Benutzer:Modalanalytiker/Entwurf

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Entwurf zum Abschnitt 3 des Artikels Spannungsabfall

Spannungsabfall an Leitungen der Stromversorgung

Am Anfang und Ende einer mit Wechselstrom belasteten Leitung misst man, bedingt durch ihren Wechselstromwiderstand, verschiedene Spannungen. Die Differenz ihrer Effektivwerte wird als Spannungsabfall der Leitung bezeichnet. An kapazitiven Verbrauchern kann sich eine höhere Spannung als am Leitungsanfang einstellen. Der Spannungsabfall ergibt sich in diesem untypischen Fall negativ. Der Spannungsabfall soll im Bereich der elektrischen Energietechnik an Leitungen und deren Verbindungsstellen in Grenzen gehalten werden, damit die Betriebsspannung der Betriebsmittel ausreichend hoch bleibt und die Verluste in vertretbaren Grenzen gehalten werden. Ein höherer Spannungsabfall ist zulässig beim Starten von Motoren und für andere Betriebsmittel mit hohen Einschaltströmen, vorausgesetzt, dass sich in allen Fällen die Spannungsschwankungen innerhalb der für das Betriebsmittel zulässigen Grenzen bewegen.

Leitungsmodell

Impedanz der Leitung

Leitungen im Niederspannungsnetz. a Zweiadrige Wechselstromleitung, b Drehstromleitung bei symmetrischer Belastung

Im nebenstehenden Schema ist für die kurze zweiadrige Wechselstromleitung a und die kurze Drehstromleitung bei symmetrischer Belastung b der Wechselstromwiderstand (Impedanz) jeweils durch

${\underline {Z}}={\frac {{\underline {U}}_{1}-{\underline {U}}_{2}}{\underline {I}}}$

bestimmt. Die Beträge der komplexen Größen ${\underline {U}}_{1},{\underline {U}}_{2}$ und ${\underline {I}}$ sind Effektivwerte. Die Impedanz ${\underline {Z}}=R+\mathrm {j} X$ erfasst den ohmschen Widerstand und den Blindwiderstand (Reaktanz) der Leitung. Die hier betrachteten kurzen Leitungen verhalten sich ohmsch-induktiv. Ihr Kapazitätsbelag und Ableitungsbelag sind vernachlässigbar. Bei der zweiadigen Leitung tragen Hin- und Rückleiter zur Impedanz bei, bei der Drehstromleitung nur ein Außenleiter. Im Bildteil b bezeichnet ${\underline {a}}=\mathrm {e} ^{\mathrm {j} {\frac {2\pi }{3}}}$ einen Drehoperator, der es erlaubt, die Leiterströme durch eine Bezugsstromstärke auszudrücken. Hier ist das ${\underline {I}}$ im Außenleiter $\mathrm {L1}$.

Modellgleichungen und exakter Spannungsabfall

Spannungen infolge eines Spannungs­abfalls an einer Leitung. Die Leitung ist ohmsch-induktiv vorausgesetzt.

An der Leitung mit der Impedanz ${\underline {Z}}=R+\mathrm {j} X$ mit $X>0$ (siehe Zeigerbild) fällt bei der Stromstärke ${\underline {I}}$ die Spannung ${\underline {U}}_{Z}$ ab und an der Last die Spannung ${\underline {U}}_{2}$. Das Zeigerbild veranschaulicht die gültigen Gleichungen

${\underline {U}}_{Z}={\underline {Z}}\,{\underline {I}}={\underline {U}}_{R}+{\underline {U}}_{X}={\underline {U}}_{1}-{\underline {U}}_{2}$

mit

${\underline {U}}_{R}=R{\underline {I}}$ und ${\underline {U}}_{X}=\mathrm {j} X{\underline {I}}$.

Für den exakten Spannungsabfall an der Leitung gilt damit

$\Delta U=|{\underline {U}}_{1}|-|{\underline {U}}_{2}|=U_{1}-U_{2}=|{\underline {U}}_{2}+{\underline {Z}}{\underline {I}}|-U_{2}$.

Genäherter Spannungsabfall

Im Zeigerbild ist die Spannung an der Last ${\underline {U}}_{2}$ ohne Beschränkung der Allgemeingültigkeit in Richtung der reellen Achse gelegt. Die Zeiger ${\underline {U}}_{\mathrm {L} }$ und ${\underline {U}}_{\mathrm {Q} }$ zerlegen den komplexwertigen Spannungabfall ${\underline {U}}_{Z}$ gemäß ${\underline {U}}_{Z}={\underline {U}}_{\mathrm {L} }+{\underline {U}}_{\mathrm {Q} }$ mit ${\underline {U}}_{\mathrm {L} }=U_{\mathrm {L} }$ und ${\underline {U}}_{\mathrm {Q} }=\mathrm {j} U_{\mathrm {Q} }$ in eine Komponente in Richtung von ${\underline {U}}_{2}$ und eine dazu normal verlaufende. $U_{\mathrm {L} }$ und $U_{\mathrm {Q} }$ werden als Längsspannungsabfall bzw. Querspannungsabfall bezeichnet. Das Zeigerbild veranschaulicht, dass $U_{\mathrm {L} }=\operatorname {Re} {\underline {U}}_{Z}$ als Näherung für $\Delta U$ verwendet werden kann. Somit gilt

$\Delta U\approx \operatorname {Re} {\underline {U}}_{Z}=U_{L}$.

Da die Lastspannung ${\underline {U}}_{2}=U_{2}$ reell angesetzt ist, gilt für die Stromstärke ${\underline {I}}=I\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} \varphi }$. Zerlegt man ${\underline {U}}_{Z}=(R+\mathrm {j} X)I\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} \varphi }$ unter Verwendung der eulerschen Formel   $e^{\mathrm {j} \alpha }=\cos \alpha +\mathrm {j} \sin \alpha$   nach Ausmultiplizieren in Real- und Imaginärteil, so erhält man den Längsspannungsabfall an der Leitung als Realteil

$U_{\mathrm {L} }=\operatorname {Re} {\underline {U}}_{Z}=(R\cos \varphi +X\sin \varphi )I$,

woraus sich die unten behandelte, in DIN VDE genormte Formel ergibt. $U_{\mathrm {L} }$ ist eine vorzeichenbehaftete reelle Größe, ihr Effektivwert ergibt sich als deren Betrag. Anschaulich lasst sich der Längsspannungsabfall $U_{\mathrm {L} }$ unter Beachtung seines Vorzeichens aus den Längen der waagerechten Katheten der farblich hinterlegten Dreiecke zusammensetzen.

Bei einer ohmsch-induktiven Last gilt stets $U_{2}<U_{1}$. Bei einer ohmsch-kapazitiven Last kann $U_{2}>U_{1}$ auftreten. Der "Spannungsabfall" ist dann negativ und beziffert einen Spannungsanstieg.

Querspannung

Die bei der Zerlegung des Spannungsabfalls ${\underline {U}}_{Z}={\underline {Z}}\,{\underline {I}}$ auf ähnliche Weise wie die Längsspannung anfallende Querspannung

$U_{\mathrm {Q} }=\operatorname {Im} {\underline {U}}_{Z}=(X\cos \varphi -R\sin \varphi )I$

erlaubt, den Spannungsabfall an der Leitung

$\Delta U={\sqrt {(U_{2}+U_{L})^{2}+U_{Q}^{2}}}-U_{2}$

auch ohne Anwendung der komplexen Algebra exakt zu bestimmen.

Formel nach DIN VDE für Niederspannungsnetze

Gemäß DIN VDE 0100–520:2012–06 Anhang G kann der Spannungsfall im Bereich von Niederspannungsnetzen in elektrischen Leitungen für praktische Anwendungen unter Vernachlässigung des Querspannungsabfalles nach der oben hergeleiteten Formel als Längsspannungsabfall

$U_{\mathrm {L} }=l\,b\left({\frac {\rho }{A}}\cos \varphi +X'\sin \varphi \right)I$

berechnet werden. Dabei sind

• $U_{\mathrm {L} }$ … Längsspannungsabfall an der Leitung ($|U_{\mathrm {L} }|$ ist Effektivwert.)
• $l$  … Gerade Länge der Kabel- und Leitungsanlage
• $b$ … Koeffizient:

$b=1$ bei dreiphasigen Drehstromkreisen mit symmetrischer Belastung. $U_{\mathrm {L} }$ ist der Abfall der Spannung zwischen Außen- und Neutralleiter (gleich Außenleiterspannung$/{\sqrt {3}}$).

$b=2$ bei einphasigen Wechselstromkreisen (Hin- und Rückleitung)

Anmerkung: Dreiphasige Stromkreise, die vollkommen unsymmetrisch belastet werden (nur ein Außenleiter belastet sowie der Neutralleiter), verhalten sich wie einphasige Stromkreise. Bei der üblicherweise symmetrischen Belastung (alle drei Außenleiter gleich belastet) fließt kein Leiterstrom im Neutralleiter, daher gibt es dort keinen Spannungsfall.

• $\rho$   …  Spezifischer elektrischer Widerstand der Leiter im ungestörten Betrieb.

Dabei wird als spezifischer elektrischer Widerstand der Wert für die im ungestörten Betrieb vorhandene Temperatur genommen oder 1,25-mal der spezifische elektrische Widerstand bei 20 °C, oder 0,0225 Ω·mm²/m für Kupfer und 0,036 Ω·mm²/m für Aluminium.

• $A$   …  Querschnitt der Leiter
• $\varphi$   …  Phasenverschiebungswinkel der Last,

falls nicht bekannt, wird induktive Last mit $\cos \varphi =0{,}8$ und entsprechend $\sin \varphi =0{,}6$ angenommen.

• $X'$ … Belag der Leitung mit Blindwiderstand; falls nicht bekannt, wird ein Wert von 0,08 mΩ/m angenommen.
• $I$   … Stromstärke im Leiter (Effektivwert)

Der relative Spannungsfall bezogen auf die Netzspannung ${U_{1}}$ ergibt sich zu:

${\frac {U_{\mathrm {L} }}{U_{1}}}={\frac {U_{\mathrm {L} }}{U_{1}}}100\,\%$.

Anmerkung: In Kleinspannungsstromkreisen müssen die Grenzwerte für den Spannungsfall nur bei Stromkreisen für Leuchten (nicht z. B. für Klingel, Steuerung, Türöffner) eingehalten werden (vorausgesetzt, dass die ordnungsgemäße Funktion dieser Betriebsmittel überprüft wird).

Grenzwerte in Deutschland

• In Deutschland darf nach der Niederspannungsanschlussverordnung § 13 Absatz (4), früher der AVBEltV, der Spannungsfall zwischen dem Hausanschlusskasten und dem Stromzähler nicht mehr als 0,5 % betragen.
• Nach TAB 2007 soll der Spannungsfall zwischen dem Hausanschluss und dem Zähler folgende Werte nicht überschreiten:

bis 100 kVA	0,5 %
100–250 kVA	1,0 %
250–400 kVA	1,25 %
über 400 kVA	1,5 %

• Nach DIN VDE 0100-520 sollte gemäß Tabelle G.52.1 der Spannungsfall in Verbraucheranlagen zwischen dem Hausanschluss und Verbrauchsmitteln (Steckdosen oder Geräteanschlussklemmen) nicht mehr als 3 % für Beleuchtungsanlagen und 5 % für andere elektrische Verbrauchsmittel betragen.
• Nach DIN 18015 Teil 1 soll der Spannungsfall zwischen dem Zähler und den Steckdosen oder Geräteanschlussklemmen nicht mehr als 3 % betragen.
• Nach IGVW SQP4 soll der Spannungsfall in der Veranstaltungstechnik zwischen Übergabepunkt (i. d. R. Steckdose) und am weitesten entfernten Betriebsmittel nicht über 5 % liegen.

Als Grundlage gilt die Netzspannung, die nach DIN IEC 38 für Europa auf 230/400 V festgelegt ist, sowie die Nennstromstärke der Überstromschutzeinrichtungen, beispielsweise 63 A oder 16 A.