Kronecker-Delta

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Das Kronecker-Delta ist ein mathematisches Zeichen, das durch ein kleines Delta mit zwei Indizes (typischerweise $\delta_{ij}\,$ ) dargestellt wird und nach Leopold Kronecker benannt ist. Es wird manchmal auch als Kronecker-Symbol bezeichnet, obwohl es noch ein anderes Kronecker-Symbol gibt.

Der auch gebräuchliche Begriff Deltafunktion ist irreführend, weil damit häufiger das Dirac-Delta bezeichnet wird.

Es wird vor allem in Summenformeln im Zusammenhang mit Matrix- oder Vektoroperationen verwendet, oder um Fallunterscheidungen in Formeln zu vermeiden.

[Bearbeiten] Definition

Das Kronecker-Delta ist definiert als:

$\delta_{ij} = \left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{falls } i=j \\ 0 & \mbox{falls } i \neq j \end{matrix}\right.$ .

Dabei können i und j Elemente einer beliebigen Menge $I$ sein, meist jedoch einer endliche Teilmenge der natürlichen Zahlen.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Das Kronecker-Delta kann in der Form

$\delta=\mathrm{1}_D\colon I\times I\to \{0,1\}$ ,

geschrieben werden, ist also die charakteristische Funktion $1 D$ der Diagonalmenge $D=\{(i,j)\in I\times I:\; i=j\}$ . Häufig wird dabei an Stelle von ${0,1}$ ein erweiterter Bildraum, z.B. die reellen Zahlen, betrachtet.