Benutzer:Filomusa/Labor

Wunschliste

• Tensorprodukt, Tensor
• Vektorräume (auch über Schiefkörpern), wichtig übrigens nach einem wichtigen Satz von Veblen, siehe Oswald Veblen.
• Dualraum und Bidualraum
• Satz von Cayley-Hamilton
• Adel(e)ring
• Satz von Frobenius (Charakteristische Abbildung), Norm und Spur.
• Fundamentalsatz der Algebra (zwei weitere Beweise (EA-OS, H.B.))
• Azumaya-Algebra (über Körper bzw. über Ring)
• Lemma von Rieffel
• Dichte-Theorem von N. Jacobson (density theorem)
• Satz von Wedderburn: Bew E.A.
• Satz von (Albert-)Brauer-Hasse-Noether
• Zentralisatorsatz
• QFT und Gruppencharaktere, Gruppenalgebra
• Existenz einer Normalbasis (zykl und allgemeiner Fall)

Zum Fundamentalsatz der Algebra

2022-12-05 eingefügt.

Beweis mit algebraischen Methoden und Zwischenwertsatz

Beweis nach Laplace 1795

Laplace' Beweis nach Reinhold Remmert in "Zahlen", Seite 96f. Dieser Beweis sollte eigentlich VOR den Gaußschen eingefügt werden.

Benutzt für reelle Polynome bzw über $\mathbb {R}$:

• P=Q
• B-W
• Hauptsatz über elementarsymmetrische Funktionen (Newton 1673), über welchen (historisch gesehen) der Zugang zur Galoistheorie gelang.
• Existenz eines Zerfällungskörpers über $\mathbb {R}$. Dass es fiktive Wurzeln gibt, (also einen Wurzelkörper $\mathbb {W}$), galt seinerzeit auch ohne Beweis als hinreichend glaubwürdig. Euler, Lagrange und Laplace benutzen dies ohne Beweis. Wie hat Gauß diese Existenzfrage gelöst?

• Wesentlich ist der Laplacesche Kunstgriff zur Definition von $g_{x}(X)=\prod _{1\leq i<j\leq n}(X-(\alpha _{i}+\alpha _{j}+x\alpha _{i}\alpha _{j}))$. Hinter diesem Kniff steht, wie erst später deutlich wurde, der Satz vom primitiven Element (bzw. die Existenz einer „Galois-Resolvente“).
• Anstelle der Galoistheorie springen andere Argumente ein:
• Den Nachweis, dass $g_{x}(X):=g(X)\in K[X]$ (mit $K=\mathbb {R}$), liefert der Hauptsatz über elementarsymmetrische Funktionen von Newton (1673).
• An die Stelle der Aussage, dass Zwischenkörper $Z=K[\alpha _{1}+\alpha _{2},\alpha _{1}\alpha _{2}]=K[a,c]=K[y]$, tritt die Aussage, dass nach Induktionsvoraussetzung (angewandt auf die Familie der $(g_{x}(X)_{x\in K}$ für festgewähltes Paar $(i,j)$ sich ein Paar $x_{1},x_{2}\in K,x_{1}\neq x_{2}$ finden lassen muss, mit $\alpha _{i}+\alpha _{j}+x_{1}\alpha _{i}\alpha _{j},\alpha _{i}+\alpha _{j}+x_{2}\alpha _{i}\alpha _{j}\in \mathbb {C}$. Woraus (wegen $x_{1}\neq x_{2}$) folgt, dass $q:=\alpha _{i}\alpha _{j}\in \mathbb {C} ,\,p:=\alpha _{i}+\alpha _{j}\in \mathbb {C}$ und also $\alpha _{i},\alpha _{j}$ Nullstellen von $X^{2}-pX+q$ sind, also selbst komplex.

Schon Euler hatte die Idee der Induktion nach dem Exponenten, mit dem die $2$ im Polynomgrad aufgeht.

Induktiver Beweis mit Galoistheorie und Theorie formal reeller Körper

bereits eingefügt.

Einordnung in die algebraische Theorie formal reeller Körper

Der obige Beweis gehört aus heutiger Sicht in die Theorie reeller algebraischer Körper. Daher möge eine Einführung in diese Theorie diesen Beweis abrunden, der nämlich in Wahrheit den allgemeineren Satz zeigt, dass die quadratische Erweiterung $\mathbb {K} [{\sqrt {-1}}]$ eines angeordneten Körpers $\mathbb {K}$, der zusätzlich die beiden Eigenschaften „P=Q“ und „B-W“ hat, algebraisch abgeschlossen ist. Diese Eigenschaft ist kennzeichnend für so genannte „reell abgeschlossene“ Körper, wie sich herausstellen wird.

Motivation

In einer multiplikativen zyklischen Gruppe gibt es genau zwei Quadratklassen. Dies ist beispielsweise für die Einheitengruppe $\mathbb {F} ^{\times }$ eines endlichen Körpers $\mathbb {F}$ der Fall, und das Legendre-Symbol $\left({\tfrac {k}{p}}\right)$ gibt die jeweilige Klasse an. Insbesondere zeigt $\left({\tfrac {-1}{p}}\right)$ für eine ungerade Primzahl $p$ an, ob ein Element $l$ und sein Inverses $-l{\bmod {p}}$ in $\mathbb {F} _{p}^{\times }$ stets derselben Quadratklasse angehören oder aber stets in unterschiedlichen Quadratklassen liegen. Bekanntlich hängt dies davon ab, ob $p\equiv 1$ oder $p\equiv -1{\bmod {4}}$.

Für unendliche Körper ist all dies im allgemeinen nicht der Fall – wohl aber für den Körper $\mathbb {R}$ der reellen Zahlen: Die Quadrate sind gerade die positiven, die Nicht-Quadrate die negativen Zahlen. Dabei sind die reellen Zahlen vollständig geordnet, wie der Zahlenstrahl visualisiert.

Die quadratische Erweiterung $\mathbb {C} /\mathbb {R}$ verliert diese Unterscheidung in Quadrate und Nicht-Quadrate, da sie algebraisch abgeschlossen ist.

Die Frage, ob es auch andere Körper gibt, die in dieser Hinsicht dem Körper $\mathbb {R}$ ähneln, und welche algebraischen Eigenschaften sie kennzeichnet, beantwortet die algebraische Theorie der reellen Körper.

Viele Körper kommen dafür in Betracht, denn ein algebraischer Zahlkörper, also eine endliche Erweiterung von $\mathbb {Q}$ vom Grade $[K:\mathbb {Q} ]=:n$, lässt sich auf $r$ verschiedene Weisen $0\leq r\leq n$ in $\mathbb {R}$ einbetten und erbt durch jede Einbettung die Anordnung auf dem Zahlenstrahl, also die Unterscheidung in positive und negative Zahlen. Ist dabei $r=0$, d. h., ist also keine reelle Einbettung möglich, so bleiben allein $s={\tfrac {n-r}{2}}={\tfrac {n}{2}}$ Paare komplex-konjugierter Einbettungen: In diesem Falle ist keine Anordnung möglich. Im Falle einer Galois-Erweiterung $K/\mathbb {Q}$ (wie im Falle von Kreisteilungskörpern) ist notwendig $rs=0$, also entweder $r=n$ oder $2s=n$.

Ist beispielsweise $u\in \mathbb {N}$ ungerade, $m\in \mathbb {N}$ derart gewählt, dass ${\sqrt[{4u}]{m}}\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q}$, so liegt $\mathbb {Q} [{\sqrt[{4u}]{m}}]\subset \mathbb {R}$. Gemäß Körpertheorie sind $\mathbb {Q} [{\sqrt[{4u}]{m}}]\simeq \mathbb {Q} [i{\sqrt[{4u}]{m}}]$ isomorph durch die Substitution ${\sqrt[{4u}]{m}}\mapsto i{\sqrt[{4u}]{m}}$. Doch die Quadrate dieser einander zugeordneten Elemente erscheinen im einen Falle positiv, im anderen jedoch negativ.

Angeordnete Körper

Ein Anordnung auf einem Körper ist gegeben durch eine Teilmenge $P\subset K^{\times }$ mit den Eigenschaften:

• $K^{\times }=P\uplus (-P)$ (Disjunkte Vereinigung)
• $P+P\subset P$ (d. h., $P$ ist bezüglich der Addition eine Halbgruppe)
• $P\cdot P\subset P$ (d. h., $P$ ist bezüglich der Multiplikation eine Halbgruppe)

Die Elemente aus $P$ heißen positiv. Offenbar können nicht zugleich $x$ und $-x\in P$ liegen. Also ist $-1\notin P$ und notwendig $1\in P$ und mithin $n\cdot 1\neq 0$ für jede natürliche Zahl $n$. Also hat $K$ die Charakteristik Null, ist als Erweiterung des Primkörpers $\mathbb {Q}$ unendlich, vollkommen und kennt nur separable endliche Erweiterungen.

Man schreibt $x>0$ für $x\in P$ und leitet in naheliegender Weise die Relationen $\geq ,\leq ,<$ ab. Der Körper ist bezüglich $\leq$ vollständig geordnet und heißt ein (an)geordneter Körper. Den zugehörigen Betrag definiert man $|x|:=\{x,-x\}\cap P$ und $|0|:=0\in K$. Die Betragseigenschaften (wie Dreiecksungleichung) lassen sich durch Fallunterscheidung nachweisen. Der Körper wird dadurch zu einem topologischen Körper.

Zusammenfassend: In angeordneten Körpern sind Quadrate, folglich auch Quadratsummen und insbesondere die Eins und ihre Vielfachen stets positiv. Geordnete Körper haben deshalb Charakteristik Null, enthalten also den Primkörper $\mathbb {Q}$ und sind unendlich und vollständig geordnet.

Summen und Produkte, selbst Quotienten von Quadratsummen sind wieder Quadratsummen: ${\tfrac {x}{y}}=x\,y\,(y^{-1})^{2}$. Bei $x=1$ ergibt sich wegen $1\in P$ insbesondere: $y\in P\Leftrightarrow y^{-1}\in P$, daher bildet $P$ bezüglich der Multiplikation nicht nur ein Halbgruppe, sondern eine Gruppe und man erhält eine exakte Sequenz $1\to S_{1}(0,K)\to K\to P\to 1$, wobei $S_{1}(0,K):=\{x\in K,|x|=1\}=\ker |\cdot |$ die (verallgemeinerte) Einheitssphäre in $K$ ist.

Die oben genannte Eigenschaft „P=Q“ verlangt demnach die minimale Anordnung: Nur Quadrate sind positiv.

Ein geordneter Körper $K$ enthält

• für gerades $k$ höchstens zwei $k$-te Wurzeln $\xi$ und $-\xi$
• für ungerades $k$ höchstens eine $k$-te Wurzel $\xi$

von den $k$ verschiedenen $k$-ten Wurzeln eines Elementes $x\in K$ – das heißt Nullstellen von $X^{k}-x$ –, die sich in einem algebraischen Abschluss von $K$ befinden. Denn ist $k$ ungerade und $\xi \neq \eta$, ohne Einschränkung also $\xi <\eta$, so folgt $\xi ^{k}<\eta ^{k}$, so dass $\xi$ und $\eta$ nicht zugleich $k$-te Wurzel desselben Elementes $x\in K$ sein und in $K$ liegen können. Ist $k$ gerade, so liegt wegen $(-\xi )^{k}=\xi ^{k}$ mit $\xi$ auch sein Inverses $-\xi$ in $K$ und ist $k$-te Wurzel.

Im Falle $x=1$ geht es hierbei um die $k$-ten Einheitswurzeln: Eine primitive $k$-te Einheitswurzel $\zeta$ ist normal über $\mathbb {Q}$, das heißt der $k$-te Kreisteilungskörper $\mathbb {Q} [\zeta ]$ ist über $\mathbb {Q}$ galoissch, enthält also alle Einheitswurzeln der Ordnung $k$. Also kann der $k$-te Kreisteilungskörper für $k\geq 3$ nicht mit einer Anordnung ausgestattet werden, während er für $k\leq 2$ ohnehin trivial ist: $\zeta =-1\in \mathbb {Q}$.

Im Falle $0<x\neq 1$ allerdings sind die über $\mathbb {Q}$ konjugierten Wurzeln $\zeta ^{i}{\sqrt[{k}]{x}},\,(i=0,\dots ,k-1),$ von $X^{k}-x=\prod _{i=0}^{k-1}(X-\zeta ^{i}{\sqrt[{k}]{x}})$ nicht normal, und die einfache Erweiterung $\mathbb {Q} [{\sqrt[{k}]{x}}]$ ist also keine Galoiserweiterung über $\mathbb {Q}$, sondern über $\mathbb {Q}$ konjugiert zu jedem $\mathbb {Q} [\zeta ^{i}{\sqrt[{k}]{x}}]$. Diese Erweiterungen sind also sämtlich untereinander über $\mathbb {Q}$ konjugiert und algebraisch isomorph – und erben durch die Einbettung $\mathbb {Q} [\zeta ^{i}{\sqrt[{k}]{x}}]\simeq \mathbb {Q} [{\sqrt[{k}]{x}}]\hookrightarrow \mathbb {R}$ eine Anordnung. Mit wachsendem $k$ gibt es also unendlich viele verschiedene solcher Zwischenkörper zwischen $\mathbb {Q} \subset \mathbb {C}$, die mit einer Anordnung versehen werden können.

Definition: Eine Anordnung auf einem Integritätsring $R$ ist eine Teilmenge $P$ mit den entsprechenden Eigenschaften

• $R=\{0\}\uplus P\uplus (-P)$
• $P+P\subset P$ (d. h., $P$ ist bezüglich der Addition eine Halbgruppe)
• $P\cdot P\subset P$ (d. h., $P$ ist bezüglich der Multiplikation eine Halbgruppe)

Wie oben folgt, dass $R$ den Primring $\mathbb {Z}$ enthalten muss. Ferner lässt sich diese Anordnung $P=:P_{R}$ auf den zugehörigen Quotientenkörper $Q(R)=:K$ in genau einer Weise ausdehnen, indem man setzt: $P_{K}:=\{{\tfrac {x}{y}}|x,y\in R,xy\in P_{R}\}$, denn ${\tfrac {x}{y}}\cdot y^{2}=xy$.

Beispiel: Ist $\mathbb {K}$ durch $P_{K}$ angeordnet, so lässt diese Anordnung zu $P_{K[X]}$ auf $\mathbb {K} [X]$ ausdehnen. Diese Fortsetzung kann auf eine der folgenden äquivalenten Weisen geschehen:

• Ein Polynom ist genau dann positiv, wenn sein Leitkoeffizient positiv ist.
• $P_{K[X]}:=\biguplus _{n=0}^{\infty }P_{K[X]}^{(n)}$, wobei $P_{K[X]}^{(0)}:=P_{K}$ und $P_{K[X]}^{(n+1)}:=P_{K}\cdot X^{n+1}+K\cdot P_{K[X]}^{(n)}$.
• $P_{K[X]}:=\biguplus _{n=0}^{\infty }P_{K[X]}^{(n)}$, wobei $P_{K[X]}^{(0)}:=P_{K}$ und $P_{K[X]}^{(n+1)}:=P_{K}\cdot X^{n+1}+\sum _{i=0}^{n}K\cdot X^{i}$.
• $X^{n}\in P_{K[X]}$ und $X^{n+1}-K\cdot X^{n}\subset P_{K[X]}$ für jedes $n\in \mathbb {N}$.

Infolgedessen sind positive Polynome vom Grade $n+1$ größer als jedes Polynom vom Grade $n$. Insbesondere ist ein beliebiges nicht konstantes positives Polynom größer als jedes konstante (das heißt, größer als jedes Körperelement). Auf diese Weise ist auch auf dem Quotientenkörper $K(X)$ der rationalen Polynome eine Anordnung definiert.

Definition: Ist eine Körpererweiterung $L\subset K$ angeordneter Körper gegeben, so heißt $L$ archimedisch über $K$, wenn zu jedem $y\in L$ ein $x\in K$ gibt, so dass $x-y$ positiv ist. Ein angeordneter Körper $L$ heißt (absolut) archimedisch, wenn er über seinem Primkörper $\mathbb {Q}$ archimedisch ist, das heißt also, wenn es zu jedem $y\in L$ ein $n\in \mathbb {N}$ gibt, so dass $n\cdot 1-y$ positiv ist.

Beispiel: Gemäß dem obigen Beispiel ist $L=K(X)$ nicht archimedisch über $K$ geschweige denn (absolut) archimedisch.

Formal reelle und reell abgeschlossene Körper

Definition: Ein Körper heiße formal reeller Körper, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

• Quadratsummen verschwinden nur dann, wenn jeder Summand verschwindet.
• $-1$ ist keine Quadratsumme.

Beispiele:

• Angeordnete Körper sind formal reell.
• Ist $K$ formal reell, so ist auch $K(X)$ formal reell. Denn die Betrachtung der absoluten Koeffizienten $f_{i}(0)$ in $-1=\sum _{i=0}^{n}\left(f_{i}(X)\right)^{2}$ liefert die Kontraposition dieser Behauptung.

Definition: Ein formal reeller Körper, der keine echten endlichen formal reellen Körpererweiterungen besitzt, heiße reell abgeschlossen. Reell abgeschlossene Körper sind also maximale formal reelle Körper.

Definition: Ein Körper, in dem Quadratsummen stets selbst Quadrate sind, heißt pythagoreisch.

Beispiel: Körper der Charakteristik $2$ sind wegen des Frobenius-Homomorphismus (oder schlicht: wegen der Binomialformel) pythagoreisch und zugleich nicht formal reell, da $-1=1$ Quadrat ist.

Die Frage, ob $-1$ Quadratsumme ist, ist aus folgendem Grunde bedeutsam: Ist sie zu verneinen, so lässt sich bei Charakteristik ungleich $2$ zeigen, dass jedes Element eine Quadratsumme ist: Denn mit $-1$ ist auch jedes beliebige $x=\left({\tfrac {1+x}{2}}\right)^{2}+(-1)\cdot \left({\tfrac {1-x}{2}}\right)^{2}$ Quadratsumme. Andererseits wäre $-1={\tfrac {-x}{x}}$ ein Quadrat(summe), sobald nur ein $x$ und zugleich sein Inverses $-x$ Quadrate (bzw. Quadratsummen) wären.

Die Eigenschaft entscheidet also darüber, ob es überhaupt Elemente gibt, die keine Quadratsummen sind – und als negative Elemente für eine Anordnung in Frage kämen. Und tatsächlich zeigen weiterführende Überlegungen, dass es genau die Nicht-Quadratsummen sind, die bei geeigneter Anordnung negativ ausfallen.

Reell abgeschossenen Körpern sind pythagoreisch, und es lässt sich zeigen, dass reell abgeschlossene Körper genau eine Anordnung vertragen, nämlich die durch Eigenschaft „P=Q“ verlangte minimale Anordnung: Nur Quadrate sind positiv, alle anderen Elemente (die Null ausgenommen) sind negativ. Quadratsummen sind also Quadrate. (Siehe Satz „P=QS=Q“ weiter unten.)

Während also ein reell abgeschlossener genau eine Anordnung verträgt, kann ein algebraisch abgeschlossener Körper gar keine Anordnung vertragen, weil sonst negative Elemente auch Quadrate sein müssten. (Der Nachweis, dass formal reelle Körper mit mindestens einer Anordnung versehen werden können, erfordert im Allgemeinen transfinite Methoden.)

Ferner lässt sich zeigen, dass Eigenschaft „B-W“ für reell abgeschlossene Körper gilt: Polynome ungeraden Grades über reell abgeschlossenen Körpern besitzen eine Nullstelle in ihm.

Also muss ein angeordneter Körper $\mathbb {K}$, dessen quadratische Erweiterung $\mathbb {K} [{\sqrt {-1}}]$ algebraisch abgeschlossen ist, nach Definition reell abgeschlossen sein: Denn eine quadratische Erweiterung bietet einem echten Zwischenkörper keinen Platz.

Somit liefert der obige auf Gauß zurückgehende Beweis für einen angeordneten Körper $\mathbb {K}$ die Äquivalenz folgender Aussagen:

• $\mathbb {K}$ ist reell abgeschlossen.
• $\mathbb {K}$ hat die Eigenschaften „P=Q“ und „B-W“.
• $\mathbb {K} [{\sqrt {-1}}]$ ist algebraisch abgeschlossen.
• Eine quadratische Erweiterung von $\mathbb {K}$ ist algebraisch abgeschlossen.
• Jede quadratische Erweiterung von $\mathbb {K}$ ist algebraisch abgeschlossen.
• Jede endliche Erweiterung von $\mathbb {K}$ ist algebraisch abgeschlossen.

Auf der Eigenschaft „B-W“ beruht auch das Theorem von Charles-François Sturm zur Bestimmung über die Anzahl von Nulldurchgängen eines Polynoms in einem Intervall mit Hilfe der Sturmschen Kette aus dem Jahre 1829. Dieses gilt demnach allgemein in reell abgeschlossenen Körpern.

Weiterführende Betrachtungen

Satz 1: Adjungiert man zu einem angeordneten Körper die Quadratwurzeln aller positiven Elemente, so entsteht ein formal reeller Körper.

Mittels transfiniter Induktion (Lemma von Zorn oder Wohlordnungssatz) lässt sich zwischen einem formal reellen Körper $\mathbb {K}$ und einem algebraisch abgeschlossenen Erweiterungskörper $\mathbb {A} /\mathbb {K}$ mindestens ein reell abgeschlossener Zwischenkörper $\mathbb {P}$ finden, für den also $\mathbb {A} =\mathbb {P} [{\sqrt {-1}}]$ gilt. Ist dabei $\mathbb {A}$ abzählbar, so lässt sich hierbei sogar auf transfinite Induktion verzichten. Dies lässt sich insbesondere

• auf den algebraischen Abschluss von $\mathbb {K}$ anwenden, das heißt, wenn $\mathbb {A}$ keinen Transzendenzgrad hat, und
• auf $\mathbb {K} =\mathbb {Q}$.

Ein reeller Abschluss eines formal reellen Körpers induziert natürlich auf letzterem eine Anordnung. Formal reelle Körper können also mit mindestens einer Anordnung versehen werden: Jeder mögliche reelle Abschluss induziert eine Anordnung. Dabei müssen seine Quadrate bei jeder möglichen Anordnung positiv erscheinen. Darüber hinaus gilt: Induzieren zwei reelle Abschlüsse $\mathbb {P_{1}} ,\mathbb {P_{2}}$ auf $\mathbb {K}$ dieselbe Anordnung, so sind sie isomorphe (äquivalente) Erweiterung des angeordneten Körpers $\mathbb {K}$, das heißt es gibt einen Isomorphismus angeordneter Körper zwischen ihnen (der also ihre Anordnungen respektiert) und auf $\mathbb {K}$ die Identität ist. Also ist die Anzahl der Anordnungen auf einem formal reellen Körper gleich der Anzahl der Isomorphieklassen seiner reellen Abschlüsse. Da dieser Isomorphismus sogar eindeutig festgelegt ist, gibt es insbesondere auf einem reellen Abschluss nur einen $\mathbb {K}$-relativen Automorphismus. Reell abgeschlossene Körper sind starr.

Da der Körper $\mathbb {Q}$ (als Quotientenkörper von $\mathbb {Z}$) nur mit einer Anordnung versehen werden kann, gibt es nur eine Isomorphieklasse reeller Abschlüsse von $\mathbb {Q}$. Insbesondere ist eine formal reelle abzählbare algebraische Erweiterung $\mathbb {L} /\mathbb {Q}$ isomorph zu einem Teilkörper eines gewählten reellen Abschlusses $\mathbb {P}$, wodurch sie eine Anordnung erhält. Umgekehrt gehört zu jeder Anordnung auf $\mathbb {L}$ ein eindeutig bestimmter Isomorphismus zwischen seinem reellen Abschluss und $\mathbb {P}$. Also ist die Anzahl der Einbettungen $\mathbb {L} \hookrightarrow \mathbb {P}$ in einen reellen Abschluss von $\mathbb {Q}$ gleich der Anzahl der möglichen Anordnungen auf $\mathbb {L}$, und Einbettungen und Anordnungen korrespondieren miteinander. Dies gilt insbesondere bei $\mathbb {P} \subset \mathbb {R}$ für Einbettungen $\mathbb {K} \hookrightarrow \mathbb {R}$.

Definition: Ein Element eines formal reellen Körpers heißt total positiv, wenn es bei jeder der möglichen Anordnungen positiv ist.

Es ist also (bei Charakteristik ungleich 2) dann und nur dann total positiv, wenn es Quadratsumme ist.

Beweislabor

Grundlegende Vorüberlegung: Es sei $K$ ein Körper, $\xi \in K$ und ${\sqrt {\xi }}$ eine Quadratwurzel aus einem Wurzelkörper $W$ oder algebraischen Abschluss $A$.

Genau dann liegt ${\sqrt {\xi }}\in K$, wenn $\xi$ ein Quadrat in $K$ ist.

Betrachte nun die Quadratsumme $S:=\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}{\sqrt {\xi }}+y_{i}\right)^{2}=\underbrace {{\sqrt {\xi }}\cdot 2\cdot \sum _{i=1}^{n}y_{i}x_{i}} _{=:a}+\underbrace {\xi \cdot \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}} _{=:c}+\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}$ in $K[{\sqrt {\xi }}]\subset W$.

• (a) Wenn diese Summe in $K$ liegt, nicht aber die Quadratwurzel ${\sqrt {\xi }}$, so muss auf der rechten Seite der erste Summand $a$ verschwinden, so dass $-\xi ={\frac {-S+\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}$.
• (b) Ist $-S$ ein Quadrat (etwa $S=-1$), so bedeutet das Bestehen der obigen Gleichung für $S$, dass der Körper $K[{\sqrt {\xi }}]$ nicht formal reell ist, und es gilt dann darüber hinaus:
  • Falls $\xi$ kein Quadrat in $K$ ist, so ist $-\xi$ Quadratsumme.
  • Falls also $-\xi$ keine Quadratsumme, so ist $\xi$ Quadrat in $K$.
  • Ist also $-\xi$ keine Quadratsumme und $\xi$ kein Quadrat in $K$, so ist die obige Gleichung widerlegt und $S=-1$ kann nicht Quadratsumme im Körper $K[{\sqrt {\xi }}]$ sein, d. h., der Körper $K[{\sqrt {\xi }}]$ ist formal reell.
  • Ist $-\xi$ keine Quadratsumme und $\xi$ doch ein Quadrat in $K$, so kann $-1={\tfrac {-\xi }{\xi }}$ nicht Quadratsumme sein, so dass auch in diesem Falle der Körper $K[{\sqrt {\xi }}]=K$ formal reell ist.
  • Zusammenfassend gilt also: Ist $-\xi$ keine Quadratsumme, so ist $K[{\sqrt {\xi }}]$ formal reell (und damit erst recht der Teilkörper $K$).
• (c) Ist der Körper $K$ formal reell, nicht aber der Körper $K[{\sqrt {\xi }}]$ (so dass also das Element $\xi$ kein Quadrat in $K$ und $S=-1$ gemäß obiger Gleichung als Quadratsumme in $K[{\sqrt {\xi }}]$ darstellbar ist), so kann auf der rechten Seite der zweite Summand $c$ nicht verschwinden und $\xi$ keine Quadratsumme sein, wohingegen nach Teil (b) $-\xi$ eine Quadratsumme sein muss.

Definition: Elemente, die in jeder möglichen Anordnung positiv ausfallen, heißen total positiv.

Triviales Beispiel: Quadratsummen sind total positiv.

Unter gewissen Voraussetzungen gilt hiervon die Umkehrung, wie man zeigen kann. Dabei gestatten reell abgeschlossene Körper nur eine mögliche Anordnung:

Satz „P=QS=Q“: In einem reell abgeschlossenen Körpern gilt für jedes $\xi \neq 0$: Ist $-\xi$ keine Quadratsumme, so ist $\xi$ Quadrat, und jede Quadratsumme ist sogar Quadrat. Also ist entweder $\xi$ oder $-\xi$ ein Quadrat. Daher gestatten reell abgeschlossene Körper genau eine Anordnung und diese ist gegeben durch: Jede Quadratsumme und nur diese sind positiv.

Ein formal reeller Körper $K$ erlaubt mindestens eine Anordnung, und auch in diesem allgemeineren Falle gilt die Umkehrung der trivialen Beispiels:

Satz „TP=QS“: Ist $K$ formal reell und das Element $\xi \in K$ in jeder Anordnung positiv, so ist es Quadratsumme, das heißt: Nur Quadratsummen sind in jeder Anordnung positiv, nur Quadratsummen sind total positiv. Mit anderen Worten: Ist $\xi \in K$ keine Quadratsumme, so erscheint $\xi$ in einer der möglichen Anordnungen negativ.

Satz „P=QS=Q“ folgt aus dem stärkeren Satz „TP=QS“, der die Existenz von Anordnungen voraussetzt, die mittels transfiniter Methoden bewiesen werden kann. In Satz „P=QS=Q“ kann darauf verzichtet werden, weil der Beweis explizit die Existenz genau einer Anordnung liefert.

Beweis Satz „P=QS=Q“: Ist in der obigen Überlegung $K$ reell abgeschlossen und $\xi$ kein Quadrat in $K$, so kann der echte Erweiterungskörper $K[{\sqrt {\xi }}]$ nicht mehr formal reell sein, so dass tatsächlich eine Gleichung wie diejenige in der Überlegung mit $S=-1$ besteht. Die Vorüberlegung zeigt, dass $\xi$ einerseits (Teil (c)) keine Quadratsumme sein kann und $-\xi$ und andererseits (Teil (b)) eine Quadratsumme in $K$ ist. Kontraposition liefert: Jede Quadratsumme ist Quadrat, und: Ist $-\xi$ keine Quadratsumme, so muss $\xi$ Quadrat sein.

Beweis Satz „TP=QS“: Es sei also $\xi$ keine Quadratsumme. Nach der Vorüberlegung (b) ist dann $K[{\sqrt {-\xi }}]$ formal reell. Wie transfinite Methoden zeigen, wird jede Anordnung von einer Einbettung $K[{\sqrt {-\xi }}]\hookrightarrow \mathbb {R}$ induziert. In jeder dieser Einbettungen aber wird das Quadrat $-\xi$ positiv, $\xi$ also negativ erscheinen. Total positive Elemente sind also Quadratsummen.

Satz „B-W“: Polynome ungeraden Grades über einem reell abgeschlossenen Körper $\mathbb {P}$ haben (mindestens) eine Nullstelle in ihm, spalten also einen Linearfaktor ab. Denn irreduzible Polynome ungeraden Grades über $\mathbb {P}$ sind linear.

Beweis „B-W“: Es sei also $\mathbb {P}$ ein reell abgeschlossener Körper und $f(X)\in \mathbb {P} [X]$ ein Polynom vom ungeraden Grade $\deg f(X)=n$. Für $n=1$ ist die Behauptung trivial. Sie sei nun für ungerade Grade $n$ vorausgesetzt. Ist $f(X)$ reduzibel über $\mathbb {P}$, so ist die Induktionsvoraussetzung auf mindestens einen der Faktoren anwendbar. Wenn $f(X)$ hingegen irreduzibel vom Grade $\deg f(X)>1$ ist – was im Folgenden auf einen Widerspruch geführt wird –, so sei $y$ Wurzel in einem Zerfällungskörper, so dass $\mathbb {P} [y]\simeq \mathbb {P} [X]/(f(X))$ nicht mehr formal reell ist und also eine Gleichung $-1=\sum _{i=1}^{r}(h_{i}(y))^{2}=:H(X)$ besteht, worin $h_{i}(X)\in \mathbb {P} [X]$ Polynome vom Grade $1\leq \deg h_{i}(X)<\deg f(X)=n$, so dass $2\leq \deg H(X)\leq 2(n-1)$ und $2\mid \deg H(X)$, denn die Leitkoeffizienten der $h_{i}$ sind Quadrate, also sämtlich positiv, und der Leitkoeffizient von $H$ ergibt sich somit als eine Quadratsumme zum Grad $\deg H=2\max\{\deg h_{i},i=1,\dots ,r\}$. Wegen $H(y)+1=0$ gilt $f(X)|H(X)+1$, also etwa $-1=f(X)\cdot g(X)+H(X)$, woraus $2\nmid \deg g\leq 2(n-1)-n=n-2$ folgt. Also hat $g(X)$ nach Induktionsvoraussetzung eine Nullstelle $x\in \mathbb {P}$, für die somit $-1=H(x)$ gilt, wobei ja $H(x)$ Quadratsumme in $\mathbb {P}$ ist – im Widerspruch dazu, dass $\mathbb {P}$ formal reell ist. Also besitzt ein reell abgeschlossener Körper keine irreduziblen Polynome ungeraden Grades mit Ausnahme der linearen.

Nullstellensatz von Bolzano-Weierstrass über reell abgeschlossenen Körpern: Es sei also $\mathbb {P}$ ein reell abgeschlossener Körper und $f(X)\in \mathbb {P} [X]$ ein Polynom mit einem Vorzeichenwechsel $f(a)<0<f(b)$ zwischen $a,b\in \mathbb {P}$. Dann gibt es $c\in \left[\min(a,b),\max(a,b)\right]$ mit $f(c)=0$.

Beweis: Über $\mathbb {L} =\mathbb {P} [{\sqrt {-1}}]$ zerfällt das Polynome $f(X)$ in Linearfaktoren $X-x_{i}$, die mit seinen Nullstellen $x_{i}\in \mathbb {L}$ korrespondieren. Diejenigen $x_{i}$, welche nicht schon in $\mathbb {P}$ liegen, treten in (über $\mathbb {P}$) konjugierten Paaren auf: ${\overline {x_{i}}}=x_{j}$ für geeignetes $j$, so dass $(X-x_{i})(X-x_{j})$ Quadratsumme, also für beliebiges Einsetzen $X=x\in \mathbb {P}$ positiv ist. Also muss der Vorzeichenwechsel durch einen Linearfaktor $X-x_{k}$ mit $x_{k}\in \mathbb {P}$ bewirkt sein. Wähle $c=x_{k}$.

Satz KpTurm: Adjungiert man zu einem angeordneten Körper $\mathbb {K}$ die Quadratwurzeln seiner positiven Elemente, so bleibt die Erweiterung formal reell.

Beweis KpTurm: Angenommen es gibt eine Darstellung $-1=\sum _{i=1}^{s}\zeta _{i}^{2}$, so kämen darin die Quadratwurzeln nur endlich vieler positiver Zahlen $x_{i}\in \mathbb {K} \;(i=1,\dots ,r)$ vor. Wählt man diese Anzahl $r\leq s$ minimal ...

Bewertungstheoretischer Beweis

beim Fundamentalsatz einzufügen.

Ferner nutzt die zugrunde liegende Identität $a^{k}-z^{k}=z^{k}\cdot \left((z^{-1}\,a)^{k}-1\right)=z^{k}\cdot \prod _{i=0}^{k-1}(z^{-1}\,a-\zeta _{k}^{i})$ aus, dass $a$ mit $z$ und jeder Einheitswurzel (also mit ganz $\mathbb {C}$) vertauschbar ist, d. h., dass $\mathbb {C}$ im Zentrum von $\mathbb {L}$ liegt, was durch die Kommutativität der Erweiterung $\mathbb {L}$ gewährleistet ist, die schon bei der binomischen Formel in Artins Rechenkniff genutzt wurde.

Anmerkungen

Zusammenhang zwischen Bewertungstheorie und Theorie formal reeller Körper

Die beiden Beweise haben einen Zusammenhang, der sich folgendermaßen zusammenfassen lässt: Es sei $\mathbb {K}$ ein Körper, der in Bezug auf die von einer archimedischen Bewertung (also einem Absolutbetrag) induzierte Topologie vollständig ist. Er hat dann notwendig (!) Charakteristik 0, und bei der Bewertung $\Vert \cdot \Vert$ handelt sich um eine surjektive Abbildung $\Vert \cdot \Vert \colon \mathbb {K} ^{\times }\rightarrow \mathbb {R} _{>0}$. Es sei $\mathbb {L}$ eine endliche Körpererweiterung. Dann lässt sich die archimedische Bewertung auf die Körpererweiterung fortsetzen, die dadurch ebenfalls zu einem vollständigen topologischen Körper wird. Dabei ist $\Vert \cdot \Vert \colon \mathbb {L} ^{\times }\twoheadrightarrow \mathbb {R} ^{\times }$ eine surjektiver (!) Gruppenhomomorphismus, dessen Kern darüber entscheidet, welcher von zwei Fällen vorliegt: Entweder enthält er nur zwei Elemente ($\pm 1$, also die zweiten Einheitswurzeln), so dass der Betrag von einer Anordnung abstammt, oder er enthält mehr als zwei Elemente (nämlich Einheitswurzeln der Ordnung $n>3$), so dass der Körper nicht angeordnet werden kann.

Dabei gibt es genau zwei Fälle (siehe die Liste äquivalenter Kriterien bei

• Entweder die fortgesetzte Bewertung stammt von einer Anordnung auf $P\subset \mathbb {L}$: Dann ist $P=\mathbb {R} _{>0}$ und $\mathbb {L} =\mathbb {R} =P\uplus (-P)\uplus \{0\}$ ist ein formal reeller Körper – sogar reell abgeschlossener Körper – und $-1$ ist keine Quadratsumme (geschweige denn Quadrat), das heißt $X^{2}+1$ ist irreduzibel über $\mathbb {L}$. Der Kern $\ker \Vert \cdot \Vert =\{1,-1\}$, so dass $\mathbb {L} ^{\times }\cong \{1,-1\}\times \mathbb {R} _{>0}$.
• Oder sie stammt nicht von einer Anordnung. Dann ist $\mathbb {L} ^{\times }\cong S^{1}\times P$, wobei $S^{1}:=\{\zeta \in \mathbb {C} ,\Vert \zeta \Vert =1\}$ die Einheitssphäre $U(1,\mathbb {C} )$ in $\mathbb {L} =\mathbb {C}$ ist, und $-1$ ist ein Quadrat, das heißt $X^{2}+1$ zerfällt über $\mathbb {L}$. Denn $S^{1}$ schon durch reelle Linearkombinationen aus $1$ und einem Elemente $\zeta \in S^{1}\mathbb {R}$ darstellbar ist, liefert die quadratische Erweiterung $\mathbb {R} [i]/\mathbb {R}$ bereits ganz $S^{1}$, also die Einheitswurzeln jeder Ordnung, und ist umgekehrt jede Erweiterung $\mathbb {R} [\zeta ]$ quadratisch und gleich $\mathbb {C}$. Der Kern $\ker \Vert \cdot \Vert =S^{1}:=\{\zeta \in \mathbb {L} ,\Vert \zeta \Vert =1\}=\{e^{i\phi },\varphi \in [0,2\pi ]\}$, so dass $\mathbb {L} ^{\times }\cong S^{1}\times \mathbb {R} _{>0}=\{r\cdot \zeta ,(r,\zeta )\in \mathbb {R} _{>0}\times S^{1}\}$.

Es entscheidet sich alles daran, welche Gestalt der Kern des Absolutbetrages hat, also ob die folgende Bedingung gilt (erster Fall) oder nicht:

• Die „Einheits-Sphäre“ $\mathbb {S_{L}} :=\{y\in \mathbb {L} ;\Vert y\Vert =1\}=\ker \left(\Vert \cdot \Vert \right)$ enthält nur zwei Elemente.

Anmerkung zum Satz von Gelfand-Mazur

Beweis nach Helmut Hasse 1931 (bzw. Zahlentheorie, II. Theorie der bewerteten Körper, § 13 Die Typen archimedisch bewerteter vollständiger Körper, Seite 183): Helmut Hasse erwähnt, dass der folgende Satz auf Ostrowski zurückgehe: Es gibt nur zwei Typen archimedisch bewerteter vollständiger Körper: $\mathbb {R}$ und $\mathbb {C}$.

Zum Satz von Gelfand-Mazur

Geschichte

Stanisław Mazur kündigte 1938 unter Bezugnahme auf ein „wohlbekanntes Theorem von G. Frobenius“ (und einigen Erkenntnissen aus dem von Leonard E. Dickson gegebenen Beweis) ein Theorem für reelle Algebren an, ohne den Fall komplexer Algebren explizit zu erwähnen. Sein Theorem besagt, dass eine reelle normierte Divisionsalgebra isomorph zum Körper $\mathbb {R}$ der rellen, zum Körper $\mathbb {C}$ der komplexen Zahlen oder aber zur reellen Divisionsalgebra $\mathbb {H}$ der Hamiltonschen Quaternionen ist: „Theorème I – Chaque domaine de rationalité du type (B*) est isomorphe au domaine de rationalité des nombres réels, des nombres complexes ou des quaternions.“ Die Einzelheiten des Beweises von Mazur erschienen nicht in seiner knapp dreiseitigen Ankündigung, deren letzte Seite erst seine neuen Resultate zusammenfasst, wohl aber die Beweisidee (mit Bezug zu den Erkenntnissen aus Dicksons Beweisführung, die zuvor erwähnt wurden). James Michael Gardner Fell und Robert S. Doran und Wiesław Żelazko zufolge habe der Herausgeber der Comptes Rendus den Beweis seiner Länge wegen nicht abdrucken wollen. Pierre Mazet hingegen beschreibt den Beweis als „très succincte“.

Als Theorem II formuliert Mazur, dass jede reelle normierte Algebra, deren Norm sogar multiplikativ ist ($\Vert ab\Vert =\Vert a\Vert \,\Vert b\Vert$) ebenfalls isomorph zum Körper $\mathbb {R}$ der rellen, zum Körper $\mathbb {C}$ der komplexen Zahlen oder aber zur reellen Divisionsalgebra $\mathbb {H}$ der Hamiltonschen Quaternionen ist: „Theorème I – Chaque anneau du type (B*), dont la norm satisfait à la condition $\vert A\,B\vert =\vert A\vert \,\vert B\vert$, est équivalent au domaine de rationalité des nombres réels, des nombres complexes ou des quaternions.“

Als erster veröffentlichte Israel Gelfand 1939 und ausführlicher 1941 einen Beweis für den Fall komplexer Algebren: Es ist der bekannte, elegante Beweis, in dem der Satz von Liouville, angewandt auf die Resolventen-Funktion, den gewünschten Widerspruch liefert.

Mazur hingegen führt seinen Satz auf das Ergebnis von Frobenius zurück: Er zeigt, dass eine normierte reelle Algebra $A$ die Voraussetzungen des Satzes erfüllen muss, das heißt, dass jedes ihrer Elemente algebraisch über $\mathbb {R}$ ist. Dazu führt er die Annahme, dass ${\displaystyle }$ ein über $\mathbb {R}$ transzendentes Element enthält zu dem Widerspruch, dass sich dann keine Norm auf der Algebra $A$, die ja den rationalen Funktionenkörper $\mathbb {R} (X)$ enthält, definieren ließe. Dazu benutzt er harmonische Funktionen und ebenfalls den Satz von Liouville.

Den Beweis von Mazur veröffentlichte 1968 sein Schüler Wiesław Żelazko in seinem Buch Algebry Banacha.

Näheres zur Geschichte lässt sich dem Artikel von Pierre Mazet entnehmen, welcher ebenfalls den Beweis skizziert. ACHTUNG: Offenbar liefert Pierre Mazet eine kompaktere Darstellung als Wiesław Żelazko. Ich muss beide noch mal genau lesen.

ACHTUNG: Unterscheide isometrischer Isomorphismus=Norm-Isomorphimus von bistetigem (homöomorphem) Isomorphismus. Auch im Artikel zum Satz von Gelfand-Tornheim.

Literatur zur Geschichte

• Ferdinand Georg Frobenius: Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen (= J. reine ang. Math. Band 84). 1878, S. 1–63.  online bei Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek (SUB) Göttingen
• Stanisław Mazur: Sur les anneaux linéaires (= C. R. Acad. Sci. Band 207). Paris 1938, S. 1025–1027 (französisch, Séance du 14 novembre 1938). , online bei Bibliothèque nationale de France (PDF), Abruf am 2023-02-10.
• Israel Gelfand: On normed rings (= C. R. (Dokl.) Acad. Sci. URSS. Band 23). 27. März 1939, S. 430–432. 
• Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. 9 (51):1: Author Index. Vier Arbeiten von Israel Gelfand, darunter auch „Normierte Ringe“. 1941, abgerufen am 12. Februar 2023. 
  • Israel Gelfand: Normierte Ringe (= Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. Band 9(51):1). 1941, §3 Normierte Körper, Satz 3, Seite 8 (24 S.). 
• Wiesław Żelazko: Algebry Banacha (= Biblioteka Matematyczna 32). Panstwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1968 (polnisch). , englische Übersetzung:
  • Wiesław Żelazko: Banach algebras. Modern Analytic and Computational Methods in Science and Mathematics. Elsevier Publishing Company, Amsterdam 1973, S. 19–22. 
• Gottfried Köthe: Stanislaw Mazur’s contributions to functional analysis (= Math. Ann. Band 277). 1987, insb. Abschnitt 9 Normed Algebras (Seite 509 f.), S. 489–528.  online bei Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek (SUB) Göttingen
• James Michael Gardner Fell, Robert S. Doran: Representations of *-Algebras, Locally Compact Groups, and Banach *-Algebraic Bundles (= Basic Representation Theory of Groups and Algebras. vol. 1). Academic Press, 1988, ISBN 978-0-12-252721-0, S. 375 (746 S.). , online bei Google-Books
• Pierre Mazet: La preuve originale de S. Mazur pour son théorème sur les algèbres normées. (PDF) In: Gazette de la SMF. Abgerufen am 10. März 2023 (französisch). 

Quasi-Betrag oder verallgemeinerter Betrag

Definition

„Valuation“ bei mathworld.wolfram.com „Valuation“ bei planetmath.org

tabellarisch:

• Positive Definitheit
• Multiplikativität (woraus $|1|=1$ folgt).
• verallgemeinerte Dreiecksungleichung mit einer Konstante $C\geq 1$.
  • $|x+y|\leq C\cdot \max(|x|,|y|)$
  • $|x+1|\leq C\cdot \max(|x|,1)$
  • $|x|\leq 1\Rightarrow |x+1|\leq C{\dot {1}}$

Primstellen

Definition

Äquivalenz, falls gleich Topologie induziert. Satz: Äq genau dann wenn $|\cdot |_{1}=|cdot|_{2}^{r}$ mit $r>0$.

Klassifikation

• diskret = nicht-archimedisch = endlich, falls $C=1$: Die verallgemeinerte Dreiecksungleichung wird dann zur schärferen Ultra-Dreiecksungleichung.
• (indiskret), archimedisch = unendlich, falls $C>1$: Dann ist die Charakteristik gleich Null.

Körper mit positiver Charakteristik haben nur diskrete Primstellen.

Jeder verallgemeinerter Betrag lässt sich durch einen äquivalenten mit $C\in \{1,2\}$ repräsentieren. Bei $C>1$ lässt sich also Repräsentant mit $C=2$ finden.

In beiden Fällen gilt sogar die Dreiecksungleichung $|x+y|\leq |x|+|y|$. Aus dieser folgt zudem $|x-y|\geq \left\vert \,|x|-|y|\,\right\vert$.

Über die Gesamtheit möglicher Primstellen auf $\mathbb {Q}$ gibt der Satz von Ostrowski Auskunft: Es gibt nur die $p$-adischen ($p$ Primzahl) und den gewöhnlichen Absolutbetrag. Sie hängen über die Produktformel zusammen.

Zusammenhang mit Normen von Algebren

Homogenität.

Fortsetzungen von Primstellen

Allgemein: Geyer mit Artins Rechenkniff.

Archimedische Primstellen

Darüber geben Auskunft:

• Vollständigkeitssatz von Ostrowski (1916/1918), erneut 1935 in großer zweiteiliger Abhandlung zur „Arithmetischen Theorie von Körpern“.
• Satz von Gelfand-Tornheim.
• Satz von Gelfand-Mazur (1938, 1939, 1941)

endliche Primstellen

Lemma von Hensel (siehe vdWaerden).

Zum Satz von Ostrowski

Vollständigkeitssatz

Ostrowskis Beweis ist ausbaufähig, wie Leonard Tornheim 1952 gezeigt hat: Er lässt sich modifizieren zum Beweis des Satzes von Gelfand-Tornheim bzw. des Satzes von Gelfand-Mazur, ja sogar bis hin zur vollständigen Übertragung des Ergebnisses von Ferdinand Georg Frobenius über endlichdimensionale reelle Algebren von aus dem 1877 auf normierte reelle Algebren: Es gibt bis auf (topologische, ja isometrische) Isomorphie nur $\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ und $\mathbb {H}$.

Zum Satz von Frobenius (reelle Divisionsalgebren)

verschoben ins separate Labor.

Satz von Gelfand-Tornheim

Der Satz von Gelfand-Tornheim zeichnet die beiden Körper $\mathbb {R}$ und $\mathbb {C}$ als die beiden einzigen Archetypen reeller normierter Körper aus, woraus unmittelbar folgt, dass jeder archimedisch bewertete Körper ein Teilkörper von $\mathbb {C}$ versehen mit dem gewöhnlichen Absolutbetrag $\vert \cdot \vert$ ist. Beide Aussagen werden als Satz von Gelfand-Tornheim zitiert.

Die letzte Aussage hat Alexander Markowitsch Ostrowski bereits 1916 bewiesen, 1918 als „Vollständigkeitssatz“ veröffentlicht. Er lautet: Jeder archimedisch bewertete Körper $({\mathit {K}},\vert \cdot \vert )$ ist Teilkörper von $\mathbb {C}$ versehen mit dem gewöhnlichen Absolutbetrag. Ist ${\mathit {K}}$ zudem vollständig oder enthält $\mathbb {R}$, so ist ${\mathit {K}}$ gleich $\mathbb {C}$ oder gleich $\mathbb {R}$. Der Vollständigkeitssatz von Ostrowski ist also ein Spezialfall des Satzes von Gelfand-Tornheim und in diesem aufgegangen, Ostrowskis Beweis in Tornheims Beweis aufgehoben.

Der Satz von Gelfand-Mazur und der Satz von Gelfand-Tornheim sind zwei Seiten einer Medaille und in der Literatur nicht scharf voneinander abgegrenzt: In der Theorie der normierten Algebren, insbesondere der Banachalgebren, also in der Funktionalanalysis erscheint häufig die Bezeichnung Satz von Gelfand-Mazur, während man sich in der Theorie der Erweiterungen bewerteter Körper, also in der Zahlentheorie typischerweise auf den Satz von Gelfand-Tornheim beruft, wo er im Vollständigkeitssatz von Ostrowski einen bedeutsamen Vorreiter hat.

Beide Sätze sind zudem eng verwandt mit dem Satz von Frobenius von 1877, der die drei reellen Divisionsalgebren $\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ und $\mathbb {H}$ als die einzig möglichen Archetypen endlichdimensionaler reeller Divisionsalgebren auszeichnet.

Tatsächlich führen die Beweise von Leonard Tornheim und Stanisław Mazur diesen Satz auf den Satz von Frobenius zurück, allerdings in einer leicht verallgemeinerten Form, die Charles Sanders Peirce 1881 auf elementare Weise bewiesen hat.

Alternative Einleitung

Der Satz von Gelfand-Tornheim handelt von reell normierten Körper- oder Schiefkörpererweiterungen ${\mathit {L}}$ über dem Körper $\mathbb {R}$ der reellen Zahlen oder allgemeiner über einem Körper ${\mathit {K}}\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$. „Über dem Körper ${\mathit {K}}$“ soll im Falle von Schiefkörpern ${\mathit {L}}\supset {\mathit {K}}$ bedeuten, dass ${\mathit {K}}$ im Zentrum $Z({\mathit {L}}):=\{y\in {\mathit {L}}\mid \forall r\in {\mathit {K}}:y\,r=r\,y\}$ liegt. Die Norm $\Vert \cdot \Vert \colon {\mathit {L}}\to \mathbb {R} _{\geq 0}$ jedoch soll reell sein, das heißt, die multiplikative Homogenität soll sich (auch im Falle ${\mathit {K}}=\mathbb {C}$) lediglich auf den Teilkörper $\mathbb {R} \subset {\mathit {K}}$ beziehen:

$\forall r\in \mathbb {R} ,y\in {\mathit {L}}:\Vert r\,y\Vert =\vert r\vert \cdot \Vert y\Vert$

reelle Homogenität, reelle Norm

Darüber hinaus gelten die üblichen Regeln für eine Norm:

$\Vert y\Vert =0\Leftrightarrow y=0$

positive Definitheit

$\Vert y_{1}+y_{2}\Vert \leq \Vert y_{1}\Vert +\Vert y_{2}\Vert$

Dreiecksungleichung (Subaddivität)

$\Vert y_{1}\cdot y_{2}\Vert \leq \Vert y_{1}\Vert \cdot \Vert y_{2}\Vert$

Submultiplikativität (multiplikative Dreiecksungleichung)

Wenn ein Einselement existiert, so wird die Norm meist „normiert“ zu $\Vert 1\Vert =1$.

Der Begriff der Norm entstammt der Theorie der normierten Vektorräume, insbesondere der normierten Ringe und normierten Algebren. Tatsächlich lässt sich der Satz von Gelfand-Tornheim auch für die Kategorie der reell normierten Divisionsalgebren über ${\mathit {K}}\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$ formulieren: Dann wird er meistens als Satz von Gelfand-Mazur bezeichnet, obgleich er „dieselbe“ Aussage trifft.

Je nach benötigtem Zusammenhang werden oft nur Teilaussagen zitiert. So begegnet man in der Funktionalanalysis, zumal beim Studium von $\mathbb {C}$-Banachalgebren, häufig nur dem Fall ${\mathit {K}}=\mathbb {C}$, zumeist unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass die reell normierte komplexe Divisionsalgebra ${\mathit {A}}$ kommutativ sei. Hier bildet der Satz von Gelfand-Mazur den Ausgangspunkt der Spektraltheorie.

In der Algebra hingegen, insbesondere in der algebraischen Zahlentheorie, werden Schiefkörper- bzw. Körpererweiterungen studiert, insbesondere auch diejenigen von $\mathbb {R}$ als der Komplettierung des Primkörpers $\mathbb {Q}$ der Charakteristik Null in Bezug auf die Topologie, die von seinem gewöhnlichen Absolutbetrag $\vert \cdot \vert$ induziert wird. Die Frage, ob solche Beträge auf eine Körpererweiterungen fortgesetzt werden können, ist Gegenstand der Bewertungstheorie: Diese untersucht verallgemeinerte Beträge und erklärt, wann diese äquivalent sind, das heißt, dieselbe Topologie (bzw. uniforme Struktur) induzieren, und auf wie viele Weisen sie auf Erweiterungen fortgesetzt werden können.

Da verallgemeinerte Beträge stets zu einer Bewertung äquivalent sind und weil eine Bewertungen stets eine Norm ist, liefert der Satz von Gelfand-Tornheim eine Aussage über die reellen bzw. komplexen Primstellen, das heißt, die Äquivalenzklassen von Bewertungen.

Der Satz von Gelfand-Tornheim hat einen Vorläufer, diesen Spezialfall der bewerteten Körper (anstelle von normierten Körpern) betrachtete und zu demselben Ergebnis kam: Alexander Markowitsch Ostrowski veröffentlichte schon 1918 seinen Vollständigkeitssatz für archimedisch bewertete Körpererweiterungen von $\mathbb {R}$. Stanisław Mazur kündigte 1938 einen Beweis des allgemeinen Satzes über reell normierte komplexe oder reelle Divisionsalgebren an. Wenig später veröffentlichte Israel Gelfand einen einfachen Beweis für den Fall einer komplexen Divisionsalgebra (${\mathit {K}}=\mathbb {C}$). Leonard Tornheim gab 1953 einen Beweis, der den Grundgedanken Ostrowskis aufgreift und so modifiziert, dass er die allgemeineren Voraussetzungen in den Griff bekommt.

Formulierung

Der Satz von Gelfand-Tornheim deckt verschiedene Fälle ab, die aus dem Beweis von Tornheim folgen. Der Beweis von Tornheim zeigt sogar zwei Lemmata, die weitreichende Folgen haben.

Satz von Gelfand-Tornheim bzw. Satz von Gelfand-Mazur

Nr	Satz von Gelfand-Tornheim: Reell normierte (Schief-)Körpererweiterung ${\mathit {L}}$ von ${\mathit {K}}\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$	Satz von Gelfand-Mazur: Reell normierte Algebra ${\mathit {A}}$ über ${\mathit {K}}\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$
Lemma A	ASDF	Beispiel
Lemma B	Beispiel	Beispiel
Satz, Fall A	Beispiel	Beispiel
Satz, Fall B	Beispiel	Beispiel
Satz, Fall C	Beispiel	Beispiel

Todo

• Gliederung straffen, wenn möglich.
  • Dabei Historie in eigenen Abschnitt ausgliedern.
  • Inhalte der Sätze in den Vordergrund stellen, so dass sie schneller auffindbar sind.
• Konsequent: Bewertungen als $\vert \cdot \vert _{\mathit {K}}$ bzw. $\vert \cdot \vert _{L}$, Normen als $\Vert \cdot \Vert$.
• mathbb nur sparsam verwenden, stattdessen mathit. Es muss nicht jeder bewertete Körper gleich mathbb sein.
• Ändern: Satz von Gelfand-Tornheim ist der Vollständigkeitssatz für reell nomierte Körper. (So nämlich Emil Artin, planetmath, Cassels/Fröhlich). Serge Lang zeigt offenbar den Tornheimschen Beweiszugang.
• Schlechte Idee zur Synopse: Beide Beweise gehen aus von der Funktion $\mathbb {C} \times \mathbb {C} \to \mathbb {R} _{\geq 0}H_{a}(z_{1},z_{2})=\left\Vert {\frac {1}{a-z_{1}}}+{\frac {1}{a-z_{2}}}\right\Vert$. Ist $G(\mathbb {C} /\mathbb {R} )=\{\operatorname {id} _{\mathbb {C} },\sigma \}$ die Galoisgruppe von $\mathbb {C} /\mathbb {R}$ ($\sigma$ also die komplexe Konjugation), so betrachte ferner die Funktion $G\colon \mathbb {C} \times \mathbb {C} \to \mathbb {C} \times \mathbb {C} ,(z_{1},z_{2})\mapsto (z_{1},\sigma (z_{2}))$. Für Fall B betrachte $g_{a}=H_{a}\circ G\circ \Delta$ und für Fall A betrachte $h_{a}=H_{a}\circ G\circ G\circ \Delta$, wobei $\Delta \colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} \times \mathbb {C} ,\,z\mapsto (z,z)$ die diagonale Einbettung bezeichne.
• Gute Idee zur Synopse: $G_{a}(z)=\sum _{\sigma \in U}{\frac {^{1}}{a-\sigma (z)}}=\sum _{\sigma \in U}r_{a}(\sigma (z))$, wobei $U<G(\mathbb {C} /\mathbb {R}$ jene Untergruppe der Galoisgruppe ist, die ${\mathit {K}}\in \{\mathbb {C} ,\mathbb {R} \}$ zum Fixkörper hat. Dann mämlich ist $G_{a}(z)\in \mathbb {C} ^{U}(a)={\mathit {K}}(a)$, und es lässt sich die Norm bilden: Betrachte $g_{a}(z)=\left\Vert G_{a}(z)\right\Vert$.
  • Fall B: $U=\{\operatorname {id} _{\mathbb {C} }\}$ und ${\mathit {K}}=\mathbb {C}$: Komplexe Algebra mit Einselement, die reell normiert ist. Dann gibt es zu jedem $a$ ein komplex-lineares (oE normiertes) Polynom $f(X)=X-z\in \mathbb {C} [X]$, so dass $f(a)\in {\mathit {A}}^{\times }$ regulär ist.
  • Fall A: $U=G(\mathbb {C} /\mathbb {R} )$ und ${\mathit {K}}=\mathbb {R}$: Reelle Algebra mit Einselement, die reell normiert ist. Dann gibt es zu jedem $a$ ein reell-quadratisches (oE normiertes) Polynom $f(X)=X^{2}+pX+q\in \mathbb {R} [X]$, so dass $f(a)\in {\mathit {A}}^{\times }$ regulär ist. Dann ist $G_{a}(z)==2\Re r_{a}(z)$ Realteil einer holomorphen Funktion, also eine harmonische Funktion, das heißt durch die Mittelwerteigenschaft gekennzeichnet: Ihr Mittelwert auf einer Kreislinie ist gleich dem Funktionswert im Mittelpunkt. Daraus folgt bereits, dass $G_{a}$ auch (fast überall) auf der Kreislinie das Maximum annimmt. So wird erkennbar, dass sich der Beweis mit Hilfe der Theorie harmonischer Funktionen führen lässt, wie es Mazur getan hat. Doch lässt sich auch ohne Rückgriff auf den Mittelwertsatz harmonischer Funktionen zum selben Ergebnis gelangen.
  • Nochmal klären: Wo werden welche Vertauschungseigenschaften benötigt? Welche Bedingungen werden also ans Zentrum gestellt?
  • Die benötigte Abschätzung gelingt dann mit der Wahl von $0<r<\min \left(\underbrace {\sum _{\sigma \in U}\left\Vert {\frac {1}{a-\sigma {t}}}\right\Vert } _{=:N_{1}},\underbrace {\sqrt[{(U:1)}]{\left\Vert \prod _{\sigma \in U}{\frac {1}{(a-\sigma {t})}}\right\Vert }} _{=:N_{2}={\sqrt[{(U:1)}]{L}}}\right)$. Für $U=1$ kommt der einfachere Fall C der komplexen Algebra mit ihrem linearen Spektrum und $N_{1}=N_{2}$. Für $(U:1)=2$ kommt der allgemeine Fall A der reellen Algebra mit dem quadratischen Spektrum: Dieser führt den Satz auf den Satz von Frobenius zurück.

Für $\mathbb {K} :=\mathbb {C} ^{U}$ gilt:

• Fall A liegt vor, wenn eines der folgenden äquivalenten Kriterien vorliegt:
  • $(U:1)=2$
  • $\mathbb {K} =\mathbb {R}$.
• Der einfachere Fall C liegt vor, wenn eines der folgenden äuivalenten Kriterien vorliegt:
  • $(U:1)=1$
  • $\mathbb {K} =\mathbb {C}$.
• Fall B liegt in Fall A vor, wenn zusäzlich angenommen wird, dass der betrachtete Ring (Algebra bzw. Schiefkörper) kommutativ ist.

Wenn man den Begriff des Spektrums $\operatorname {Spec} _{\mathbb {K} }(a)$ verallgemeinert durch: für $f(X)\in \mathbb {K} [X]$ die verallgemeinerten Begriffe:

• $\operatorname {Reg} _{d,\mathbb {K} [X]}(a)=\{f(X)\in \mathbb {K} [X]\mid f(X){\text{ irreduzibel mit }}\deg f\leq d\wedge f(a)\in {\mathit {A}}^{\times }\}$.
• $\operatorname {Reg} _{\mathbb {K} [X]}(a)=\{f(X)\in \mathbb {K} [X]\mid f(X){\text{ irreduzibel und }}f(a)\in {\mathit {A}}^{\times }\}$.
• $\operatorname {Spec} _{d,\mathbb {K} [X]}(a)=\{f(X)\in \mathbb {K} [X]\mid f(X){\text{ irreduzibel mit }}\deg f\leq d\wedge f(a)\in {\mathit {A}}\backslash {\mathit {A}}^{\times }\}$.
• $\operatorname {Spec} _{\mathbb {K} [X]}(a)=\{f(X)\in \mathbb {K} [X]\mid f(X){\text{ irreduzibel und }}f(a)\in {\mathit {A}}\backslash {\mathit {A}}^{\times }\}$.

Das übliche Spektrum bzw. die gewöhnliche Resolventenmenge ist für lineare Polynome über $\mathbb {K}$ definiert, also: $\operatorname {Spec} (a)=\operatorname {Spec} _{1,\mathbb {K} [X]}(a)$, definiert für $z\in \mathbb {K}$ mit Zuordnung $\mathbb {K} \ni z\mapsto X-z\in \mathbb {K} [X]$.

• Dies genügt sogar für den komplexen Fall $\mathbb {K} =\mathbb {C}$ (also Fall C), weil $f(z)\in \operatorname {Spec} (f(a))\Leftrightarrow z\in \operatorname {Spec} (a)$ für ein Polynom $f(X)\in \mathbb {C} [X]$, ja sogar für ganzrationale Polynome $f(X)\in \mathbb {C} (X)$ (siehe Dieudonné). Beschränkt auf irreduzible (also lineare) Polynome ist dies lediglich die triviale Translationseigenschaft des Spektrums. Dies Beschränkung ist möglich, da $\mathbb {C}$ (nach dem Fundamentalsatz der Algebra) algebraisch vollständig ist.
• Für den reellen Fall $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ (also Fall A und B) jedoch gilt (ebenfalls nach dem Fundamentalsatz der Algebra) $\operatorname {Spec} _{\mathbb {R} [X]}(a)=\operatorname {Spec} _{2,\mathbb {R} [X]}(a)$.

Damit heißt Tornheims Fundamentallemma über das verallgemeinerte Spektrum für beide Fälle:

• Es sei ${\mathit {A}}$ eine Algebra mit Einselement $1_{\mathit {A}}$ über $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$. (Das heißt, es gebe eine Einbettung $\mathbb {K} \hookrightarrow Z({\mathit {A}}),x\mapsto x\,1_{\mathit {A}}$ in das Zentrum $Z({\mathit {A}})\subset {\mathit {A}}$, im Falle C etwa durch $\mathrm {i} \mapsto \mathrm {j} \in {\mathit {A}}$, wobei $\mathrm {j} ^{2}=-1_{\mathit {A}}$.) Ist dann ${\mathit {A}}$ als reelle Algebra normiert (also reell normiert), dann gilt für jedes Element $a\in {\mathit {A}}$: gilt $\operatorname {Spec} _{\mathbb {K} [X]}(a)\neq \emptyset$. Das heißt:
  • Im komplexe Falle $\mathbb {K} =\mathbb {C}$ (also Fall C) gibt es lineare Polynome $f(X)=X-z$ mit $f(a)=a-z\in {\mathit {A}}\backslash {\mathit {A}}^{\times }$.
  • Im reellen Falle $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ (also Fall A und B) gibt es quadratische Polynome $f(X)=X^{2}+pX+q$ mit $f(a)=a^{2}+pa+q\in {\mathit {A}}\backslash {\mathit {A}}^{\times }$.

Diskussion

• Wahrscheinlich handelt es sich um Leonard Tornheim, weiß es jemand genauer? Siehe:
  • Robert M. Thrall und Leonard Tornheim: Vector Spaces and Matrices, Wiley 1957, Courier Corporation 1970.
  • oder auch John H. Walter.
• Wann und wo sind die Sätze von Gelfand-Mazur und Gelfand-Tornheim und ihre Beweise veröffentlicht worden?

Formulierung des Satzes

Satz von Gelfand-Tornheim:

Es sei ${\mathit {L}}\supset \mathbb {R}$ ein vermöge einer reellen Norm $\Vert \cdot \Vert \colon {\mathit {L}}\to \mathbb {R} _{\geq 0}$ normierter Körper. Dann ist ${\mathit {L}}\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$.

Der Begriff „vermöge einer reellen Norm normierter (Schief)körper“ oder „reell normierter Körper“ ist dabei so zu verstehen: $L$ wird dank der isometrischen Einbettung $\mathbb {R} \subset {\mathit {L}}$ als reelle Algebra aufgefasst und sei als solche mit der Norm $\Vert \cdot \Vert$ versehen. Dabei wird $\Vert 1\Vert =1$ angenommen. Der Satz betrachtet also – je nach Perspektive – gleichermaßen normierte Körpererweiterungen von $\mathbb {R}$ oder kommutative normierte reelle Divisionsalgebren.

Der Satz erklärt also, dass es für reell normierte Körper nur zwei Archetypen gibt, nämlich $\mathbb {R}$ und $\mathbb {C}$. Unterscheidungskriterium ist die Frage, ob das Polynom $X^{2}+1$ über $L$ reduzibel ist oder nicht.

Der Beweis nach Tornheim erlaubt den Zusatz:

Es sei ${\mathit {L}}\supset \mathbb {R}$ ein vermöge einer reellen Norm $\Vert \cdot \Vert \colon {\mathit {L}}\to \mathbb {R} _{\geq 0}$ normierter Schiefkörper, dessen Zentrum $Z({\mathit {L}})$ eine Quadratwurzel $\mathrm {i}$ von $-1$ enthält, das heißt, in dessen Zentrum sich $\mathbb {C}$ wiederfindet: $\mathbb {C} =\mathbb {R} +\mathrm {i} \;\mathbb {R} \subset Z({\mathit {L}})$. Dann ist ${\mathit {L}}=\mathbb {C}$ und mithin kommutativ.

Der Zusatz mit Worten aus der Perspektive der Algebren-Theorie:

Eine komplexe Divisionsalgebra, die als reelle Algebra mit einer Norm versehen ist, hat die komplexe Dimension $1$.

Formuliert man den Satz von Gelfand-Tornheim (mit Zusatz) aus der Perspektive der Theorie normierter Algebren, so wird er meist als Satz von Gelfand-Mazur zitiert:

Für eine reelle normierte Divisionsalgebra ${\mathit {A}}$ gilt:

• Ist ${\mathit {A}}$ auch eine komplexe Algebra, so ist ${\mathit {A}}$ komplex eindimensional und somit kommutativ, nämlich ${\mathit {A}}=\mathbb {C} \cdot 1_{\mathit {A}}$.
• Ist ${\mathit {A}}$ kommutativ, so ist ${\mathit {A}}\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$.

Diesem Satz begegnet man in der Literatur als Satz von Gelfand-Tornheim, aber auch als Satz von Gelfand-Mazur zitiert, dabei manchmal beschränkt auf den Zusatz. Die Bezeichnung „Satz von Gelfand-Mazur“ ist in der Funktionalanalysis üblich, die normierte reelle Algebren, insbesondere komplexe bzw. reelle Banachalgebren betrachtet, während die Bezeichnung „Satz von Gelfand-Tornheim“ auf die Perspektive der Körpererweiterungen und Bewertungstheorie aus Algebra und Zahlentheorie verweist.

Insgesamt kommt der Satz von Gelfand-Tornheim dem Ergebnis sehr nahe, das Georg Ferdinand Frobenius 1877 gefunden hat: Für eine endlichdimensionale assoziative reelle Divisionsalgebra ${\mathit {A}}$ gilt

• entweder $\dim {\mathit {A}}=1$, das heißt ${\mathit {A}}=\mathbb {R}$,
• oder $\dim {\mathit {A}}=2$, nämlich ${\mathit {A}}=\mathbb {C}$,
• oder aber $\dim {\mathit {A}}=4$, nämlich ${\mathit {A}}=\mathbb {H}$ (Quaternionen-Schiefkörper).

Tatsächlich ist der Schiefkörper $\mathbb {H}$ der Hamiltonschen Quaternionen keine komplexe Algebra, sondern lediglich eine reelle Algebra.

Israel Gelfand bewies 1941 den Fall einer komplexen Banachalgebra, die zugleich Schiefkörper ist.

Stanisław Mazur veröffentlichte bereits 1938 eine Ankündigung der allgemeinen Version dieses Satzes nebst einer Beweisidee, nach welcher er den Satz auf das Ergebnis von Frobenius zurückgeführt habe.

Alexander Markowitsch Ostrowski veröffentlichte schon 1918 eine Abhandlung, die neben weiteren grundlegenden Ergebnissen aus der Bewertungstheorie Satz und Beweis für den Spezialfall archimedisch bewerteter Körpererweiterungen von $\mathbb {R}$ enthielt.

Alternative: Formulierung der Sätze

Tatsächlich handelt es sich bei Satz von Gelfand-Tornheim nicht nur um einen Satz, der so allgemein ist, dass häufig nur der jeweils benötigte Einzelfall unter diesem Namen zitiert wird. Die wichtigsten Fälle sind:

Fall C

Eine reell normierter (Schief-)Körper über $\mathbb {K} =\mathbb {C}$ ist gleich $\mathbb {C}$.

Fall B

Ein reell normierter Körper über $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ ist gleich $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$.

Fall A

Ein reell normierter Schiefkörper über $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ ist gleich $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$ oder $\mathbb {H}$. (Nochmal klären, welche Vertauschbarkeit benötigt wird, oder weshalb nicht.)

Dabei bedeute Schiefkörper über $\mathbb {K}$, dass $\mathbb {K}$ im Zentrum des Schiefkörpers liegt, das heißt, dass jedes Element $a$ des Schiefkörpers mit jedem Element $z\in \mathbb {K}$ multiplikativ vertauschbar ist: $az=za$.

Ferner bedeute reell normiert, dass der Körper bzw. Schiefkörper als Ring oder Algebra mit Einselement über $\mathbb {R}$ normiert ist, das heißt: ergänzen.

Jeder dieser Fälle impliziert offenkundig den Fundamentalsatz der Algebra.

Diese Sätze lassen sich auch als Sätze über Algebren begreifen und formulieren: Sie werden dann häufig als Satz von Gelfand-Mazur zitiert und als Ausgangspunkt der Spektraltheorie in der Funktionalanalysis gesehen, insbesondere der Fall C für Banachalgebren. In der Algebra und insbesondere in der algebraischen Zahlentheorie werden diese Sätze als Sätze über Körpererweiterungen oder algebrentheoretisch gesehen und häufig als Satz von Gelfand-Tornheim zitiert.

Sätze rund um Ostrowski-Mazur-Gelfand-Tornheim

Fall	Satz von Gelfand-Tornheim	Satz von Gelfand-Mazur
A	Ein reell normierter Schiefkörper über $\mathbb {R}$ ist identifizierbar mit $\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ oder $\mathbb {H}$.	Eine reell normierte Divisionsalgebra ist identifizierbar mit $\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ oder $\mathbb {H}$.
B	Ein reell normierter Körper über $\mathbb {R}$ ist identifizierbar mit $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$.	Eine kommutative reell normierte Divisionsalgebra ist identifizierbar mit $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$.
C	Ein reell normierter Schiefkörper über $\mathbb {C}$ ist identifizierbar mit $\mathbb {C}$.	Eine komplexe Divisionsalgebra, die mit einer reellen Norm versehen ist, ist identifizierbar mit $\mathbb {C}$.

Je nach Kontext treten zur Vereinfachung gelegentlich weitere Voraussetzungen über die Algebra ${\mathit {A}}$ mit Einselement hinzu:

• ${\mathit {A}}$ sei kommutativ, wie in Fall B.
• ${\mathit {A}}$ sei (bezüglich der reellen Norm) vollständig.
• ${\mathit {A}}$ sei kommutative Divisionsalgebra (also der bereits erwähnte Fall eines Körpers).
• ${\mathit {A}}$ sei ein archimedisch bewerteter Körper: Diese Spezialfall wird unten als Vollständigkeitssatz von Ostrowski behandelt.

Der Beweis von Leonard Tornheim aus dem Jahre 1951 (veröffentlicht 1952) benötigt diese Voraussetzungen nicht. Er beruht auf zwei Lemmata, die anstelle von Divisionsalgebren lediglich eine reell normierte Algebra ${\mathit {A}}$ mit Einselement $1_{\mathit {A}}$ voraussetzen und Aussagen über das Spektrum von Elementen $a\in {\mathit {A}}$ treffen, genauer: Quadratische und lineare reelle Polynome (Fall A) bzw. lineare komplexe Polynome (Fall C) nehmen über der Algebra ${\mathit {A}}$ auch Werte an, die nicht invertierbar sind. Im Falle von Divisionsalgebren genügt daher jedes Element $a\in {\mathit {A}}$ im Falle A einer reellen quadratischen (oder gar linearen) Gleichung bzw. im Falle C sogar eine komplexen linearen Gleichung mit der Folge, das es notwendig selbst eine komplexe Zahl ist.

Mit geeigneten abkürzenden Bezeichnungsweisen können beide Lemmata und damit alle Fälle gemeinsam abgehandelt werden.

Der allgemeinste Fall A wird hierbei zurückgeführt auf den Satz von Frobenius (reelle Divisionsalgebren) in einer (sogar leicht verallgemeinerten) Formulierung, die Charles Sanders Peirce 1881 (unabhängig von Georg Ferdinand Frobenius) auf elementare Weise bewiesen hat.

Ein Spezialfall wurde schon 1916 bewiesen (und 1918 veröffentlicht): Der Vollständigkeitssatz von Ostrowski betrachtet archimedisch bewertete Körpererweiterungen von $\mathbb {R}$. Archimedische Bewertungen sind Normen (mit strengeren Eigenschaften). So besitzen der Satz von Gelfand-Tornheim und der Satz von Gelfand-Mazur in diesem Satz einen Vorreiter, dessen Bekanntheit durch seine Nachfolger in den Hintergrund getreten ist. Tatsächlich ist Tornheims Beweisgang eine Modifikation der Ostrowskischen Beweisidee.

Die drei Beweise von Standisław Mazur, Israel Gelfand und Leonard Tornheim nehmen unterschiedliche Zugänge:

• Tornheim und Ostrowski nutzen algebraische Beziehungen der Einheitswurzeln.
• Gelfand nutzt den Satz von Liouville und transfinite Methoden zum Beweis des Falles C.
• Mazur führt (wie Tornheim) den allgemeinen Fall A auf den Satz von Frobenius zurück und nutzt dazu harmonische Funktionen.

Begrifflicher Hintergrund

Ausfülllen:

• Norm von Räumen.
• Norm von Algebren.
  • Norm von Eins
• Einheitswurzeln und Kreisteilung.
• Logarithmische Ableitung.
• (Polynomiales) Spektrum.

Beweiszugang nach Leonard Tornheim

Leonard Tornheim veröffentlichte 1952 eine Beweismethode mit Hilfe des folgenden Lemmas über das Spektrum, das auch für sich genommen Interesse beanspruchen kann und für welches Tornheim einen elementaren Beweis gefunden hat. Aus diesem Lemma folgt unmittelbar der in der Formulierung des Satzes erwähnte „Zusatz“, da $L\backslash L^{\times }=\{0\}$.

Tornheims Lemma über das Spektrum

Lemma über das Spektrum:

• Formulierung 1: Es sei ${\mathit {A}}$ eine komplexe Algebra mit Einselement, die als reelle Algebra mit einer Norm versehen sei. Dann ist für jedes $a\in {\mathit {A}}$ das Spektrum $\operatorname {Spec} (a):=\{z\in \mathbb {C} ,\,a-z\,1_{\mathit {A}}\in {\mathit {A}}\backslash {\mathit {A}}^{\times }\}$ nicht leer.
• Formulierung 2: Es sei ${\mathit {A}}$ eine reelle Algebra mit Einselement, die mit einer Norm versehen sei und ein Element $\mathrm {j}$ mit $\mathrm {j} ^{2}=-1$ enthalte. Ist $a\in {\mathit {A}}$ mit $\mathrm {j}$ vertauschbar (das heißt, $\mathrm {j} \,a=a\,\mathrm {j}$), dann ist das Spektrum $\operatorname {Spec} (a):=\{z\in \mathbb {C} ,\,a-z\,1_{\mathit {A}}\in {\mathit {A}}\backslash {\mathit {A}}^{\times }\}$ nicht leer.
• Formulierung 3: Es sei ${\mathit {A}}$ eine kommutative reelle Algebra mit Einselement, die mit einer Norm versehen sei und ein Element $\mathrm {j}$ mit $\mathrm {j} ^{2}=-1$ enthalte: $\mathrm {j} \,a=a\,\mathrm {j}$. Dann ist für jedes $a\in {\mathit {A}}$ das Spektrum $\operatorname {Spec} (a):=\{z\in \mathbb {C} ,\,a-z\,1_{\mathit {A}}\in {\mathit {A}}\backslash {\mathit {A}}^{\times }\}$ nicht leer.

Alle drei Formulierungen sind äquivalent:

• Formulierung 1 impliziert Formulierung 2: Man realisiere die Einbettung $\mathbb {C} \hookrightarrow A$ vermöge der Identifikation $\mathrm {i} \mapsto \mathrm {j}$ und erhält so eine komplexe Algebra mit Einselement.
  • Im Beweis wird diese (von der Wahl von $\mathrm {j}$ abhängige) Einbettung $\mathbb {C} \hookrightarrow {\mathit {A}}$ (ausführlich: $\mathbb {C} =\mathbb {R} +\mathbb {R} \,\mathrm {i} \hookrightarrow \mathbb {R} \cdot 1_{\mathit {A}}+\mathbb {R} \cdot \mathrm {j} \subset {\mathit {A}}$) als vollzogen ($\mathbb {C} \subset A$) betrachtet.
  • Die durch diese Einbettung auf $\mathbb {C}$ induzierte Spurtopologie stimmt mit der gewöhnlichen, durch den Absolutbetrag $|\cdot |\colon \mathbb {C} \to \mathbb {R} _{\geq 0}$ induzierten überein, denn Normen endlichdimensionaler Vektorräume über vollständigen (kompletten) Körpern (wie $\mathbb {R}$) sind äquivalent.
  • Beachte allerdings, dass die Norm auf ${\mathit {A}}$ nur die reelle Homogenität erfüllt: $\forall z\in \mathbb {R} ,a\in {\mathit {A}}:\Vert z\,a\Vert =\vert z\vert \,\Vert a\Vert$. Für $z\in \mathbb {C} \hookrightarrow A$ im Allgemeinen gilt nur die Submultiplikativität der Norm: $\Vert z\,a\Vert \leq \Vert z\Vert \,\Vert a\Vert$.
  • Immerhin gilt mit dem positiven Korrekturfaktor $c_{\mathrm {j} }:=\max _{z\in \mathbb {C} \atop \vert z\vert =1}\Vert z\Vert$ die Submultiplikativität $\Vert z\,a\Vert \leq c_{\mathrm {j} }\cdot \vert z\vert \cdot \Vert a\Vert$.
  • Beachte ferner, dass $\mathrm {j}$ und $1_{\mathit {A}}$, ebenso wie $\mathrm {i} ,1\in \mathbb {C}$, über $\mathbb {R}$ die ganze komplexe Ebene $\mathbb {C} \hookrightarrow {\mathit {A}}$ aufspannen, insbesondere alle Einheitswurzeln $\zeta _{k}^{i}$ erfassen, welche folglich sämtlich mit jedem $a\in {\mathit {A}}$ vertauschbar sind. Diese Tatsache wird im Beweis genutzt werden.
  • Beachte schließlich, dass für vertauschbare Unbestimmte $X,Y$ und eine primitive $k$-te Einheitswurzel $\zeta _{k}$ die Polynomidentät $X^{k}-Y^{k}=\prod _{i=0}^{k-1}(X-\zeta _{k}^{i}Y)\in {\mathit {A}}[X,Y]$ gilt. Denn sie gilt schon über $\mathbb {Z} [\zeta _{k}]\hookrightarrow {\mathit {A}}$.
• Formulierung 2 impliziert Formulierung 3: trivial.
• Formulierung 3 impliziert Formulierung 1: Tatsächlich enthält ${\mathit {A}}$ ja ein solches Element $\mathrm {j} :=\mathrm {i} \cdot 1_{\mathit {A}}$, das Quadratwurzel von $-1$ ist. Zum Beweis der Aussage des Lemmas für ein $a$ genügt es, sich auf die durch Adjunktion entstehende kommutative Unteralgebra $\mathbb {C} [a]=:{\mathit {A'}}\subset {\mathit {A}}$ zu beschränken. Tatsächlich wird im Beweis nämlich nur diese „monogene“ Unteralgebra betrachtet.

Eine unmittelbare Folgerung ist der Satz von Gelfand-Mazur für den Fall $\mathbb {C} \subset {\mathit {A}}$: Ist ${\mathit {A}}$ darüber hinaus ein Schiefkörper (das heißt ${\mathit {A}}\backslash {\mathit {A}}^{\times }=\{0\}$), so folgt ${\mathit {A}}=\mathbb {C}$.

Vorbemerkungen zum begrifflichen Hintergrund

Vorab sei an folgende grundlegende Tatsachen erinnert:

• Normen eines Vektorraums heißen äquivalent, wenn sie dieselbe Topologie auf dem Vektorraum induzieren.
• Bewertungen eines Körpers heißen äquivalent, wenn sie dieselbe Topologie auf ihm induzieren.
• Beliebige Normen auf Vektorräumen endlicher Dimension über kompletten Körpern sind stets äquivalent.
• Bewertungen auf einem Erweiterungskörper ${\mathit {L}}$ eines Grundkörpers ${\mathit {K}}$ lassen sich als Norm der Algebra ${\mathit {L}}$ über ${\mathit {K}}$ auffassen. Normen von Algebren ${\mathit {A}}$ mit Einselement $1_{\mathit {A}}$ werden üblicherweise zu $\Vert 1_{a}\Vert =1$ normiert („geeicht“).
  • Ist also ${\mathit {K}}$ vollständig und $[{\mathit {L}}:{\mathit {K}}]=:n<\infty$, so ist sind alle Normen auf ${\mathit {L}}$ äquivalent und induzieren die Produkttopologie auf ${\mathit {L}}$ als endlichdimensionalen ${\mathit {K}}$-Vektorraum ${\mathit {L}}\simeq \prod _{i=1}^{n}{\mathit {K}}$.
  • Falls hierbei also eine Bewertung auf ${\mathit {L}}$ existiert, welche auf ${\mathit {K}}$ die vorgegebene Topologie induziert, so ist auch diese Bewertung äquivalent zu all den möglichen Normen auf ${\mathit {L}}$. Ist dabei ${\mathit {K}}$ vollständig, so ist es auch ${\mathit {L}}$.
  • Falls es sich hierbei insbesondere um eine Fortsetzung einer Bewertung von ${\mathit {K}}$ auf ${\mathit {L}}$ handelt, so induziert diese also auf $L\simeq \prod _{i=1}^{n}K$ die Produkttopologie. Mit ${\mathit {K}}$ ist hierbei auch ${\mathit {L}}$ vollständig.
• Tatsächlich lässt sich zeigen, dass Bewertungen lokalkompakter Körper auf endliche Erweiterungen fortsetzbar sind. Damit ist ein Repräsentant äquivalenter Bewertungen, ja äquivalenter Normen gefunden.
• Ostrowski veröffentlichte 1918 einen elementaren Beweis dafür, dass sich die Bewertung eines kompletten Körpers auf eine quadratische Erweiterung fortsetzen lässt.

Folgende Definitionen für eine Algebra ${\mathit {A}}$ über dem körper $\mathbb {K}$ erhellen den begrifflichen Hintergrund der Beweisbetrachtungen:

• Resolventenmenge: $\operatorname {Res} _{\mathbb {K} }(a):=\{z\in \mathbb {K} ,\,a-z\in {\mathit {A}}^{\times }\}$.
• Spektrum: $\operatorname {Spec} _{\mathbb {K} }(a):=\{z\in \mathbb {K} ,\,a-z\in {\mathit {A}}\backslash {\mathit {A}}^{\times }\}=\mathbb {K} \backslash \operatorname {Res} (a)$.
• Im Beweis spielt die Resolventenfunktion $\operatorname {res} _{a}(z)$ eines Elements $a\in {\mathit {A}}$ eine wesentliche Rolle: $\operatorname {res} _{a}(z)\colon \operatorname {Res} (a)\to \mathbb {K} ,\,z\mapsto {\frac {1}{a-z}}$
• Es gibt folgende Translationseigenschaften:
  • $\operatorname {res} _{a}(z)=\operatorname {res} _{a+z'}(z+z')$.
  • $\operatorname {Res} _{\mathbb {K} }(z+a)=z+\operatorname {Res} _{\mathbb {K} }(a)$.
  • $\operatorname {Spec} _{\mathbb {K} }(z+a)=z+\operatorname {Spec} _{\mathbb {K} }(a)$.

Für komplexe (das heißt $\mathbb {K} =\mathbb {C}$) Divisionsalgebren ${\mathit {A}}$ werden diese Begriffe ziemlich trivial:

• $\operatorname {Res} (a)=\left({\mathit {A}}\backslash \{a\}\right)\cap \mathbb {C}$.
• $\operatorname {Spec} (a)=\{a\}\cap \mathbb {C}$.
• Daher ist in diesem Falle die Tatsache, dass das Spektrum nicht leer ist, so folgenschwer: Sie erzwingt ${\mathit {A}}=\mathbb {C}$.

Die Submultiplikativität der Norm („multiplikative Dreiecksungleichung“) gestattet folgende Schlüsse:

• Für $u\in {\mathit {A}}^{\times },k\in \mathbb {Z}$ gilt: $\Vert 1\Vert =\Vert u^{k}u^{-k}\Vert \leq \Vert u^{k}\Vert \,\Vert u^{-k}\Vert \leq \Vert u\Vert ^{k}\,\Vert u^{-k}\Vert \Rightarrow {\frac {\Vert 1\Vert }{\Vert u\Vert ^{k}}}\leq \Vert u^{-k}\Vert$.
• Mit $k=1$ folgt $\Vert 1\Vert \geq 1$, also insgesamt ${\frac {1}{\Vert u\Vert }}\leq {\frac {\Vert 1\Vert }{\Vert u\Vert }}\leq \Vert u^{-1}\Vert$.
• Normen von Algebren mit Einselement werden üblicherweise zu $\Vert 1\Vert =1$ normiert. Damit ist ${\frac {1}{\Vert u\Vert }}\leq {\sqrt[{k}]{\Vert u^{-k}\Vert }}$.
• Es gilt $\Vert a^{k}\Vert \leq \Vert a\Vert ^{k}$, mithin ${\sqrt[{k}]{\Vert a^{k}\Vert }}\leq \Vert a\Vert$ für jedes $k\in \mathbb {N}$, so dass $\limsup _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{\Vert a^{k}\Vert }}\leq \Vert a\Vert$.

.

• Also ist $g(z)=\left\Vert {\frac {1}{a-z}}\right\Vert \geq {\frac {\Vert 1\Vert }{\Vert a-z\Vert }}\geq {\frac {1}{\Vert a-z\Vert }}\geq {\frac {1}{\Vert a\Vert +\Vert z\Vert }}$.

Vorüberlegung

Abschätzungen

Im Beweis (Schritte 2 und 3) werden Abschätzungen benötigt:

Für den Vollständigkeitssatz von Ostrowski sind sie leicht einzusehen: Wegen $\Vert a\Vert +\vert z\vert \;\;{\stackrel {\text{(i)}}{\geq }}\;\;\Vert a-z\Vert \;\;{\stackrel {\text{(ii)}}{\geq }}\;\;{\Big \vert }\,\vert z\vert -\Vert a\Vert \,{\Big \vert }$ gilt zunächst für jedes $a\in \mathbb {L}$

• einerseits (i) $\Vert a\Vert \geq \inf _{z\in \mathbb {C} }\Vert a-z\Vert =:d_{a}$ und
• andererseits (ii) $\vert z\vert >2\,\Vert a\Vert \Rightarrow \Vert a-z\Vert >\Vert a\Vert$.

Folglich nimmt die stetige Funktion $f_{a}\colon \mathbb {C} \to \mathbb {R} _{>0},\,z\mapsto \Vert a-z\Vert$ nach dem Maximumprinzip ihr globales Infimum $d_{a}$ auf dem Kompaktum $C:=\{z\in \mathbb {C} ,|z|\leq 2\Vert a\Vert \}$ an.

Für den Satz von Gelfand-Tornheim führt eine „reziproke“ Argumentation für eine Norm $\Vert \cdot \Vert$ nicht zum benötigten Ergebnis. Stattdessen argumentiert Tornheim so:

Lemma A: $\Vert a\Vert \leq {\tfrac {1}{2}}\wedge (1-a)\in {\mathit {A}}^{\times }\Rightarrow \left\Vert {\tfrac {1}{1-a}}\right\Vert \leq 2\Vert 1\Vert$,

• denn es ist $\left\Vert {\tfrac {1}{1-a}}\right\Vert =\left\Vert 1+{\tfrac {a}{1-a}}\right\Vert \leq \Vert 1\Vert +\Vert a\Vert \cdot \left\Vert {\tfrac {1}{1-a}}\right\Vert$, woraus die Behauptung folgt.

Lemma B: Die Funktion ${\mathit {A}}^{\times }\to {\mathit {A}}^{\times },\,a\mapsto {\tfrac {1}{a}}$ ist stetig,

• denn aus Lemma 1 und aus $\left\Vert {\tfrac {z-a}{z}}\right\Vert \leq \Vert z-a\Vert \cdot \left\Vert {\tfrac {1}{z}}\right\Vert$ folgt $\left\Vert {\tfrac {1}{a}}-{\tfrac {1}{b}}\right\Vert <\Vert b-a\Vert \cdot \left\Vert {\tfrac {1}{b}}\right\Vert ^{2}\cdot \left\Vert {\tfrac {1}{1-{\frac {b-a}{b}}}}\right\Vert \;{\stackrel {\Vert b-a\Vert \to 0}{\longrightarrow }}\;0$.

Lemma C: Für jedes $a\in {\mathit {A}}^{\times }$ gibt es ein $R_{a}\in \mathbb {R}$ mit der Eigenschaft: $z\in \mathbb {C} \wedge z\notin C_{R_{a}}:=B_{R_{a}}(0):=\{z\in \mathbb {C} ,\,\vert z\vert \leq R\}\wedge a-z\in {\mathit {A}}^{\times }\Rightarrow \Vert {\tfrac {1}{a-z}}\Vert <\Vert {\tfrac {1}{a}}\Vert$

• Denn wegen Lemma A gilt $\left\Vert {\tfrac {1}{a-z}}\right\Vert =\left\vert -{\tfrac {1}{z}}\right\vert \cdot \left\Vert {\tfrac {1}{1-{\frac {a}{z}}}}\right\Vert \;{\stackrel {|z|\to \infty }{\longrightarrow }}\;0$, da ja $\left\Vert {\tfrac {a}{z}}\right\Vert =\left\vert {\tfrac {1}{z}}\right\vert \cdot \Vert a\Vert \to 0$.

Corollar: Daher nimmt $f_{a}$ sein Maximum auf $C_{R_{a}}$, denn außerhalb dieses Kompaktums gilt $\Vert {\tfrac {1}{a-z}}\Vert <\Vert {\tfrac {1}{a-0}}\Vert <M_{a}$.

Logarithmische Ableitung der Kreisteilungsgleichung

Der Beweis benutzt die folgende Überlegung: Für vertauschbare Unbestimmte $X,Y$ gilt über dem Ring $\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen mit den $k$-ten Einheitswurzeln die Polynomidentität $X^{k}-Y^{k}=\prod _{i=1}^{k}\left(X-\zeta _{k}^{i}\,Y\right)$ in $\mathbb {Z} [\zeta _{k}]$. Durch logarithmische Ableitung nach $X$ kommt ${\frac {k\,X^{k-1}}{X^{k}-Y^{k}}}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{X-\zeta _{k}^{i}\,Y}}$, und folglich gilt im Kreisteilungskörper $\mathbb {Q} (\zeta _{k})$ die Identität:

${\mathcal {P}}_{k}(X,Y):={\frac {1}{X-Y\,\left({\frac {Y}{X}}\right)^{k-1}}}={\frac {1}{k}}\,\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{X-\zeta _{k}^{i}\,Y}}$

(Logarithmische Ableitung der Kreisteilung)

Beachte, dass gemäß Voraussetzung $\mathbb {Q} [\zeta _{k}]\hookrightarrow A$.

Beweis des Lemmas nach Leonard Tornheim

Leonard Tornheims Beweis des Lemmas über das Spektrum ist eine Fortentwicklung jenes Beweises, den Alexander Markowitsch Ostrowski 1918 für seinen Vollständigkeitssatz veröffentlicht hat. Dieser nutzt die Multiplikativität der Betragsfunktion, wenn die Funktion $f_{a}\colon \mathbb {C} \to \mathbb {R} _{\geq 0},\,z\mapsto \Vert a-z\Vert$ betrachtet und speziell $\Vert a^{k}-z^{k}\Vert =\left\Vert \prod _{i=1}^{k}a-\zeta _{k}^{i}z\right\Vert$ abgeschätzt wird, und misslänge bei einer submultiplikativen Norm. Tornheim umgeht diese Schwierigkeit, indem er das Produkt durch logarithmische Ableitung in eine Summe verwandelt. Dazu allerdings muss der Kehrwert der Funktion betrachtet werden, also die Norm der Resolventenfunktion: $g_{a}\colon z\mapsto \left\Vert {\frac {1}{a-z}}\right\Vert$. Sie ist nur auf der Resolventenmenge definiert. In Tornheims Beweis wird die Annahme, dass diese gleich ganz $\mathbb {C}$ ist, zum Widerspruch geführt. Die übrigen Argumentationen ergeben sich mutatis mutandis: An die Stelle des Infimums $d_{a}$ von $f_{a}$ tritt das Supremum $M_{a}$ von $g_{a}$. Beide Beweise werden unten in einer Synopse einander gegenübergestellt.

Beweis: Für $a=0$ ist die Aussage trivial. Der Beweis für $a\neq 0$ wird indirekt geführt. Es sei also $0\neq a\in {\mathit {A}}$ gewählt und angenommen, dass $(a-\mathbb {C} )\subset {\mathit {A}}^{\times }$. Zur Widerlegung dieser Annahme (d. h. zum Beweis des Satzes) ist die Auswahl des Repräsentanten $a'\in (a-\mathbb {C} )=a'-\mathbb {C}$ belanglos. Gemäß dieser Annahme ist insbesondere $a$ selbst inversibel und die Funktion $g_{a}\colon \mathbb {C} \to \mathbb {R} ,\,z\mapsto \left\Vert {\frac {1}{a-z}}\right\Vert$ auf ganz $\mathbb {C}$ wohldefiniert und zudem stetig.

Da $g_{a}(z)=\left\Vert {\frac {1}{z}}{\frac {1}{{\frac {a}{z}}-1}}\right\Vert \leq \left\vert {\frac {1}{z}}\right\vert \cdot \left\Vert {\frac {1}{{\frac {a}{z}}-1}}\right\Vert$ für $z\neq 0$, konvergiert $g_{a}$ außerhalb eines großen Kreises gegen Null, nimmt also auf einem geeigneten Kompaktum $C$ ihr Supremum $M:=\sup _{z\in \mathbb {C} }g_{a}(z)=\max _{z\in C}g_{a}(z)$ an, welches nur von der affinen Ebene $(a+\mathbb {C} )\subset {\mathit {A}}$ abhängt, da trivialerweise $g_{a}(z+z')=g_{a-z}(z')$.

Die Menge $T_{a}:=\{z\in \mathbb {C} ,\,g_{a}(z)=M\}\subset C$ ist also nicht leer, dazu abgeschlossen und beschränkt (da $T_{a}\subset C$), also kompakt. Da $T_{a}+z=T_{a+z}$, lässt sich ein $a_{0}\in a+\mathbb {C}$ wählen mit der Eigenschaft $0\in T_{a_{0}}$, das heißt mit der Eigenschaft $M=g_{a_{0}}(0)=\left\Vert {\frac {1}{a_{0}}}\right\Vert$. Dazu nämlich wähle $t\in T_{a}$ und setze $a_{0}:=a-t$.

Ohne Einschränkung sei von nun an ein solches $a$ gewählt, welches diese Eigenschaften hat (also $g_{a}(0)=\left\Vert {\frac {1}{a}}\right\Vert =M_{a}$). Ferner sei $0<r<\left\Vert {\frac {1}{a}}\right\Vert ^{-1}=M_{a}^{-1}=:d$, so dass $\left\Vert {\frac {r}{a}}\right\Vert <1$.

Setzt man in der Polynomidentität aus der Vorüberlegung zur logarithmischen Ableitung („Logarithmische Ableitung der Kreisteilung“) nun $X=a$ und $Y=r$, – wobei ausgenutzt wird, dass $a$ mit allen $r\zeta$, also mit allen komplexen $z\in \mathbb {C} \subset {\mathit {A}}$ vertauschbar ist –, so erhält man die folgende Identität mit Konvergenz:

$S(k):=\left\Vert {\frac {1}{k}}\,\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{a-\zeta _{k}^{i}\,r}}\right\Vert =\left\Vert {\frac {1}{a-r\,\left({\frac {r}{a}}\right)^{k-1}}}\right\Vert \quad {\stackrel {k\to \infty }{\longrightarrow }}\quad \left\Vert {\frac {1}{a}}\right\Vert =M_{a}$.

Es wird nun gezeigt, dass $T_{a}$ zugleich offen in $\mathbb {C}$ liegt, also notwendig $T_{a}=\mathbb {C}$, im Widerspruch zur Kompaktheit. Dass die Menge $T_{a}$ Umgebung jedes ihrer Punkte ist, besagt die Zwischenbehauptung: $T_{a}+B_{0}(r)\subset T_{a}$, wobei $B_{0}(r):=\{z\in \mathbb {C} ,\,\vert z\vert <r\}$.

Zu ihrem (indirekten) Nachweis sei $t\in T_{a}$ ausgewählt. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann dabei $t=0$ angenommen werden, denn $t+B_{0}(r)\subset T_{a}\Leftrightarrow B_{0}(r)\subset T_{a}-t=T_{a-t}$, das heißt: Nötigenfalls gehe über zu $a':=a-t\in a+\mathbb {C}$.

Im Folgenden nutze die Parametrisierung $\varpi \colon [0,1]\to S^{1}:=\{z\in \mathbb {C} ,\,|z|=1\},\,\phi \mapsto \mathrm {e} ^{\phi \cdot 2\pi \,\mathrm {j} }$.

Angenommen, die Zwischenbehauptung wäre falsch, so gäbe es $r\xi \in B_{0}(r)$ mit $\vert \xi \vert =1,0<r<d$ und $g(r\xi )<M$. Zu jedem geeignet winzigen $\varepsilon >0$ gäbe es also – der Stetigkeit von $g$ wegen — ein offenes Intervall $I={]\phi _{0},\phi _{0}+\delta [}\subset [0,1]$ (mit $\delta >0$), so dass für alle $\zeta \in \varpi (I)$ aus dem abgebildeten Intervall (dem Einheitskreisbogensegment $\varpi (I)$) noch immer $g(r\zeta )<M-\varepsilon$ gölte.

Da die Einheitswurzeln $\{\zeta _{k}^{i},\,k\in \mathbb {N} ,i\in \mathbb {N} \}$ äquidistant (äquiangular) und dicht auf der Einheitskreislinie liegen, gilt für $N_{k}:=\#\{\zeta _{k}^{i}\in \varpi (I),i=1,\dots ,k\}$ im Grenzübergang ${\frac {N_{k}}{k}}{\stackrel {k\to \infty }{\longrightarrow }}\delta$.

Die fragliche Summe $S(k)$ lässt sich durch Aufteilung in zwei Summanden abschätzen, wobei die Funktion $g_{a}(r\xi )$ in Erscheinung tritt: $S(k)=\left\Vert {\frac {1}{k}}\cdot \sum _{1\leq i\leq k}\overbrace {\frac {1}{a-\zeta _{k}^{i}\,r}} ^{=:s(r,k,i)}\right\Vert \leq {\frac {1}{k}}\cdot \left\lbrack \sum _{1\leq i\leq k \atop \zeta _{k}^{i}\notin \varpi (I)}\overbrace {\left\Vert s(r,k,i)\right\Vert } ^{g_{a}(r\zeta _{k}^{i})}+\sum _{1\leq i\leq k \atop \zeta _{k}^{i}\in \varpi (I)}\overbrace {\left\Vert s(r,k,i)\right\Vert } ^{g_{a}(r\zeta _{k}^{i})}\right\rbrack <{\frac {1}{k}}{\big \lbrack }(k-N_{k})\,M+N_{k}\,(M-\epsilon ){\big \rbrack }=M-{\frac {N_{k}}{k}}\varepsilon \quad {\stackrel {k\to \infty }{\longrightarrow }}\quad M-\delta \varepsilon <M$.

Dies steht im Widerspruch zu $S(k)\to \Vert a\Vert =M$. Also ist die Zwischenbehauptung wahr. Daraus folgt, dass $T_{a}$ offen, abgeschlossen und kompakt ist, also ist $T_{a}=\mathbb {C}$ kompakt, $g$ wäre auf ganz $\mathbb {C}$ identisch $M$. All dieser Unsinn stößt auf leidenschaftlichen Widerspruch, der übrigens nur bei $d=0,M=\infty$ für ein auf einer echten offenen Teilmenge $U\subsetneq \mathbb {C}$ definiertes $g_{a}$ verschwindet, nämlich für $U=\{z\in \mathbb {C} ,a-z\in {\mathit {A}}^{\times }\}$. Dann ist das Spektrum $\operatorname {Spec} a=\mathbb {C} \backslash U$ nicht leer.

Historie

Der Satz von Gelfand-Tornheim ist eng verwandt

• mit dem Satz von Gelfand-Mazur (1938, 1939, 1941) – dieser betrachtet (je nach Variante) reell normierte Erweiterungskörper von $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$ –,
• mit dem „Vollständigkeitssatz“ von Alexander Markowitsch Ostrowski von 1916/1918 – dieser betrachtet archimedisch bewertete Erweiterungskörper von $\mathbb {R}$ – und letztlich
• mit dem Ergebnis einer umfangreichen Arbeit Georg Ferdinand Frobenius' aus dem Jahre 1877, nach dem es über dem Körper $\mathbb {R}$ der reellen Zahlen bis auf Isomorphie nur drei endlichdimensionale Divisionsalgebren gibt, nämlich die beiden kommutativen Divisionsalgebren $\mathbb {R}$ und $\mathbb {C}$ sowie die nicht-kommutative Divisionsalgebra $\mathbb {H}$ der Hamiltonschen Quaternionen, mit anderen Worten: Es treten nur die reellen Dimensionen $1,2$ und $4$ auf.

Tatsächlich veröffentlichte Stanisław Mazur im Jahre 1938 eine Beweisidee, nach der ein ähnlicher Satz gilt, wenn man auf die Voraussetzung der endlichen Dimension verzichtet und stattdessen normierte Divisionsalgebren $A$ mit Einselement über $\mathbb {R}$ betrachtet. Die Beweisidee besteht darin, die Aussage auf das Ergebnis von Frobenius zurückzuführen; der ausführliche Beweis wurde jedoch erst 1968 durch seinen Schüler Wiesław Żelazko veröffentlicht. Schon 1939 und 1941 veröffentlichte Israel Gelfand einen kurzen, eleganten Beweis für den Spezialfall komplexer normierter Divisionsalgebren: Diese sind notwendig eindimensional (über $\mathbb {C}$, scil.). Der kurze, bekannte Beweis stützt sich auf die Betrachtung (des Definitionsbereichs) der Resolventenfunktion $r_{a}(z):={\frac {1}{a-z\cdot 1_{A}}}$ eines $a\in A$, den Satz von Liouville und den Satz von Hahn-Banach (lässt also transfinite Methoden (Auswahlaxiom bzw. das Lemma von Zorn) einfließen) und verortet die Erkenntnis somit in der komplexen Funktionalanalysis und macht ihn zum Ausgangspunkt der Spektraltheorie.

Leonard Tornheim gab im Jahre 1952 einen Beweis, der mit elementaren algebraischen und topologischen Methoden auskommt und die beiden kommutativen Fälle beleuchtet: Zum Beweis des Satzes über kommutative reelle normierte Divisionsalgebren nutzt und beweist Tornheim das obige Lemma über den Definitionsbereich der Resolventenfunktion, aus welchem unmittelbar die ausgezeichnete Rolle von $\mathbb {R}$ und $\mathbb {C}$ als kommutative reell normierte Divisionsalgebren folgen.

Die Tornheimsche Beweismethodik ähnelt – zufällig oder auffällig – dem Beweis des „Vollständigkeitssatzes“ aus der 1918 veröffentlichten Arbeit von Alexander Markowitsch Ostrowski: Der Vollständigkeitssatz betrachtet den Spezialfall archimedisch bewerteter Körper über $\mathbb {R}$ und formuliert die Erkenntnis, dass es nur zwei Archetypen gibt, nämlich $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$, jeweils ausgestattet mit dem gewöhnlichen Absolutbetrag. Wie Ostrowski schon 1918 schreibt, impliziert sein Vollständigkeitssatz, dass (nicht notwendig vollständige) archimedisch bewertete Körper ${\mathit {K}}$ sich als Teilkörper in $\mathbb {C}$ wiederfinden, gegebenenfalls sogar schon in $\mathbb {R}$, falls nämlich das Polynom $X^{2}+1$ über ${\mathit {K}}$ irreduzibel, das heißt, falls $-1$ in ${\mathit {K}}$ kein Quadrat ist: Diese Erkenntnis Ostrowskis bildet den Ausgangspunkt für die Untersuchung der archimedischen (das heißt unendlichen) Primstellen in der Zahlentheorie. Ostrowskis Priorität zum Trotze firmiert sie in der Literatur gelegentlich als Satz von Gelfand-Tornheim.

Das erwähnte Tornheimsche Lemma zum Beweis Satzes von Gelfand-Tornheim impliziert das bedeutsame Lemma über die Existenz von Spektralwerten einer komplexen Banachalgebra mit Eins, aus welchem der Satz von Gelfand-Mazur folgt und das da besagt: „Jedes Element $a\in {\mathit {A}}$ einer komplexen Banachalgebra mit Eins hat ein nicht leeres Spektrum $\operatorname {Spec} :=\left\{z\in \mathbb {C} ,\,a-z\in {\mathit {A}}\backslash {\mathit {A}}^{\times }\right\}$.“ Zwar gibt es für dieses wichtige Lemma einen eleganten Beweis, der transfinite Induktion (Satz von Hahn-Banach) und elementare Ergebnisse der Funktionentheorie nutzt, doch Tornheims Lemma über das Spektrum kann (wie der Vollständigkeitssatz von Ostrowski) elementar bewiesen werden, impliziert mehr als nur den Fall einer komplexen Algebra und ist nicht nur als Hilfssatz von Bedeutung.

Der Satz von Gelfand-Tornheim und das Tornheimsche Lemma verallgemeinern den Vollständigkeitssatz von Alexander Markowitsch Ostrowski aus der Theorie bewerteter Körper auf normierte reelle (Divisions-)Algebren, und Tornheims Beweis ist tatsächlich eine Modifikation des Beweises von Ostrowski aus dem Jahre 1916. Beide Beweise nutzen weder transfinite Induktion noch Ergebnisse der Funktionentheorie, sondern elementare topologische Argumentationen anhand der Gesamtheit aller Einheitswurzeln. Die Beweise von Tornheim und benötigen nicht die Vollständigkeit der Algebra (bzw. des Erweiterungskörpers), sondern lediglich diejenige von $\mathbb {R}$ – allerdings ergibt sie sich als Folge des Satzes.

Der Satz von Gelfand-Tornheim deckt sich mit einer ebenfalls in der Literatur anzutreffenden, varianten Formulierung des Satzes von Gelfand-Mazur.

Während der Satz von Gelfand-Tornheim – oder eine Variante des Satzes von Gelfand-Mazur – eine Aussage über kommutative reelle normierte Divisionsalgebren trifft, betrachtet der Vollständigkeitssatz archimedisch bewertete Körper, wie die folgende Gegenüberstellungen verdeutlichen.

Auszeichnung von $\mathbb {R}$ und $\mathbb {C}$ …

… als vollständige archimedisch bewertete Körper durch den Vollständigkeitssatz von Ostrowski	… als reelle normierte kommutative Divisionsalgebren (mit Einselement) durch den Satz von Gelfand-Tornheim
Es gibt bis auf Isomorphie nur zwei vollständige archimedisch bewertete Körper, nämlich $\mathbb {R}$ und $\mathbb {C}$. Diese beiden sind also die Archetypen vollständiger archimedisch bewerteter Körper.	Es gibt bis auf Isomorphie nur zwei reell normierte Körper, nämlich die eindimensionale (also $\mathbb {R}$) und die zweidimensionale zu $\mathbb {C}$ isomorphe.

Auszeichnung von $\mathbb {C}$ …

… als vollständige archimedisch bewertete Körpererweitung von $\mathbb {C}$ durch eine Teilaussage bzw. Folgerung des Vollständigkeitssatzes von Ostrowski	… als komplexe kommutative Divisionsalgebra, die reell normiert ist, durch eine Teilaussage des Satzes von Gelfand-Tornheim (bzw. eine Variante des Satzes von Gelfand-Mazur)
Es gibt keine echte archimedisch bewertete Körpererweiterung von $\mathbb {C}$ (mit dem gewöhnlichen Absolutbetrag), sondern nur die triviale Erweiterung $\mathbb {C}$ selbst.	Es gibt bis auf isometrische Isomorphie nur eine komplexe Algebra, die als reelle Algebra normiert und ein Schiefkörper ist, nämlich diejenige der komplexen Dimension $1$, das heißt $\mathbb {C}$. Diese Aussage folgt unmittelbar aus dem „Lemma von Tornheim“.
–	Daraus folgt die (schwächere) Variante, dass jede normierte komplexe Schiefkörper eindimensional ist.
Ostrowski folgert aus seinem Vollständigkeitssatz, dass jeder archimedisch bewertete Körper $({\mathit {K}},\vert \cdot \vert )$ sich algebraisch und topologisch in $\mathbb {C}$ einbetten lässt. Diese Einbettung liegt sogar in $\mathbb {R}$, falls $-1$ kein Quadrat in ${\mathit {K}}$ ist.	–

Da sich archimedische Bewertungen auf reellen Körpererweiterungen als Normen der zugehörigen reellen Algebren auffassen lassen, sind alle diese Sätze Folgerungen aus dem Lemma von Tornheim, und der zuletzt erwähnte Satz über komplexe Einbettungen wird sogar gelegentlich als Satz von Gelfand-Tornheim zitiert, obschon Ostrowski ihn bereits 1916 gefunden und 1918 veröffentlicht hat.

Der Namensgebung des Satzes von Gelfand-Tornheim dürfte also mit Fug und Recht die Arbeiten von Ostrowski, Mazur, Gelfand und Tornheim ehren und zugleich die Vorarbeit Georg Frobenius' dankend erwähnen.

Die folgende Synopse legt offen, wie sehr die Beweismethodik von Tornheim derjenigen Ostrowskis ähnelt.

Synopsis: Ostrowski und Tornheim

Die folgende Tabelle stellt dem Beweis Ostrowskis die Beweismodifikation Tornheims zur Seite, die auch für submultiplikative Normen reeller Algebren anwendbar ist. Ostrowski betrachtet archimedisch bewertete Körper, Tornheim reelle normierte Algebren mit Einselement.

Fundamentallemma über das Spektrum

Auch in dieser Tabelle kann gekürzt werden. Angeleichen an die spätere Tabelle

Synopsis

	Teilaussage des Vollständigkeitssatzes von Ostrowski: Ein archimedisch bewertete Körpererweiterung $({\mathit {L}},\Vert \cdot \Vert )/(\mathbb {C} ,\vert \cdot \vert )$ ist trivial.	Teilaussage des Satzes von Gelfand-Tornheim (Tornheims Lemma zum Spektrum): Ist ${\mathit {A}}$ eine reelle normierte kommutative Algebra mit Einselement, die ein $\mathrm {j}$ mit $\mathrm {j} ^{2}=-1$ enthält, so gibt es zu jedem $a\in {\mathit {A}}$ ein $z=x+y\,\mathrm {j}$ mit nicht invertierbarem $a-z$ (das heißt $a-z\in {\mathit {A}}\backslash {\mathit {A}}^{\times }$). (Beweis nach Tornheim)
1	Ostrowski zeigt ${\mathit {L}}=\mathbb {C}$, indem er die Annahme ${\mathit {L}}\supsetneq \mathbb {C}$ zu einem Widerspruch führt.	Tornheim führt die Annahme $(a-\mathbb {C} )\subset {\mathit {A}}^{\times }$ zu einem Widerspruch.
2	Wegen $\Vert a\Vert +\vert z\vert \;\;{\stackrel {\text{(i)}}{\geq }}\;\;\Vert a-z\Vert \;\;{\stackrel {\text{(ii)}}{\geq }}\;\;{\Big \vert }\,\vert z\vert -\Vert a\Vert \,{\Big \vert }$ gilt zunächst für jedes $a\in {\mathit {L}}$ einerseits (i) $\Vert a\Vert \geq \inf _{z\in \mathbb {C} }\{\Vert a-z\Vert \}=:d_{a}$ und andererseits (ii) $\vert z\vert >2\,\Vert a\Vert \Rightarrow \Vert a-z\Vert >\Vert a\Vert$.	Betrachte gemäß Annahme die wohldefinierte, stetige Funktion $g_{a}\colon \mathbb {C} \to \mathbb {R} _{>0},\,z\mapsto \left\Vert {\frac {1}{a-z}}\right\Vert$.
3	Folglich nimmt die stetige Funktion $f_{a}\colon \mathbb {C} \to \mathbb {R} _{>0},\,z\mapsto \Vert a-z\Vert$ nach dem Maximumprinzip ihr globales Infimum $d_{a}$ auf dem Kompaktum $C:=\{z\in \mathbb {C} ,|z|\leq 2\Vert a\Vert \}$ an: $d_{a}=\max _{z\in C}\{\Vert a-z\Vert \}$.	Wegen $g_{a}(z)=\left\Vert {\frac {1}{z}}\cdot {\frac {1}{{\frac {a}{z}}-1}}\right\Vert$ konvergiert $g_{a}$ außerhalb eines großen Kreises gegen Null und nimmt daher auf einem Kompaktum $C$ sein globales Maximum an: $M:=\sup _{z\in \mathbb {C} }g_{a}(z)=\max _{z\in C}g_{a}(z)$.
4	Nach Definition hängt $d_{a}$ nur von der „affinen Ebene“ $a+\mathbb {C}$ in ${\mathit {L}}$ ab, nicht von der Auswahl ihres Repräsentanten $a'\in a+\mathbb {C} =a'+\mathbb {C}$, denn $f_{a}(z'+z)=f_{a-z}(z')$.	Nach Definition hängt $M$ nur von der affinen Ebene $a-\mathbb {C}$ in ${\mathit {A}}$ ab, nicht von der Auswahl ihres Repräsentanten $a'\in a+\mathbb {C} =a'+\mathbb {C}$, denn trivialerweise gilt $g_{a}(z)=g_{a+z'}(z'+z)$.
5	Die „Sphäre“ $S_{a}:=\{s\in \mathbb {C} ,f_{a}(s)=d_{a}\}$ ist also nicht leer, und bei geschickter Auswahl eines $a_{0}\in a+\mathbb {C}$ gilt sogar $0\in S_{a_{0}}$ und $d_{a_{0}}=\Vert a_{0}\Vert$, denn für $z\in \mathbb {C}$ gilt trivialerweise $S_{a-z}=S_{a}-z$, und für jedes $s\in S_{a}$ folgt insbesondere $0\in S_{a}-s=S_{a-s}$. Für $a_{0}:=a-s$ heißt dies $d_{a}=\Vert a_{0}\Vert \leq \Vert a_{0}-z\Vert$ für jedes $z\in \mathbb {C}$. – Von nun an sei gemäß Annahme ein $a\in {\mathit {L}}\backslash \mathbb {C}$ ausgewählt, das heißt, es sei $d:=d_{a}>0$ vorausgesetzt.	Die Menge $T_{a}:=\{t\in \mathbb {C} ,\,g_{a}(t)=M\}$ ist also nicht leer und abgeschlossen. Dabei gilt trivialerweise $T_{a+z}=T_{a}+z$, und für jedes $t\in T_{a}$ folgt insbesondere $0\in T_{a}-t=T_{a-t}$. Für $a_{0}:=a-t$ heißt dies $M=g_{a_{0}}(0)=\left\Vert {\frac {1}{a_{0}}}\right\Vert \geq g_{a}(z)$ für jedes $z\in \mathbb {C}$.
6	Es bezeichne $B_{0}(d):=\{z\in \mathbb {C} ,\,\vert z\vert <d\}$ die offene Kreisumgebung der Null in $\mathbb {C}$.	Es bezeichne $B_{0}(r):=\{z\in \mathbb {C} ,\,\Vert z\Vert <r\}$ die offene Kreisumgebung der Null in $\mathbb {C} \subset {\mathit {A}}$.
7	Behauptung: $S_{a}$ ist offen.	Behauptung: $T_{a}$ ist offen.
8	Dazu wird gezeigt: $S_{a}+B_{0}(d)\subset S_{a}$.	Dazu wird gezeigt: $T_{a}+B_{0}(r)\subset T_{a}$ für geeignetes $r>0$.
9	Dazu genügt es zu zeigen: $0\in S_{a}\Rightarrow B_{0}(d)\subset S_{a}$, denn für $s\in S_{a}$ folgt nach Übergang von $a$ zu $a'=a-s$: $0\in S_{a'}$, also $B_{0}(d)\subset S_{a'}=S_{a-t}=S_{a}-s$, mithin $s+B_{0}(d)\subset S_{a}$.	Dazu genügt es zu zeigen: $0\in T_{a}\Rightarrow B_{0}(r)\subset T_{a}$, denn für $t\in T_{a}$ folgt nach Übergang von $a$ zu $a'=a-t$: $0\in T_{a'}$, also $B_{0}(r)\subset T_{a'}=T_{a-t}=T_{a}-t$, mithin $t+B_{0}(r)\subset T_{a}$.
10	Zum Beweis habe $a$ also von nun an die Eigenschaft $0\in S_{a}$, das heißt $\Vert a\Vert =f_{a}(0)=d$.	Zum Beweis habe $a\neq 0$ also von nun an die Eigenschaft $0\in T_{a}$, das heißt, es gelte $\left\Vert {\tfrac {1}{a}}\right\Vert =g_{a}(0)=M_{a}$. Ferner sei ein reelles $r$ gewählt mit $0<r<\left\Vert {\tfrac {1}{a}}\right\Vert ^{-1}=M^{-1}=:d$, so dass $\left\Vert {\tfrac {r}{a}}\right\Vert <1$.
11	Es werden nun die $k$-ten primitiven Einheitswurzeln $\zeta _{k}\in \mathbb {C}$ (bspw. $\zeta _{k}=\mathrm {e} ^{\frac {2\pi \mathrm {i} }{k}}$) herangezogen. Für sie und für vertauschbare Unbestimmte $X,Y$ gilt in ${\mathit {L}}[X,Y]$: $X^{k}-Y^{k}=\prod _{i=0}^{k-1}(X-\zeta _{k}^{i}\,Y)$. Dabei wird wie üblich vorausgesetzt, dass die Einheitswurzeln mit den Unbestimmten vertauschbar sind.	Links stehende Polynomidentität gilt (mutatis mutandis) ebenso in ${\mathit {A}}[X,Y]$ (mit bspw. $\zeta _{k}=\mathrm {e} ^{\frac {2\pi \mathrm {j} }{k}}$). Bildet man in ${\mathit {A}}(X,Y)$ daraus die logarithmische Ableitung nach $X$, teilt beide Seiten durch $k$ und kürzt auf der linke Seite durch $X^{k-1}$, so erhält man ${\frac {1}{X-Y\,\left({\frac {Y}{X}}\right)^{k-1}}}={\frac {1}{k}}\,\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{X-\zeta _{k}^{i}\,Y}}$.
12	Setzt man in dieser Identität $X=a$ und $Y=z\in B_{0}(d)$, so erhält man die folgende Beziehungen mit Konvergenz:	Setzt man in diese Identität nun $X=a$ und $Y=r$, – wobei ausgenutzt wird, dass $a$ mit allen $r\zeta$, also mit allen komplexen $z\in \mathbb {C} \subset {\mathit {A}}$ vertauschbar ist –, so erhält man die folgende Beziehungen mit Konvergenz:
13	$d\cdot d^{k-1}\leq \underbrace {\Vert a-z\Vert } _{\geq d}\cdot \prod _{i=1}^{k-1}\underbrace {\Vert a-\zeta _{k}^{i}z\Vert } _{\geq d}\;\;{\stackrel {!}{=}}\;\;\Vert a^{k}-z^{k}\Vert \leq \Vert a\Vert ^{k}\cdot \left(1+\left({\tfrac {\Vert z\Vert }{\Vert a\Vert }}\right)^{k}\right)\;\;{\stackrel {\text{oE}}{=}}\;\;d^{k}\cdot \left(1+\left({\tfrac {\Vert z\Vert }{d}}\right)^{k}\right)$. Das Gleichheitszeichen „${\stackrel {\text{oE}}{=}}$“ gilt nach Wahl von $a$ mit $d=\Vert a\Vert$.	$M\geq {\frac {1}{k}}\,\sum _{i=1}^{k}\underbrace {\left\Vert {\frac {1}{a-\zeta _{k}^{i}\,r}}\right\Vert } _{=g(r\zeta _{k}^{i})\leq M_{a}}\geq \left\Vert {\frac {1}{k}}\,\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{a-\zeta _{k}^{i}\,r}}\right\Vert =\left\Vert {\frac {1}{a-r\,\left({\frac {r}{a}}\right)^{k-1}}}\right\Vert \quad {\stackrel {k\to \infty }{\longrightarrow }}\quad \left\Vert {\frac {1}{a}}\right\Vert =M_{a}$
14	Sodann ist gemäß Hypothese ($d\neq 0$) die Division durch $d^{k-1}$ möglich. Beachtet man dabei die Auswahl von $z\in B_{0}(d)$, so erhält man insgesamt die Abschätzung mit Konvergenz $d\leq \Vert a-z\Vert \leq d\left(1+\left({\tfrac {\Vert z\Vert }{d}}\right)^{k}\right)\;\;{\stackrel {k\to \infty }{\longrightarrow }}\;\;\ d$. Der Grenzübergang erzwingt die Gleichheit $d=\Vert a-z\Vert$.	Daher gilt für jedes $k\in \mathbb {N}$ und jedes $1\leq i\leq k$ stets $g(r\zeta _{k}^{i})=M$ (und nicht etwa $g(r\zeta _{k}^{i})<M$). Da nun die Menge aller Einheitswurzeln $\{\zeta _{k}^{i},\,k,i\in \mathbb {N} \}$ dicht auf der Sphäre $S^{1}=\{z\in \mathbb {C} ,|z|=1\}$ liegt, liegt auch die Menge $\{r\zeta _{k}^{i},0<r<d,k\in \mathbb {N} ,1\leq i\leq k\}\subset B_{0}(d)$ dicht. Daher ist die stetige Abbildung $g_{a}$ auf der offenen Kugel $B_{0}(d)$ konstant identisch $M$.
15	Damit ist die Behauptung gezeigt.	Damit ist die Behauptung gezeigt.
16	Hieraus folgt $S_{a}=\mathbb {C}$ aus topologischen Gründen (denn $S_{a}$ ist offen, zugleich jedoch abgeschlossen („abgeschloffen“)) oder induktiv durch iterierte Anwendung $S_{a}\supset S_{a}+\sum _{i=1}^{m}B_{0}(d){\stackrel {m\to \infty }{\longrightarrow }}\mathbb {C}$.	Hieraus folgt $T_{a}=\mathbb {C}$ aus topologischen Gründen ($T_{a}$ offen, zugleich jedoch abgeschlossen) oder induktiv durch iterierte Anwendung $T_{a}\supset T_{a}+\sum _{i=1}^{m}B_{0}(d){\stackrel {m\to \infty }{\longrightarrow }}\mathbb {C}$.
17	Dies liefert einen Widerspruch zur Tatsache, dass $\Vert \cdot \Vert$ ein archimedischer Betrag ist, für den gilt: $\Vert a_{0}-mz\Vert \geq {\Big \vert }\Vert a_{0}\Vert -m\Vert z\Vert {\Big \vert }\;\;{\stackrel {m\to \infty }{\longrightarrow }}\;\;\infty$, sobald nur $z\neq 0$, also zur Tatsache, dass $\mathbb {C}$ im Gegensatz zu $S_{a}$ nicht beschränkt (kompakt) ist.	Dies liefert den Widerspruch, dass $T_{a}$ kompakt ist, nicht aber $\mathbb {C}$.
18	Somit ist die Annahme $d>0$ widerlegt und der Satz bewiesen.	Somit ist die Annahme widerlegt und der Satz bewiesen.

Die Theoremata: Vollständigkeitssatz von Ostrowski und Gelfand-Tornheim

Aus diesen Fundamentallemmata lassen sich Sätze über vollständige archimedisch bewertete Körper bzw. über reell normierte Körper folgern, nämlich der Vollständigkeitssatz einerseits sowie der oben formulierte Satz von Gelfand-Tornheim andererseits.

Dieser Satz wird gelegentlich als Satz von Gelfand-Mazur zitiert, bei anderen Autoren als Satz von Gelfand-Tornheim

Synopsis: Vollständigkeitssatz von Ostrowski und Satz von Gelfand-Tornheim über reell normierte Körper

	Vollständigkeitssatz von Ostrowski über vollständige archimedisch bewertete Körper: Eine archimedisch bewertete Körpererweiterung ${\mathit {K}}$ von $(\mathbb {R} ,\vert \cdot \vert )$ ist entweder gleich $(\mathbb {R} ,\vert \cdot \vert )$ oder gleich $(\mathbb {C} ,\vert \cdot \vert )$.	Satz von Gelfand-Tornheim: Eine reelle normierte Algebra $({\mathit {A}},\Vert \cdot \Vert )$, die ein Körper ist, ist (bis auf isometrische Isomorphie, scil.) entweder gleich $(\mathbb {R} ,\vert \cdot \vert )$ oder gleich $(\mathbb {C} ,\vert \cdot \vert )$.
1	Der Körper $({\mathit {K}},\vert \cdot \vert )$ enthält notwendig den topologischen Abschluss seines Primkörpers, also $\mathbb {R} ,\vert \cdot \vert$ und seine Bewertung ist auf $\mathbb {R}$ äquivalent mit dem gewöhnlichen Absolutbetrag.	Vermöge der Einbettung $\mathbb {R} \hookrightarrow {\mathit {A}},\,r\mapsto r\cdot 1_{\mathit {A}}$ betrachte $\mathbb {R}$ als Teilkörper von ${\mathit {A}}$.
2	Fall A: Das Polynom $X^{2}+1$ über ${\mathit {K}}$ reduzibel, das heißt, $-1$ ist ein Quadrat in ${\mathit {K}}$, etwa $\mathrm {i} ^{2}=-1$.	Fall A: Das Polynom $X^{2}+1$ über ${\mathit {A}}$ reduzibel, das heißt, $-1$ ist ein Quadrat in ${\mathit {A}}$, etwa $\mathrm {j} ^{2}=-1$.
3	Dann ist ${\mathit {K}}$ eine archimedisch bewertete Körpererweiterung von $\mathbb {R} [\mathrm {i} ]=\mathbb {C}$, und die oben bewiesene Teilaussage des Vollständigkeitssatzes lässt auf ${\mathit {K}}=\mathbb {C}$ schließen.	Dann lässt die oben bewiesene Formulierung des Satzes von Gelfand-Tornheim auf ${\mathit {A}}=\mathbb {C}$ schließen, denn $a-z\in {\mathit {A}}\backslash {\mathit {A}}^{\times }=\{0\}$ bedeutet $a=z$.
4	Fall B: Das Polynom $X^{2}+1$ über ${\mathit {K}}$ irreduzibel, das heißt, $-1$ ist kein Quadrat in ${\mathit {K}}$.	Fall B: Das Polynom $X^{2}+1$ über ${\mathit {A}}$ irreduzibel, das heißt, $-1$ ist kein Quadrat in ${\mathit {A}}$.
5	Dann adjungiere eine Wurzel $\mathrm {i}$ von $X^{2}+1$: ${\mathit {L}}:={\mathit {K}}[\mathrm {i} ]\simeq {\mathit {K}}[X]/(X^{2}+1)$. Die Erweiterung hat den Grad $[{\mathit {L}}:{\mathit {K}}]=2$, und es ist ${\mathit {L}}={\mathit {K}}\oplus \mathrm {i} {\mathit {K}}$ mit der Rechenregel $\mathrm {i} ^{2}=-1$.	Definiere ${\mathit {B}}:={\mathit {A}}\oplus \mathrm {j} {\mathit {A}}$ mit der Rechenregel $\mathrm {j} ^{2}=-1$ und erhalte so eine reelle Algebra.
6	Setze den Betrag $\vert \cdot \vert _{K}$ von ${\mathit {K}}$ auf ${\mathit {L}}$ fort durch $\vert x+\mathrm {i} \,y\vert _{L}:={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ und zeige mit mit dem unten stehenden Fortsetzungssatz, dass es sich tatsächlich eine Fortsetzung zu einem archimedischen Absolutbetrag auf ${\mathit {L}}$ handelt.	Setze die reelle Norm $\Vert \cdot \Vert$ von ${\mathit {A}}$ auf ${\mathit {B}}$ fort durch $\Vert x+\mathrm {i} \,y\Vert :=\Vert x\Vert +\Vert y\Vert$ und verifiziere, dass es eine reelle Norm auf ${\mathit {B}}$ ist.
7	Damit erfüllt ${\mathit {L}}$ die Voraussetzungen der oben bewiesenen Teilaussage des Vollständigkeitssatzes von Ostrowski.	Verifiziere, dass somit ${\mathit {B}}$ die Voraussetzungen des oben bewiesenen Satzes von Gelfand erfüllt: ${\mathit {B}}$ ist eine kommutative reelle normierte Algebra mit Einselement, die eine Quadratwurzel $\mathrm {j}$ von $-1$ enthält und ein Körper ist.
8	Nach Fall (A) folgt ${\mathit {L}}=\mathbb {C}$.	Nach Fall (A) folgt ${\mathit {B}}=\mathbb {C}$, denn $b-z\in {\mathit {B}}\backslash {\mathit {B}}^{\times }=\{0\}$ bedeutet $b=z$.
9	Nach Betrachtung der Körpergrade folgt ${\mathit {K}}=\mathbb {R}$.	Nach Betrachtung der Körpergrade folgt ${\mathit {A}}=\mathbb {R}$.
9	Damit ist der Beweis des Vollständigkeitssatzes von Ostrowski erbracht.	Damit ist der Beweis des Satzes von Gelfand-Tornheim (bzw. Gelfand-Mazur) über reell normierte Körper erbracht.

Die Verifikation (in Schritt 6), dass die genannte Definition eine Fortsetzung des Betrages zu einem Betrag liefert, ist nicht so einfach, wie die auf die analoge Verifikation in der rechten Spalte für eine Norm. Zwar gehen die positive Definitheit und Multiplikativität unmittelbar aus den Eigenschaften von Quadratsummen und der Multiplikation in ${\mathit {K}}[\mathrm {i} ]$ hervor, doch die Dreiecksungleichung liegt nicht auf der Hand. Der Nachweis der Fortsetzbarkeit gelingt auf dreierlei Arten:

• Ostrowski selbst zeigt dazu mit elementaren Mitteln einen Fortsetzungssatz für quadratische Erweiterungen: Auf eine quadratische Erweiterung eines vollständigen archimedisch bewerteten Körpers kann dessen Bewertung fortgesetzt werden.
• Allgemeiner lässt sich für endliche Körperweiterungen lokalkompakter Körper zeigen, das ein (archimedischer oder nicht-archimedischer) Betrag vom Grundkörper auf den Erweiterungskörper eindeutig fortgesetzt werden kann.
• Selbst für nicht komplette bewertete Körpererweiterungen lässt sich die Existenz von Fortsetzungen mit Hilfe des Lemmas von Hensel zeigen.

Unmittelbare Folgerungen

Wie schon erwähnt, wird auch gelegentlich der folgende Satz, der unmittelbar aus der obigen Formulierung des Satzes von Gelfand-Tornheim folgt, als Satz von Gelfand-Tornheim bezeichnet: Ein archimedisch bewerteter Körper $({\mathit {K}},\vert \cdot \vert )$ ist Teilkörper von $\mathbb {C}$ mit dem gewöhnlichen Betrag $\vert \cdot \vert$.

Diesen Satz hat allerdings schon Ostrowski in seiner Arbeit von 1916 (1918 veröffentlicht) formuliert, denn er folgt, wie auch die folgende Gegenüberstellung zeigt, mit mindestens gleicher Berechtigung als (Geschenk (corollarium)) aus seinem Vollständigkeitssatz. Zwar bezieht Ostrowski in seinem Artikel nur das obige Ergebnis in seinen „Vollständigkeitssatz“, doch man darf sicher auch die unmittelbar Folgerungen in ihn einbeziehen: „Ein archimedisch bewerteter Körper $(K,\vert \cdot \vert _{K})$ lässt sich algebraisch und isometrisch in $(\mathbb {C} ,\vert \cdot \vert )$ (versehen mit dem gewöhnlichen Absolutbetrag $\vert \cdot \vert$) einbetten. Liegt $\mathbb {R} \subset {\mathit {K}}$ oder ist ${\mathit {K}}$ vollständig, so ist ${\mathit {K}}$ entweder gleich $\mathbb {C}$ oder $\mathbb {R}$ und mithin vollständig.“

Satz: „Ein archimedisch bewerteter Körper $({\mathit {K}},\vert \cdot \vert )$ ist Teilkörper von $(\mathbb {C} ,\vert \cdot \vert )$.“

	als Folgerung aus dem Vollständigkeitssatz von Ostrowski	als Folgerung aus dem Satz von Gelfand-Tornheim
1	Betrachte die topologische Vervollständigung ${\mathit {K}}\hookrightarrow {\hat {\mathit {K}}}$ mit seiner eindeutigen Fortsetzung des (stetigen) archimedischen Betrages $\vert \cdot \vert$ auf ${\hat {\mathit {K}}}$.	Betrachte die topologische Vervollständigung ${\mathit {K}}\hookrightarrow {\hat {\mathit {K}}}$ mit seiner eindeutigen Fortsetzung des (stetigen) archimedischen Betrages $\vert \cdot \vert$ auf ${\hat {\mathit {K}}}$, der sich als reelle Norm auf ${\hat {\mathit {K}}}$ auffassen lässt.
2	Der Körper ${\hat {\mathit {K}}}$ erfüllt die Voraussetzungen des Vollständigkeitssatzes von Ostrowski.	Der Körper ${\hat {\mathit {K}}}$ lässt sich somit als eine reelle normierte Algebra betrachten, die ein Körper ist, und erfüllt somit die Voraussetzungen des Satzes von Gelfand-Tornheim.
3	Also gilt entweder Fall (A) ${\mathit {K}}\subset {\hat {\mathit {K}}}=\mathbb {C}$ oder Fall (B) ${\mathit {K}}\subset {\hat {\mathit {K}}}=\mathbb {R}$	Also gilt entweder Fall (A) ${\mathit {K}}\subset {\hat {\mathit {K}}}=\mathbb {C}$ oder Fall (B) ${\mathit {K}}\subset {\hat {\mathit {K}}}=\mathbb {R}$
4	In beiden Fällen ist ${\mathit {K}}$ ein Teilkörper von $\mathbb {C}$, q.e.d.	In beiden Fällen ist ${\mathit {K}}$ ein Teilkörper von $\mathbb {C}$, q.e.d.

Folgerungen

Vollständigkeitssatz von Ostrowski

Weil, wie bereits erwähnt, die Fortsetzung $\vert \cdot \vert _{L}$ einer Bewertung $\vert \cdot \vert _{K}$ auf einem Grundkörper $K$ zu einer Bewertung auf einem Erweiterungskörper $L$ als Norm auf dem $K$-Vektorraum $L$ aufgefasst werden kann, folgt der Vollständigkeitssatz von Ostrowski aus dem Satz von Gelfand-Tornheim und kann als ein Spezialfall betrachtet werden.

Der Satz von Ostrowski betrachtet archimedisch bewertete Körper $(K,\vert \cdot \vert )$. Diese haben notwendig Charakteristik Null, also den Primkörper $\mathbb {Q}$. Da $\vert \cdot \vert$ auf $\mathbb {Q}$ zum gewöhnlichen Absolutbetrag äquialent ist, kann ohne Einschränkung kann daher angenommen werden, dass die Bewertung $\vert \cdot \vert$ den Absolutbetrag von $\mathbb {Q}$ (also die Identität auf $\mathbb {N}$) fortsetzt.

Es sei daher noch einmal zusammengefasst, zu welchem Ergebnis Ostrowski im Vollständigkeitssatz und seinen unmittelbaren Folgerungen gelangt:

Vollständigkeitssatz (Ostrowski, 1916/1918): Für einen archimedisch bewerteten Körper $(K,\vert \cdot \vert )$ sind die folgenden Aussagen äquivalent:

• $K$ ist vollständig bezüglich $\vert \cdot \vert$.
• $K$ ist gleich $\mathbb {C}$ oder gleich $\mathbb {R}$, und $\vert \cdot \vert$ ist äquivalent zum gewöhnlichen Absolutbetrag, ja sogar eine Fortsetzung desselben.
  • Genau dann, wenn $X^{2}+1$ über $K$ irreduzibel ist, gilt $K\simeq \mathbb {R}$.
  • Andernfalls gilt $K\simeq \mathbb {C}$.
• $\mathbb {R}$ lässt sich isometrisch und algebraisch in $K$ einbetten, das heißt:
• $K$ enthält $\mathbb {R}$, und $\vert \cdot \vert$ ist auf $\mathbb {R}$ äquivalent mit dem gewöhnlichen Absolutbetrag.

Deshalb lässt sich ein archimedisch bewerteter Körper stets isometrisch algebraisch einbetten in $(\mathbb {C} ,\vert \cdot \vert )$ und ist mithin stets Zwischenkörper von $\mathbb {Q} \subset \mathbb {C}$.

Diese letzte Aussage wird gelegentlich als Satz von Gelfand-Tornheim zitiert.

Satz von Gelfand-Mazur

Eine Variante des Satzes von Gelfand-Mazur besagt: Es sei ${\mathit {A}}$ eine (nicht notwendig kommutative) komplexe Banachalgebra mit Eins. Ist ${\mathit {A}}$ zudem ein Schiefkörper, so hat ${\mathit {A}}=\mathbb {C} \cdot 1_{\mathit {A}}$ die komplexe Dimension $1$ und ${\mathit {A}}$ ist kommutativ.

Wie oben erwähnt, folgt dies unmittelbar aus dem obigen Lemma.

Bemerkenswert ist, dass Tornheims Beweis ohne transfinite Methoden (ohne Auswahlaxiom, Lemma von Zorn, Satz von Hahn-Banach) auskommt.

Fundamentalsatz der Algebra

Der Fundamentalsatz der Algebra besagt: Jedes (normierte) komplexe Polynom $f(X)$ zerfällt in (normierte) Linearfaktoren. Denn seine Nullstellen sind die Eigenwerte desjenigen Endomorphismus', dessen charakteristisches Polynom $f(X)$ ist, und bilden gerade das Spektrum des linearen Operators als Element der komplexen Algebra ${\mathit {A}}:=\operatorname {End} _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} ^{\deg f})\simeq \operatorname {Mat} (\deg f,\mathbb {C} )$. Dieses ist nach dem Satz von Gelfand-Tornheim nicht leer. Kurz: Nullstellen sind Eigenwerte, und im Endlichdimensionalen sind Eigenwerte Spektralwerte.

Diese Argumentation gelingt auch mit Hilfe des Vollständigkeitssatzes von Ostrowski (anstelle des Satzes von Gelfand-Tornheim), und so lässt sich der Fundamentalsatz der Algebra ganz auf elementare Argumente der Bewertungstheorie zurückführen.

Reelle normierte Divisionsalgebren im Allgemeinen

Die Tragweite des Tornheimschen Beweisansatzes wird deutlich, wenn auch der Beweis eines weiteren bedeutsamen Lemmas aus seiner Originalarbeit in den Blick genommen wird:

Jedes Element einer normierten reellen Divisionsalgebra genügt einer reellen quadratischen Gleichung, das heißt, ist Nullstelle eines quadratischen reellen Polynoms.

Das obige Fundamentallemma über das Spektrum kann in dieser Perspektive so formuliert werden:

Jedes Element einer komplexen Divisionsalgebra, die reell normiert ist, genügt einer komplexen linearen Gleichung, das heißt, ist Nullstelle eines linearen komplexen Polynoms und mithin eine komplexe Zahl.

Beide Lemmata lassen sich so zusammenfasssen:

Es sei ${\mathit {A}}$ eine reelle normierte Algebra.

Fall B: Enthält ihr Zentrum $Z({\mathit {A}})=\{b\in {\mathit {A}}\mid \forall a\in {\mathit {A}}:ab=ba\}$ ein Element $\mathrm {j}$ mit $\mathrm {j} ^{2}=-1$, so gibt es eine Einbettung $\mathbb {C} \hookrightarrow {\mathit {A}},\mathrm {i} \mapsto \mathrm {j}$ und bezüglich dieser Einbettung gibt es zu jedem $a\in {\mathit {A}}$ ein Element $z\in \mathbb {C} \hookrightarrow {\mathit {A}}$ mit $a-z\notin {\mathit {A}}^{\times }$.

Fall A: Ist dies nicht der Fall, so gibt es zu jedem $a\in {\mathit {A}}$ Elemente $p,q\in \mathbb {R} \hookrightarrow {\mathit {A}}$ mit $a^{2}+pa+q\notin {\mathit {A}}^{\times }$.

So verwundert es nicht, dass der Beweis dieses Lemmas aus dem vorigen durch eine Modifikation des Beweises hervorgeht.

Aus diesem Satz folgen erneut die Tatsachen:

Eine kommutative reelle normierte Divisionsalgebra ${\mathit {A}}$ ist (bis auf isometrische Isomorphie) gleich $(\mathbb {C} ,\vert \cdot \vert )$ oder gleich $(\mathbb {R} ,\vert \cdot \vert )$ ist. Es treten also nur die Dimensionen $1$ und $2$ auf.

Eine (nicht notwendig kommutative) komplexe normierte Divisionsalgebra ${\mathit {A}}$ ist eindimensional, das heißt, sie ist bis auf isometrische Isomorphie gleich $(\mathbb {C} ,\vert \cdot \vert )$. Zum Beweis betrachte man die kommutative Unteralgebra $\mathbb {C} (a)$ für ein $a\in {\mathit {A}}$.

Modifikation des Beweises für Fall B

Der Beweis der obigen Aussage, dass jedes Element einer reellen normierten Divisionsalgebra quadratischen Grades ist, folgt wiederum dem Beweisschema des Tornheimschen Lemmas zum Spektrum. Dazu müssen die logarithmische Ableitung der Kreisteilungsgleichung und die zu betrachtende Funktion so verändert werden, dass sie keinen Gebrauch von einer Einbettung $\mathbb {C} \hookrightarrow {\mathit {A}}$ machen, da nur die Einbettung $\mathbb {R} \hookrightarrow {\mathit {A}}$ vorausgesetzt ist.

Anstelle der Funktion $g_{a}\colon \operatorname {Res} _{\mathbb {C} }(a)\to \mathbb {R} _{\geq 0},\,z\mapsto \Vert \operatorname {res} _{a}(z)\Vert :=\left\Vert {\frac {1}{a-z}}\right\Vert$ wird daher die folgende Funktion betrachtet:

${\begin{array}{cccccccccc}h_{a}\colon &\mathbb {R} \times \mathbb {R} &{\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}&\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {R} (a,\mathrm {i} )&\longrightarrow &\mathbb {R} (a)&\longrightarrow &\mathbb {R} _{\geq 0}\\&(x,y)&\mapsto &x+\mathrm {i} \,y=:z&\mapsto &{\dfrac {1}{a-z}}&\mapsto &{\dfrac {1}{a-z}}+{\dfrac {1}{a-{\overline {z}}}}={\dfrac {2(a-x)}{(a-x)^{2}+y^{2}}}&\mapsto &\left\Vert \underbrace {{\dfrac {1}{a-z}}+{\dfrac {1}{a-{\overline {z}}}}} _{\in \mathbb {R} (a){\text{ (!)}}}\right\Vert =\left\Vert {\dfrac {2(a-x)}{(a-x)^{2}+y^{2}}}\right\Vert .\end{array}}$

Ihr Definitionsbereich von $h_{a}$ beruht auf der Annahme, dass kein reelles quadratisches Polynom im Körper $\mathbb {R} (a)\subset {\mathit {A}}$ die Nullstelle $a\neq 0$ besitzt. Zwar wird zur Definition von $h_{a}$ die quadratische Körpererweiterung $\mathbb {R} (a)[\mathrm {i} ]=\mathbb {C} (a)/\mathbb {R} (a)$ genutzt, doch die Rechnung zeigt, dass schon der Teilkörper $\mathbb {R} (a)\hookrightarrow {\mathit {A}}$ ausreicht, der zudem mit der Norm von ${\mathit {A}}$ ausgestattet ist.

Beachte: Ist nämlich $-1$ kein Quadrat in ${\mathit {A}}$, so besitzt der kommutative Teilkörper $\mathbb {R} (a)$ den quadratischen Erweiterungskörper $\mathbb {R} (a)[\mathrm {i} ]=\mathbb {C} (a)$, doch ist auf ihm nicht die Norm von ${\mathit {A}}$ definiert.

Die Funktion $h_{a}$ erfüllt offenkundig diese Translations- und Symmetrieeigenschaften: $h_{a}(x,y)=h_{a+x'}(x+x',-y)$ bzw. $h_{a}(z)=h_{a+x'}({\overline {(}}z)+x')$ Als Funktion auf $\mathbb {C}$ betrachtet, ist sie also symmetrisch zur reellen Achse $y=\Im z=0$. Die Translationseigenschaft gilt nur in Bezug auf die „affine reelle Gerade“ $a+\mathbb {R}$, nicht bezüglich der „affinen Ebene“ $a+\mathbb {C}$.

Der Translationseigenschaft wegen konnte hierbei im Beweis des vorigen Falles A ohne Einschränkung $z=s=0\,(\in S_{a})$ gewählt werden. Im hiesigen Fall B hingegen kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit das $a\in {\mathit {A}}$ nur so ausgewählt werden, dass man sich auf ein rein imaginäres $z=y\mathrm {i}$ (also $\Re z=0$) zurückziehen kann. ERLEICHTERT das die RECHNUNG?

Die Funktion $h_{a}$ entsteht aus $g_{a}$, indem anstelle der Norm von $\operatorname {res} _{a}(z)$ die Norm der Summe $\operatorname {res} _{a}(z)+\operatorname {res} _{a}({\overline {z}})$ betrachtet wird, so dass $h_{a}(z)=h_{a}({\overline {z}})$. Ebenso betrachtet man anstelle von $S(k)={\mathcal {P}}_{k}(a+z,r)$ die Summe $S(k):={\mathcal {P}}_{k}(a+z,r)+{\mathcal {P}}_{k}(a+{\overline {z}},r)$ für geeignet gewählte Größen $z\in \mathbb {C}$ und $r\in \mathbb {R}$.

DELENDUM: Polynomidentität über dem maximal reellen Kreisteilungskörper

Das Folgende ist alles richtig, wird aber so gar nicht benötigt. Stattdessen wird ${\mathcal {P}}_{k}(a-t,r)+{\mathcal {P}}_{k}(a-{\overline {t}},r)$ betrachtet, wie ja auch $h_{a}$ analog aus $g_{a}$ entsteht.

Ausgangspunkt für die Modifikation ist die triviale Tatsache über die komplex Konjugierten der Einheitswurzeln auf der Einheitssphäre $S^{1}\subset \mathbb {C}$:

$\{\zeta _{k}^{i},\,1\leq i\leq k\}={\overline {\{\zeta _{k}^{i},\,1\leq i\leq k\}}}=\{{\overline {\zeta _{k}^{i}}},\,1\leq i\leq k\}$

An die Stelle der logarithmischen Ableitung der Kreisteilungsgleichung $X^{k}-Y^{k}=\prod _{i=1}^{k}(X-\zeta _{k}^{i}\,Y)$ über den Kreisteilungskörpern $\mathbb {Q} [\zeta _{k}]$ tritt die logarithmische Ableitung der Gleichung $(X^{k}-Y^{k})^{2}=\prod _{i=1}^{k}(X-\zeta _{k}^{i}\,Y)\cdot \prod _{i=1}^{k}(X-{\overline {\zeta _{k}^{i}}}\,Y)$, die invariant unter der komplexen Konjugation ist, also nur reellwertige ganzrationale Ausdrücke der Einheitswurzeln involviert und mithin über dem maximal reellen Teilkörper $\mathbb {Q} [\zeta _{k}+{\overline {\zeta _{k}}}]$ Kreisteilungskörper besteht. So tritt an die Stelle der Gleichung

${\frac {1}{X-Y\,\left({\frac {Y}{X}}\right)^{k-1}}}={\frac {1}{k}}\,\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{X-\zeta _{k}^{i}\,Y}}=:{\mathcal {P}}_{k}(X,Y)\quad \in \mathbb {Q} [\zeta _{k}](X,Y)$

(Logarithmische Ableitung der Kreisteilung)

die Gleichung

${\frac {2}{X-Y\,\left({\frac {Y}{X}}\right)^{k-1}}}={\frac {1}{k}}\,\left[\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{X-\zeta _{k}^{i}\,Y}}+\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{X-{\overline {\zeta _{k}^{i}}}\,Y}}\right]=2\,{\mathcal {P}}_{k}(X,Y)\quad \in \mathbb {Q} [\zeta _{k}+{\overline {\zeta _{k}}}](X,Y)$

(Logarithmische Ableitung der maximal reellen Kreisteilung)

Dabei kann im rationalen Funktionenkörper $\mathbb {C} (a)(X,Y)=\mathbb {R} [\mathrm {i} ](a)(X,Y)$ berechnet werden:

${\begin{aligned}{\frac {1}{k}}\,\left[\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{X-\zeta _{k}^{i}\,Y}}+\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{X-{\overline {\zeta _{k}^{i}}}\,Y}}\right]&=&{\frac {1}{k}}\,\sum _{i=1}^{k}\left[{\frac {(X-{\overline {\zeta _{k}^{i}}}\,Y)+(X-\zeta _{k}^{i}\,Y)}{(X-\zeta _{k}^{i}\,Y)\cdot (X-{\overline {\zeta _{k}^{i}}}\,Y)}}\right]&&\\&=&{\frac {1}{k}}\,\sum _{i=1}^{k}\left[{\frac {2\,X-(\zeta _{k}^{i}+{\overline {\zeta _{k}^{i}}})\,Y}{X^{2}-\zeta _{k}^{i}\,YX-X\,{\overline {\zeta _{k}^{i}}}\,Y+\zeta _{k}^{i}Y\,{\overline {\zeta _{k}^{i}}}\,Y)}}\right]&&\\&{\stackrel {!}{=}}&{\frac {2}{k}}\,\sum _{i=1}^{k}\left[{\frac {X-\Re \zeta _{k}^{i}\cdot Y}{X^{2}-\zeta _{k}^{i}\,YX-X\,{\overline {\zeta _{k}^{i}}}\,Y+Y^{2}}}\right]&&{\text{ weil }}\zeta _{k}^{i}\,{\overline {\zeta _{k}^{i}}}=\vert \zeta _{k}^{i}\vert ^{2}=1\\&{\stackrel {!!}{=}}&{\frac {2}{k}}\,\sum _{i=1}^{k}\left[{\frac {X-\Re \zeta _{k}^{i}\cdot Y}{X^{2}-2\Re \zeta _{k}^{i}\,XY+Y^{2}}}\right]&&{\text{ wenn auch }}X{\text{ mit }}\zeta _{k}^{i}{\text{ und }}Y{\text{ vertauschbar.}}\\&{\stackrel {!!!}{=}}&{\frac {2}{k}}\,\sum _{i=1}^{k}\left[{\frac {1}{X-\Re \zeta _{k}^{i}\cdot Y}}\right]&&{\text{weil Nenner niemals Null gem. Annahme}}\\\end{aligned}}$

Für die Unbestimmten dürfen Werte aus dem quadratischen Erweiterungskörper $\mathbb {C} (a)/\mathbb {R} (a)$ eingesetzt werden, und es zeigt sich, dass $2\,P_{k}(X,Y)\in \mathbb {R} (a)(X,Y)$ liegt. Das ist aber ein wahrscheinlich ziemlich triviale, aber wichtige Feststellung. Also kürzen.

Dabei gilt:

• $\mathbb {Q} [\zeta _{k}]\subset \mathbb {C}$.
• $\mathbb {Q} [\zeta _{k}+{\overline {\zeta _{k}}}]\subset \mathbb {R} \subset {\mathit {A}}$.

Abschätzungen

Zur Abschätzung von $h_{a}$ im Unendlichen sind zwei Lemmata erforderlich:

Lemma D: Die identischen Ausdrücke $\left\Vert {\tfrac {1}{a-z}}+{\tfrac {1}{a-{\overline {z}}}}\right\Vert =\left\Vert {\tfrac {2(a-x)}{(a-x)^{2}+y^{2}}}\right\Vert$ sind rechter Hand in $a,b\in \mathbb {R}$ stetig und linker Hand stetig in $z=x+\mathrm {i} \,y\in \mathbb {C}$, wobei ${\overline {z}}=x-\mathrm {i} \,y$.

Lemma E: Zu $a\in {\mathit {A}}$ existiert ein $R_{a}>0$, so dass gilt: $\vert z\vert >R_{a}\Rightarrow \left\Vert {\frac {1}{a-z}}+{\frac {1}{a-{\overline {z}}}}\right\Vert <\left\Vert {\frac {2}{a}}\right\Vert$,

• denn es gilt ${\frac {1}{a-z}}+{\frac {1}{a-{\overline {z}}}}={\frac {{\frac {2a}{z\,{\overline {z}}}}-[{\frac {1}{z}}+{\frac {1}{\overline {z}}}]}{1-a\,[{\frac {1}{z}}+{\frac {1}{\overline {z}}}]+{\frac {a^{2}}{z\,{\overline {z}}}}}}$, und aus den folgenden Konvergenzen im Körper $\mathbb {R} (a)$
  • $\left\Vert {\frac {2a}{z\,{\overline {z}}}}\right\Vert =\left\vert {\frac {1}{z\,{\overline {z}}}}\right\vert \cdot \Vert 2\,a\Vert \quad {\stackrel {\vert z\vert \to \infty }{\longrightarrow }}\quad 0$,
  • $\left\Vert {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{\overline {z}}}\right\Vert =\left\vert {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{\overline {z}}}\right\vert \cdot \Vert 1\Vert \quad {\stackrel {\vert z\vert \to \infty }{\longrightarrow }}\quad 0$,
  • $\left\Vert a\,[{\frac {1}{z}}+{\frac {1}{\overline {z}}}]\right\Vert =\left\vert {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{\overline {z}}}\right\vert \cdot \Vert a\Vert \quad {\stackrel {\vert z\vert \to \infty }{\longrightarrow }}\quad 0$ und
  • $\left\Vert {\frac {a^{2}}{z\,{\overline {z}}}}\right\Vert =\left\vert {\frac {1}{z\,{\overline {z}}}}\right\vert \cdot \Vert a^{2}\Vert \quad {\stackrel {\vert z\vert \to \infty }{\longrightarrow }}\quad 0$
• folgt ${\frac {1}{a-z}}+{\frac {1}{a-{\overline {z}}}}\quad {\stackrel {\vert z\vert \to 0}{\longrightarrow }}\quad 0$ und mithin das Lemma E.

Eine weiteres Lemma liefert einen wichtigen Grenzwert:

Lemma F: $\lim _{k\to \infty }T(k)=M$ Beweis (Seite 66).

Beweise: Synopsis

Es sei ${\mathit {A}}$ eine reelle normierte Algebra mit Einselement $1_{\mathit {A}}$.

• Fall A: Die Algebra enthalte ein Element $\mathrm {j}$ mit $\mathrm {j} ^{2}=-1_{\mathit {A}}$ und $a\mathrm {j} =\mathrm {j} a$ für jedes $a\in {\mathit {A}}$, so dass vermöge $\mathrm {i} \mapsto \mathrm {j}$ eine Einbettung $\mathbb {C} \hookrightarrow {\mathit {A}}$ definiert ist, durch welche ${\mathit {A}}$ eine komplexe Algebra wird.
  • Notabene: Das bedeutet nicht, dass ${\mathit {A}}$ zu einer komplex normierten Algebra wird.
• Fall B: Dies sei nicht der Fall.

Synopsis

	Fall B: Zu dem Element $a\in {\mathit {A}}$ einer reellen normierten Algebra ${\mathit {A}}$ gibt es ein quadratisches reelles Polynom $f(X)\in \mathbb {R} [X]$ mit $f(a)\in {\mathit {A}}\backslash {\mathit {A}}^{\times }$. Ist dabei ${\mathit {A}}$ Divisionsalgebra, so genügt also jedes ihrer Elemente einer reellen quadratischen Gleichung.	Fall A: Teilaussage des Satzes von Gelfand-Tornheim (Tornheims Lemma zum Spektrum): Ist ${\mathit {A}}$ eine reelle normierte Algebra mit Einselement, die in ihrem Zentrum ein $\mathrm {j}$ mit $\mathrm {j} ^{2}=-1$ enthält, so gibt es zu jedem $a\in {\mathit {A}}$ ein $z=x+y\,\mathrm {j}$ mit nicht invertierbarem $a-z$ (das heißt $a-z\in {\mathit {A}}\backslash {\mathit {A}}^{\times }$). (Beweis nach Tornheim)
1	Tornheim beweist die Aussage, indem er die Annahme $\forall a\in {\mathit {A}},x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} :a^{2}+r_{1}a+r_{2}\in {\mathit {A}}^{\times }$ zu einem Widerspruch führt.	Tornheim führt die Annahme $(a-\mathbb {C} )\subset {\mathit {A}}^{\times }$ zu einem Widerspruch.
2	Betrachte die gemäß Annahme wohldefinierte, stetige Funktion $h_{a}\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \quad {\stackrel {\sim }{\longrightarrow }}\quad \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\;(x,y)\mapsto x+\mathrm {i} \,y=:z\mapsto \left\Vert {\frac {1}{a-z}}+{\frac {1}{a-{\overline {z}}}}\right\Vert =\left\Vert {\frac {2(a-x)}{(a-x)^{2}+y^{2}}}\right\Vert .$	Betrachte die gemäß Annahme wohldefinierte, stetige Funktion $g_{a}\colon \mathbb {C} \to \mathbb {R} _{>0},\,z\mapsto \left\Vert {\frac {1}{a-z}}\right\Vert$.
3	Wegen obiger Abschätzungen (Lemma E) konvergiert $h_{a}$ außerhalb eines großen Kreises der komplexen Ebene gegen Null und nimmt daher auf einem Kompaktum $C\subset \mathbb {C}$ sein globales Maximum an: $M:=\sup _{z\in \mathbb {C} }h_{a}(z)=\max _{z\in C}h_{a}(z)$.	Wegen $g_{a}(z)=\left\Vert {\frac {1}{z}}\cdot {\frac {1}{{\frac {a}{z}}-1}}\right\Vert =\left\vert {\frac {1}{z}}\right\vert \,\left\Vert {\frac {1}{{\frac {a}{z}}-1}}\right\Vert$ konvergiert $g_{a}$ (nach Lemma A, B und C) außerhalb eines großen Kreises gegen Null und nimmt daher auf einem Kompaktum $C$ sein globales Maximum an: $M:=\sup _{z\in \mathbb {C} }g_{a}(z)=\max _{z\in C}g_{a}(z)$.
4	Die Funktion $h_{a}(x,y)$ hängt nur von $(x,\vert y\vert )$ ab (ist also symmetrisch im Imaginärteil) und erfüllt im Realteil $x=\Re z$ die Translationseigenschaft $h_{a+x}(z+x)=h_{a}(z)$. Daher hängt $M$ nur von der affinen Gerade $a+\mathbb {R}$ ab.	Nach Definition hängt $M$ nur von der affinen Ebene $a-\mathbb {C}$ in ${\mathit {A}}$ ab, nicht von der Auswahl ihres Repräsentanten $a'\in a+\mathbb {C} =a'+\mathbb {C}$, denn trivialerweise gilt $g_{a}(z)=g_{a+z'}(z'+z)$.
5	Die Menge $T_{a}:=\{t\in \mathbb {C} ,\,h_{a}(t)=M\}$ ist also nicht leer und abgeschlossen. Dabei gilt trivialerweise $T_{a+x}=T_{a}+x$, und für jedes $t\in T_{a}$ folgt insbesondere $0\in T_{a}-\Re t=T_{a-\Re t}$. Für $a_{0}:=a-\Re t$ heißt dies $M=h_{a_{0}}(0)=\left\Vert {\frac {2\,a}{a^{2}}}\right\Vert =\left\Vert {\frac {2}{a}}\right\Vert \geq h_{a}(z)$ für jedes $z\in \mathbb {C}$.	Die Menge $T_{a}:=\{t\in \mathbb {C} ,\,g_{a}(t)=M\}$ ist also nicht leer und abgeschlossen. Dabei gilt trivialerweise $T_{a+z}=T_{a}+z$, und für jedes $t\in T_{a}$ folgt insbesondere $0\in T_{a}-t=T_{a-t}$. Für $a_{0}:=a-t$ heißt dies $M=g_{a_{0}}(0)=\left\Vert {\frac {1}{a_{0}}}\right\Vert \geq g_{a}(z)$ für jedes $z\in \mathbb {C}$.
6	Es bezeichne $B_{0}(r):=\{z\in \mathbb {C} ,\,\Vert z\Vert <r\}$ die offene Kreisumgebung der Null in $\mathbb {C} \subset {\mathit {A}}$.	Es bezeichne $B_{0}(r):=\{z\in \mathbb {C} ,\,\Vert z\Vert <r\}$ die offene Kreisumgebung der Null in $\mathbb {C} \subset {\mathit {A}}$.
7	Behauptung: $T_{a}$ ist offen.	Behauptung: $T_{a}$ ist offen.
8	Dazu wird gezeigt: $t\in T_{a}\Rightarrow t+B_{0}(r)\subset T_{a}$ für geeignetes $r>0$.	Dazu wird gezeigt: $T_{a}+B_{0}(r)\subset T_{a}$ für geeignetes $r<0$.
9	Da die Translationseigenschaft nur partiell gilt, kann man sich hier nicht ohne Beschränkung der Allgemeinheit auf eine Betrachtung des Nullpunktes zurückziehen, Wohl aber auf $x:=\Re z=0$, was die Rechnungen wenig vereinfacht.	Dazu genügt es zu zeigen: $0\in T_{a}\Rightarrow B_{0}(r)\subset T_{a}$, denn für $t\in T_{a}$ folgt nach Übergang von $a$ zu $a'=a-t$: $0\in T_{a'}$, also $B_{0}(r)\subset T_{a'}=T_{a-t}=T_{a}-t$, mithin $t+B_{0}(r)\subset T_{a}$.
10	Es sei also $t\in T_{a}$ und es sei $0<r<\min \left(\underbrace {\left\Vert {\frac {1}{a-t}}\right\Vert +\left\Vert {\frac {1}{a-{\overline {t}}}}\right\Vert } _{=:N_{1}},\underbrace {\sqrt {\left\Vert {\frac {1}{(a-t)\,(a-{\overline {t}})}}\right\Vert }} _{=:N_{2}={\sqrt {L}}}\right)$	Zum Beweis habe $a\neq 0$ also von nun an die Eigenschaft $0\in T_{a}$, das heißt, es gelte $\left\Vert {\tfrac {1}{a}}\right\Vert =g_{a}(0)=M_{a}$. Es sei nun $r$ gewählt mit $0<r<\left\Vert {\tfrac {1}{a}}\right\Vert ^{-1}=M^{-1}=:d$, so dass $\left\Vert {\tfrac {r}{a}}\right\Vert <1$.
11	Die logarithmische Ableitung der Kreisteilungsgleichung ${\frac {1}{X-Y\,\left({\frac {Y}{X}}\right)^{k-1}}}={\frac {1}{k}}\,\left[\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{X-\zeta _{k}^{i}\,Y}}\right]={\mathcal {P}}_{k}(X,Y)$, die über dem Kreiskörper $\mathbb {Q} [\zeta _{k}]\subset \mathbb {C}$ gilt, wird zu einer Gleichung im maximal reellen Teilkörper $\mathbb {Q} [\zeta _{k}+{\overline {\zeta _{k}}}]\hookrightarrow {\mathit {A}}$, indem man die Summe ${\mathcal {P}}(z,r)+{\mathcal {P}}({\overline {z}},r)$ betrachtet.	Die logarithmische Ableitung der Kreisteilungsgleichung ${\frac {1}{X-Y\,\left({\frac {Y}{X}}\right)^{k-1}}}={\frac {1}{k}}\,\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{X-\zeta _{k}^{i}\,Y}}$ gilt über dem Kreisteilungskörper $\mathbb {Q} [\zeta _{k}]\hookrightarrow {\mathit {A}}$.
12	Dabei setze man $z:=a-t$ und ${\overline {z}}=a-{\overline {t}}$. Setzt man in die Identität zur logarithmischen Ableitung der Kreisteilung nun $X=z=a-t$ (und ${\overline {X}}={\overline {z}}=a-{\overline {t}}$) und $Y=r$ – wobei wie in Fall A ausgenutzt wurde, dass im Körper $\mathbb {C} (a)$ das Element $a$ mit allen $r\zeta$, also mit allen komplexen $z\in \mathbb {C}$ vertauschbar ist und das Ergebnis ${\mathcal {P}}_{k}(X,Y)+{\mathcal {P}}_{k}({\overline {X}},Y)\in \mathbb {R} (a)(X,Y)\quad [\hookrightarrow {\mathit {A}}(X,Y)]$ liegt und mithin die Norm $T(k):=\Vert {\mathcal {P}}_{k}(X,Y)+{\mathcal {P}}_{k}({\overline {X}},Y)\Vert$ gebildet werden kann –, so erhält man die folgende Beziehungen mit Konvergenz:	Setzt man in diese Identität nun $X=a$ und $Y=r$, – wobei ausgenutzt wird, dass $a$ mit allen $r\zeta$, also mit allen komplexen $z\in \mathbb {C} \subset {\mathit {A}}$ vertauschbar ist –, so erhält man die folgende Beziehungen mit Konvergenz:
13	${\begin{aligned}M&\geq &{\frac {1}{k}}\,\sum _{i=1}^{k}\left[\underbrace {\left\Vert {\frac {1}{a-t-\zeta _{k}^{i}\,r}}+{\frac {1}{a-{\overline {t}}-{\overline {\zeta _{k}^{i}}}\,r}}\right\Vert } _{=h_{a}(t+r\,\zeta _{k}^{i})}\right]\geq \Vert {\mathcal {P}}_{k}(a-t,r)+{\mathcal {P}}_{k}(a-{\overline {t}},r)\Vert =T(k)\\&=&\left\Vert {\frac {1}{z-r\,\left({\frac {r}{z}}\right)^{k-1}}}+{\frac {1}{{\overline {z}}-r\,\left({\frac {r}{\overline {z}}}\right)^{k-1}}}\right\Vert =\left\Vert {\frac {z+{\overline {z}}-r^{k}\,M_{k-1}}{z\,{\overline {z}}\,(1-r^{k}\,M_{k})+{\frac {r^{2k}}{(z\,{\overline {z}})^{k-1}}}}}\right\Vert \\&{\stackrel {k\to \infty }{\longrightarrow }}&M=\Vert M_{1}\Vert \end{aligned}}$, wobei $M_{k}:={\frac {1}{z^{k}}}+{\frac {1}{{\overline {z}}^{k}}}={\frac {z^{k}+{\overline {z^{k}}}}{\vert z\vert ^{2k}}}$. Denn nach Lemma F konvergieren alle drei Terme $r^{k}\,M_{k-1}$, $r^{k}\,M_{k}$ und ${\frac {r^{2k}}{(z\,{\overline {z}})^{k-1}}}$ nach Wahl von $r$ mit $k\to \infty$ gegen Null. Übrigens gilt oE $z+{\overline {z}}=2(a+x){\stackrel {\text{oE}}{\;=\;}}2a$ sowie $z\,{\overline {z}}=a^{2}+\vert z\vert ^{2}{\stackrel {\text{oE}}{\;=\;}}a^{2}+y^{2}$, wenn nach geeigneter Translation von $a$ der Realteil $x:=\Re z=\Re t=0$ verschwinden kann.	$M\geq {\frac {1}{k}}\,\sum _{i=1}^{k}\underbrace {\left\Vert {\frac {1}{a-\zeta _{k}^{i}\,r}}\right\Vert } _{=g(r\,\zeta _{k}^{i})\leq M_{a}}\geq \left\Vert {\frac {1}{k}}\,\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{a-\zeta _{k}^{i}\,r}}\right\Vert =\left\Vert {\frac {1}{a-r\,\left({\frac {r}{a}}\right)^{k-1}}}\right\Vert \quad {\stackrel {k\to \infty }{\longrightarrow }}\quad \left\Vert {\frac {1}{a}}\right\Vert =M_{a}$
14	Daher gilt für jedes $k\in \mathbb {N}$ und jedes $1\leq i\leq k$ stets $h_{a}(t+r\zeta _{k}^{i})=M$ (und nicht etwa $h_{a}(t+r\,\zeta _{k}^{i})<M$). Da nun die Menge aller Einheitswurzeln $\{\zeta _{k}^{i},\,k,i\in \mathbb {N} \}$ dicht auf der Sphäre $S^{1}=\{z\in \mathbb {C} ,|z|=1\}$ liegt, liegt auch die Menge $\{r'\zeta _{k}^{i},\,0<r'<r,k\in \mathbb {N} ,1\leq i\leq k\}\subset B_{0}(r)$ dicht. Daher ist die stetige Abbildung $h_{a}$ auf der offenen Kugel $t+B_{0}(r)$ konstant identisch $M$.	Daher gilt für jedes $k\in \mathbb {N}$ und jedes $1\leq i\leq k$ stets $g(r\zeta _{k}^{i})=M$ (und nicht etwa $g(r\zeta _{k}^{i})<M$). Da nun die Menge aller Einheitswurzeln $\{\zeta _{k}^{i},\,k,i\in \mathbb {N} \}$ dicht auf der Sphäre $S^{1}=\{z\in \mathbb {C} ,|z|=1\}$ liegt, liegt auch die Menge $\{r\zeta _{k}^{i},\,0<r<d,k\in \mathbb {N} ,1\leq i\leq k\}\subset B_{0}(d)$ dicht. Daher ist die stetige Abbildung $g_{a}$ auf der offenen Kugel $B_{0}(d)$ konstant identisch $M$.
15	Nach Definition von $T_{a}$ folgt hieraus $t+B_{0}(r)\subset T_{a}$.	Damit ist die Behauptung gezeigt.
16	Hieraus folgt $T_{a}=\mathbb {C}$ aus topologischen Gründen (denn $T_{a}$ ist offen, zugleich jedoch abgeschlossen („abgeschloffen“)) oder induktiv durch iterierte Anwendung $T_{a}\supset T_{a}+\sum _{i=1}^{m}B_{0}(d){\stackrel {m\to \infty }{\longrightarrow }}\mathbb {C}$.	Hieraus folgt $T_{a}=\mathbb {C}$ aus topologischen Gründen ($T_{a}$ offen, zugleich jedoch abgeschlossen) oder induktiv durch iterierte Anwendung $T_{a}\supset T_{a}+\sum _{i=1}^{m}B_{0}(d){\stackrel {m\to \infty }{\longrightarrow }}\mathbb {C}$.
17	Dies liefert den Widerspruch, dass $T_{a}$ kompakt ist, nicht aber $\mathbb {C}$.	Dies liefert den Widerspruch, dass $T_{a}$ kompakt ist, nicht aber $\mathbb {C}$.
18	Somit ist der Definitionsbereich von $h_{a}$ nicht zulässig, das heißt: Die Annahme, dass die Menge $a^{2}+\mathbb {R} a+\mathbb {R} \subset {\mathit {A}}^{\times }$ ist widerlegt und das Lemma bewiesen.	Somit ist die Annahme widerlegt und das Lemma über das Spektrum bewiesen.

Folgerungen

Aus diesem Lemma folgt in Verbindung mit einem Ergebnis von Richard Friederich Arens bzw. Lew Semjonowitsch Pontrjagin, welches – in Verallgemeinerung des Satzes von Frobenius über reelle Divisionsalgebren (1877) – besagt, dass eine reelle Divisionsalgebra, deren Elemente sämtlich algebraisch über $\mathbb {R}$ sind, gleich $\mathbb {R}$, $\mathbb {C}$ oder $\mathbb {H}$ sind, das folgende Theorem:

Eine (nicht notwendig kommutative) normierte reelle Divisionsalgebra ist entweder isomorph zu $\mathbb {R}$, zu $\mathbb {C}$ oder zu $\mathbb {H}$ (Quaternionen-Schiefkörper). Es treten also nur die Dimensionen $1,\,2$ und $4$ auf.

Dazu siehe auch Pontrjagins Arbeit von 1932, wiedergeben in Topologische Gruppen, Teil 2, Seite 201 unten („Beweis des Satzes 22 … den letzten Teil dieses Satzes zu beweisen“) und Seite 202. Es müsste für den vorliegenden Fall, nach dem es ja nur um höchstens quadratische irreduzible Polynome geht, eine sehr einfache Abkürzung der Abkürzung geben, mutmaßlich unter Verwendung der Argumente, die auf Seite 180 Mitte beginnen („Es seien i und j zwei Element von K …“)

Für den Satz von Frobenius (1877) gibt Pontrjagin einen elementaren Beweis an.

Dieses Theorem überträgt Satzes von Frobenius über reelle Divisionsalgebren (1877) von endlichdimensionalen auf normierte reelle Divisionsalgebren.

Ein Fortsetzungssatz für quadratische Erweiterungen von Ostrowski

Satz: Es sei $({\mathit {K}},\vert \cdot \vert )$ ein vollständiger archimedisch bewerteter Körper und ${\mathit {L}}/{\mathit {K}}$ eine quadratische Erweiterung. Dann wird vermöge der Körpernorm $N:=N_{{\mathit {L}}/{\mathit {K}}}\colon {\mathit {L}}\to {\mathit {K}}$ durch $\vert y\vert _{L}:={\sqrt {\vert N_{{\mathit {L}}/{\mathit {K}}}(y)\vert }}$ eine Fortsetzung $\vert \cdot \vert _{\mathit {L}}\colon {\mathit {L}}\to \mathbb {R}$ der Bewertung $\vert \cdot \vert \colon {\mathit {K}}\to \mathbb {R}$ definiert.

Beweis der Existenz: Zunächst ist aufgrund elementarer Eigenschaften der Norm $\vert x\vert _{\mathit {L}}=\vert x\vert$ für $x\in {\mathit {K}}$. Es handelt sich also um eine Fortsetzung der Bewertungsabbildung. Die Multiplikativität (und positive Definitheit) folgt aus derjenigen der Norm (Determinantenmultiplikationssatz). Zu zeigen bleibt die Dreiecksungleichung für $y_{1},y_{2}\in {\mathit {L}}$, für welche gemäß Definition von $\vert \cdot \vert _{\mathit {L}}$ (und insbesondere der Multiplikativität) die folgende Implikation gilt: $\forall y_{1},y_{2}\in {\mathit {L}}:\vert y_{1}+y_{2}\vert _{l}\leq \vert y_{1}\vert _{\mathit {L}}+\vert y_{2}\vert _{\mathit {L}}\Leftarrow \quad \forall y\in {\mathit {L}}:\underbrace {\vert y+1\vert _{\mathit {L}}} _{={\sqrt {\vert N(y+1)\vert }}}\leq \underbrace {\vert y\vert _{\mathit {L}}+1} _{={\sqrt {\vert N(y)\vert }}+1}$

Es sei $y\in {\mathit {L}}\backslash {\mathit {K}}$, so dass sein Minimalpolynom $\mu _{y}(X)$ über ${\mathit {K}}$ die Gestalt $\mu _{y}(X)=X^{2}+pX+q$ hat, wobei $N_{{\mathit {L}}/{\mathit {K}}}(y)=q\;{\stackrel {!}{\neq }}\;0$. Es ist $\mu _{y}(X\pm 1)=X^{2}+(p\pm 2)X\pm p+q+1$ das Minimalpolynom von $y\mp 1$. Also ist $N_{{\mathit {L}}/{\mathit {K}}}(y\mp 1)=\pm p+q+1=\mu _{y}(\pm 1)$.

Zu zeigen ist also ${\sqrt {\vert -p+q+1\vert }}\leq {\sqrt {\vert q\vert +1}}$, das heißt $\vert -p+q+1\vert \leq \vert q\vert +2{\sqrt {\vert q\vert }}+1$. Dies geschieht indirekt.

Angenommen, es gölte $\vert -p+q+1\vert >\vert q\vert +2{\sqrt {\vert q\vert }}+1$, dann wäre $\vert p\vert +\vert q\vert +1\geq \vert -p+q+1\vert >\vert q\vert +2{\sqrt {\vert q\vert }}+1$, also erst recht $\vert p\vert >2{\sqrt {\vert q\vert }}\;(>0)$, und wegen $\vert p\vert >0$ hieße dies

• $\vert p\vert ^{2}-4\,\vert q\vert >0$ oder äquivalent
• ${\frac {\vert p\vert }{2}}>{\frac {2}{\vert p\vert }}\,\vert q\vert$ oder äquivalent
• $\rho :={\frac {4\,\vert q\vert }{\vert p\vert ^{2}}}<1$.

Diese Annahme ermöglicht es, eine Folge $(x_{n})$ in $K$ iterativ durch $x_{k+1}:=-p-{\frac {q}{x_{k}}}$ für $k\geq 0$ bei $x_{0}:=-p\;{\stackrel {!}{\neq }}\;0$ zu definieren. Denn $x_{k}$ verschwindet für kein $k$, weil stets sogar $\vert x_{k}\vert \geq {\frac {\vert p\vert }{2}}$, wie induktiv klar wird: $\vert x_{k+1}\vert \geq \vert p\vert -\left\vert {\frac {q}{x_{k}}}\right\vert \,{\stackrel {\text{Ind.ann.}}{\geq }}\,\vert p\vert -{\frac {2\vert q\vert }{\vert p\vert }}>\vert p\vert -{\frac {\vert p\vert }{2}}={\frac {\vert p\vert }{2}}$.

Dies entlarvt diese Folge überdies als eine Cauchy-Folge, denn $\vert x_{k+1}-x_{k}\vert =\left\vert {\frac {q}{x_{k}}}-{\frac {q}{x_{k-1}}}\right\vert =\left\vert {\frac {q\,(x_{k-1}-x_{k})}{x_{k}x_{k-1}}}\right\vert =\vert x_{k-1}-x_{k}\vert \cdot {\frac {\vert q\vert }{\vert x_{k}\vert \,\vert x_{k-1}\vert }}\leq \vert x_{k-1}-x_{k}\vert \cdot {\frac {4\,\vert q\vert }{\vert p\vert ^{2}}}=\vert x_{k-1}-x_{k}\vert \cdot \rho =\vert x_{0}-x_{1}\vert \cdot \rho ^{k}$, woraus $\vert x_{k+l}-x_{k}\vert \leq \vert x_{0}-x_{1}\vert \cdot \rho ^{k}(1+\rho +\dots +\rho ^{l}+\dots )=\vert x_{0}-x_{1}\vert \cdot \rho ^{k}{\frac {1}{1-\rho }}\longrightarrow 0$ folgt.

Da ${\mathit {K}}$ vollständig ist, läge der Grenzwert $\lim x_{k}\in {\mathit {K}}$ und wäre zugleich Nullstelle des irreduziblen quadratischen Polynoms $\mu _{y}(X)$. Also ist die Annahme widerlegt.

Eindeutigkeit der Fortsetzung

Nachsatz: Diese Fortsetzung ist die einzig mögliche, also eindeutig bestimmt.

Beweis der Eindeutigkeit: Denn die Fortsetzungsformel lässt sich für eine beliebige Bewertungsfortsetzung $|\cdot |_{\mathit {L}}$ auf ${\mathit {L}}$ auch folgendermaßen ableiten, wobei zur Bequemlichkeit $n:=[{\mathit {L}}:{\mathit {K}}]$ gesetzt sei:

• Die Norm $N_{{\mathit {L}}/{\mathit {K}}}\colon {\mathit {L}}\to {\mathit {K}}$ ist stetig in der induzierten Topologie, da stetig in der äquivalenten Supremumsnorm.
• Für $y\in {\mathit {L}}$ gilt
  • einerseits $\vert y\vert _{\mathit {L}}<1\Rightarrow y^{k}\to 0\Rightarrow N(y)^{k}\to 0\Rightarrow \vert N(y)\vert _{\mathit {L}}<1$ und in entsprechender Weise
  • andererseits $\vert y\vert _{\mathit {L}}>1\Rightarrow \left\vert N(y)\right\vert _{\mathit {L}}>1$,
  • also $\left\vert N(y)\right\vert =1\Rightarrow \vert y\vert _{\mathit {L}}=1$.
  • Nun ist $\left\vert N\left({\frac {y^{n}}{N(y)}}\right)\right\vert =\left\vert {\frac {N(y^{n})}{N(y)^{n}}}\right\vert =|1|=1$.
  • Daraus folgt $\left\vert {\frac {y^{n}}{N(y)}}\right\vert _{\mathit {L}}=1$, und das ist die behauptete Formel für die Fortsetzung.

Die Eindeutigkeit folgt auch mit Hilfe der Theorie über verallgemeinerte Beträge oder Quasi-Beträge: Sind $\vert \cdot \vert _{1}$ und $\vert \cdot \vert _{2}$ zwei Fortsetzungen von $\vert \cdot \vert$, so müssen sie als $K$-Normen von $L$ äquivalent sein, also auch als verallgemeinerte Beträge. Es muss dann $\vert \cdot \vert _{1}=\vert \cdot \vert _{2}^{r}$ mit einem $r>1$ gelten, und dieses muss gleich $1$ sein, da beide Fortsetzungen auf ${\mathit {K}}$ übereinstimmen.

Aus der Eindeutigkeit lässt sich erneut die Formel ableiten: Quadratische Erweiterungen sind Galois-Erweiterungen. Es bezeichne also $\{\operatorname {id} _{\mathit {K}},\sigma \}=G({\mathit {L}}/{\mathit {K}})$ die Galoisgruppe. Ferner sei angenommen, dass es eine Fortsetzung $\vert \cdot \vert _{\mathit {L}}$ gebe. Mit ihr ist dann auch $\vert \cdot \vert _{\sigma }\colon {\mathit {L}}\to \sigma ({\mathit {L}})={\mathit {L}},\,y\mapsto \vert y\vert _{\sigma }:=\vert \sigma (y)\vert _{\mathit {L}}$ eine Fortsetzung, muss also mit $\vert \cdot \vert _{\mathit {L}}$ übereinstimmen. Wegen $N_{{\mathit {L}}/{\mathit {K}}}(y)=y\cdot \sigma (y)\in {\mathit {K}}$ gilt $\vert N_{{\mathit {L}}/{\mathit {K}}}(y)\vert =\vert y\,\sigma (y)\vert _{\mathit {L}}=\vert y\vert _{\mathit {L}}\cdot \vert y\vert _{\sigma }=\vert y\vert _{\mathit {L}}^{2}$, wie gewünscht. Diese Herleitung gelingt auch allgemein für endliche Erweiterungen, da sie sich immer in eine Galoiserweiterung – nämlich den Zerfällungskörper (Wurzelkörper) – einbetten lassen, was für die Herleitung ausreicht: Man betrachte die „konjugierten“ Bewertungen.

Literatur

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  • Wiesław Żelazko: Banach algebras. Modern Analytic and Computational Methods in Science and Mathematics. Elsevier Publishing Company, Amsterdam 1973, S. 19–22. 
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• Lew Semjonowitsch Pontrjagin: Topologische Gruppen. Teil I. B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig 1957, Kapitel IV. Topologische Körper, § 26 Klassische stetige Körper und § 27 Die Struktur der stetigen Körper, S. 172–204 (263 S., Deutsche Übersetzung von Viktor Ziegler (Leipzig). Originaltitel auf Russisch bereits 1954 in Moskau erschienen). 
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DELENDUM

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• John W. S. Cassels, Albrecht Fröhlich u.a.: Algebraic Number Theory. Proceedings of an Instructional Conference organized by the London Mathematical Society (a NATO Advanced Study Institute) with the Support of the International Mathematical Union. Hrsg.: John W. S. Cassels, Albrecht Fröhlich. Academic Press, New York NY 1967, ISBN 0-12-163251-2, siehe Chapter II Global Fields (Cassels), section 3 Examples of Valuations, Theorem (Gelfand-Tornheim) (ohne Beweis), Seite 45. 
• Lynn H. Loomis: An Introduction to Abstract Harmonic Analysis. D. van Nostrand Company, Toronto, New York, London 1953, Chapter IV Banach Algebras, § 22 Banach algebras; elementary theory, Theorem 22F,, S. 68 f. (190 S.). 
• Friedrich Hirzebruch, Winfried Scharlau: Einführung in die Funktionalanalysis. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim, Wien, Zürich 1971, ISBN 3-411-00296-4, VIII Kommutative Banach-Algebren § 28 Kommutative Banach-Algebren, Satz 28.1 „(Gelfand-Mazur)“, S. 123. , siehe Hirzebruch Collection
• Jean Dieudonné: Grundzüge der modernen Analysis. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975, 15 Normierte Algebren und Spektraltheorie, Abschnitt 15.2 Das Spektrum eines Elements einer normierten Algebra, 15.2.4 und 15.2.5 (Satz von Gelfand-Mazur) (Originaltitel: Elements d'Analyse, Tome II, Chapitre XII á XV, 2e edition (Gauthier-Villars, Paris/Bruxelles/Montreal 1974) Vorwort der französischen Erstausgabe von 1967.). 
• Reinhold Baer (Halle) und Helmut Hasse (Marburg): Zusammenhang und Dimension topologischer Körperräume. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle-Journal), Band 167 (1931). 5. Mai 1931, S. 40–45, abgerufen am 4. Januar 2023.  Enthält eine topologisch-uniforme Beweisvariante des Vollständigkeitssatzes von Ostrowski.
• Lew Semjonowitsch Pontrjagin: Über stetige algebraische Körper (= Ann. of Math., II. Ser. Band 33). 1932, S. 163–174.  Ebenso.
• Lew Semjonowitsch Pontrjagin: Topologische Gruppen. Teil I. B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig 1957, Kapitel IV. Topologische Körper, § 26 Klassische stetige Körper und § 27 Die Struktur der stetigen Körper, S. 172–204 (263 S., Deutsche Übersetzung von Viktor Ziegler (Leipzig). Originaltitel auf Russisch bereits 1954 in Moskau erschienen). 
• Hans-Joachim Kowalsky: Zur topologischen Kennzeichnung von Körpern (= Math. Nachr. Band 9). 1953, S. 261–320. 
• Wolfgang Krull: Elementare und klassische Algebra vom modernen Standpunkt (= Sammlung Goeschen. Band 930). Walter de Gruyter, Berlin 1952, Abschnitt IV Höhere Gleichungstheorie, § 22 Der Kronecker-Steinitzsche Fundamentalsatz, S. 78 f. (136 S.). 

Schmierzettel

Es sei $\dim V=l,\dim W=m$ und $A=(a_{j}^{i})_{1\leq j\leq l}^{1\leq i\leq m}=:\sideset {_{w}}{_{v}}{\underline {\quad f\quad }}\in \operatorname {Mat} (m\times l,K)$ darstellende Matrix von $f\in \operatorname {Hom} (V,W)$ bezüglich Basen ${\boldsymbol {v}}=(v_{1},\dots ,v_{l})$ und ${\boldsymbol {w}}=(w_{1},\dots ,w_{m})$.

$f({\boldsymbol {v}}):=\left(f(v_{1}),\dots ,f(v_{i}),\dots ,f(v_{l})\right)={\boldsymbol {w}}\cdot (a_{j}^{i})=(w_{1},\dots ,w_{m})\cdot \sideset {_{w}}{_{v}}{\underline {\quad f\quad }}=\left(\underbrace {\sum _{i=1}^{m}w_{i}\cdot a_{1}^{i}} _{=f(v_{1})},\dots ,\underbrace {\sum _{i=1}^{m}w_{i}\cdot a_{j}^{i}} _{=f(v_{j})},\dots ,\underbrace {\sum _{i=1}^{m}w_{i}\cdot a_{l}^{i}} _{=f(v_{l})}\right)\in \underbrace {W\times \dots \times W} _{l{\text{ mal}}}$

Dies ist übrigens die duale Erkenntnis zu derjenigen #aus Sicht des Martirzenkalküls. Diese würde mit $f^{(i)}=\pi _{i}\circ f$ und $\lambda ^{(i)}\cdot w_{i}:=f^{(i)}$ lauten:

$\sideset {_{w}}{_{v}}{\underline {\quad f\quad }}\cdot (v_{1},\dots ,v_{l})^{*}=\sideset {_{w}}{_{v}}{\underline {\quad f\quad }}\cdot {\begin{pmatrix}v_{1}^{*}\\\vdots \\v_{l}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum _{j=1}^{l}a_{j}^{1}\cdot v_{j}^{*}\\\vdots \\\sum _{j=1}^{l}a_{j}^{i}\cdot v_{j}^{*}\\\vdots \\\sum _{j=1}^{l}a_{j}^{m}\cdot v_{j}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda ^{(1)}\\\vdots \\\lambda ^{(i)}\\\vdots \\\lambda ^{(m)}\end{pmatrix}}$

Zusammengenommen ergibt sich die Darstellung des Homomorphismus $f\in \operatorname {Hom} (V,W)$ als Tensor $f=\sum _{i,j}a_{j}^{i}v^{(j)}\otimes w_{i}$.

Für entsprechendes $g\in \operatorname {Hom} (W,X)$ mit $\dim X=n$ und $B=(b_{k}^{j})_{1\leq k\leq m}^{1\leq j\leq n}$, etc. gilt:

$\sideset {_{x}}{_{w}}{\underline {\quad g\quad }}\bullet \sideset {_{w}}{_{v}}{\underline {\quad f\quad }}=\sideset {_{x}}{_{v}}{\underline {\quad g\circ f\quad }}$

Für $l=m=n$ und $V=X$ und ${\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {x}}$ sowie $g=f^{-1}$ gilt also:

$\sideset {_{v}}{_{w}}{\underline {\quad f^{-1}\quad }}\bullet \sideset {_{w}}{_{v}}{\underline {\quad f\quad }}=\sideset {_{x}}{_{v}}{\underline {\quad \operatorname {id} _{V}\quad }}=E_{n}$

also

$\sideset {_{v}}{_{w}}{\underline {\quad f^{-1}\quad }}=\left(\sideset {_{w}}{_{v}}{\underline {\quad f\quad }}\right)^{-1}\;.$

Tensorprodukt

Ich bin sehr begeistert mit Euren Verbesserungen in der Einleitung des Artikels Tensorprodukt - genau so wäre ich auch das beschreiben. Vielleicht könnten sie ähnlich noch den Graßmann Algebra Artikel verbessern! Entschuldingen Sie, dass ich es hier schreibe - Sie können meine Sätze hier nach dem Lesen sofort entfernen :-) A.kotlorz

Danke für die Blumen, „A.kotlorz“, das ist sehr nett und freut mich natürlich! Ich nehme Ihre Anregung mal mit – und lasse sie deshalb erst einmal hier stehen. Ich war zuletzt im Satz von Wedderburn (das wundervolle Beweiszauberwerk von Ernst Witt (1931)) und dem Fundamentalsatz der Algebra unterwegs. Mal sehen, ob und wann ich zur Graßmann-Algebra komme. --Filomusa (Diskussion) 23:20, 24. Mai 2021 (CEST)

Mentorenprogramm	Filomusa/Labor ist neu bei Wikipedia und nutzt das Mentorenprogramm. Filomusa/Labor wird durch den Mentor Orgelputzer sowie vertretungsweise durch Sophie Elisabeth betreut. Bitte entferne diesen Baustein nicht, ohne Orgelputzer eine Nachricht zu hinterlassen.

Hallo, Orgelputzer, ich bin Filomusa. Wie legt man einen neuen Wikipedia-Artikel über einen (noch lebenden) Musiker an? Was sind die Standards dafür, die man beachten sollte? Natürlich habe ich auch eigene Vorstellungen, da ich auch selbst "aus der Branche komme", aber ich würde mir gerne sinnvolle Erfahrungswerte abholen. Vielen Dank für angelegentliche Rückmeldung. --Filomusa (Diskussion) 21:19, 24. Mai 2021 (CEST)