Benutzer:Qcomp/Quantum speed limit

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Das Quantenspeedlimit ist (Quantenhöchstgeschwindigkeit, Quantengeschwindigkeitsgrenze, -begrenzung, Quanten-Speedlimit?) eine Begrenzung dafür, wie schnell sich ein Quantensystem aus einem gegebenen Zustand in einen davon unterscheidbaren (orthogonalen) Zustand entwickeln kann. Das Quantenspeedlimit gibt eine untere Schranke für die mindestens dafür nötige Zeit an. Diese Schranke hängt von Erwartungswert und Standardabweichung der Energie der beteiligten Zustände ab. Das Quantenspeedlimit ist eng mit der Energie-Zeit-Unschärferelation verbunden.

Im Jahr 1945 leiteten Leonid Mandelstam und Igor Tamm eine Zeit-Energie-Unschärferelation ab, die die Evolutionsgeschwindigkeit durch die Energiedispersion begrenzt. Mehr als ein halbes Jahrhundert später zeigten Norman Margolus und Lev Levitin, dass die Evolutionsgeschwindigkeit auch durch die mittlere Energie beschränkt ist, ein Ergebnis, das als Margolus-Levitin-Theorem bekannt ist. Welche der beiden Schrenken die strengere und damit die bestimmende ist, hängt vom Zustand des betrachteten Systems ab. Beide Schranken wurden später für offene Quantensysteme und für bestimmte Systeme der klassischen Physik verallgemeinert.

Die durch Quantenspeedlimits gegebenen Schranken finden unter anderem in der Quantenkontrolltheorie, in der Quanteninformatik und der Quantenthermodynamik Anwendung und wurden verwendet, um die Grenzen der Berechnung im Universum abzuschätzen.

Mandelstam-Tamm Limit

Zur Definition einer Geschwindigkeit auf dem Raum der Dichtmatrizen ist zunächst ein Abstandsmaß auf diesem Raum nötig. Hierzu wird die Bures-Metrik $D_{B}$ verwendet, die über den Abstand $ds^{2}$ zwischen einem gemischten Zustand $\rho$ mit Dichtematrix $\rho =\sum _{j}p_{j}|j\rangle \langle j|$ und der infinitesimal benachbarten Dichtematrix $\rho +d\rho$ definiert ist als

$$ds(\rho ,\rho +d\rho )^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{jk}{\frac {|\langle j|d\rho |k\rangle |^{2}}{p_{j}+p_{k}}}.$$

Falls ein Quantensystem unter einem zeitabhängigen Hamiltonian $H(t)$ evolviert, dann ist seine (in der Bures-Metrik gemessene) Geschwindigkeit zur Zeit $t$ nach oben beschränkt durch

$$ds\leq {\frac {\sigma _{H}(t)}{\hbar }}dt,$$

wobei $\sigma _{H}(t)$ die Energieunschärfe zur Zeit $t$ ist.

Daraus ergeben sich zwei Korollare:

• Für die Zeit $\tau$, die benötigt wird, um unter der Einwirkung von $H$ den Zustand $\rho$ nach $\rho '$ zu transformieren, gilt $\tau \geq {\frac {\hbar }{{\bar {\sigma }}_{H}}}D_{B}(\rho ,\rho ')$, wobei ${\bar {\sigma }}_{H}:={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }\sigma _{H}(t)dt$ die zeitgemittelte Unschärfe der Energie ist. Eine von Anfangszustand und Zeitentwicklung unabhängige Schranke ergibt sich, für Hamiltonians mit nach oben und unten beschränktem Spektrum: Wenn $h_{+}\geq H(t)\geq h_{-}$ ist, dann gilt $\sigma _{H}(t)\leq |h_{+}-h_{-}|/2$ und damit folgt $\tau \geq {\frac {2\hbar }{|h_{+}-h_{-}|}}D_{B}(\rho ,\rho ')$.
• Die Zeit, die benötigt wird, um aus einem reinen Zustand in einen dazu orthogonalen reinen Zustand zu transformieren, ist $\tau \geq {\frac {\pi }{2}}{\frac {\hbar }{{\bar {\sigma }}_{H}}}$.

wohin gehört dieser EN?

Margolus-Levitin Limit

Die 1995 von Margolus und Levitin abgeleitete Schranke limitiert die Geschwindigkeit von Operationen in Abhängigkeit von der mittleren Energie des Systems. Diese Schranke ist unabhängig von der von Mandelstam und Tamm und kann —da die Energieunschärfe für gegebene mittlere Energie sowohl beliebig groß als auch beliebig klein sein kann— je nach betrachtetem System und Zustand eine strengere oder schwächere Schranke als diese liefern.

Für ein System mit diskreten Energieniveaus und nach unten beschränktem Spektrum im Zustand $|\psi \rangle$ gilt für die Zeit $\tau _{\perp }$, die nötig ist um in einen zum Anfangszustand orthogonalen Zustand überzugehen, dass

$\tau _{\perp }\geq {\frac {h}{4E}},$

wobei $E$ die mittlere Energie über der Grundzustandsenergie $E_{0}$ des Systems ist (also $E=\langle \psi |{\hat {H}}|\psi \rangle -E_{0}$ mit dem Systemhamiltonian ${\hat {H}}$).

Wenn die Energie des Systems auch nach oben beschränkt ist ($E_{\text{max}}\geq {\hat {H}}\geq E_{0}$), dann ergibt sich einer weitere Schranke: $\tau _{\perp }$ ist dann auch durch die mittlere Energie unterhalb des Maximalwerts beschränkt:

$\tau _{\perp }\geq {\frac {h}{4(E_{\text{max}}-E)}}.$

Verallgemeinerungen

Speed Limits für Offene Quantensysteme

Physikalische Systeme, die mit einer Umgebung in Kontakt stehen, werden als offene Quantensysteme bezeichnet, und ihre Entwicklung unterliegt ebenfalls dem QSL. Bemerkenswerterweise konnte gezeigt werden, dass Umgebungseffekte, wie z. B. eine nicht-markovsche Dynamik, Quantenprozesse beschleunigen können, was in einem Hohlraum-QED-Experiment verifiziert wurde.

Klassische Systeme

Im Jahr 2018 wurde gezeigt, dass QSL nicht auf den Quantenbereich beschränkt sind und dass ähnliche Grenzen auch in klassischen Systemen gelten. Angeregt durch das Quantenspeedlimit für offene Systeme wurde die Idee auch auf klassisch-mechanische Systeme übertragen, deren Dynamik durch eine Liouville-Gleichung beschrieben wird. Für $N$ Freiheitsgrade kann der Raum der Verteilungen auf dem Phasenraum als Hilbertraum angesehen werden. Für ein System im Zustand $\rho$ und mit einen Liouville-Operator ${\hat {L}}$ gilt für die Zeit $\tau$, die nötig ist, damit sich das System in einen Zustand $\rho (\tau )$ entwickelt:

$\tau \geq \tau _{\mathrm {CSL} }={\sqrt {\frac {2[\langle \rho |\rho \rangle -\langle \rho |\rho (\tau )\rangle ]}{\langle \rho |{\hat {L}}^{2}|\rho \rangle }}}$,

d. h., die benötigte Zeit [???]. Spezialisiert man aber auf den Fall eines einzelnen punktförmigen Teilchens mit bekannten Phasenraumkoordinaten, (d. h., $\rho$ entspricht einer Deltafunktion), dann verschwindet die Untergrenze. In ähnlicher Weise können auch Madelstam-Tamm-artige Schranken abgeleitet werden, woraus sich in diesem Fall eine strengere Schranke ergibt.
Diese Überlegungen zeigen, dass das "Quantenspeedlimit" kein Quanteneffekt ist, der mit der Nicht-Vertauschbarkeit in der Quantenmechanik zu tun hat, sondern eine Eigenschaft aller Systeme, deren Dynamik durch einen hermiteschen Operator generiert wird.[dagegen aber Deffner/Lutz: „the existence of a speed limit time is a purely quantum effect which vanishes when $\hbar$ goes to zero“]

Andere Abstandsmaße

Für die Ableitung des QSL ist es wichtig, welches Abstandsmaß auf dem Raum der Zustände gewählt wird. Von einer allgemeineren Perspektive wurde gezeigt, dass die Grenzen durch die Schatten-p-Normen des Generators der Zeitentwicklung bestimmt werden.

Anwendungen

(unfertig)

• Lieb-Robinson Schranke Matthew Francis: A quantum speed limit: how fast does quantum information flow through a lattice? In: Ars Technica. 25. Januar 2012, abgerufen am 13. November 2023 (englisch). </ref> PM MPQ
• Wie schnell erfolgt der Kollaps der Wellenfunktion? spektrum.de,
• Laserpulse, TU Wien
• Grenzen der Berechnung: alle Rechengeräte sind aus Materie aufgebaut, die den Gesetzen der Quantenmechanik gehorcht. Jede Rechenoperation muss, wenn sie ein eindeutges (klassisches) Ergebnis haben soll, den Übergang des Systems von einem Zustand in einen dazu orthogonalen beinhalten. Angenommen, das Rechengerät ist ein physikalisches System, dessen Zeitentwicklung durch einen zeitunabhängigen Hamiltonoperator generiert wird. Dannn impliziert die Margolus-Levitin-Schranke, dass die Zahl der Operationen pro Zeit und Energie, der Ungleichung

$${\frac {1/\delta t_{\perp }}{E}}\leq {\frac {1}{\hbar {\frac {\pi }{2}}}}=6\times 10^{33}\mathrm {s} ^{-1}\cdot \mathrm {J} ^{-1}.$$

genügen. Das heißt, die Verarbeitungsrate von jeder denkbaren Form der Rechnung kann nicht größer sein als um die $6\times 10^{33}$ Operationen pro Sekunde und pro [[Joule]. Dies gilt auch für „klassische“ Computer, da auch diese aus Bestandteilen gebaut sind, die der Quentenphysik unterliegen.

Experiment

Im Jahr 2021 wurden sowohl die Mandelstam-Tamm- als auch die Margolus-Levitin-QSL-Grenzen gleichzeitig in einem einzigen Experiment getestet,[13] was darauf hindeutet, dass es "zwei verschiedene Regime gibt: eines, in dem die Mandelstam-Tamm-Grenze die Entwicklung zu allen Zeiten einschränkt, und ein zweites, in dem ein Übergang zur Margolus-Levitin-Grenze bei längeren Zeiten stattfindet."

Literatur

• Sebastian Deffner, Steve Campbell: Quantum speed limits: from Heisenberg's uncertainty principle to optimal quantum control. In: New Journal of Physics. Band 24, 2022, arxiv:1705.08023 (englisch, iop.org). 
• M. R. Frey: Quantum speed limits—primer, perspectives, and potential future directions. In: Quantum Inf Process. Band 15, 2016, S. 3919–3950, doi:10.1007/s11128-016-1405-x. 

English Predecessor

Introduction

In quantum mechanics, a quantum speed limit (QSL) is a limitation on the minimum time for a quantum system to evolve between two distinguishable states. QSL are closely related to time-energy uncertainty relations. In 1945, Leonid Mandelstam and Igor Tamm derived a time-energy uncertainty relation that bounds the speed of evolution in terms of the energy dispersion. Over half a century later, Norman Margolus and Lev Levitin showed that the speed of evolution cannot exceed the mean energy, a result known as the Margolus–Levitin theorem. Realistic physical systems in contact with an environment are known as open quantum systems and their evolution is also subject to QSL. Quite remarkably it was shown that environmental effects, such as non-Markovian dynamics can speed up quantum processes, which was verified in a cavity QED experiment.

QSL have been used to explore the limits of computation and complexity. In 2017, QSLs were studied in a quantum oscillator at high temperature. In 2018, it was shown that QSL are not restricted to the quantum domain and that similar bounds hold in classical systems. In 2021, both the Mandelstam-Tamm and the Margolus-Levitin QSL bounds were concurrently tested in a single experiment which indicated there are "two different regimes: one where the Mandelstam-Tamm limit constrains the evolution at all times, and a second where a crossover to the Margolus-Levitin limit occurs at longer times."

Mandelstam-Tamm limit

Let $ds^{2}$ be the Bures metric, defined by

$$ds(\rho ,\rho +d\rho )^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{jk}{\frac {|<j|d\rho |k>|^{2}}{p_{j}+p_{k}}}$$

If a quantum system is evolving under a time-dependent Hamiltonian $H$, then its velocity according to Bures metric is upper bounded by

$$ds\leq {\frac {\sigma _{H}(t)}{\hbar }}dt$$

where $\sigma _{H}(t)$ is the uncertainty in energy at time $t$.

Two corollaries:

• The time taken to evolve from $\rho$ to $\rho '$ is $\tau \geq {\frac {\hbar }{{\bar {\sigma }}_{H}}}dist(\rho ,\rho ')$, where is ${\bar {\sigma }}_{H}:={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }\sigma _{H}(t)dt$ the time-averaged uncertainty in energy.
• The time taken to evolve from one pure state to another pure state orthogonal to it is $\tau \geq {\frac {\pi }{2}}{\frac {\hbar }{{\bar {\sigma }}_{H}}}$.

Einzelnachweise

Kategorie:Quantenmechanik