Diskussion:Nullstelle

Überarbeiten

Der Absatz über die höhere Nullstellenordnung ist so falsch. Der Teil über Polynome sollte ausgebaut und mit dem Wurzelsatz von Vieta verlinkt werden.-- Gunther 11:41, 13. Apr 2005 (CEST)

Habe schon mal überarbeitet: Die Definitionen stehen nun am Anfang, den Rest habe ich gestrafft. Es fehlen nun noch ein paar konkrete Beispiele. -- tsor 21:53, 14. Apr 2005 (CEST)

Die Definition einer k-fachen Nullstelle war schlicht falsch, das war der eigentliche Punkt, der mich gestört hat. Habe mir überlegt, wie das richtig lauten muss. Polynome haben auch fast vollständig gefehlt.-- Gunther 00:49, 15. Apr 2005 (CEST)

Ich glaube bei den Polynomen fehlt noch zumindest ein Vermerk auf den Fundamentalsatz_der_Algebra um zu zeigen, dass jede ganzrationale Funktion n-ten Grades in C genau n Nullstellen hat. Tom1200 18:43, 24. Apr 2005 (CEST)

Ja, wenn man sich für komplexe Zahlen interessiert, ist das wohl ganz nett zu wissen ;-) Ein ähnliche Berechtigung haben aber das Gauß-Lemma (rationale Nullstellen normierter ganzzahliger Polynome sind ganzzahlig) und das Hensel-Lemma (Nullstellen p-adischer Polynome lassen vom Restklassenkörper hochheben), vielleicht noch die Bemerkung, dass reelle Polynome ungeraden Grades stets eine Nullstelle haben.--Gunther 18:59, 24. Apr 2005 (CEST)

Ok, ist erledigt. Ein Punkt, in dem noch Verbesserungsbedarf besteht, ist die Frage, ob jede zweifache Nullstelle auch eine einfache Nullstelle ist. Das wird im Moment im Artikel unterschiedlich gehandhabt, würde aber die Formulierung schwerfällig machen ("mindestens k-fache Nullstelle").--Gunther 12:55, 30. Apr 2005 (CEST)

"nach Vielfachheit gezählt", sonst stimmts nicht (auch eine gewöhnliche Polynomfunktion ist ja u. a. eine ganzrationale Funktion).--131.159.0.47 18:58, 8. Feb. 2016 (CET)

Ich verstehe nicht, worauf du dich beziehst. --Digamma (Diskussion) 19:23, 8. Feb. 2016 (CET)

Lösungsverfahren für Polynomgleichungen

Nachdem ein Anonymus die Lösungsformel für quadratische Gleichungen in den Artikel geschrieben hatte, habe ich einen Abschnitt mit Links zu den diversen Verfahren eingefügt. Ist es schlimm, dass er im weniger elementaren Teil des Artikels steht?--Gunther 02:32, 22. Mai 2005 (CEST)

Vielfachheit der Nullstellen

Ich kann mit der erklärung wie man die Vielfachheit einer Nullstelle herausfindet überhaupt nichts annfangen. Diese Erklärung hilft höchstens denjenigen etwas, die es eh schon wissen.

Ich hab hier zb. die Nullstelle einer Funktion errechnet und muss jetzt wissen wievielfach diese eine Nullstelle ist, um anzugeben ob es eine stetig Behebare Deflücke, eine Polstelle oder sonstwas ist.. Aber mit diesen Infos komme ich nicht weiter.. bitte um überarbeitung :/

--Anonym001 21:45, 3. Okt 2005 (CEST)

Ich nehme an, Du sprichst von irgendeinem Quotienten zweier Funktionen? Denn Nullstellen selbst sind nie Definitionslücken oder Polstellen.--Gunther 22:03, 3. Okt 2005 (CEST)

ah ja ich meinte den Nenner von 2 Funktionen ... falsch ausgedrückt.. Inzwischen weiß ich das was ich hier nicht verstand.. Mir war nicht klar das das faktorisieren der Nennernullstellen exakt den gleichen Wert ergibt, wie der Originalterm..

--Anonym001 17:14, 10. Okt 2005 (CEST)

Was spricht dagegen über die Vielfachheit einer Nullstelle zu sagen: "Eine Funktion f(x) hat eine k-fache Nullstelle $x_{0}$wenn man schreiben kann: $f(x)=g(x)(x-x_{0})^{k}$ mit $g(x_{0})\neq 0$"

--Anonym001 16:22, 15. Dez 2006 (CEST)

"Verschwinden"

Was genau spricht dagegen, einen Begriff, der im vorhergehenden Absatz definiert wurde, auch zu verwenden?--Gunther 12:55, 12. Jan 2006 (CET)

Es spricht einiges dagegen. U.A., daß ein Nicht-Mathematiker-Leser (und für den schreiben wir, auch wenn Du's nicht wahrhaben willst, siehe frühere Diskussionen), selbst wenn er die vorherige "Definition" (wenn das 'ne Definition ist, heiße ich ab jetzt Benedikt) gelesen hat, über diesen Ausdruck stolpert. Er ist ja auch vollkommen überflüssig, weil f(x) = 0 vollkommen exakt, kurz und ausssagekräftig ist. Ich halte es im allgemeinen so, daß ich auch vorher bereits eingeführte Fachbegriffe im weiteren Text meide, wenn sie nicht unabdingbar sind. Vielleicht können wir uns auf dieses Herangehen verständigen?! Gruß Alfred Grudszus 13:31, 12. Jan 2006 (CET)

Lieber Benedikt, nein, ich werde ganz bestimmt nicht Vektorraum umschreiben, so dass nach der Definition immer nur die Rede von "diesem Dings mit den zwei Operationen" ist. Im konkreten Fall geht es mir darum, die inhaltliche Beziehung zu den einfachen Nullstellen herzustellen. Deshalb finde ich "den Wert null annehmen" weniger gut. Aber da selbst Dir, lieber Benedikt, der Begriff des Verschwindens einer Funktion unbekannt ist, können wir das unseren Lesern natürlich nicht zumuten.--Gunther 13:41, 12. Jan 2006 (CET)

Mich würde mal interessieren, ob es eine Literaturstelle gibt, die den Begriff des "Verschwindens" einer Funktion belegt. Ich halte diesen für ausgemachten Käse, Funktionen verschwinden nicht einfach. Sie haben manchen Stellen den Wert Null, das passiertschon mal, aber deswegen sind sie noch lange nicht "verschwunden". --Gar kein name 01:11, 30. Jan. 2007 (CET)

Eine konkrete Literaturstelle kann ich leider auch nicht liefern, aber ich kann bestätigen, dass es unter Mathematikern (ich selbst bin aber Physiker) gängige Sprachregelung ist, dass "verschwinden" 1:1 für "null werden" steht. Ich finde diese Formulierung auch leicht merkwürdig und halte es für eine gute Idee, wenn man sie in Texten vermeidet, die sich an ein breiteres Publikum wenden. --PeterFrankfurt 01:28, 30. Jan. 2007 (CET)

"Null werden" ist genau so ein Unsinn. Eine Funktion kann an betsimmten Stellen den Fukntionswert 0 haben, aber sie "wird" nicht Null. Sie wird gar nichts, sie ist.

--Gar kein name 19:41, 12. Feb. 2007 (CET)

Vielfachheit von Nullstellen bei Polynomen - Graph der Funktion

Es wäre doch interessant, an dieser Stelle etwas über die Auswirkung auf den Graphen einer Polynomfunktion zu sagen: Nullstelle gerader Ordnung => Extremum, ungerader Ordnung > 1 => Sattelpunkt.

Bild

Das Bild soll Nullstellen zeigen (und tut es ja auch), angegeben sind aber die _Nullpunkte_. Und die in einer etwas ungeschickten Schreibweise: (0,5,0) sieht mir fast nach einem Punkt im dreidimensionlaen Raum aus. Wie wäre es mit (0,5|0)?

--Gar kein name 19:45, 12. Feb. 2007 (CET)

allgemeine Verständlichkeit

So mancher Kritiker der Wikipedia bemängelt, dass die Texte zu wenig wissenschaftlich fundiert seien.

Das mag in einigen Fällen durchaus stimmen; jedoch bin ich der Meinung, dass oftmals auch das Gegenteil der Fall ist: es wird zu fachspezifisch formuliert. Ich habe überhaupt nichts gegen Wissenschaftler, die es wirklich gut meinen und sich mit ganzer Inbrunst einbringen, um Sachverhalte wissenschaftlich korrekt zu erklären. Aber das Gegenteil von "gut" ist bekanntlich "gut gemeint".

Jeder Schüler, der verzweifelt sein Lehrbuch in die Ecke wirft - "test" Ausgabe 09/2007 hat es auf den Punkt gebracht mit der Kritik über deutsche Lehrbücher - und Hilfe im Internet sucht, wird mit allzu wissenschaftlichen Darstellungsweisen überhaupt nicht weiterkommen sondern nur noch mehr frustriert. Schon allein das recht einfache Thema der Nullstellen ist so trocken und komplex formuliert wie der Text des deutschen Einkommensteuergesetzes. Zur Wissensvermittlung oder -auffrischung taugt der Beitrag meiner Meinung nach überhaupt nicht taugt. Was sonst ist der Sinn der Wikipedia?!?

Da ich hier nun nicht bloss herummeckern will, habe ich mal einen Teil des Beitrags so überarbeitet, dass er etwas verständlicher daherkommt - ohne dabei die wissenschaftlichen Fachbegriffe ganz auszublenden. Ich denke, dass ein nebeneinander von beiden Darstellungsweisen durchaus möglich ist.

Wer will, kann ja die Optik noch ein wenig verfeinern oder etwas besser formulieren.

Was ich nicht hoffe: dass jemand einfach wieder den alten Status herstellt, nur weil ihm meine Darstellungsweise nicht passt. Ich habe es in meinem - übrigens erfolgreich abgeschlossenen - BWL-Studium oft erlebt, dass mir "populärwissenschaftliche" Schreibweise vorgeworfen wurde, also zu allgemeinverständlich, zu wenig Fachausdrücke verwendet. Diese Sichtweise mag für wissenschaftliche Arbeiten berechtigt sein; für ein Projekt wie die Wikipedia, das jedem durchschnittlich Begabten eine Hilfe sein soll ist absolut fehl am Platze.

AndreasBL, 14.Oktober 2007, 15:06

Hallo Andreas,

Ich habe doch den alten Status wiederhergestellt.

Deine Änderungen waren sicher gut gemeint. Aber aus meiner Sicht ist dadurch einiges weniger klar und dadurch unverständlicher geworden. Manches auch falsch. Versteh mich recht: Mir liegt überhaupt nicht an viel Formalismus, oder an Fachausdrücken um ihrer selbst willen. Aber an Übersichtlichkeit, Klarheit und Richtigkeit. (Die von test monierten Fehler in den Schulbüchern entstehen ja auch nicht durch eine zu große Wissenschaftlichkeit, sondern durch den Versuch die Dinge einfach darzustellen.)

Und zum Sinn der Wikipedia: Aus meiner Sicht besteht der nicht darin, wie ein Lehrbuch daherzukommen. Dazu gibt es wikibooks. Sondern darin, einen Sachverhalt knapp und präzise darzustellen. Wikipedia soll dem helfen, der sein Lehrbuch in die Ecke schmeißt, weil ihm die Darstellung zu schwammig ist oder weil er einfach mal eine alternative Darstellung sehen will.

Sobald ich Zeit finde, bin ich gerne bereit, daran mitzuarbeiten, den Text verständlicher zu gestalten und mit Beispielen anzureichern. Deshalb die Bitte an Dich, bei deiner Kritik konkret zu werden: Was ist zu wissenschaftlich dargestellt? Was ist zu trocken? --Digamma 10:44, 31. Okt. 2007 (CET)

Nullstellenordnung - wie denn jetzt genau?

Was sollen wir gelten lassen?

$x_{0}$ Nullstelle genau der Ordnung $k$ $\iff$ $k$-fache Nullstele aber keine $(k+1)$-fache Nullstelle

oder

$x_{0}$ Nullstelle genau der Ordnung $k$ $\iff f(x_{0})=\ldots =f^{(k-1)}(x_{0})=0,f^{(k)}(x_{0})\neq 0$

Die Variante unterscheiden sich in dem Fall, wenn $f$ an der Stelle $x_{0}$ nur $(k-1)$-mal differenzierbar ist. Also: Welche Nullstellenordnung hat $f(x)=x^{2}\cdot 1_{\mathbb {Q} }(x)$ in 0?.--Hagman 18:08, 21. Dez. 2007 (CET)

Ich würde sagen, dass die Nullstellenordnung nicht definiert ist, wenn die Funktion nicht hinreichend oft differenzierbar ist. In dem Beispiel würde ich nur sagen, dass es sich um eine mindestens zweifache Nullstelle handelt. Du kannst den Artikel aber gerne so umarbeiten, dass er kohärenter wird. Ich habe mir bei der Formulierung nicht so tiefe Gedanken gemacht. --Digamma 19:14, 21. Dez. 2007 (CET)

Vermutlich wäre es das beste, die Definition aus Multiplicity zu übernehmen und die Regel mit den Ableitungen als Kriterium anzugeben, für den Fall, dass $f$ oft genug differenzierbar ist. --Digamma 19:51, 21. Dez. 2007 (CET)

Intuitiv stört mich an der Definition aus Multiplicity allerdings, dass dann $x^{2}\cdot (1_{\mathbb {Q} }(x)-{\tfrac {1}{2}})$ eine zweifache Nullstelle in 0 hat, $x^{2}\cdot (1_{\mathbb {Q} }(x)-{\tfrac {49}{100}})$ jedoch nicht. Auch $|x|$ (einfache Nullstelle) und $|x|+\epsilon x$ (keine einfache Nullstelle) stoßen mir auf. Will sagen: Schön ist die Defnition nur als Herausdividieren ohne Betragsstriche, und dann haben eben keine meiner Beispielfunktionen eine genaue Nullstellenordnung (möglicherweise aber eine Mindestordnung). Es ist halt die Frage, ob man möglichst auch für ziemlich wilde Funktionen eine Ordnung definieren will und dann ein paar Monster kreiert oder ob man die (genaue) Ordnung sicherheitshalber nur für zahme Funktionen definiert.--Hagman 22:40, 21. Dez. 2007 (CET)

Noch was: Ich wünsche mir zu Weihnachten, dass für die Nullstellenordnung gilt: $\operatorname {ord} (f+g)\geq \min\{\operatorname {ord} (f),\operatorname {ord} (g)\}$ und damit ist die Definition aus Multiplicity m.E. ungeeignet (siehe $|x|+\epsilon x$). Die Ordnung über stetiges Herausdividieren zu definieren, also letzlich $\operatorname {ord} _{x_{0}}(f):=\sup\{k\in \mathbb {N} \mid \lim _{x\to x_{0}}f(x)/(x-x_{0})^{k}\mathrm {\ existiert} \}$ hat dagegen diese Eigenschaft (inklusive der Möglichkeit von $\operatorname {ord} (f)=\infty$).--Hagman 22:54, 21. Dez. 2007 (CET)

Ich habe die Probleme mit dem Beträg übersehen. Ich neige eher dazu, die Ordnung (ich sage lieber Vielfachheit) nur für Funktionen zu definieren, die zahm genug sind. Die Definition mit dem steigen Herausdividieren scheint mir vernünftig zu sein. Zu Deiner letzten Definition: Nach dieser hat die Betragsfunktion an der Stelle 0 eine Nullstelle der Ordnung 0, dasselbe gilt für Funktionen, die dort gar keine Nullstelle haben. Möchten wir das? Oder möchten wir nicht lieber, dass die Nullstellenordnung der Betragsfunktion nicht definiert ist? --Digamma 12:17, 22. Dez. 2007 (CET)

Keine Nullstelle => Ordnung bzw. Vielfachheit 0 finde ich nicht abträglich. Dass die Betragsfunktion demnach so aussieht, als hätte sie keine Nullstelle, ist ungewöhnlich, aber mit irgendeinem konterintuitiven Ergebnis muss man wohl leben. Die Kubikwurzel ist auch so ein Überraschungskandidat -- schön wäre da natürlich 1/3 als Vielfachheit... Das wäre immerhin mit einem weiteren Weihnachtswunsch ($\operatorname {ord} (fg)=\operatorname {ord} (f)+\operatorname {ord} (g)$ wo definiert) verträglich. Wichtig wäre jetzt wohl zu klären: Was sagt eigentlich die Literatur dazu? Ich finde momentan nur Sachen zu "zahmen" Funktionen in meinem Regal... Ich sehe gerade: Nach meinem zweiten Weihnachtswunsch müsste die Vielfachheit bei der Betragsfunktion entweder 1 oder undefiniert sein. Korollar: Der zweite Weihnachtswunsch gilt nicht generell bei meiner obigen Definition. Zusammenfassung: Lass uns bei zahm bleiben. Es gibt bestimmt diverse Definitions-/Erweiterungs-Möglichkeiten und soo schlecht ist die aus "Multiplicity" auch wieder nicht; ob ich persönlich so eine Definition gut finden werde, hängt allerdings entscheidend davon ab, ob meine Weihnachtswünsche nach einer Fast-Bewertung erfüllt werden :)--Hagman 18:58, 22. Dez. 2007 (CET)

References

guten tag, ich finde es schade, dass keine referenzen angegeben sind. insbesondere wuerde ich gerne wissen, aus welcher veröffentlichung der folgende Nullstellenintervall stamm:

    $x_{1,2}=-{\frac {a_{n-1}}{n}}\pm {\frac {n-1}{n}}{\sqrt {a_{n-1}^{2}-{\frac {2n}{n-1}}a_{n-2}}}$

ich bedanke mich im voraus. --87.78.135.44 02:10, 23. Mär. 2009 (CET)

Unter Polynom hatte ich diese Nullstellenabschätzung mit der Bitte um einen Beweis oder eine Quelle schon rausgenommen (s. Diskussion:Polynom#Zweifelhafte_Nullstellenschranke), hier leider übersehen. Bisher kam keine Antwort.--LutzL 11:34, 23. Mär. 2009 (CET)

Referenzen siehe englisches Wikipedia: Polynomials whose roots are all real. Dort werden Edmond Laguerre und Paul Samuelson genannt. Und es wird mit der Samuelson Ungleichung eine Herleitung gegeben. --Protozorq (Diskussion) 11:07, 4. Okt. 2019 (CEST)

diese schranke stimmt (ich kann es beweisen), jedoch wuerde ich gerne wissen wo diese schranke angegeben ist! mfg

--212.117.69.21 12:51, 23. Mär. 2009 (CET)

Ein kurzer Nachweis zur Dokumentation folgt. Vorweg, das Kriterium ist unpraktisch, weil die Voraussetzung schwer zu prüfen ist, ohne die Nullstellen schon in der einen oder anderen Art schon gefunden zu haben. Wie sonst will man prüfen, dass alle Nullstellen reell sind. Wenn man das aber nun als Voraussetzung akzeptiert, dann folgt aus den Newton-Identitäten dass

$s_{1}=\sum _{k=1}^{n}x_{k}=-a_{n-1}$ und $s_{2}=\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}=(a_{n-1})^{2}-2a_{n-2}$

gilt. Nun bestimme mittels Lagrange-Ansatz die Extremalwerte von $f(x)=x_{1}$ unter den Nebenbedingungen

$0=g(x)=\sum _{k=1}^{n}x_{k}-s_{1}$ und $0=h(x)=\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}-s_{2}$.

Es ergibt sich aus dem Lagrange-Ansatz, dass in den Extremalstellen $x_{2}=\dots =x_{n}$ gelten muss, was nach Einsetzen zu $x_{2}={\tfrac {s_{1}-x_{1}}{n-1}}$ und danach zur quadratischen Gleichung

$nx_{1}^{2}-2s_{1}x_{1}+s_{1}^{2}-(n-1)s_{2}=0$ <=> $(nx_{1}+a_{1})^{2}=(n-1)^{2}a_{n-1}^{2}-2n(n-1)a_{n-2}^{2}$

führt. Die Lösungen sind dann gerade die angegebenen Extremalwerte für eine Nullstelle. Also ist das Kriterium doch korrekt, aber wo man eine Literaturstelle dafür findet, ist immer noch unklar.--LutzL 13:45, 23. Mär. 2009 (CET)

Gelten diese Schranken nur wenn alle Nullstellen reell sind, oder enhält das Interval nur die reellen Nullstellen? In dem Fall sollte man die Aussage dahingehend ändern. --Protozorq (Diskussion) 09:45, 4. Okt. 2019 (CEST)

Angemessener wäre möglicherweise die allgemeinere (aber im Spezialfall erheblich schwächere) Abschätzung mit der Höhe: $z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}=0\Rightarrow |z|\leq 1+\max |a_{k}|$ (zu der es beliebig viele Literaturstellen gibt).--Hagman 20:14, 27. Feb. 2010 (CET)

Unterschied Polynom / Polynomfunktion (ganzrationale Funktion)

Ich finde es sehr unglücklich formuliert, dass hier ständig von den Nullstellen "eines Polynoms" die Rede ist. Ein Polynom ist (meines Wissens) zumindest in der Schulmathematik immer ein Term - und ein Term hat keine Nullstellen. Gemeint ist eigentlich immer "Nullstelle einer Polynomfunktion", in der Sprache der Schulmathematik also "Nullstelle einer ganzrationalen Funktion". Ich weiss aber nicht genau, wie der Begriff "Polynom" in der höheren Mathematik gehandhabt wird - wird da "Polynom" als Synonym für "Polynomfunktion" verwendet, obwohl das ja eigentlich zwei verschiedene Dinge sind? Der Artikel "Polynom" ist dazu auch nicht gerade hilfreich...--91.65.208.71 23:03, 24. Feb. 2010 (CET)

Huch, ich bin ja nun Physiker, kenne Polynom aber nur als Synonym und Kurzform für eine Polynomfunktion. Was für eine Art von Term soll denn ein Polynom sonst sein? Nur das, was auf der rechten Seite der Funktionsgleichung steht? --PeterFrankfurt 02:03, 25. Feb. 2010 (CET)

Hallo 91.65.208.71, bitte keine weiteren dieser Änderungen vornehmen. Die Sprechweise zum Beispiel in Fundamentalsatz der Algebra ist die übliche! Man kann also sagen: "Nach dem Zwischenwertsatz hat jedes reelle Polynom ungeraden Grades mindestens eine reelle Nullstelle." Dennoch kann man auf den Unterschied 'abstraktes Polynom' versus 'Polynomfunktion' hinweisen, wenn es im jeweiligen Zusammenhang nötig ist. Das ist aber beispielsweise nicht der Fall im Artikel Kreiszahl. Grüße, -- KurtSchwitters 09:32, 25. Feb. 2010 (CET)

Hallo KurtSchwitters, 'tschuldigung, habe es inzwischen auch selbst in einem Algebra-Buch gelesen: auch bei Polynomen kann man von Nullstellen reden, und das bedeutet dann im Prinzip dasselbe wie die Nullstelle der zugehörigen Polynomfunktion. Trotzdem: in manchen Stellen in manchen Artikeln ist es sinnvoller, auf "ganzrationale Funktion" zu verweisen anstatt auf "Polynom", oder? Bin übrigens der Benutzer "BFeuerbacher", hatte nur leider vergessen, mich anzumelden (habe mich erst vor kurzem als Benutzer registiert); evtl. können wir das Ganze auf meiner Benutzer-Diskussionsseite genauer durchsprechen.--91.65.208.71 15:18, 26. Feb. 2010 (CET)

Hallo PeterFrankfurt, ein Polynom ist in der Tat nur das, was auf der rechten Seite der Funktionsgleichung steht - ein Term ist nicht dasselbe wie eine Funktion... aber "Polynom" wird in der Algebra trotzdem anscheinend häufig als Synonym für "Polynomfunktion" verwendet.--91.65.208.71 15:18, 26. Feb. 2010 (CET)

Wenn ich mir dann so ansehe, was im Artikel Term so steht, wo man ihn eben auch "ausrechnen" kann, sehe ich kein Hindernis, warum ein Term nicht auch eine Nullstelle wie eine Funktion aufweisen können sollte. Insofern wäre diese Unterscheidung hier auch in dieser Hinsicht hinfällig. --PeterFrankfurt 02:19, 27. Feb. 2010 (CET)

Der Begriff "Polynomfunktion" findet sich ausschließlich in Schulbüchern und wird auch von zahlreichen namhaften Mathematikdidaktiker stark kritisiert. Ich möchte deswegen darum bitten, ihn außerhalb des Artikels Polynomfunktion nur mit Verweis auf Verwendungen in der Schulmathematik zu benutzen. --P. Birken 16:55, 27. Feb. 2010 (CET)

Ein Polynom ist ein Element beispielsweise des Ringes $\mathbb {R} [X]$ und das Einsetzen liefert eine Abbildung von Polynomen zu Abbildungen $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$. Da diese injektiv ist, ist der Verzicht auf eine Unterscheidung durchaus als vereinfachende Sprechweise zulässig. Anders sieht es etwa bei endlichen Körpern aus. Das Polynom $X^{2}\in \mathbb {F} _{2}[X]$ ist ein anderes Polynom als $X\in \mathbb {F} _{2}[X]$, aber beide definieren dieselbe Abbildung $\mathbb {F} _{2}\to \mathbb {F} _{2}$. Dennoch ist es gerade hioer wichtig, die Nullstellen eher des Polynoms als der zugehörigen Funktion zu bestimmen: 0 ist doppelte Nullstelle von $X^{2}$ aber nur einfache von $X$.--Hagman 18:55, 27. Feb. 2010 (CET)--Hagman 18:51, 27. Feb. 2010 (CET)

@Digamma: Zur Änderung: Zwischen Polynomen im algebraischen Sinn und „Polynomfunktionen“ wird im Artikel nicht sauber getrennt, sondern immer wieder gewechselt. Mein Vorschlag war sicher nicht optimal, daher durchaus revertierbar, aber nicht unnotwendig. Im Abschnitt Nullstelle#Nullstellen von Polynomen ist plötzlich vom Zwischenwertsatz die Rede. Kollegiale Grüße ins Nachbarbundesland --Peter Gröbner (Diskussion) 10:23, 14. Mär. 2015 (CET)

Das liegt in der Natur der Sache: Man braucht Hilfsmittel aus der Analysis, um zu beweisen, dass jedes reelle Polynom ungeraden Grades eine Nullstelle besitzt bzw. dafür, dass jedes komplexe Polynom eine Nullstelle besitzt. Trotzdem ist das dann eine Aussage aus der Algebra über Polynome im Sinn der Algebra. --Digamma (Diskussion) 11:39, 14. Mär. 2015 (CET)

… oder eine Aussage über Nullstellen reellwertiger Funktionen im 1. Abschnitt. --Peter Gröbner (Diskussion) 12:54, 14. Mär. 2015 (CET)

Kurzgefasst: Ich finde die Überschriften „Nullstellen reellwertiger Funktionen“ bzw. „Nullstellen von Polynomen“ nicht sehr trennscharf, wenn man den jeweiligen Inhalt betrachtet. --Peter Gröbner (Diskussion) 12:59, 14. Mär. 2015 (CET)

Polynomfunktionen werden eigentlich nur im zweiten Teil "Nullstellen von Polynomen" behandelt. Das Wort "Polynom" kommt im ersten Teil "Nullstellen reellwertiger Funktionen" nur an einer Stelle vor: "Ist $f\colon D\to \mathbb {R}$ eine Polynomfunktion oder zumindest stetig und an der Nullstelle $x_{0}\in D$ differenzierbar". Hier werden die algebraischen Eigenschaften von Polynomen gar nicht benutzt, sondern nur die analytischen. Polynomfunktionen sind hier nur ein Beispiel für die Anwendbarkeit der folgenden Aussagen, die aber auf der Voraussetzung "stetig und an der Nullstelle $x_{0}\in D$ differenzierbar" beruhen.

Ich sehe hier somit kein Abgrenzungsproblem. --Digamma (Diskussion) 18:02, 14. Mär. 2015 (CET)

Im ersten Teil heißt es „Ist $f\colon D\to \mathbb {R}$ eine Polynomfunktion …“ und das ist faktisch der erste Satz (Nullstelle#Mehrfache Nullstellen). Interessanterweise ist im vorliegenden Lemma „Polynomfunktion“ nicht verlinkt, von dort würde nämlich auf Ganzrationale Funktionen weitergeleitet, somit wähnt sich m. E. der Leser im Bereich der reellen Zahlen und nicht der Algebra. --Peter Gröbner (Diskussion) 18:11, 14. Mär. 2015 (CET)

Der passendere link wäre m. E. Polynom#Polynome in der abstrakten Algebra --Peter Gröbner (Diskussion) 18:25, 14. Mär. 2015 (CET)

Mehrfache Nullstellen

Werden hier nur für reelle Polynome definiert, sind aber auch für komplexe Polynome wichtig.—Butäzigä (Diskussion) 10:45, 16. Jan. 2022 (CET)

Schönere Funktion

Wie wäre es mit einer Funktion, die alle dargestellten Mehrfachheiten enthält?

$f(x)=(x-1)\cdot (x-2)^{2}\cdot (x-3)^{3}\,$?

Das ist $x^{6}-14x^{5}+80x^{4}-238x^{3}+387x^{2}-324x+108$

Die Ableitungen sind:

• $f'(x)=6x^{5}-70x^{4}+320x^{3}-714x^{2}+774x-324$
• $f''(x)=30x^{4}-280x^{3}+960x^{2}-1428x+774$
• $f^{(3)}=120x^{3}-840x^{2}+1920x-1428$
• $f^{(4)}=360x^{2}-1680x+1920$
• $f^{(5)}=720x-1680$
• $f^{(6)}=720$

ÅñŧóñŜûŝî (Ð) 21:19, 11. Mai 2022 (CEST)