Benutzer:Googolplexian1221/Holomorphe Funktion

Ein rechteckiges Gitter wird mit der holomorphen Funktion $f$ in sein Abbild überführt

Holomorphie (von gr. ὅλος holos, „ganz“ und μορφή morphe, „Form“) ist eine Eigenschaft von bestimmten komplexwertigen Funktionen, die in der Funktionentheorie (einem Teilgebiet der Mathematik) behandelt werden. Eine Funktion $f\colon U\to \mathbb {C}$ mit einer offenen Menge $U\subseteq \mathbb {C}$ heißt holomorph, falls sie in jedem Punkt von $U$ komplex differenzierbar ist. Besonders in älterer Literatur werden solche Funktionen auch regulär genannt.

Auch wenn die Definition analog zur reellen Differenzierbarkeit ist, zeigt sich in der Funktionentheorie, dass die Holomorphie eine sehr starke Eigenschaft ist. Sie produziert eine Vielzahl von Phänomenen, die im Reellen kein Pendant besitzen. Beispielsweise ist jede holomorphe Funktion bereits beliebig oft differenzierbar und lässt sich lokal in jedem Punkt in eine Potenzreihe entwickeln. Hintergrund dieser Begriffsstärke ist, dass die Differenzierbarkeit im Komplexen auf einer offenen „Fläche“ statt nur eines offenen Intervalls gelten muss. Dabei müssen im Grenzwert unendlich viele Richtungen (alle Kombinationen aus Nord, Ost, West und Süd) betrachtet werden, statt nur zwei Richtungen auf dem Zahlenstrahl („positiv“ und „negativ“), was vergleichsweise „einfach“ zu erfüllen ist. Im Laufe des 19. und 20. Jahrhunderts wurde darauf aufbauend im Rahmen der Funktionentheorie ein eigenes Rechenkalkül für holomorphe Funktionen entwickelt. Während Begriffe wie Ableitung, Differenzenquotient, und Integral weiterhin existieren, kommen zusätzliche Eigenschaften zum Tragen. Dies betrifft das Abbildungsverhalten holomorpher Funktionen, zusätzliche Techniken in der Integrationstheorie oder auch das Konvergenzverhalten von Funktionenfolgen. Viele reelle elementare Funktionen, wie die Exponentialfunktion, oder auch Sinus und Kosinus, besitzen eine natürliche holomorphe Fortsetzung in die gesamte komplexe Zahlenebene.

In vielen Teilgebieten der Mathematik bedient man sich der starken Eigenschaften holomorpher Funktionen um Probleme zu lösen. Beispiele sind die analytische Zahlentheorie, in der über holomorphe Funktionen auf Zahlen rückgeschlossen wird, sowie die komplexe Geometrie, oder auch die theoretische Physik. Besonders im Rahmen der Theorie der Modulformen nehmen holomorphe Funktionen eine wichtige Position ein, wobei tiefe Verbindungen zur Darstellungstheorie und zu elliptischen Kurven aufgebaut werden können.

Einführung

Komplexe Zahlen

→ Hauptartikel: Komplexe Zahl

Komplexe Zahlen erweitern den Bereich der reellen Zahlen durch Hinzunehmen sog. imaginärer Zahlen. Diese sollen die Eigenschaft haben, Gleichungen zu lösen, die im Reellen nicht lösbar sind. Ein Beispiel ist die quadratische Gleichung $x^{2}+1=0$. Diese hat keine reelle Lösung, da nach Anwendung der Mitternachtsformel eine negative Zahl unter der Quadratwurzel entsteht. Fügt man jedoch den reellen Zahlen eine imaginäre Zahl $i$ mit der Eigenschaft $i^{2}=-1$ hinzu, so kann die obere Gleichung gelöst werden.

Während die reellen Zahlen eine Zahlengerade aufspannen, breiten die komplexen Zahlen eine Ebene aus. Jede komplexe Zahl $z$ ist von der Form $z=x+iy$ mit reellen Zahlen $x$ und $y$. Geht man $x$ Schritte in „reelle Richtung“ und $y$ Schritte in „imaginäre Richtung“, so wird die komplexe Zahl $x+iy$ mit dem Punkt $(x,y)$ in der Euklidischen Ebene identifiziert. Dabei wird $x$ als Realteil und $y$ als Imaginärteil von $z$ bezeichnet.

Eine wichtige Eigenschaft komplexer Zahlen ist, dass man mit ihnen, wie im Falle der reellen Zahlen, rechnen kann. Damit ist gemeint, dass Plus, Minus, Mal und Geteilt auch für komplexe Zahlen definiert ist. Um dies Umzusetzen, ist lediglich das Beherrschen der reellen Rechenregeln sowie die Regel $i^{2}=-1$ von Nöten. Die Addition wird in Real- und Imaginärteil separat ausgeführt, also zum Beispiel $(-3+2i)+(4+10i)=1+12i$, und beim Multiplizieren müssen die Klammern verrechnet werden:

$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.$

Dabei entshet der Term $-bd$ beim Ausmultiplizieren aus dem Produkt $bidi$. Auch die Division ist möglich, etwa dadurch, den Nenner durch passendes Erweitern und die dritte binomische Formel reell zu machen:

${\frac {1+i}{1-2i}}={\frac {(1+i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}}={\frac {-1+3i}{5}}=-{\frac {1}{5}}+{\frac {3}{5}}i.$

Somit bilden auch die komplexen Zahlen eine Zahlenstruktur, in der algebraisch gerechnet werden kann. Man sagt auch, dass die Menge der komplexen Zahlen $\mathbb {C}$, genau wie die reellen Zahlen $\mathbb {R}$, einen Körper bilden.

Komplexe Funktionen

Die Holomorphie ist eine Eigenschaft komplexer Funktionen. Dabei stellt eine Funktion ganz allgemein eine Beziehung zwischen zwei Mengen $M$ und $N$ über eine Abbildungsvorschrift her. Funktionen $f\colon M\rightarrow N$ müssen die Regel erfüllen, dass jedem Element aus $M$ genau ein Element in $N$ zugeordnet wird.

Einige Beispiele reeller Funktionen lassen sich direkt auf die komplexen Zahlen übertragen. Dazu zählen etwa die quadratische Funktion $f(z)=z^{2}$, oder auch die Betragsfunktion $f(z)=|z|$.

Von reeller zu komplexer Differenzierbarkeit

→ Hauptartikel: Differentialrechnung

Da mit komplexen Zahlen im Wesentlichen genau wie mit reellen Zahlen gerechnet werden kann, stellt sich die Frage, inwieweit sich die reelle Analysis, mit Begriffen wie Funktionen, Ableitung oder auch Integral, auf die komplexen Zahlen ausweiten lässt.

Im Reellen ist eine Funktion $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ in einem Punkt $a$ differenzierbar, wenn sie dort linearisiert werden kann. Das bedeutet, dass sie sich um $a$ herum sehr ähnlich zu einer linearen Funktion $x\mapsto m(x-a)+c$ verhält. Es gilt also für sehr kleine Werte $h$ die Approximation $f(a+h)\approx mh+c$, wobei man mit $h=0$ auch $c=f(a)$ erhält. Um die Begriffe „Linearisierung“, „sehr ähnlich“ und „Approximation“ präzise zu fassen, bedient man sich des Konzepts des Grenzwertes. Demnach ist $f$ in $a$ genau dann differenzierbar, wenn der Differenzenquotient

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}=f'(a)$

existiert, der auch als Ableitung von $f$ an der Stelle $a$ bezeichnet wird. Da bei der Berechnung dieses Quotienten nur die Grundrechenarten Addition, Subtraktion und Division verwendet werden, stellt sich die Frage nach einem Analogon im Komplexen. Da die komplexen Zahlen diese Rechnungen auch zulassen, kann die Bedingung

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}\,\,\,$ existiert (und ist gleich $f'(z)$)

eins zu eins übernommen werden. Der entscheidende Unterschied ist hier aber, dass bei der Berechnung des komplexen Differenzenquotienten das kleiner werdende $h$ eine komplexe Zahl sein kann, sich also von allen Seiten in der komplexen Ebene nähern kann. Im Gegensatz dazu sind im Reellen nur endlich viele, nämlich zwei, Richtungen möglich, von links ($h<0$) und von rechts ($h>0$).

Veranschaulichung

Ist eine komplexe Funktion $f$ in einem Punkt $z_{0}$ holomorph, bedeutet dies, dass der Differenzenquotient nicht nur in diesem Punkt existiert, sondern auch noch in allen Punkten $z$, die nahe genug an $z_{0}$ liegen. Diese umliegenden Punkte $z$ erfüllen dann gemeinsam $|z-z_{0}|<r$ mit einer Zahl $r>0$. Dabei bezeichnet $|.|$ den Absolutbetrag. Wegen der ohnehin restriktiveren Bedingung der komplexen (statt nur reellen) Differenzierbarkeit, gepaart mit deren Gültigkeit für alle Punkte auf einer Kreisfläche statt nur eines Intervalls (einer Linie), ist die Holomorphie eine sehr starke Eigenschaft.

Beispiele für holomorphe Funktionen sind Polynome, da diese aus einfachen algebraischen Operationen (Addition und Multiplikation) gewonnen werden. Zum Beispiel gilt für die Funktion $f(z)=z^{2}$ der Differenzenquotient

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(z+h)^{2}-z^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {2zh+h^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}(2z+h)=2z=f'(z).$

Es sind diesem Prinzip folgend alle Polynome holomorphe Funktionen. Es stellt sich jedoch die Frage, ob es darüber hinaus noch holomorphe Funktionen gibt und wie diese aussehen. Viele im Reellen differenzierbare Funktionen, wie die Betragsfunktion, sind nicht mehr holomorph. Zum Beispiel gilt

$\lim _{h\to 0 \atop h\in \mathbb {R} }{\frac {|1+h|-1}{h}}\not =\lim _{h\to 0 \atop h\in \mathbb {R} }{\frac {|1+ih|-1}{ih}},$

da die rechte Seite falls existent keine reelle Zahl ist, die linke jedoch schon. Naheliegend ist die Vermutung, dass alle holomorphen Funktionen zumindest lokal aus Termen der Form $z^{n}$ aufgebaut sind. Tatsächlich ist ein wichtiges Resultat der Funktionentheorie, dass man unter Hinzunahme „unendlicher Polynome“, also quasi nicht endende Ausdrücke der Form

$a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots$

alle holomorphen Funktionen erhält. Man bezeichnet diese „unendlichen Polynome“ auch als Potenzreihen. Diese besitzen, je nachdem wo die Funktion betrachtet wird, einen Entwicklungspunkt $z_{0}$ und haben die Gestalt

$a_{0}+a_{1}(z-z_{0})+a_{2}(z-z_{0})^{2}+a_{3}(z-z_{0})^{3}+\cdots \,\,\,$ mit komplexen Zahlen $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},...$

Obwohl unendlich viele Terme addiert werden, kann Konvergenz vorliegen, wenn das Funktionsargument nahe genug am Entwicklungspunkt liegt. Wählt man zum Beispiel für die $a_{n}$ die Dezimalstellen der Kreiszahl $\pi$, also

$f(z):=3+z+4z^{2}+z^{3}+5z^{4}+9z^{5}+2z^{6}+6z^{7}+\cdots$

so gilt

$f({\tfrac {1}{10}})=3+{\tfrac {1}{10}}+{\tfrac {4}{100}}+{\tfrac {1}{1000}}+{\tfrac {5}{10000}}+\cdots =3{,}1415926...=\pi .$

Für Werte $|z|<{\tfrac {1}{10}}$ wird dann $f(z)$ „erst recht“ endlich sein. Dennoch kann es sein, dass im Falle der Potenzreihen nicht immer Holomorphie auf ganz $\mathbb {C}$ vorliegen muss. Ein Beispiel ist die Funktion $f(z)={\frac {1}{1-z}}$, welche an der Stelle $z=1$ nicht komplex differenzierbar (ja nicht mal definiert) ist. Jedoch liegt Holomorphie im Bereich aller $z$ mit $|z|<1$ vor, und es gilt mit der geometrischen Reihe

$1+z+z^{2}+z^{3}+z^{4}+z^{5}+\cdots ={\frac {1}{1-z}}.$

Einordnung der Anwendungsmöglichkeiten

Mit Eigenschaften holomorpher Funktionen lassen sich zum Beispiel einige wichtige Integrale berechnen, ohne eine Stammfunktion angeben zu müssen. Dazu zählt zum Beispiel

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}\mathrm {d} t={\sqrt {\pi }}$

und es ist zu beachten, dass zu $t\mapsto e^{-t^{2}}$ keine geschlossene elementare Stammfunktion angegeben werden kann.

In der Zahlentheorie werden holomorphe Funktionen unter anderem im Kontext mit erzeugenden Funktionen verwendet. Möchte man eine Zahlenfolge $a_{0},a_{1},a_{2},...$ untersuchen, kann es helfen, die zugehörige Potenzreihe

$f(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots$

zu betrachten. Es kann gezeigt werden, dass $f$ durch die $a_{n}$ eindeutig festgelegt ist, und umgekehrt. Historisches Beispiel ist die Analyse der Partitionsfunktion $p$, die einer Zahl $n$ die Anzahl der Möglichkeiten zuordnet, diese als Summe kleinerer natürlicher Zahlen zu schreiben. Da $4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1$ gilt $p(4)=5$. Godfrey Harold Hardy und Srinivasa Ramanujan studierten intensiv die von den Partitionen (formal setzt man $p(0)=1$) erzeugte Funktion

$P(z)=1+z+2z^{2}+3z^{3}+5z^{4}+7z^{5}+11z^{6}+15z^{7}+22z^{8}+\cdots$

und fanden die geschlossene Schätzung

$p(n)\approx {\frac {1}{4{\sqrt {3}}n}}e^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}},$

die prozentual immer genauer wird, wenn $n$ anwächst. Es bezeichnet dabei $e^{x}$ die natürliche Exponentialfunktion.

Viele Anwendungen machen sich die starken Eigenschaften holomorpher Funktionen zu Nutze. So kann zum Beispiel anhand von logischen Argumenten, die sich auf die grundlegenden Eigenschaften der Holomorphie gründen, bewiesen werden, dass jede in allen komplexen Zahlen holomorphe Funktion, die global beschränkt ist, bereits konstant sein muss. Interessanterweise ist die analoge Aussage im Reellen falsch. So ist zum Beispiel die Funktion $x\mapsto {\tfrac {1}{x^{2}+1}}$ in ganz $\mathbb {R}$ differenzierbar und außerdem beschränkt (da der Nenner niemals kleiner und der Zähler niemals größer als 1 wird), aber ganz offensichtlich keine konstante Funktion $x\mapsto c$. Mit Hilfe dieser Aussage kann man logisch begründen, dass jede Gleichung der Form

$a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}=0$

mit $a_{n}\not =0$ und $n\in \mathbb {N}$, eine komplexe Lösung besitzt. Das Argument kann exemplarisch am Beispiel

$z^{5}+z^{4}-33z^{3}+2z^{2}+17z-5=0$

nachvollzogen werden. Die Funktion $f(z)=z^{5}+z^{4}-33z^{3}+2z^{2}+17z-5$ ist, da sie ein Polynom ist, holomorph für alle komplexen Zahlen. Wegen der Quotientenregel wird auch ihr Kehrwert $z\mapsto {\tfrac {1}{f(z)}}$ holomorph an allen Punkten sein, für die $f(z)\not =0$ gilt, da sonst durch 0 geteilt wird. Geht man nun aber davon aus, dass die Gleichung $z^{5}+z^{4}-33z^{3}+2z^{2}+17z-5=0$ nicht lösbar ist, so ist

$z\mapsto {\frac {1}{f(z)}}={\frac {1}{z^{5}+z^{4}-33z^{3}+2z^{2}+17z-5}}$

ebenfalls auf ganz $\mathbb {C}$ holomorph. Da $f(z)$ als Polynom aber in jeder Richtung für wachsende $z$ langfristig beliebig anwächst, kann man folgern, dass ${\tfrac {1}{f(z)}}$ beschränkt ist, also konstant. Das ist offenbar falsch, somit ist ein Widerspruch gefunden, und die Gleichung muss über den komplexen Zahlen lösbar sein. Dieses Resultat wird auch als der Fundamentalsatz der Algebra bezeichnet.

Geschichte

→ Hauptartikel: Funktionentheorie

Die Redeweise „holomorph in (einer offenen Menge) $U$“ für „komplex differenzierbar in allen Punkten in $U$“ hat sich in der deutschen Literatur erst in den letzten Jahrzehnten etabliert. Etwa noch bei Marvin Knopp war der Begriff „regulär“ bzw. „analytisch“ üblich. Letzterer wird jedoch in manchen Lehrbüchern bis heute konsequent verwendet, etwa bei Eberhard Freitag. Das Wort „holomorph“ wurde im Jahr 1875 von den Mathematikern Charles Briot und Jean-Claude Bouquet im Rahmen ihres Werkes „Théorie des fonctions ellipiques“ eingeführt. Dabei handelt es sich um das erste Lehrbuch zur Funktionentheorie. Allerdings tauchte „holomorph“ erst in der zweiten Auflage auf; in der ersten Auflage verwendeten sie noch die auf Cauchy zurückgehende Bezeichnung „synectisch“.

Komplexe Differenzierbarkeit

$\mathbb {C}$ als topologischer Raum

Die Euklidische Norm induziert auf den komplexen Zahlen eine Topologie. Analog wie in $\mathbb {R} ^{2}$ gilt für die Norm $|x+iy|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$. Eine Menge $U\subset \mathbb {C}$ heißt offen, wenn jeder Punkt $z_{0}\in U$ innerer Punkt ist. Für jedes $z_{0}\in U$ gibt es also ein $\varepsilon >0$, sodass die Kreisscheibe $U_{\varepsilon }(z)$ ganz in $U$ liegt. Es gilt also

$U_{\varepsilon }(z):=\{w\in \mathbb {C} \mid |w-z|<\varepsilon \}\subset U.$

Für die Definition der komplexen Differenzierbarkeit ist der Begriff der offenen Menge essentiell. Er stellt sicher, dass für jeden Punkt der Definitionsmenge das Verhalten der Funktion in einer Umgebung dieses Punktes studiert werden kann.

Definition

Es sei $U\subseteq \mathbb {C}$ eine offene Teilmenge der komplexen Ebene und $z_{0}\in U$ ein Punkt dieser Teilmenge. Eine Funktion $f\colon U\to \mathbb {C}$ heißt komplex differenzierbar im Punkt $z_{0}$, falls der Grenzwert

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}$

existiert. Man bezeichnet ihn dann als $f'(z_{0})$. Bei dieser Definition ist zu beachten, dass der Limes $\lim _{h\to 0}$ eine Annäherung aus beliebiger Richtung in der komplexen Ebene darstellt. Äquivalent ist also, dass für jede komplexe Nullfolge $h_{n}$ mit $h_{n}\not =0$ für alle $n$ der Wert

$\lim _{n\to \infty }{\frac {f(z_{0}+h_{n})-f(z_{0})}{h_{n}}}$

existiert und das Ergebnis unabhängig von der gewählten Folge $h_{n}$ ist.

Zu bemerken ist, dass der Differenzenquotient von allen Richtungen gebildet werden kann, da $U$ offen ist und somit um jeden Punkt aus $U$ eine umliegende Kreisscheibe auch noch in $U$ enthalten ist. Ist $h$ hinreichend klein, liegt also $z+h$ in $U$, egal welches komplexe Argument $h$ besitzt.

Vergleich zur reellen Differenzierbarkeit und die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

→ Hauptartikel: Differentialrechnung und Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen

Jede komplexwertige Funktion $f$ lässt sich in der Form $f(z)=\mathrm {Re} (f(z))+i\ \mathrm {Im} (f(z))=u(x,y)+i\ v(x,y)$ schreiben. Dabei sind $u,v\colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ reellwertige Abbildungen. Man sagt, dass $f$ genau dann reell differenzierbar in einem Punkt $z_{0}=x_{0}+i\ y_{0}$ ist, wenn

$u(x,y)=u(x_{0},y_{0})+a\Delta x+b\Delta y+o(\Delta x,\Delta y),$

$v(x,y)=v(x_{0},y_{0})+c\Delta x+d\Delta y+o(\Delta x,\Delta y),$

wobei die $o$-Fehlerterme, siehe Landau-Symbol, für kleiner werdende $\Delta x,\Delta y$ gegen 0 gehen. Es gilt also

${\frac {o(\Delta x,\Delta y)}{\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}}\rightarrow 0$ für $(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}\rightarrow 0.$

Dabei handelt es sich bei $a,b,c,d$ um reelle Zahlen, die sich über die partiellen Ableitungen der Funktionen $u$ und $v$ bestimmen lassen. Präziser gesagt bilden sie die sog. Jacobi-Matrix von $f$, als Abbildung zwischen $\mathbb {R} ^{2}$ in sich selbst aufgefasst, via

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial u}{\partial x}}&{\frac {\partial u}{\partial y}}\\{\frac {\partial v}{\partial x}}&{\frac {\partial v}{\partial y}}\end{pmatrix}}.$

Die reelle Differenzierbarkeit impliziert unter anderem, dass Differentialquotienten existieren, wenn separat die reellen Variablendifferenzen $\Delta x$ und $\Delta y$ in $f(x_{0}+iy_{0}+i\Delta y)$ bzw. $f(x_{0}+\Delta x+iy_{0})$ betrachtet werden. Die Richtungsableitungen können sich indes, je nach Gewichtung von $\Delta x$ und $\Delta y$, unterscheiden.

Bei der komplexen Differenzierbarkeit liegt insbesondere reelle Differenzierbarkeit vor, allerdings kommt hinzu, dass die Richtungsableitungen alle identisch sein müssen. Es werden also die Komponenten $\Delta x$ und $\Delta y$ zu Gunsten einer zusammenfassenden Komponente $\Delta z$ „vergessen“. Es gilt im Falle komplexer Differenzierbarkeit an einer Stelle $z_{0}$ also

$f(z)=f(z_{0})+\omega \Delta z+o(\Delta z),$ mit $\Delta z:=z-z_{0}$.

Die Körperstruktur von $\mathbb {C}$ erlaubt es, diesen Sachverhalt nach gewohntem Rechenverfahren in die Gleichung

${\frac {f(z)-f(z_{0})}{\Delta z}}=\omega +{\frac {o(\Delta z)}{\Delta z}}$, wobei $\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {o(\Delta z)}{\Delta z}}=0$,

umzuwandeln. Spaltet man dies nun rückwirkend in den reellen Fall auf, so ergibt sich mit $\Delta z=\Delta x+i\Delta y$ und $\omega =\mathrm {Re} (\omega )+i\mathrm {Im} (\omega )$ die Gleichheit:

$\omega \Delta z=(\mathrm {Re} (\omega )+i\mathrm {Im} (\omega ))(\Delta x+i\Delta y)=(\mathrm {Re} (\omega )\Delta x-\mathrm {Im} (\omega )\Delta y)+i(\mathrm {Im} (\omega )\Delta x+\mathrm {Re} (\omega )\Delta y)$.

Es folgt für die Jacobi-Matrix zwingend die Gleichheit

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathrm {Re} (\omega )&-\mathrm {Im} (\omega )\\\mathrm {Im} (\omega )&\mathrm {Re} (\omega )\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial u}{\partial x}}&{\frac {\partial u}{\partial y}}\\{\frac {\partial v}{\partial x}}&{\frac {\partial v}{\partial y}}\end{pmatrix}}.$

Dies impliziert

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}$ und ${\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}$

was den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen entspricht. Eine Funktion $f\colon U\rightarrow \mathbb {C}$ ist also genau dann komplex differenzierbar an einer Stelle $z_{0}\in U$, wenn sie dort reell differenzierbar ist und zusätzlich die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt.

Holomorphie

Die komplexe Differenzierbarkeit in einem einzelnen Punkt bietet noch nicht viel Struktur. Wichtig für die Funktionentheorie ist der Fall, wenn eine Funktion in ihrer Gänze komplex differenzierbar ist. Die Funktion $f$ heißt holomorph in $U$ falls sie in jedem Punkt $z\in U$ komplex differenzierbar ist. Ist zudem sogar $U=\mathbb {C}$, so nennt man $f$ eine ganze Funktion.

In der Fachliteratur werden die Begriffe holomorph und analytisch häufig synonym verwendet. Dies hat den keinesfalls trivialen Hintergrund, dass eine in $U$ holomorphe Funktion eine in $U$ analytische Funktion ist, und umgekehrt.

Die Menge der auf einer offenen Menge $U$ holomorphen Funktionen wird in der Literatur häufig mit ${\mathcal {O}}(U)$ bezeichnet. Diese Schreibweise wird etwa seit 1952 von der französischen Schule um Henri Cartan vor allem in der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher verwendet. Aussagen, es handele sich bei ${\mathcal {O}}$ um eine Ehrung des japanischen Mathematikers Oka Kiyoshi, oder eine Reflexion der französischen Aussprache des Wortes holomorph, sind unbestätigt. Vielmehr sei die Notation laut Reinhold Remmert „rein zufällig“, und es heißt in einem Brief von Cartan an Remmert vom 22. März aus dem Jahr 1982:

„Je m'étais simplement inspiré d'une notation utilisée par van der Waerden dans son classique traité „Moderne Algebra““

„Ich habe mich einfach von einer Notation inspirieren lassen, die van der Waerden in seiner klassischen Abhandlung "Moderne Algebra" verwendet.“

– Henri Cartan

Ableitungsregeln

Sind $f,g\colon U\to \mathbb {C}$ an einer Stelle $z\in U$ komplex differenzierbar, so auch $f+g$, $f-g$ und $f\cdot g$. Das gilt auch für ${\tfrac {f}{g}}$, wenn $z$ keine Nullstelle von $g$ ist. Es gelten ferner Summen-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel.

Integrationstheorie

Komplexe Kurvenintegrale

→ Hauptartikel: Kurvenintegral

Die Integrationstheorie im Komplexen unterscheidet sich in einigen Punkten von der im Reellen. Wichtigstes Merkmal ist das Problem, dass es auf einer Ebene unendlich viele Möglichkeiten gibt, sich von einem Punkt $a$ zu einem Punkt $b$ zu „bewegen“. Im Reellen gibt es (sieht man von nichtigen Rückwärtsbewegungen ab) stets nur eine Möglichkeit entlang des Zahlenstrahls. Die hohe Anzahl an Integrationswegen zwischen $a$ und $b$ zwingt dazu, den Integralbegriff zum sog. Kurvenintegral auszuweiten. Das bedeutet, dass ein Integral zunächst nicht nur von Anfangs- und Endpunkt, sondern auch von der Wahl der Kurve abhängt.

Ist $D\subset \mathbb {C}$ offen, $f:D\to \mathbb {C}$ stetig und $\gamma :[0,1]\to D$ eine unendlich oft differenzierbare (also glatte) Kurve, so definiert man

$\int _{\gamma }f(z)\mathrm {d} z:=\int _{0}^{1}f(\gamma (t))\gamma '(t)\mathrm {d} t.$

Das hintere Integral kann nun analog wie im Reellen berechnet werden, in etwa durch Aufspalten in die ebenfalls stetigen Komponenten $\mathrm {Re} (f)+i\mathrm {Im} (f)$. Hinter dem Differential $\gamma '(t)\mathrm {d} t$ verbirgt sich die Umformung $\mathrm {d} \gamma (t)$, die bereits andeutet, dass der Integrationsweg in kleine Intervalle $\gamma ({\tfrac {1}{n}})-\gamma (0),\gamma ({\tfrac {2}{n}})-\gamma ({\tfrac {1}{n}}),\ldots ,\gamma (1)-\gamma ({\tfrac {n-1}{n}})$ mit $n\to \infty$ unterteilt wird, was den anschaulichen Bogen zur klassischen Integralrechnung schließt.

Integralrechnung

→ Hauptartikel: Integralrechnung

Der Wert eines Integrals

$\int _{\gamma }f(z)\mathrm {d} z$

wird bei Endpunkten $\gamma (0)=a$ und $\gamma (1)=b$ im Allgemeinen nicht nur von $f$, sondern auch von der Wahl der Kurve $\gamma$ abhängen. Dies ist dann der Fall, wenn die Funktion $f$ nicht über eine komplexe Stammfunktion $F$ verfügt. Liegt auf der anderen Seite eine solche vor, gilt

$\int _{\gamma }f(z)\mathrm {d} z=F(\gamma (1))-F(\gamma (0))=F(b)-F(a),$

und die letzte Gleichheit zeigt, dass der Wert des Integrals jetzt nicht mehr von $\gamma$ abhängt. Analog zum Reellen zeigt es sich, dass der Begriff der Stammfunktion erneut als Umkehrung zum Ableiten gefasst werden kann. Da jedoch der Ausgangspunkt ein Gebiet $D$ ist, also eine „Fläche“, muss die Stammfunktion $F$ in ganz $D$ komplex differenzierbar, also holomorph, sein. Damit ist $F$ bereits unendlich oft komplex differenzierbar und es zeigt sich, dass notwendigerweise auch ihre Ableitung $f$ eine in $D$ holomorphe Funktion gewesen sein muss. Damit zeigt sich wieder die Stärke des Holomorphiebegriffes. Aufgrund der „richtungsunabhängigen“ Existenz des Differenzenquotienten ergibt die Berechnung eines Kurvenintegrals ungeachtet der Richtungswahl immer den selben Wert. Man kann dann schreiben

$\int _{\gamma }f(z)\mathrm {d} z=\int _{a}^{b}f(z)\mathrm {d} z$

Zwar muss zur Existenz einer Stammfunktion die Funktion $f$ notwendigerweise holomorph sein, jedoch ist Holomorphie nicht hinreichend für die Existenz einer Stammfunktion. Wählt man zum Beispiel $D=\mathbb {C} \setminus \{0\}$ und $f(z)={\tfrac {1}{z}}$, so kann zu $f$ keine Stammfunktion gefunden werden. Hintergrund ist, dass es eine „Lücke“ in $D$ gibt, in der $f$ nicht holomorph ist und daher situationsbedingt Schwierigkeiten bereiten kann. In der Tat besitzt die Logarithmusfunktion kein global holomorphes Pendant in den komplexen Zahlen. Unter zusätzlichen Voraussetzungen an $D$ ist jedoch auch die Rückrichtung korrekt. Ganz allgemein dann, wenn $D$ ein Elementargebiet ist, besitzt jede holomorphe Funktion $f:D\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Stammfunktion. In etwa ist jedes Sterngebiet ein Elementargebiet, d.h., es gibt einen zentralen Punkt $z_{0}\in D$, von welchem aus jeder Punkt $z\in D$ durch eine gerade Linie erreicht werden kann, ohne dabei $D$ zu verlassen. Beispiel für ein Sterngebiet ist das Innere eines Kreises mit seinem Mittelpunkt als Zentrum. Eine Stammfunktion kann dann über

$F(z):=\int _{z_{0}}^{z}f(w)\mathrm {d} w$

bestimmt werden, wobei hier als Integrationskurve die gerade Verbindungslinie zwischen $z_{0}$ und $z$ gewählt wird.

Es gelten auch im Komplexen die aus der reellen Analysis bekannten Rechenregeln, wie die partielle Integration und die Integration durch Substitution.

Cauchyscher Integralsatz

→ Hauptartikel: Cauchyscher Integralsatz

Ist $U\subseteq \mathbb {C}$ einfach zusammenhängend und $\gamma$ ein Zyklus in $U$, so gilt der cauchysche Integralsatz

$\int _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z=0.$

Der Satz gilt also insbesondere dann, wenn $U$ ein Sterngebiet und $\gamma$ ein geschlossener Weg ist.

Satz von Morera

→ Hauptartikel: Satz von Morera

Nicht jede auf einer offenen Menge holomorphe Funktion besitzt eine Stammfunktion. Allerdings kann gezeigt werden, dass jede holomorphe Funktion eine lokale Stammfunktion besitzt. Dies ist gleichzeitig ein hinreichendes Kriterium für globale Holomorphie. Es stellt zudem eine Umkehrung des Integralsatzes von Cauchy dar, wenn auch in abgeschwächter Form. Ist $U\subset \mathbb {C}$ offen und $f\colon D\to \mathbb {C}$ stetig, uns gilt für jeden Dreiecksweg $\langle z_{1},z_{2},z_{3}\rangle$, dessen Dreiecksfläche $\Delta$ ganz in $D$ enthalten ist,

$\oint _{\langle z_{1},z_{2},z_{3}\rangle }f(z)\mathrm {d} z=0,$

so ist $f$ holomorph.

Elementare Folgerungen

Mit Hilfe des Integrationstheorie holomorpher Funktionen kann etwas über die Struktur holomorpher Funktionen auf Elementargebieten ausgesagt werden. Ist $f\colon D\to \mathbb {C}$ auf dem Elementargebiet $D$ etwa holomorph und nullstellenfrei, existiert eine holomorphe Funktion $g\colon D\to \mathbb {C}$ mit der Eigenschaft $f=e^{g}$. Ein solches $g$ wird auch als analytischer Zweig des Logarithmus von $f$ bezeichnet.

Eine unmittelbare Folgerung ist die Aussage, dass $f$ ebenso eine $n$-te Wurzel, mit $n\in \mathbb {N}$, auf $D$ besitzt, es gibt also ein holomorphes $h\colon D\to \mathbb {C}$ mit $f=h^{n}$.

Cauchysche Integralformel

→ Hauptartikel: Cauchysche Integralformel

Im Jahr 1831 fand Augustin-Louis Cauchy in seinem Exil in Turin eine Integralformel, welche erlaubt, eine holomorphe Funktion mit Hilfe der „Randwerte ihres Definitionsbereichs“ zu rekonstruieren. Sie ist von großer Bedeutung in der Theorie holomorpher Funktionen.

Formulierung

Sei $U$ offen, $U_{r}(a)$ die offene Kreisscheibe mit Radius $r$ um den Punkt $a\in U$ und $f\colon U\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion. Liegt der Abschluss von $D$ noch ganz in $U$, so gilt für alle $z\in D$ die Cauchysche Integralformel

$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial U_{r}(a)}{\frac {f(w)}{w-z}}\mathrm {d} w.$

Dabei wird die Integrationskurve in mathematisch positivem Sinn, also gegen den Uhrzeigersinn, einfach durchlaufen. Die (stärkere) Version für höhere Ableitungen, mit einem $k\in \mathbb {N} _{0}$, lautet

$f^{(k)}(z)={\frac {k!}{2\pi i}}\oint _{\partial U_{r}(a)}{\frac {f(w)}{(w-z)^{k+1}}}\mathrm {d} w.$

Dabei bedeutet $k!$ die Fakultät von $k$. Der Wert der Funktion (und jeder ihrer Ableitungen) eines Punktes in einem Gebiet hängt also nur von den Funktionswerten am Rand dieses Gebietes ab.

Konsequenzen

Eine Folgerung aus der Cauchyschen Integralformel ist, dass in der komplexen Ebene der Begriff der Analytizität äquivalent zur Holomorphie ist: Jede in $z_{0}$ holomorphe Funktion ist in $z_{0}$ analytisch. Umgekehrt stellt jede in $z_{0}$ analytische Funktion eine in $z_{0}$ holomorphe Funktion dar.

Eine weitere Folgerung ist die Mittelwertsgleichung

$f(a)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(a+re^{i\varphi })\mathrm {d} \varphi ,$

welche unter oberen Voraussetzungen gilt. Aus dieser folgt über die Standardabschätzung für Integrale

$|f(a)|\leq \sup _{|z-a|=r}|f(z)|$,

was ein Vorläufer des sog. Maximumprinzips ist. Sie spielt zudem eine wichtige Rolle bei den Beweisen tieferer funktionentheoretischer Sätze, wie zum Beispiel dem Satz von Liouville oder dem Residuensatz.

Varianten

Die Cauchysche Integralformel lässt sich mannigfach umformulieren. Ist etwa $f$ holomorph in einer Umgebung von ${\overline {U_{r}(0)}}$, so gilt bereits für alle $z\in U_{r}(0)$

$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial U_{r}(0)}{\frac {f(w)}{w}}{\frac {r^{2}-|z|^{2}}{|w-z|^{2}}}\mathrm {d} w,$

wobei die Kreiskurve in mathematisch positiver Richtung den Urpsrung einfach umläuft. Diese Version wird auch als Schwarzsche Integralformel bezeichnet. Des Weiteren gilt die Formel

$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial U_{r}(0)}{\frac {\mathrm {Re} (f(w))}{w}}{\frac {w+z}{w-z}}\mathrm {d} w+i\mathrm {Im} (f(0))$

unter selben Voraussetzungen wie oben. Erneut ist zu beachten, dass als Mittelpunkt der Kreisscheibe der Ursprung gewählt wurde.

Potenzreihen im Kontext holomorpher Funktionen

Holomorphie und Analytizität

Ein zentrales Resultat der Funktionentheorie ist, dass holomorphe Funktionen analytisch sind. Das bedeutet, dass sie in jedem Punkt ihres (offenen) Definitionsbereichs in eine Potenzreihe entwickelt werden können, die in einer offenen Kreisscheibe konvergiert und dort die Funktion darstellt. Präziser gilt der Cauchysche Entwicklungssatz: Ist $c\in U$ mit offenem $U$, $B_{r}(c)$ die größte Kreisscheibe um $c$ in $U$ und $f\colon U\to \mathbb {C}$ holomorph, so ist $f$ um $c$ in eine Taylorreihe $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}$ entwickelbar, die in $B_{r}(c)$ auf kompakten Teilmengen absolut und gleichmäßig konvergiert. Die Koeffizienten sind gegeben durch

$a_{n}={\frac {f^{(n)}(c)}{n!}}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial B_{d}(c)}{\frac {f(w)}{(w-c)^{n+1}}}\mathrm {d} w$, wobei $0<d<r.$

Dabei wird der Integrationsweg in mathematisch positiver Richtung einfach durchlaufen. Bemerkenswert ist die Tatsache, dass für den Beweis des Entwicklungssatzes lediglich die Reihenentwicklungen der Funktionen $z\mapsto (z-c)^{-k-1}$ benötigt werden (siehe auch geometrische Reihe), sowie Vertauschbarkeit von Summation und Integration. Für den Fall $k=0$ wurde dies bereits 1831 von Cauchy durchgeführt.

Da jede holomorphe Funktion analytisch ist und umgekehrt, lassen sich Eigenschaften von Potenzreihen direkt auf holomorphe Funktionen übertragen. Dies stellt gleichzeitig den Weierstraßschen Zugang zur Funktionentheorie dar, der die Darstellbarkeit von Funktionen als Potenzreihen zum Ausgangspunkt hat.

Da Potenzreihen beliebig oft komplex differenzierbar sind (und zwar durch gliedweise Differentiation), erhält man insbesondere, dass holomorphe Funktionen beliebig oft differenzierbar und alle ihre Ableitungen wiederum holomorphe Funktionen sind. Hieran erkennt man schon deutliche Unterschiede zur reellen Differentialrechnung.

Cauchysche Ungleichung

Ist $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}$ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius $R$, und definiert man für ein $R>r>0$ die Konstante $M(r):=\max _{|z-c|=r}|f(z)|$, so gilt für die Koeffizienten die Abschätzung

$|a_{n}|\leq {\frac {M(r)}{r^{n}}}.$

Dies ist eine unmittelbare Folgerung aus der Cauchyschen Integralformel. Diese Aussage lässt sich zu einem Abschätzungsprinzip für Ableitungen auf kompakten Mengen erweitern. Ist $U$ offen und $K\subset D$ ein Kompaktum, dann gibt es zu jeder kompakten Umgebung $K\subsetneq L\subset U$ (es existiert um jedes $z\in \partial K$ eine Umgebung, die ganz in $L$ liegt) und zu jedem $k\in \mathbb {N}$ eine Konstante $M_{k,L}>0$, so dass

$||f^{(k)}||_{K}\leq M_{k,L}||f||_{L},$ für alle $f\in {\mathcal {O}}(U)$.

Hierbei ist $||.||$ die Supremumsnorm. Es ist zu beachten, dass nicht $K=L$ gewählt werden darf, wie das Beispiel $K=L={\overline {\mathbb {E} }}$ sowie $f_{n}(z):=z^{n}$ zeigt.

Die Cauchysche Ungleichung zeigt, dass das Wachstum der Taylor-Koeffizientn nicht beliebig starke Züge annehmen kann. So existiert in etwa keine lokal um 0 holomorphe Funktion mit der Eigenschaft $f^{(n)}(0)=n!^{2}$. Im Gegensatz dazu existiert zu jeder reellen Folge $r_{0},r_{1},r_{2},...$ eine unendlich oft differenzierbare Funktion $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ mit $f^{(n)}(0)=r_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N} _{0}$.

Berechnung des Konvergenzradius

Der Konvergenzradius einer außerhalb ihres Entwicklungspunktes irgendwo konvergenten Potenzreihe $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}$ ist definiert als die Zahl $R>0$, so dass $f(z)$ für alle $|z-c|<R$ konvergiert und für alle $|z-c|>R$ divergiert. Über das Konvergenzverhalten auf dem Rand der Kreisscheibe kann die Zahl $R$ keine Aussage treffen, es kann sehr unterschiedlich sein. Es gilt die Formel von Cauchy-Hadamard

$R={\frac {1}{\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}}.$

Nach dem Quotientenkriterium hat man im Falle $a_{n}\not =0$ für alle $n\in \mathbb {N}$:

$\liminf _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|\leq R\leq \limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|.$

Konvergenz und Holomorphiebereich

Grenzen der Darstellbarkeit

Die Lokalität besagt, dass es nicht sein muss, dass die Potenzreihe die Funktion in ihrem gesamten Definitionsbereich darstellt. Zum Beispiel ist

$f(z):={\frac {1}{1-z}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n},$

mit Entwicklungspunkt 0, aber die Reihe konvergiert nur für Werte $|z|<1$. In der Tat besitzt die Funktion zur linken eine Singularität in $z=1$, und ist sonst holomorph in $\mathbb {C} \setminus \{1\}$, weshalb der Konvergenzradius der Reihe genau $R=1$ ist. Obwohl also $f(2)=-1$ definiert ist, wird die Reihe die Funktion an der Stelle $z=2$ nicht mehr darstellen. Es ist bei dieser Eigenschaft von Potenzreihen auch stets auf die genaue Funktionsvorschrift zu achten. Nur weil die Reihe für solche Werte $z$ konvergiert, die nahe genaug am Entwicklungspunkt liegen, heißt das nicht, dass dort die Funktion noch nach der ursprünglichen (holomorphen) Vorschrift definiert ist. Zum Beispiel stellt für $f\colon U_{1}(0)\cup U_{1}(3)\to \mathbb {C}$ mit

$f(z)={\begin{cases}e^{z},&\quad z\in U_{1}(0)\\0,&\quad z\in U_{1}(3)\end{cases}}$

die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$

die holomorphe Funktion $f$ nur im Bereich $U_{1}(0)$ dar, nicht aber in $z=3$, obwohl sie dort konvergiert. Ein weiteres Beispiel ist $f\colon \mathbb {C} \setminus \mathbb {R} _{\leq 0}\to \mathbb {C}$ mit $f(z):=\mathrm {Log} (z)$. Zwar konvergiert die zugehörige Potenzreihe um $z_{0}=-5+i$ mit Radius $R={\sqrt {26}}$, doch stellt sie die Funktion zum Beispiel an $-5-i$ nicht mehr dar, obwohl $|-5+i-(-5-i)|=2<{\sqrt {26}}$. Hintergrund ist die Festlegung auf den Hauptwert des Logarithmus, der an den negativen Achse unstetig verläuft.

Singuläre Punkte

Es wird eine Potenzreihe

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}$

mit Konvergenzradius $0<R<\infty$ betrachtet. Ein Randpunkt $w\in \partial U_{R}(c)$ heißt singulärer Punkt, wenn es keine Umgebung $W$ von $w$ zusammen mit einer holomorphen Funktion ${\widehat {f}}\colon W\to \mathbb {C}$ gibt, so dass $f|_{U_{R}(c)\cap W}={\widehat {f}}|_{U_{R}(c)\cap W}$. Die Menge der singulären Punkte auf $\partial U_{R}(c)$ bezüglich $f$ ist stets abgeschlossen. Ist jeder Punkt in $\partial U_{R}(c)$ bezüglich $f$ ein singulärer Punkt, so entspricht $U_{R}(c)$ dem Holomorphiegebiet von $f$. Es kann außerdem gezeigt werden, dass die Menge der singulären Punkte auf dem Rand der Konvergenzkreisscheibe niemals leer ist; es gibt also stets mindestens einen singulären Punkt. Zu beachten ist, dass die Potenzreihe in jedem Punkt am Rand ihres Konvergenzbereichs durchaus konvergieren kann. Lediglich eine holomorphe Fortsetzung ist nicht um jeden Punkt des Randes möglich.

Der Lückensatz

Der Lückensatz liefert ein hinreichendes Kriterium dafür, dass die offene Konvergenzkreisscheibe einer Potenzreihe das Holomorphiegebiet der dargestellten holomorphen Funktion ist. Die Potenzreihe

$f(z)=\sum _{\nu =0}^{\infty }b_{\nu }z^{\lambda _{\nu }}$, wobei $0\leq \lambda _{0}<\lambda _{1}<\cdots ,$

habe den Konvergenzradius $0<R<\infty$. Es gebe eine feste Zahl $\delta >0$, so dass die Lückenbedingung

$\lambda _{\nu +1}-\lambda _{\nu }\geq \delta \lambda _{\nu }$

für alle $\nu \in \mathbb {N} _{0}$ erfüllt ist. Dann ist $U_{R}(0)$ das Holomorphiegebiet von $f$. Dieser Satz wurde erstmals von Jacques Hadamard im Jahr 1892 gezeigt, wobei der Beweis durch Louis Mordell 1927 stark vereinfacht wurde. Mittlerweile gibt es umfangreiche Literatur und Verallgemeinerungen zum Lückensatz. Bemerkenswerterweise besitzt jede Potenzreihe

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$

mit Konvergenzradius $R=1$ die „Fähigkeit“, zu einer holomorphen Funktion mit Holomorphiegebiet $\mathbb {E}$ abgewandelt zu werden. Nach einem von Pierre Fatou vermuteten und von Adolf Hurwitz bewiesenen Satz gibt es stets eine Folge $\varepsilon _{n}\in \{-1,1\}$, so dass

$z\mapsto \sum _{n=0}^{\infty }\varepsilon _{n}a_{n}z^{n}$

das Holomorphiegebiet $\mathbb {E}$ besitzt.

Beispiele

Polynome

Jedes Polynom $p(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}$ ist eine in ganz $\mathbb {C}$ holomorphe Funktion. Diese entsprechen genau den Potenzreihen, deren Koeffizienten fast alle verschwinden. Als solche sind sie auch die einzigen ganzen Funktionen, die, falls nicht konstant, im unendlich fernen Punkt eine Polstelle und keine wesentliche Singularität besitzen.

Exponentialfunktion

→ Hauptartikel: Komplexe Exponentialfunktion

Die zunächst über den reellen Zahlen definierte natürliche Exponentialfunktion $x\mapsto e^{x}$ besitzt eine holomorphe Fortsetzung auf ganz $\mathbb {C}$. Dort kann sie, wie auch im Reellen, über ihre Potenzreihe definiert werden:

$e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}=1+z+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{6}}+\cdots .$

Sie erfüllt für alle $z,w\in \mathbb {C}$ die Funktionalgleichung $e^{z+w}=e^{z}e^{w}$ und es gilt $(e^{z})'=e^{z}$, sie entspricht also ihrer eigenen Ableitung.

Erst über den komplexen Zahlen wird die enge Beziehung zwischen der Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen sichtbar. Diese kann mittels der Potenzreihenentwicklungen und einem Vergleich der Koeffizienten hergeleitet werden, und zieht wichtige Konsequenzen für die Geometrie der komplexen Zahlen und ganz allgemein in der Mathematik nach sich. Die erstmals von Leonhard Euler gefundene Beziehung, auch Eulersche Formel genannt, lautet

$e^{iw}=\cos(w)+i\sin(w),$

wobei $w$ in vielen Anwendungen eine reelle Zahl ist, jedoch auch beliebige komplexe Werte annehmen darf. Daraus folgt insbesondere, dass sie als Funktion $2\pi i$-periodisch ist. Es gilt also für alle $z\in \mathbb {C}$

$e^{z+2\pi i}=e^{z}$.

Logarithmus

→ Hauptartikel: Komplexer Logarithmus

Die komplexe Exponentialfunktion $z\mapsto \exp(z)$ ist global betrachtet nicht injektiv, weshalb sie als ganze Funktion nicht umkehrbar ist. Jedoch kann bei Einschränkung auf den Bereich $-\pi <\mathrm {Im} (z)\leq \pi$ die Injektivität wieder hergestellt werden. Da dieser Bereich nicht offen ist, in etwa ist $z=\pi i$ kein innerer Punkt, ist es zweckmäßig, auf den offenen Streifen

$S:=\{z\in \mathbb {C} \mid -\pi <\mathrm {Im} (z)<\pi \}$

überzugehen. Es gilt dann

$\exp(S)=\mathbb {C} \setminus \mathbb {R} _{\leq 0}=:\mathbb {C} _{-},$

das Bild der Einschränkung entspricht also genau der komplexen Ebene mit Ausnahme der nicht positiven reellen Zahlen. Als bijektive holomorphe Funktion zwischen zwei offenen Mengen ist die Umkehrfunktion, die als Hauptzweig des Logarithmus bekannt ist, wieder holomorph. Diese wird als $\mathrm {Log} \colon \mathbb {C} _{-}\rightarrow S$ geschrieben, und es gilt $\exp(\mathrm {Log} (z))=z$ im gesamten Bereich $\mathbb {C} _{-}$. Der Begriff Hauptzweig motiviert sich daraus, dass die Wahl des Streifens $S$ naheliegend, aber keinesfalls eindeutig ist. In etwa hätte auch der Streifen $\pi <\mathrm {Im} (z)<3\pi$ gewählt werden können – dies liegt in der $2\pi i$-Periodizität der komplexen Exponentialfunktion begründet. Der komplexe Logarithmus ist wegen der Eulerschen Formel verwandt zum Hauptzweig des Arguments $\mathrm {Arg} (z)$ über die Relation

$\mathrm {Log} (z)=\log |z|+i\mathrm {Arg} (z)$.

Dabei bezeichnet $\log(x)$ den reellen natürlichen Logarithmus. Daraus folgt insbesondere für reelle Zahlen $a<0$

$\lim _{z\to a \atop \operatorname {sgn}(\mathrm {Im} (z))=\pm 1}\mathrm {Log} (z)=\log |a|\pm \pi i,$

und die Signumfunktion $\operatorname {sgn}(x)$ deutet an, ob sich der Limes von oben oder unten nähert. Es gilt in ganz $\mathbb {C} _{-}$ die Ableitungsformel

$\mathrm {Log} '(z)={\frac {1}{z}}.$

Trigonometrische und hyperbolische Funktionen

Als Kompositionen aus Exponentialfunktionen sind Sinus und Kosinus bzw. Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus ganze Funktionen. Exemplarisch gilt

$\sin(z)={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}$

und dies ist eine ganze Funktion. Im Gegensatz dazu sind die Funktionen Tangens und Kotangens bzw. Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus keine ganzen Funktionen, jedoch in ganz $\mathbb {C}$ meromorph, also holomorph bis auf eine diskrete Menge von Polstellen. Zum Beispiel hat der Tangens Hyperbolicus im Komplexen die Polstellenmenge $\{{\tfrac {2k+1}{2}}\pi i\mid k\in \mathbb {Z} \}$.

Arkus- und Areafunktionen

Die Arkusfunktionen lassen sich, betrachtet um den Punkt $z=0$, holomorph in die Einheitskreisscheibe fortsetzen. In etwa definiert man

$\mathrm {arcsin} (z)=\int _{0}^{z}{\frac {\mathrm {d} w}{\sqrt {1-w^{2}}}},\qquad |z|<1.$

Der Integrand ist eine in der offenen Einheeitskreisscheibe holomorphe Funktion, weshalb das Integral erneut eine holomorphe Funktion darstellt.

Beliebige Potenzfunktionen

Über den komplexen Logarithmus lassen sich beliebige Potenzfunktionen auch im komplexen verstehen. Diese stellen im Allgemeinen jedoch keine ganzen Funktionen dar.

Ist $s\in \mathbb {C}$ beliebig, so definiert man für $z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$

$z^{s}:=e^{s\mathrm {Log} (z)}.$

Dies stellt als Verkettung holomorpher Funktionen eine auf dem Elementargebiet $\mathbb {C} \setminus \mathbb {R} _{\leq 0}$ holomorphe Funktion dar. In manchen Anwendungen ist es jedoch von Vorteil, die Unstetigkeitsgerade als die positive reelle Achse zu wählen. Dann setzt man alternativ

$z^{s}=e^{s(\pi i+\mathrm {Log} (-z))}.$

Nirgends komplex differenzierbare Funktionen

In keinem $z\in \mathbb {C}$ komplex differenzierbar und damit auch nirgendwo holomorph sind beispielsweise

• die Betragsfunktion $z\mapsto |z|$,
• die Projektionen auf den Realteil $z\mapsto \mathrm {Re} (z)$ beziehungsweise auf den Imaginärteil $z\mapsto \mathrm {Im} (z)$,
• die komplexe Konjugation $z\mapsto {\overline {z}}$.

Die Funktion $z\mapsto |z|^{2}$ ist nur an der Stelle $z=0$ komplex differenzierbar, aber dort nicht holomorph, da sie nicht in einer ganzen Umgebung von $0$ komplex differenzierbar ist.

Charakterisierungen des Holomorphiebegriffs

In einer Umgebung einer komplexen Zahl sind folgende Eigenschaften komplexer Funktionen gleichwertig:

1. Die Funktion ist einmal komplex differenzierbar.
2. Die Funktion ist beliebig oft komplex differenzierbar.
3. Real- und Imaginärteil erfüllen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und sind zumindest einmal stetig reell-differenzierbar.
4. Die Funktion lässt sich in eine komplexe Potenzreihe entwickeln.
5. Die Funktion ist stetig und das Wegintegral der Funktion über einen beliebigen geschlossenen zusammenziehbaren Weg verschwindet.
6. Die Funktionswerte im Inneren einer Kreisscheibe lassen sich aus den Funktionswerten am Rand mit Hilfe der cauchyschen Integralformel ermitteln.
7. Die Funktion $f$ ist reell differenzierbar und es gilt
   $\quad {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0,$
   wobei ${\tfrac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}$ der Cauchy-Riemann-Operator ist, der durch ${\tfrac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}:={\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {\partial }{\partial x}}+i{\tfrac {\partial }{\partial y}}\right)$ definiert ist.

Nullstellen, Singularitäten und Ordnungen

Nullstellen

Im Gegensatz zu beliebigen reell differenzierbaren Funktionen haben holomorphe Funktionen ein sehr kontrolliertes Nullstellenverhalten. Hintergrund ist der sog. Identitätssatz für holomorphe Funktionen, der sicherstellt, dass eine auf einem Gebiet $D$ nicht konstante holomorphe Funktion in dessen Innern keine Werte häufen kann. Insbesondere gilt: Ist $a\in \mathbb {C}$ und $f\colon D\to \mathbb {C}$ holomorph, so ist jede der Fasern

$f^{-1}(a):=\{z\in D\mid f(z)=a\}$

lokal endlich in $D$, und es folgt, dass $f$ nur höchstens abzählbar viele sog. $a$-Stellen besitzt. Von besonderem Interesse ist $a=0$, also gerade die Nullstellen von $f$.

Singularitäten

→ Hauptartikel: Isolierte Singularität

Holomorphie einer Funktion auf einer offenen Menge ist eine starke Eigenschaft, und zieht viele Konsequenzen hinsichtlich Integrationatheorie oder Abbildungseigenschaften nach sich. So strahlt die Analytizität in einem Punkt stets auf umliegende Punkte aus. Es kann die Frage gestellt werden, was ausgehend von einem bestimmten Punkt $a\in U$ einer offenen Menge über das Verhalten einer holomorphen Funktion $f\colon U\setminus \{a\}\rightarrow \mathbb {C}$ ausgesagt werden kann. Dabei befindet sich $a$ im Innern von $U$ und liegt damit isoliert in einer lückenlosen Menge von Punkten, auf denen $f$ ein aus analytischer Sicht sehr starkes Verhalten hat. Man bezeichnet ein solches $a$ auch als isolierte Singularität.

Es ist ein wichtiges Resultat, dass die holomorphe Funktion $f\colon U\setminus \{a\}\rightarrow \mathbb {C}$ „um $a$ herum“ nur drei verschiedene Arten von Verhalten aufweisen kann. Exemplarisch sind die Funktionen

$z\mapsto {\frac {\sin(z)}{z}}$, $z\mapsto {\frac {1}{z}}$ und $z\mapsto \exp \left({\frac {1}{z}}\right)$

allesamt holomorph in $\mathbb {C} \setminus \{0\}$, weisen aber um den Nullpunkt herum ein sehr unterschiedliches Verhalten auf.

Der Typ einer Singularität lässt sich eindeutig aus den Koeffizienten der in ihr entwickelten Laurent-Reihe der Funktion $f$ ablesen.

Hebbare Singularität

Eine hebbare Singularität liegt vor, wenn die holomorphe Funktion um $a$ herum beschränkt ist, also „ganz normales“ Verhalten aufweist. Es ist also $|f(z)|\leq M$ für alle $z$ in einer hinreichend kleinen punktierten Umgebung von $a$ in $U$. Nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz kann $f$ in einem solchen Fall immer stetig, ja sogar holomorph, auf ganz $U$ fortgesetzt werden. Es gibt also eine holomorphe Funktion ${\widehat {f}}\colon U\rightarrow \mathbb {C}$, die auf ganz $U\setminus \{a\}$ mit $f$ übereinstimmt.

Beispiele für Funktionen mit hebbaren Singularitäten sind

$f(z)={\frac {z^{2}-1}{z-1}}$ an der Stelle $a=1$, holomorphe Fortsetzung ist ${\widehat {f}}(z)=z+1$,

oder auch

$f(z)={\frac {\sin(z)}{z}}$ an der Stelle $a=0$, holomorphe Fortsetzung ist der Kardinalsinus, mit der Potenzreihenentwicklung $1-{\tfrac {z^{2}}{6}}+{\tfrac {z^{4}}{120}}-\cdots$.

Polstelle

→ Hauptartikel: Polstelle

Eine holomorphe Funktion $f\colon U\setminus \{c\}\rightarrow \mathbb {C}$ hat eine Polstelle der Ordnung $m\in \mathbb {N}$ in $c$, falls sie in einer Umgebung von $c$ als Quotient

$f(z)={\frac {h(z)}{(z-c)^{m}}}$

mit einem holomorphen $h$ mit $h(c)\not =0$ geschrieben werden kann. Eine Polstelle beliebiger Ordnung lässt sich zudem durch das lokale Abbildungsverhalten von $f$ charakterisieren. Es hat $f$ genau dann einen Pol in $a$, falls gilt

$\lim _{z\to c}|f(z)|=\infty$.

Das Merkmal einer Polstellen ist also, dass sich die Punkte in einer Umgebung nicht chaotisch verhalten, sondern in einem gewissen Sinne gleichmäßig gegen Unendlich streben.

Ist $c$ eine Polstelle der Ordnung $m$ von $f(z)$, so hat die Laurent-Entwicklung von $f$ um diese notwendigerweise die Gestalt

$f(z)={\frac {a_{-m}}{(z-c)^{m}}}+{\frac {a_{-m+1}}{(z-c)^{m-1}}}+\cdots =\sum _{n=-m}^{\infty }a_{n}(z-c)^{n},\qquad a_{-m}\not =0.$

Eine solche Entwicklung ist gleichzeitig hinreichend für die Existenz eines Pols der Ordnung $m$.

Beispielsweise hat die auf $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ holomorphe Funktion $f(z)={\tfrac {e^{z}}{z^{4}}}$ einen Pol vierter Ordnung in $z=0$.

Wesentliche Singularität

→ Hauptartikel: Wesentliche Singularität

Eine Singularität wird als wesentlich bezeichnet, wenn sie weder hebbar noch Polstelle ist. Sie lässt sich über den Satz von Casorati-Weierstraß charakterisieren, welcher besagt, dass eine holomorphe Funkion in jeder punktierten Umgebung einer wesentlichen Singularität jeder beliebigen komplexen Zahl beliebig nahe kommt. Zu jeder punktierten Umgebung $V\setminus \{c\}$ im Definitionsbereich von $f$ und zu jedem $\varepsilon >0$ gibt es also für alle $v\in \mathbb {C}$ ein $w\in V\setminus \{c\}$ mit $|f(w)-v|<\varepsilon$.

Alternativ lässt sich eine wesentliche Singularität $c$ an den Koeffizienten der Laurent-Reihe ablesen. Genau dann wenn $f$ um $c$ die Laurent-Reihe

$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}$

mit $a_{n}\not =0$ für unendlich viele $n<0$ besitzt, ist $c$ eine wesentliche Singularität.

Meromorphe Funktionen

→ Hauptartikel: Meromorphe Funktion

Formal wird das Symbol $\infty :={\tfrac {1}{0}}$ definiert. Eine Abbildung $f\colon D\to \mathbb {C} \cup \{\infty \}$ heißt meromorphe Funktion, falls die Menge $S(f):=f^{-1}(\{\infty \})$ diskret in $D$ liegt, die Einschränkung $f_{0}\colon D\setminus S(f)\to \mathbb {C}$ holomorph ist und jeder der Punkte aus $S(f)$ eine Polstelle von $f$ ist.

Nimmt man also die isolierten Polstellen einer holomorphen Funktion „mit in den Definitionsbereich auf“, so spricht man allgemein auch von einer meromorphen Funktion. Der Zusammenschluss aller auf einem Gebiet meromorpher Funktionen bildet einen Körper. Dabei werden Polstellen als Kehrwerte von Nullstellen aufgefasst, wobei der Wert Unendlich mittels der stereographischen Projektion auf die Riemannsche Zahlenkugel als „Nordpol“ interpretiert werden kann, woher auch die Bezeichnung Polstelle rührt.

In einigen Anwendungen ist die Voraussetzung der Holomorphie zu restriktiv. Zum Beispiel sind alle holomorphen elliptischen Funktionen zu einem beliebigen Gitter bereits konstant. Erst beim Übergang zu auf ganz $\mathbb {C}$ meromorphen elliptischen Funktionen erhält man nicht triviale Beispiele, wie in etwa die Weierstraßschen p-Funktionen.

Residuenkalkül

Das Residuum

→ Hauptartikel: Residuum (Funktionentheorie)

Ist die Funktion $f$ auf einer punktierten Kreisscheibe ${\dot {U}}_{\delta }(c)$ holomorph, so kann sie um $c$ in eine Laurent-Reihe

$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}$

entwickelt werden. Das Residuum bezieht sich auf den Term in dieser Reihe, der keine Stammfunktion auf ${\dot {U}}_{\delta }(c)$ besitzt, nämlich ${\frac {a_{-1}}{z-c}}.$ Es definiert jedoch nicht diesen Term, sondern lediglich den zugehörigen Koeffizienten, man schreibt

$\mathrm {Res} (f;c):=a_{-1}.$

Das Residuum ist ein Funktional, d.h. eine lineare Abbildung vom Raum der holomorphen Funktionen in die komplexen Zahlen.

Residuensatz

→ Hauptartikel: Residuensatz

Der Residuensatz gehört zu den zentralen Sätzen der Funktionentheorie. Er besagt, dass das geschlossene Kurvenintegral einer in einem Elementargebiet ohne eine diskrete Menge holomorphe Funktion nur von den isolierten Singularitäten des Integranden und der Windungszahlen der Integrationskurve abhängt. Damit wird durch ihn die Integralformel von Cauchy verallgemeinert. Da in vielen Fällen die Behandlung der isolierten Singularitäten unkompliziert ist, kann er zu einer schnellen Berechnung von Integralen beitragen, selbst wenn keine Stammfunktion gefunden werden kann.

Präzise besagt der Residuensatz, dass falls $D$ ein Elementargebiet ist, $\{s_{1},...,s_{n}\}\subset D$ eine $n$-elementige Teilmenge, $f\colon D\setminus \{s_{1},...,s_{n}\}\to \mathbb {C}$ holomorph, und $\gamma \colon [0,1]\to D\setminus \{s_{1},...,s_{n}\}$ eine stückweise glatte, geschlossene Kurve, dann gilt die Residuenformel

${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }f(z)\mathrm {d} z=\sum _{j=1}^{n}\chi (\gamma ;s_{j})\mathrm {Res} (f;s_{j}),$

wobei $\chi (\gamma ;s_{j})$ die Umlaufzahl von $\gamma$ rund um $s_{j}$ bezeichnet. Der Wert des Integrals hängt also nur von den von den Residuen der Funktion $f$ und deren Umlaufzahl ab.

Bedeutung

Der Residuensatz zieht einige wichtige Folgerungen für die Funktionentheorie nach sich. Es werden ein paar in der Literatur übliche Anwendungen aufgeführt.

Null- und Polstellen zählendes Integral

→ Hauptartikel: Prinzip vom Argument

Ist $f$ eine auf einem Elementargebiet $D$ meromorphe Funktion, und umschließt die stückweise glatte geschlossene Kurve $\gamma$ alle Null- und Polstellen von $f$ genau einmal in mathematisch positiver Richtung, so gilt für die Anzahl von Null- und Polstellen $N(0)$ bzw. $N(\infty )$ die exakte Formel

${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f'(z)}{f(z)}}\mathrm {d} z=N(0)-N(\infty ).$

Satz von Rouché

→ Hauptartikel: Satz von Rouché

Es seien $f,g$ holomorphe Funktionen auf einem Elementargebiet $D$ und $\gamma$ eine stückweise glatte geschlossene Kurve in $D$, so dass diese jeden Punkt in deren Innern genau einmal positiv umläuft. Es gelte $|g(z)|<|f(z)|$ für alle $z\in \gamma ([0,1])$. Dann haben die Funktionen $f$ und $f+g$ keine Nullstellen auf $\gamma ([0,1])$ und, mit Vielfachheit gerechnet, gleich viele Nullstellen im Innern der Kurve.

Der Satz von Rouché kann auch auf meromorphe Funktionen ausgeweitet werden.

Explizite Berechnung von Integralen

Der Residuensatz kann in manchen Fällen zur Berechnung von Integralen, zum Beispiel über rationale Funktionen, dienen. Ein Beispiel ist die für ganze Zahlen $0\leq k<n$ gültige Formel

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {t^{2k}}{1+t^{2n}}}\mathrm {d} t={\frac {\pi }{n\sin \left({\frac {(2k+1)\pi }{2n}}\right)}}.$

Auch kann er zur Berechnung der Partialbruchzerlegung des Kotangens, zur Lösung des Basler Problems und zum Beweis der Formel

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}\mathrm {d} t={\sqrt {\pi }}$

herangezogen werden. Auch die explizite Berechnung Frenselscher Integrale ist mit dem Residuensatz möglich.

Abbildungseigenschaften

Identitätssatz

→ Hauptartikel: Identitätssatz für holomorphe Funktionen

Es zeigt sich, dass eine holomorphe Funktion schon durch sehr wenig Information eindeutig bestimmt ist. So genügt es bereits, dass zwei auf einem Gebiet $D$ holomorphe Funktionen $f$ und $g$ auf einer Teilmenge übereinstimmen, die einen Häufungspunkt in $D$ hat, um global $f=g$ zu folgern. Dabei ist ein $z\in D$ Häufungspunkt der Teilmenge $M\subset D$, falls in jeder noch so kleinen offenen Umgebung von $z$ unendlich viele Elemente von $M$ liegen. Betont sei an dieser Stelle die Bedingung, dass sich der Häufungspunkt innerhalb des Gebietes befinden muss. Wird dies nicht gefordert, ist die obere Aussage im Allgemeinen falsch.

Präziser lässt sich zeigen, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

1. $f=g$.
2. Die Koinzidenzmenge $\{z\in D\mid f(z)=g(z)\}$ hat einen Häufungspunkt in $D$.
3. Es gibt einen Punkt $z_{0}\in D$, so dass für alle ganzen Zahlen $n\geq 0$ die Gleichheit $f^{(n)}(z_{0})=g^{(n)}(z_{0})$ gilt.

Beim Identitätssatz ist die Bedingung an $D$, ein Gebiet zu sein, wichtig, da Holomorphie eine lokale Eigenschaft ist. Zum Beispiel stimmen die beiden holomorphen Funktionen

$f(z)={\begin{cases}0,&\quad z\in U_{1}(0)\\1,&\quad z\in U_{1}(42)\end{cases}}$

und

$g(z)={\begin{cases}0,&\quad z\in U_{1}(0)\\2,&\quad z\in U_{1}(42)\end{cases}}$

sogar auf ganz $U_{1}(0)$ überein, sind jedoch global betrachtet nicht gleich, da $f(42)\not =g(42)$. Es ist $D=U_{1}(0)\cup U_{1}(42)$ kein Gebiet, da es als disjunkte Vereinigung nicht leerer offener Mengen geschrieben werden kann. Ebenfalls wichtig ist, dass der Häufungspunkt teil des Gebietes ist. In etwa ist die Funktion $z\mapsto \sin \left({\tfrac {\pi }{z}}\right)$ holomorph in $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ und nimmt den Wert 0 für alle $z=1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},...,{\tfrac {1}{n}},...$ an, stimmt aber nicht mit der Nullfunktion überein, da der Häufungspunkt 0 der Folge $n\mapsto {\tfrac {1}{n}}$ nicht Teil von $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ ist.

Satz von der Gebietstreue

→ Hauptartikel: Satz von der Gebietstreue

Einfach gesprochen sagt der Satz von der Gebietstreue, dass eine nicht konstante holomorphe Funktion Gebiete in Gebiete überführt.

Ist $D\subseteq \mathbb {C}$ ein Gebiet und $f\colon D\rightarrow \mathbb {C}$ holomorph und nicht konstant, so ist $f(D)\subseteq \mathbb {C}$ wieder ein Gebiet. Dieses Offenheitsprinzip ist für stetige Funktionen, bei denen lediglich Urbilder offener Mengen offen sein müssen, im Allgemeinen nicht richtig. Es scheitert beispielsweise bereits in den reellen Zahlen, wo der Sinus den nicht offenen Wertevorrat $\sin(\mathbb {R} )=[-1,1]$ besitzt.

Beim Beweis des Satzes von der Gebietstreue geht als wichtiger Zwischenschritt das lokale Abbildungsverhalten nichtkonstanter holomorpher Funktionen ein, siehe unten. Im Reellen scheitert die Aussage, dass $z\mapsto z^{n}$ eine Umgebung von 0 auf eine Umgebung von 0 abbildet, zum Beispiel ist hier stets $x^{2}\geq 0$.

Als einfache Folgerungen des Satzes der Gebietstreue ergibt sich, dass eine auf einem Gebiet holomorphe Funktion $f$, so dass entweder $z\mapsto \mathrm {Re} (f(z))$, $z\mapsto \mathrm {Im} (f(z))$ oder $z\mapsto |f(z)|$ konstant ist, bereits konstant sein muss.

Lokales Abbildungsverhalten

Es kann gezeigt werden, dass sich jede nichtkonstante holomorphe Funktion $f$ im Wesentlichen wie eine Potenz verhält. Genauer gesagt gilt: Ist $f$ nichtkonstant und holomorph in einem Gebiet um 0 und gilt $f(0)=0$, so existiert eine natürliche Zahl $n$, eine kleine Umgebung $U$ um die 0, eine biholomorphe Abbildung $\varphi \colon U\to V$ mit $\varphi (0)=0$, sodass

$f(z)=\varphi (z)^{n}$

für alle $z\in U$. Inbesondere folgt nach dem Variablenwechsel $z=\varphi ^{-1}(w)$ die Identität

$f(\varphi ^{-1}(w))=w^{n}$

für alle $w\in V$. Die Zahl $n$ ist dabei eindeutig bestimmt. Insbesondere ist $f$ genau dann lokal biholomorph, wenn $n=1$ gilt.

Maximumprinzip und verwandte Aussagen

Maximum- und Minimumprinzip

→ Hauptartikel: Maximumprinzip

Eine Folgerung des Satzes über die Gebietstreue ist das sog. Maximumprinzip. Dieses sagt aus, dass eine auf einem Gebiet $D$ holomorphe Funktion $f$, die im Innern von $D$ ein lokales Maximum bei $z$ annimmt, bereits konstant sein muss. Existiert zu $z\in D$ also eine offene Umgebung $U$, so dass $|f(a)|\leq |f(z)|$ für alle $a\in U$, so ist $f$ konstant. Als Beweis dieser Aussage reicht die Erkenntnis, dass nach dem Satz der Gebietstreue jeder Punkt $f(z)$ in $f(D)$ ein innerer Punkt ist, womit es in seiner Umgebung aber stets Punkte gibt, die im Betrag größer als $f(z)$ sind.

Verwandt zum Maximumsprinzip ist das Minimumprinzip. Ist $f$ wie oben nicht konstant und hat es ein Betragsminimum $z$ in $D$, so muss $z$ notwendigerweise eine Nullstelle von $f$ sein.

Satz von Phragmén-Lindelöf

Der Satz von Phragmén-Lindelöf, von Lars Phragmén und Ernst Lindelöf im Jahr 1908 publiziert, kann als eine Erweiterung des Maximumprinzips angesehen werden. Das Maximumprinzip sagt aus, dass jede nicht konstante holomorphe Funktion auf einem beschränkten Gebiet mit stetiger Fortsetzung auf den Rand $\partial D$ auf $\partial D$ ihr Maximum annimmt. Dabei ist die Beschränktheit des Gebietes von zentraler Bedeutung. Ist $D$ nämlich unbeschränkt, so ist die Aussage in dieser Form nicht mehr gültig. Betrachtet man beispielsweise die Funktion $g(z)={e^{e^{z}}}$, so gilt

$\left|e^{e^{z}}\right|=e^{\mathrm {Re} (e^{x+iy})}=e^{e^{x}\cdot \cos(y)},$

wobei $z=x+iy$. Damit stellt man fest, dass $g(z)$ zwar auf dem Rand des Streifens $\{z\in \mathbb {C} \mid -{\tfrac {\pi }{2}}<\mathrm {Im} (z)<{\tfrac {\pi }{2}}\}$ beschränkt, jedoch in dessen Inneren für $\mathrm {Re} (z)\to \infty$ über alle Grenzen hinauswächst.

Der Satz von Phragmén-Lindelöf gibt nun ein Kriterium, mit dessen Hilfe Beschränktheit der Funktion innerhalb ihres unbeschränkten Definitionsgebiets gefolgert werden kann. Sei $D$ ein Elementargebiet und $f\colon D\rightarrow \mathbb {C}$ holomorph. Es gebe eine holomorphe Funktion $\varphi \colon D\rightarrow \mathbb {C}$, die keine Nullstellen hat und zudem beschränkt ist. Der Rand, einschließlich eines unendlich fernen Punktes $\infty$, zerfalle in Teile $\partial _{\infty }D=A\cup B$, so dass für eine Konstante $M>0$ gilt:

1. Für jedes $a\in A$ ist $\limsup _{z\to a}|f(z)|\leq M$.
2. Für jedes $b\in B$, und ein festes $\mu >0$, gilt $\limsup _{z\to b}|f(z)||\varphi (z)|^{\mu }\leq M$.

Dann gilt bereits $|f(z)|\leq M$ für alle $z\in D$. Das Symbol $\limsup$ bezeichnet den Limes superior.

Eine andere Variante des Satzes besagt: Sei $f$ stetig auf dem Streifen $-{\tfrac {\pi }{2}}\leq \mathrm {Re} (z)\leq {\tfrac {\pi }{2}}$, holomorph in dessen Innern. Es gelte $|f(z)|\leq 1$ für alle Randwerte $z$, also mit $\mathrm {Re} (z)={\tfrac {\pi }{2}}$ oder $\mathrm {Re} (z)=-{\tfrac {\pi }{2}}$, sowie gebe es Konstanten $0<\alpha <1$ und $C>0$ mit

$|f(z)|\leq \exp \left(Ce^{\alpha |z|}\right).$

Dann gilt $|f(z)|\leq 1$ auch im Innern des Streifens. Dass der Satz für $\alpha =1$ nicht mehr stimmt, zeigt das weiter oben angeführte Beispiel $z\mapsto e^{e^{z}}$.

Der Satz von Phragmén-Lindelöf hat Anwendung unter anderem in der Theorie der L-Funktionen. Mit seiner Hilfe kann deren Wachstumsverhalten im sog. kritischen Streifen analysiert werden, etwa im Rahmen des Heckeschen Umkehrsatzes.

Hadamardscher Dreikreisesatz

→ Hauptartikel: Hadamardscher Dreikreisesatz

Das Verhalten der Betragsmaxima einer holomorphen Funktion auf Kreislinien innerhalb eines Ringgebiets ist konvex bezüglich der logarithmierten Radien. Ist also $f$ holomorph auf dem abgeschlossenen Ringgebiet $0<\alpha \leq |z|\leq \beta$, mit dem Ursprung als Mittelpunkt, und definiert man

$M(r):=\sup _{|z|=r}|f(z)|,$

so gilt stets

$\log \left({\frac {\beta }{\alpha }}\right)\log M(r)\leq \log \left({\frac {\beta }{r}}\right)\log M(\alpha )+\log \left({\frac {r}{\alpha }}\right)\log M(\beta ).$

Diese als Hadamardscher Dreikreisesatz benannte Aussage ist verwandt zu Sätzen über holomorphe Funktionen auf Streifen. Ist $f$ holomorph und beschränkt auf einem Streifen $a\leq \mathrm {Re} (z)\leq b$, so ist die Funktion

$M(\sigma ):=\sup _{t\in \mathbb {R} }|f(\sigma +it)|$

konvex. Diese Feststellung lässt sich auf den Fall höchstens polynomiell wachsender Funktionen weiter übertragen. Sei $f$ in dieser Situation durch ein Polynom beschränkt, und bezeichne $\psi (\sigma )$ zu jedem $a\leq \sigma \leq b$ die kleinste Zahl mit

$|f(\sigma +it)|\ll |t|^{\psi (\sigma )+\varepsilon }$

für alle $\varepsilon >0$. Dann ist $\psi (\sigma )$ eine konvexe und insbesondere stetige Funktion auf $[a,b]$, sofern $f$ endliche Ordnung auf dem Streifen hat.

Diese Aussagen sind zum Beispiel im Umkreis der Lindelöfschen Vermutung bezüglich der Riemannschen Zeta-Funktion von Interesse.

Jensensche Formel

→ Hauptartikel: Jensensche Formel

Die Jensensche Formel stellt einen Zusammenhang zwischen dem Wachstum einer holomorphen Funktion auf Kreisrändern und deren Nullstellenverteilung her. Ist $f\not =0$ eine auf einem Gebiet $D$ holomorphe Funktion, sodass $D$ die Kreisscheibe ${\overline {B_{r}(0)}}$ enthält und $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ die Nullstellen von $f$ in $B_{r}(0)$ (bei Vielfachheit mehrfach wiederholt), so gilt mit $f(0)\not =0$ bereits

$\log |f(0)|=-\sum _{k=1}^{n}\log \left({\frac {r}{|a_{k}|}}\right)+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\mathrm {d} \theta .$

Eine Verallgemeinerung stellt die Poisson-Jensen-Formel dar, welche unter oberen Voraussetzungen für jedes $|z|<r$ mit $f(z)\not =0$ anwendbar ist:

$\log |f(z)|=-\sum _{k=1}^{n}\log \left|{\frac {r^{2}-{\overline {a_{k}}}z}{r(z-a_{k})}}\right|+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\mathrm {Re} \left({\frac {re^{i\theta }+z}{re^{i\theta }-z}}\right)\log |f(re^{i\theta })|\mathrm {d} \theta .$

Sie spielt eine wichtige Rolle beim Beweis des Produktsatzes von Hadamard für holomorphe Funktionen, zum Beispiel im Umfeld von L-Funktionen.

Werteverteilungen

Ganze Funktionen

Satz von Liouville

→ Hauptartikel: Satz von Liouville

Der Satz von Liouville besagt, dass jede beschränkte ganze Funktion bereits konstant ist. Im Umkehrschluss bedeutet dies, dass jede nicht-konstante ganze Funktion bereits unbeschränkt sein muss, langfristig also, im Absolutbetrag $|f|$ betrachtet, über alle Schranken wachsen wird. Zwar ist zum Beispiel die Funktion $z\mapsto \cos(z)$ im Reellen beschränkt, wird aber auf ganz $\mathbb {C}$ betrachtet beliebig anwachsen. Der Satz wurde erstmals von Joseph Liouville im Jahr 1847, damals allerdings nur im Rahmen der Liouvillschen Sätze im Spezialfall für elliptische Funktionen, bewiesen.

Der Satz von Liouville ist eine Folgerung aus der verallgemeinerten Cauchyschen Integralformel. Gilt $\sup _{z\in \mathbb {C} }|f(z)|\leq C$, so folgt mittels der Standardabschätzung für Integrale für alle $z\in \mathbb {C}$ und Radien $r>|z|$:

$|f'(z)|=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{|w-z|=r}{\frac {f(w)}{(w-z)^{2}}}\mathrm {d} w\right|\leq {\frac {2\pi r}{2\pi }}{\frac {C}{r^{2}}}={\frac {C}{r}}.$

Dabei entstammt der Term $2\pi r$ der Bogenlänge des kreisförmigen Integrationsweges. Durch beliebig große Wahl von $r>0$ folgt bereits $f'=0$, und da $\mathbb {C}$ ein Gebiet ist, ist $f$ konstant.

Eine einfache Folgerung des Satzes von Liouville ist der Fundamentalsatz der Algebra. Dieser besagt, dass jedes nicht-konstante Polynom über den komplexen Zahlen eine Nullstelle hat. Im Reellen gilt dies nicht, da zum Beispiel $x\mapsto x^{2}+1$ dort nie Null wird. Für den Beweis wird unter der Annahme, ein nicht-konstantes Polynom $P$ habe keine Nullstelle, gefolgert, dass $z\mapsto {\tfrac {1}{P(z)}}$ eine beschränkte ganze Funktion ist, also konstant. Dies erzeugt dann einen Widerspruch.

Eine Variante des Satzes von Liouville sagt aus, dass jede holomorphe Funktion $f\colon {\overline {\mathbb {C} }}\rightarrow \mathbb {C}$ konstant ist. Dabei bezeichnet ${\overline {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ die Riemannsche Zahlenkugel. Auch kann die Beschränktheitsbedingung abgeschwächt werden. Gilt stets $|f(z)|\leq 1+|z|^{\frac {1}{2}}$ für eine ganze Funktion $f$, so ist $f$ konstant.

Eine Folgerung des Satzes von Liouville ist, dass das Bild $f(\mathbb {C} )$ einer nicht konstanten ganzen Funktion $f$ stets dicht in $\mathbb {C}$ ist.

Kleiner Satz von Picard

→ Hauptartikel: Kleiner Satz von Picard

Der kleine Satz von Picard stellt eine äußerst starke Verschärfung des Satzes von Liouville dar. Er sagt aus, dass jede nicht konstante ganze Funktion $f\colon \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ bis auf eine mögliche Ausnahme jeden komplexen Wert Annehmen muss. Es gilt also entweder $f(\mathbb {C} )=\mathbb {C}$ oder $f(\mathbb {C} )=\mathbb {C} \setminus \{a\}$ mit einer Zahl $a\in \mathbb {C}$. Dabei kann auf den Fall der einen Ausnahme nicht verzichtet werden, da zum Beispiel die Exponentialfunktion $z\mapsto e^{z}$ niemals Null wird.

Kreisscheiben

Lemma von Schwarz

→ Hauptartikel: Schwarzsches Lemma

Eine nützliche Anwendung des Maximumsprinzips ist der Beweis des Schwarzschen Lemmas: Ist $f\colon \mathbb {E} \rightarrow \mathbb {E}$ eine holomorphe Selbstabbildung der offenen Einheitskreisscheibe $\mathbb {E}$ mit der Fixierung des Ursprungs $f(0)=0$, so gilt $|f(z)|\leq |z|$ für alle $z\in \mathbb {E}$ und insbesondere $|f'(0)|\leq 1$.

Eine Verallgemeinerung des Schwarzschen Lemmas ist das Lemma von Schwarz-Pick.

Satz von Study

Eine wenig bekannte Anwendung des Schwarzschen Lemmas führt zum Satz von Study. Ist $f:\mathbb {E} \to D$ biholomorph und das Gebiet $D$ konvex, so ist jedes der Gebiete $D_{r}:=f(U_{r}(0))$ konvex, wobei $0<r<1$. Ist zudem $D$ ein Sterngebiet mit Zentrum $f(0)$, so ist für alle $0<r<1$ auch $D_{r}$ ein Sterngebiet mit Zentrum $f(0)$.

Satz von Bloch

→ Hauptartikel: Satz von Bloch

Der Satz von Bloch, bewiesen 1925 von André Bloch, gibt eine Grenze für die Komplexität des Bildgebiets holomorpher Funktionen an.

In der von Bloch gezeigten Version besagt der Satz, dass wenn die offene Menge $U\subset \mathbb {C}$ die abgeschlossene Einheitskreisscheibe $\{z\in \mathbb {C} \mid |z|\leq 1\}$ enthält, und $f\colon U\rightarrow \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion mit den Eigenschaften $f(0)=0$ und $f'(0)=1$ ist, dann gibt es eine Kreisscheibe $S\subset U$, so dass die Einschränkung $f|_{S}\colon S\rightarrow \mathbb {C}$ injektiv ist und das Bild $f(S)$ eine Kreisscheibe mit Radius mindestens ${\tfrac {1}{72}}$ enthält.

Man kann zur Verschärfung des Satzes für eine holomorphe Funktion unter oberen Voraussetzungen das Supremum $\beta (f)$ aller Radien $r$ definieren, so dass $f|_{S}\colon S\rightarrow \mathbb {C}$ injektiv für eine Kreisscheibe $S\subset U$ ist und $f(S)$ eine Kreisscheibe mit Radius $r$ enthält. Bildet man nun das Infimum all dieser Zahlen $\beta (f)$, wenn $f$ die oberen Eigenschaften hat, kann man die Blochsche Konstante definieren durch

$B:=\inf\{\beta (f)\mid f\in {\mathcal {O}}(V),\{z\in \mathbb {C} \mid |z|\leq 1\}\subset V\}.$

Der Satz von Bloch impliziert $B\geq {\tfrac {1}{72}}$, aber die Funktion $f(z)=z$ zeigt, dass auch $B\leq 1$. Es wurde bereits bewiesen, dass

$0{,}43\leq B\leq {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)\Gamma \left({\frac {11}{12}}\right)}{{\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}}=0{,}47186165\ldots$

gilt. Dabei bezeichnet $\Gamma (s)$ die Gammafunktion. Die obere Abschätzung stammt von Lars Ahlfors und Helmut Grunsky aus dem Jahr 1937. Beide vermuteten zudem, dass ihre obere Abschätzung sogar eine Gleichheit ist, was jedoch unbewiesen ist.

Satz von Schottky

Der Satz von Schottky macht eine Aussage über die Werteverteilung einer holomorphen Funktion, welche zwei Werte in ihrem Bildbereich auslässt.

Der Satz besagt, dass für alle Werte $0<\alpha <\infty$ und $0\leq \beta \leq 1$ eine Konstante $C(\alpha ,\beta )$ existiert, mit folgender Eigenschaft: Ist $D\subset \mathbb {C}$ ein Elementargebiet, welches die abgeschlossene Kreisscheibe $\{z\in \mathbb {C} \mid |z|\leq 1\}$ enthält und $f\colon D\rightarrow \mathbb {C}$ eine beliebige holomorphe Funktion, welche die Werte 0 und 1 nicht annimmt, und $|f(0)|\leq \alpha$ erfüllt, so gilt $|f(z)|\leq C(\alpha ,\beta )$ für alle $|z|\leq \beta$.

Es kann daraus eine Aussage mit abgeschlossenen Kreisscheiben ${\overline {B_{R}(0)}}=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|\leq R\}$ mit beliebigem Radius $R>0$ gefolgert werden. Enthält das Elementargebiet $D$ die Menge ${\overline {B_{R}(0)}}$ und lässt die holomorphe Funktion $f\colon D\rightarrow \mathbb {C}$ die Werte 0 und 1 aus, so gilt im Falle $|f(0)|\leq \alpha$ für die Konstante $C(\alpha ,\beta )$ aus Schottky's Satz die Abschätzung $|f(z)|\leq C(\alpha ,\beta )$ für alle $|z|\leq \beta R$.

Um wesentliche Singularitäten

Satz von Casorati-Weierstraß

→ Hauptartikel: Satz von Casorati-Weierstraß

Sei $z_{0}$ ein Punkt des Gebietes $D$. Dann ist $z_{0}$ eine wesentliche Singularität der auf $D\setminus \{z_{0}\}$ holomorphen Funktion $f$ genau dann, wenn für jede in $D$ liegende Umgebung $U$ von $z_{0}$ das Bild $f(U\setminus \{z_{0}\})$ dicht in $\mathbb {C}$ liegt.

Anders formuliert: Eine holomorphe Funktion hat genau dann in $z_{0}$ eine wesentliche Singularität, wenn in jeder Umgebung von $z_{0}$ jede komplexe Zahl beliebig genau als ein Bild von $f$ approximiert werden kann.

Großer Satz von Picard

→ Hauptartikel: Großer Satz von Picard

Sei $U$ offen und $c\in U$ eine wesentliche Singularität der holomorphen Funktion $f\colon U\setminus \{c\}\rightarrow \mathbb {C}$. Der große Satz von Picard besagt, dass dann nur zwei Fälle möglich sind:

1. Für jede punktierte Umgebung ${\dot {V}}\subset U$ von $c$ gilt $f(\mathbb {C} )=\mathbb {C}$.
2. Für jede punktierte Umgebung ${\dot {V}}\subset U$ von $c$ gilt $f(\mathbb {C} )=\mathbb {C} \setminus \{a\}$ mit einem geeigneten $a\in \mathbb {C}$.

Demnach kommt die Funktion nahe ihrer wesentlichen Singularität nicht nur jedem Wert beliebig nahe, sondern nimmt, bis auf eine mögliche Ausnahme, jeden beliebigen Wert unendlich oft an.

Folgen und Reihen holomorpher Funktionen

Weierstraßscher Konvergenzsatz

→ Hauptartikel: Weierstraßscher Konvergenzsatz

Es sei $U\subset \mathbb {C}$ offen und $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge auf $U$ holomorpher Funktionen. Wird angenommen, dass $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gleichmäßig auf kompakten Teilmengen $K\subset U$ gegen eine Funktion $f$ konvergiert, so besagt der Satz von Weierstraß, dass die Grenzfunktion $f$ wieder holomorph ist und man Limesbildung und Differentiation vertauschen kann. Das heißt, die Folge $(f'_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert ebenfalls kompakt gegen $f'$.

Der Beweis des Satzes ergibt sich unmittelbar aus der Tatsache, dass sich die komplexe Differenzierbarkeit nach dem Satz von Morera durch ein Integralkriterium ausdrücken lässt und dass das betroffene Kurvenintegral stabil unter gleichmäßiger Konvergenz ist. Die Aussage über die Folge $(f'_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ergibt sich aus der Cauchyschen Integralformel.

Der Satz kann weiter verschärft werden. Es sei $D$ ein beschränktes Gebiet und $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $D$ holomorpher Funktionen mit stetiger Fortsetzung nach $\partial D$, sodass die Einschränkung $(f_{n}|_{\partial D})_{n\in \mathbb {N} }$ auf $\partial D$ gleichmäßig konvergiert. Dann konvergiert $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gleichmäßig gegen eine in $D$ holomorphe Funktion, die sich stetig nach $\partial D$ fortsetzt.

Die analoge Aussage im Reellen ist falsch. Nach dem Approximationssatz von Weierstraß ist jede nur stetige Funktion $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ der Grenzwert einer gleichmäßig konvergenten Folge von Polynomen. Allerdings gibt es auch einen Stabilitätssatz im Reellen, der unter Bedingungen an die Folge $(f'_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ richtig ist.

Satz von Hurwitz

→ Hauptartikel: Satz von Hurwitz

Der Satz von Hurwitz trifft eine Aussage über das lokale Nullstellenverhalten einer holomorphen Funktionenfolge, deren Grenzfunktion wieder holomorph ist.

Sei $D$ ein Gebiet und $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge holomorpher Funktionen $f_{n}\colon D\rightarrow \mathbb {C}$ mit nicht konstanter holomorpher Grenzfunktion $f$. Es gelte zudem $f(z_{0})=0$ für ein $z_{0}\in D$. Dann gibt es zu jeder Kreisscheibe $U_{r}(z_{0})\subset D$ ein $N$, so dass jede der Funktionen $f_{n}$ mit $n\geq N$ eine Nullstelle in $U_{r}(z_{0})$ hat.

Mit anderen Worten, konvergiert eine Folge auf einem Gebiet holomorpher Funktionen gegen eine holomorphe Grenzfunktion mit Nullstelle, so werden fast alle Folgeglieder beliebig nahe an der Nullstelle verschwinden.

Eine wichtige Folgerung des Satzes von Hurwitz betrifft Folgen injektiver holomorpher Funktionen. Besteht die konvergente Folge $f_{n}\colon D\rightarrow \mathbb {C}$ aus injektiven holomorphen Funktionen und ist die holomorphe Grenzfunktion nicht konstant, so ist diese wieder injektiv.

Satz von Montel

→ Hauptartikel: Satz von Montel

Ist eine Folge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ holomorpher Funktionen auf $U$ lokal beschränkt, so existiert eine kompakt konvergente Teilfolge. Dieser wird mit Hilfe des Satzes von Bolzano-Weierstraß geführt und wird beim Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes verwendet.

Dienlich für den Beweis ist ebenfalls folgender Hilfssatz. Ist $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine beschränkte Folge auf $U$ holomorpher Funktionen, die auf einer dichten Teilmenge $S\subset U$ punktweise konvergiert, so konvergiert sie sogar in ganz $U$ und zwar lokal gleichmäßig.

Satz von Vitali

→ Hauptartikel: Satz von Vitali (Funktionentheorie)

Folgende Aussagen über eine im Gebiet $D$ lokal beschränkte Folge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ holomorpher Funktionen sind äquivalent:

1. Die Folge ist in $D$ kompakt konvergent.
2. Es existiert ein Punkt $c\in D$, so dass für alle $k\in \mathbb {N} _{0}$ die Zahlenfolge $f_{1}^{(k)}(c),f_{2}^{(k)}(c),f_{3}^{(k)}(c),...$ konvergiert.
3. Die Menge $A:=\{z\in D\mid \lim _{n\to \infty }f_{n}(z)\in \mathbb {C} \}$ der Konvergenzpunkte hat einen Häufungspunkt in $D$.

Satz von Carathéodory-Landau

Es seien $a,b\in \mathbb {C}$ mit $a\not =b$, und $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge holomorpher Funktionen $f\colon D\to \mathbb {C} \setminus \{a,b\}$. Es existiere $\lim _{n\to \infty }f_{n}(w)$ für eine Menge von Punkten in $D$, die in $D$ einen Häufungspunkt hat. Dann konvergiert die Folge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ kompakt in $D$, hat also eine holomorphe Grenzfunktion.

Punktweise konvergente Folgen

Die Frage, ob im Satz von Vitali die Voraussetzung der lokalen Beschränktheit durch punktweise Konvergenz ersetzt werden kann, kann negativ beantwortet werden. Jedoch zeigte William Fogg Osgood, dass im Falle punktweiser Konvergenz zumindest Holomorphie auf einer dichten Teilmenge des Gebietes vorliegen muss. Ist also $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge holomorpher Funktionen auf einem Gebiet $D$, die punktweise gegen ein Funktion $f$ konvergiert, so ist $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ auf einer dichten, offenen Teilmenge $D'\subset D$ kompakt konvergent. Insbesondere ist die Grenzfunktion $f$ holomorph auf $D'$.

Zusammenhang zu harmonischen Funktionen

Jede auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet $D\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ zweimal stetig differenzierbare harmonische Funktion $u$ ist Realteil einer komplex differenzierbaren Funktion $f\colon x+\mathrm {i} y\mapsto u(x,y)+\mathrm {i} v(x,y)$. Die reelle Funktion $v=\operatorname {Im} f$ erfüllt ebenfalls $\Delta v=0$. Sie wird als konjugiert harmonisch zu $u$ bezeichnet und $f$ als komplexes Potential.

Konstruktion und Existenzaussagen

Produktsatz von Weierstraß

→ Hauptartikel: Produktsatz von Weierstraß

Es kann gefragt werden, ob es zu einer gegebenen Nullstellenverteilung eine ganze Funktion gibt, die diese erfüllt. In etwa erfüllt $z\mapsto \sin(\pi z)$ die Nullstellenverteilung $\mathbb {Z}$. Der Produktsatz von Weierstraß, bewiesen 1876, beantwortet diese Frage. Ist $S\subset \mathbb {C}$ eine diskrete Teilmenge, und es sei eine Abbildung $m:S\to \mathbb {N}$ mit $s\mapsto m_{s}$ gegeben. Dann existiert eine ganze Funktion mit folgenden Eigenschaften:

• $S=N(f):=\{z\in \mathbb {C} \mid f(z)=0\}$
• $m_{s}=\mathrm {ord} (f;s)$ für alle $s\in S$.

Mit anderen Worten gibt es zu jeder diskreten Menge $S$ und jeder „Gewichtung“ der Punkte $s\in S$ durch natürliche Zahlen eine ganze Funktion $f$, die ihre Nullstellen genau an den Stellen $s\in S$ hat und deren Vielfachheit auch der entsprechenden Gewichtung entspricht.

Satz von Mittag-Leffler

→ Hauptartikel: Satz von Mittag-Leffler

Es sei $S\subset \mathbb {C}$ eine diskrete Menge. Der Satz von Mittag-Leffler garantiert die Existenz einer auf ganz $\mathbb {C} \setminus S$ holomorphen Funktion, die bestimmte Laurent-Entwicklungen an den Stellen $s\in S$ hat. Ist präzise zu jedem $s\in S$ eine ganze Funktion $h_{s}:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ vorgegeben mit $h_{s}(0)=0$, so gibt es eine holomorphe Funktion $f:\mathbb {C} \setminus S\to \mathbb {C}$, deren Hauptteil in $s\in S$ gegeben ist durch $h_{s}$, d.h.

$z\mapsto f(z)-h_{s}\left({\frac {1}{z-s}}\right)$

hat in $z=s$ eine hebbare Singularität. Ist $S$ endlich, so ist

$f(z)=\sum _{s\in S}h_{s}\left({\frac {1}{z-s}}\right)$

eine Lösung des Mittag-Leffler Problems. Für unendliche $S$ wird eine solche Reihe aber im Allgemeinen nicht mehr konvergieren. Ähnlich wie beim Produktsatz von Weierstraß kann hier aber mit konvergenzerzeugenden Summanden Konvergenz erzwungen werden.

Weitere Eigenschaften ganzer Funktionen

→ Hauptartikel: Ganze Funktion

Ordnung einer ganzen Funktion

Die Ordnung (im Sinne einer „Wachstumsordnung“) einer ganzen Funktion, falls existent, ist definiert durch die reelle Zahl $\alpha$ mit

$\alpha =\mathrm {inf} \{c\in \mathbb {R} \mid |f(z)|\ll \exp(|z|^{c})\}.$

Es gibt Funktionen endlicher Ordnung, die nicht verschwinden, zum Beispiel $e^{z},e^{-3z^{2}},...$ usw. In gewissem Sinne sind dies bereits die allgemeinsten Beispiele, denn hat $f$ keine Nullstelle, so ist $\log(f)$ wieder ganz und es gilt $\mathrm {Re} (\log(f(z)))\ll C|z|^{\alpha +\varepsilon }$ mit einem $\varepsilon >0$. Demnach ist jede ganze Funktion ohne Nullstelle und endlicher Ordnung bereits von der Form $e^{g}$ mit einem Polynom $g$.

Produktsatz von Hadamard

Der Produktsatz von Hadamard stellt eine Verschärfung des Produktsatzes von Weierstraß für den Fall ganzer Funktionen mit endlicher Ordnung $\alpha$ dar. Es bezeichnen $(z_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ die Nullstellen von $f$ in aufsteigender Betragsgröße sortiert. Man definiert $P_{1}\equiv 0$ und für $k>1$

$P_{k}(z)=z+{\frac {z^{2}}{2}}+\cdots +{\frac {z^{k-1}}{k-1}}.$

Ist nun $k$ die kleinste ganze Zahl mit $k>\alpha$, so gibt es ein Polynom $h$ vom Grade höchstens $\alpha$, so dass

$f(z)=z^{m}e^{h(z)}\prod \left(1-{\frac {z}{z_{n}}}\right)e^{P_{k}({\tfrac {z}{z_{n}}})}.$

Dabei ist $m$ die Nullstellenordnung von $f$ in 0. Das Produkt erstreckt sich im Falle endlich vieler Nullstellen nur über endlich viele Werte.

Approximation stetiger Funktionen

Die Reichhaltigkeit der Menge ${\mathcal {O}}({\mathcal {\mathbb {C} }})$ der ganzen Funktionen im Gegensatz zum Polynomring $\mathbb {C} [z]\subset {\mathcal {O}}({\mathcal {\mathbb {C} }})$ wird unter anderem durch folgenden Satz von Torsten Carleman aus dem Jahr 1927 deutlich: Sei $\varepsilon \colon \mathbb {R} \to (0,\infty )$ eine stetige Funktion („Fehlerfunktion“). Dann gibt es zu jeder stetigen Funktion $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ eine ganze Funktion $g$, so dass alle $x\in \mathbb {R}$ gilt

$|f(x)-g(x)|<\varepsilon (x).$

Im Gegensatz dazu reicht hier die Auswahl an Polynomen nicht aus. So ist in etwa die reelle Funktion $x\to \sin(x)$ keinesfalls auf ganz $\mathbb {R}$ durch Polynome mit Güte einer beliebigen Fehlerfunktion approximierbar. Nach einem Satz von Weierstraß ist dies jedoch auf kompakten Intervallen sehr wohl möglich.

Transzendente Funktionen

Rationale Stellen und transzendente Zahlen

Für den Fall endlicher Ordnung ist die Menge der rationalen Stellen, die zwei algebraisch unabhängige ganze Funktionen annehmen können, limitiert. Es bezeichnen $f_{1},...,f_{n}$ ganze Funktionen mit der Eigenschaft $|f(z)|\leq C^{|z|^{\alpha }}$ für ein $C>1$ (im englischen strict order $\alpha$). Dabei sind mindestens zwei hiervon algebraisch unabhängig (also gehen nicht durch die vier Grundrechenarten auseinander hervor). Zudem wird verlangt, dass der Ring $\mathbb {Q} [f_{1},...,f_{n}]$ bezüglich der Differentialoperators $\partial :={\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}$ ich sich selbst abbildet, es gibt also stets ein Polynom $P_{j}$ mit rationalen Koeffizienten, so dass

$\partial f_{j}=P_{j}(f_{1},...,f_{n}).$

Sind nun $w_{1},...,w_{N}$ paarweise verschiedene komplexe Zahlen mit $f_{j}(w_{\ell })\in \mathbb {Q}$ für $j=1,...,n$ und $\ell =1,...,N$, gilt bereits $N\leq 4\alpha$. Eine klassische Anwendung dieses Satzes betrifft den Ring $\mathbb {Q} [z,e^{z}]$, der unter $\partial$ abgeschlossen ist. Dann besagt der Satz, dass keiner der Werte $e^{w}$ mit ganzen Zahlen $w\not =0$ rational sein kann, da es sonst alle Werte $e^{w},e^{2w},e^{3w},...$ wären. Analoge Resultate existieren für den Fall algebraischer und nicht bloß rationaler Zahlen. Eine wichtige Anwendung dieser Theorie ist der Satz von Gelfond-Schneider.

Analytische Fortsetzung

→ Hauptartikel: Analytische Fortsetzung

Fortsetzung reeller Funktionen

Ist $f:I\to \mathbb {R}$ eine reelle Funktion auf einem echten Intervall $I=(a,b)$, so besitzt $f$ genau dann eine analytische Fortsetzung auf ein Gebiet $I\subset D$, falls $f$ reell-analytisch ist.

Eindeutigkeit der analytischen Fortsetzung

Sei $D\subset \mathbb {C}$ ein Gebiet, $M\subset D$ eine Menge mit mindestens einem Häufungspunkt in $D$ und $f\colon M\to \mathbb {C}$ eine Funktion. Wenn eine holomorphe Funktion ${\widetilde {f}}\colon D\to \mathbb {C}$ existiert, welche $f$ fortsetzt, d.h. ${\widetilde {f}}|_{M}=f$, so ist diese eindeutig bestimmt. Dieses Resultat ist eine einfache, aber sehr wichtige Folgerung des Identitässatzes für holomophe Funktionen. Ist zum Beispiel $M=\mathbb {R}$, $D=\mathbb {C}$ sowie $f(x)=e^{x}$, so besagt es, dass die Exponentialfunktion nur eine einzige Fortsetzung zu einer in ganz $\mathbb {C}$ holomorphen Funktion besitzt. Es gilt dann

${\widetilde {(e^{z})}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.$

Schwarzsches Spiegelungsprinzip

→ Hauptartikel: Schwarzsches Spiegelungsprinzip

Das Schwarzsche Spiegelungsprinzip erlaubt unter gewissen Symmetrievoraussetzungen eine analytische Fortsetzung. Sei $D\not =\emptyset$ ein zu $\mathbb {R}$ symmetrisches Gebiet, das heißt $z\in D\implies {\overline {z}}\in D$, und man setze

$D_{\pm }:=\{z\in D\mid \pm \mathrm {Im} (z)>0\}$, sowie $D_{0}:=D\cap \mathbb {R}$.

Dann gilt: Ist $f\colon D_{+}\cup D_{0}\to \mathbb {C}$ stetig, $f|_{D_{+}}\colon D_{+}\to \mathbb {C}$ holomorph und $f(D_{0})\subset \mathbb {R}$, dann ist die durch

${\widetilde {f}}(z):={\begin{cases}f(z),&\qquad z\in D_{+}\cup D_{0},\\{\overline {f({\overline {z}})}},&\qquad z\in D_{-}\end{cases}}$

definierte Funktion ${\widetilde {f}}\colon D\to \mathbb {C}$ holomorph. Dabei bezeichnet $z\mapsto {\overline {z}}$ die komplexe Konjugation.

Holomorphiegebiete

→ Hauptartikel: Holomorphiegebiet

Ein Gebiet $D$ heißt das Holomorphiegebiet einer in $D$ holomorphen Funktion $f$, wenn für jeden Punkt $c\in D$ die Konvergenzkreisscheibe der Taylorreihe von $f$ um $c$ in $D$ liegt. Dann folgt sofort: Ist $D$ das Holomorphiegebiet von $f$, so ist $D$ das „maximale Existenzgebiet“ von $f$, d.h. jedes Gebiet $D'\supseteq D$, in dem es eine Funktion ${\widehat {f}}\in {\mathcal {O}}(D')$ mit ${\widehat {f}}|_{D}=f$ gibt, stimmt mit $D$ überein. Es kann eine (auf einem Gebiet) holomorphe Funktion also niemals über ihr Holomorphiegebiet hinaus analytisch fortgesetzt werden. Im allgemeinen besagt Holomorphiegebiet aber mehr als maximales Existenzgebiet. Die geschlitzte Ebene $\mathbb {C} _{-}$ ist z.B. das maximale Existenzgebiet der dort holomorphen Funktionen $z\mapsto {\sqrt {z}}$ und $z\mapsto \log(z)$, jedoch nicht deren Holomorphiegebiet: die Taylor-Reihen von $z\mapsto {\sqrt {z}}$ und $z\mapsto \log(z)$ um $c\in \mathbb {C} _{-}$ haben $U_{|c|}(c)$ als Konvergenzkreis, und es gilt $U_{|c|}(c)\not \subset \mathbb {C} _{-}$, falls $\mathrm {Re} (c)<0$. Die Funktionen $z\mapsto {\sqrt {z}}$ und $z\mapsto \log(z)$ sind „von oben und unten“ in jedem Punkt auf der negativen reellen Achse holomorph fortsetzbar, alle Randpunkte in $\mathbb {C} _{-}$ sind aber „singulär“ für $z\mapsto {\sqrt {z}}$ und $z\to \log(z)$ in dem Sinne, dass keiner eine Umgebung $U$ mit einer Funktion $f\in {\mathcal {O}}(U)$ hat, die in $U\cap \mathbb {C} _{-}$ mit $z\mapsto {\sqrt {z}}$ bzw. $z\to \log(z)$ übereinstimmt.

Es sind die Gebiete $\mathbb {C}$, $\mathbb {C} ^{\times }$ bzw. $\mathbb {E}$ die Holomorphiegebiete der Funktionen $z\mapsto z$, $z\mapsto {\tfrac {1}{z}}$ bzw.

$z\mapsto \sum _{n=0}^{\infty }z^{2^{n}}$.

Der Existenzsatz für Holomorphiegebiete besagt, dass jedes Gebiet $D$ das Holomorphiegebiet irgendeiner dort holomorphen Funktion ist.

Biholomorphe Funktionen, schlichte Funktionen und innere Abbildungen

→ Hauptartikel: Biholomorphe Funktion

Eine Funktion, die holomorph, bijektiv und deren Umkehrfunktion holomorph ist, nennt man biholomorph. In der Literatur wird statt biholomorph gelegentlich auch der Begriff konform verwendet. Aus dem Satz über implizite Funktionen folgt für holomorphe Funktionen einer Veränderlicher schon, dass eine bijektive, holomorphe Funktion stets eine holomorphe Umkehrabbildung besitzt.

Auch im Fall mehrerer Veränderlicher garantiert der Satz von Osgood die Eigenschaft, dass Bijektivität und Holomorphie automatisch Holomorphie der Umkehrabbildung impliziert. Somit kann man sagen, dass bijektive, holomorphe Abbildung biholomorph sind.

Inverse Funktion

Ist $f\colon U\rightarrow \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion und gilt $f'(a)\not =0$ für ein $a\in U$, so ist $f$ dort lokal biholomorph. Das heißt, dass es eine Umgebung $a\in V\subset U$ gibt, so dass die Einschränkung $f|_{V}\colon V\rightarrow f(V)$ biholomorph ist. Zu beachten ist die Lokalität der Biholomorphie. So verschwindet die Ableitung der komplexen Exponentialfunktion – sie selbst – an keiner Stelle, jedoch ist sie nicht injektiv, da zum Beispiel $e^{0}=e^{2\pi i}=1$. Andersherum verschwindet die Ableitung einer injektiven holomorphen Funktion an keiner Stelle ihres Definitionsbereichs.

Für die Umkehrfunktion einer biholomorphen Funktion kann mittels des Residuensatzes eine lokal gültige Darstellung hergeleitet werden. Ist $D$ ein Gebiet, $f\colon D\rightarrow f(D)$ biholomorph und ${\overline {U_{r}(a)}}\subset D$ eine abgeschlossene Kreisscheibe, dann gilt für alle $w\in f(U_{r}(a))$ die Formel:

$f^{-1}(w)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial U_{r}(a)}{\frac {\zeta f'(\zeta )}{f(\zeta )-w}}\mathrm {d} \zeta .$

Dieser Ansatz kann verwendet werden, um Potenzreihen lokal umzukehren. Besitzt die biholomorphe Funktion $f$ – ohne Einschränkung der Allgemeinheit gelte $f(0)=0$ – um $0$ die lokale Entwicklung

$f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{n},$ mit $a_{1}=f'(0)\not =0$,

so geben Philip M. Morse und Herman Feshbach die folgende Reihe für die Umkehrfunktion an:

$f^{-1}(w)=\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}w^{k}$

mit

$b_{k}={\frac {1}{ka_{1}^{k}}}\sum _{\ell _{1},\ell _{2},\ell _{3}...\geq 0 \atop \ell _{1}+2\ell _{2}+3\ell _{3}+\cdots =k-1}(-1)^{\ell _{1}+\ell _{2}+\ell _{3}+\cdots }{\frac {k(k+1)\cdots (k-1+\ell _{1}+\ell _{2}+\cdots )}{\ell _{1}!\ell _{2}!\ell _{3}!\cdots }}\left({\frac {a_{2}}{a_{1}}}\right)^{\ell _{1}}\left({\frac {a_{3}}{a_{1}}}\right)^{\ell _{2}}\cdots .$

Dabei bezeichnet das Symbol $!$ die Fakultät. Die ersten Werte sind

$b_{1}={\frac {1}{a_{1}}}$, $b_{2}=-{\frac {a_{2}}{a_{1}^{3}}}$, $b_{3}={\frac {2a_{2}^{2}-a_{1}a_{3}}{a_{1}^{5}}}$ und $b_{4}={\frac {5a_{1}a_{2}a_{3}-a_{1}^{2}a_{4}-5a_{2}^{3}}{a_{1}^{7}}}$.

Riemannscher Abbildungssatz

→ Hauptartikel: Riemannscher Abbildungssatz

Eine Klassifikation aller Elementargebiete liefert der Riemannsche Abbildungssatz. Dieser sagt aus, dass zwischen zwei Elementargebieten, die beide nicht ganz $\mathbb {C}$ umfassen, stets eine biholomorphe Abbildung existiert. Somit ist jedes Elementargebiet, das nicht ganz $\mathbb {C}$ ist, zur Einheitskreisscheibe biholomorph äquivalent. Es gibt daher aus der Sicht analytischer Abbildungen nur „zwei Typen“ von Elementargebieten, nämlich $\mathbb {C}$ und $\mathbb {E}$. Es ist aber zu beachten, dass $\mathbb {C}$ und $\mathbb {E}$ als topologische Räume homöomorph sind über die nicht holomorphe Abbildung $h\colon \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {E}$ mit

$h(z)={\frac {z}{1+|z|}}.$

In einer Verallgemeinerung sagt der Riemannsche Abbildungssatz, dass jedes Elementargebiet in ${\overline {\mathbb {C} }}$ biholomorph äquivalent entweder zu $\mathbb {E}$, $\mathbb {C}$ oder ganz ${\overline {\mathbb {C} }}$ ist.

Theorem von Carathéodory

Über das sog. Fortsetzungslemma kann eine Randaussage von auf dem Einheitskreis definierten biholomorphen Funktionen $f\colon \mathbb {E} \to D$ in ein Gebiet $D$ getroffen werden. Es kann $f$ genau dann zu einer in ganz ${\overline {\mathbb {E} }}$ stetigen Funktion nach ${\overline {D}}$ fortgesetzt werden, wenn der Rand von $D$ ein geschlossener Weg ist, d.h. es gibt eine stetige Abbildung $\varphi \colon \partial \mathbb {E} \to \mathbb {C}$ mit $\varphi (\partial E)=\partial D$. Constantin Carathéodory konnte diese Aussage präzisieren: Es lässt sich $f$ zu einem Homöomorphismus von ${\overline {\mathbb {E} }}$ nach ${\overline {D}}$ fortsetzen, genau dann wenn $\partial D$ eine geschlossene Jordan-Kurve ist, also $\varphi$ den Rand von $\mathbb {E}$ homöomorph auf den Rand von $D$ abbildet.

Automorphismen

Bei Automorphismengruppen handelt es sich im Kontext holomorpher Funktionen um Kollektionen biholomorpher Selbstabbildungen. Für eine offene Menge $U\subset \mathbb {C}$ bezeichnet $\mathrm {Aut} (U)$ die Menge aller biholomorphen Abbildungen $f\colon U\rightarrow U$. Die Verknüpfung der Gruppe ist hierbei durch Verkettung gegeben. Beispielsweise enthält die Gruppe $\mathrm {Aut} (\mathbb {C} )$ als Elemente alle biholomorphen ganzen Funktionen.

Die Automorphismengruppe eines Gebietes $D$ enthält wichtige Informationen über dessen Funktionentheorie. So können zwei Gebiete nur dann biholomorph äquivalent sein, wenn ihre Automorphismengruppen isomorph sind.

Komplexe Zahlenebene

Jeder Automorphismus von $\mathbb {C}$ entspricht einer nicht konstanten affin linearen Abbildung, hat also die Form $f(z)=az+b$ mit $a\not =0$. Umgekehrt ist jede solche Funktion ein Automorphismus. Damit gilt

$\mathrm {Aut} (\mathbb {C} )=\{f(z)=az+b\mid a,b\in \mathbb {C} ,a\not =0\}.$

Der Beweis zur Klassifikation benutzt die Tatsache, dass jeder Automorphismus $f$ eine ganze Funktion sein muss, aber in $\infty$ keine wesentliche Singularität haben kann, da andernfalls nach dem Satz von Casorati-Weierstraß die Umkehrfunktion $f^{-1}$ nicht stetig in $0$ wäre (alternativ kann man mit dem großen Satz von Picard direkt zeigen, dass $f$ nicht injektiv sein kann). Somit besitzt $f$ einen Pol in $\infty$ und ist ein Polynom, welches Grad 1 haben muss, da jedes höhere Polynom nach dem Fundamentalsatz der Algebra als ganze Funktion nicht injektiv ist.

Gelochte Zahlenebene

Setzt man $\mathbb {C} ^{\times }:=\mathbb {C} \setminus \{0\}$, so gilt

$\mathrm {Aut} (\mathbb {C} ^{\times })=\{f(z)=az\mid a\in \mathbb {C} ^{\times }\}\cup \{f(z)=az^{-1}\mid a\in \mathbb {C} ^{\times }\}.$

Die Gruppe $\mathrm {Aut} (\mathbb {C} ^{\times })$ ist nicht abelsch: Sie zerfällt in zwei zu $\mathbb {C} ^{\times }$ isomorphe Zusammenhangskomponenten.

Einheitskreisscheibe

Die Automorphismengruppe der Einheitskreisscheibe hat die Gestalt

$\mathrm {Aut} (\mathbb {E} )=\left\{f(z)=\zeta {\frac {z-a}{1-{\overline {a}}z}}\mid |a|<1,|\zeta |=1\right\}.$

Betrachtet man die Untergruppe aller Abbildungen $f\in \mathrm {Aut} (\mathbb {E} )$ mit der Eigenschaft $f(0)=0$, so ergibt sich, dass diese genau von der Form $f(z)=\zeta z$ mit einem $|\zeta |=1$ sind. Es handelt sich also genau um alle Drehungen. Diese Aussage kann als Vorbereitung zur Bestimmung von ganz $\mathrm {Aut} (\mathbb {E} )$ dienen.

Gelochte Einheitskreisscheibe

Für $\mathbb {E} ^{\times }:=\mathbb {E} \setminus \{0\}$ gilt

$\mathrm {Aut} (\mathbb {E} ^{\times })=\{f(z)=az\mid |a|=1\}$.

Damit ist $\mathrm {Aut} (\mathbb {E} ^{\times })$ zur Kreisgruppe isomorph.

Obere Halbebene

Obwohl die obere Halbebene der komplexen Zahlen biholomorph äquivalent zur Einheitskreisscheibe ist, nämlich über die Abbildung $\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {E} ,z\mapsto {\frac {z-i}{z+i}}$, ist es von Interesse, ihre Automorphismengruppe separat anzugeben. Grund hierfür ist der Zusammenhang zur hyperbolischen Geometrie sowie zur Theorie der Modulfunktionen.

Die Automorphismengruppe ist

$\mathrm {Aut} (\mathbb {H} )=\left\{f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}\mid a,b,c,d\in \mathbb {R} ,ad-bc=1\right\}.$

Jedes $f\in \mathrm {Aut} (\mathbb {H} )$ korrespondiert also zu einer Matrix

$M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$

und für zwei $f,g\in \mathrm {Aut} (\mathbb {H} )$ gilt $f=g$ genau dann wenn für die zugehörigen Matrizen $M_{f}$ und $M_{g}$ gilt $M_{f}=\pm M_{g}$. Dabei bezeichnet $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ die spezielle lineare Gruppe der reellen $2\times 2$-Matrizen.. Ferner sind sogar die Gruppen $\mathrm {Aut} (\mathbb {H} )$ und $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )/\{\pm E_{2}\}$ zueinander isomorph vermöge $f\mapsto [M_{f}]$. Dabei bezeichnet $E_{2}$ die $2\times 2$-Einheitsmatrix.

Starre Gebiete

Bei starren Gebieten $D$ handelt es sich um Gebiete mit der Eigenschaft $\mathrm {Aut} (D)=\{\mathrm {id} \colon D\to D\}$. Die Gruppe der Automorphismen von $D$ ist also trivial. Beispiel eines starren Gebietes ist $\mathbb {E} \setminus \{0,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}}\}$.

Asymptotische Analysis holomorpher Funktionen

Definitionen und elementare Eigenschaften

Eine formale Potenzreihe $\Sigma \ a_{n}z^{n}$ heißt asymptotische Entwicklung einer holomorphen Funktion $f\colon D\to \mathbb {C}$ auf einem Gebiet mit $0\in \partial D$, falls für alle $k\in \mathbb {N} _{0}$ gilt

$\lim _{z\to 0 \atop z\in D}z^{-k}\left(f(z)-\sum _{n=0}^{k}a_{n}z^{n}\right)=0.$

Jedes solche $f$ hat höchstens eine asymptotische Entwicklung. Die Existenz einer asymptotischen Entwicklung hängt empfindlich von der Art des Gebietes ab. So besitzt die Funktion $f(z)=\exp({\tfrac {1}{z}})$ für $D=\mathbb {C} ^{\times }$ keine asymtptische Entwicklung, jedoch für jeden Kreissektor $D=S_{\varepsilon }:=\{z\in \mathbb {C} \mid {\tfrac {\pi }{2}}+\varepsilon <\angle z<{\tfrac {3\pi }{2}}-\varepsilon \}$, mit $0<\varepsilon <{\tfrac {\pi }{2}}.$ Hat $f\in {\mathcal {O}}(D)$ eine holomorphe Fortsetzung ${\widehat {f}}\in {\mathcal {O}}({\widehat {D}})$ in ein Gebiet ${\widehat {D}}$ mit $0\in {\widehat {D}}\supset D$, so entspricht die asymptotische Entwicklung der Funktion $f$ der Taylorentwicklung von ${\widehat {f}}$ um 0.

Existenz asymptotischer Entwicklungen

Folgendes Kriterium ist für die Existenz asymptotischer Entwicklungen hinreichend. Sei $D$ ein Gebiet mit $0\in \partial D$, so dass es zu jedem Punkt $z\in D$ eine Nullfolge $c_{\nu }$ gibt, mit der Eigenschaft dass jede Strecke $[c_{\nu },z]$ in $D$ liegt. Ist dann $f$ eine in $D$ holomorphe Funktion, für die alle Limiten $f^{(n)}(0):=\lim _{z\to 0}f^{(n)}(z)$ existieren, so hat $f$ die asymptotische Entwicklung

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}z^{n}.$

Zu beachten ist, dass die an $D$ gestellten Voraussetzungen für alle Kreissektoren um 0 erfüllt sind.

Satz von Ritt

Die Frage, welche Bedingungen Potenzreihen erfüllen müssen, um als asymptotische Entwicklung holomorpher Funktionen aufzutreten, hat für Kreissektoren um 0 eine einfache Antwort: es gibt keine solchen Bedingungen. Genauer gilt der Satz von Ritt: Ist $S$ ein echter Kreissektor um 0, so existiert zu jeder formalen Potenzreihe $\Sigma \ a_{n}z^{n}$ eine in $S$ holomorphe Funktion $f$, sodass gilt:

$f\sim _{S}\sum a_{\nu }z^{\nu }.$

Algebraische Eigenschaften

Der Ring ${\mathcal {O}}(D)$ mit Gebiet $D$

Durch komponentenweise Addition und Multiplikation wird die Menge ${\mathcal {O}}(D)$ zu einem kommutativen Ring mit 1 (nach Zulassen einer skalaren Multiplikation sogar zu einer $\mathbb {C}$-Algebra). Über den Identitätssatz für holomorphe Funktionen lässt sich zeigen, dass ${\mathcal {O}}(D)$ nullteilerfrei ist. Es ist der Körper der meromorphen Funktionen ${\mathcal {M}}(D)$ gerade der Quotientenkörper von ${\mathcal {O}}(D)$.

Aus idealtheoretischer Sicht sind die Ringe ${\mathcal {O}}(D)$ schwieriger zu behandeln als zum Beispiel $\mathbb {Z}$ oder $\mathbb {Z} [i]$. Definiert man zu einer unendlich mächtigen, aber lokal endlichen Menge $A\subset D$ zum Beispiel das Ideal

${\mathfrak {a}}:=\{f\in {\mathcal {O}}(D)\mid f\ {\text{verschwindet fast überall auf}}\ A\},$

so kann man folgern, dass ${\mathcal {O}}(D)$ nicht noethersch ist, also insbesondere niemals ein Hauptidealring. Aus dem Produktsatz für allgemeine Gebiete lässt sich sogar folgern, dass ${\mathcal {O}}(D)$ nicht faktoriell ist. Nichtsdestotrotz existieren gewisse Strukturen, in etwa kann nach dem Lemma von Wedderburn die 1 erzeugt werden: Sind $u,v$ zwei zueinander teilerfremde holomorphe Funktionen (d.h. es gibt keine Nicht-Einheit $\omega \in {\mathcal {O}}(D)$, so dass $u\omega ^{-1},v\omega ^{-1}\in {\mathcal {O}}(D)$), so gibt es $a,b\in {\mathcal {O}}(D)$ mit

$au+bv=1.$

Daraus kann gefolgert werden, dass zumindest jedes endlich erzeugte Ideal ${\mathfrak {b}}\subset {\mathcal {O}}(D)$ bereits ein Hauptideal ist. Nach dem Hauptsatz der Idealtheorie in ${\mathcal {O}}(D)$ sind für ein Ideal ${\mathfrak {b}}\subset {\mathcal {O}}(D)$ sogar folgende Aussagen äquivalent:

• ${\mathfrak {b}}$ ist endlich erzeugt.
• ${\mathfrak {b}}$ ist ein Hauptideal.
• ${\mathfrak {b}}$ ist abgeschlossen.

Dabei bedeutet Abgeschlossenheit, dass die Grenzfunktion jeder kompakt konvergenten Folge $f_{n}\in {\mathfrak {b}}$ wieder in ${\mathfrak {b}}$ liegt.

Die Sätze von Bers und Iss'sa

Der Satz von Bers charakterisiert alle $\mathbb {C}$-Algebren-Homomorphismen zwischen $\mathbb {C}$-Algebren auf Gebieten holomorpher Funktionen.

Es seien $D,{\widehat {D}}$ Gebiete. Dann besagt der Satz von Bers: Zu jedem $\mathbb {C}$-Algebra-Homomorphismus $\varphi \colon {\mathcal {O}}(D)\to {\mathcal {O}}({\widehat {D}})$ gibt es genau eine Abbildung $h\colon {\widehat {D}}\to D$, so dass $\varphi (f)=f\circ h$ für alle $f\in {\mathcal {O}}(D)$. Es gilt $h=\varphi (\mathrm {id} _{D})\in {\mathcal {O}}({\widehat {D}})$ und es ist $\varphi$ genau dann bijektiv, wenn $h$ biholomorph ist.

Es ist demnach $D$ biholomorph äquivalent zu ${\widehat {D}}$, genau dann wenn ${\mathcal {O}}(D)\cong {\mathcal {O}}({\widehat {D}})$ (als $\mathbb {C}$-Algebren). Zudem ist jeder $\mathbb {C}$-Algebra-Homomorphismus $\varphi \colon {\mathcal {O}}(D)\to {\mathcal {O}}({\widehat {D}})$ von selbst stetig in dem Sinne, dass wenn $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in {\mathcal {O}}(D)$ kompakt konvergiert, bereits $\varphi (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in {\mathcal {O}}({\widehat {D}})$ kompakt konvergiert.

Ausgeweitet wird dieses Resultat durch den Satz von Iss'sa, da hier sogar der Körper der in $D$ bzw. ${\widehat {D}}$ meromorphen Funktionen betrachtet wird. Ist also $\varphi \colon {\mathcal {M}}(D)\to {\mathcal {M}}({\widehat {D}})$ ein Homomorphismus von $\mathbb {C}$-Algebren, so gibt es ein $h\in {\mathcal {O}}({\widehat {D}})$, so dass stets $\varphi (f)=f\circ h$.

Anwendungen

Holomorphe Funktionen werden systematisch im Rahmen der mathematischen Disziplin Funktionentheorie untersucht. Sie kommen zudem im Umfeld der reellen Analysis, theoretischen Physik, algebraischen Geometrie, Darstellungstheorie (im Kontext zu Modulformen), Kombinatorik, transzendenten Zahlen und analytischen Zahlentheorie zum Einsatz.

Bedeutung für die Physik

In der theoretischen Physik treten holomorphe Funktionen unter anderem im Kontext zu Riemannschen Flächen auf. So spielt etwa der Raum aller holomorphen Funktionen von einer Riemannschen Fläche in eine $n$-dimensionale Calabi-Yau-Mannigfaltigkeit eine wichtige Rolle in Mirror Symmetry, die in der Stringtheorie Anwendung findet.

Anwendung in der Zahlentheorie

Dirichlet-Reihen

→ Hauptartikel: Dirichlet-Reihe

Wächst eine zahlentheoretische Funktion $a_{n}$ nicht zu schnell, also $a_{n}=O(n^{A})$ für eine reelle Konstante $A$, so wird für alle komplexen Werte $s$ mit $\mathrm {Re} (s)>A+1$ die Reihe

$F(s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}$

absolut konvergieren. Man bezeichnet diesen Typ Reihe auch als Dirichlet-Reihe. Es gibt dann eine Konstante $\sigma _{0}$, die Konvergenzabszisse, so dass die Reihe für alle Werte $\mathrm {Re} (s)>\sigma _{0}$ bedingt konvergiert und für $\mathrm {Re} (s)<\sigma _{0}$ divergiert. Es kann gezeigt werden, dass die Reihe auf kompakten Teilmengen gleichmäßig konvergiert, womit sie eine auf der Halbebene $\mathrm {Re} (s)>\sigma _{0}$ holomorphe Funktion ist.

Ähnlich wie Potenzreihen dienen Dirichlet-Reihen dazu, zahlentheoretische Funktionen zu untersuchen. Während Potenzreihen besonders in der additiven Zahlentheorie Anwendung finden, treten Dirichlet-Reihen vor allem in der multiplikativen Zahlentheorie auf. Ein wichtiges Beispiel ist die Riemannsche Zeta-Funktion

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},\qquad \mathrm {Re} (s)>1,$

die sogar auf ganz $\mathbb {C} \setminus \{1\}$ holomorph fortgesetzt werden kann. Durch ihre Verbindung zu den Primzahlen (siehe Euler-Produkt) spielt sie eine Schlüsselrolle in der analytischen Zahlentheorie. Aufgrund ihrer Holomorphie ist es möglich, exakte Informationen über Primzahlen aus ihrem Verhalten als Funktion, wie zum Beispiel der Verteilung ihrer Nullstellen, abzuleiten.

Modulformen und q-Reihen

Klassische Modulformen sind auf der oberen Halbebene $\{z\in \mathbb {C} \mid \mathrm {Im} (z)>0\}$ holomorphe Funktionen $f$, die bestimmte Transformationsgestze bezüglich Untergruppen $\Gamma \subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ endlichen Indexes erfüllen und ein „holomorphes Verhalten“ in den Randpunkten $\mathbb {Q} \cup \{i\infty \}$ aufweisen, zum Beispiel durch Besitz eine Fourier-Entwicklung der Form

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{\frac {n}{N}},\qquad q:=e^{2\pi iz},$ mit einer natürlichen Zahl $N$.

Die Bedingung der Holomorphie liefert dabei eine entscheidende Zutat für die Seltenheit von Modulformen, da sie im Beweis der Valenzformel (in Form des Null- und Polstellen zählenden Integrals) eingeht. Aus dieser kann gefolgert werden, dass der Raum aller Modulformen eines festen Gewichts $k\in \mathbb {Z}$ bezüglich einer Kongruenzuntergruppe stets endlichdimensional ist, was weitreichende Konsequenzen nach sich zieht.

Kreismethode

→ Hauptartikel: Kreismethode

Die Kreismethode gehört zu den wichtigsten Anwendungen holomorpher Funktionen in der Zahlentheorie. Ausgangspunkt ist eine Folge ganzer Zahlen $a_{n}$, die nicht zu schnell anwachsen, und deren Wachstumsverhalten man verstehen möchte. Betrachtet wird dann die Funktion

$F(q)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{n},$

wobei die Reihe für $|q|<1$ konvergieren, und für $|q|>1$ divergieren soll. Dies ist zum Beispiel dann der Fall, wenn die $a(n)$ mit polynomieller Geschwindigkeit wachsen oder bis auf Konstante kleiner als $e^{n^{\delta }}$ für ein $0<\delta <1$ sind. Über die Cauchysche Integralformel erhält man

$a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {F(q)}{q^{n+1}}}\mathrm {d} q,$

wenn der geschlossene Weg, etwa ein Kreis mit Radius $0<r<1$, die 0 einfach in mathematisch positiver Richtung umschließt. Dabei ist es üblich, den Radius der Integrationskurve in Abhängigkeit von $n$ zu wählen, also $r=r_{n}$, und $r_{n}\to 1$ für $n\to \infty$ mit richtiger Konvergenzgeschwindigkeit zu fordern. Ist die Folge $a_{n}$ positiv und monoton steigend, ist davon auszugehen, dass $F(q)$ in der Nähe von $q=1$ unendlich groß wird und dieses Wachstum das Verhalten an allen anderen Randpunkten dominiert. Daher sollte der Integrationsabschnitt in der Nähe von $q=1$ auch den ausschlaggebenden Beitrag für den Wert der $a_{n}$ liefern. Ein detailliertes Studium der Funktion $F(q)$ in der Nähe von $q=1$, aber auch ggf. anderer Randwerte, kann also zu einem Verständnis der $a_{n}$ führen.

Erstmals wurde die Kreismethode von Godfrey Harold Hardy und Srinivasa Ramanujan angewandt, um die Partitionsfunktion $p$ zu untersuchen. Ihnen gelang mit ihrer Hilfe die asymptotische Schätzung

$p(n)\sim {\frac {1}{4{\sqrt {3}}n}}\exp \left(\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}\right),\qquad n\to \infty .$

Als Ausgangspunkt diente die für alle $|q|<1$ gültige, von Leonhard Euler gefundene, Identität

$\sum _{n=0}^{\infty }p(n)q^{n}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-q^{n}}}.$

Hans Rademacher konnte mit ähnlichen Methoden sogar eine exakte Formel für $p(n)$ ableiten. Seine Methode nutzt die Modularität der Dedekindschen Etafunktion. Weitere Anwendungen liegen im Umfeld des Waringschen Problems und allgemein Lösungsanzahlen diophantischer Gleichungen.

Holomorphie als Bedingung in Taubersätzen

Taubersätze nutzen Eigenschaften von Potenz- oder Dirichlet-Reihen, um Aussagen über das Verhalten bestimmter Summen zu erhalten. Jedoch gelten diese oftmals nur unter technischen Bedingungen an die Funktion, die mit der zu untersuchenden Summe zusammenhängt. Holomorphie kann dabei helfen, die Bedingungen eines Taubersatzes zu erfüllen. Dies betrifft etwa einen Taubersatz von Donald Newman, der sich auf Dirichlet-Reihen bezieht: Ist

$F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},$ wobei $\mathrm {Re} (s)>1$,

mit $|a_{n}|\leq C$ für alle $n\in \mathbb {N}$; und lässt sich $F(s)$ holomorph auf die Gerade $\mathrm {Re} (s)=1$ fortsetzen, so gilt bereits

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n}}=F(1).$

Dieser Satz kann dazu verwendet werden, den Primzahlsatz mit einfachen funktionentheoretischen Methoden zu beweisen. Ähnliche Aussagen gelten unter abgeschwächten Bedingungen, also ohne Holomorphie auf dem Rand, wie beim Satz von Wiener-Ikehara, doch dieser ist aus analytischer Sicht schwerer zu beweisen.

Zu beachten ist, dass die analoge Aussage für Potenzreihen trivialerweise gilt. Ist also $z\mapsto \Sigma \ a_{n}z^{n}$ konvergent für $|z|<1$, und besitzt eine holomorphe Fortsetzung auf den Rand $\partial \mathbb {E}$, so ist $\Sigma \ a_{n}$ konvergent.

Komplexe Geometrie

Auch in der komplexen Geometrie werden holomorphe Abbildungen betrachtet. So kann man holomorphe Abbildungen zwischen Riemannschen Flächen oder zwischen komplexen Mannigfaltigkeiten analog zu differenzierbaren Funktionen zwischen glatten Mannigfaltigkeiten definieren. Außerdem gibt es ein für die Integrationstheorie wichtiges Pendant zu den glatten Differentialformen, das holomorphe Differentialform heißt.

Holomorphe Funktionen mehrerer Veränderlicher

Im n-dimensionalen komplexen Raum

Sei $D\subseteq \mathbb {C} ^{n}$ eine offene Teilmenge. Eine Abbildung $f\colon D\to \mathbb {C}$ heißt holomorph, falls sie sich um jeden Punkt des Definitionsbereichs in eine Potenzreihe entwickeln lässt, das heißt, zu jedem $w=(w_{1},\dotsc ,w_{n})\in D$ gibt es einen Polykreis $\Delta (w;r_{1},\dotsc ,r_{n})\subset D$, sodass

$f(z)=\sum _{k_{1},\dotsc ,k_{n}=0}^{\infty }a_{k_{1},\dotsc ,k_{n}}(z_{1}-w_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-w_{n})^{k_{n}}$

für alle $z\in \Delta (w;r_{1},\dotsc ,r_{n})$ mit von $z$ unabhängigen Koeffizienten $a_{k_{1},\dotsc ,k_{n}}\in \mathbb {C}$ gilt. Eine Funktion $f\colon D\to \mathbb {C}$ heißt holomorph in der $j$-ten Variablen, wenn sie als Funktion von $z_{j}$ bei festgehaltenen übrigen Variablen holomorph ist. Holomorphe Funktionen sind natürlich in jeder Variablen holomorph. Für die Umkehrung siehe die untenstehenden äquivalenten Charakterisierungen.

Mit dem Wirtinger-Kalkül $\textstyle {\frac {\partial }{\partial z^{j}}}$ und $\textstyle {\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}^{j}}}$ steht ein Kalkül zur Verfügung, mit dem man die partiellen Ableitungen einer komplexen Funktion wie bei Funktionen einer Veränderlichen behandeln kann.

Für eine Funktion $f\colon D\to \mathbb {C}$, $D\subseteq \mathbb {C} ^{n}$ offen, sind folgende Aussagen äquivalent:

• $f$ ist holomorph.
• $f$ ist stetig und holomorph in jeder Variablen (Lemma von Osgood)
• $f$ ist holomorph in jeder Variablen (Satz von Hartogs)
• $f$ ist stetig differenzierbar und genügt den cauchy-riemannschen Differentialgleichungen $\textstyle {\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}^{j}}}f=0$ für $j=1,\dotsc ,n$.

Für mehrere Dimensionen im Bildbereich definiert man Holomorphie wie folgt: Eine Abbildung $f=(f_{1},\dotsc ,f_{m})\colon D\to \mathbb {C} ^{m}$, $D\subseteq \mathbb {C} ^{n}$ offen, heißt holomorph, wenn jede der Teilfunktionen $f_{j}\colon D\to \mathbb {C}$ holomorph ist.

Viele Eigenschaften holomorpher Funktionen einer Veränderlichen lassen sich, teils in abgeschwächter Form, auf den Fall mehrerer Veränderlicher übertragen. So gilt für Funktionen $f\colon D\to \mathbb {C} ^{m}$ der cauchysche Integralsatz nicht und der Identitätssatz ist nur noch in einer abgeschwächten Version gültig. Für diese Funktionen kann allerdings die Integralformel von Cauchy durch Induktion auf $n$ Dimensionen verallgemeinert werden. Salomon Bochner konnte 1944 sogar noch eine Verallgemeinerung der $n$-dimensionalen cauchyschen Integralformel beweisen. Diese trägt den Namen Bochner-Martinelli-Formel.

Literatur

• Klaus Jänich: (Die ersten beiden Auflagen unterscheiden sich deutlich von den folgenden. Unter anderem fehlen ab der dritten Auflage die vier „Stern“-Kapitel zu Wirtinger-Kalkül, riemannschen Flächen, riemannschen Flächen eines holomorphen Keimes und algebraischen Funktionen.)

• Einführung in die Funktionentheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1980, ISBN 3-540-10032-6. 
• Funktionentheorie – Eine Einführung. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2004, ISBN 3-540-20392-3. 

• Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie – Komplexe Analysis in einer Veränderlichen. 8. Auflage. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-77247-6. 

• Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 3. Auflage. Springer, 2000, ISBN 3-540-67641-4. 

• Eberhard Freitag: Funktionentheorie 2. Riemann’sche Flächen; Mehrere komplexe Variable; Abel’sche Funktionen; Höhere Modulformen. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-87899-5. 

• Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1. 5. Auflage. Springer, Heidelberg 2002, ISBN 3-540-41855-5. 

• Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2. 3. Auflage. Springer, Heidelberg 2007, ISBN 978-3-540-40432-3. 

Einzelnachweise

Kategorie:Funktionentheorie