Diskussion:Delta-Distribution/Archiv

Diese Seite ist ein Archiv abgeschlossener Diskussionen. Ihr Inhalt sollte daher nicht mehr verändert werden. Benutze bitte die aktuelle Diskussionsseite, auch um eine archivierte Diskussion weiterzuführen.

Um einen Abschnitt dieser Seite zu verlinken, klicke im Inhaltsverzeichnis auf den Abschnitt und kopiere dann Seitenname und Abschnittsüberschrift aus der Adresszeile deines Browsers, beispielsweise

[[Diskussion:Delta-Distribution/Archiv#Thema 1]]

oder als Weblink zur Verlinkung außerhalb der Wikipedia

https://de.wikipedia.org/wiki/Diskussion:Delta-Distribution/Archiv#Thema_1

Dimension

Es sollte noch etwas zur Dimension (Einheit) der Delta-Distribution gesagt werden, z.B. dass sie die reziproke Dimension des arguments ist.--Jdiemer 23:11, 14. Sep 2004 (CEST)

Bemerkung zur nicht beendeten Diskussion hier und unten über die Anwendung der Dirac-Distribution in der Physik und Technik. Aus dimensionsbehafteten Größen statt nur aus Zahlen gebildete Ausdrücke treten in diesen Wissenschaften als Argumente von Funktionen – rein mathematischen Objekten – auf. Wie im geläufigen Beispiel $\mathrm {sin} (\omega t)$ kompensieren sich in einer gültigen Formel die Einheiten, bevor der Ausdruck, hier $\omega t$, in das mathematische Objekt ${}_{\mathrm {sin} (\cdot )}$ eingefügt werden darf. – Die sog. Dimensionskontrolle ist ja eine allseits bekannte Prüfung 0-ter Ordnung einer jeden Formel physikalischen Inhalts! Bei der Dirac-Distribution ist dies nicht immer offensichtlich, aber doch implizite gegeben.

Die einfachste Antwort zur Dimensionsfrage ergibt sich aus der Definition über das Dirac-Maß. $\mathrm {d} \mu$ ist als mathematisches Objekt dimensionslos. Aber Physiker lösen die Belegung $\mathrm {d} \mu =\delta (t)\mathrm {d} t$ gern anschaulich auf als Produkt der Belegungsdichte $\delta (t)$ auf dem Intervall $\mathrm {d} t$; $t$ soll hier beispielsweise die Zeit sein. Hieraus ergibt sich dann die Dimension der Bestandteile, die auch einzeln quasi unter Vorbehalt hingeschrieben werden. Wenn einfach mit der Belegungsdichte $\delta (t)$ hantiert wird, wird stillschweigend dazu gedacht – gelegentlich auch gesagt: "Am Schluss wird ohnehin integriert." So treffen die Bestandteile wieder aufeinander. Wenn man, damit alles dimensionslos bleibt, folgendermaßen „faktorisiert“ ${}_{\mathrm {d} \mu =\delta ({\frac {t}{\Delta t}})\mathrm {d} ({\frac {t}{\Delta t}})}$, bleibt ${}_{\delta (\cdot )}$ ein mathematische Objekt. ${}_{\,\Delta t}$ muss als algebraisches Objekt zahlenmäßig nicht bekannt sein.

Wenn man sich $\delta (t)$ als Kurzschrift denkt für „approximiert durch ein Glied ${}_{\,\varepsilon \,>\,0}$ einer der Dirac-Folgen“, ist alles exakt und man darf sogar das Integral über $t$ als Riemann-Integral auffassen.

Aber Vorsicht, $t$ darf nicht einfach in eine der Dirac-Folgen eingesetzt werden, weil ${}_{\,\varepsilon \,>\,0}$ weiterhin als dimensionsloser Parameter den Grad der Approximation kennzeichnen soll; denn ${}_{\delta _{\epsilon }(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \varepsilon }}}\,\exp \left(-{\frac {t^{2}}{2\varepsilon }}\right)}$ bei der Zeit $t$ ist sinnlos. Um dies machen zu können, benötigen wir eine Skalierung der Zeit mit ${}_{\,\Delta t}$. Die beschriebene Hilfsvorstellung mit einer Dirac-Folge funktioniert so einfach nur beim Stoß ${}_{\delta ({\frac {t}{\Delta t}})}$ mit dimensionslosem Argument.

Hier berühren wir die Notwendigkeit der Distributionen. Wenn sich ein Einzelereignis als Punktereignis herausstellt, dann haben wir als Beobachter die Erfahrung gemacht, dass keine Skalierung der unabhängigen Variablen gefunden werden kann außer ${}_{\,\Delta t\,=\,0}$ und damit lässt sich ${}_{\,t}$ nicht skalieren. Mit der Dirac-Distribution ist eine Formulierung gefunden. Dirac machte diese Erfahrung als er feststellte, dass der Ortsoperator als Eigenvektoren Punktereignisse (Punktbelegungen) benötigt.

Natürlich kam diese Anregung von einem Theoretiker, Experimentalphysiker oder Nachrichtentechniker können mit ihren endlichen Resourcen Punktereignisse nicht beweisen. Sie finden bestenfalls eine Approximation durch ein bestimmtes Glied der Dirac-Folge: vielleicht der Normalverteilung mit der Varianz ${}_{\,\varepsilon \,>\,0}$, die dann den Grad ihrer Kenntnis der Position eines vermuteten Punktereignisses angibt. Die Varianz definiert nun einen Skalenfaktor. (Im vorliegenden Zusammenhang kann unbeschadet der obigen Warnung ${}_{\,\varepsilon }$ selbst vereinfachend als zum Beispiel ${}_{\,(\Delta t)^{2}}$ angesehen werden und ist dann (unschön) ein dimensionsbehafteter Parameter.) -- Grunswiki 14:47, 23. Jan. 2010 (CET)

Homogen

Der Link von homogen führt auf eien Seite, die Homogenität aus anderen Fachbereichen und nicht aus der Mathematik beschreibt. Ich halte den Link daher für verwirrend und schlage vor, ihn zu entfernen.

Brigitte 20.9.05

Man könnte das zu homogen (Mathematik) verbessern, aber dort gibt es auch keine Erklärung.--Gunther 14:12, 20. Sep 2005 (CEST)

Delta vs. Dirac

Sicher, dass der Dirac-Impuls nicht eine über 0 zentrierte Delta-Distribution und damit ein Spezialfall ist? So habe ich das gelernt. --Phrood 09:55, 9. Okt 2005 (CEST)

Auch die Delta-Distribution ist um 0 zwentriert... Dirac-Impuls ist nur ein anderer Name. Aber natürlich lässt sich ein Dirac $\delta (x)$ (also um 0 zentriert) wie jede andere Funktion verschieben, indem man das Argument ändert/verschiebt (also aus x wird x-a): So ist z.B. $\delta (x-a)$ ein um a verschobener Dirac-Impuls, also eine über a zentrierte Delta-Distribution.--Jdiemer 10:48, 9. Okt 2005 (CEST)

Ach, stimmt ja. Die Tatsache, dass die Distibution mit (x-a) beschrieben wurde, hatte mich verwirrt. --Phrood 11:19, 9. Okt 2005 (CEST)

Ist ein Delta-Impuls nicht ein diskreter Dirac-Impuls? Was dann auch den Anfang des Artikels ein wenig sinnlos macht? Möchte mich allerdings nicht zu weit aus dem Fenster lehnen, da ich es gerade erst ein Stück weit geöffnet habe...(nicht signierter Beitrag von RZQ (Diskussion | Beiträge) 11:55, 13. Jan. 2008)

"Delta-Impuls" habe ich so noch nie gehört. Meinst Du vielleicht das Kronecker-Delta? --Drizzd 14:49, 25. Jan. 2008 (CET)

Eigenschaften

Die Eigenschaft $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-a)\,\mathrm {d} x=1$ bekommt man sicher nicht durch einsetzen von $\phi =1$, da dieses $\phi$ weder eine Testfunktion oder eine Schwartzsche Funktion (schnell falled) ist und somit gar nicht im Definitionsbereich der Delta-Distribution liegt. --Filip

Distributionen mit kompaktem Träger setzen sich eindeutig auf den Raum aller $C^{\infty }$-Funktionen fort.--Gunther 00:58, 3. Sep 2006 (CEST)

Wie kommt man überhaupt darauf, dass $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,\mathrm {d} x=1$ gilt? Wenn ich mir dieses $\delta (x)$ ansehe, dann frage ich mich, ob man überhaupt integrieren kann, bzw. ob das Integral nicht 0 ist. --The-viewer 16:33, 11. Nov. 2006 (CET)

Das ist kein Integral, sondern eine rein formale Schreibweise.--Gunther 10:21, 14. Nov. 2006 (CET)

Kritik 2. 9. 2006

Ich habe mit dem ganzen Artikel, so wie er jetzt ist, ein Problem. Es wird zwar im Text darauf hingewiesen, dass es sich um eine Distribution handelt, aber der Artikel lässt sich überhaupt nicht in die Theorie der Distributionen einbetten. Die Definition der Delta-Distribution muss lauten: $\delta (\phi )=\phi (0)$ Dabei ist $/phi$ eine Testfunktion aus dem Schwartz-Raum D. Das geht nirgendwo aus dem Artikel hervor. Im gesamten Text wird mit $\delta$ gearbeitet, als wäre es eine "Funktion", was ja bekanntlich nicht stimmt. Es gibt aber eben auch keinen Ausdruck der Form $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\phi (x)dx=\phi (0)$ Weil keine solche Funktion $\delta (x)$ existiert. Die Integralausdrücke im Artikel sind in der Distributionentheorie sinnlos und nicht erklärt. Man müsste das ganze nochmal (vgl. Artikel Distribution) im Kontext der Distributionentheorie einbetten. Was bis jetzt im Artikel steht, ist - sagen wir mal - sorgloser Umgang mit mathematischer Exaktheit, wie ihn die Physiker betreiben. Nicht lachen, bin selber einer ... --GER.dd.gerry 15:02, 2. Sep 2006 (CEST)

Die exakte Definition steht (zugegebenermaßen etwas unvollständig, weil der Raum der Testfunktionen nicht definiert wird) im Abschnitt "exakte Definition".--Gunther 15:29, 2. Sep 2006 (CEST)

Schließe mich GER.dd.gerry an. Vor allem finde ich es widersprüchlich dass es eine Distribution ist, aber auch im Teil exakte Definition die Delta-Distribution als "Abbildung" kategorisiert wird - was ja mMn ein Synonym für Funktion ist. Jemand der sich diesen Teils absolut sicher/kompetent ist sollte wenn es rechtens ist den ganzen Artikel vom "Funktionszusammenhang" reinigen denke ich, und/oder die Ähnlichkeiten in eine eigene Sektion zusammenfassen. -- Methossant 14:35, 15. Apr. 2009 (CEST)

Ich denke es sollten auf alle Fälle der Raum der glatten Funktionen mit kompakten Träger und der schnell fallenden Funktionen als Tesfunktionen vorgestellt werden. Dann sollte auch erklärt/motiviert werden "warum" man diese Räume nimmt. Zusätzlich kann erwähnt werden, dass man selbstverständlich auch andere Räume als Testfunktionen nehmen kann (sogesehen verallgemeinerte Distributionen). Man muss nur aufpassen, dass man bei anderen Räumen nicht zu viele Eigenschaften verliert und der Distributionenraum nicht zu klein wird. --Filip 18:57, 2. Sep 2006 (CEST)

Das gehört mMn alles nach Distribution (Mathematik).--Gunther 22:55, 2. Sep 2006 (CEST)

Stimmt, Du hast Recht. Ich habe ganz vergessen, dass der Artikel existiert. --Filip 00:06, 3. Sep 2006 (CEST)

Kritik Physikalische Interpretation/Mathematische Definition

Ich glaube, dass der Artikel in seiner jetzigen Form in sich widersprüchlich ist. Leider begegnet einem dieser Widerspruch in vielen Darstellungen des Delta-Funktionals.

Die physikalische Interpretations als punktförmige Ladungs- oder Massenverteilung steht im Widerspruch zur mathematischen Definition. Als Ladungsverteilung kann ich mir die Delta-Distribution nur vorstellen, wenn sie jedem Punkt im Raum genau einen Ladungswert zuordnet. Am Punkt Null ist der Wert unendlich. Ansonsten ist der Wert null. Der Begriff Distribution deutet auf diese Interpretation hin, denn Distribution bedeutet in der Regel nichts anderes als Verteilung. Damit ist die Distribution eine eindeutige Zuordnung, d.h. eine Funktion.

Die mathematische Definition lässt allerdings eine solche Interpretation nicht zu, denn laut Artikel ist die Delta-Distribution gar keine Funktion. Danach ist die Delta-Distribution durch die Zuordnungsvorschrift definiert: $\phi \mapsto \phi (0)\qquad \forall \phi$. Diese Zuordnungsvorschrift stellt zwar auch eine Funktion dar - noch ein Widerspruch. Allerdings kann man sie nicht als Verteilung interpretieren. Die Interpretation als Verteilung, über die integriert werden kann, wird mathematisch nicht zugelassen. Denn das Lebesgue-Integral über derjenigen Funktion ist Null, deren Funktionswert am Nullpunkt unendlich und ansonsten überall gleich Null ist. Das steht wiederum im Widerspruch zur Forderung: $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,\mathrm {d} x=1$

Die einzig befriedigende Auflösung dieser Widersprüche scheint mir zu sein, das Integral nicht als Lebesgue-Integral sondern als "Dirac-Integral" oder "Dirac-Maß" zu interpretieren. Deshalb bin ich an einer solchen Darstellung interessiert. Digamma hatte angedeutet, dass er sich damit auskennt. --Kilian Klaiber 12:54, 6. Jun. 2007 (CEST)

Vielleicht sollte es besser heißen "Die Integration über eine δ-Funktion liefert 1, Integration über eine δ-Funktion multipliziert mit einer Funktion f liefert den Funktionswert von f an der Stelle 0. Eine Funktion, die diese Bedingungen erfüllt, existiert nicht. Obwohl diese Schreibweise nicht richtig ist, wird die δ-Funktion zwecks Anschaulichkeit oft als Integraloperator dargestellt."

Bei der physikalischen Interpretation kann ich Dir nicht ganz folgen. Ich habe die δ-Funktion in diesem Zusammenhang immer als die Verteilung einer Punktladung/Punktmasse interpretiert, die aufgrund ihrer unendlich hohen Konzentration in einem Punkt dort unendlich hohe Dichte hat. Diese Interpretation passt sehr gut zur mathematischen Definition. --Drizzd 19:31, 6. Jun. 2007 (CEST)

"Ich habe die δ-Funktion in diesem Zusammenhang immer als die Verteilung einer Punktladung/Punktmasse interpretiert, die aufgrund ihrer unendlich hohen Konzentration in einem Punkt dort unendlich hohe Dichte hat." Stimmt, und die Gesamtladung (=1) ergibt sich durch Integration über der Verteilung. Dann schreibst du "Eine Funktion, die diese Bedingung erfüllt, existiert nicht." Also existiert die Verteilung einer Punktladung nicht. Gleichwohl wird das Dirac-Delta so behandelt, als ob es eine solche Verteilung darstellt. Das ist ein Widerspruch in sich.--Kilian Klaiber 20:25, 6. Jun. 2007 (CEST)

Es geht hier eben nur um die Anschauung. Man kann die Verteilung einer Punktladung auch mathematisch exakt darstellen, indem man sich beispielsweise des Diracmaßes bedient. Das ist aber nicht so bequem. Ich betrachte die Delta-Funktion einfach als "schlampige" Schreibweise, die auch nicht zu Missverständnissen führt, solange klar ist, was eigentlich gemeint ist. In der reinen Mathematik dürfte man der δ-Funktion in dieser Form wohl kaum begegnen. --Drizzd 11:57, 7. Jun. 2007 (CEST)

"Es geht hier eben nur um die Anschauung." Tja, und die Anschauung steht nun mal aus physikalischer Sicht an erster Stelle. Das Delta-Funktional ist ja von einem Physiker eingeführt worden, um eine Punktladung zu beschreiben. "In der reinen Mathematik dürfte man der δ-Funktion in dieser Form wohl kaum begegnen." Das mag sein, in der "reinen Mathematik" habe ich auch kein Problem mit der Definition. Mir geht es darum, dass die mathematische Definition - so wie sie jetzt ist - die physikalische Anschauung ausschließt. Das ist das Problem. Die mathematische Definition ist so simpel, die kann man jedem halbwegs mathematisch Vorgebildetem erklären. Die Abbildung, die einer Testfunktion den Funktionswert an der Stelle Null zuordnet. Auf den Standpunkt kann man sich als Mathematiker stellen. Als Physiker reicht das nicht aus. Zusätzlich muss man rechtfertigen, weshalb man damit eine Punktladung beschreiben kann. Der Artikel in seiner derzeitigen Form lässt diese Interpretation jedenfalls nicht zu!!--Kilian Klaiber 15:42, 7. Jun. 2007 (CEST)

Realisierbare Messungen sind Integrale über die Ladungsdichte. Deshaln kann und muss man Distributionen für die Beschreibung der Ladungsdichte zulassen. --Pjacobi 15:47, 7. Jun. 2007 (CEST)

Ist das ein physikalisches Argument? "Deshaln kann und muss man Distributionen für die Beschreibung der Ladungsdichte zulassen." Das sehe ich genauso. Die Dirac-Funktion wird nunmehr seit ihrer Einführung durch den Physiker und Nobelpreisträger Paul Dirac im Jahre 1930 erfolgreich zur Beschreibung von punktförmigen Verteilungen verwendet. Ich habe deshalb auch keinen Zweifel daran, dass diese Interpretation korrekt ist. Leider steht diese Interpretation scheinbar im Widerspruch zu der hier präsentierten mathematischen Definition. --Kilian Klaiber 16:10, 7. Jun. 2007 (CEST)

Ich sege den Widerspruch nicht. Die Dirac-"Funktion" beschreibt die Ladungsverteilung, sie ist eine Distribution, jede realisierbare physikalische Messung ist eine Faltung mit einer Testfunktion und ergibt deswegen eine wohldefinierte c-Zahl. Die Quantenfeldtheorie benutzt die gleiche Sprache. &phi(x) ist eine operatorwerige Distribution, etc, ... --Pjacobi 16:51, 7. Jun. 2007 (CEST)

"Die Dirac-"Funktion" beschreibt die Ladungsverteilung, sie ist eine Distribution," Hier muss ich schon halt machen. Eine Ladungsverteilung ordnet jedem Punkt im Raum einen Wert (Ladungsdichte) zu. Eine Distribution bildet eine Testfunktion auf einen Körper ab. Eine reguläre Distribution kann mit einer gewöhnlichen Funktion identifiziert werden, nämlich einer Funktion, über die integriert wird. Die Dirac-Distribution ist keine reguläre Distribution, d.h. sie kann nicht mit einer Verteilung identifiziert werden, über die integriert wird. Das ist jedenfalls die gängige Lesart. Da gibt es eindeutig einen Widerspruch, schau noch mal genauer hin.--Kilian Klaiber 20:39, 7. Jun. 2007 (CEST)

Nein. Die Ladungsverteilung ist keine Observable, deswegen kann sie eine Distribution sein. --Pjacobi 01:01, 8. Jun. 2007 (CEST)

Nein. Die Ladungsverteilung ist keine Observable... Habe ich das behauptet? Dazu habe ich mich gar nicht geäußert. Mir scheint, wir reden hier von unterschiedlichen Gegenständen. Ich meine den Begriff Distribution, wie er im mathematischen Sinne definiert ist. Lies Dir den Thread durch. Da ist das Problem erklärt. --Kilian Klaiber 09:39, 8. Jun. 2007 (CEST)

physikalische Interpretations als punktförmige Ladungs- oder Massenverteilung <=> Wie klein auch das Messgebiet um den Punkt gewählt wird, es wird immer die gesamte Ladung gemessen <=> Mathematische Definition $\delta _{x}(f)\,=\,f(x)$

Nun, jetzt nähert er sich langsam dem Problem. Nur stellt die Delta-Distribution keine punktförmige Ladungsverteilung dar. Es wird auch nicht eine Messung um den Punkt durchgeführt. Diese Vorstellungen sind nach mathematischer Lesart allesamt falsch. Denn es gibt eine solche Ladungsverteilung nicht. Das ist das Problem.--Kilian Klaiber 10:26, 8. Jun. 2007 (CEST)

Ich glaube wir reden aneinander vorbei. Meine Blickwinkel ist: Ladungsverteilungen sind in der Physik Distributionen, denn sie ordnen jeder Messung (die eine Faltung mit einer Testfunktion ist, punktförmige Messungen gibt es nicht) eine c-Zahl zu. Deswegen können auch idealierte Ladungsverteilungen betrachtet werden, die sich nicht als Funktionen schreiben lassen. --Pjacobi 10:38, 8. Jun. 2007 (CEST)

Dann reden wir wirklich aneinander vorbei. Denn ich rede von der punktförmigen Ladungs- oder Massenverteilung wie sie unter "Anschauliche Definition" in diesem Artikel definiert ist. Allerdings sehe ich nicht, dass du die Delta-Distribution als Faltung mit einer Testfunktion darstellen kannst. Das geht nicht, denn es ist eine irreguläre Distribution. --Kilian Klaiber 10:44, 8. Jun. 2007 (CEST)

Die anschauliche Definition scheint mir der Tribut an den berüchtigten Oma-Test zu sein, aber auf keinen Fall eine physikalische Interpretation. --Pjacobi 10:55, 8. Jun. 2007 (CEST)

Da irrst du Dich. Das ist die gängige physikalische Interpretation. Mir scheint implizit benutzt auch du diese Interpretation. Aber immerhin hast Du den Widerspruch jetzt wahrgenommen. --Kilian Klaiber 11:01, 8. Jun. 2007 (CEST)

Zitat:

Dabei ist $\,\delta (k-k')$ die sogenante Diracsche δ-Funktion mit den Eigenschaften:

• $\,\delta (k-k')=0$ für $k\neq k'$
• $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (k-k')f(k')\,\mathrm {d} k'=f(k)$

Mathematisch ist $\,\delta (k-k')$ keine vernünftige Funktion sondern eine Distribution. Der freie Gebrauch der δ-Funktion hier und im folgenden, als ob sie eine sinnvolle Funktion wäre, lässt sich mathematisch korrekt in der Distributionen begründen.

Aus: Grawert, Quantenmechanik, ISBN 3-400-00025-6

Kein Wort von :$\delta (0)=\infty$!

Pjacobi 11:30, 8. Jun. 2007 (CEST)

Kein Wort von :$\delta (0)=\infty$! Na und? Welchen Wert schlägst du denn vor? Das ist die übliche Einführung in Büchern zur theoretischen Physik. Erst wird die Funktion anschaulich definiert. Dann wird gesagt, dass das nicht stimmt. Zum Schluss wird einfach weiter so getan als ob es eine Funktion sei. Sehr unbefriedigend. Die Mathematiker stecken vor dem Problem einfach den Kopf in den Sand, indem sie sagen, die Delta-Distribution ist ein Funktional, das einer Funktion den Funktionswert an der Stelle Null zuordnet. Wieso ist dadurch der "freie Gebrauch" gerechtfertigt? --Kilian Klaiber 13:24, 8. Jun. 2007 (CEST)

Nein es ist eben nicht die übliche Einführung. Manche Bücher mögen so vorgehen, manche nicht. --Pjacobi 13:34, 8. Jun. 2007 (CEST)

Du kannst Dir ja mal eine Reihe Bücher zur Theoretischen Physik besorgen. Diejenigen Bücher, die die Delta-Funktion diskutieren, gehen in der Regel so vor. Beispiel Nolting 3 Elektrodynamik. Außerdem widersprichst Du Dir selbst. Oben hast Du gesagt, dass sei keine physikalische Interpretation. Dann zitierst du sogar aus einem Physik-Buch, in dem genau diese Interpretation diskutiert wird. --Kilian Klaiber 13:42, 8. Jun. 2007 (CEST)

Hallo? Habe ich nicht gerade ein Beispiel genant?

Und: Es ist keine physikalische Interpretation, es ist eine Veranschaulichung. Die Physik kommt gut ohne sie aus, aber nicht alle Studenten.

Pjacobi 13:50, 8. Jun. 2007 (CEST)

Mein Gott, erkennst Du nicht, dass das genau das gleich ist? Setze f(k)=1, dann hast du die Veranschaulichung. Überlege Dir welchen Wert Delta haben musst, damit dass Integral nicht notwendigerweise Null wird (nämlich unendlich). Die Darstellung als Faltung ist aus mathematischer Sicht, ich sage es zum wiederholten Male, falsch, falsch, falsch. Und jetzt reichts mir.--Kilian Klaiber 13:54, 8. Jun. 2007 (CEST)

Punktmaß

Die Delta-Distribution lässt sich durch ein Maß $\mu _{0}$darstellen, nämlich durch ein Punktmaß, das im Punkt 0 konzentriert ist. Damit könnte man die Formeln auch formal richtig als Integrale schreiben: $\int \phi (x)\delta (x)\,dx=\int \phi (x)\,d\mu _{0}(x)$

Sollte man das noch anfügen?--Digamma 12:41, 15. Jan. 2007 (CET)

Das finde ich sehr interessant. Bitte mehr darüber im Artikel--Kilian Klaiber 11:46, 29. Mai 2007 (CEST)

Siehe Diracmaß. Ist auch im Artikel verlinkt. --Drizzd 20:27, 29. Mai 2007 (CEST)

Mesa-Darstellung

Habe schwirigkeiten damit. ist die Formel so richtig? Ich kann zeigen, dass das Integral darueber immer <0 ist. Das widerspricht doch obiger Definition. http://de.wikipedia.org/wiki/Delta-Distribution Artikel

Ich habe das gelöscht. Es ergibt tatsächlich keinen Sinn. --Digamma 14:44, 8. Jun. 2007 (CEST)

@Kilian Klaiber

Hallo Kilian,

da Du meinen Namen ins Spiel gebracht hast, von mir ein Versuch der Klärung.

Ein wichtiger Punkt ist, zu unterscheiden zwischen physikalischer Realität und mathematischer Modellierung. In der physikalischen Realität gibt es weder Ladungsdichten noch Punktladungen. Beides sind allerdings mathematisch nützliche Konzepte.

Ladungsdichten treten z.B. in den Maxwellschen Gleichungen auf. Punktladungen im Coulombgesetz und in der Definition der elektrischen Feldstärke als Quotient von Kraft und Ladung einer Probeladung. Beides sind also sehr sinnvolle Formen der mathematischen Modellierung.

Das Problem ist nun, dass die beiden nicht verträglich sind. Denn eine Punktladung besitzt keine Ladungsdichte. Man könnte zwar die Dichte so definieren, dass sie außerhalb des Punktes den Wert 0 hat, in dem Punkt selbst aber den Wert unendlich. Das ergibt sich z.B., wenn man die Dichte im Punkt p als Limes r gegen 0 von Gesamtladung im Ball B(p,r) geteilt durch Volumen des Balls definiert. Soweit so gut. Das ergäbe dann die berühmte "delta-Funktion", die überall den Wert 0 hat, aber im Punkt 0 den Wert unendlich.

Nur: Man kann mit dieser Dichte nicht viel anfangen. Man kann aus ihr z.B. nicht die Gesamtladung in einem Raumgebiet mittels Integration berechnen, denn das Integration über die "delta-Funktion" ergibt immer Null.

Aber was gravierender ist: Für diese "Ladungsdichte" gelten auch die Maxwellschen Gleichungen nicht. Denn das Coulomb-Potenzial ist im Nullpunkt nicht definiert und schon gar nicht differenzierbar.

Deshalb muss man die Konzepte modifizieren. Statt nur Ladungsdichten muss man allgemeinere Formen der "Ladungsverteilung" zulassen und man braucht eine mathematische Formulierung der Maxwellschen Gleichungen (und anderer), die solche allgemeineren Ladungsverteilungen zulassen. Die allgemeineren Ladungsverteilungen werden mathematisch durch sogenannte Distributionen modelliert (im Fall der Punktladungen würde auch der einfachere Begriff des signierten Maßes ausreichen), die Geltung der Differenzialgleichungen wird "im schwachen Sinn", "im Sinn von Sobolev" bzw. "im Sinn von Distributionen" verstanden.

Das ist mathematisch natürlich schwieriger als "Dichtefunktionen", deshalb tun sich viele Physiker damit erstmal schwer, zumindest finden sie es unanschaulich. Deshalb greifen sie, zumindest der Anschauung halber, lieber auf obige "delta-Funktion" zurück, statt auf die sinnvollen Begriffe, und schicken die Einschränkungen mit, dass man mit dieser "Funktion" aber nicht so rechnen kann, wie man das von Funktionen gewohnt ist. --Digamma 14:02, 8. Jun. 2007 (CEST)

Hallo Digamma,

danke für den Beitrag. "Nur: Man kann mit dieser Dichte nicht viel anfangen. Man kann aus ihr z.B. nicht die Gesamtladung in einem Raumgebiet mittels Integration berechnen, denn das Integration über die "delta-Funktion" ergibt immer Null." Genau das ist mein Problem - und nicht nur meines. Mir kommt es so vor als ob man auf einer Leiter (Ladungsverteilung) hinaufsteigt und wenn man oben ankommt die Leiter wegwirft. Dann befindet man sich gedanklich im freien Fall.

Inwiefern die Distributionen - nach der mir bekannten Definition - eine Verallgemeinerung der Ladungsverteilungen darstellen, ist mir unverständlich. Für mich ist die mathematische Definition der Distribution einfach: Eine stetig lineare Abbildung von einem Funktionenraum in einen Körper. Der Funktionenraum ist auf gewisse "Testfunktionen" eingeschränkt.

Ich habe überhaupt keine Probleme mit der Definition. Wenn ich von jeglicher Anschauung absehe, dann kann ich damit sehr gut umgehen. Ich habe die Definition verstanden, denn das ist ganz einfach. Allerdings ist die vermeintlich falsche Anschauung als punktförmige Verteilung in der Physik ja nicht folgenlos. In dieser Bedeutung wird das Delta-Funktional verwendet und zwar erfolgreich. Beispiel, weil du von Maxwellgleichungen sprichst: Nolting Band 3 Elektrodynamik, s. 49. Zur Beschreibung der Ladungsdichte einer Punktladung wird das Delta-Funktional verwendet. Aber das ist doch mathematisch falsch. Es kann doch nicht mathematisch falsch und physikalisch richtig sein. Beides zugleich geht nicht. Diesen Widerspruch hat mir noch niemand aufgelöst.--Kilian Klaiber 15:01, 8. Jun. 2007 (CEST)

"Inwiefern die Distributionen - nach der mir bekannten Definition - eine Verallgemeinerung der Ladungsverteilungen darstellen, ist mir unverständlich." Wenn Du "Ladungsverteilung" schreibst, dann meinst Du "Ladungsdichte", oder? Verteilungen sind aber viel allgemeiner. Eben z.B. auch Punktladungen.

Distributionen (das Wort bedeutet ja nichts anderes als "Verteilung"), sind insofern Verallgemeinerungen von Dichtefunktionen, als dass (1) Jede Dichtefunktion Anlass zu einer Distribution gibt, und (2) Jede Distribution in einem geeigneten Sinn Grenzwert einer Folge von durch Dichtefunktionen gegebenen Distributionen ist.

Konstrukte wie die "Delta-Funktion" entstehen, wenn man den Grenzübergang zu naiv macht: als punktweisen Limes der Dichtefunktionen.

"Wenn ich von jeglicher Anschauung absehe, dann kann ich damit sehr gut umgehen." Klar. Für den Mathematiker kein Problem. Aber wenn man Physik betreibt, dann möchte man doch eine Form der Anschauung haben. Man möchte einen Zusammenhang mit dem haben, wie man sich die betrachtete physikalische Situation vorstellt. Und man möchte einen Bezug zu ähnlichen physikalischen Situationen.

Beispiel: Eine kleine geladene Kugel und eine Punktladung sind physikalisch sehr ähnliche Objekte (letzteres in der Regel nur eine Idealisierung von ersterem). Dann sollte doch auch zwischen den mathematischen Beschreibungen (hier Dichtefunktion - dort Punktmaß) ein Zusammenhang bestehen. Besteht ja auch.

"Allerdings ist die vermeintlich falsche Anschauung als punktförmige Verteilung in der Physik ja nicht folgenlos."

Die Anschauung als punktförmige Verteilung ist nicht falsch. Falsch ist nur die Vorstellung einer Dichtefunktion. Die Folgen entstammen somit auch nicht einer falschen Vorstellung, sondern der mathematisch richtigen Interpretation (bzw. Verallgemeinerung) z.B. der Maxwell-Gleichungen.

(Ich kenne die von Dir zitierte physikalische Literatur nicht).--Digamma 15:25, 8. Jun. 2007 (CEST)

Hallo Digamma,

das war jetzt ein super Beitrag von Dir. Vielen Dank. Gemeint war tatsächlich Ladungsdichte. "Die Anschauung als punktförmige Verteilung ist nicht falsch. Falsch ist nur die Vorstellung einer Dichtefunktion." Das muss ich nochmal sacken lassen. --Kilian Klaiber 15:38, 8. Jun. 2007 (CEST)

So, jetzt habe ich eine Nacht drüber geschlafen. Ich denke an einem Faden hängt das ganze: Was ist der Unterschied zwischen der "Ladungsdichte" und der "Ladungsverteilung"?

Wenn es darauf hinausläuft, dass Ladungsdichte eine Funktion f:R->R ist (R relle Zahl), während eine Verteilung eine Funktion D:f->R (f=Testfunktion), dann sind wir keinen Deut weiter. Dann ist der anschauliche Begriff Verteilung einfach durch den mathematischen Begriff Distribution ersetzt worden.

Das mit der Verallgemeinerung ist schon hakelig aber aufschlussreich.

"(1) Jede Dichtefunktion Anlass zu einer Distribution gibt"; das verstehe ich so: eine sogenannte reguläre Distribution kann mittels einer "Dichtefunktion=stetige Funktion f:R->R" konstruiert werden. Aber eine Dichtefunktion ist keine Distribution und vice versa. Die Schnittmenge zwischen den Dichtefunktionen und Distributionen ist null. Das ist also eine ganz spezielle Form der Verallgemeinerung.

"(2) Jede Distribution in einem geeigneten Sinn Grenzwert einer Folge von durch Dichtefunktionen gegebenen Distributionen ist." Der Raum der Distributionen ist vollständig?, egal: Es gibt Distributionen, die nicht regulär sind. Sie lassen sich nicht mittels Dichtefunktionen ausdrücken. Sie stellen aber Grenzwerte von Folgen von regulären Distributionen dar. Beispiel: Die Delta-Distribution. --Kilian Klaiber 13:30, 9. Jun. 2007 (CEST)

Was ist der Unterschied zwischen der "Ladungsdichte" und der "Ladungsverteilung"?

"Ladungsdichte" ist für mich ein mathematischer Begriff um einen physikalischen Sachverhalt zu modellieren, "Ladungsverteilung" ein nicht mathematisch präzisierter Begriff zur Beschreibung einer physikalischen Situation. Ich weiß allerdings nicht, ob das so Allgemeingut ist.

Zu (1): Du verstehst das schon richtig. In der Interpretation bist Du aber zu kleinlich. Wenn man so argumentiert, dann sind natürliche Zahlen keine ganzen Zahlen und ganze Zahlen keine rationalen Zahlen. Klar sind Dichtefunktionen keine Distributionen. Sie lassen sich aber kanonisch als solche auffassen. Was verstehst Du denn unter einer "Verallgemeinerung"?

Zu (2): Der Raum der Distributionen ist vollständig? Das habe ich nicht gesagt. Er ist noch nicht einmal ein metrischer Raum. Meine Aussage besagt, dass die Teilmenge der regulären Distributionen dicht ist. Sie stellen aber Grenzwerte von Folgen von regulären Distributionen dar. Genau das habe ich gesagt.

Mein Problem mit Deinen Einwänden: Die Theorie der Distributionen ist nicht l'art pour l'art. Sie sind ein Hilfsmittel in der Behandlung von Differenzialgleichungen, die oft wiederum physikalisch motiviert sind. Das sollte man im Auge behalten, wenn man sie verstehen will.

Den "Kleinligkeitseinwand" kann ich nicht ganz nachvollziehen. Ich meine, jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl. Also ist die Menge der ganzen Zahlen eine Verallgemeinerung der natürlichen Zahlen. Bei den Distributionen sieht es halt anders aus. Im Übrigen habe ich das Beispiel als aufschlussreich bezeichnet.

Irgendwie sind wir uns ja einig, dass die Vortelltung einer punktförmigen Verteilung für die Delta-Distribution zulässig ist. Das Integral über die Delta-Distribtion muss man als Grenzwert einer Folge regulärer Distributionen auffassen. Die den regulären Distributionen entsprechenden stetigen Funktionen konvergieren zwar punktweise gegen die der anschaulichen Vorstellung entsprechenden Funktion. Die Delta-Distribution darf man sich aber nicht so vorstellen. ??- (Verstand ausschalten!!) In der Physik werden regelmäßig stetige Funktionen f:R->R mit Delta-Distributionen gleichgesetzt. Mathematisch korrekt muss man der Funktion f die entsprechende reguläre Distribution zuordnen und die Gleichung ergibt einen Sinn. Vielleicht könnte man das in dem Artikel noch unterbringen, damit sich die Welten wieder treffen. Schönen Abend --Kilian Klaiber 21:44, 9. Jun. 2007 (CEST)

Das Integral über die Delta-Distribtion muss man als Grenzwert einer Folge regulärer Distributionen auffassen. Nein, muss man nicht. Das Integral gegen eine Testfunktion ist nur eine symbolische Schreibweise für die Anwendung der Distribution auf diese Testfunktion. Darüberhinaus gehört die Delta-Distribution zu einer besonderen Klasse von Funktionen, nämlich zu denen, die sich als (signiertes) Maß darstellen lassen, nämlich gerade durch ein Punktmaß. Und für Maße sind Integrale natürlich definiert.

Die Delta-Distribution darf man sich aber nicht so vorstellen. ??- (Verstand ausschalten!!) Wieso denn Verstand ausschalten?

Den "Kleinligkeitseinwand" kann ich nicht ganz nachvollziehen. Ich meine, jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl. Das hängt davon ab, in welcher Weise man die ganzen Zahlen definiert. Üblicherweise als Äquivalenzklassen von Paaren natürlicher Zahlen. Oder als Paare aus einem Vorzeichen und einer natürlichen Zahl. Dann entspricht zwar jeder natürlichen Zahl eine positive ganze Zahl, aber die beiden sind rein formal nicht identisch. Und genauso ist es bei den Distributionen auch. Immer wenn man einen Begriff verallgemeinert, muss man eine neue Art von Objekten schaffen, in die man dann die alten "einbettet". --Digamma 00:04, 10. Jun. 2007 (CEST)

Du behauptest also, dass die natürlichen Zahlen keine ganze Zahlen sind? Das halte ich aber für sehr gewagt. Ich habe das Gefühl, dass die Diskussion abgleitet und nunmehr sich nur noch darum dreht recht zu behalten. Letztlich konntest Du das Rätsel nicht auflösen. Schade --Kilian Klaiber 09:59, 10. Jun. 2007 (CEST)

Einheiten

wie ist das zu erklären?

$\Delta p=\int F(t)dt$

[p] = kg*m/s [F] = kg*m/s^2

durch integrieren bekommt man die dimension "zeit" dazu

jetzt betrachtet man einen kraftstoß $\Delta p=\int F_{0}\delta (t)dt=F_{0}$

wo steckt der fehler? die dimensionen/einheiten passen offensichtlich nicht zusammen, obwohl man sie, wenn man beispielweise die fourierdarstellung der delta-funktion benutzt, natürlich mit reinbekommen würde.

Die Dimension der Dirac-Distribution ist die inverse Dimension ihres Argumentes, hier also $\mathrm {dim} \left(\delta \left(t\right)\right)=T^{-1}$. Dadurch ist der linke Teil der unteren Gleichung unzulässig:$\mathrm {dim} \left(\Delta p\right)\neq \mathrm {dim} \left(\int F_{0}\delta (t)\mathrm {d} t\right)$ --Camul 19:17, 28. Aug. 2007 (CEST)

Fehler

Zitat: "Diese Schreibweise erinnert an die Definition des Kronecker-Deltas, für die Delta-Distribution wird jedoch zusätzlich gefordert, dass:"

Nein, die Schreibweise erinnert nur sehr entfernt an das Kronecker-Delta, und daher wird nicht ZUSÄTZLICH GEFORDERT, sondern man vergesse das Kronecker-Symbol vollständig und beschäftige sich dann mit dem Dirac-Symbol. Habe das mal geändert.--84.185.47.191 20:29, 9. Jul. 2007 (CEST)

Warum wurde die Änderung zurückgenommen?

Im Artikel befindet sich eine Aussage, die ich korrigiert hatte.

1) Der Dirac-Impuls hat mit dem Kronecker-Symbol nicht das geringste zu tun. Die Definition ist eine gänzlich andere, Indices sind beim Dirac nicht vorhanden und die Fallunterscheidung sieht völlig anders aus. Die Erwähnung des Kronecker-Symbols ist irreführend und nicht sinnvoll.

2) So wie der Satz jetzt dasteht, kann man ihn missverstehen als "diese Definition ist fast wie die vom Kronecker-Symbol, aber ZUSÄTZLICH gilt noch folgende Aussage (...Integral)".

Das suggeriert aber, dass irgendeine Eigenschaft vom Kronecker-Symbol mit in der Definition vom Dirac steckt. Steckt aber nicht.

Ich werde das im Sinne eines guten Stils wieder berichtigen, wenn keine erklärende Antwort in der Diskussion angegeben wird.--84.185.17.242 12:47, 10. Jul. 2007 (CEST)

Ein Cache-Problem gewesen (bis jetzt). --84.185.24.144 23:18, 15. Jul. 2007 (CEST)

Tendenz

Ich finde, dass die Formulierungen "die folgende Definition, die aber mathematisch unsinnig ist" und "Mit dieser wenig sinnvollen Definition" im Abschnitt "Anschauliche Definition" tendenzioes sind und nicht in die Wikipedia gehoeren. Ob etwas sinnvoll ist oder nicht, haengt von dem jeweiligen Kontext ab. Dass in der Physik eine Definition benutzt wird, die mathematisch nicht funktioniert, bedeutet nicht, dass sie objektiv unsinnig ist. Das sollte anders formuliert werden.--Annana 23:49, 15. Feb. 2008 (CET)

Hallo Annana, ich glaube diese tendenziöse Formulierung berührt den Kern des Problems. Die "anschauliche Definition" muss mit der mathematischen Definition sinnvoll in Einklang gebracht werden. Das war letztlich der Kern der obigen Diskussion. Historisch betrachtet ist diese "anschauliche Definition" allerdings die erste Definition, denn das Delta-Funktional wurde von keinem Mathematiker ersonnen sondern vom Physiker Dirac eingeführt, um eine punktförmige Verteilung zu beschreiben. In diesem Sinne wird es standardmäßig und sehr erfolgreich in der Physik und in den Ingenieurswissenschaften Elektrotechnik und Maschinenbau verwendet - seit mehr als 50 Jahren. Es kann also nicht ganz unsinnig sein ...

Die mathematische Definition als Funktional über einem Raum von Testfunktionen ist erst später von Laurent Schwartz ersonnen worden. Dieses Funktional kurzerhand als Verteilung bzw. Distribution zu bezeichnen, löst allerdings den scheinbaren Widerspruch nicht auf. Meiner Meinung nach lässt sich der Widerspruch nur auflösen, indem das Integral über die Delta-Distribution nicht als Lebesgue-Integral interpretiert wird, sondern als Dirac-Integral bzw. Dirac-Maß. Denn das Lebesgue-Integral über die anschaulich definierte Dirac-Funktion ist Null und nicht 1. Da liegt der Hund begraben. Kilian Klaiber 11:47, 13. Mär. 2008 (CET)

Hallo, ich kann mich nur der Meinung anschließen, dass der Artikel in seiner jetzigen Form tendenziös und nicht geeignet für eine ernstzunehmende Exzyklopädie ist. Da Physiker allerdings mit mathematischen Begriffen hantieren, müssen diese auch mathematisch sinnvoll sein. Will man trotzdem noch eine Anschauung rüberbringen, besteht meiner Meinung nach der einzige Ausweg darin, zuerst darzustellen, was man sich für eine Funktion "wünschen" würde, dann die mathematische Def. zu bringen und anschließend zu erklären, was das miteinander zu tun hat. So stiftet der Artikel nur Verwirrung. (nicht signierter Beitrag von 91.34.68.115 (Diskussion) 14:37, 2. Aug. 2008)

Könntest Du das bitte etwas konkretisieren? Was ist an dem Artikel tenenziös? Was ist verwirrend? Die ursprünglich in dieser Diskussion kritisierten Formulierungen wurden nämlich inzwischen geändert. --Drizzd 11:34, 3. Aug. 2008 (CEST)

Hammerschlag

Ich würde es begrüßen den Artikel wieder "Delta Funktion" zu nennen, auch wenn es nicht ganz richtig ist, aber diese Bezeichnung ist einfach geläufiger, ähnlich wie Flächenträgheitsmoment. Ich denke dieser Artikel ist vor allem für "Nicht-Mathe-Cracks". Wenn man so in der Materie ist dann braucht man diesen Artikel nicht. Man sollte die richtige Bezeichnung in den Text einfügen. Eine Such-Verknüpfung mit Hammerschlag-Funktion wäre auch ganz vorteilhaft. (nicht signierter Beitrag von 217.10.95.68 (Diskussion) 17:19, 16. Jun. 2008)

Mir ist die Funktion auch in meinem "unmathematischen" Ingenieursstudium nur als 'Dirac Funktion' untergekommen, wohingegen ich den Begriff 'Deltafunktion' eher mit dem Kronecker-Delta assoziiert hätte. Insofern wäre es m.E. sogar sinnvoller, statt einer Weiterleitung unter Delta-Funktion eine Begriffserklärungsseite anzulegen. Abgesehen davon verstehe ich Dein Problem mit dem Titel nicht ganz. Es wird ja ohnehin im ersten Satz erklärt, dass es auch Delta-Funktion heißen kann. Den Begriff "Hammerschlag-Funktion" habe ich übrigens noch nie gehört. Zuerst habe ich gar nicht verstanden, was Du eigentlich meinst. --Drizzd 18:47, 16. Jun. 2008 (CEST)

Mein Problem mit dem Titel besteht darin, dass es für mich bei der Suche nach der "Deltafunktion" etwas irreführend war. Man könnte doch eine automatische Weiterleitung bei der Eingabe von "Dirac-" oder "Deltafunktion" einfügen. Naja der Hammerschlag würde vielleicht für ein praktisches Beispiel dienen. (nicht signierter Beitrag von 217.10.95.68 (Diskussion) 14:59, 17. Jun. 2008)

Aber genau das ist doch der Fall? Und bitte signiere Deine Beiträge, sonst kennt man sich nicht aus. --Drizzd 17:02, 18. Jun. 2008 (CEST)

Mehrdimensionale Deltadistribution

Hallo,

was ist das für ein hin und her? Und warum sollte

$\int f({\vec {x}})\,\delta ({\vec {x}}-{\vec {a}})\,\mathrm {d} ^{n}x=\int f({\vec {x}})\,\delta ({\vec {a}}-{\vec {x}})\,\mathrm {d} ^{n}x=f({\vec {a}})$

richtig sein? Wie wertet man denn eine Funktion, dann am Punkt Minus A aus? Falls die nächsten Tage keine Einwende kommen, setze ich diese Änderung wieder zurück. --Christian1985 20:40, 6. Dez. 2009 (CET)

Auch wenn die Frage schon älter ist: Die dargestellte Gleichheit gilt. Dies laesst sich einfach zeigen:

${\begin{aligned}\int f({\vec {x}})\,\delta ({\vec {x}}-{\vec {a}})\,\mathrm {d} ^{n}x&=\int f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\delta (x_{1}-a_{1})\delta (x_{2}-a_{2})\dots \delta (x_{n}-a_{n})\mathrm {d} ^{n}x\\&=f(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})=f({\vec {a}})\end{aligned}}$
Wegen $\delta (x-a)=\delta (a-x)$ ist es auch egal wie rum die Zahlen innerhalb der Dirac-Distribution notiert sind. --Chromate 02:16, 17. Jul. 2010 (CEST)

Vielleicht könnte man noch erwähnen, wie die Delta-Distribution in krummlinigen Koordinatensystemen aussieht. Dort bekommt sie, je nach gewaehltem Koordinatensystem, einen Vorfaktor.

Kartesische Koordinaten: $\delta ({\vec {x}})=\delta (x)\delta (y)\delta (z)$
Zylinderkoordinaten: $\delta ({\vec {x}})={\frac {1}{\rho }}\delta (\rho )\delta (\varphi )\delta (z)$
Kugelkoordinaten: $\delta ({\vec {x}})={\frac {1}{r^{2}\sin(\vartheta )}}\delta (r)\delta (\vartheta )\delta (\varphi )$

Ist es sinnvoll das zu erwaehnen? --Chromate 02:03, 17. Jul. 2010 (CEST)

Ja, aber unter Hinweis auf das jeweilige Volumdifferential. (Man geht weniger leicht fehl, wenn man das Dirac-Maß ansetzt, vgl. oben unter Dimension.)

$\mathrm {d} ^{3}{\vec {x}}=\mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathrm {d} z=\rho \,\mathrm {d} \rho \mathrm {d} \varphi \mathrm {d} z=r^{2}\sin \vartheta \,\mathrm {d} r\mathrm {d} \vartheta \mathrm {d} \varphi$.

Die Schweibweise des Volumelements – im Dreidimensionalen – gemäß

$\mathrm {d} V=\mathrm {d} ^{3}{\vec {x}}$

erinnert an das Spatprodukt mit ${\vec {x}}$ als Vektor; $V$ Volumen. Grunswiki 12:35, 17. Jul. 2010 (CEST)

Ich habe das mal ein wenig ausformuliert (siehe unten). Kannst du mal eben drueber schauen, ob das so in Ordnung geht? Dann wuerde ich das in den Artikel einfuegen. --Chromate 14:26, 17. Jul. 2010 (CEST)

Kleiner Tipp: Füge Deine Ergänzungen/Änderungen doch einfach in den Artikel ein, und schreibe auf die Diskussionsseite nur deine Begründung und die Bitte, sich die Änderung anzusehen. Dann kann jemand anders Deine Änderung einfach bearbeiten. Und freigeschaltet werden die Änderungen sowieso erst, wenn sie jemand gesichtet hat. -- Digamma 20:57, 17. Jul. 2010 (CEST)

Alles klar. Ich bin erst seit gestern hier, von daher muss ich mich erst noch an alles gewoehnen. Ich wollte nicht gleich am Anfang in bestehenden Artikeln rumpfuschen, daher habe ich das zunaechst einmal auf die Diskussionsseite gepostet (wie auch drueben bei der Taylor-Formel). Aber wenn ich es auch direkt posten kann, dann mache ich das naechstes mal so. Danke fuer den Hinweis. --Chromate 23:20, 17. Jul. 2010 (CEST)

Du musst natürlich dann immer damit rechnen, dass jemand deine Änderungen kommentarlos wieder zurücknimmt. Aber sie sind ja nicht verloren. Und in der Diskussion findet man dann meist eine Version, mit der alle Beteiligten zufrieden sind. -- Digamma 10:18, 18. Jul. 2010 (CEST)

Eigenschaft: Dimension

Ich verstehe den Satz

Eine direkte Folgerung aus der Skalierungseigenschaft ist die Dimension bzw. Maßeinheit der Delta-Distribution. Sie entspricht genau der reziproken Dimension ihres Arguments. Hat x beispielsweise die Dimension einer Länge, so hat \delta(x) die Dimension (1/Länge). 

nicht. Eine Dimension ist in der Mathematik doch meistens eine natürliche Zahl. Was ist 1/Länge? Betrachtet man die Delta-Distribution rein mathematisch so hat man keine Einheiten! Was meint Dimension? --Christian1985 20:11, 21. Dez. 2009 (CET)

Vielleicht kann meine Bemerkung oben etwas helfen, insbesondere zum Satz (Zitat): Betrachtet man die Delta-Distribution rein mathematisch so hat man keine Einheiten!

Eine andere Frage: Was soll n in der Skalierungseigenschaft unter Punkt 4 Eigenschaften des Artikels, wenn -1 schon dasteht?

Und kann man bei einer Distribution mit dem Begriff homogen vom Grade n arbeiten, dann ist n = -1?

-- Grunswiki 15:43, 23. Jan. 2010 (CET)

Naja das n scheint einfach falsch dort gewesen zu sein. Ja bei Distributionen kann man durchaus von Homogenität vom Grad n sprechen. Die Sache mit der Dimension habe ich noch nicht ganz geblickt. Der Abschnitt Dimension will mir nur erklären, was für eine physikalische Einheit rauskommt, wenn ich oben eine reinstecke?--Christian1985 16:36, 23. Jan. 2010 (CET)

Testfunktion f

Im Artikel heißt es, "Die Delta-Distribution ordnet jeder beliebig oft differenzierbaren Funktion f eine reelle bzw. komplexe Zahl δ(f) = f(0) zu". Mir scheint aber, dass schon Stetigkeit von f an der Stelle 0 genügt damit δ(f) = f(0) gilt (bzw. überhaupt Sinn macht). Falls ich mich da nicht irre, sollte der Satz entsprechend geändert werden. 130.149.95.223 19:31, 31. Mär. 2011 (CEST) Christian

Ja es ist richtig, es reicht, das f an der Stelle 0 stetig ist. Aber im Zusammenhang mit der Distributionentheorie wird auch die Delta-Distribution ersteinmal auf den Räumen ${\mathcal {D}}(\Omega )=C_{c}^{\infty }(\Omega )$ bzw. ${\mathcal {E}}(\Omega )=C^{\infty }(\Omega )$ betrachtet. Die Delta-Distribution direkt auf einem solch allgemeinen Funktionenraum zu betrachten ist etwas unnatürlich. Sollte aber auf jedenfall auch im Artikel erklärt werden. --Christian1985 (Diskussion) 19:40, 31. Mär. 2011 (CEST)

Approximation der Deltadistribution

Hallo an alle, in den Eigenschaften wird verlangt, dass die "Deltafunktion als Grenzwert einer Funktionenfolge" (Anführungsstrichle um hitzige Debatten um diese Begriffsweise zu umgehen) unendlich bei x=0 und sonst null sein muss. Dies ist aber keine notwendige Bedingung für die Deltafunktion im Rahmen einer Distribution. Als Gegenbeispiel will ich hier die Sinc-Funktion erwähnen, die mitunter einer der wichtigsten Represanten ist.

Viele Grüße =) -- Freeze S 13:49, 21. Apr. 2011 (CEST)

Den Zusammenhang zwischen der Sinc-Funktion und der Delta-distribution verstehe ich nicht. Könntest Du das genauer erklären. --Christian1985 (Diskussion) 15:39, 21. Apr. 2011 (CEST)

Also die Delta"distribution" ist zwar keine reguläre Distribution, sie lässt sich aber glücklicherweise wenigstens noch als Grenzwert eines Integrals über einer stetigen Funktion $f_{n}(x)$ einer Funktionenfolge $(f_{n}(x))_{n}$ und einer Testfunktion $\phi (x)$ (auf die die Deltadistribution angewendet wird) darstellen:

$\delta [f]=\lim _{n\to \infty }\int _{\Omega }f_{n}(x)\phi (x)\mathrm {d} x=\phi (0)$

Jetzt stellt sich natürlich die Frage welche Funktionenfolge $(f_{n}(x))_{n}$ gerade dies für alle Testfunktionen $\phi (x)$ erfüllt.

Man findet heraus, dass es mehrere Funktionenfolgen gibt die diese Eigenschaften erfüllen -diese Funktionenfolgen nennt man dann Delta"funktion". Eine von diesen ist eben die Sincfunktion.

Hinweis

1.) Um Verwechslungen und Irritationen zwischen Distributionen und Funktionen zu vermeiden, habe ich die Glieder der Funktionenfolgen (welche tatsächlich Funktionen im üblichen Sinn sind) mit einem allgemein gebräuchlichen $f(x)$ bezeichnet. Die Testfunktionen welche ebenso Funktionen im üblichen Sinn sind, musste ich daher zur Unterscheidung mit $\phi (x)$ benennen.

2.) Es ist natürlich reine Konvention ob man den Grenzwert $\lim _{n\to \infty }$ oder $\lim _{\epsilon \to 0}$ mit $\epsilon =1/n$ bildet.

Jetzt ist damit das Problem leider immernoch nicht geklärt =(

...viele Grüßle

Freeze S 17:07, 21. Apr. 2011 (CEST)

Meine Frage ist leider auch noch nicht geklärt. Dem was Du gerade dargelegt hast, stimme ich zu. Aber was hat die sinc-Funktion mit der Funktionenfolge $f_{n}$ zu tun. Du willst aus dieser Funktion eine Funktionenfolge konstruieren, die keine Diracfolge ist? Aber diese Funktionenfolge soll bzgl. der distributionellen oder schwachen Konvergenz gegen die Delta-Distribution konvergieren?--Christian1985 (Diskussion) 17:14, 21. Apr. 2011 (CEST)

@Freeze S: Du meinst die Folge $f_{n}(x)={\tfrac {1}{\pi x}}\sin(nx)$? Diese erfüllt doch die genannten Bedingungen. -- Digamma 22:05, 21. Apr. 2011 (CEST)

Ja richtig, Digamma, genau diese Diracfolge meine ich. Nicht alle Diracfolgen müssen aber die Eigenschaft:
$\lim _{\epsilon \to 0}\delta _{\epsilon }(x)={\begin{cases}0&x\neq 0\\\infty &x=0\end{cases}}$
erfüllen. Eben gerade diese Diracfolge ("Sinc-Funktionen") tut dies nicht. Der Grenzwert dieser Folge existiert ja noch nicht einmal für $x\neq 0$ (selbst auf den um {$-\infty ,+\infty$} erweiterten reellen Zahlen) -- Freeze S 22:24, 27. Apr. 2011 (CEST)

Stimmt. Ich hatte mich getäuscht. Nun beginne ich aber daran zu zweifeln, dass es sich um eine Dirac-Folge handelt. -- Digamma 22:36, 27. Apr. 2011 (CEST)

Der Grenzwert dieser Folge ist definitiv die "Deltadistribution". Wir haben das mal in Ana4 bewiesen. -- Freeze S 00:35, 28. Apr. 2011 (CEST)

Das ist sicher richtig. Ich habe ein bisschen herumgeschaut: Viele Autoren verlangen von einer Dirac-Folge, dass die Funktion nicht-negativ ist, oder dass sie (absolut) integrierbar ist. Beides ist bei der sinc-Funktion nicht der Fall. Sie ist nur lokal integrierbar, das Integral über ganz $\mathbb {R}$ existiert nur uneigentlich. -- Digamma 08:56, 28. Apr. 2011 (CEST)

Damit ist die sinc-Funktion aber in diesem Sinne keine Dirac-Folge. In dem Artikel wird sie aber im Rahmen dieser Eigenschaften als Dirac-Folge deklariert. Um Verwirrungen zu vermeiden, sollte dies daher im Artikel unbedingt erwähnt werden. -- Freeze S 12:14, 4. Mai 2011 (CEST)

Ich habe deinen Kritikpunkt einmal umgesetzt. Ist es so okey? Allerdings habe ich habe nicht geprüft ob andere doch gelistete Funktionenfolge Dirac-Folgen sind. Der Artikel braucht aber sowieso noch einiges an Zuwendung also Nur Mut. --Christian1985 (Diskussion) 13:17, 4. Mai 2011 (CEST)

Nein, damit bin ich noch nicht zufrieden, denn:

1.) Die Deltadistribution lässt sich als Grenzwert regulärer Distributionen darstellen und nicht als Grenzwert einer Funktionenfolge. Dir ist ja bekannt, dass die "Deltafunktion" als Grenzwert einer Diracfolge bezeichnet wird, nicht aber die Deltadistribution.

2.) Die Integration ist ganz normal durchführbar (soweit ich mich noch an Ana4 erinnern kann). Es bedarf also keines Cauchyschen Hauptwerts.

3.) Mir ist aufgefallen, dass im Artikel Cauchyscher Hauptwert, ein divergentes Integral als uneigentlich bezeichnet wird. Soweit ich mich erinnern kann stimmt das so nicht. Ein Integral wird als uneigentlich bezeichnet, wenn eine Integrationsgrenze sich einem Häufungspunkt nähert (z.B. $x=0$ oder $x\to \infty$) und das Integral dabei konvergiert.

Ich schlage vor, ich informier mich noch einmal genau über diese Punkte bei meinem Analysis-Dozenten und werde anschließend die genannten Punkte im Artikel bearbeiten. Dann schaust dir des noch einmal an und sagst mir deine Meinung dazu.

Viele Grüße und vielen Dank für die rege Diskussion =) -- Freeze S 22:12, 4. Mai 2011 (CEST)

Nun zu Punkt 1 weiß ich sicher, dass die Begriffe Delta-Funktion und Delta-Distribution äquivalent sind. Aus mathematischer Sicht macht der Begriff Delta-Funktion jedoch nur wenig Sinn. Eine Funktionenfolge kann natürlich nur gegen eine Funktion konvergieren. In diesem Fall macht man eine Identifikation der Funktionenfolge mit der entsprechenden Folge von Distributionen. Diese Folge der Distributionen konvergiert dann gegen die Delta-Distribution. Diese Identifikation wird nur meist unter den Tisch fallen gelassen. Ich habe, um diese anzudeuten, geschrieben, dass die Konvergenz im distributionellen Sinn zu verstehen ist. Bei Deinen Kritikpunkten zwei und drei muss ich erstmal ein wenig rechnen. Viele Grüße --Christian1985 (Diskussion) 22:23, 4. Mai 2011 (CEST) Du hattest Recht, dass das mit dem cauchschen Hauptwert murks war. Ich habe es mal korrigiert. Ich werde die Tage noch die Definition der Dirac-Folge überarbeiten, so wie es da steht gibt es gerade wenig Sinn. --Christian1985 (Diskussion) 22:49, 4. Mai 2011 (CEST)

Jo hast Recht (meinst die Identifikation der regulären Distributionen über stetige Funktionen oder?)... mit der Konvergenz im distributionellen Sinn stimme ich dir voll und ganz zu -hab das vermutlich überlesen... Ich schau mal gschwind in meinem Anaskript wegen Punkt drei...

Bis die Tage ;-) -- Freeze S 20:16, 10. Mai 2011 (CEST)

Muss die Dirac-Folge jetzt eigentlich positiv sein oder nicht. Falls ja sollte dies noch unbedingt in der Definition erwähnt werden.

Mal noch eine andere Frage:

Auf welche Quelle berufst du dich eigentlich für die Definition einer Dirac-Folge? Unbedingt noch angeben!

Ansonsten finde ich den Abschnitt (auch mit dem neuen Titel) besonders gelungen =D, sogar besser als die entsprechende Seite von Wolfram Research!!!!!

Viele Grüßle ;) -- Freeze S 15:28, 16. Mai 2011 (CEST)

Ja stimmt das wollte ich sowieso noch machen und ist dank Deiner Aufforderung nun auch geschehen. Viele Grüße --Christian1985 (Diskussion) 23:54, 16. Mai 2011 (CEST)

Wenn man schon bei der sinc-Funktion darauf hinweist, dass es keine Diracfolge im Sinne der angegebenen Definition ist, dann müsste man das bei der komplexen Diracfolge auch machen, denn die produziert auch nicht nur positive Funktionswerte. -- PatrickC (Diskussion) 11:16, 2. Okt. 2012 (CEST)

Du meinst die Folge, die im Artikel Fresnel-Darstellung genannt wird? --Christian1985 (Disk) 12:57, 2. Okt. 2012 (CEST)

Genau die. Ich kenne diese Funktionenfolge auch als Diracfolge, deswegen war ich sehr überrascht, dass hier die Funktionen nur positive Werte annehmen dürfen. -- PatrickC (Diskussion) 17:22, 2. Okt. 2012 (CEST)

Allgemeine Konstruktion

Hallo an alle,
mir hat neulich ein Kollege erläutert, dass aus "jeder" Funktion eine Deltadistribution konstruiert werden kann:

Funktion normieren, Argument skalieren (x->x/n) und gleichzeitig Funktion skalieren n*f(x/n) ...fertig =)!
Sofern natürlich alles im üblichen Sinne gut läuft:
Im unendlichen schnell genug abfallend blablabla...
...könnte man doch wunderbar noch mit in den Artikel einbauen, oder was meint ihr?!


PS: Wer dem zustimmt, net einfach glei neuen Abschnitt oder sonstwas einbauen, des würde dann schon ich übernehmen ;-)!!!

Viele Grüße -- Freeze S 15:06, 7. Jun. 2011 (CEST)

Das sehe ich noch nicht. Nimm mal eine Dirac-Folge $(\delta _{n})$ und hänge vorne noch ein Minus dran. Diese Folge erfüllt alle Regularitätsvoraussetzungen, aber die Folge approximiert nicht die Delta-Distribution, sondern es würde

$\lim _{n\to \infty }-\int _{\mathbb {R} ^{n}}\delta _{n}(x)f(x)\mathrm {d} x=-f(0)$

gelten. Der Punkt der Normierung steckt im Übrigen schon in der Forderung $\textstyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\delta _{n}(x)\mathrm {d} x=1$ drin. Viele Grüße --Christian1985 (Diskussion) 17:59, 7. Jun. 2011 (CEST)

Naja man müsste halt noch gewisse Eigenschaften fordern (klar des steht alles schon in der Definition drin) ...aber von da an müsste man aus jeder Funktion eine Funktionenfolge konstruieren können, die gegen die Deltadistribution konvergiert...
Grüßle -- Freeze S 14:47, 16. Jun. 2011 (CEST)

Koordinatentransformation und Skalierung

Bei der sogenannten Hintereinanderausführung sollte das Integral weggelassen werden (vgl. engl. Wikipedia):

$\delta (g(x))=\sum _{i}{\frac {\delta (x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}}$

Warum genau? Identitäten mit Delta-Funktionen sind "richtiger", wenn die Integralzeichen stehen gelassen werden, denn dann kann man $\int \delta \bullet$ als Schreibweise für die Distribution ansehen.

-Roland 14.Oktober 2004 (nicht signierter Beitrag von 134.105.167.223 (Diskussion) 16:45, 14. Okt. 2004 (CEST))

Vorher war das nur für $\phi =1$ richtig, da gingen die Funktionswerte der Testfunktion and den Nullstellen ein bißchen unter. So wie das jetzt dasteht, ist es jedenfalls besser. (nicht signierter Beitrag von 134.176.18.186 (Diskussion) 17:46, 14. Okt. 2004 (CEST))

Daraus folgt, daß bei der Skalierung die Betragsstriche vergessen wurden:

$\delta (\alpha x)={\frac {1}{|\alpha |}}\delta (x)$

(nicht signierter Beitrag von 134.176.18.186 (Diskussion) 14:27, 14. Okt. 2004 (CEST))

Japanese definition

Dirac delta function $\delta :\mathbb {R} \ni \xi \mapsto \delta (\xi )\in \delta (\mathbb {R} )\subset \mathbb {R}$ is a distribution whose image $\delta (\xi )$ is homeomorphic to the function $h:\mathbb {R} \ni \xi \mapsto {\frac {1+{\rm {sgn}}\xi }{2}}\in \mathbb {R}$ and satisfies the integral equation as follows:

$\int _{-\infty }^{x}\delta (t)dt=h(x)$    ${\rm {for}}\ \ \forall x\in \mathbb {R}$ .

(nicht signierter Beitrag von 219.49.2.9 (Diskussion) 06:25, 6. Mai 2005 (CEST))

Delta-Distribution in krummlinigen Koordinatensystemen

In krummlinigen Koordinatensystemen muss die Funktionaldeterminante

$\mathrm {d} ^{3}r=\mathrm {d} x~\mathrm {d} y~\mathrm {d} z={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (a,b,c)}}~\mathrm {d} a~\mathrm {d} b~\mathrm {d} c$

berücksichtigt werden.

Der Ansatz

$\delta ({{\vec {r}}-{\vec {r_{0}}}})=\gamma (a,b,c)~\delta (a-a_{0})~\delta (b-b_{0})~\delta (c-c_{0})$

mit ${\vec {r}}=(a,b,c)$ und ${\vec {r_{0}}}=(a_{0},b_{0},c_{0})$ führt dabei auf die Gleichung

$\int \limits _{V}\delta ({\vec {r}}-{\vec {r_{0}}})~\mathrm {d} ^{3}r=\iiint \limits _{V}{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (a,b,c)}}~\gamma (a,b,c)~\delta (a-a_{0})~\delta (b-b_{0})~\delta (c-c_{0})~\mathrm {d} a~\mathrm {d} b~\mathrm {d} c~{\stackrel {!}{=}}~1$, falls ${\vec {r_{0}}}\in V$.

Daran lässt sich ablesen, dass gelten muss

$\gamma =\left(\left.{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (a,b,c)}}\right|_{\vec {r_{0}}}\right)^{-1}$.

In krummlinigen Koordinatensystem muss die Delta-Distribution also mit einen Vorfaktor versehen werden, der dem Kehrwert der Funktionaldeterminate entspricht. --Chromate 13:58, 17. Jul. 2010 (CEST)

Beispiele

In Kugelkoordinaten mit ${\vec {r}}=(r,\vartheta ,\varphi )$ und ${\vec {r_{0}}}=(r_{0},\vartheta _{0},\varphi _{0})$ gilt:

$\delta ({\vec {r}}-{\vec {r_{0}}})={\frac {1}{r_{0}^{2}\sin \vartheta _{0}}}~\delta (r-r_{0})~\delta (\vartheta -\vartheta _{0})~\delta (\varphi -\varphi _{0})$

In Zylinderkoordinaten mit ${\vec {r}}=(\rho ,\varphi ,z)$ und ${\vec {r_{0}}}=(\rho _{0},\varphi _{0},z_{0})$ gilt:

$\delta ({\vec {r}}-{\vec {r_{0}}})={\frac {1}{\rho _{0}}}~\delta (\rho -\rho _{0})~\delta (\varphi -\varphi _{0})~\delta (z-z_{0})$

--Chromate 13:58, 17. Jul. 2010 (CEST)

Literatur

• Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 3: Elektrodynamik (Springer-Lehrbuch) (German Edition) Springer, ISBN 9783540712510 (für Delta-Distribution in krummlinigen Koordinatensystemen)

--Chromate 13:58, 17. Jul. 2010 (CEST)

OK, habe mir erlaubt zwei Zeilenabstände vorzuschlagen. Die Indizes 0 könnten in den konkreten F.-Determinanten fehlen, weil letztlich Integrale ausgeführt werden und dabei Vorfaktoren von Delta-Distributionen (immer) an den Stellen $r_{0},\rho _{0},\varphi _{0},...$ ausgewertet werden; würde es aber belassen wie bei Nolting. Damit ist auch außerhalb eines Kontextes ersichtlich, dass über ${\vec {r}}$ integriert werden soll. Grunswiki 19:41, 17. Jul. 2010 (CEST)

Alles klar. Ich habe es wie oben stehend in den Artikel eingefuegt. Jetzt muss es nur noch gesichtigt werden. Danke Grunswiki fuer deine Hilfe.

--Chromate 20:50, 17. Jul. 2010 (CEST)

Da Du es offensichtlich als „Einzelnachweis“ gemeint hast, habe ich es in dem Sinne verändert. Bitte nach „Springer“ die Jahreszahl einfügen. Grunswiki 08:43, 18. Jul. 2010 (CEST)

Nein. Von mir gemeint war, dass der ganze Abschnitt Delta-Distribution in krummlinigen Koordinatensystemen inklusive der Beispiele dem Nolting entnommen ist. Ich denke die Fussnote ist daher nicht gluecklich platziert. Die Jahreszahl habe ich indes nachgetragen. --Chromate 09:03, 18. Jul. 2010 (CEST)

Unter dem Abschnitt Delta-Distribution#Delta-Distribution_in_krummlinigen_Koordinatensystemen habe ich gerade deshalb doch den Einzelnachweis „Nolting“ angeführt nach der Worten des erten Absatzes: „... berücksichtigt werden.“ Einzelnachweise sind wohl für solch lokale Belege gedacht. Du könntest Tag „ref“ nach Deinem Geschmack gern nach vorn versetzten, habe solches aber noch nicht in Überschriften gesehen. Grunswiki 12:03, 18. Jul. 2010 (CEST)

Okay, diese Regelung kannte ich nicht. Ich haette die Fussnote jetzt in der Ueberschrift platziert, aber ich denke das ist Geschmackssache. Wenn du meinst dass das nicht ueblich ist, passt es dann wohl schon so. --Chromate 12:46, 18. Jul. 2010 (CEST)

Bei der Ausführung über die mehrdimensionale Deltafunktion existiert ein Fehler. Offenkundig ist nämlich, würde man diese so wie im Artikel beschrieben definieren, die Deltafunktion dann für r_0 = 0 nicht definiert. Tatsächlich jedoch, wie z.B. hier zu entnehmen ist http://www.quantum.physik.uni-potsdam.de/teaching/ss2013/mathmeth/DeltaFunk.pdf, ist der Vorfaktor gerade das Inverse der Funktionalmatrix OHNE das der entsprechende Ort in diese eingesetzt wird. Dies beseitigt diesen Widerspruch. Ich bitte um Korrektur. Der Abschnitt ist etwas umfangreicher, daher traue ich mir eine konsistente Korrektur selbst nicht zu (Daher der Abtritt an einen anderen Nutzer). (nicht signierter Beitrag von 78.53.149.45 (Diskussion) 21:27, 12. Mai 2014 (CEST))

In der angegebenen Quelle von Nolting, steht das so drin. Kann es sein, dass das in der Literatur unterschiedlich ist? Oder egal ist? Für r_0 = 0 sind ja Kugelkoordinaten sowieso singulär. -- HilberTraum (Diskussion) 12:07, 13. Mai 2014 (CEST)

Die Formulierung ergibt so aber nicht mal symbolisch Sinn, die Beispiele mit Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten die genannt werden können für r_0 = 0 nicht funktionieren, d.h. würde man z.B. die Ladungsdichte einer Punktladung im Ursprung angeben wollen und anschließend darüber integrieren so würde man feststellen, dass das in dieser Formulierung nicht funktionieren kann. Würde man etwa die Zylinderkoordinatenform integrieren, so hätte man einen Ausdruck den man dann durch Null teilen müsste (oder eben symbolisch r_0 stehen lässt und anschließend r_0 = 0 setzt was aber widersinnig ist). Die in meiner Quelle im vorherigen Post angegebene Form ist da schlüssiger (und kenne ich so aus der Uni). (nicht signierter Beitrag von 92.226.6.52 (Diskussion) 04:15, 20. Mai 2014 (CEST))

Testfunktionenraum in der Definition

So, wie das da steht, müsste $\Omega$ von $C^{\infty }(\Omega )$ nicht nur eine offene Teilmenge vom $\mathbb {R} ^{n}$ oder $\mathbb {C} ^{n}$ sein, sondern auch noch die Null enthalten, oder? --46.115.135.83 12:03, 26. Jul. 2014 (CEST)

Ja, stimmt. Ich hab’s mal ergänzt. Danke! -- HilberTraum ⟨d, m⟩ 19:51, 27. Jul. 2014 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Sigma^2 (Diskussion) 17:33, 1. Okt. 2023 (CEST)