Diskussion:Lagrange-Formalismus

Dieser Artikel wurde ab Februar 2011 in der Qualitätssicherung Physik unter dem Titel „Lagrange-irgendwas“ diskutiert. Die Diskussion kann im Archiv nachgelesen werden.

Der "Bill-Gates-Effekt"

Wie sind die störenden Unterschiede in der Schriftgröße bei den mathematischen Ausdrücken zu erklären? Liegt hier ein Fehler im Parser vor? 80.136.52.31 22:35, 11. Aug 2004 (CEST)

Antwort: Es ist der übliche "Bill-Gates-Effekt" (also, wenn Letzterer versucht, TeX mit Word-ähnlichen Programmen zu imitieren). Man beachte z.B. den Unterschied von v und $\,v$ ( = math \, v /math ). Also, man kann "Bill Gates" überlisten, indem man vor Math-Symbolen ein "\," einschiebt, also eine scheinbar als "dummy" wirkende Platz-Variable. - MfG, Ben. 87.160.73.124 21:05, 30. Sep. 2008 (CEST)

Lagrangesche Methode erster und zweiter Art

Ich habe den Artikel einmal um die "Lagrangesche Methode erster Art" erweitert. Da ich aber den Zugang zu dem Thema ein wenig anders kenne, ich aber nicht wusste, wo ich dies sonst unterbringen sollte, wollte ich hiermit auf meine Änderungen aufmerksam machen und zum Revert freigeben :P --Yuszuv 23:35, 6. Aug 2005 (CEST)

Ich denke man sollte irgendwie begründen, warum die Lambdas bei der Darstellung der Zwangskräfte Konstanten sein sollen und nicht Funktionen $\lambda _{k}(q_{1},\ldots ,q_{f})$, wenn die Kräfte eigentlich Vektorfelder sind (bzw. die Zwangskräfte Normalenfelder). Oder sind sie im allg. keine Konstanten? Ich habe leider zu wenig Erfahrung mit Lagrange I, und mir fällt daher kein Bsp. ein, wo dies der Fall wäre. --Filip 14:32, 7. Apr 2006 (CEST)

Im Allgemeinen sind die $\lambda =\lambda (t)$, da die Zwangsbedinungen zeitabhängig sind (oder sein können) und die tatsächliche Bewegung zeitabhängig ist. Da die Lösungsmethode vorsieht, diese zunächst zu eliminieren, spielt das keine Rolle.--Tomboy 22:01, 12. Jun 2006 (CEST)

Konsistenz

Ich würde mich sehr freuen, wenn jemand mit Ahnung von der Materie den Artikel überarbeiten könnte. Es gibt mehrere Variablen, die einfach in Formeln auftauchen, ohne vorher eingeführt zu werden (z.B. V, m oder im zweiten Beispiel V und T). Im ersten Beispiel steht was von Gradienten und y_i = 1. Mir ist nicht klar, wie man darauf kommt und warum y_i irgendetwas mit einem Gradienten zu tun hat. Der Gedankengang ist bei den Beispielen leider für jemanden, der die Materie verstehen will, nicht verständlich. Eine Skizze zum Beispiel 1 wäre sicherlich auch von Vorteil (die könnte ich auch selbst machen), um die Größen y1, y2 und l einzuführen, da diese mir nicht sofort klar waren.

Zugegebenermaßen ist das etwas verwirrend! In der Definition der Zwangskräfte wurden diese als Vektor eingeführt. Wenn jetzt eine Zwangsbedingung die Bewegung eines Teilchens (z.B.) auf eine Fläche einschränkt, dann ist die Bewegung des Teilchens auf der Fläche uneingeschränkt möglich. Man folgert daraus, dass die Zwangskraft (als Vektor) keine Komponente tangetial zu dieser Fläche hat! Eine mögliche Zwangsbedingung hierfür wäre etwa $g({\vec {r}},t)=z=0$. Das Teilchen kann sich also in der x-y-Ebene frei bewegen. Da die Zwangskraft keine Komponente in dieser Ebene hat, muss gelten ${\vec {Z}}\,||\,{\vec {\nabla }}{g({\vec {r}},t)}$, da der Gradient der Ebene, die durch g aufgespannt wird, senkrecht auf ihr steht (Richtungsableitung!). Diese BEdingung verwendet man schließlich als Ansatz für die Zwangskräfte.

Die Lösung eines solchen Problems ergibt sich dann durch das Lösen der Lagrangegleichung(en), und zwar, wenn man die vektorielle Schreibweise beibehalten will, durch

$m{\ddot {\vec {r}}}={\vec {F}}+\sum _{\alpha }\lambda _{\alpha }{\vec {\nabla }}g_{\alpha }({\vec {r}},t)$

Hierbei ist F die Kraft und g die Zwangsbedingungen in der Form g(r,t)=0.

Um schließlich zu Deiner Frage zu kommen, muss der Gradient der Zwangsbedingungen gebildet werden. Wenn man also nach $y_{1}$und $y_{2}$ ableitet, kommt beides mal 1 raus.--Tomboy 22:01, 12. Jun 2006 (CEST)

Vorstehenden Ausführungen kann ich mich nur anschließen. Es ist wenig hilfreich, Gleichungen auf zu schreiben ohne deren Herkunft bzw. Inhalt zu reflektieren. --Striegistaler 13:14, 4. Jan 2006 (CET)

Ich stoße in meinem Studium dauernd auf Euler-Lagrange-Gleichungen, finde aber kaum gute Referenzen (weder in der Wikipedia noch im restlichen Internet), die den Bereich verständlich widergeben. Hat jemand evtl. Tipps? Oxygene 17:23, 6. Okt 2005 (CEST)

Desweiteren wird leider ueberhaupt nicht auf die Bedeutung der generalisierten Koordinaten eingegangen. Wozu dienen diese, und wie werden sie gewaehlt? Tikey 09:31, 7. Jun 2006 (CEST)

Generalisierte Koordinaten dienen (wer hätte das gedacht) zur vereinfachenden Beschreibung eines Problems. Versuche doch z.B. mal das Volumen einer Kugel am Ort $(x_{1},x_{2},x_{3})$ und dem Radius R in karthesischen Koordinaten auszurechen. Wenn Du dann nach ein paar Stunden vor lauter Winkelfunktionen kein Land mehr siehst, rechne dasselbe mal mit Kugelkoordinaten aus. Wenn Du sowas schon mal gemacht hast, verstehst Du leicht, um was es hier geht. Wie generalisierte Koordinaten gewählt werden unterliegt nur der Einschränkung, dass es soviele sein müssen, wie das System Freiheitsgrade hat (nicht gerade hilfreich!). Ma sucht sich zweckmäßig eben die raus (wie im Beispiel der Kugel), die die Symmetrie des Problems am besten wiedergeben. Bei einem Pendel würden man z.B. den Winkel nehmen. Ist die Bewegung auf eine Kugel beschränkt würde man z.B. zwei Winkel einführen usw.

Bei komplexeren Systemen kann das mit unter nicht einfach sein und etwas und braucht etwas Übung und nicht zuletzt auch Sitztfleisch.--Tomboy 22:02, 12. Jun 2006 (CEST)

Literatur zu den Euler-Lagrange-Gleichungen

Sehr zu empfehlen ist: V.I. Arnold: Mathematische Methoden der klassischen Mechanik. Birkhäuser, 1988.

Benennung der Potentiellen Energie

In der Vergangenhiet wurde ein paarmal zwischen $U$ und $V$ als Variable für die Potentielle Energie gewechselt. Man sollte dies einheitlich bei einem Buchstaben lassen. Die anderen Artikel (Lagrangefunktion, Potentielle Energie, ...) verwenden auch V.

Kinetische Energie = T ; Potentielle Energie = V ; Potentielle Energie in der Elektrodynamik (Spannung) = U. So und nur so schreibt man es in der Physik - insbesondere gibt es kein Ekin oder Epot wie's in der Schule Unsitte ist. PS: Beiträge zur Diskussion bitte mit mit "--~~~~" unterschreiben, auch wenn man nicht registriert ist! --A.McC. 18:57, 27. Jul 2006 (CEST)

L überall kalligraphisch?

Hallo,
würde es jemand stören, wenn man statt $L$ überall ${\mathcal {L}}$, wie im letzten Abschnitt, schreibt? -- Macks 23:04, 27. Jun. 2007 (CEST)

Vorsicht: $L$ ist die Lagrangefunktion, ${\mathcal {L}}$ die Lagrangedichte! --A.McC. 23:27, 27. Jun. 2007 (CEST)

Erhaltungsgrößen

Ich denke, es wäre evtl. angebracht im Kontext der Lagrangefunktion auf Erhaltungsgrößen (zykl. Koordinaten etc.) hinzuweisen.

Meinungen dazu? - LG, Konsumkind 02:16, 4. Sep. 2007 (CEST)

Physikalische Themen in einer Enzyklopädie

Viele naturwissenschaftlichen Artikel bei Wikipedia kranken m.E. daran, dass sie nicht im Geringsten allgemeinverständlich sind. Das gilt für diesen Artikel besonders. Wenn es nicht gelingt, wenigstens einen Teil allgemeinverständlich zu formulieren, sind solche Beiträge m.E. überflüssig.--Bechterev 17:48, 13. Dez. 2007 (CET)

Was daran liegt, dass diese Dinge nunmal nicht allgemeinverständlich sind. :) --A.McC. 18:43, 13. Dez. 2007 (CET)

Da muss ich Allen MCc. allerdings recht geben, dieser Artikel hat mir wesentlich mehr über die Lagrange-Formalismen verraten als unser Professor für Theoretische Physik / analytische Mechanik. Solche Beiträge, insbesondere deren mathematische Exaktheit und damit nicht unbedingt Allgemeinverständlichkeit, machen für mich das Wikipedia aus. --141.24.45.251 22:36, 14. Dez. 2007 (CET)

Wobei auch gesagt sei, dass die Wikipedia stets Anlaufstelle Nr.1 für junge Physikstudenten ist. Lagrange-Formalismus ist Theoretische Physik II und daher naturgemäß nichtmehr allgemeinverständlich. --A.McC. 00:28, 15. Dez. 2007 (CET)

Allgemeine Relativitätstheorie

Die Argumentation wurde wohl vor dem Schluss abgebrochen. Führt das Ganze noch auf die Feldgleichungen ? Wieso verschwindet L in dem Zwischenschritt? Wie siehts überhaupt mit Quellen dafür aus ? (könnte man dann nachprüfen/Rest nachtragen)--Claude J 23:51, 8. Apr. 2008 (CEST)

Satz unvollständig und somit unverständlich

Bei der Larangeschen Methode erster Art sollten vielleicht erst einmal ganze Sätze entstehen. Ich weiß z.B. bei "Wir betrachten N Punktteilchen im R³ mit den Ortsvektoren [...] , deren Koordinaten durch s voneinander unabhängige (holonome) Zwangsbedingungen Fk der Form[...] eingeschränkt[...]." nicht, was mir der Autor sagen wollte. Irgenwie fehlt in dem Satz ein Verb und wer schränkt wen ein oder was ist eingeschränkt?

der satz ist (zumindest jetzt) komplett. "sind" fehlte dort (frueher mal) einfach. ein teilchen ohne zwangsbedingung, kann zumindest theoretisch jeden weg gehen. aber wenn man eine kugel auf einer oberflaeche betrachtet und fordert, dass sie sich nur auf dieser flaeche bewegen kann (und nicht senkrecht dazu z.b.) dann ist das eine zwangsbedingung. aehnliches gilt fuer eine kugel an einem seil (fester laenge). dann ist die zwangsbedingung, dass sich die kugel nur auf einem kreis um den punkt an dem das seil haengt bewegen kann. das steht da im prinzip. andersgesagt: man betrachtet also vom ganzen raum die nullstellenmenge einer zwangsbedingung (untermannigfaltigkeit). 91.15.129.214 23:11, 19. Mai 2009 (CEST)

L = T - V

In Abschnitt 2.1 wird die Lagrange-Funktion als L = T - V definiert, wobei T die kinetische Energie ist. Es sollte erwähnt werden, dass dies nur in der nichtrelativistischen Mechanik gilt. Wie man im Artikel zum Hamilton-Formalismus nachlesen kann, ist die Lagrange-Funktion eines freien (V = 0) relativistischen Teilchens $L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\dot {q}}^{2}/c^{2}}}$, was der relativistischen kinetischen Energie $T=+mc^{2}/{\sqrt {1-{\dot {q}}^{2}/c^{2}}}$ nur begrenzt ähnelt. --Bareil 06:34, 31. Dez. 2008 (CET)

genugend nah beeinander liegende ereignisse

"zwischen zwei (genügend nah beieinander liegenden) Ereignissen A und B vergeht auf einer mitgeführten Uhr mehr Zeit, als auf allen anderen Weltlinien durch diese Ereignisse. Sei s ein entlang des Pfades monoton wachsender Laufparameter, so ergibt sich die verstrichene Zeit zu"

warum "(genügend nah beieinander liegenden)"? fuer welche ereignisse gilt das nicht? 91.15.129.214 22:43, 19. Mai 2009 (CEST)

Vorzeichenfehler im Beispiel Fallmaschine ?

Wenn man in die Definitionsgleichung

$m_{i}{\ddot {\mathbf {r} }}_{i}=-\nabla _{i}V+\sum _{k=1}^{s}\lambda _{k}\nabla _{i}F_{k},\qquad i=1,\ldots ,N$

die Gradienten

${\frac {\partial F}{\partial y_{1}}}=1,\qquad {\frac {\partial F}{\partial y_{2}}}=1$

${\frac {\partial V}{\partial y_{1}}}=m_{1}\mathbf {g} ,\qquad {\frac {\partial V}{\partial y_{2}}}=m_{2}\mathbf {g}$

einsetzt, dann sollte man für die Lagrangegleichungen doch ein anderes Vorzeichen auf der rechten Seite erhalten:

${\begin{matrix}m_{1}{\ddot {y}}_{1}&=&-m_{1}\mathbf {g} +\lambda \\m_{2}{\ddot {y}}_{2}&=&-m_{2}\mathbf {g} +\lambda \\y_{1}+y_{2}+l-2h&=&0\end{matrix}}$

erhalten, oder ? Das Ergebnis hätte dann umgedrehte Vorzeichen für m₁ und m₂im Zähler von y₁(t)=... und für λ :

${\begin{matrix}y_{1}(t)&=&{\frac {1}{2}}{m_{2}-m_{1} \over {m_{1}+m_{2}}}\mathbf {g} t^{2}+{\dot {y}}_{1,0}t+y_{1,0}\\\lambda &=&2\mathbf {g} {\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\end{matrix}}$

Kann das bitte jemand prüfen ? -- 80.254.73.199 17:29, 3. Jun. 2009 (CEST)

Stimmt.--Claude J 17:40, 3. Jun. 2009 (CEST)

Lagrange vs. Euler-Lagrange

Sind die Euler-Lagrange-Gleichung und die Lagrange-Gleichung zweiter Art identisch? Oder nur äquivalent, wie im Artikel formuliert? In letzterem Fall fehlt die Formulierung der Euler-Lagrange-Gleichung. --Digamma 16:08, 17. Feb. 2011 (CET)

Euler-Lagrange Gleichung oder Euler Gleichung bei allgemeinen Variationsproblemen. Variiert man speziell die Wirkungsfunktion Lagrangegleichung. So stehts auch im Goldstein (1978), S.41.--Claude J 16:21, 17. Feb. 2011 (CET)

Euler-Lagrange-Gleichung leitet aber auf diesen Artikel weiter. Der Artikel Euler-Gleichungen meint etwas anderes. Ich habe die Bezeichnung "Euler-Lagrange-Gleichung" für das, was hier Lagrange-Gleichung heißt, gelernt. Auf jeden Fall ist die Formulierung im Artikel "Die Lagrangegleichungen zweiter Art sind äquivalent zu den Euler-Lagrange-Gleichungen" irreführend. --Digamma 16:37, 17. Feb. 2011 (CET)

Euler-Lagrange-Gleichung sollte auf Variationsrechnung verweisen. Eulersche Differentialgleichung dafür z.B. Clegg Variationsrechnung, Teubner, S.15, (dass es bei Eulergleichung verschiedene gibt sollte bei der Fruchtbarkeit von Euler nicht verwundern).--Claude J 16:42, 17. Feb. 2011 (CET)

Kinetische Ergänzungsenergie

Die Bezeichnung (speziell für den relativistischen Fall zugeschnitten) scheint mir nicht sehr verbreitet (noch weniger "Co-Energie"). Im relativistischen Fall würde ich außerdem anders vorgehen, etwa wie bei Landau/Lifschitz (L aus invarianz, einfachster Fall relativistischer skalar als lagrangefunktion). Das passt dann auch besser zum allg. relativistischen Fall ganz am Ende.--Claude J 08:33, 18. Feb. 2011 (CET)

Lagrange-Funktion für den Elektromagnetismus

Ich halte es für schlicht falsch, hier von einem "Potential" zu sprechen, denn das suggeriert, dass die Kraft als negativer Gradient desselben bestimmt werden kann. Wie oben im Text auch erwähnt wird, spricht man stattdessen von einem generalisierten Potential, das erst dann die generalisierten Kräfte ergibt, wenn man den Ableitungsoperator in seiner vollen Schönheit (also inklusive der Ableitung nach q') darauf wirken lässt. Das sollte meiner Meinung auch im Beispiel zum Elektromagnetismus erwähnt werden. Das Potential, das da steht ist kein Potential im mechanischen Sinn und kann z.B. nicht verwendet werden, um die Arbeit, die auf einem Weg geleistet wird, auszurechnen. (nicht signierter Beitrag von 88.73.90.139 (Diskussion) 21:16, 19. Jun. 2012 (CEST))

Habe das umformuliert.--Claude J (Diskussion) 09:28, 20. Jun. 2012 (CEST)

Geschichte

Hier fehlt mir viel zur Geschichte. In Vorlesungen und Lehrbüchern wird das Thema aus heutiger Sicht imemr relativ geschlossen eingeführt - was man dann so hinnehmen kann. Aber die grundlegenden Gedanken, warum man bestimmte Annahmen trifft werden oft erst aus historischer Perspektive klar.

Der Lagrange-Formalismus, der zwei Energien voneinander abzieht ($T-V$) stammt angeblich aus dem Jahre 1788. Schaue ich aber in den Artikel Energie und dort in den Abschnitt Geschichte, dann taucht der Energiebegriff in diesen konkreten, wohldefinierten und "mathematisierten" Formen (kinetische und potentielle Energie) eigentlich erst ca. 50 Jahre später auf (erste Hälfte 19 Jh.). Das passt irgendwie nicht zusammen. Wie konnte Lagrange 50 Jahre vor der Etablierung des Energiebegriffs bereits einen geschlossenen mathematischen Formalismus aufschrieben dessen Größen erst 50 jahre später überhaupt in der Fachwelt sauber definiert wurden? Was genau hat Lagrange also wirklich aufgeschrieben? Die Größen T und V können eigentlich zu Lagrange-Zeiten noch gar nicht so genau als "potentielle" und "kinetische" Energie verstandne wurden sein. Wie kam der Mann darauf, seinen Formalismus so zu formulieren? Das muss in dne Artikel rein. Eine Enzyklpädie sollte auch inter-lemmatär schlüssig sein und nicht nur intra-lemmatär. --2003:DE:F15:1A00:80AE:2503:C0BC:B246 20:57, 2. Mai 2022 (CEST)

Diese Bemerkung stimmt. Das Defizit liegt allerdings nicht an dem historischen Wiki-Eintrag zur Energie, noch an der abgerundeten Darstellung des Lagrange-Formalismus hier, sondern schlichtweg daran, dass die ältere Darstellung Lagranges eine neuartige Übersetzung in die heutige Analysis benötigt. Ältere Lehrbücher zur Mechanik hatten immerhin noch Anmerklungen und Verweise auf die historischen Ursprünge versucht (siehe etwa Whittaker, Hamel oder Sommerfeld). Leider ist das in der heutigen Lehrbuch-Kultur etwas verloren gegangen, um die Bücher und Einträge nicht zu länglich zu machen. Der Term (T-V) kommt so bei Lagrange nicht explizit vor. Die historische Entwicklung zu sehen wäre in der Tat wünschenswert: aber das wäre ein eigener Eintrag 'Geschichte zur Mécanique Analytique'. --R.Tm01 (Diskussion) 11:35, 27. Dez. 2022 (CET)

Missverständlicher Gebrauch von Bezugssystemen/Formalismus

Die Aussage „Der Formalismus ist (im Gegensatz zur newtonschen Mechanik, die a priori nur in Inertialsystemen gilt) auch in beschleunigten Bezugssystemen gültig“ ist m.E. missverständlich und verwirrend.

Zunächst ist Vorsicht geboten, von einem Grundsatz oder einer Erkenntnis 'a priori‘ zu sprechen. Es gibt viele Naturwissenschaftler und Mathematiker (vor allem Nicht-Kantianer), die diesen Standpunkt nicht teilen würden.

Dann sollte man den analytischen Apparat, den sog. ‚Formalismus‘ der Funktionen und Koordinatensysteme, nicht leichtfertig mit Bezugssystemen zusammenwerfen, die eine physikalische Bedeutung haben. Inertialsysteme - das kann man auch bei Lagrange nachlesen – definieren überhaupt erst den Begriff einer beschleunigenden Kraft, sonst könnte man sich nicht sinnvoll über diese unterhalten. Und natürlich kann man die Newtonsche Mechanik auch auf beschleunigte Bezussysteme anwenden, mit dem Ergebnis, dass man zu ihrer Gültigkeit auch Trägheitskräfte einbeziehen muss. (So kommt die Lagrange-d’Alembertsche Dynamik überhaupt zustande.) Die Transformationsinvarianz auch für beschleunigte BS ist die Erweiterung im Lagrangeformalismus.

Der Formalismus wird angewendet, das Gelten für Bezugssysteme ist (wohl) sprachlich unsauber.

Ich habe noch keine Verbesserung des Satzes parat, aber so wie jetzt klingt er nicht sauber und ist wohl so auch nicht gemeint. Ich glaube aber, der Folgesatz "Der Lagrange-Formalismus ist invariant gegen Koordinatentransformationen" reicht aus (?) Evtl. ergänze man noch, "auch für Systeme, die beschleunigte Bezugssysteme repräsentieren"..."nicht nur Inertialsysteme der KM". --R.Tm01 (Diskussion) 13:47, 27. Dez. 2022 (CET)