Benutzer:HJRAIDA/One-Way Wave Equation

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One-Way Wellengleichung

One-Way Wellengleichung vs. Two-Way Wellengleichung

Die Wellengleichung für longitudinale und transversale Wellen, die z. B. in der Akustik und der Seismik verwendet werden, basieren auf dem klassischen Kräfte-Gleichgewicht. Bei der bekannten Wellengleichung 2. Ordnung

${\ddot {s}}-c^{2}s''=0$ (mit ${\textstyle {\partial \over \partial t}s={\dot {s}};{\partial \over \partial x}s=s';...s=}$Auslenkung, ${\textstyle c=}$Wellengeschwindigkeit)

laufen zwei Wellen, eine in die Vorwärts- und eine Rückwärtsrichtung. Mathematisch gesehen handelt es sich bei dieser Gleichung um eine partielle Differentialgleichung (PDG) 2. Ordnung, die zwei Lösungen mit einer vorwärts und einer rückwärts laufenden Wellen aufweist. Daher stammt der Ausdruck "Two-Way" -Wellengleichung, insb. im seismischen Zusammenhang.

Bei der Wellengleichung 2. Ordnung ${\textstyle {\ddot {s}}-c^{2}s''=0}$ ist die Wellenrichtung nicht definiert. Dies führt zu Problemen in numerischen Rechnungen, denn wegen der Zweideutigkeit $c^{2}=(+c)^{2}=(-c)^{2}$ muss die relevante Wellenrichtung bei jedem Lösungsschritt wieder erneut festgelegt werden. Aufgrund der Mehrdeutigkeit beschreibt die Wellengleichung 2. Ordnung ein Stehwellenfeld.

Im folgenden werden One-Way Wellengleichungen für die eindimensionale und die dreidimensionale Wellenausbreitung hergeleitet. Wie man erkennt, ist bei den One-Way Wellengleichungen die Wellenrichtung klar defniert- ohne die o.g. Mehrdeutigkeit. Zudem erfüllen die unten aufgeführten One-Way Wellengleichungen das Lokalitätsaxiom: Die lokale Wellengeschwindigkeit beträgt stets ${\textstyle c(x)={\sqrt {E(x)/\rho (x)}}}$.

One-Way Wellengleichung (1D) hergeleitet über eine Faktorisierung

Eine einfache Faktorisierung der bekannten Two-Way Wellengleichung bzw. partiellen Differentialgleichung 2. Ordnung (PDG), die für die eindimensionale (1D) Wellenausbreitung gültig ist, in zwei PDGs 1. Ordnung, ist den Seismikern seit vielen Jahrzehnten bekannt  :

${\biggl (}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-c^{2}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}{\biggr )}s={\biggl (}{\partial \over \partial t}-c{\partial \over \partial x}{\biggr )}{\biggl (}{\partial \over \partial t}+c{\partial \over \partial x}{\biggr )}s=0$

Aus dieser Gleichung resultieren zwei One-Way Wellengleichungen für die Wellenausbreitung in einem homogenen Medium:

${\dot {s}}-cs'=0$ bzw. ${\dot {s}}+cs'=0$

Die beiden Gleichungen beschreiben Wellen, die sich jeweils in Vorwärts- bzw. Rückwärtsrichtung ausbreiten. Diese Wellengleichungen gelten jedoch nur für die eindimensionale (1D) Wellenausbreitung in einem homogenen Kontinuum. Die oben genutzte Faktorisierung ist keine Herleitung im physikalischen Sinne, sondern eine mathematische Zerlegung vergleichbar mit $(a^{2}-b^{2})=(a+b)(a-b)$.

One-Way Wellengleichung (1D) hergeleitet über die Impedanz

Ein homogenes Kontinuum mit Dichte $\rho$ [kg/m³] und Elastizitätsmodul $E$ [Pa] hat die longitudinale Wellengeschwindigkeit $c$ [m/s] und die spezifische Impedanz $z=\rho c$ [kg/m²s = sPa/m]

$c={\sqrt {E/\rho }}$

$z=\rho c={\sqrt {E\rho }}$

In einer longitudinalen ebenen Welle, beschreibt die Impedanz $z$ die lokale Proportionalität von Schalldruck $p=p(x,t)$ [Pa] und Schallschnelle $v=v(x,t)$ [m/s].

$z=p/v=\rho c$

Die Umwandlung der Impedanzgleichung ergibt

$\rho cv-p=0$

Diese Gleichung wird auch "Ohm’sches Akustik-Gesetz” genannt.

Eine longitudinale, ebene Welle mit der Kreisfrequenz $\omega$ [rad/s] besitzt die Auslenkung $s=s(x,t)$[m], die Schallschnelle $v$ und den Druck $p$. Es gilt

$p:=E{\partial s \over \partial x}=Es'=\rho c^{2}s'$ [Druck ist hier analog einer Spannung zu verstehen, ${\textstyle c(x)={\sqrt {E(x)/\rho (x)}}}$ --> $E=\rho c^{2}$ ]

$v={\partial s \over \partial t}={\dot {s}}$

Werden diese Gleichungen und die in obige Gleichung $\rho cv-p=0$ eingesetzt, resultiert eine Wellengleichung 1.Ordnung :

$\rho cv-p=0$ $\Leftrightarrow$ $\rho c{\dot {s}}-\rho c^{2}s'=0$

Es folgt nach Division durch $\rho c$:

${\dot {s}}-cs'=0$ mit der vorab wählbaren Wellenrichtung: $c=\{+c,-c\}$

One-Way Wellengleichung (3D) hergeleitet über die Impedanz

Die Herleitung basiert auf der skalaren One-Way Wellengleichung. Details der Herleitung sind in zu finden.

Für dreidimensionale (3D) Wellenausbreitung folgt die Tensor-Wellengleichung für ein inhomogenes Medium:

$\rho {\mathbf {c}}{\mathbf {\dot {s}}}-c\bigtriangledown (Es)=0$

Durch skalare Multiplikation mit ${\mathbf {c}}=c{\mathbf {t}}$wird die Tensor-Wellengleichung in eine Vektorgleichung umgewandelt:

$\rho c^{2}{\mathbf {\dot {s}}}-{\mathbf {c}}\cdot \bigtriangledown (E{\mathbf {s}})=0$

One-Way Wellengleichung (3D) hergeleitet über ein Impulsflussgleichgewicht

In diesem Abschnitt geht es um die Berechnung von semi-infinitiven homogenen 1D-Wellenleitern unter Verwendung eines hypothetischen, auf dem Impulsflussgleichgewicht basierenden Konzepts. Mit diesem Konzept ergibt sich ebenfalls als One-Way Wellengleichung eine Differentialgleichung 1. Ordnung mit einer definierten Lösung (für eine Ausbreitungsrichtung).

Für eine deviatorische Verformung ist der Spannungstensor ${\textstyle {\mathbf {T}}}$ (= deviator) mit $div{\mathbf {T}}\equiv 0$ spurlos und gibt keine Lösung.

Aufgrund dieser Tatsache und ausgehend von der Impulseinheit Huygens [H = mkg / s], die von der Karlsruher KPK-Schule eingeführt wurde, wurde in den Arbeiten das hypothetische Gleichgewicht aufgestellt von

kinetischem Impulsfluß $\rho c{\dot {s}}$ [H/sm²] und dem

potentiellen Impulsfluss ${\textstyle {\mathbf {T}}=E\bigtriangledown {\mathbf {s}}}$ [H/sm²] 

Dadurch folgt die Tensor-Wellengleichung

${\textstyle \rho {\mathbf {c}}{\mathbf {\dot {s}}}-{\mathbf {T}}=0}$

bzw. nach Einsetzen von ${\textstyle {\mathbf {T}}=E\bigtriangledown {\mathbf {s}}}$ ergibt sich

${\textstyle \rho {\mathbf {c}}{\mathbf {\dot {s}}}-E\bigtriangledown {\mathbf {s}}=0}$

Die Tensor-Wellengleichung ergibt (nach wenigen Schritten) für den longitudinalen eindimensionale Fall wiederum die sklare Wellengleichung 1. Ordnung mit der definierten Wellenausbreitungsrichtung $c=\{+c,-c\}$ und der Kreisfrequenz ω [rad / s]:

${\dot {s}}-cs'=0$