Diskussion:Biegelinie

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Stimmt diese formel?

"$EI_{y}\,w(x)=-\int \int M_{y}(x)\mathrm {d} x+xC_{1}+C_{2}$" ist irgendwie komisch. wie wäre es mit: $EI_{z}\,w(x)=-\int \int M_{z}(x)(\mathrm {d} x)^{2}+xC_{1}+C_{2}$, und würden die integrationskonstanten nicht erst nach dem integrieren auftauchen? Sollte man also schreiben: zweite Stammfunktion von $M_{y?z}$. Warum heißt es $M_{y}$ und $I_{y}$ nicht $M_{z}$ und $I_{z}$? Bei uns hieß es immer $M_{zz}$. warum das z doppelt war weiß ich nicht, vermutlich um zu kennzeichnen, dass es eine drehachse ist. Insgesammt aber ein professioneller artikel. --Moritzgedig 12:00, 6. Dez. 2009 (CET)

Ich finde auch, dass es eigentlich dx*dx oder dx² heißen muss (oder d²x?), weil zweimal integriert wird, siehe hier: weblink S. 130 Formel 10.6.11. Noch klarer wird es, dass man zweimal integrieren muss, wenn man das innere Integral in Klammern schreibt.

Evtl. ist es die Schreibweise mit nur einem dx eine vereinfachte Schreibweise. Man findet es auch so, siehe hier: Biegelinie.wiki. Dort steht sogar außerdem noch ein vierfaches Integral mit nur einem einzigen dx!

Die Konstanten sind aber richtig; bei jeder der beiden Integrationen kommt eine dazu; die Integrale gelten ja nur für M(x).

Die Bezeichnungen yy oder zz sind nur Bezeichnungen, man kann sie wählen wie man will, glaube ich (hat mein Matheprofessor mal gesagt).

Ich finde den Artikel übrigens am Anfang nicht so gut, weil er zwar technisch einwandfrei ist, es aber mit der Verständlichkeit für Laien hapert. Zumindest im 1. Absatz hätte man einen allgemeinverständlichen Satz voranstellen können. Wir haben dazu übrigens den sog. OMA-Test! (Der geht so: Der Oma vorlesen und fragen, ob sie es verstanden hat!) Wie man es machen kann, sieht man z. B. in diesem weblink: Zur Biegelinie

Oder wie wäre es mit: "Die Biegelinie ist eine mathematische Funktion, welche die Verformung eines Balkens oder eines Stabes bei Biegung darstellt.", siehe hier:Die Biegelinie

--ProfessorX 19:39, 12. Jan. 2010 (CET)

Würde es nicht nach dem integrieren "$+xC_{1}+C_{2}\ +xC_{1}+C_{2}$" sein? Macht nicht wirklich einen rechnerischen unterschied, ist eher eine formale frage. --Moritzgedig 15:26, 6. Feb. 2010 (CET)

Nein. Wo hast du integrieren gelernt ;-)? Nach der 1. Integration steht das "$+C_{1}$" da. Beim zweiten Integrieren kommt zum C1 ein x hinzu "$+xC_{1}$" und die zweite Konstante "$+C_{2}$". (Du hast beide Konstanten zweimal hingeschrieben. Zum einen weiß ich nicht wieso, andererseits geht das auch, C1 und C2 wären dann eben einfach halb so groß.) --ProfessorX 21:33, 11. Feb. 2010 (CET)

Mal nicht persönlich werden. Worauf ich auch im dritten posting hinaus will ist, ob nicht die integrationskonstanten erst nach dem integrieren hinzukommen? --Moritzgedig 13:19, 12. Feb. 2010 (CET)

Stimmt diese Formel?

In meiner Formelsammlung und auch durch die Aufgaben, die ich gerechnet habe, komme ich darauf, dass:

$EI_{y}\,w'(x)=\int M_{y}(x)\mathrm {d} x+C_{1}$

$EI_{y}\,w(x)=\int \int M_{y}(x)\mathrm {d} x+xC_{1}+C_{2}$

Also ein Vorzeichenwechsel zwischen Momentenverlauf und Neigung/Biegelinie steht. Steh ich mit dieser Meinung alleine da? (nicht signierter Beitrag von 78.54.29.50 (Diskussion) 14:20, 27. Jul 2010 (CEST))

Grafik hinzu

Bild 4: Verlauf eines Biegemoments an einem Balken mit mittiger Kraft F hier als Punktlast P dargestellt, mit dem maximalen Biegemoment M bei l/2 einschließlich des Querkraftverlauf Q und der Biegeline w

Krümmung voranstellen

Ich würde, falls keine überzeugenden Gründe dagegen sprechen, den jetzigen Text von A bis B durch den zwischen B und C ersetzen. Begründung: Die am Anfang des neuen Textes stehende einfachere Gleichung für die Krümmung modelliert den allgemeinen Fall und ist (trotzdem) anschaulicher und OMA-tauglicher.

A

Für kleine Biegewinkel $\varphi$ gilt die folgende Beziehung zur Durchbiegung $w$:

${\mathrm {d} w(x) \over \mathrm {d} x}=-\varphi (x)$

Hieraus folgt unter Berücksichtigung des Hookeschen Stoffgesetzes eine lineare homogene Differentialgleichung:

$-{\mathrm {d} \varphi (x) \over \mathrm {d} x}={\mathrm {d} ^{2}w(x) \over \mathrm {d} x^{2}}=w''(x)=-{M_{y}(x) \over EI_{y}}$

Die exakte Lösung stellt folgende Differentialgleichung dar:

${w''(x) \over ({1+w'^{2}(x)})^{3/2}}=-{M_{y}(x) \over EI_{y}}$

Für kleine Durchbiegung $(w'(x)<<1)$ vereinfacht sich die Formel dann wieder zu der vorherigen.

B

Das Biegemoment $M_{y}$ (Schnittmoment) an der Stelle $x$ in einem elastischen geraden Balken bestimmt die dortige Krümmung $\kappa$ seiner Biegelinie $w(x)$. Unter Einbeziehung des Hooke'schen Stoffgesetzes erhält man

$\kappa ={\frac {1}{r}}=-{\frac {M_{y}}{EI_{y}}}$.

Dabei bezeichen $r$, $E$ und $I_{y}$ den (vorzeichenbehafteten) Krümmungsradius an der Stelle $x$, den Elastizitätsmodul bzw. das axiale Flächenträgheitsmoment des Balkens. Das Minuszeichen berücksichtigt die für Schnittreaktionen üblichen Richtungskonventionen.

Mit der rein geometrischen Definition einer Kurvenkrümmung folgt daraus die exakte Differentialgleichung der Balkenbiegung zu

${w''(x) \over ({1+w'^{2}(x)})^{3/2}}=-{M_{y}(x) \over EI_{y}}$.

Die Striche bezeichnen die Ableitung nach der Balkenlängskoordinate $x$. In den meisten praktischen Fällen ist die Durchbiegung $w$ so klein, dass $w'^{2}<<1$ bleibt. Dann genügt die einfchere Differentialgleichung

$w''(x)=-{M_{y}(x) \over EI_{y}}$

zur Bestimmung der Biegelinie $w(x)$.

C

Kommentare willkommen! Modalanalytiker (Diskussion) 15:52, 7. Dez. 2015 (CET)