Diskussion:Tschirnhaus-Transformation

Koeffizienten der Transformation und ihre Bestimmung

M.E. ist es für die Tschirnhaus-Transformation wesentlich, wie die Koeffizienten der Transformation bestimmt werden können. Daher sollte der betreffende Satz m.E. folgendermaßen lauten:

Allgemein kann man so in jeder algebraische Gleichung n-ten Grades die Terme (n-1)-ten und (n-2)-ten Grades mit einer quadratischen Transformation zum Verschwinden bringen, wobei die Koeffizienten durch das Lösen einer quadratischen Gleichung gefunden werden können. Außerdem kann für n>2 ... (da bin ich mir übrigens nicht ganz sicher, was den Grad der zu lösenden Gleichungen für n>5 angeht) --Lefschetz (Diskussion) 22:39, 2. Jul. 2013 (CEST)

Habe das expliziter reingeschrieben. Die Quelle für die Elimination des Terms (n-3) im allgemeinen Fall ist Dickson (per google books einsehbar), ich glaube Weber behandelt nur die Gleichung fünften Grades (habs aber nur überflogen).--Claude J (Diskussion) 12:11, 3. Jul. 2013 (CEST)

Also ich habe da auch erhebliche Bedenken, was den Substitutions-Grad m>4 (hier m=n-1) angeht, da es dann nicht auflösbare Gleichungen gibt. Es muss also ein Verfahren angegeben werden, mit dem auch die Koeffizienten $b_{i}$ bestimmt werden können. Es ist übrigens nicht immer alles so super, was in den Algebra-Büchern steht. --Skraemer (Diskussion) 11:11, 10. Jul. 2013 (CEST)

Dicksons Darstellung des Beweises ist [1] S. 212-213. --Claude J (Diskussion) 11:23, 10. Jul. 2013 (CEST)

Dort wird aber nach Setzen der Gleichung n-ten Grades (1) nur die lineare Substitution y = x+v behandelt. Es ist dann x=y-v und somit kann das substituierte Polynom mit f(x)=f(y-v)=g(y) bezeichnet werden. Aber eben nicht mit f(y), denn das Ausgangspolynom stimmt ja nicht unbedingt mit dem Substituierten überein. Da stehen mir die Haare zu Berge (Vriablenverständnis und Einsetzen). Ich muss es also wieder von f(y) in g(y) ändern. Der Sinn bzw. die Durchführbarkeit einer Subsitution höheren als linearen Grades muss aber weiterhin überprüft werden. Ich sehe nicht, wie das so einfach beim Substitutions-Grad >4 durchführbar wäre. Es besteht eine Pflicht zur Angabe der Koeffizienten $b_{i}$, sonst ist das ganze heiße Luft. Aber da sind wir beim Kronecker'schen Konstruktivismus. --Skraemer (Diskussion) 18:33, 10. Jul. 2013 (CEST)

„Substitution muss direkt einsetzbar sein ...“

Das war vorher schon richtig. Daher Revert. Die Koeffizienten der neuen Gleichung bestimmt man z.B. durch eine Berechnung der elementarsymmetrischen Polynome. Siehe z.B. Algebra für Einsteiger, S. 97 ff. --Lefschetz (Diskussion) 22:34, 9. Jul. 2013 (CEST) Nein, nicht überall! Da stehen mir die Haare zu Berge. Siehe oben. Außerdem ist immer noch ein Fehler drin, es muss richtig

$x^{5}+ax+b=0$

statt

$x^{5}+ax+b$

heißen, denn das wäre gar keine Gleichung! --Skraemer (Diskussion) 18:43, 10. Jul. 2013 (CEST)

Mit der letzten Anmerkung hast Du natürlich völlig recht. Habe dies, mit einer Umbenennung der Variablen (die ebenfalls sinnvoll ist), durchgeführt. Bleibt die Frage nach der Referenz für Nein, nicht überall!--Lefschetz (Diskussion) 22:44, 10. Jul. 2013 (CEST)

Beschreibung

Ich habe die Idee der Zahl m in dem Ausdruck für y sollte n sein. Madyno (Diskussion) 22:18, 24. Apr. 2016 (CEST)

Der sollte schon passen, der Grad bei y ist ein anderer als der bei f(x). Ich frage mich allerdings, warum es mit m-1 losgeht und nicht mit m. -- HilberTraum (d, m) 19:59, 25. Apr. 2016 (CEST)

Tatsächlich soll n statt m benutzt werden. Deshalb geht die Formel auch los mit n-1 (m-1). Natürlich könnte man auch m benutzen und mit m anfangen, sei es dass m<n sein muss. Madyno (Diskussion) 21:06, 18. Mär. 2017 (CET)

Ich denke, dass der Text ok ist. Warum der höchste Exponent von x bei der Definition von y mit m-1 bezeichnet wird und nicht mit m, darüber kann man sicher debattieren. Aber m steht nicht in einer festen Relation zu n, denn für m - 1 = 1 ergibt sich die lineare Transformation, für m - 1 = 2 die quadratische Tschirnhaus-Transformation etc. --Lefschetz (Diskussion) 18:43, 19. Mär. 2017 (CET)