt ist. Aus modernerer Sicht beruht er auf Argumenten aus der algebraischen Theorie der formal reellen Körper. Die nachfolgenden Beweisvarianten lassen dies erkennen und insbesondere, dass der Zwischenwertsatz, der einen topologischen Körper $K$ benötigt, durch eine lediglich algebraische Voraussetzung ersetzt werden kann. Deren Gültigkeit für $\mathbb {R}$ nachzuweisen, erfordert jedoch nicht-algebraische Methoden (wie den Zwischenwertsatz).

Beweis nach Gauß 1815

Ein solcher Beweis wurde 1815 von Gauß präsentiert. Es wird benutzt, dass nach dem Zwischenwertsatz jedes reelle Polynom ungeraden Grades mindestens eine Nullstelle hat sowie dass quadratische Gleichungen, auch mit komplexen Koeffizienten, elementar lösbar sind. Der Beweis erfolgt als vollständige Induktion über die Potenz des Faktors $2$ im Grad des Polynoms.

Es sei zunächst $f(z)$ quadratfrei und mit reellen Koeffizienten vorausgesetzt. Der Grad habe eine Faktorisierung $n=u\,2^{e}$ mit $u$ ungerade. Der Beweis erfolgt als vollständige Induktion über die Potenz $e$ des Faktors $2$ im Grad des Polynoms. Ist $e=0$, so gibt es eine Nullstelle nach dem Zwischenwertsatz. Es sei nun im Induktionsschritt vorausgesetzt, dass $e\geq 1$ und dass alle Polynome mit Graden $u'\,2^{e-1}$ bei ungeradem $u'$ mindestens eine Nullstelle besitzen.

Es sei, der Einfachheit halber, ein (abstrakter) Wurzel- oder Zerfällungskörper $\mathbb {W} \supset \mathbb {R}$ des Polynoms $f(z)$ konstruiert, in welchem es die paarweise verschiedenen (wiederum abstrakten) Nullstellen $z_{1},\dotsc ,z_{n}$ hat,

$f(z)=(z-z_{1})(z-z_{2})\dotsm (z-z_{n})$.

In $\mathbb {W} \times \mathbb {W}$ sei die Menge der ${\tfrac {1}{2}}n(n-1)$ Punkte $(z_{j}+z_{k},z_{j}\,z_{k})$, $j<k$, betrachtet. Da die abstrakten Nullstellen paarweise verschieden sind, gibt es nur eine endliche Anzahl von Geraden, die durch mindestens zwei dieser Punkte verlaufen, insbesondere auch nur eine endliche Anzahl reeller Anstiege $m$ solcher Geraden, für welche die Differenz $z_{j}\,z_{k}-m\,(z_{j}+z_{k})$ zweimal denselben Wert annimmt. Für alle anderen Werte von $m$ ist das Polynom

$g_{m}(x)=\prod _{j<k}(x-m\,(z_{j}+z_{k})+z_{j}\,z_{k})$

ebenfalls quadratfrei und symmetrisch in den abstrakten Nullstellen $z_{1},\dotsc ,z_{n}$. Daher können die Koeffizienten von $g_{m}(x)$ als Polynome in $m$ und den Koeffizienten von $f(z)$ dargestellt werden, $g_{m}(x)$ ist also für jedes reelle $m$ ein Polynom mit reellen Koeffizienten und kann mittels Resultanten aus $f(z)$ bestimmt werden. Der Grad von $g_{m}(x)$ beträgt $2^{e-1}\,u(n-1)$, wobei $u(n-1)$ eine ungerade Zahl ist, da ja $e\geq 1$ (also ein gerades $n$) für den Induktionsschritt vorausgesetzt war. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es wenigstens eine komplexe Nullstelle $x$ mit $g_{m}(x)=0$. Aus den partiellen Ableitungen nach $m$ und $x$ in der Nullstelle können komplexe Zahlen $p$ und $q$ bestimmt werden, so dass mindestens eine der Nullstellen von $z^{2}+p\,z+q=0$ eine Nullstelle von $f(z)$ ist.

Hat $f(z)$ auch echt komplexe Koeffizienten, so hat ${\widetilde {f}}(z)={\overline {f}}(z)\,f(z)$ nur reelle Koeffizienten. Jede Nullstelle des Produkts ist Nullstelle eines Faktors, somit also selbst oder als komplex konjugierte Zahl eine Nullstelle von $f(z)$. Ist das nun reelle Polynom nicht quadratfrei, so kann mit Polynomarithmetik (u. a. euklidischer Algorithmus) eine Faktorisierung in (nichtkonstante) quadratfreie Faktoren gefunden werden, von denen jeder mindestens eine Nullstelle enthält.

Beweisvariante für reell abgeschlossene Körper durch Galois-Theorie

Die Idee des folgenden Beweis geht auf den soeben dargestellten Beweis von Carl Friedrich Gauss aus dem Jahre 1815 zurück. Er ersetzt die Argumentationen aus der Theorie symmetrischer Polynome durch Argumente aus der Galois-Theorie. Der Zwischenwertsatz bleibt Grundlage für den Induktionsanker. Dabei wird erkennbar, dass lediglich eine algebraische Eigenschaft des Polynomringes $\mathbb {R} [X]$ benötigt wird. Ihre Gültigkeit folgt aus dem Zwischenwertsatz unter Zugrundelegung der „gewöhnlichen“ Topologie, obschon sie selbst keine Topologie voraussetzt (siehe unten stehende Eigenschaft „B-W“).

Zunächst bezeichne $K$ einen Körper – später wird $K=\mathbb {R}$ zu betrachten sein – und $f(X)\in K[X]$ ein irreduzibles separables Polynom vom Grade $\deg f=n=2^{e}u$ mit ungeradem $u\in \mathbb {N}$, und seine Nullstellen in einem Zerfällungskörper $W/K$ seien mit $\alpha =\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}$ bezeichnet, so dass es in $W$ in das Produkt $f(X)=\prod _{i=1}^{n}(X-\alpha _{i})$ zerfällt.

Konstruktion eines Zwischenkörpers zur Reduktion:

• Dann haben $\alpha _{i}+\alpha _{j}$ und $\alpha _{i}\alpha _{j}$ und allgemeiner $\beta _{i,j}:=(\alpha _{i}+\alpha _{j})+x\alpha _{i}\alpha _{j}\in L$ für $i\neq j$ und beliebiges $x\in K$ höchstens den Grad ${\tbinom {n}{2}}$ über $K$, denn ihr jeweiliges Minimalpolynom ist ein Teiler des Polynoms $g(X):=\prod _{1\leq i<j\leq m}(X-\beta _{i,j})\in K[X]$, wie nun begründet wird:
  • Klar sind die Aussagen $\deg g(X)={\tbinom {n}{2}}$ und $g(\beta _{i,j})=0$.
  • Die Behauptung, dass $g(X)\in K[X]$, lässt sich mit dem Hauptsatz der Galois-Theorie oder aber mit demjenigen über elementarsymmetrische Funktionen begründen: Für jeden Automorphismus $\pi \in G:=G(L/K)$ ist nämlich $g^{\pi }(X):=\pi (g(X))=\prod _{1\leq i<j\leq n}(X-\beta _{\pi (i),\pi (j)})=g(X)$, woraus dank Galois-Theorie die Behauptung folgt. Unter Benutzung des Hauptsatzes über elementarsymmetrische Funktionen hingegen folgt sie aus der (noch stärkeren) Tatsache, dass das Polynom $g(X)$ (darüber hinaus sogar) jede Permutation seiner Wurzeln $\alpha _{i}$ untereinander gestattet.

Von nun habe der Körper $K$ unendlich viele Elemente.

• Dann kann $x\in K$ derart gewählt werden, dass die $\beta _{i,j}$ (für $i<j$) paarweise verschieden sind (natürlich ist stets $\beta _{i,j}=\beta _{j,i}$), also insbesondere $y:=\beta _{1,2}\neq \beta _{i,j}$, sobald $\{i,j\}\neq \{1,2\}$. Dann hat die Nullstellenmenge $N_{g}:=\{\beta _{i,j}\}$ von $g(X)$ genau $\deg g(X)={\tbinom {n}{2}}$ Elemente, und $g(X)$ ist irreduzibel, mithin Minimalpolynom eines jeden $\beta _{i,j}$. Nach Wahl von $x$ und wegen $\beta _{1,2}=\beta _{2,1}$ lassen nur die Identität und die Transposition $\tau \colon \alpha _{1}\longleftrightarrow \alpha _{2}$ das Element $y$ fest, und diese beiden lassen auch $a:=\alpha _{1}+\alpha _{2}$ und $c:=\alpha _{1}\alpha _{2}$ fest. Nach dem Hauptsatz der Galoistheorie ist also $K[y]=K[a,c]$.
• Somit ist ein Zwischenkörper $Z=K[\alpha _{1}+\alpha _{2},\alpha _{1}\alpha _{2}]=K[a,c]=K[y]$ der Erweiterung $W/K$ vom Grade $[Z:K]={\tbinom {n}{2}}={\tfrac {n(n-1)}{2}}=2^{e-1}u(n-1)$ bestimmt, wobei $u(n-1)$ ungerade für gerades $n$ ist.
• Das Polynom $X^{2}-aX+c\in Z[X]$ hat (nach dem Vietaschen Wurzelsatz) die Nullstellen $\alpha _{1}$ und $\alpha _{2}$. Es ist also ein quadratisches Polynom über einem Zwischenkörper $Z\simeq K[X]/(g(X))$ vom Grade $[Z:K]=2^{e-1}u(n-1)$ gefunden, welches mit $f(X)$ zwei Nullstellen gemein hat.

Die Vervollständigung des Beweises durch Induktion ermöglichen die folgenden Eigenschaften, die für einen reell abgeschlossenen Körper kennzeichnend sind und welche der Körper $\mathbb {R}$ erfüllt. Um die Gültigkeit dieser besonderen Eigenschaften für den Körper $K$ hervorzuheben, notieren wir ihn fortan als $\mathbb {K} :=K$.

• Eigenschaft „Pos“: Der Körper $\mathbb {K}$ besitzt eine Anordnung, ist also ein angeordneter Körper.
  • Folgerung: Quadrate und Quadratsummen sind positiv, insbesondere die Eins und ihre Vielfachen.
  • Folgerung: $\operatorname {Char} \mathbb {K} =0$
  • Folgerung: $\mathbb {K}$ ist vollkommen und unendlich.
  • Folgerung: Die Anordnung eines angeordneten Körpers induziert auf ihm eine Bewertung bzw. einen Betrag und somit die Struktur eines topologischen Körpers. (Diese Folgerung wird zum Beweis nicht benötigt. An die Stelle der Argumentation mit Hilfe des Zwischenwertsatzes tritt nämlich die rein algebraische Eigenschaft „B-W“.)
• Eigenschaft „P=Q“: Positive Elemente aus $\mathbb {K}$ sind Quadrate.
  • Folgerung: Jedes Element aus $\mathbb {K} [{\sqrt {-1}}]$ ist ein Quadrat.
  • Folgerung: Daher zerfällt jedes quadratische Polynom über $\mathbb {K} [{\sqrt {-1}}]\;{\stackrel {\sim }{=}}\;\mathbb {K} [X]/(X^{2}+1)$.
• Eigenschaft „B-W“: Polynome ungeraden Grades über $\mathbb {K}$ haben (mindestens) eine Nullstelle in $\mathbb {K}$, spalten also einen Linearfaktor ab.
  • Anmerkung: Wegen $\lim _{x\to \pm \infty }f(x)=\pm \infty$ ist dies genau die Aussage des Nullstellensatzes von Bolzano-Weierstraß (Zwischenwertsatz) spezifiziert auf Polynome $f(X)$ ungeraden Grades. (Dabei wird die Topologie zugrunde gelegt, welche die Anordnung mit sich bringt.)

Behauptung: $\mathbb {K} [{\sqrt {-1}}]$ ist algebraisch abgeschlossen.

Beweis durch Induktion nach $e$: Den Induktionsanker bei $e=0$ liefert Eigenschaft „B-W“. Für den Induktionsschritt sei nun $e\geq 1$, so dass der Grad $n=\deg f(X)$ gerade und das Produkt $u\,(n-1)$ ungerade sind. Dann zerfällt $g(X)$ gemäß der seinen Grad $\deg(X)=2^{e-1}\,u\,(n-1)$ betreffenden Induktionsvoraussetzung vollständig in Linearfaktoren über $\mathbb {K} [{\sqrt {-1}}]$, von denen einer also $X-y$ ist. Daher ist $Z=\mathbb {K} [y]\in \{\mathbb {K} ,\mathbb {K} [{\sqrt {-1}}]\}$, je nachdem, ob $y\in \mathbb {K}$ oder nicht. In beiden Fällen folgt mit Eigenschaft „P=Q“, dass $\alpha _{1},\alpha _{2}\in \mathbb {K} [{\sqrt {-1}}]$, was zu zeigen genügt.

Anwendung: Für $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ ergibt sich der Fundamentalsatz der Algebra, sofern man die Eigenschaften „Pos“, „P=Q“ und (mit Hilfe des Zwischenwertsatzes) „B-W“ für $\mathbb {R}$ bestätigt hat.

Beweisvariante nach Emil Artin durch Galois-Theorie und Sylow-Sätze

Auch die nun folgende Beweisvariante setzt für den Grundkörper $\mathbb {K}$ die Eigenschaften „Pos“, „P=Q“ und „B-W“ reell abgeschlossener Körper voraus, die im vorigen Abschnitt aufgeführt und im Falle des Körpers $\mathbb {R}$ der reellen Zahlen erfüllt sind. Sie ersetzt die Konstruktion des Zwischenkörpers $Z$ dank der Galois-Theorie durch Existenzsätze aus der Gruppentheorie (Sylow-Sätze). Auf diese Weise tritt die Induktion nicht mehr in Erscheinung, da sie im Beweis der Sylow-Sätze aufgehoben ist. Die Grundideen dieses Beweises gehen, wie Serge Lang anmerkt, auf Carl Friedrich Gauss zurück (vgl. obigen Beweis nach Gauß 1815). Emil Artin habe ihn – im Wesentlichen unter Verwendung der Sylow-Sätze – variiert.

Es bezeichne $\mathbb {L} :=\mathbb {K} [i]$ die durch Adjunktion von $i:={\sqrt {-1}}$ entstehende quadratische Erweiterung von $\mathbb {K}$.

Behauptung: Der Körper $\mathbb {L}$ gestattet keine endlichen Erweiterungen $\mathbb {E} /\mathbb {L}$ außer der trivialen $\mathbb {E} =\mathbb {L}$. Für $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ ergibt sich der Fundamentalsatz der Algebra.

Zum Beweis: Es sei also eine endliche Erweiterung $\mathbb {E} /\mathbb {L}$ gegeben. Sie lässt sich, da $\mathbb {L}$ vollkommen ist, einbetten $\mathbb {E} \subset \mathbb {W}$ in eine Galois-Erweiterung $\mathbb {W} /\mathbb {K}$ mit Galois-Gruppe $G=G(\mathbb {W} /\mathbb {K} )$. Dabei ist bekanntlich auch $\mathbb {W} /\mathbb {L}$ eine Galois-Erweiterung. Zu zeigen ist $\mathbb {W} =\mathbb {L}$.

• Der zu einer 2-Sylow-Gruppe $H\subset G$ gehörige Fixkörper $Z$ hat also ungeraden Grad über $\mathbb {K}$, wird also von einem primitiven Element erzeugt, dessen Minimalpolynom ungeraden Grad hat und wegen Eigenschaft „B-W“ (und nach Wahl von $H$ als 2-Sylow-Gruppe) also linear ist! Daher sind $G=H$ und $Z=\mathbb {K}$, und die Galois-Gruppe $G$ ist ihre eigene 2-Sylow-Gruppe. – Wenn also $[\mathbb {W} :\mathbb {K} ]=(G:1)=:2^{e}\,u$ mit ungeradem $u\in \mathbb {N}$, dann ist somit $u=1$ gezeigt. Die Erweiterung $\mathbb {W} /\mathbb {K}$ hat also den Grad $2^{e}$.
• Nun sei $G_{1}\subset G$ die zu $\mathbb {L}$ gehörige Untergruppe von $G$, also die Galois-Gruppe $G(\mathbb {W} /\mathbb {L} )$, so dass $(G:G_{1})=[\mathbb {L} :\mathbb {K} ]=2$ und $(G_{1}:1)=\left[\mathbb {W} :\mathbb {L} \right]=2^{e-1}$.
• Ist $e\geq 2$, d. h. $\mathbb {W} \neq \mathbb {L}$, so ist $G_{1}\neq 1$ und enthält eine maximale 2-Gruppe $H_{1}\subsetneq G_{1}$, also der Ordnung $2^{e-2}$. (Für den Fall $(G_{1}:1)=2$ sei die triviale Möglichkeit $H_{1}=\{1\}$ gestattet.) Der zu $H_{1}$ gehörige Fixkörper $Z_{1}\supset \mathbb {L}$ hätte also den Grad $[Z_{1}:\mathbb {L} ]=(G_{1}:H_{1})=2$, wäre somit eine quadratische Erweiterung von $\mathbb {L}$, was auf den Widerspruch der Eigenschaft „P=Q“ stößt.
• Es folgt insgesamt $e=1=u$, d. h. $\mathbb {W} =\mathbb {L}$, was zu beweisen war.

Beweis mit Hilfe des Satzes von Gelfand-Mazur

Der Fundamentalsatz der Algebra folgt aus dem Satz von Gelfand-Mazur (Lemma über das Spektrum), nämlich aus der Tatsache, dass das Spektrum eines Elementes $a\in A$ einer komplexen Banachalgebra $A$ mit Einselement nicht leer ist: Denn ein Polynom $f(X)\in \mathbb {C} [X]$ vom Grade $\deg f(X)=:n$ ist charakteristisches Polynom seiner Begleitmatrix $a\in A:=\operatorname {Mat} (n\times n,\mathbb {C} )$. Dabei ist $A$ ein (triviales, da endlichdimensionales) Beispiel einer Banachalgebra, und das Spektrum $\operatorname {Spec} (a)$ der Matrix $a$ besteht genau aus ihren Eigenwerten, das heißt aus den komplexen Nullstellen von $f(X)$. Dass diese Menge nicht leer ist, ist gerade die Aussage des Fundamentalsatzes der Algebra.

Beachtet man, dass eine endliche Körpererweiterung $A/\mathbb {C}$ eine komplexe Bachachalgebra ist und somit die Voraussetzungen des Satzes von Gelfand-Mazur erfüllt, so erscheint der Fundamentalsatz der Algebra (gar als ein elementares Beispiel des Satzes von Gelfand-Mazur) in der Form: Der Körper $\mathbb {C}$ besitzt keine echten endlichen Körpererweiterungen.

Notabene: Sowohl der Satz von Gelfand-Mazur als auch der Fundamentalsatz der Algebra können mit dem Satz von Liouville bewiesen werden. In den Beweis des Satzes von Gelfand-Mazur fließen im Falle einer Banachalgebra unendlicher Dimension transfinite Methoden (Lemma von Zorn, Auswahlaxiom) in Gestalt des Satzes von Hahn-Banach ein. Für den Fundamentalsatz der Algebra freilich ist dies ein „überdimensioniertes“ Argument.

Der folgende bewertungstheoretische Beweis nach Helmut Brückner führt den Fundamentalsatz der Algebra nicht auf den Satz von Gelfand-Mazur zurück, sondern auf den schwächeren Vollständigkeitssatz von Ostrowski, der sich elementar beweisen lässt.

Bewertungstheoretischer Beweis nach H. Brückner

Helmut Brückner bemerkte 1990, dass sich der Fundamentalsatz der Algebra mittels einer Beweisidee von Wulf-Dieter Geyer und eines Rechenkniffs von Emil Artin auf den „Vollständigkeitssatz“ von A. Ostrowski zurückführen lässt.

Der erwähnte Vollständigkeitssatz von Ostrowski betrachtet vollständige archimedisch bewertete Körper und lautet: Jeder Körper, der bezüglich eines archimedischen Betrages vollständig ist, ist algebraisch und topologisch isomorph zum Körper der reellen Zahlen oder zum Körper der komplexen Zahlen. Mit anderen Worten: Es gibt keine echte Körpererweiterung der komplexen Zahlen, auf welche der komplexe Absolutbetrag archimedisch fortgesetzt werden könnte.

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass es keine echte endliche Körpererweiterung von $\mathbb {C}$ gibt, und folgt daher aus dem oben erwähnten Satz von Ostrowski, sobald gezeigt ist, dass man einen archimedischen Betrag eines lokalkompakten Körpers (wie $\mathbb {C}$) auf eine endliche Erweiterung fortsetzen kann, was W.-D. Geyers Beweisidee, zusammen mit einem Rechenkniff Emil Artins, besorgt. Dies ist die Argumentation des Beweises von Helmut Brückner.

Fundamentalsatz der Algebra: Der Körper $\mathbb {C}$ der komplexen Zahlen ist keiner echten endlichen Erweiterung fähig. Mit anderen Worten: Eine endliche Körpererweiterung $\mathbb {L} /\mathbb {C}$ ist notwendig trivial (das heißt: $\mathbb {L} =\mathbb {C}$).

Der Beweis gliedert sich in zwei Abschnitte: Abschnitt (G&A) zeigt die Fortsetzbarkeit des Absolutbetrages gemäß der Idee von Wulf-Dieter Geyer, flankiert von Emil Artins Trick. Damit ist der Satz auf den Vollständigkeitssatz von Ostrowski zurückgeführt, welcher sodann in Abschnitt (O) bewiesen wird, ohne die Endlichkeitsbedingung zu nutzen. Beides zusammen genommen ergibt den Fundamentalsatz der Algebra.

(G&A): Im ersten Beweisschritt betrachte allgemeiner – anstelle von $\mathbb {C}$ – einen (nicht notwendig archimedisch) bewerteten lokalkompakten Körper $(\mathbb {K} ,|\cdot |)$, eine endliche Erweiterung $\mathbb {L} /\mathbb {K}$ vom Grade $n:=[\mathbb {L} :\mathbb {K} ]$ und zeige, dass durch $x\mapsto \Vert x\Vert :=|N_{\mathbb {L} /\mathbb {K} }(x)|^{\frac {1}{n}}$ der Absolutbetrag $\vert \cdot \vert$ auf $\mathbb {K}$ zu einem Absolutbetrag $\Vert \cdot \Vert$ auf $\mathbb {L}$ fortgesetzt wird. Die Multiplikativität folgt aus dem Determinantenmultiplikationssatz, insbesondere die Homogenität ($\Vert z\,x\Vert =\vert z\vert \cdot \Vert x\Vert$) aus $N_{\mathbb {L} /\mathbb {K} }(z)=z^{n}$ für $z\in \mathbb {K}$. Da auch positive Definitheit gegeben ist, bleibt die Dreiecksungleichung zu zeigen. Hierbei wird – getreu dem Hinweis von Wulf-Dieter Geyer – ausgenutzt, dass es sich um lokalkompakte Körper handelt.

• Es sei dazu $\Vert \cdot \Vert _{0}$ die Maximumsnorm des komplexen Vektorraums $\mathbb {L}$ bezüglich einer Basis. (Normen endlichdimensionaler Vektorräume sind äquivalent.) Dann ist $\Vert \cdot \Vert$ bezüglich der durch diese Maximumsnorm induzierte Metrik stetig, und $Q:=\{x\in \mathbb {L} ,\Vert x\Vert _{0}=1\}$ ist kompakt. Nach dem Maximumprinzip (siehe auch Satz von Weierstrass) existieren also $a,b>0$ mit der Eigenschaft: $a\leq \Vert x\Vert \leq b$ für jedes $x\in Q$.
• Hieraus und aus der Homogenität von $\Vert \cdot \Vert$ folgt $a\,\Vert x\Vert _{0}\leq \Vert x\Vert \leq b\,\Vert x\Vert _{0}$ für jedes $x\in \mathbb {L}$.
• Insbesondere für $\Vert x\Vert \leq 1$ folgt daraus $\Vert 1+x\Vert \leq b\,\Vert 1+x\Vert _{0}\leq b\,\left(\Vert 1\Vert _{0}+\Vert x\Vert _{0}\right)\leq b\,\left(\Vert 1\Vert _{0}+a^{-1}\right)=:c\geq 1$.
• Es folgt unmittelbar $\Vert x_{1}+x_{2}\Vert \leq c\,\operatorname {max} \left(\Vert x_{1}\Vert ,\Vert x_{2}\Vert \right)$ für beliebige $x_{1},x_{2}\in \mathbb {L}$.

Gilt dies sogar für $c=1$, so liegt eine ultrametrische, d. h. nicht-archimedische Bewertung vor, für die neben der Dreiecksungleichung sogar die stärkere Ultradreiecksungleichung gilt. – Im Falle $c>1$ lässt sich mit Hilfe einer Rechnung nach Emil Artin die Dreiecksungleichung folgern: Dies betrifft den archimedischen Fall, der Gegenstand des Fundamentalsatzes der Algebra ist.

• Induktiv ergibt sich $\left\Vert \sum _{i=1}^{2^{r}}x_{i}\right\Vert \leq c^{r}\,\operatorname {max} \left(\Vert x_{i}\Vert ,i=1,\dots ,2^{r}\right)\leq c^{r}\cdot \sum _{i=1}^{2^{r}}\left\Vert x_{i}\right\Vert$ für beliebige $x_{i}\in \mathbb {L}$.
• Für $m=2^{r}-1$ gilt also: $\Vert x+y\Vert ^{m}=\Vert (x+y)^{m}\Vert =\left\Vert \sum _{i=1}^{m}{\tbinom {m}{i}}\,x^{i}\,y^{m-i}\right\Vert \leq c^{r}\cdot \sum \left\Vert {\tbinom {m}{i}}\,x^{i}\,y^{m-i}\right\Vert \leq c^{r}\cdot \sum {\tbinom {m}{i}}\,\Vert x\Vert ^{i}\,\Vert y\Vert ^{m-i}=c^{r}\left(\Vert x\Vert +\Vert y\Vert \right)^{m}$,
• und im Grenzübergang $m\to \infty$ folgt die Dreiecksungleichung $\Vert x+y\Vert \leq \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$, wie gewünscht.
• Damit ist gezeigt, dass die Erweiterung $\mathbb {L} /\mathbb {K}$ eine Erweiterung archimedisch bewerteter vollständiger Körper ist.

(O): Im zweiten Beweisschritt betrachte nun speziell $\mathbb {K} =\mathbb {C}$ und stelle zunächst fest, dass die Voraussetzungen des Vollständigkeitssatzes von A. M. Ostrowski für die Erweiterung $\mathbb {L} /\mathbb {C}$ gemäß (G) zutreffen. Folglich ist der Fundamentalsatz der Algebra nun auf diesen zurückgeführt – genauer gesagt: auf die (schwierigere) Teilaussage, dass $(\mathbb {C} ,|\cdot |)$ keine echte vollständige archimedisch bewertete Körpererweiterung besitzt. Ihr Beweis benötigt die Endlichkeit der Erweiterung $\mathbb {L} /\mathbb {C}$ nicht und soll nun – Ostrowskis Originalarbeit folgend – bewiesen werden. Ostrowski zeigt $\mathbb {L} =\mathbb {C}$, indem er die Annahme $\mathbb {L} \supsetneq \mathbb {C}$ zu einem Widerspruch führt.

• Wegen $\Vert a\Vert +\vert z\vert \;\;{\stackrel {\text{(i)}}{\geq }}\;\;\Vert a-z\Vert \;\;{\stackrel {\text{(ii)}}{\geq }}\;\;{\Big \vert }\,\vert z\vert -\Vert a\Vert \,{\Big \vert }$ gilt zunächst für jedes $a\in \mathbb {L}$
  • einerseits (i) $\Vert a\Vert \geq \inf _{z\in \mathbb {C} }\{\Vert a-z\Vert \}=:d_{a}$ und
  • andererseits (ii) $\vert z\vert >2\,\Vert a\Vert \Rightarrow \Vert a-z\Vert >\Vert a\Vert$.
• Folglich nimmt die stetige Funktion $\mathbb {C} \to \mathbb {R} _{>0},\,z\mapsto \Vert a-z\Vert$ nach dem Maximumprinzip ihr globales Infimum $d_{a}$ auf dem Kompaktum $C:=\{z\in \mathbb {C} ,|z|\leq 2\Vert a\Vert \}$ an: $d_{a}=\max _{z\in C}\{\Vert a-z\Vert \}$. Nach Definition hängt $d_{a}$ nur von der „affinen Ebene“ $a+\mathbb {C}$ in $\mathbb {L}$ ab.
• Die „Sphäre“ $S_{a}:=\{s\in \mathbb {C} ,\Vert a-s\Vert =d_{a}\}$ ist also nicht leer, und bei geschickter Auswahl eines $a_{0}\in a+\mathbb {C}$ gilt sogar $0\in S_{a_{0}}$ und $d_{a_{0}}=\Vert a_{0}\Vert$.
  • Denn für $s\in \mathbb {C}$ gilt trivialerweise $S_{a-s}=S_{a}-s$. Speziell für $s\in S_{a}$ und $a_{0}:=a-s$ ergibt sich $0\in S_{a_{0}}$ und insgesamt $d_{a}=\Vert a_{0}\Vert \leq \Vert a_{0}-z\Vert$ für jedes $z\in \mathbb {C}$.

Von nun an sei gemäß Annahme ein $a\in \mathbb {L} \backslash \mathbb {C}$ ausgewählt, das heißt, es sei $d:=d_{a}>0$ vorausgesetzt. Ziel ist es, hieraus den Widerspruch $S_{a}=\mathbb {C}$ abzuleiten.

• Dazu zeige die Zwischenbehauptung: Für $s\in S_{a}$ und $z\in B_{0}(d):=\{z\in \mathbb {C} ,\,\Vert z\Vert <d\}$ gilt $s+z\in S_{a}$. Mit anderen Worten: $S_{a}+B_{0}(d)\subset S_{a}$.
  • Zu ihrem Beweis werden die $k$-ten primitiven Einheitswurzeln $\zeta _{k}\in \mathbb {C}$ (bspw. $\zeta _{k}=e^{\frac {2\pi i}{k}}$) herangezogen: Für $z\in B_{0}(d)$ gilt

$d\cdot d^{k-1}\leq \underbrace {\Vert a-z\Vert } _{\geq d}\cdot \prod _{i=1}^{k-1}\underbrace {\Vert a-\zeta _{k}^{i}z\Vert } _{\geq d}\;\;{\stackrel {!}{=}}\;\;\Vert a^{k}-z^{k}\Vert \leq \Vert a\Vert ^{k}+\Vert z\Vert ^{k}=\Vert a\Vert ^{k}\cdot \left(1+\left({\tfrac {\Vert z\Vert }{\Vert a\Vert }}\right)^{k}\right)\;\;{\stackrel {\text{oE}}{=}}\;\;d^{k}\cdot \left(1+\left({\tfrac {\Vert z\Vert }{d}}\right)^{k}\right)$.

Das Gleichheitszeichen „${\stackrel {\text{oE}}{=}}$“ gilt nur nach Übergang vom allgemeinen $a$ zu jenem $a_{0}=a-s$ mit $d=\Vert a_{0}\Vert$, der ohne Verlust des Wesentlichen möglich ist, wie zuvor begründet.

Sodann ist gemäß Hypothese ($d\neq 0$) die Division durch $d^{k-1}$ möglich. Beachtet man dabei die Auswahl von $z\in B_{0}(d)$, so erhält man insgesamt die Abschätzung mit Konvergenz $d\leq \Vert a_{0}-z\Vert \leq d\left(1+\left({\tfrac {\Vert z\Vert }{d}}\right)^{k}\right)\;\;{\stackrel {k\to \infty }{\longrightarrow }}\;\;\ d$.

Der Grenzübergang erzwingt die Gleichheit $d=\Vert a_{0}-z\Vert =\Vert a-(s+z)\Vert$, also $s+z\in S_{a}$ (bzw. $z\in S_{a_{0}}$), wie behauptet.

• Aus dieser Behauptung folgt induktiv $\Vert a_{0}-mz\Vert =\Vert a-s-mz\Vert =d$ für beliebiges $m\in \mathbb {N}$ und $z\in B_{0}(d)$, das heißt $S_{a}+m\cdot B_{0}(d)\subset S_{a}$ und mithin $\mathbb {C} =S_{a}$.
• Dies steht jedoch im Widerspruch zur Tatsache, dass $\Vert \cdot \Vert$ ein archimedischer Betrag ist, für den gilt: $\Vert a_{0}-mz\Vert \geq {\Big \vert }\Vert a_{0}\Vert -m\Vert z\Vert {\Big \vert }\;\;{\stackrel {m\to \infty }{\longrightarrow }}\;\;\infty$, sobald nur $z\neq 0$.

Somit ist die Annahme $d>0$ widerlegt und der Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra erbracht.

Anmerkung:

• Es kann leicht gezeigt werden, dass die in (G) angegebene Fortsetzung des Absolutbetrages die einzig mögliche ist.

Vollständigkeitssatz von Ostrowski und reell abgeschlossene Körper

Der Vollständigkeitssatz von Ostrowski besagt, dass ein vollständiger archimedisch bewerteter Körper $\mathbb {L}$ entweder mit $\mathbb {R}$ oder mit $\mathbb {C}$ topologisch und algebraisch identifiziert werden kann. Um also den Beweis dieses Satzes zu vollenden, muss nur noch angemerkt werden, dass notwendig $\mathbb {R} \subset \mathbb {L}$, da $\mathbb {R}$ der topologische Abschluss (Vervollständigung) des Primkörpers $\mathbb {Q}$ eines archimedisch bewerteten Körpers ist. Also wähle man als Grundkörper $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ und mache sich klar, dass für die Erweiterung $\mathbb {L}$ nur entweder (trivialerweise) $\mathbb {R}$ oder (nach dem obigen Beweis) $\mathbb {C}$ in Frage kommen: Denn die quadratische Erweiterung $\mathbb {C} =\mathbb {K} [{\sqrt {-1}}]/\mathbb {K} =\mathbb {R}$ bietet keinen Platz für echte Zwischenkörper. Dies ist der Vollständigkeitssatz von Ostrowski über vollständige archimedisch bewertete Körper. Welcher der beiden Fälle vorliegt, entscheidet sich an der Frage, ob eine (und damit jede) der folgenden, für den hier betrachteten (vollständigen archimedisch bewerteten) Körper $\mathbb {L}$ äquivalenten Bedingungen erfüllt ist oder nicht:

• Der Körper $\mathbb {L}$ enthält nicht jede Einheitswurzel.
• Das Element $-1$ ist in $\mathbb {L}$ kein Quadrat.
• Das Element $-1$ ist in $\mathbb {L}$ keine Quadratsumme.
• In $\mathbb {L}$ verschwindet eine Quadratsumme nur dann, wenn jeder Summand verschwindet.
• Das Polynom $X^{2}+1$ ist über $\mathbb {L}$ irreduzibel.
• Es gibt ein nicht-lineares, über $\mathbb {L}$ irreduzibles Polynom.
• Der Körper $\mathbb {L}$ ist formal reell.
• Der Körper $\mathbb {L}$ ist reell abgeschlossen.
• Der Körper $\mathbb {L}$ verfügt über eine Anordnung.
• Der Betrag $\Vert \cdot \Vert$ auf $\mathbb {L}$ wird von einer Anordnung auf $\mathbb {L}$ induziert.
• Die „Einheits-Sphäre“ $\mathbb {S_{L}} :=\{y\in \mathbb {L} ;\Vert y\Vert =1\}$ enthält nur zwei Elemente.
• Bezogen auf die (sogar eindeutig) existierende Anordnung auf $\mathbb {L}$ gelten die beiden Eigenschaften:
  • Eigenschaft „P=Q“: Positive Elemente sind Quadrate in $\mathbb {L}$.
  • Eigenschaft „B-W“: Polynome ungeraden Grades über $\mathbb {L}$ haben eine Nullstelle in $\mathbb {L}$, spalten also einen Linearfaktor ab.
• Es gibt eine Einbettung $\mathbb {L} \hookrightarrow \mathbb {R}$ topologischer (angeordneter) Körper.

Hieran wird deutlich, wie eng der bewertungstheoretische Beweis nach H. Brückner und der Vollständigkeitssatz von Ostrowski mit der Theorie formal reeller Körper und der obigen Beweisvariante für reell abgeschlossene Körper durch Galois-Theorie zusammenhängen – und letztlich auch mit dem Beweis von Gauß von 1815, der auf Vorarbeiten von Euler, Laplace und Lagrange beruht und genau diese Argumente heranzieht.

Zusammenhang mit dem Satz von Gelfand-Mazur

Der erwähnte Vollständigkeitssatz von Ostrowski steht in engem Zusammenhang mit dem Satz von Gelfand-Mazur über die Tatsachen,

• dass das Spektrum einer komplexen Banach-Algebra mit Einselement nicht leer ist und
• dass eine komplexe Banach-Algebra, die ein Schiefkörper ist, mit dem Körper $\mathbb {C}$ identifiziert werden kann.

Beide Sätze, sowohl der Satz von Gelfand-Mazur als auch der Fundamentalsatz der Algebra, lassen sich mit dem Satz von Liouville beweisen. Der Fundamentalsatz der Algebra ist eine elementare Anwendung des Satzes von Gelfand-Mazur, der Banachalgebren beliebiger Dimension betrachtet und daher zu seinem Beweis transfinite Methoden (Satz von Hahn-Banach) benötigt.

Der Satz von Gelfand-Mazur verallgemeinert den erwähnten Vollständigkeitssatz von Ostrowski auf komplexe Banachalgebren und liefert somit eine Verallgemeinerung in zweierlei Hinsicht: Banachalgebren müssen nicht kommutativ sein, und ihre Normen unterliegen schwächeren Anforderungen als Absolutbeträge von Körpern.

Beweisvariante mit Cauchyschem Integralsatz

Beweisvariante mittels des Cauchyschen Integralsatzes

Eine Beweisvariante unter Verwendung des Cauchyschen Integralsatzes findet sich bei Bartel Leendert van der Waerden:

Unter der Annahme, dass $f(z)\neq 0\;\forall z\in \mathbb {C}$ für die Polynomfunktion $f$ gelte, setze $\phi (z):={\frac {1}{f(z)}}$ und betrachte $\psi \colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ definiert durch $\psi (z):={\frac {\phi (z)-\phi (0)}{z}}$ für $z\neq 0$ und stetig fortgesetzt bei $z=0$ dank $\lim _{z\to 0}\psi (z)={\frac {\mathrm {d} \phi }{\mathrm {d} z}}(0)$. Mit $f$ sind – gemäß Annahme – auch $\phi$ und $\psi$ auf der gesamten Ebene $\mathbb {C}$ holomorph, das heißt ganze Funktionen. Also verschwindet nach dem Cauchyschen Integralsatz das Weg-Integral über eine Kreislinie $\mathrm {K} =\mathrm {K} (R)$ mit Radius $R$ um den Nullpunkt, und mittels Kreislinienparametrisierung kommt:

$0=\oint _{\mathrm {K} }\psi (z)\;\mathrm {d} z=\int _{0}^{2\pi }\phi (Re^{i\theta })\,i\;\mathrm {d} \theta -\underbrace {\int _{0}^{2\pi }\phi (0)\,i\;\mathrm {d} \theta } _{=2\pi i\,\phi (0)}$

Nun gibt es zu jedem beliebig gegebenem $\epsilon >0$ einen genügend großen Radius $R$, so dass für den Integranden $|\phi (Re^{i\theta })|<\epsilon$ auf $\mathrm {K}$ gilt, und für das Integral folglich $\left|2\pi i\,\phi (0)\right|=\left|\int _{0}^{2\pi }\phi (Re^{i\theta })\,i\;\mathrm {d} \theta \right|<2\pi \epsilon$. Hieraus folgt $\phi (0)=0$, was auf den Widerspruch $1{\stackrel {{\text{Def }}\phi }{=}}f(0)\,\phi (0)=0$ stößt.

Literatur

Originalliteratur und Literatur vor 1932

• Carl Friedrich Gauß: Methodvs nova integralivm valores per approximationem inveniendi. Dieterich, Göttingen 1815, (Another new proof of the theorem that every integral rational algebraic function of one variable can be resolved into real factors of the first or second degree. (PDF; 190 kB) (engl. Übersetzung des Originals)). Korrigierter Link: PDF bei gallica.bnf.fr, abgerufen am 31. Mai 2021. Siehe auch Literatur im Artikel zur Gauß-Quadratur.
• Karl Weierstraß: Neuer Beweis des Satzes, dass jede ganze rationale Function einer Veränderlichen dargestellt werden kann als ein Product aus linearen Functionen derselben Veränderlichen. In: Sitzungsberichte der königlich preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. 1891 (Juni bis December), S. 1085–1101, bbaw.de. Korrigierte, aktuelle Links: digilab.bbaw.de, de.wikisource.de, www.biodiversitylibrary.org, zdb-katalog.de/title.xhtml, sämtlich abgerufen am 31. Mai 2021.
• Heinrich Weber: Lehrbuch der Algebra I. Friedrich Vieweg und Sohn, Braunschweig, 1895, PDF bei resolver.sub.uni-goettingen.de, abgerufen am 30. Mai 2021. Beweise des Fundamentalsatzes in § 38 (rein analytischer Beweis, vgl. den Abschnitt „Rein analytischer Beweis“) und in § 98 Gauss' erster Beweis (mit Hilfe des Sturmschen Lehrsatzes).
• Marie Ennemond Camille Jordan: Cours d'Analyse, Tome I (Calcul Différentiel). 3me édition, Gauthier-Villars, 1909. Reproduktion: 1991 Éditions Jacques Gabay, ISBN 2-87647-018-7. Siehe PDF bei gallica.bnf.fr, abgerufen am 29. Mai 2021.
• Hermann Weyl: Randbemerkungen zu Hauptproblemen der Mathematik. In: Mathematischen Zeitschrift, Bd. 20, (1924), ab Seite 131. Siehe PDF bei gdz.sub.uni-goettingen.de, abgerufen am 29. Mai 2021. Darin ab Seite 142 ein intuitionistischer Beweis des Fundamentalsatzes (Abschnitt II Fundamentalsatz der Algebra und Grundlagen der Mathematik).
• Alexander M. Ostrowski: Über einige Lösungen der Funktionalgleichung $\varphi (x).\varphi (y)=\varphi (xy)$. In: Acta Mathematica 41 (1918). April 1916, S. 271–284, abgerufen am 6. Januar 2023. 
  • Siehe auch doi:10.1007/BF02422947 oder direkt im Project Euclid
• Reinhold Baer (Halle) und Helmut Hasse (Marburg): Zusammenhang und Dimension topologischer Körperräume. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle-Journal), Band 167 (1931). 5. Mai 1931, S. 40–45, abgerufen am 4. Januar 2023. 

Normalbasis einer endlichen Galoiserweiterung

Der Satz über die Existenz einer Normalbasis einer endlichen Galoiserweiterung $L/K$ besagt, dass es eine Basis des $K$-Vektorraums $L$ gibt, die sich als Bahn $G\cdot y$ eines geeigneten Elementes $y\in L$ unter der Operation der Galois-Gruppe $G:=G(L/K)$ ergibt. Ein solches Element $y$ heißt erzeugendes oder freies Element der Galois-Erweiterung $L/K$, seine Bahn eine Normalbasis von $L/K$.

Der Name rührt daher, dass (vor allem gemäß älterem, klassischem Sprachgebrauch) Galoiserweiterungen als „normal und separabel“ bezeichnet wurden. Gemäß dieser Konvention heißt also eine Erweiterung $L/K$ normal, wenn $L$ den Zerfällungskörper („Wurzelkörper“) eines jeden $y\in L$ enthält und also das Minimalpolynom jedes $y\in L$ über $L$ in Linearfaktoren zerfällt, mit anderen Worten: Dank der Normalität liegen die über $K$ Konjugierten eines jeden $y\in L$ (das heißt die übrigen Nullstellen seines Minimalpolynoms) sämtlich in $L$, und $G(L/K)=G$ operiert auf $L$, d. h., $L$ ist ein $G$-Modul. Separable normale Körpererweiterungen sind Galoiserweiterungen, und eine Normalbasis der Galoiserweiterung $L/K$ ist eine Basis des $K$-Vektorraums $L$, die als Bahn aus seiner $G$-Modul-Struktur hervorgeht.

In der Sprache der Darstellungstheorie endlicher Gruppen formuliert liefert der Satz von der Existenz einer Normalbasis die Erkenntnis, dass die natürliche Darstellung $G\to \operatorname {End} _{K}(L)$, die durch die Operation von $G$ auf $L$ gegeben ist, äquivalent (isomorph) zur regulären Darstellung von $G$ ist, mit anderen Worten: $L$ und $K[G]$ sind als $K[G]$-Linksmoduln isomorph. So liefert Zyklizität von $K[G]$ diejenige von $L$, also ein Element $y\in L$, dessen Bahn $Gy$ eine $K$-Basis ist.

Für zyklische Erweiterungen erscheint dieser Satz als eine Anwendung der Klassifikation endlich erzeugter Torsionsmoduln über Hauptidealringen (Elementarteilersatz). Diese Betrachtungsweise ist also insbesondere für endliche Körper und zyklische Kummer-Erweiterungen fruchtbar. Zugleich wird deutlich, dass weitere Existenzsätze – nämlich der Satz von der Existenz einer Primitivwurzel modulo einer Primzahl und allgemeiner der Satz über die Zyklizität endlicher Untergruppen der multiplikativen Gruppe eines Körpers – demselben Argumentationsschema folgen: Im einen Fall geht es um den Nachweis, dass ein endlich erzeugter (sogar ein endlicher) Torsionsmodul über den ganzen Zahlen (nämlich eine endliche abelsche Gruppe) zyklisch ist, im anderen Falle um den Nachweis, dass ein endlich erzeugter Torsionsmodul über $K[X]$ zyklisch ist. Kriterium für Zyklizität ist, dass Annullator und charakteristischer Divisor übereinstimmen.

Für unendliche Körper gab Emil Artin einen Beweis, der auf der Betrachtung der Determinante eines Matrizenpolynoms beruht: Setzt man für die Unbestimmte ein primitives Element der Galoiserweiterung ein, so geht die zugehörige Matrix über in die Permutationsmatrix, mit welcher die Inversion $\sigma \mapsto \sigma ^{-1}$ die Elemente von $G$ permutiert. Da das Polynom folglich nicht identisch verschwindet, muss es auch über dem unendlichen Grundkörper Stellen geben, an denen es nicht verschwindet, so dass die zugehörige Matrix regulär ist.

Für den Existenzbeweis im zyklischen Falle spielt der Unabhängigkeitssatz von Dedekind eine Schlüsselrolle, dessen Aussage deshalb im Rahmen der Vorüberlegungen zum Beweis für den zyklischen Fall spezifiziert wird. Zugleich vermag der Unabhängigkeitssatz für Elemente $y\in L$ ein Matrixkriterium dafür zu liefern, wann ihre Bahnen $Gy$ Normalbasen sind: Dies wird im darstellungstheoretischen Zusammenhang des Erweiterungskörpers beleuchtet und später im Existenzbeweis genutzt.

Es ist jedoch auch möglich, den Satz über die Existenz einer Normalbasis auf die Eindeutigkeitsaussage des Satzes von Krull-Remak-Schmidt zurückzuführen. Diese Beweisführung beruht ebenfalls auf dem Unabhängigkeitssatz von Dedekind und lässt die Mächtigkeit des Grundkörpers unberücksichtigt.

Mit Hilfe einer Normalbasis lässt sich der Zusammenhang zwischen Untergruppen der Galoisgruppe und den zugehörigen Fixkörpern – Zwischenkörpern der Galois-Erweiterung – leicht beschreiben. Im Zuge der Untersuchungen zur Lösbarkeit der allgemeinen Gleichung und der Kreisteilungskörper geschah dies schon in der klassischen algebraischen Zahlentheorie, wie im Zahlbericht David Hilberts (1897) nachzulesen ist: In diesen Zusammenhang gehören die Lagrangesche Resolvente und die Gaußschen Perioden, die den mathematischen Hintergrund bei der Konstruktion des regelmäßigen Siebzehnecks darstellen.

Die Existenz einer Normalbasis erlaubt für die Kryptographie auf elliptischen Kurven eine nützliche Anwendung, um den Rechenaufwand zu optimieren.

Definition

Es sei $L/K$ eine galoissche Körpererweiterung mit Galoisgruppe $G=G(L/K)$ endlichen Grades $[L:K]=n=(G:1)$, und $B=\{y_{1},\dots ,y_{n}\}\subset L$ bezeichne eine Basis von $L$ (als Vektorraum) über $K$. Die Basis $B$ heißt eine Normalbasis der Galois-Erweiterung $L/K$, wenn die Automorphismen $\sigma \in G$ von $L$ – als auf $B$ eingeschränkte Abbildungen $\sigma {\big \vert }_{B}$ – eine Operation auf $B$ induzieren, das heißt, wenn sie Basiselemente permutieren. Gemäß Galoistheorie sind hierzu äquivalente Bedingungen:

• Für jedes $\sigma \in G$ ist $\sigma (y_{1})\in B$.
• Für jedes $\sigma \in G$ und jedes $y\in B$ ist $\sigma (y)\in B$.
• Die Basis ist mit der Bahn $Gy$ eines $y\in L$ identisch: $Gy=B$.

Ein solches Element $y\in L$ mit diesen Eigenschaft heißt Erzeuger oder erzeugendes Element einer Normalbasis oder freies Element der Galoiserweiterung $L/K$.

Für ein Element $y\in L$ sind also äquivalent:

• Das Element $y$ erzeugt eine Normalbasis von $L/K$.
• Die Bahn $Gy$ ist eine Normalbasis.
• Die Bahn $Gy$ enthält $n$ Elemente und ist linear unabhängig über $K$.
• Die Bahn $Gy$ spannt über $K$ den Raum $L$ auf.

Zusammenhang mit dem Gruppenring über dem Grundkörper

Die Galois-Gruppe $G:=G(L/K)$ einer Galois-Erweiterung $L/K$ induziert auf $L$ in naheliegender Weise zunächst die Struktur eines Links-Moduls über dem (nicht notwendig kommutativen) Gruppenring $K[G]$. In der Sprache der Darstellungstheorie lässt sich dasselbe so ausdrücken: Jede Galois-Erweiterung $L/K$ induziert eine Darstellung der Galoisgruppe $\rho \colon G(L/K)\to \operatorname {End} _{K}(L),\,\sigma \mapsto \sigma$, indem Automorphismen aus $G=G(L/K)$ als Endomorphismen auf dem $K$-Vektorraum $L$ aufgefasst werden.

Dabei sind äquivalent:

1. Es gibt einen Isomorphismus von Links-Moduln über dem Gruppenring $K[G]$ zwischen dem Erweiterungskörper $L$ und der Gruppenalgebra $K[G]$: $L\cong K[G]\,.$
2. Der Erweiterungskörper $L$ ist als $K[G]$-Links-Modul zyklisch, d. h.:, es gibt ein $y\in L$ mit $L=K[G]\cdot y\,.$
3. Die Erweiterung $L/K$ besitzt eine Normalbasis.

Ist nämlich $\iota \colon K[G]\rightarrow L$ ein solcher Isomorphismus, so setze $y:=\iota (1\cdot \operatorname {id} )$. Dann ist $L=\iota (K[G])=\iota \left(K[G]\cdot (1\cdot \operatorname {id} )\right)=K[G]\cdot y$.

Dabei operiert die Galoisgruppe auf $L$ als reguläre Darstellung.

${\begin{array}{lcl}K[G]&{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&L=\sum _{\sigma \in G}K\cdot \sigma {y}\\\sum _{\sigma }x_{\sigma }\cdot \sigma &\mapsto &\sum _{\sigma }x_{\sigma }\cdot \sigma (y)\end{array}}$

Jeder Isomorphismus $K[G]{\stackrel {\sim }{\rightarrow }}L$ von $K[G]$-Links-Moduln vermittelt also eine Normalbasis von $L/K$ – und umgekehrt. Denn es gilt folgender

Satz (Matrixkriterium für Erzeuger einer Normalbasis): Es sei $L/K$ eine Galois-Erweiterung mit der Galoisgruppe $G=G(L/K)$. Dann sind für ein $y\in L$ äquivalent:

• Das Element $y\in L$ erzeugt eine Normalbasis für $L/K$.
• Die Bahn $Gy$ ist eine Normalbasis von $L/K$.
• $K[G]\cdot y=L$.
• Die (eindeutige) Fortsetzung der Substitution $1\cdot \operatorname {id_{L}} \mapsto y$ zu einer $K[G]$-linkslinearen Abbildung $\iota \colon K[G]\to L$ von Linksmoduln über $K[G]$ ist surjektiv und also ein Isomorphismus von $K[G]$-Linksmoduln. (Denn eine solche Fortsetzung ist zugleich ein Homomorphismus $K[G]\to L$ von Vektorräumen derselben endlichen Dimension über $K$.)
• Die Matrix $\left[\sigma \tau (y)\right]_{\tau \in G}^{\sigma \in G}$ ist regulär.

Begründung für das Matrix-Kriterium: Der Umstand, dass ein Vektorraum-Homomorphismus durch seine Werte auf einer Basis eindeutig festgelegt ist, liefert zusammen mit dem Unabhängigkeitssatz von Dedekind die Erkenntnis, dass für eine Basis $\left(\tau (y)\right)_{\tau \in G}$ von $L/K$ und Koeffizienten $\lambda _{\sigma }\in L$ die Implikation gilt:

$\forall \tau \in G\colon \sum _{\sigma \in G}\lambda _{\sigma }\cdot \sigma \tau (y)=\left(\sum _{\sigma \in G}\lambda _{\sigma }\cdot \sigma \right)(\tau (y))=0\in L\Leftrightarrow \sum _{\sigma \in G}\lambda _{\sigma }\cdot \sigma =0\in \operatorname {End} _{K}(L)\Rightarrow \forall \sigma \in G\colon \lambda _{\sigma }=0$.

Diese Implikation bedeutet aber, dass für eine Normalbasis $Gy$ die angegebene Matrix regulär ist. Ist umgekehrt diese Matrix für ein $y\in L$ regulär, so liefert der Ansatz $0=\sum _{\tau \in G}\kappa _{\tau }\cdot \tau (y)$ mit Koeffizienten $\kappa _{\tau }\in K=L^{G}$ für jedes $\sigma \in G$ die Gleichung $0=\sum _{\tau \in G}\kappa _{\tau }\cdot \sigma (\tau (y))$, also ein lineares Gleichungssystem mit $(G:1)$ Gleichungen und Unbekannten, zu welcher die reguläre Matrix $\left[\sigma \tau (y)\right]_{\tau \in G}^{\sigma \in G}$ gehört, so dass $\kappa _{\tau }=0$ für jedes $\tau \in G$ folgt. Also impliziert die Regularität der Matrix die lineare Unabhängigkeit der Bahn $Gy$.

Demzufolge ist eine Normalbasis gefunden, sobald ein $y\in L$ gefunden ist, für welches die Matrix $\left[\sigma \tau (y)\right]_{\tau \in G}^{\sigma \in G}$ regulär ist. Genau dies ist die Idee des Beweises für den Fall eines unendlichen Grundkörpers.

Notabene: Dass $L$ und $K[G]$ als Linksmoduln über dem Gruppenring $K[G]$ isomorph sind, bedeutet nicht, dass sie auch als Algebren über $K$ isomorph sind. Ein offensichtliches Gegenbeispiel liefert jede nicht-abelsche Galoiserweiterung.

Anmerkung 1: Dass $L$ als Modul über $L[G]$ zyklisch ist, ist trivial. Bemerkenswert ist die Zyklizität über $K[G]$.

Anmerkung 2: Der Unabhängigkeitssatz von Dedekind besagt für eine endliche Körpererweiterung $L/K$, dass der Gruppenring $L[G]$ als $L$-Unterraum von $\operatorname {End} _{K}(L)$ ($L$ als Vektorraum über $K$ betrachtet) die Dimension $\dim _{L}L[G]=(G:1)$ hat, so dass insgesamt folgt: $(G:1)=\dim _{L}L[G]\leq \dim _{L}\operatorname {End} _{K}(L)=[L:K]$. Äquivalent sind also:

• $L/K$ ist galoissch.
• $(G:1)=[L:K]$.
• $L[G]\cong \operatorname {End} _{K}(L)$ als $L$-Vektorräume.
• $K[G]\cong L$ als $K$-Vektorräume.

Anmerkung 3: Für eine endliche Körpererweiterung $L/K$ und die Gruppe der relativen Automorphismen $G:=G(L/K)$ gilt, wenn $L^{\text{dual}}$ den Dualraum des $K$-Vektorraums $L$ bezeichnet, allgemeine Aussagen über die Isomorphie von Tensorprodukträumen:

1. $L\otimes _{K}L^{\text{dual}}\cong \operatorname {End} _{K}(L)$ einerseits und
2. $L\otimes _{K}K[G]\cong L[G]$ andererseits.

Auch dies zeigt die obigen beiden Kriterien dafür, dass $L/K$ eine Galois-Erweiterung ist. Doch lässt sich aus der Vektorraum-Isomorphie $L\cong K[G]$ nicht ohne Weiteres die Isomorphie als Links-Moduln über dem Gruppenring $K[G]$ folgern.

Der Satz von der Existenz einer Normalbasis aber behauptet demnach, dass eben diese Folgerung doch zutreffend ist: Es sei $L/K$ eine endliche Körpererweiterung mit relativer Automorphismengruppe $G:=G(L/K)=\operatorname {Aut} (L/K)=\{\sigma \in \operatorname {Aut} (L)\;{\big \vert }\;\sigma |_{K}=\operatorname {id} _{K}\}$. Dann gilt:

$L\cong K[G]$ als $K$-Vektorräume $\quad \Rightarrow \quad L\cong K[G]$ als $K[G]$-Linksmoduln.

Der Beweis ist jedoch zu erbringen.

Anmerkung 4: Da die umgekehrte Implikation trivial ist, liefert die Satz von der Existenz einer Normalbasis also bei gleichen Voraussetzungen die Äquivalenz der folgenden Aussagen:

• $L/K$ ist endliche Galois-Erweiterung.
• $(G:1)=[L:K]<\infty$.
• $L[G]\cong \operatorname {End} _{K}(L)$ als endlichdimensionale $L$-Vektorräume.
• $K[G]\cong L$ als endlichdimensionale $K$-Vektorräume.
• $K[G]\cong L$ als $K[G]$-Linksmoduln.

Anmerkung 5: Dabei sind für jedes $\sigma \in G$ äquivalent:

• $L/K$ ist zyklische Galois-Erweiterung mit $G=\langle \sigma \rangle$ und $\operatorname {ord} \sigma <\infty$.
• $K[\sigma ]\cong L$ als $K$-Vektorräume endlicher Dimension.
• $L[\sigma ]\cong \operatorname {End} _{K}(L)$ als $L$-Vektorräume endlicher Dimension.
• $\operatorname {ord} \sigma =[L:K]=\dim _{K}K[\sigma ]=\dim _{L}L[\sigma ]<\infty$
• Minimalpolynom und charakteristisches Polynom von $\sigma \in G\subset \operatorname {End} _{K}(L)$ haben gleichen Grad, d. h., sind (als normierte Polynome) gleich.
• $K[\sigma ]\cong L$ als $K[\sigma ]$-Linksmoduln und $[L:K]<\infty$.

Die Aussage über das Minimalpolynom ist der springende Punkt beim Beweis des Satzes über die Existenz einer Normalbasis für den zyklischen Fall, wie dort genauer erläutert wird.

Folgerungen bei Existenz einer Normalbasis

Angenommen, die Galois-Erweiterung $L/K$ mit Galoisgruppe $G=G(L/K)$ besitze eine Normalbasis in Gestalt der Bahn $Gy$ von $y\in L$.

• Dann besitzt $L$ auch über jedem Zwischenkörper $Z,\,K\subset Z\subset L$ eine Normalbasis, und diese ergibt sich aus den Nebenklassen der zum Zwischenkörper gehörigen Untergruppe: Denn ist $U:=G(L/Z)$ die zum Zwischenkörper gehörige Untergruppe, dann ist nach Galois-Theorie $Z=L^{U}$ der Fixkörper unter den Automorphismen der Untergruppe $U<G$, das heißt: Die Automorphismen $\tau \in U$ werden die Koordinaten der Elemente $\zeta \in Z$ bezüglich der Normalbasis von $L/K$ nicht verändern. Das bedeutet jedoch, dass die Koordinaten $z_{\sigma }\in K$ solcher $\sum _{\sigma }z_{\sigma }\sigma (y)=\zeta \in Z$ innerhalb jeder Rechtsnebenklasse $U\sigma$ übereinstimmen müssen, denn sie werden innerhalb dieser Rechtsnebenklassen permutiert, das heißt: $\tau ,\tau '\in U\sigma \Leftrightarrow \tau ^{-1}\tau '\in U\Rightarrow z_{\tau }=z_{\tau '}$ für jedes $\sigma \in G$. Also bilden die Summen $\sum _{\tau \in U\sigma }\tau (y)=:[U\sigma ]*(y)$ eine Basis der Teilerweiterung $Z/K$, wobei diese Summe über jeder der $(G:U)$ disjunkten Rechtsnebenklassen $U\sigma$ von $U$ in $G$ zu bilden ist. Bezeichnet also $U\backslash G:=\{{\overline {\sigma }}:=U\sigma \;|\;\sigma \in G\}$ die Menge dieser disjunkten Rechtsnebenklassen, so ist $Z=\bigoplus _{{\overline {\sigma }}\in U\backslash G}K\left(\underbrace {\sum _{\tau \in {\overline {\sigma }}}\tau (y)} _{=[{\overline {\sigma }}]*y}\right)$. Beachte: Dies ist keine Normalbasis, denn dies würde zumindest erfordern, dass $Z/K$ galoissch oder, was dasselbe bedeutet, dass $U\triangleleft G$ Normalteiler ist.
• Ist dabei $U$ sogar Normalteiler (also $Z/K$ Galois-Erweiterung mit zu $G/U$ isomorpher Galoisgruppe), so ist $U\sigma =\sigma U$ und der Zwischenkörper ist die Summe $L^{U}=Z=\sum _{\sigma \in G/U}K\cdot \sigma (\underbrace {\sum _{\tau \in U}\tau (y)} _{:=U*y})=\sum _{\sigma \in G/U}K\cdot \sigma (U*y)$. Daher ist die Spur $\operatorname {Spur} _{U}y=\sum _{\tau \in U}\tau (y)=U*y\in Z$ ein Erzeuger einer Normalbasis für $Z/K$.
• Spezialfall Kreisteilungskörper und abelsche Zahlkörper: Für Kreisteilungskörper $\mathbb {Q} [\zeta _{n}]$, die Zerfällungskörper des $n$-ten Kreisteilungspolynoms über $\mathbb {Q}$, stellt die Menge der primitiven $n$-ten Einheitswurzeln $\mu _{n}^{*}:=\{\zeta _{n}^{i}\,|\,1\leq i\leq n-1,\,(i,n)=1\}$ eine Normalbasis dar, da sie sämtlich untereinander konjugiert sind, d. h., unter der Operation der Galois-Gruppe $G:=G(\mathbb {Q} [\zeta _{n}]/\mathbb {Q} )$ bilden sie eine Bahn: $G\zeta _{n}=\mu _{n}^{*}$. Tatsächlich ist operiert die Galoisgruppe scharf transitiv auf ihnen, besteht daher genau aus den Substitutionen der primitiven Einheitswurzeln durcheinander und ist somit isomorph zu $\mathbb {Z} /(n)^{*}$ von der Ordnung $\varphi (n)$. Nach dem Satz von Kronecker/Weber (vulgo „Jugendtraum von Kronecker“) liegt jede abelsche Körpererweiterung $L/\mathbb {Q}$ (also jeder absolut abelsche Zahlkörper) in einem geeignet gewählten Kreisteilungskörper: $\mathbb {Q} [\zeta _{n}]/L$, sobald $n$ geeignet gewählt ist. Für die Fixgruppe $U:=G(\mathbb {Q} [\zeta _{n}]/L)<G$ ist dann $G(L/\mathbb {Q} )=G/U$ und $\left[\mathbb {Q} [\zeta _{n}]:\mathbb {Q} \right]=\varphi (n)=ef$ mit $[L:\mathbb {Q} ]=e$ und $(U:1)=f$. Für eine abelsche Körperweiterung $L/\mathbb {Q}$ lässt sich also, wie oben beschrieben, aus den $n$-ten primitiven Einheitswurzeln (als einer Normalbasis von $\mathbb {Q} [\zeta _{n}]/\mathbb {Q}$) eine Normalbasis von $L/K$ konstruieren: Mit jeder der $e$ Nebenklassen $\sigma U\in G/U)$ geht eine $f$-gliedrige Gaußsche Periode einher, nämlich $[\sigma U]*\zeta _{n}:=\sum _{\tau \in \sigma U}\tau (\zeta _{n})$. David Hilbert nennt die aus den $f$ Gaußschen Perioden bestehende Normalbasis eine Lagrangesche Normalbasis, denn mit ihr in engem Zusammenhang steht die Lagrangesche Resolvente oder Lagrangesche Wurzelzahl: David Hilbert: Zahlentheorie Kapitel 7.24, § 110.

Im Folgenden werden jedoch die allgemeinen Beweise für die Existenz einer Normalbasis skizziert.

Satz über die Existenz einer Normalbasis für Galois-Erweiterungen

Ein galoisscher Erweiterungskörper endlichen Grades über seinem Grundkörper besitzt eine Normalbasis.

Äquivalent formuliert: Für eine endliche Körpererweiterung $L/K$ mit relativer Automorphismengruppe $G=\operatorname {Aut} (L/K):=\{\sigma \in \operatorname {Aut} (L)\;{\big \vert }\;\sigma |_{K}=\operatorname {id} _{K}\}$ und den zugehörigen Gruppenring $K[G]$ gilt:

Wenn es einen Isomorphismus $K[G]\to L$ von Vektorräumen über $K$ gibt, so gibt es auch einen Isomorphismus $K[G]\to L$ von Linksmoduln über dem Gruppenring $K[G]$; mit anderen Worten: Gilt $(G:1)=[L:K]$, so ist der Erweiterungskörper $L$ als $K[G]$-Linksmodul zyklisch.

Beweis der Existenz

Bemerkenswerterweise kann der Beweis für einen endlichen Grundkörper auf gänzlich andere Weise geführt werden als für einen unendlichen Grundkörper $K$: Im Falle eines endlichen Grundkörpers $K$ ist die Galois-Erweiterung $L/K$ gemäß Galois-Theorie zyklisch. Zum Beweis der Existenz einer Normalbasis ist diese Eigenschaft bereits hinreichend, und durch sie wird der Satz über Existenz einer Normalbasis eine bloße Folgerung aus der Elementarteilertheorie für Hauptidealringe, d. h., aus dem Strukturhauptsatz für Moduln über Hauptidealringen. Diese Beweisführung ist also bei endlichem Grundkörper und bei Kummerschen Erweiterungen anwendbar.

Der Beweis im nicht-zyklischen Falle gelingt – nach einer Idee von Emil Artin – mit Mitteln der Linearen Algebra, indem die Unendlichkeit des Grundkörpers explizit herangezogen wird.

Schließlich gibt es auch einen Beweis unter Verwendung des Satzes von Krull-Remak-Schmidt, welcher von Max Deurings Ideen inspiriert ist und die Mächtigkeit des Grundkörpers ignoriert. Auch dieser Beweis stützt sich wesentlich auf den Unabhängigkeitssatz von Dedekind. Der Struktursatz von Krull-Remak-Schmidt gestattet, unmittelbar auf die Isomorphie $L\simeq K[G]$ als $K[G]$-Links-Moduln zu schließen.

Alle drei Beweise werden im Folgenden wiedergegeben, beginnend mit dem zuletzt erwähnten.

Allgemeiner Beweis mit Hilfe des Satzes von Krull-Remak-Schmidt

Für diesen Beweis spielt die Mächtigkeit Grundkörpers $K$ keine Rolle. Er ist von Max Deurings Beweis inspiriert und beruht auf der Grundidee, den $K[G]$-Linksmodul $\operatorname {End} _{K}(L)$ der Endomorphismen des $K$-Vektorraums $L$ auf zwei Arten zu zerlegen und auf diese Zerlegungen die Eindeutigkeitsaussage des Satzes von Krull-Remak-Schmidt anzuwenden.

Vorüberlegungen: Es sei also $L/K$ eine Galoiserweiterung vom Grade $[L:K]=n$ mit Galoisgruppe $G:=G(L/K)$. Der $K$-Vektorraum $\operatorname {End} _{K}(L)$ der Endomorphismen auf dem $K$-Vektorraum $L$ ist mit der Komposition „$\circ$“ zugleich eine $K$-Algebra. Also induziert sie für jede Untergruppe $U$ ihrer Einheitengruppe $\operatorname {End} _{K}(L)^{*}=\operatorname {Aut} _{K}(L)$ eine Operation von $U$ auf $\operatorname {End} _{K}(L)$ von links durch Nachschalten und von rechts durch Vorschalten der Elemente von $U$: Das bedeutet, dass $\operatorname {End} _{K}(L)$ zu einem $K[U]$-Bimodul wird, insbesondere für die Untergruppe $U=\operatorname {Aut} (L/K)=G$:

$G\times \operatorname {End} _{K}(L)\to \operatorname {End} _{K}(L),\,(\sigma ,f)\longmapsto \sigma \circ f$

$\operatorname {End} _{K}(L)\times G\to \operatorname {End} _{K}(L),\,(f,\tau )\longmapsto f\circ \tau$

mit $(\sigma \circ f)\circ \tau =\sigma \circ (f\circ \tau )=:\sigma \circ f\circ \tau$.

Der Satz betrifft die Links-Modulstruktur über $K[G]$, daher wird diese im Beweis von Interesse sein.

Jedes Element $y\in L$ liefert durch Multiplikation $\mu _{y}\colon L\to L,\,l\mapsto y\cdot l$ einen Endomorphismus $\mu _{y}\in \operatorname {End} _{K}(L)$ und mithin eine Einbettung $\mu \colon L\hookrightarrow \operatorname {End} _{K}(L)$ von $K$-Algebren.

Für $y\in L,f\in \operatorname {End} _{K}(L)$ bedeute mit dieser Identifikation $y\circ f:=\mu _{y}\circ f$ und $f\circ y:=f\circ \mu _{y}$. Insbesondere für jedes $f=\sigma \in G$ gilt damit $\sigma \circ y=\sigma \circ \mu _{y}=\sigma (y)\cdot \sigma =\mu _{\sigma (y)}\circ \sigma =\sigma (y)\circ \sigma \in \operatorname {End} _{K}(L)$, und wegen $\sigma (L)=L$ folglich $\sigma \circ L=L\cdot \sigma =L\circ \sigma \subset \operatorname {End} _{K}(L)$.

Zum Beweis: Es sei nun $(y_{1},\dots ,y_{n})$ eine Basis des $K$-Vektorraums $L=\bigoplus _{i=1}^{n}K\cdot y_{i}$ und $(\eta _{1},\dots ,\eta _{n})$ eine Basis des Dualraumes $L^{\text{dual}}:=\operatorname {Hom} _{K}(L,K)=\bigoplus _{j=1}^{n}\eta _{j}\cdot K$. Auf der linken Seite dieses Dualraums, aufgefasst als $K$-Unterrraum von $\operatorname {End} _{K}(L)$, operiert die Galoisgruppe wegen $L^{G}=K$ trivial: $\sigma \circ \eta =\eta$.

Die Zerlegung $\operatorname {End} _{K}(L)=\bigoplus _{j=1}^{n}\eta _{j}\cdot L$ besteht daher sowohl in der Kategorie der $L$-Vektorräume als auch in der Kategorie der $K[G]$-Linksmoduln.

Daraus folgt ferner $\dim _{L}\operatorname {End} _{K}(L)=n$, was freilich ohnehin klar ist, da $n^{2}=\dim _{K}\operatorname {End} _{K}(L)=[L:K]\cdot \dim _{L}\operatorname {End} _{K}(L)$.

Nach dem Unabhängigkeitssatz von Dedekind bilden die Automorphismen $\sigma \in G$ somit aus Dimensionsgründen eine $L$-Basis von $\operatorname {End} _{K}(L)$ und liefern eine zweite Zerlegung $\operatorname {End} _{K}(L)=\bigoplus _{\sigma \in G}L\cdot \sigma =L[G]$, allerdings zunächst nur als Vektorräume über $L$. Denn die Unterräume $L\sigma$ sind nicht invariant (stabil) unter der Links-Operation von $G$, also keine $K[G]$-Links-Untermoduln – im Gegensatz zu den Unterräumen $\eta _{j}L$.

Doch lassen sich die $L$-Unterräume dieser Zerlegung weiter in $K$-Unterräume zerlegen, und diese lassen sich in folgender Weise umgruppieren und zu $K[G]$-Links-Untermoduln zusammenfassen:

$\operatorname {End} _{K}(L)=\bigoplus _{\sigma \in G}L\cdot \sigma =\bigoplus _{\sigma \in G}\sigma \circ L=\bigoplus _{\sigma \in G}\sigma \circ \left(\bigoplus _{i=1}^{n}K\cdot y_{i}\right)=\bigoplus _{i=1}^{n}K[G]\circ y_{i}$.

Insgesamt bestehen also Isomorphismen von $K[G]$-Linksmoduln:

$L^{n}\simeq \bigoplus _{j=1}^{n}\eta _{j}\cdot L=\operatorname {End} _{K}(L)=\bigoplus _{i=1}^{n}K[G]\circ y_{i}\simeq \left(K[G]\right)^{n}$.

Da sowohl $L^{n}$ als auch $(K[G])^{n}$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume sind, erfüllen sie als $K[G]$-Linksmoduln notwendig die Voraussetzungen des Satzes von Krull-Remak-Schmidt, welcher seinerseits auf die Isomorphie $L\simeq K[G]$ von $K[G]$-Linksmoduln schließen lässt.

Beweis im zyklischen Falle

Nach den Überlegungen zum Zusammenhang mit dem Gruppenring (insbesondere Anmerkung 5) ist also zu zeigen:

Satz: Ist $L/K$ eine endliche Körpererweiterung mit relativer Automorphismengruppe $G=G(L/K)$, so sind für jedes $\sigma \in G$ äquivalent:

• $L/K$ ist zyklische Galois-Erweiterung mit $G=\langle \sigma \rangle$ und $\operatorname {ord} \sigma <\infty$.
• $K[\sigma ]\cong L$ als $K$-Vektorräume endlicher Dimension.
• $L[\sigma ]\cong \operatorname {End} _{K}(L)$ als $L$-Vektorräume endlicher Dimension.
• $K[\sigma ]\cong L$ als $K[\sigma ]$-Linksmoduln.
• Als $K[\sigma ]$-Linksmodul ist $L$ zyklisch.

Es ist dann $\operatorname {ord} \sigma =[L:K]=\dim _{K}K[\sigma ]=\dim _{L}L[\sigma ]$.

Der weiter unten stehende Beweis wird im Wesentlichen in der Erkenntnis bestehen, dass jede der genannten Aussagen mit der folgenden Aussage äquivalent ist:

• $\deg \mu _{\sigma }(X)=\operatorname {ord} \sigma =\deg \chi _{\sigma }(X)$,

das heißt: Minimalpolynom (Annulatorpolynom) und charakteristisches Polynom sind gleich („Annullator und charakteristischer Divisor sind gleich“).

Um diese Argumentation nachzuvollziehen, bedarf es einiger Vorüberlegungen, die den geeigneten Blickwinkel schaffen.

Vorüberlegungen

Dies soll in diesem Abschnitt geschehen. Wesentliche Ingredienzen sind der Unabhängigkeitssatz von Dedekind sowie der Blick auf den Erweiterungskörper $L$ als einen Modul über dem prinzipalen Polynomring $K[X]$ (gestiftet durch die Darstellung $X\mapsto \sigma$), so dass der Elementarteilersatz anwendbar ist.

Unabhängigkeitssatz von Dedekind

Es sei zunächst $L$ ein Körper und $G:=\operatorname {Aut} (L)$ die Gruppe der Automorphismen auf diesem Körper. Für jeden Teilkörper $K\subset L$ ist dann die Menge der relativen Automorphismen $G_{K}:=\{\sigma \in G\,{\big \vert }\,\sigma |_{K}=\operatorname {id} _{K}\}$ eine Untergruppe von $G$. Dabei kann $V:=L$ als ein Vektorraum über $K$ der Dimension $\dim _{K}L=[L:K]$ betrachtet werden und die Untergruppe $G_{K}$ der relativen Automorphismen als eine Untergruppe der $K$-Algebra $\operatorname {End} _{K}(V)$ der $K$-linearen Endormorphismen auf $V=L$: Ihre Einheitengruppe ist ja $\operatorname {Aut} _{K}(V)$ und enthält $G_{K}$. Diese $K$-Algebra hat über $K$ die Dimension über $[L:K]^{2}$, als Teilraum des $L$-Vektorraumes aller Abbildungen $L\to L$ also die Dimension $\dim _{L}(\operatorname {End} _{K}(L))=[L:K]$. Nach dem Unabhängigkeitssatz von Dedekind bilden die relativen Automorphismen $G_{K}$ dabei stets ein über $L$ linear unabhängiges System, das heißt, der Gruppenring $L[G_{K}]$ hat als $L$-Unterraum $L[G_{K}]<\operatorname {End} _{K}(L)$ die Dimension $\dim _{L}L[G_{K}]=(G_{K}:1)$. Für jeden Teilkörper $K\subset L$ ist also $(G_{K}:1)\leq [L:K]$. Dies gilt insbesondere für Teilkörper $Z\subset L$, die Fixkörper unter einer Untergruppe $H<G$ sind: $Z=L^{H}:=\{y\in L|\forall \sigma \in H:\sigma (y)=y\}$. Wegen $H\subset G_{L^{H}}$ gilt also $(H:1)\leq (G_{L^{H}}:1)\leq [L:L^{H}]$.

Tatsächlich beruht der Beweis über die Existenz einer Normalbasis im zyklischen Fall auf ganz analogen Argumenten wie der Beweis, dass eine endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers zyklisch ist (Satz von der Existenz einer primitiven Einheitswurzel). Dabei nimmt der Unabhängigkeitssatz von Dedekind die Rolle eines Satzes über die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms ein, wie die folgende Gegenüberstellung zeigen möge:

Gegenüberstellung

Satz von der Existenz einer primitiven Einheitswurzel	Satz von der Existenz einer Normalbasis (zyklischer Fall)
Der Satz über die Anzahl Nullstellen eines Polynoms in Körpern liefert:	Der Unabhängigkeitssatz von Dedekind liefert:
Für die Ordnung der Untergruppe $U:=\{x\in K|x^{d}-1=0\}\subset K^{\times }$ der Nullstellen des Polynoms $X^{d}-1\in K[X]$ gilt: $(U:1)\leq d=\deg(X^{d}-1)$.	Für die Ordnung einer Untergruppe $H<\operatorname {Aut} (L)$ gilt $(H:1)\leq [L:L^{H}]$. Insbesondere für ein $\sigma \in \operatorname {Aut} (L)$ gilt $\operatorname {ord} (\sigma )\leq [L:L^{\langle \sigma \rangle }]$.

Eigenschaften einer endlichen Galois-Erweiterung

Die $L/K$ heißt eine Galoiserweiterung, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

• Es gibt eine Untergruppe $H\subset G=\operatorname {Aut} (L)$ mit $K=L^{H}$.
• Es gilt $K=L^{G_{K}}$ (und nicht etwa nur $K\subset L^{G_{K}}$).

Ist $L/K$ zudem endlich, so ist ferner äquivalent:

• $(G_{K}:1)=[L:K]$.
• $L[G_{K}]=\operatorname {End} _{K}(L)$.

Die Gruppe $G_{K}:=G(L/K)$ heißt die zugehörige Galoisgruppe. Ist die Galoisgruppe zyklisch (auflösbar, primyzklisch etc.), so gilt auch die Galoiserweiterung als zyklisch (auflösbar, primzyklisch etc.)

Einordnung in die Elementarteilertheorie

Ein Automorphismus $\sigma \in G(L/K)$ lässt sich als ein $K$-linearer Vektorraum-Endomorphismus auf $V=L$ betrachten. Solche Endomorphismen $f\in \operatorname {End} _{K}(V)$ werden untersucht, indem $V$ als ein Modul $M=V=L$ über dem Hauptidealring $S:=K[X]$, der sogar ein euklidischer Ring mit Höhe $\deg$ ist, betrachtet wird: Die Hauptraumzerlegung erscheint dann als die Primärzerlegung dies Moduls gemäß der Elementarteilertheorie bzw. dem Strukturhauptsatz über Moduln über Hauptidealringen.

Dabei beachte man: Ist $R$ ein unitärer kommutativer Ring, so ist ein Modul dem Polynomring $R[X]$ notwendig ein Modul über $R$ und die Abbildung $\operatorname {mult} _{X}\colon M\to M,\;m\mapsto X\cdot m$ ist eine $R$-lineare Abbildung: $\operatorname {mult} _{X}\in \operatorname {End} _{R}(M)$. Umgekehrt liefert ein $R$-Modul und ein Endormorphismus $f\in \operatorname {End} _{R}(M)$ einen $R[X]$-Modul durch die Festlegung $X\cdot m:=f(m)$ und lineare Fortsetzung. Die Betrachtung eines $R[X]$-Moduls kommt also der Betrachtung eines Endomorphismus $\operatorname {mult} _{X}=:f\in \operatorname {End} _{R}(M)$ gleich. Der Satz von Frobenius (Äquivalenz und Ähnlichkeit, gem. Crelles Journal, Band 85, 1878, Georg Frobenius: Über lineare Substitutionen und bilineare Formen, darin § 6: Aequivalenz, Abschnitt 2, S. 21 (unter Verweis auf Ergebnisse von Weierstraß und Kronecker! B.M. 1868 und 1874)) liefert den Zusammenhang zwischen beiden Betrachtungen.

Angewendet auf einen endlichdimensionalen Vektorraum $M=V$ über einem Körper $K=R$ besteht mit dem Minimalpolynom $\mu _{f}(X)\in K[X]$ die exakte Sequenz

$0\longrightarrow (\mu _{f}(X))\longrightarrow K[X]\longrightarrow K[f]\longrightarrow 0$, die den Isormorphismus $K[X]/(\mu _{f}(X)){\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}K[f]\subset \operatorname {End} _{K}(V)$ induziert.

Im Allgemeinen ist Minimalpolynom $\mu _{f}(X)$ ein Teiler des charakteristischen Polynoms $\chi _{f}(X)\in K[X]$, und es gilt $\dim _{K}K[f]=\deg \mu _{f}(X)\leq \deg \chi _{f}(X)=\dim _{K}V$. Der folgende Satz kennzeichnet, wann beide Polynome gleich sind, und liefert damit das Kriterium für zyklische Moduln über dem Hauptidealring $R=K[X]$.

Satz: Für einen Vektorraum $V$ endlicher Dimension $\dim _{K}V=n$ über dem Körper $K$, betrachtet als einen Modul $M=V$ über der euklidischen Polynomalgebra $R=K[X]$ bezüglich eines Endomorphismus' $f\in \operatorname {End} _{K}(V)$, sind äquivalent:

1. Der Modul $M$ ist zyklisch über $R$, das heißt, es gibt ein $v\in V=M$ mit $V=K[X]\cdot v$.
2. Es gibt ein $v\in V=M$, so dass die Abbildung $K[X]\to M,\,P(X)\mapsto P(X)\cdot v$ eine exakte Sequenz von $K[X]$-Moduln induziert: $0\longrightarrow (\mu _{f}(X))\longrightarrow K[X]\longrightarrow V\longrightarrow 0$
3. Es gibt ein $v\in V=M$, so dass die Abbildung $P(f)\mapsto P(f(v))$ einen Isomorphismus $K[f]\cong V$ von $K[X]$-Moduln vermittelt.
4. $\deg \mu _{f}(X)=\deg \chi _{f}(X)$.
5. Das Minimalpolynom $\mu _{f}(X)$ von $f$ und sein charakteristisches Polynom $\chi _{f}(X)$ sind gleich: $\mu _{f}(X)=\chi _{f}(X)$.
6. $V=\sum _{i=0}^{n-1}K\cdot X^{i}\cdot v$ (und diese Summe ist sogar notwendig direkt).
7. $V=\sum _{i=0}^{n-1}K\cdot f^{i}(v)$ (und diese Summe ist sogar notwendig direkt).
8. Es gibt eine $K$-Basis $(v_{0},\dots ,v_{n-1})$ von $V$, bezüglich welcher die Darstellungsmatrix $F$ von $f$ eine Frobeniussche Begleitmatrix ist, das heißt mit der Eigenschaft: $v_{i}=f^{i}(x_{0})$ für $i=0,\dots ,n-1$ (und $f^{n}(x_{0})=(X^{n}-\chi _{f}(X))\cdot x_{0}$).

Angewandt auf eine endliche galoissche Körpererweiterung $L=V=M$ über $K$ und $f=\sigma \in G(L/K)\subset \operatorname {End} _{K}V$ sind dies also gerade äquivalente Kriterien für die Existenz einer Normalbasis, denn genau das ist die Aussage eines der Kriterien. Dabei gilt zunächst

• $\dim _{L}\operatorname {End} _{K}(L)=[L:K]=\deg \chi _{\sigma }(X)$, und für den $L$-Untervektorraum $L[\sigma ]<\operatorname {End} _{K}(L)$ gilt dabei
• $\dim _{L}L[\sigma ]=\dim _{K}K[\sigma ]=\deg \mu _{\sigma }(X)$.

Man beachte, dass ein Körperelement $y\in L$ tatsächlich einen $K$-linearen Endomorphismus im Vektorraum $L$ liefert, nämlich $\operatorname {mult} _{y}\colon L\to L,\,\eta \mapsto y\cdot \eta$. Da $\operatorname {mult} _{y}(1)=y$ vermittelt die Multiplikation $\operatorname {mult}$ eine Einbettung $L\subset \operatorname {End} _{K}(L)$. Freilich sind dies weder Körperautomorphismen auf $L$ noch lassen sie $K$ fest, doch umgekehrt spannen – nach dem Unabhängigkeitssatz von Dedekind – die $[L:K]$ Automorphismen $\sigma \in G(L/K)$ als $K$-lineare Abbildungen auf $V=L$ über $L$ den $L$-Vektorraum der Vektorraum-Endomorphismen $\operatorname {End} _{K}(L)$ der Dimension $\dim _{L}\operatorname {End} _{K}(L)=[L:K]$ auf: $\operatorname {End} _{K}(L)=\bigoplus _{\sigma \in G(L/K)}L\cdot \sigma$. Nun enthält der Teilraum $L[\sigma ]$ alle Potenzen von $\sigma$. Wenn also die Potenzen von $\sigma$ bereits die gesamte Galoisgruppe $G(L/K)=\langle \sigma \rangle$ liefern, so folgt $L[\sigma ]=\operatorname {End} _{K}(L)$, mithin sind alle Zahlen identisch: $\deg \chi \sigma (X)=\dim _{L}\operatorname {End} _{K}(L)=[L:K]=\dim _{L}L[\sigma ]=\dim _{K}K[\sigma ]=\deg \mu _{\sigma }(X)$. Es sind sogar offenkundig äquivalent:

• $L[\sigma ]=\operatorname {End} _{K}(L)$
• $\deg \mu (X)=\deg \chi (X)$

Diese Situation beschreibt der Satz über die Existenz einer Normalbasis für eine zyklische Körpererweiterung.

Zyklischer Fall: Satz und Beweis

Kriterien dafür, wann Minimalpolynom $\mu _{\sigma }(X)$ und charakteristisches Polynom $\chi _{\sigma }(X)$ eines Körper-Automorphismus' $\sigma \in G(L/K)$ gleichen Grad haben und mithin für die Existenz einer Normalbasis einer galoisschen Körpererweiterung, liefert der Satz:

Satz: Für eine endliche Galois-Erweiterung $L/K$ und ein Element $\sigma \in G(L/K)$ sind nun äquivalent:

1. Die Erweiterung $L/K$ ist zyklisch mit $\sigma$ als Erzeugendem, d. h.: $G(L/K)=\langle \sigma \rangle$.
2. Es gilt $L[\sigma ]=\operatorname {End} _{K}(L)$.
3. $\deg \mu _{\sigma }(X)=\deg \chi _{\sigma }(X)$, d. h.: $\mu _{\sigma }(X)=\chi _{\sigma }(X)$.
4. Es ist $K=L^{\langle \sigma \rangle }$, und $L$ ist als Modul über der Polynomalgebra $K[X]$ bezogen auf $\sigma$ zyklisch, d. h., es gibt ein $y_{0}\in L$ mit $L=K[X]\cdot y_{0}$.
5. Die Galoiserweiterung $L/K$ besitzt eine Normalbasis $L=\bigoplus _{i=0}^{n-1}K\cdot y_{i}$ der Gestalt $y_{i}=\sigma ^{i}(y_{0})$ für $i=0,\dots ,n-1$.

Zum Beweis beachte, dass zunächst allgemein $\mu _{\sigma }(X)|X^{\operatorname {ord} \sigma }-1$, also $\deg \mu _{\sigma }\leq \operatorname {ord} \sigma$. Der Unabhängigkeitssatz von Dedekind liefert jedoch andererseits die lineare Unabhängigkeit der Familie $\{\sigma ^{i}\;|\;i=0,\dots ,\operatorname {ord} (\sigma )-1\}$, so dass notwendig $\deg \mu _{\sigma }(X)\geq \operatorname {ord} (\sigma )$.

Also gilt für ein $\sigma \in G(L/K)$ mit $L^{\sigma }=K$ stets: $\deg \mu _{\sigma }(X)=\operatorname {ord} \sigma =\deg \chi _{\sigma }(X)$, d. h.: $\mu _{\sigma }(X)=X^{\operatorname {ord} \sigma }-1=\chi _{\sigma }(X)$. Damit ist das obige Kriterium erfüllt und die Existenz einer Normalbasis nachgewiesen.

Zusammenfassung und alternativer Beweis durch Primärzerlegung

Wie für den Satz von der Existenz einer primitiven Einheitswurzel, so kann auch für den Satz von der Existenz einer Normalbasis im zyklischen Fall durch explizite Primärzerlegung des in Rede stehenden Moduls konstruktiv argumentiert werden, wie die folgende Gegenüberstellung verdeutlichen soll. Darf das obige Kriterium für die Zyklizität von Moduln über Hauptidealringen gemäß Elementarteilertheorie als bekannt vorausgesetzt werden, so ist der Beweis schon beim Zeichen „◀“ erbracht. Andernfalls kann der Beweis mittels Primärzerlegung vollendet werden, wie anschließend gezeigt.

Beweis durch Primärzerlegung: Gegenüberstellung

Endliche Untergruppen der Einheitengruppe eines Körpers sind zyklisch.	Endliche zyklische Galois-Erweiterungen besitzen eine Normalbasis.
Betrachtet wird eine endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers als (multiplikativ notierter, scil.) Modul über dem euklidischen Ring $\mathbb {Z}$.	Betrachtet wird eine zyklische Körpererweiterung $L/K$ endlichen Grades als Modul über der euklidischen Polynomalgebra $K[X]$.
Es sei also $U<K^{\times }$ eine endliche Untergruppe der Einheitengruppe $K^{\times }$ des Körpers $K$ und $h:=\operatorname {min} \{k\geq 1|\forall x\in U:x^{k}-1=0\}$ ihr Exponent (Annullator).	Es sei also $L/K$ eine Galois-Erweiterung mit zyklischer Galois-Gruppe $G=G(L/K)=\langle \sigma \rangle$ der Ordnung $\operatorname {ord} (\sigma )=n=(G:1)=[L/K]$. Betrachte $L$ als $K[X]$-Modul vermöge $f(X)\cdot y:=f(\sigma )(y)=f(\sigma (y))$. Es sei $\mu _{\sigma }(X)$ das Minimalpolynom von $\sigma$, das heißt $\mu =\mu _{\sigma }(X)\cdot L=0$ mit minimalem Grad $\deg \mu _{\sigma }(X)$.
Nach dem Satz über die Anzahl von Nullstellen gilt sind Ordnung und Exponent notwendig gleich: $n:=(U:1)=h$. ◀	Nach dem Unabhängigkeitssatz von Dedekind ist $n=\operatorname {ord} \sigma \leq \deg \mu _{\sigma }(X)|\chi _{\sigma }$, also $X^{n}-1=\mu _{\sigma }=\chi _{\sigma }$. ◀
Zerlege $n=h=\prod _{i}p_{i}^{v_{i}}$ in Primfaktoren, setze $h_{i}:={\frac {h}{p_{i}}}$ und finde $x_{i}\in U$ mit $x_{i}^{h_{i}}\neq 1$. Das ist möglich, weil $X^{h_{i}}-1$ nicht mehr als $h_{i}$ Nullstellen haben kann, aber $h_{i}<h=n=(U:1)$.	Zerlege $\mu (X)=\prod _{i}p_{i}(X)^{v_{i}}$ in irreduzible Faktoren, setze $\mu _{i}:={\frac {\mu (X)}{p_{i}(X)}}$ und finde $x_{i}\in L$ mit $\mu _{i}\cdot x_{i}\neq 0$ für jedes $i$. Das ist möglich, weil $\deg \mu _{i}<\deg \mu =\operatorname {ord} \sigma$.
Für die Ordnung $\operatorname {ord} y_{i}:=(\langle y_{i}\rangle :1)$ von $y_{i}:=x_{i}^{\frac {h}{p_{i}^{v_{i}}}}$ gilt somit $\operatorname {ord} y_{i}=p_{i}^{v_{i}}$, denn $y_{i}^{p_{i}^{v_{i}-1}}=x_{i}^{h_{i}}\neq 1=x_{i}^{h}=y_{i}^{p_{i}^{v_{i}}}$.	Für das Minimalpolynom $\mu _{y_{i}}(X)$ von $y_{i}:={\frac {\mu (X)}{p_{i}(X)^{v_{i}}}}\cdot x_{i}$ gilt somit $\mu _{y_{i}}(X)=p_{i}(X)^{v_{i}}$, denn ${p_{i}(X)^{v_{i}-1}}\cdot y_{i}=\mu _{i}\cdot x_{i}\neq 0=\mu \cdot x_{i}=p_{i}(X)^{v_{i}}\cdot y_{i}$
Für das Produkt $y:=\prod _{i}y_{i}$ dieser $y_{i}$ gilt nun $\operatorname {ord} y=\operatorname {kgV} \{\operatorname {ord} y_{i}|i\}=\prod _{i}\operatorname {ord} y_{i}=h=n\,.$	Für die Summe $y:=\sum _{i}y_{i}$ dieser $y_{i}\in L$ gilt nun $\operatorname {ann} y=\operatorname {kgV} \{\operatorname {ann} y_{i}|i\}=\prod _{i}\operatorname {ann} y_{i}=\mu (X)\,.$
Also ist $\mathbb {Z} \to U,\,k\mapsto y^{k}$ surjektiv mit Kern $(h)=(n)$, d. h. $U=\{y^{i}|i=0,\dots ,h-1\}$.	Also ist $K[X]\to L,\,f(X)\mapsto f(X)\cdot y$ surjektiv mit Kern $\mu (X)=X^{n}-1$, d. h. $L=\bigoplus _{i=0}^{n-1}K\sigma ^{i}(y)$.

Folgerung aus dem zyklischen Fall: Normalbasis für abelsche Erweiterungen

Nach dem Elementarteilersatz zerfällt jede endliche abelsche Gruppe in eine direkte Summe zyklischer Gruppen. Ist $L/K$ eine endliche abelsche Körpererweiterung mit der Galoisgruppe $G$, so korrespondieren mit ihren Elementarteilern (gemäß der Galoiskorrespondenz (Galois-Verbindung, Galois-Zusammenhang) des Hauptsatzes der Galoistheorie) Zwischenkörper, deren direkter Durchschnitt gleich dem Grundkörper $K$ ist, und äquivalent liefert die Galoiskorrespondenz also auch Zwischenkörper, deren direktes Kompositum gleich $L$ ist. So lässt sich eine Normalbasis für jede abelsche Erweiterung $L/K$ konstruieren.

Für absolut abelsche Zahlkörper, d. h. für abelsche Erweiterungen des Körpers $\mathbb {Q}$ war dies bereits Gegenstand der obigen Folgerungen bei Existenz einer Normalbasis zum Spezialfall der Kreisteilungskörper. Doch lässt sich der Beweis der Existenz einer Normalbasis für den nicht-zyklischen Fall auf andere Weise führen. In diesem Falle besitzt der Grundkörper notwendig unendlich viele Elemente.

Beweis im Falle eines unendlichen Grundkörpers

Es werden zwei Beweisvarianten gegeben.

Nach Serge Lang

Serge Langs Beweis setzt sogar unmittelbar bei dem obigen Matrizen-Kriterium für eine Normalbasis an: Das Polynom $\det \left[X_{\sigma \tau }\right]_{\tau \in G}^{\sigma \in G}=:f((X_{\sigma })_{\sigma \in G}))$ in den $(G:1)$ Unbestimmten $X_{\sigma }\;(\sigma \in G)$ verschwindet nicht identisch, weil sich bei Einsetzung von $X_{\sigma }\mapsto \delta (\sigma ,\operatorname {id} )\in \{0,1\}$ (Kronecker-Delta) eine unimodulare Matrix ergibt. Als Polynom über dem unendlichen Grundkörper $K$ ist $f$ reduziert. Daher gibt es ein $y\in L$, so dass $f$ bei Einsetzung $X_{\sigma }\mapsto \sigma (y)$ (für jedes $\sigma \in G$) einen von Null verschiedenen Wert annimmt und folglich die Matrix $\left[\sigma \tau (y)\right]_{\tau \in G}^{\sigma \in G}$, wie zu zeigen, regulär ist.

Dieser Beweis betrachtet also (mit $n:=(G:1)$) die Determinante der $n\times n$-Matrix der Gruppentafel, wobei ihre Einträge, die Automorphismen $\sigma \in G$, als Unbestimmte $X_{\sigma }$ aufgefasst werden. Da die Substitution $X_{\sigma }\mapsto \delta (\sigma ,1)$ die zur Permutation $\sigma \mapsto \sigma ^{-1}$ gehörige (unimodulare) Permutationsmatrix liefert, kann ihre Determinante nicht das Nullpolynom sein. Mit einem geeigneten $y\in L$ wird $f$ also bei der Substitution $X_{\sigma }\mapsto \sigma (y)$ nicht verschwinden, diese Substitution folglich eine reguläre Matrix liefern, wie gewünscht.

Der nachfolgend dargestellte Beweis von Emil Artin betrachtet Polynome in nur einer Unbestimmten und nutzt dazu die Lagrangeschen Interpolationspolynome mit der Menge der Konjugierten $G\alpha$ eines primitiven Elements $\alpha \in L$ der Galoiserweiterung als Menge der Stützstellen.

Nach Emil Artin

Für eine Galoiserweiterung $L/K$ eines unendlichen Grundkörpers $K$ vom Grade $[L:K]=:n$ wird wie folgt argumentiert:

Gemäß Voraussetzungen sei also $\alpha \in L$ ein primitives Element, so dass $L=K[\alpha ]$. Sein Minimalpolynom über $K$ sei $\mu _{\alpha }(X)=\mu (X)\in K[X]$. Gemäß Körpertheorie hat es den Grad $\deg \mu =n$, und es gilt $L=K[\alpha ]\cong K[X]/(\mu )=:L'$. Gemäß Galois-Theorie operiert die Galoisgruppe $G$ operiert scharf transitiv auf der Menge der Wurzeln des Minimalpolynoms. Sie sind also paarweise verschieden, können mit $\alpha _{\sigma }:=\sigma (\alpha )$ bezeichnet werden und sind sämtlich gleichermaßen als primitives Element $L=K[\alpha _{\sigma }]$ der Körpererweiterung geeignet.

Ferner werde die Operation der Gruppe $G$ fortgesetzt auf $L[X]$ durch $\sigma (X)=X$ für jedes $\sigma \in G$. Damit operiert $G$ auf $K[X]$ trivial, so dass insbesondere $\sigma (\mu (X))=\mu (X)$.

Die nun folgende tabellarische Gegenüberstellung soll Gemeinsamkeiten und Unterschiede in Einzelheiten zweier Beweise verdeutlichen, die Emil Artin bzw. Bartel L. van der Waerden gegeben haben.

Beweis für einen unendlichen Grundkörper

no.	Beweis nach Emil Artin	Derselbe Beweis mit begrifflichem Hintergrund nach Bartel L. van der Waerden
1	Betrachte $p_{\sigma }(X):={\frac {\mu (X)}{(X-\alpha _{\sigma })\mu '(\alpha _{\sigma })}}\in L[X]$. Dabei gilt: $p_{\sigma }(X)={\frac {\mu (X)}{(X-\alpha _{\sigma })\cdot \mu '(\alpha _{\sigma })}}=\prod _{\tau \in G\backslash \{\sigma \}}{\frac {X-\alpha _{\tau }}{\alpha _{\sigma }-\alpha _{\tau }}}$.	Betrachte den Restklassenring (Siehe auch Faktorring) $A:=L[X]/(\mu )$: Dieser kann mit dem Tensorprodukt der $K$-Algebren $L'$ und $L$ identifiziert werden. Bezeichnet nämlich $\xi :=X+(\mu )\in L'$ die Klasse der Unbekannten $X$, so bilden $\xi ^{0},\xi ^{1},\dots ,\xi ^{n-1}$ eine $K$-Basis $L'$ und $\alpha ^{0},\alpha ^{1},\dots ,\alpha ^{n-1}$ eine $K$-Basis von $L$. Dann ist tatsächlich $\{\alpha ^{i}\xi ^{j}|0\leq i,j\leq n-1\}$ eine $K$-Basis der Algebra $A$, die sich daher als das Tensorprodukt der $K$-Algebren $L'$ und $L$ auffassen lässt: $A:=L[X]/(\mu )\cong L\otimes _{K}L'$. Daher bilden $\xi ^{0},\xi ^{1},\dots ,\xi ^{n-1}$ eine $L$-Basis von $A$ und $\alpha ^{0},\alpha ^{1},\dots ,\alpha ^{n-1}$ eine $L'$-Basis von $A$. Die Operation der Gruppe $G$ auf $L[X]$ induziert wegen $\sigma (\mu (X))=\mu (X)$ (also $\sigma (\xi )=\xi$) eine Operation auf $A=L[X]/(\mu (X))$. Auf $L'=K[X]/(\mu (X))$ operiert sie hierbei trivial. Mit anderen Worten: Jeder Automorphismus $\sigma \in G$ wird durch das Tensorprodukt von Abbildungen $\sigma \otimes \operatorname {id} _{L'}$ auf $A=L\otimes L'$ fortgesetzt.
2	Es gilt notwendig $\sum _{\sigma }p_{\sigma }(X)=1$, denn auf beiden Seiten stehen Polynome, deren Grad höchstens $n-1$ beträgt und die an $n$ Stellen übereinstimmen, nämlich auf $\{\alpha _{\sigma }|\sigma \in G\}$.	Mit Hilfe der Langrangeschen Interpolation lässt sich eine weitere $L$-Basis von $A$ angeben: Da ja alle Wurzeln $\{\alpha _{\sigma }|\sigma \in G\}\subset L$ paarweise verschieden sind, lässt sich jedes Polynom $f(X)\in L[X]$ vom Grad $\deg f\leq n-1$ in eindeutiger Weise als Linearkombination der Lagrangeschen Interpolations-Polynome $p_{\sigma }(X):=\prod _{\tau \neq \sigma }{\frac {X-\alpha _{\tau }}{\alpha _{\sigma }-\alpha _{\tau }}}\in L[X]$ vom Grad $\deg p_{\sigma }(X)=n-1$ darstellen: Diese haben nämlich die Eigenschaft, dass $p_{\sigma }(\alpha _{\tau })=\delta _{\sigma ,\tau }$ (Kronecker-Delta), so dass notwendig $f(X)=\sum _{\sigma \in G}f(\alpha _{\sigma })\cdot p_{\sigma }(X)$ für jedes Polynom $f\in L[X]$ mit $\deg f\leq n-1$ und zwar in eindeutiger Weise. Insbesondere für das konstante Polynom $f=1$ erhält man $1=\sum _{\sigma \in G}p_{\sigma }(X)$. Durch den Übergang $L[X]\to L[X]/(\mu )=A$ zu den Restklassen $e_{\sigma }:=p_{\sigma }(\xi )\in A$ folgt also $1=\sum _{\sigma \in G}e_{\sigma }$. Da jene Polynome $f\in L[X]$ mit $\deg f\leq n-1$ ganz $A=L[X]/(\mu )$ repräsentieren, so ist $A=\sum _{\sigma \in G}e_{\sigma }L$, und dabei handelt es sich um eine direkte Summe $A=\bigoplus _{\sigma \in G}e_{\sigma }L$ von Teilräumen, weil die Darstellung eindeutig ist.
3	Für $\sigma \neq \tau$ verschwindet das Produkt $p_{\sigma }(X)\cdot p_{\tau }(X)$ auf allen Nullstellen von $\mu (X)$. Daher gilt $p_{\sigma }(X)\cdot p_{\tau }(X)\equiv 0\mod \mu (X)$	In $A$ gilt nun die Beziehung $e_{\sigma }e_{\tau }=\delta _{\sigma ,\tau }e_{\sigma }$, die sich im euklidischen Ring $L[X]$ als Kongruenz ${\bmod {\mu }}(X)$ leicht verifizieren lässt: Für $\sigma \neq \tau$ gilt zunächst $e_{\sigma }e_{\tau }=0$ (Begründung siehe links), und …
4	Multipliziert man obige Summenbeziehung mit $p_{\tau }(X)$, so folgt $p_{\tau }(X)\cdot p_{\tau }(X)\equiv p_{\tau }(X)\mod \mu (X)$ für jedes $\tau \in G$.	… es gilt $e_{\sigma }e_{\sigma }=e_{\sigma }$ (Begründung siehe links).
5	Es gilt $\sigma (p_{\tau }(X))=p_{\sigma \tau }(X)=\sigma \tau (p(X))$, wobei $p(X):=p_{\operatorname {id} }(X){\stackrel {\text{def}}{=}}{\frac {\mu (X)}{(X-\alpha )\mu '(\alpha )}}$.	Die Gruppe $G$ permutiert die Lagrangeschen Polynome $p_{\sigma }(X)$ (gemäß ihrer Definition) und folglich auch ihre Nebenklassen $e_{\sigma }\in A$ in eben derselben Weise, wie sie die Wurzeln $\{\alpha _{\sigma }\}$ permutiert.
6	Die Einträge des Matrizenprodukts aus der quadratischen Matrix $M(X):=\left[\sigma \tau (p(X))\right]_{\tau \in G}^{\sigma \in G}\in \operatorname {Mat} (n\times n,L[X])$ und ihrer Transponierten $M(X)^{T}$ sind demnach in der Hauptdiagonalen gleich $1$, während sie außerhalb der Diagonalen sämtlich modulo $\mu (X)$ verschwinden: $\det \left(M(X)^{T}\cdot M(X)\right)\equiv 1{\bmod {(}}\mu (X))$. Um die Matrix $M(X)$ wohl zu definieren, müsste die Reihenfolge ihrer Spalten und Zeilen, also die der Elemente $\sigma \in G$ festgelegt werden. Da jedoch nur das Verschwinden der Determinante benötigt wird, welche bei Vertauschungen lediglich das Vorzeichen wechselt, möge diese Schreibweise genügen. Eine Argumentationsvariante an dieser Stelle besteht in der Feststellung, dass $\det M(\alpha )=\det \left[p_{\sigma \tau }(\alpha )\right]_{\tau \in G}^{\sigma \in G}=\pm 1$, weil $\sigma \tau (p(X))=p_{\sigma \tau }(X)$ und $p_{\sigma \tau }(\alpha )=\delta (\sigma ,\tau ^{-1})$ (Kronecker-Delta). Damit erübrigen sich die Beweisschritte 3 und 4, und anstelle von Beweisschritt 2 genügt die Feststellung $p_{\sigma }(a_{\tau })=\delta (\sigma ,\tau )$. Tatsächlich zielt dieser Beweisschritt lediglich auf eine Begründung dafür, dass das Polynom $\det M(X)$ nicht identisch verschwindet.	Für die Teilräume $e_{\sigma }L$ (die „direkten Summanden“) gilt also $A(e_{\sigma }L)=e_{\sigma }L$: Es sind also Ideale. Zudem ist jedes $e_{\sigma }L$ (als isomorphes Bild des Körpers $L$) selbst ein Körper mit dem Einselement $e_{\sigma }$ (wobei $e_{\sigma }\neq 1$). Dabei annullieren sich verschiedene Körper: $e_{\sigma }L\cdot e_{\tau }L=\delta _{\sigma ,\tau }e_{\sigma }L$. Ebenso sind auch die Teilringe $e_{\sigma }L'<A$ Ideale und (als isomorphe Bilder von $L'$) Körper, die sich gegenseitig annullieren, so dass die Summe $\sum _{\sigma \in G}e_{\sigma }L'$ der Teilräume notwendig direkt ist und daher aus Dimensionsgründen die gesamte Algebra aufspannt: $A=\bigoplus _{\sigma \in G}e_{\sigma }L'=\bigoplus _{\sigma \in G}e_{\sigma }L$ (als Vektorraum). Es gilt sogar $e_{\sigma }L=e_{\sigma }L'$, denn wählt man in der obigen Lagrangeschen Interpolation $f(X)=\sum _{\sigma }f(\alpha _{\sigma })p_{\sigma }(X)$ die Polynome $f(X)\in K[X]$ (mit $\deg f\leq n-1$), so repräsentieren sie im Übergang $X\mapsto \xi$ ganz $K[X]/(\mu )=L'$ und im Übergang $X\mapsto \alpha$ ganz $K[\alpha ]=L$. Geht man zu den Restklassen über ($X\mapsto \xi$), so erhält man: $f(\xi )=\sum _{\sigma }\underbrace {f(\alpha _{\sigma })} _{\in K[\alpha ]=L}e_{\sigma }$. Multiplikation mit $e_{\tau }$ ergibt: $e_{\tau }L'=e_{\tau }L$. Damit ist die Darstellung $A=\bigoplus _{\sigma \in G}e_{\sigma }L'$ ein zweites Mal begründet. Also bilden die $e_{\sigma }$ eine Normalbasis von $A/L'$. Gesucht ist jedoch eine Normalbasis von $L/K$. Beachte: Umgekehrt wäre eine Normalbasis von $L/K$ zugleich eine Basis von $A/L'$, und zwar eine Normalbasis, da ja $G$ auf $K[X]$ trivial operiert.
7	Also ist auch $D(X):=\det M(X)\neq 0$.	Es sei nun $\{y_{\sigma }\,|\,\sigma \in G\}\subset L$ eine Basis von $L/K$. Dann ist es zugleich eine Basis von $A/L'$, denn jedes Polynom $f(X)\in L[X]=L^{(\mathbb {N} )}=\left(\bigoplus _{\sigma }Ky_{\sigma }\right)^{(\mathbb {N} )}$ zerfällt in eine Summe von Polynomen über $K$ gemäß $f(X)=\sum _{i}f_{i}X^{i}=:\sum _{i}\left(\sum _{\sigma }y_{\sigma }f_{i}^{(y_{\sigma })}\right)X^{i}=\sum _{\sigma }y_{\sigma }\underbrace {\left(\sum _{i}f_{i}^{(y_{\sigma })}X^{i}\right)} _{\in K[X]}$, und der Übergang zu den Restklassen $X\mapsto \xi$ liefert die Behauptung. Dies gilt insbesondere für die Lagrangeschen Interpolationspolynome $p_{\sigma }(X)\in L[X]$, das heißt: Es gibt eine Matrix $B_{\tau }^{\sigma }(X)=\left(\pi _{\tau }^{\sigma }(X)\right)_{\tau }^{\sigma }\in \operatorname {Mat} (n\times n,K[X])$ mit $p_{\tau }(X)=\sum _{\sigma \in G}\pi _{\tau }^{\sigma }(X)\cdot y_{\sigma }$. Im Übergang $X\mapsto \xi$ erhält man $e_{\tau }=\sum _{\sigma \in G}\pi _{\tau }^{\sigma }(\xi )\cdot y_{\sigma }$. Diese Matrix hat Einträge $\pi _{\tau }^{\sigma }(\xi )\in K[X]/(\mu (X))=L'$ und ist regulär, da die $e_{\tau }$ eine Basis bilden. Also ist $\det B(\xi )\neq 0$, also auch $d(X):=\det B(X)\in K[X]\backslash \{0\}$.
8	Nun besitzt $D(X)$ als Polynom über $L$ höchstens endlich viele Nullstellen.	Nun besitzt $d(X)\in K[X]$ nur endlich viele Nullstellen in $K$.
9	Da $G$ auf $K[X]$ trivial operiert, bleiben obige Beziehungen bestehen, wenn für die Unbestimmte $X$ Elemente $x\in K$ eingesetzt werden.	Auf der Transformationsmatrix $B(X)\in \operatorname {Mat} (n\times n,K[X])$ operiert $G$ trivial, wie oben erwähnt. Diese Tatsache wird aber gar nicht benötigt werden, weil es ein viel eleganteres Argument gibt.
10	Da $K$ unendlich, gibt es (sogar unendlich viele) $x\in K$ mit $D(x)\neq 0$. Ein solches sei nun ausgewählt.	Da $K$ unendlich, gibt es (sogar unendlich viele) $x\in K$ mit $d(x)\neq 0$. Ein solches sei nun ausgewählt.
11	Wegen $x\in K$ bleibt, wie bereits erwähnt, auch die Beziehung $\tau ((p(X))=p_{\tau }(X)$ für $X=x$ bestehen. Setzt man $\gamma :=p(x)$, so ist $\tau (\gamma )=p_{\tau }(x)=:\gamma _{\tau }$ für jedes $\tau \in G$.	Für jedes $\tau \in G$ setze $\eta _{\tau }:=\sum _{\sigma \in G}\pi _{\tau }^{\sigma }(x)\cdot y_{\sigma }=p_{\tau }(x)$, so dass $\tau (\eta _{1})=\tau (p_{1}(x))=p_{\tau }(x)=\eta _{\tau }$.
12	Werden nun auf eine Relation $\sum _{\tau }\kappa _{\tau }\cdot \gamma _{\tau }=0$ (mit $\kappa _{\tau }\in K$) alle Automorphismen $\sigma \in G$ angewendet, so hat das entstehende Gleichungssystem in den Unbekannten $\kappa _{\tau }$ die Determinante $D(x)\neq 0$, kann also (schon in $L$, geschweige denn in $K$) nur trivial gelöst werden: $\kappa _{\tau }=0$ für jedes $\tau \in G$. Daher bedeutet $D(x)\neq 0$, dass die Bahn $G\cdot \gamma$ aus $n$ über $K$ linear unabhängigen Elementen von $L$ besteht.	Wegen $\det B(x)=d(x)\neq 0$ ist $B(x)\in \operatorname {Mat} (n\times n,K)$ regulär und bildet als Basistransformation die Basis $y_{\sigma }$ auf eine weitere Basis $\eta _{\sigma }$ ab.
13	Also ist die Bahn $G\cdot \gamma$ eine Normalbasis.	Also bilden $\eta _{\sigma }$ ($\sigma \in G$) eine Normalbasis von $L/K$.

Anwendung auf endliche Grundkörper

Galoiserweiterungen $E$ endlicher Grundkörper $F:=\mathbb {F} _{q}=\operatorname {GF} (q)$ sind zyklisch, ihre Galoisgruppe $G=G(E/F)$ wird vom Frobenius-Homomorphismus $\phi :y\mapsto y^{q}$ erzeugt, wobei $q:=\#F=:p^{k}$ eine Potenz der Charakteristik $p:=\operatorname {Char} F$ ist. Dabei bezeichne $n=[E:F]$ der Grad der Erweiterung und mithin zugleich des Minimalpolynoms $\mu _{\alpha }(X)\in F[X]$.

• Ist $\alpha \in E$ ein primitives Element dieser Körpererweiterung, das heißt gilt $E=F[\alpha ]$, so bilden die Potenzen $\alpha ^{i}\,(i=0,\dots ,n-1)$ eine $F$-Basis von $E$.
• Ist hingegen $\alpha$ Erzeugendes einer Normalbasis, so bilden die Potenzen $\alpha ^{q^{i}}\,(i=0,\dots ,n-1)$ eine Normalbasis von $E/F$.

Ist also die Bahn $Gy$ eine Normalbasis der Erweiterung $E/F$ vom Grade $[E:F]=:n$, so liefert die Koordinatendarstellung $\eta =\sum _{i=0}^{n-1}\eta _{i}\phi ^{i}(y)=\sum _{i=0}^{n-1}\eta _{i}y^{q^{i}}$ zu einem $\eta \in E$ ein $n$-Tupel $(\eta _{n-1},\eta _{n-2},\dots ,\eta _{1},\eta _{0})$ aus $\underbrace {F\times \cdots \times F} _{n{\text{ Mal}}}=:F^{(n)}$. Die Anwendung des Frobenius-Homomorphismus, also die Potenzierung mit $q$, spiegelt sich in zyklischer Vertauschung dieser Koordinaten wider: Zu $\phi (\eta )=\eta ^{q}=\sum _{i=0}^{n-1}\eta _{i}y^{q^{i+1}}$ gehören die Koordinaten $(\eta _{n-2},\dots ,\eta _{1},\eta _{0},\eta _{n-1})$, da $\eta _{n-1}^{q^{n}}=\eta _{n-1}$ (d. h. $\phi ^{n}=\phi ^{0}\in G$).

Tabellarisch: $\left\lbrace {\begin{array}{lclclclcl}\phi ^{0}(\eta )&=&\eta ^{1}&=&\sum _{i=0}^{n-1}\eta _{i}y^{q^{i}}&&&\longleftrightarrow &(\eta _{n-1},\eta _{n-2},\eta _{n-3},\eta _{n-4},\dots ,\eta _{1},\eta _{0})\in F^{(n)}\\\phi ^{1}(\eta )&=&\eta ^{q}&=&\sum _{i=0}^{n-1}\eta _{i}y^{q^{i+1}}&&&\longleftrightarrow &(\eta _{n-2},\eta _{n-3},\eta _{n-4},\dots ,\eta _{1},\eta _{0},\eta _{n-1})\in F^{(n)}\\\phi ^{2}(\eta )&=&\eta ^{q^{2}}&=&\sum _{i=0}^{n-1}\eta _{i}y^{q^{i+2}}&&&\longleftrightarrow &(\eta _{n-3},\eta _{n-4},\dots ,\eta _{1},\eta _{0},\eta _{n-1},\eta _{n-2})\in F^{(n)}\\\phi ^{3}(\eta )&=&\eta ^{q^{3}}&=&\sum _{i=0}^{n-1}\eta _{i}y^{q^{i+3}}&&&\longleftrightarrow &(\eta _{n-4},\dots ,\eta _{1},\eta _{0},\eta _{n-1},\eta _{n-2},\eta _{n-3})\in F^{(n)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &&&\vdots &\vdots \\\phi ^{j}(\eta )&=&\eta ^{q^{j}}&=&\sum _{i=0}^{n-1}\eta _{i}y^{q^{i+j}}&=&\sum _{i=0}^{n-1}\eta _{i}\phi ^{i+j}(y)&\longleftrightarrow &(\eta _{n-(j+1)},\dots ,\eta _{1},\eta _{0},\eta _{n-1},\eta _{n-2},\dots ,\eta _{n-j})\in F^{(n)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &&&\vdots &\vdots \\\phi ^{n}(\eta )&=&\eta ^{q^{n}}&=&\sum _{i=0}^{n-1}\eta _{i}\underbrace {y^{q^{i+n}}} _{=y^{q^{i}}=\phi ^{i}(y)}&=&\eta &\longleftrightarrow &(\eta _{n-1},\eta _{n-2},\eta _{n-3},\eta _{n-4},\dots ,\eta _{1},\eta _{0})\in F^{(n)}\end{array}}\right\rbrace$

Dies ist für $F=\operatorname {GF} (2)=\{0,1\}$ von Nutzen für die Kryptographie auf elliptischen Kurven: Die Koordinaten sind dann Null oder Eins.

Zur Geschichte

Der Satz von der Existenz einer Normalbasis für eine endliche Galoiserweiterung $L/K$ wurde zunächst für endliche Grundkörper $K$ bewiesen:

• 1850: Gotthold Eisenstein bewies den Fall eines Primkörpers $K=\mathbb {F} _{p}$: Lehrsätze, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 39, 1850, Seiten 180–182.
• 1850: Theodor Schönemann bewies den Fall einer Erweiterung von Primzahlgrad: Über einige von Herrn Dr. Eisenstein aufgestellte Lehrsätze, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 40, 1850, Seiten 185–187.
• 1888: Kurt Hensel bewies den Fall eines endlichen Grundkörpers $K$ im Allgemeinen: Über die Darstellung der Zahlen eines Gattungsbereiches für einen beliebigen Primdivisor, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 103, 1888, Seiten 230–273.

Später wurde der Satz auch für unendliche Grundkörper $K$ nachgewiesen:

• 1932: Emmy Noether zeigt den Satz für gewisse unendliche Grundkörper $K$: Normalbasis bei Körpern ohne höhere Verzweigung, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 103, 1888, Seiten 230–273.
• 1932: Max Deuring verallgemeinert auf beliebige unendliche Grundkörper: Galoissche Theorie und Darstellungstheorie, in: Mathematische Annalen, Band 107, 1932, Seiten 140–144. Er benutzt dabei das Argument von Deuring-Noether, mit welchem der endliche und unendliche Fall zugleich begründet werden. Hierzu siehe auch Charles W. Curtis und Irving Reiner: Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras, AMS, 1962, 689 p. (ISBN 978-0-8218-4066-5), Seite 200.
• 1948: Emil Artin gibt für den unendlichen Fall ein auf der Determinantentheorie beruhendes Argument und für den endlichen Fall ein gänzlich anderes Argument: Linear Mappings and the Existence of a Normal Basis, in: Volume für Richard Courant's 60th birthday, Interscience Publications, 1948, Seiten 1–5. Dieser Darstellung folgen die meisten Lehrbücher.
• 1975: T. R. Berger und Irving Reiner geben, inspiriert von Max Deurings Artikel, die oben angegebene Zurückführung auf den Satz von Krull-Remak-Schmidt: A Proof of the Normal Basis Theorem, in: American Mathematical Monthly, vol. 82, no 9, November 1975, Seiten 915–918. online

Nach dem Satz über die Existenz einer Normalbasis nennt man ein Element $y\in L$, dessen Bahn $Gy$ über dem Grundkörper $K$ den Erweiterungskörper $L$ (als Vektorraum über dem Grundkörper) aufspannt (d. h., ein Erzeuger der Normalbasis ist), ein freies Element über $K$ oder freies Element für die Erweiterung $L/K$.

In Verallgemeinerung des Satzes über die Existenz einer Normalbasis wurde bewiesen, dass es sogar ein vollständig freies Element $y\in L$ gibt, d. h. eines, welches zugleich für alle Zwischenerweiterungen $Z(L/Z/K)$ jeweils eine Normalbasis von $L/Z$ erzeugt: $L=\bigoplus _{\sigma \in G(L/Z)}Z\cdot \sigma (y)$.

• 1957 zeigte dies Carl Clifton Faith für unendliche Körper, indem er Emil Artins Argumente verallgemeinerte: Extensions of normal bases and completely basic fields, in: Transactions of the American Mathematical Society, vol. 85, 1957, Seiten 406–427.
• 1986 zeigten dies D. Blessenohl und K. Johnsen für endliche Körper: Eine Verschärfung des Satzes von der Normalbasis, in: Journal of Algebra, vol. 103, 1986, Seiten 141–159.
• 1996: Dirk Hachenberger: Completely Free Elements, in: Stephen D. Cohen und Harald Niederreiter: Finite Fields and Applications, Cambridge University Press, coll. London Mathematical Society Lecture Note Series, (no 233), 1996 (ISBN 978-0-521-56736-7), Seiten 97–107.
• 1997: Dirk Hachenberger gibt einen konstruktiven Nachweis der Existenz freier und vollständiger freier Elemente über endlichen Grundkörpern (Galois-Feldern): Finite fields: Normal bases and completely free elements, Kluwer Academic Publishing (1997).

Für Erweiterungen endlicher Grundkörper (Galois-Felder) können sogar stets solche Erzeugenden einer Normalbasis gefunden werden, die Elemente von maximaler Ordnung in der multiplikativen Gruppe $L^{\times }$ sind: Diese erzeugen also $L$ als $K[G]$-Linksmodul und $L^{\times }$ als $\mathbb {Z}$-Modul. Dann (und genau dann) teilt jedes Element der Normalbasis diese Eigenschaft. Solche Erzeugenden werden primitiv genannt.

• 1968: Dies bewies Harold Davenport für endliche Primkörper $K$: Bases for finite fileds, J. London Math. Soc, vol 43 (1968), 21-39, MR 227144, DOI

• 1987: Für beliebige endliche Körper bewiesen es Hendrik Willem Lenstra Jr. und René J. Schoof: Primitive normal bases for finite fields, Mathematics of Computation, Band 48 (177), Seiten 217–231. doi:10.2307/2007886. JSTOR 2007886. ZbMATH 0615.12023
• Siehe dazu auch: Rudolf Lidl, Harald Niederreiter: Finite fields , Addison-Wesley (1983) Zbl 0554.12010; second edition Cambridge University Press (1996) ISBN 0-521-39231-4 Zbl 0866.11069.

Siehe auch

• Galoistheorie
• Körpererweiterung

Literatur

• Bartel Leendert van der Waerden: Algebra I. Unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether, 8. Auflage (der Modernen Algebra) Springer-Verlag, 1971, Heidelberger Taschenbücher Band 12, ISBN 3-540-03561-3.
• Emil Artin: Linear mappings and the existence of a normal basis. Studies und Essays presented to Richard Courant on his 60th birthday (Interscience Publishers, New York, S. 1 (1948)).
• Emil Artin: Galoissche Theorie. 3. Auflage. Harri Deutsch, 1988, ISBN 3-8171-1714-0.
  • Deutsche Erstausgabe Teubner 1959.
  • Englische Ausgabe: Galois Theory. Dover Publications, 1998, ISBN 0-486-62342-4. Online-Version oder Online-Version. Lectures delivered at the University of Notre Dame, edited and supplemented with a Section on Applications by Dr. Arthur N. Milgram, Notre Dame, Indiana, 1942 (2. Auflage 1948).
• Serge Lang: Algebra. Second Edition, Addison-Wesley, 1984.
• Nathan Jacobson: Algebra I. W. H. Freeman and Company, San Franciso 1974, ISBN 0-7167-0453-6.

Ältere Literatur

• David Hilbert: Die Theorie der algebraischen Zahlkörper (auch bekannt als Zahlbericht). 1897. In: Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereinigung. Band 4, 1897, S. 175–546 und 7. Die Theorie der algebraischen Zahlkörper. In: Gesammelte Abhandlungen. Band 1: Zahlentheorie. Julius Springer, Berlin 1932 (Volltext [Wikisource]).
• David Hilbert: Ein neuer Beweis des Kroneckerschen Fundamentalsatzes über Abelsche Zahlkörper. 1896 In: Aus den Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-physikalische Klasse. 1896, S. 29–39 und Gesammelte Abhandlungen. Band 1: Zahlentheorie. Kapitel 6, Julius Springer, Berlin 1932 (Volltext [Wikisource]).
• Emmy Noether: Normalbasis bei Körpern ohne höhere Verzweigung. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 167, 147–152 (1932). 24. August 1931, S. 147–152, abgerufen am 29. Juni 2022 (SUB Göttinger Digitalisierungszentrum). 
• Max Deuring: Galoissche Theorie und Darstellungstheorie. In: Mathematische Annalen, Band 107, 140–144 (1933). 17. Dezember 1931, S. 140–144, abgerufen am 29. Juni 2022 (SUB Göttinger Digitalisierungszentrum). 
• Andreas Speiser: Die Zerlegungsgruppe. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik (vulgo „Crelle-Journal“), Band 149 (1919). 1919, S. 174–188, abgerufen am 10. Januar 2023 (SUB Göttinger Digitalisierungszentrum). 

Weiterführende Literatur

• John William Scott Cassels, G. E. Wall: The Normal Basis Theorem. In: Journal of the London Mathematical Society, Vol s1–25, issue 4, 259–264, October 1950. Abgerufen am 29. Juni 2022. 
• Friedrich Kasch: Über den Endomorphismenring eines Vektorraumes und den Satz von der Normalbasis. In: SUB Göttinger Digitalisierungszentrum. 29. Januar 1953, S. 447–463, abgerufen am 29. Juni 2022 (Mathematische Annalen, Band 126, 447–463 (1953)).  Kasch betrachtet in diesem Artikel auch Schiefkörpererweiterungen und schlägt so die Brücke zur Algebrentheorie.
• Normal basis theorem. In: Encyclopedia of Mathematics. Abgerufen am 17. Februar 2022 (Artikel von Dieter Jungnickel (Originalartikel) und Richard Pinch (Adaption)). 

Einzelnachweise

Kategorie:Algebra Kategorie:Körpertheorie Kategorie:Zahlentheorie Kategorie:Algebraische Zahlentheorie Kategorie:Darstellungstheorie

Zum Tensorprodukt

siehe dort.

Beispiel aus der Zahlentheorie: Kollabierendes Tensorprodukt

Der Ring $\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen ist ein euklidischer Ring. Jeder euklidische Ring – wie etwa der Ring der Gaußschen Zahlen $\mathbb {Z} [\mathrm {i} ]$ oder die Polynomalgebra $K[X]$ über einem Körper – ist ein Hauptidealring. Das folgende Beispiel illustriert einen, wie ihre Primärzerlegung lehrt, für Torsionsmoduln über Hauptidealringen typischen Fall.

Betrachte für zwei ganze Zahlen $m_{1},m_{2}$ das Tensorprodukt $\mathbb {Z} /(m_{1})\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(m_{2})$ der beiden Restklassenringe $\mathbb {Z} /(m_{j})$, die ja Moduln über $\mathbb {Z}$ sind.

Ist $d=n_{1}m_{1}+n_{2}m_{2}$ für zwei Zahlen $n_{i}\in \mathbb {Z}$, so gilt für jeden elementaren Tensor $x_{1}\otimes x_{2}\in \mathbb {Z} /(m_{1})\otimes \mathbb {Z} /(m_{2})$:

${\begin{array}{ccc|r}d\cdot (x_{1}\otimes x_{2})&=&(n_{1}m_{1}+n_{2}m_{2})\cdot (x_{1}\otimes x_{2})&{\text{durch Einsetzen}}\\&=&(n_{1}m_{1})\cdot (x_{1}\otimes x_{2})+(n_{2}m_{2})\cdot (x_{1}\otimes x_{2})&{\text{Distributivität im Modul }}\mathbb {Z} /(m_{1})\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(m_{2})\\&=&(n_{1}m_{1}\cdot x_{1})\otimes x_{2}+x_{1}\otimes (n_{2}m_{2}\cdot x_{2})&{\text{Bilinearität}}\\&=&0\otimes x_{2}+x_{1}\otimes 0&{\text{ da ja }}m_{j}x_{j}=0\in \mathbb {Z} /(m_{j}){\text{ für }}j=1,2\\&=&0\;.\end{array}}$

Tatsächlich lassen sich für den größten gemeinsamen Teiler $d:=\mathrm {ggT} (m_{1},m_{2})$ solche Zahlen $n_{i}\in \mathbb {Z}$ finden. Also annulliert der größte gemeinsame Teiler das gesamte Tensorprodukt:

$d\cdot {\big (}\mathbb {Z} /(m_{1})\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(m_{2}){\big )}=\{0\}$.

Von nun an seien die beiden Zahlen teilerfremd, das heißt, für den größte gemeinsame Teiler gelte $\mathrm {ggT} (m_{1},m_{2})=1$.

Dann folgt, dass das Tensorprodukt zum Nullmodul kollabiert:

$\mathbb {Z} /(m_{1})\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /(m_{2})=\{0\}$.

Mit anderen Worten: Es wurde gezeigt, dass eine $\mathbb {Z}$-bilineare Abbildung $\mathbb {Z} /(m_{1})\times \mathbb {Z} /(m_{2})\to Y$ (bei teilerfremden ganzen Zahlen $m_{1},m_{2}$) notwendig die triviale Nullabbildung ist.

Man beachte hier den großen Unterschied zwischen direktem Produkt und Tensorprodukt: Während das Tensorprodukt zu

$\mathbb {Z} /(m_{1})\otimes \mathbb {Z} /(m_{2})\cong \{0\}$

kollabiert, liefert das direkte Produkt nach dem Chinesischen Restsatz den Restklassenring

$\mathbb {Z} /(m_{1})\times \mathbb {Z} /(m_{2})\cong \mathbb {Z} /(m_{1}\cdot m_{2})$.

Ebenso lässt sich zeigen: Das Tensorprodukt endlich erzeugter Torsionsmoduln über Hauptidealringen mit teilerfremden Annullatoridealen (wie etwa endlicher abelscher Gruppen teilerfremder Exponenten (oder erst recht Ordnungen)) kollabiert.