Diskussion:Arithmetisches Mittel

Einleitung

Die Definition im Artikel erfolgt nur über eine Formel. Das sagt aber noch nichts über die Logik die dahinter steckt. Wäre es nicht sinnvoll wenigstens diese oder eine ähnliche Erklärung drin zu lassen:

• Das arithmetische Mittel hat die kleinste aufsummierte Abweichung zu allen gemittelten Einzelwerten.--Christian Stroppel 20:27, 23. Jul. 2009 (CEST)

Hallo, also mir ging's erstmal nur darum, dass Deine recht technisch klingenden Statistikbegriffe nicht in der Einleitung stehen. Weiter unten kommt dann eh ein Abschnitt über Statistik. Vielleicht passt das dahin.

Ich gebe Dir recht: Die Formel – insbesondere mit dem Summensymbol – ist auch schon abschreckend. Vielleicht sollte man nur die explizite Darstellung als x1+ ... +xn / n hier nennen, aber wenigstens die x1,...,xn und das x-quer erklären!

Deine Beschreibung mit der Abweichung gehört IMHO in den Artikel, nicht aber in die Einleitung. Für Nicht-Mathematiker ist sie zu abstrakt.

Grüsse --Boobarkee 20:50, 23. Jul. 2009 (CEST)

...Ich dachte mir beim Lesen: „Komisch, als Schüler fand ich es noch total plausibel, dass ich besser als der Klassendurchschnitt sein wolle und dass man uns die Durchschnittnote der Klausur mitteilte. Aber warum wollte ich eigentlich nicht einfach besser als der Median sein?“. Und die einzige Erklärung dafür war: „Naja, der Durchschnitt ist eben, die Note, die am wenigsten von allen anderen Noten abweicht.“ Statistisch ausgedrückt also der Wert mit der geringsten „durchschnittlichen“ Abweichung zu allen anderen Noten. Aber huch, das war nun ein Zirkelschluss, den Durchschnitt mit der durchschnittlichen Abweichung zu erklären. Besser wäre vielleicht mit der geringsten „aufsummierten“ Abweichung. Aber gut „Schulnoten sind doch gar nicht intervallskaliert“, dachte ich mir da, „höchstens hyperordinal“. Und da man bei Ordinalskalen keine Summen bilden darf, darf man also auch keinen Durchschnitt bilden. „Dann haben mir also alle Lehrer quatsch erzählt?“ ;o) Gruß--Christian Stroppel 01:26, 25. Jul. 2009 (CEST)

Ich habe den Einleitungssatz etwas ausführlicher geschrieben, d.h. die Formel in Worte gefasst. Ich überlege mir noch, wie man den Einstieg noch etwas weniger abschreckend und dennoch formal korrekt gestalten kann. -- MM-Stat 17:54, 13. Sep. 2009 (CEST)

"Und da man bei Ordinalskalen keine Summen bilden darf, darf man also auch keinen Durchschnitt bilden."

Doch, einen Druchschnitt darf man berechnen, auch einen gewichteten. Und dazu darf man aufsummieren. Kommt das gleiche Ergebnis heraus, wie wenn man versucht, die Ordinalskalierung zu beachten.

--arilou (Diskussion) 12:51, 9. Feb. 2015 (CET)

Auslagerung nach Stichprobenmittel

Ich würde die Abschnitte, die Zufallsvariablen betreffen, gerne nach Stichprobenmittel auslagern. --Sigbert (Diskussion) 08:22, 7. Sep. 2013 (CEST)

Verwirrt?

"Der mit der jeweils verkauften Menge gewichtete Durchschnittspreis entspricht also dem fixen Preis" es sollte wohl stehen: "Die Summe aller jeweils mit der Menge gewichteten Preise entspricht dem Preis, zu ..." (nicht signierter Beitrag von 88.68.19.51 (Diskussion) 09:59, 3. Feb. 2014 (CET))

kein gutes Beispiel

"Ein Beispiel ist die Berechnung einer Schulnote, in die mündliche und schriftliche Leistungen unterschiedlich stark einfließen."

Noten sind ordinalskaliert, damit ist eine derartige Mittelwertberechnung an der Stelle streng genommen nicht exakt. (nicht signierter Beitrag von 84.61.56.111 (Diskussion) 00:51, 7. Feb. 2015 (CET))

Das macht keinen Unterschied; Kritik somit falsch - der Mittelwert (auch der gewichtete) ist davon unabhängig und bleibt richtig.

--arilou (Diskussion) 12:47, 9. Feb. 2015 (CET)

Wovon ist er unabhängig? Das arithmetische Mittel ist sachlich falsch bei Ordinaldaten. --strike 22:20, 27. Apr. 2022 (CEST) (unvollständig signierter Beitrag von Strike~dewiki (Diskussion | Beiträge) )

Note 2 ist nicht doppelt so gut wie Note 4 und deshalb macht es eigentlich keinen Sinn einen Durchschnitt zu bilden. Aber die Diskussion ist von 2015. --Der-Wir-Ing ("DWI") (Diskussion) 22:26, 27. Apr. 2022 (CEST)

Genau. Das Problem ist, dass durch diese falsche Darstellung dieser Unsinn (auch in akademischen Kreisen) nicht auszumerzen ist. Ich kenne ernstzunehmende Wissenschaftler, die aus Schweregrad-Werten Mittelwerte bilden. Das ist gruselig. Finde ich. --strike 22:36, 27. Apr. 2022 (CEST) (unvollständig signierter Beitrag von Strike~dewiki (Diskussion | Beiträge) )

Tja, du kannst dich ja an die Schulminister wenden. Viel Glück dabei. --Der-Wir-Ing ("DWI") (Diskussion) 22:38, 27. Apr. 2022 (CEST)

arithmetisches Mittel grundsätzlich falsch?

Könnte es sein, dass es sich beim arithmetischen Mittel letztendlich um eine fehlerbehaftete Vereinfachung des geomtrischen Mittels handelt? Oder anders gefragt: Gibt es ein Beispiel, wo das geometrische Mittel den falschen, das arithmetische Mittel den richtigen Durchschnittswert liefert? --Max schwalbe (Diskussion) 10:01, 18. Mär. 2017 (CET)

PS: "richtig" und "falsch" ist ja schwer zu bestimmen - meine Frage läuft offenbar auf die Frage der Ästhetik hinaus. Das geometrische Mittel ist ein räumlich gesehen ästhetischer Mittelwert, was sich unter anderem im Goldenen Schnitt wiederspiegelt. Und man kann diskutieren, ob die räumliche Anordnung von Dingen grundsätzlich ästhetischer, also erstrebenswerter, ja richtiger ist, wenn man dabei nicht das arithmetische, sondern das geometrische Mittel zugrundlegt. Siehe auch Adolf Zeising. --Max schwalbe (Diskussion) 17:50, 22. Mär. 2017 (CET)

P.P.S. um mal vom philosophischen auf das praktische Problem herunterzubrechen, das Auslöser meiner Überlegungen war: In vielen Praxisfällen interessiert der Fragestellung folgend eigentlich die faktorielle Abweichung mehrerer Größen, dennoch wird das arithmetische Mittel angewandt, das beszogen auf die Fragestellung dann eine Falschaussage liefert. Das Problem gipfelt beispielsweise in sehr verbreiteten Angaben (auch in Algorithmen und gesetzl. Verordnungen definiert), dass eine gemessene oder errechnete Größe z.b. nicht 80% eines Sollwerts unterschreiten oder 120% des Sollwerts überschreiten darf, also der Arithmetik folgend +/-20% Abweichung als Toleranzgrenze definiert. Das führt jedoch nicht zu dem Ergebnis das man möchte, weil die 80%ige Größe faktoriell weiter vom Sollweit entfernt liegt als das 120%ige Größe. Das scheint offenbar immer dann zu Falschaussagen (also nicht dem Ziel der Rechnung entsprechenden Aussagen) zu führen, wenn die Größen in der Praxis gar keine metrische Dimension haben. Etwa Konzentrationsangaben von Teilchen in einer Lösung. Sind das z.b. Toleranzgrenzen bei der Konzentrationsbestimmung des Zuckergehalts in der Cola, so wird die 120%ig konzentrierte Zuckerlösung noch akzeptabel sein, die 80%ige hingegen schon deutlich geschmacklich abweichen. Sinnvolle Toleranzschwellen lassen sich daher nur durch Berechnung des geometrischen Mittels zwischen Sollwert und Messwert festlegen (z.B. +20%/-16,6%). Ein Extrembeispiel verdeutlicht das Problem: Läge die Toleranzschwelle bei +/-100%, hätten wir im Ergebnis eine Cola, die entweder gar keinen Zucker enthält, oder aber die doppelte Menge. Es ist sonnenklar, dass das völlige Fehlen des Zuckers sich viel gravierender auswirkt als die doppelte Menge Zucker. Nehmen wir aber an, dass die doppelte Zuckermenge noch akzeptabel ist, ergibt sich dabei geometrisch als unterer Toleranzwert die halbe Zuckermenge. Was mit Sicherheit schon eher an dem liegt, was man mit den Schwellwerten eigentlich erreichen möchte. Wird in der Praxis aber so nicht gemacht, weil ohne nachzudenken das arithmetische Mittel angewendet wird, um Toleranzgrenzen zu definieren.

Also Fazit und @alle: Ist es mathematisch legitim, die Definition des arithmetischen Mittels darauf einzuschränken, dass es nur dann angewendet darf, wenn die zugrundeliegenden Größen Bestandteil eines metrischen Systems sind? ODer so ähnlich? (ich bin kein Mathematiker, kann mich daher nicht präzise ausdrücken aber viell. versteht jemand was ich meine). --Max schwalbe (Diskussion) 12:12, 8. Jul. 2020 (CEST) P.S. sehe gerade, dass genau das auch schon im Artikel so steht: Das arithmetische Mittel ist sinnvoll für beliebige metrische Merkmale definiert. Dann sollte diese Einschränkung vielleicht deutlicher betont werden, weil sie in der Praxis (sehr!) häufig nicht berücksichtigt wird. --Max schwalbe (Diskussion) 13:31, 8. Jul. 2020 (CEST)

1. Also meistens werden Toleranzen und Abweichungen in absoluten Werten angegeben: "Länge: 1200mm ±2mm". Wenn eine Abweichung nach oben oder unten unterschiedlich „schwerwiegend“ ist, werden halt 2 Toleranzwerte angegben, egal ob es "absolute" oder "prozentiale" Toleranzen sind, siehe z.B. Länderübersicht_Steckertypen,_Netzspannungen_und_-frequenzen#Toleranzen_der_Versorgungsspannung.

2. Arithmetische Mittelwerte sind auch bei nicht-metrischen Größenangaben sinnvoll, also etwa bei "Durchschnittstemperaturen" in Grad Celsius, Grad Farenheit oder einer umgekehrten Temperaturskala wie die Delisleskala.

3. Problematisch ist das arithmetische Mittel bei nicht-linearen Größen. Prominentes Beispiel sind Schulnoten, die im oberen Leistungsbereich von 80…100% fein abgestuft sind, aber alles unter 50% mit Note "durchgefallen" (5 oder 6) bewerten.

--RokerHRO (Diskussion) 17:17, 8. Jul. 2020 (CEST)

@RokerHRO: Danke für die Rückmeldung! Zu 2.: Ich denke das Thema bleibt interessant, denn bekanntermaßen existieren lineare Zusammenhänge in der Praxis nur äußerst selten, oder nur in einem sehr engen Definitionsbereich. Wo genau sollte ein linearer Zusammenhang einer Größe mit der Temperatur bestehen? (siehe auch RGT-Regel) Mir fällt allenfalls der Ausdehnungskoeffizient von Quecksilber ein, der nahezu temperaturunabhängig ist, sodass Quecksilber für metrisch skalierte Thermometer verwendet werden kann. --Max schwalbe (Diskussion) 18:24, 13. Jul. 2020 (CEST) P.S. auch bei einigen linearen Größen scheint das arithmetische Mittel nicht anwendbar zu sein, etwa bei Erstellung von Kalibriergeraden: Möchte ich eine 3-Punkt-Kalibrierung im Messbereich 0,1 bis 10 erstellen, dann wähle ich als dritten Kalibrierpunkt 1, weil er "mittig" liegt. Rechnerisch erhalte ich die 1 jedoch nicht über das arithmetische, sondern über das geometrische Mittel. Da vielen Leuten die Existenz des geometrischen Mittels gar nicht bekannt ist, wird in solchen Fällen oft nach Bauchgefühl geschätzt welcher Wert wohl in etwa mittig liegen könnte, das finde ich absurd. --Max schwalbe (Diskussion) 01:19, 14. Jul. 2020 (CEST)

zu 3.: Stimmt, da müsste man eigentlich fragen ob es überhaupt zulässig ist, den Durchschnitt aus Schulnoten so zu berechnen, wie es üblicherweise getan wird. Imposant! Sinnvoller wäre es vermutlich, Schulnoten metrisch zu skalieren, aber das würde zu einer weiteren "Inflation" der ohnehin schon viel zu oft vergebenen "guten" Noten führen. Ziel wäre ja sicher, durch Modulation des Schwierigkeitsgrades eine Gaußkurve mit Maximum bei 3,5 zu erreichen, was das Auftreten von Schulnoten betrifft. Das wäre pädagogisch sicherlich sinnvoll, weil dann ein realistischer Blick auf die Herausforderungen des Lebens in der Schule vermittelt würde, bei denen es in der Regel gar nicht möglich ist 100% zu erreichen sondern eine bestmögliche Lösung gesucht werden muss, um das Defizit effektiv zu handhaben. Genau das sollte die Schule lehren, und nicht etwa das Gefühl beibringen, dass man schon durchaus nur Einsen schreiben könne, wenn man schön fleißig ist. Absurd... --Max schwalbe (Diskussion) 01:19, 14. Jul. 2020 (CEST)

Ideale Gase haben in vielen Aspekten lineare Abhängigkeit von der Temperatur. Man kann nicht pauschal sagen welche Art der Mittelung die beste für einen Datensatz ist, da die gleichen Daten unter verschiedenen Gesichtspunkten betrachtet werden können, bei denen verschiedene Askpekte wichtig sind. Beim Cola-Beispiel: für den Geschmack ist vielleicht eine "geometrische" Abweichung des Zuckers relevant, für die Kalorien ist eine "arithmetische".--LamaMaddam (Diskussion) 12:21, 17. Aug. 2020 (CEST)

Gewichtungen

Hallo! Mir ist gerade beim Lesen des quasi-arithmetischen Mittels aufgefallen, dass die angegebene Formel nicht stimmen kann. Es müsste, denk ich, ein 1/n vor dem Summenzeichen stehen, sonst kann die darunterstehende Aussage, der so erhaltene Werte liege zwischen Minimum und Maximum, nicht stimmen, und auch die Verallgemeinerung weiter unten mittelt ja den aufsummierende Teil durch die Abschnittslänge (sofern ich das richtig gesehen habe); außerdem deckt es sich dann auch mit der Formel fürs Hölder-Mittel. Ich bin mir aber unsicher (u.a. weil ich auch dachte, das 2-Potenz-Mittel wäre identisch mit der Berechnung der Vektorlänge, tatsächlich aber eben doch durch Wurzel n geteilt wird? Ich bin etwas verwirrt..), und wollte jetzt nicht eigenmächtig rumfuhrwerken, zumal ich nicht mal mehr meinen Account benutze.

Merke soeben: es müsste ohnehin durch die Summe der Gewichtungswerte geteilt werden, nicht (zwangsläufig) durch n

..wodurch ich jetzt auch verstanden habe, warum nicht zwangsläufig geteilt werden muss, aber eben nur genau dann, wenn die Gewichtungen sich ohnehin zu 1 addieren – was weiter oben beim gewichteten Mittel aber nicht vorausgesetzt und stattdessen wie gesagt durch deren Aufsummierung geteilt wird, ohne die alternative Definition/Formulierung zu erwähnen. Ich würde vorschlagen, das insgesamt einheitlich zu schreiben, am besten in allen Artikeln über Mittelwert-Bildungsmethoden. Wenn ein mathematisch fittes Hirn schon verwirrt werden kann, ist für mathematisch unfittere Hirne Chaos vorprogrammiert ;-)

Einleitung

Da steht

Das arithmetische Mittel (umgangssprachlich auch als Durchschnitt bezeichnet) ist in der Mathematik derjenige Mittelwert, der als Quotient aus der Summe der betrachteten Zahlen und ihrer Anzahl berechnet wird. In der Statistik ist das arithmetische Mittel ein Lageparameter ...

Das klingt imo, als gäbe es da einen Gegensatz (oder zumindest eine Abweichung) zwischen Mathematik und Statistik.

In Statistik#Einführung steht übrigens

Statistik wird einerseits als eigenständige mathematische Disziplin über das Sammeln, die Analyse, die Interpretation oder Präsentation von Daten betrachtet, andererseits als Teilgebiet der Mathematik, insbesondere der Stochastik, angesehen.

Ich ändere die Einleitung in

Das arithmetische Mittel (umgangssprachlich auch als Durchschnitt bezeichnet) ist in der Statistik derjenige Mittelwert, der als Quotient aus der Summe der betrachteten Zahlen und ihrer Anzahl berechnet wird. Das arithmetische Mittel ist ein Lageparameter ...

Wer Gründe dagegen hat, kann es gerne revertieren. --Neun-x (Diskussion) 16:24, 21. Jul. 2018 (CEST)

Optimalitätseigenschaft: Ableitung anders schreiben

Ich würde statt

$\partial \,Q(z;x_{1},\ldots ,x_{n})/\partial \,z=-2\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}-nz\right)\;{\overset {\mathrm {!} }{=}}\;0\Rightarrow z={\overline {x}}$.

lieber

$\partial \,Q(z;x_{1},\ldots ,x_{n})/\partial \,z=-2\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-z)\;{\overset {\mathrm {!} }{=}}\;0\Rightarrow z={\overline {x}}$.

schreiben. Grund: Näher an der Ableitung, daher - glaube ich - einfacher zu verstehen. Hat wer was dagegen? --Haraldmmueller (Diskussion) 12:22, 11. Jun. 2020 (CEST)

In der 2. Formel fehlen nicht nur die großen Klammern, sondern aus dem Term $nz$ wurde ein einfaches $z$. Soll das so? --RokerHRO (Diskussion) 17:20, 8. Jul. 2020 (CEST)

Ach ich vertehe: In der obigen Summe war das $nz$ nicht mehr Teil der Summe. Okay, das war wirklich missverständlich, wie man ja gesehen hat. ;-) --RokerHRO (Diskussion) 17:23, 8. Jul. 2020 (CEST)

Da die Größen a , x, b eine arithmetische Folge bilden...

Ich verstehe nciht, was mit der Aussage "Da die Größen a , x, b eine arithmetische Folge bilden..." im Abschnitt "Definition" gemeint ist. Ich sehe da drei Zahlen, keine Folge. Damit es eine Folge wird, müsste abzählbar unendlich viele Zahlen hinzukommen, welche sollen das sein, wenn man das arithmetische Mittel von endlich vielen Objekten berechnet? Was ich sehe, sind drei Zahlen $a,{\overline {x}},b$, so dass $|{\overline {x}}-a|=|{\overline {x}}-b|$. --Mathze (Diskussion) 12:27, 28. Jan. 2023 (CET)

Ich kann die Erklärung auch nicht nachvollziehen. Unter Arithmetische Folge#Namensherkunft steht sogar das Gegenteil. Das stimmt im übrigen auch mit der Reihenfolge der Jahreszahlen zum Sichwort Arithmetic mean unter [1] überein. --KlausTh-Mathe (Diskussion) 18:10, 22. Nov. 2023 (CET)

Stichprobenmittel gewichtetes Mittel?

Inwiefern ist das Stichprobenmittel ein gewichtetes Mittel? Jedenfalls steht es unter diesem Abschnitt. --Mathze (Diskussion) 22:35, 17. Dez. 2023 (CET)