Elliptisches Nomen

In der Mathematik ist das Elliptische Nomen (analog zum englischen Wort „nome“: Bezirk, Name) eine nichtelementare Funktion. Diese Funktion entsteht durch eine elementare Kombination aus vollständigen elliptischen Integralen erster Art, welche wiederum als Linearkombination aus vollständigen elliptischen Integralen zweiter Art und somit aus Umfängen von Ellipsen hervorgehen. Der Begriff Nomen als elliptische Funktion wurde insbesondere von den Mathematikern Folkmar Bornemann und Jörg Waldvogel verwendet. Das elliptische Nomen findet in der Theorie über elliptische Modulfunktionen Anwendung. Alternativ kann nach Robert Fricke das elliptische Nomen auch als Jacobische Entwicklungsgröße bezeichnet werden. Namensgebend für die von Robert Fricke gegebene Bezeichnung ist der Mathematiker Carl Gustav Jacob Jacobi aus Preußen.

Definition

Das Elliptische Nomen ist der Exponentialfunktionswert vom negativen Produkt aus der Kreiszahl und dem reellen Halbperiodenverhältnis. Das reelle Halbperiodenverhältnis ist der Quotient des vollständigen Elliptischen Integrals erster Art vom pythagoräisch komplementären Modul dividiert durch das vollständige elliptische Integral erster Art vom Modul selbst. Jener elliptische Modul bildet die Abszisse der elliptischen Nomenfunktion. Das Elliptische Nomen wird mit dem Buchstaben q gekennzeichnet:

$q(x)\equiv \exp[-\pi K({\sqrt {1-x^{2}}})K(x)^{-1}]$

Dabei ist das vollständige elliptische Integral erster Art auf folgende Weise definiert:

$K(x)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}\sin(\varphi )^{2}}}}\mathrm {d} \varphi =2\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(y^{2}+1)^{2}-4x^{2}y^{2}}}}\mathrm {d} y$

Zum imaginären Halbperiodenverhältnis steht das elliptische Nomen in diesem Zusammenhang:

$q(x)=\exp[i\pi \tau (x)]$

Denn es gilt:

$\tau (x)={\frac {iK({\sqrt {1-x^{2}}})}{K(x)}}$

Das imaginäre Halbperiodenverhältnis wird mit dem kleinen griechischen Buchstaben Tau abgekürzt.

Kurvendiskussion

Verlauf des Graphen

Alle reellen x-Werte des Intervalls [-1;+1] werden in der Nomenfunktion q(x) reellen Zahlen zwischen eingeschlossen Null und eingeschlossen Eins zugeordnet. Die elliptische Nomenfunktion ist zur Ordinatenachse achsensymmetrisch. Somit gilt: q(x) = q(-x). Sie verläuft durch den Koordinatenursprung mit der Steigung Null und der Krümmung Plus Ein Achtel. Für das reellwertige Intervall ]-1;+1[ ist die elliptische Nomenfunktion q(x) streng monoton linksgekrümmt.

Maclaurinsche Reihe

Die Maclaurinschen Reihe von q(x) hat an allen Stellen geradzahlige Exponenten und positive Koeffizienten:

$q(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Kt}}(n)x^{2n}}{16^{n}}}$

Der Konvergenzradius dieser Maclaurin-Reihe ist 1. Hierbei ist Kt(n) (OEIS A005797) für die Kotěšovec-Zahlen. Diese Zahlen bilden eine Zahlenfolge von ausschließlich natürlichen Zahlen Kt(n) ∈ ℕ für alle natürlichen Zahlen n ∈ ℕ und diese Folge ist nicht elementar, sondern elliptisch aufgebaut.

Zahlenfolge nach Kotěšovec

Erzeugungsalgorithmus mit dem CBC

Die Kotěšovec-Zahlen gehorchen folgender Erzeugungsvorschrift:

Als Startwert gilt der Wert Kt(1) = 1 und die darauf folgenden Werte dieser Folge werden mit jenen zwei für alle Zahlen n ∈ ℕ gültigen Formeln erzeugt:

${\text{Kt}}(n+1)={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}k\,{\text{Kt}}(k)[16\,{\text{ZA}}(n+1-k)-{\text{ZA}}(n+2-k)]$

${\text{ZA}}(n)=\sum _{m=0}^{n-1}\operatorname {CBC} (m)^{2}\operatorname {CBC} (n-1-m)^{2}$

Somit gilt auch:

${\text{Kt}}(n+1)={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}k\,{\text{Kt}}(k)\left\{16\left[\sum _{m=0}^{n-k}\operatorname {CBC} (m)^{2}\operatorname {CBC} (n-k-m)^{2}\right]-\left[\sum _{m=0}^{n+1-k}\operatorname {CBC} (m)^{2}\operatorname {CBC} (n+1-k-m)^{2}\right]\right\}$

Der Zentralbinomialkoeffizient $\operatorname {CBC} (n)$ ist auf folgende Weise definiert:

$\operatorname {CBC} (n)={2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}={\frac {\Pi (2n)}{\Pi (n)^{2}}}=\prod _{a=1}^{\infty }{\bigl [}{\bigl (}1+{\frac {n}{a}}{\bigr )}^{2}{\bigl (}1+{\frac {2n}{a}}{\bigr )}^{-1}{\bigr ]}$

Das Kürzel CBC steht für den englischen Begriff Central Binomial Coefficient und wurde unter anderem durch die Mathematiker David Kessler and Jeremy Schiff eingeführt. Diese Zahlenfolge Kt(n) wurde durch den tschechischen Mathematiker und Feenschachkomponisten Václav Kotěšovec (geboren im Jahre 1956) erforscht. Mit ZA(n) wird eine Abwandlung (OEIS A036917) der Apery-Folge bezeichnet, welche durch die Mathematiker Sun Zhi-Hong und Reinhard Zumkeller erforscht wurde. Von diesen beiden Folgen werden im nun Folgenden einige Zahlen genannt:

Position n	Folgenzahl ZA(n)	Folgenzahl Kt(n)
1	1	1
2	8	8
3	88	84
4	1088	992
5	14296	12514
6	195008	164688
7	2728384	2232200
8	38879744	30920128
9	561787864	435506703
10	8206324928	6215660600
11	120929313088	89668182220
12	1794924383744	1305109502496
13	26802975999424	19138260194422
14	402298219288064	282441672732656
15	6064992788397568	4191287776164504
16	91786654611673088	62496081197436736
17	1393772628452578264	935823746406530603

Václav Kotěšovec schrieb die Zahlenfolge Kt(n) auf der Onlineenzyklopädie der Zahlenfolgen bis zur siebenhundertsten Folgenzahl nieder.

Außerdem gilt:

$4\pi ^{-2}K(x)^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{ZA}}(n)x^{2n-2}}{16^{n-1}}}$

Die Maclaurinsche Reihe des Nomens vom Quotienten der identischen Abbildungsfunktion dividiert durch ihren pythagoräischen Nachfolger lautet so:

$q{\bigl [}x(x^{2}+1)^{-1/2}{\bigr ]}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}{\text{Kt}}(n)x^{2n}}{16^{n}}}$

Denn es gilt:

$q{\bigl [}x(x^{2}+1)^{-1/2}{\bigr ]}=-q(ix)$

Mit dem Buchstaben i wird die imaginäre Einheit repräsentiert.

Exemplarische Herleitung der Zahlenfolge

Es gilt mit dem Startwert Kt(1) = 1:

${\text{Kt}}(n+1)={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}k\,{\text{Kt}}(k)[16\,{\text{ZA}}(n+1-k)-{\text{ZA}}(n+2-k)]$

Tabelle aller Folgen:

$n$	1	2	3	4	5	6	7
ZA(n)	1	8	88	1088	14296	195008	2728384
16ZA(n-1)-ZA(n)		8	40	320	3112	33728	391744
Kt(n)	1	8	84	992	12514	164688	2232200

Exemplarische Erzeugung:

${\text{Kt}}(2)=1\times 8\times 1=8$

${\text{Kt}}(3)={\tfrac {1}{2}}\times 40\times 1+1\times 8\times 8=84$

${\text{Kt}}(4)={\tfrac {1}{3}}\times 320\times 1+{\tfrac {2}{3}}\times 40\times 8+1\times 8\times 84=992$

${\text{Kt}}(5)={\tfrac {1}{4}}\times 3112\times 1+{\tfrac {2}{4}}\times 320\times 8+{\tfrac {3}{4}}\times 40\times 84+1\times 8\times 992=12514$

${\text{Kt}}(6)={\tfrac {1}{5}}\times 33728\times 1+{\tfrac {2}{5}}\times 3112\times 8+{\tfrac {3}{5}}\times 320\times 84+{\tfrac {4}{5}}\times 40\times 992+1\times 8\times 12514=164688$

${\text{Kt}}(7)={\tfrac {1}{6}}\times 391744\times 1+{\tfrac {2}{6}}\times 33728\times 8+{\tfrac {3}{6}}\times 3112\times 84+{\tfrac {4}{6}}\times 320\times 992+{\tfrac {5}{6}}\times 40\times 12514+1\times 8\times 164688=2232200$

Die Faktoren kommen aus den beiden letzten Zeilen der Tabelle.

Außerdem gilt:

${\text{Kt}}(2n)={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{2n-1}(-1)^{k+1}16^{k}{\binom {2n-1}{k}}{\text{Kt}}(2n-k)$

Erste Exemplare:

${\text{Kt}}(2)={\frac {1}{2}}(1\times 16\times 1)=8$

${\text{Kt}}(4)={\frac {1}{2}}(3\times 16\times 84-3\times 256\times 8+1\times 4096\times 1)=992$

${\text{Kt}}(6)={\frac {1}{2}}(5\times 16\times 12514-10\times 256\times 992+10\times 4096\times 84-5\times 65536\times 8+1\times 1048576\times 1)=164688$

Erzeugungsalgorithmus mit Fakultätsbrüchen

Folgende zwei Summenformeln dienen der alternierenden Synthese der Zahlenfolge nach Kotěšovec über Fakultätsbrüche:

$\sum _{m=1}^{n}2{\text{Kt}}(m){\text{Kt}}(2n+1-m)=\Pi (4n+1)\sum _{m=1}^{n}{\frac {m\,(2n+2-2m)\,4^{2n+2-2m}}{\Pi (2n+2-2m)\Pi (2n+3+2m)}}\,{\text{Kt}}(m)$

${\biggl [}\sum _{m=1}^{n}2{\text{Kt}}(m){\text{Kt}}(2n+2-m){\biggr ]}+{\text{Kt}}(n+1)^{2}=\Pi (4n+3)\sum _{m=1}^{n+1}{\frac {m\,(2n+3-2m)\,4^{2n+3-2m}}{\Pi (2n+3-2m)\Pi (2n+4+2m)}}\,{\text{Kt}}(m)$

So sieht dann die exemplarische Ausführung aus:

$2{\text{Kt}}(1){\text{Kt}}(2)=\Pi (5)\,{\frac {16\times 1\times 2\,{\text{Kt}}(1)}{\Pi (2)\Pi (5)}}$

${\text{Kt}}(1)=1\,\Longrightarrow \,{\text{Kt}}(2)=8$

$2{\text{Kt}}(1){\text{Kt}}(3)+{\text{Kt}}(2)^{2}=\Pi (7){\biggl [}{\frac {64\times 1\times 3\,{\text{Kt}}(1)}{\Pi (3)\Pi (6)}}+{\frac {4\times 2\times 1\,{\text{Kt}}(2)}{\Pi (1)\Pi (8)}}{\biggr ]}$

${\text{Kt}}(1)=1\,\cap \,{\text{Kt}}(2)=8\,\Longrightarrow \,{\text{Kt}}(3)=84$

$2{\text{Kt}}(1){\text{Kt}}(4)+2{\text{Kt}}(2){\text{Kt}}(3)=\Pi (9){\biggl [}{\frac {256\times 1\times 4\,}{\Pi (4)\Pi (7)}}\,{\text{Kt}}(1)+{\frac {16\times 2\times 2\,\Pi (9)}{\Pi (2)\Pi (9)}}\,{\text{Kt}}(2){\biggr ]}$

${\text{Kt}}(1)=1\,\cap \,{\text{Kt}}(2)=8\,\cap \,{\text{Kt}}(3)=84\,\Longrightarrow \,{\text{Kt}}(4)=992$

$2{\text{Kt}}(1){\text{Kt}}(5)+2{\text{Kt}}(2){\text{Kt}}(4)+{\text{Kt}}(3)^{2}=\Pi (11){\biggl [}{\frac {1024\times 1\times 5\,{\text{Kt}}(1)}{\Pi (5)\Pi (8)}}+{\frac {64\times 2\times 3\,{\text{Kt}}(2)}{\Pi (3)\Pi (10)}}+{\frac {4\times 3\times 1\,{\text{Kt}}(3)}{\Pi (1)\Pi (12)}}{\biggr ]}$

${\text{Kt}}(1)=1\,\cap \,{\text{Kt}}(2)=8\,\cap \,{\text{Kt}}(3)=84\,\cap \,{\text{Kt}}(4)=992\,\Longrightarrow \,{\text{Kt}}(5)=12514$

$2{\text{Kt}}(1){\text{Kt}}(6)+2{\text{Kt}}(2){\text{Kt}}(5)+2{\text{Kt}}(3){\text{Kt}}(4)=\Pi (13){\biggl [}{\frac {4096\times 1\times 6\,{\text{Kt}}(1)}{\Pi (6)\Pi (9)}}+{\frac {256\times 2\times 4\,{\text{Kt}}(2)}{\Pi (4)\Pi (11)}}+{\frac {16\times 3\times 2\,{\text{Kt}}(3)}{\Pi (2)\Pi (13)}}{\biggr ]}$

${\text{Kt}}(1)=1\,\cap \,{\text{Kt}}(2)=8\,\cap \,{\text{Kt}}(3)=84\,\cap \,{\text{Kt}}(4)=992\,\cap \,{\text{Kt}}(5)=12514\,\Longrightarrow \,{\text{Kt}}(6)=164688$

Zahlenfolge nach Schellbach und Schwarz

Elliptisches Nomen und Schellbachsche Folge

Der schlesisch-deutsche Mathematiker Hermann Amandus Schwarz schrieb in seinem Werk Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Funktionen im Kapitel Berechnung der Grösse k auf den Seiten 54 bis 56 eine nichtelementare Zahlenfolge nieder, aus der die Zahlenfolge nach Václav Kotěšovec durch quartische Potenzierung der betroffenen erzeugenden Funktion hervorgeht. Diese Folge Sc(n) ist in der Online-Enzyklopädie der Zahlenfolgen unter der Nummer A002103 eingetragen. Ebenso erforschte der Mathematiker Karl Heinrich Schellbach diese Formel und behandelte sie in seinem Werk Die Lehre von den elliptischen Integralen und den Thetafunktionen ausführlich. Diese Schellbach-Schwarz-Zahlenfolge wurde auch von den Mathematikern Karl Theodor Wilhelm Weierstraß und Louis Melville Milne-Thomson analysiert. Aus der MacLaurinschen Reihe der vierten Wurzel aus dem Quotienten des elliptischen Nomens dividiert durch die Quadratfunktion wird im nun Folgenden die Folge der Zahlen nach Schellbach und Schwarz Sc(n) hervorgebracht. Die beschriebene MacLaurinsche Reihe lautet so:

${\sqrt[{4}]{x^{-2}q(x)}}={\frac {1}{2}}+{\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Sc}}(n+1)}{2^{4n+1}}}x^{2n}{\biggr ]}$

Umgeformt kommt dieser Ausdruck hervor:

$q(x)=x^{2}{\biggl \{}{\frac {1}{2}}+{\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Sc}}(n+1)}{2^{4n+1}}}\,x^{2n}{\biggr ]}{\biggr \}}^{4}$

Zun nun genannten Ausdruck sind folgende beiden Ausdrücke übereinstimmend:

$q(x)={\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Sc}}(n)}{2^{4n-3}}}{\biggl (}{\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}{\biggr )}^{4n-3}{\biggr ]}^{2}$

$q(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Sc}}(n)}{2^{4n-3}}}{\biggl (}{\frac {1-{\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}}{1+{\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}}}{\biggr )}^{4n-3}$

Die ersten Summanden dieser Reihenentwicklung lauten wie folgt:

${\sqrt[{4}]{x^{-2}q(x)}}={\frac {\color {blueviolet}1}{2}}+{\frac {\color {blueviolet}2}{32}}x^{2}+{\frac {\color {blueviolet}15}{512}}x^{4}+{\frac {\color {blueviolet}150}{8192}}x^{6}+{\frac {\color {blueviolet}1707}{131072}}x^{8}+\cdots$

Knesersche Folge

Der Mathematiker Adolf Kneser ermittelte für diese Folge ein Syntheseverfahren nach analogem Muster zur oben genannten Folge:

${\text{Sc}}(n+1)={\frac {2}{n}}\sum _{m=1}^{n}{\text{Sc}}(m){\text{Kn}}(n+1-m)$

Die nachfolgende Tabelle zeigt die von Adolf Kneser behandelten Zahlenfolgen im Vergleich:

Verfahren nach Kneser

Index n	Kn(n) (A227503)	Sc(n) (A002103)
1	1	1
2	13	2
3	184	15
4	2701	150
5	40456	1707

Die hier erwähnte Zahlenfolge nach Adolf Kneser ist eine Zahlenfolge, welche mit Hilfe von Binomialkoeffizienten erzeugt werden kann. Als erzeugende Funktionen hat diese Zahlenfolge elliptische Funktionen. Besonders effizient kann die Knesersche Zahlenfolge so hervorgebracht werden:

${\text{Kn}}(2n)=2^{4n-3}{\binom {4n}{2n}}+\sum _{m=1}^{n}4^{2n-2m}{\binom {4n}{2n-2m}}{\text{Kn}}(m)$

${\text{Kn}}(2n+1)=2^{4n-1}{\binom {4n+2}{2n+1}}+\sum _{m=1}^{n}4^{2n-2m+1}{\binom {4n+2}{2n-2m+1}}{\text{Kn}}(m)$

Ausgeführte Beispiele:

${\text{Kn}}(2)=2\times 6+1\times {\color {cornflowerblue}1}={\color {cornflowerblue}13}$

${\text{Kn}}(3)=8\times 20+24\times {\color {cornflowerblue}1}={\color {cornflowerblue}184}$

${\text{Kn}}(4)=32\times 70+448\times {\color {cornflowerblue}1}+1\times {\color {cornflowerblue}13}={\color {cornflowerblue}2701}$

${\text{Kn}}(5)=128\times 252+7680\times {\color {cornflowerblue}1}+40\times {\color {cornflowerblue}13}={\color {cornflowerblue}40456}$

${\text{Kn}}(6)=512\times 924+126720\times {\color {cornflowerblue}1}+1056\times {\color {cornflowerblue}13}+1\times {\color {cornflowerblue}184}={\color {cornflowerblue}613720}$

${\text{Kn}}(7)=2048\times 3432+2050048\times {\color {cornflowerblue}1}+23296\times {\color {cornflowerblue}13}+56\times {\color {cornflowerblue}184}={\color {cornflowerblue}9391936}$

Die Knesersche Zahlenfolge Kn(n) ergibt sich exakt als Zahlenfolge in der Taylorschen Reihe von der Funktion des Periodenverhältnisses(Halbperiodenverhältnisses):

${\frac {1}{4}}\ln {\bigl (}{\frac {16}{x^{2}}}{\bigr )}-{\frac {\pi \,K'(x)}{4\,K(x)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Kn}}(n)}{2^{4n-1}n}}\,x^{2n}$

${\color {limegreen}{\frac {1}{4}}\ln {\bigl (}{\frac {16}{x^{2}}}{\bigr )}-{\frac {\pi \,K'(x)}{4\,K(x)}}={\frac {\color {cornflowerblue}1}{8}}x^{2}+{\frac {\color {cornflowerblue}13}{256}}x^{4}+{\frac {\color {cornflowerblue}184}{6144}}x^{6}+{\frac {\color {cornflowerblue}2701}{131072}}x^{8}+{\frac {\color {cornflowerblue}40456}{2621440}}x^{10}+\ldots }$

Die Zahlenfolge erscheint ebenso in der Reihenentwicklung der folgenden Funktion:

${\frac {\pi ^{2}}{8x(1-x^{2})K(x)^{2}}}-{\frac {1}{2x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Kn}}(n)}{2^{4n-2}}}x^{2n-1}$

Denn diese Funktion geht direkt als Ableitung der gezeigten Periodenverhältnis-Funktion hervor.

Bei Anwendung der Quotientenregel kann mit Hilfe der LEgendreschen Identität der nun gezeigte Ausdruck hervorgebracht werden.

Synthese der Schellbachschen Folge

Im Folgenden wird auch die Synthese der Schellbachschen Zahlen akkurat anhand einiger Beispiele beschrieben:

${\text{Sc}}(n+1)={\frac {2}{n}}\sum _{m=1}^{n}{\text{Sc}}(m){\text{Kn}}(n+1-m)$

So werden die Beispiele erzeugt:

$\mathrm {Sc} (4)={\frac {2}{3}}\sum _{m=1}^{3}\mathrm {Sc} (m)\,\mathrm {Kn} (4-m)={\frac {2}{3}}{\bigl [}{\color {navy}\mathrm {Sc} (1)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (3)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (2)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (2)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (3)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (1)}{\bigr ]}$

${\color {navy}\mathrm {Sc} (4)}={\frac {2}{3}}{\bigl (}{\color {navy}1}\times {\color {cornflowerblue}184}+{\color {navy}2}\times {\color {cornflowerblue}13}+{\color {navy}15}\times {\color {cornflowerblue}1}{\bigr )}={\color {navy}150}$

$\mathrm {Sc} (5)={\frac {2}{4}}\sum _{m=1}^{4}\mathrm {Sc} (m)\,\mathrm {Kn} (5-m)={\frac {2}{4}}{\bigl [}{\color {navy}\mathrm {Sc} (1)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (4)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (2)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (3)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (3)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (2)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (4)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (1)}{\bigr ]}$

${\color {navy}\mathrm {Sc} (5)}={\frac {2}{4}}{\bigl (}{\color {navy}1}\times {\color {cornflowerblue}2701}+{\color {navy}2}\times {\color {cornflowerblue}184}+{\color {navy}15}\times {\color {cornflowerblue}13}+{\color {navy}150}\times {\color {cornflowerblue}1}{\bigr )}={\color {navy}1707}$

$\mathrm {Sc} (6)={\frac {2}{5}}\sum _{m=1}^{5}\mathrm {Sc} (m)\,\mathrm {Kn} (6-m)={\frac {2}{5}}{\bigl [}{\color {navy}\mathrm {Sc} (1)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (5)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (2)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (4)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (3)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (3)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (4)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (2)}+{\color {navy}\mathrm {Sc} (5)}\,{\color {cornflowerblue}\mathrm {Kn} (1)}{\bigr ]}$

${\color {navy}\mathrm {Sc} (6)}={\frac {2}{5}}{\bigl (}{\color {navy}1}\times {\color {cornflowerblue}40456}+{\color {navy}2}\times {\color {cornflowerblue}2701}+{\color {navy}15}\times {\color {cornflowerblue}184}+{\color {navy}150}\times {\color {cornflowerblue}13}+{\color {navy}1707}\times {\color {cornflowerblue}1}{\bigr )}={\color {navy}20910}$

Schellbach-Schwarz-Algorithmus und Kotěšovec-Zahlen

Aus dieser Folge kann die Zahlenfolge nach Kotěšovec durch Aufsummierung ermittelt werden:

${\text{Sc}}^{*}(n)=\sum _{m=1}^{n}{\text{Sc}}(m)\,{\text{Sc}}(n+1-m)$

${\text{Kt}}(n)=\sum _{m=1}^{n}{\text{Sc}}^{*}(m)\,{\text{Sc}}^{*}(n+1-m)$

Mit Sc*(n) wird diejenige abgewandelte Folge der Schwarzschen Folge bezeichnet, die aus der MacLaurinschen Reihe von der Quadratwurzel aus dem Quotienten des Nomens dividiert durch die Quadratfunktion hervorgeht. Folgende Tabelle stellt die Zahlenfolgen gegenüber:

Tabelle elliptischer Zahlenfolgen

Index n	Sc(n) (A002103)	Sc*(n) (A274344)	Kt(n) (A005797)
1	1	1	1
2	2	4	8
3	15	34	84
4	150	360	992
5	1707	4239	12514
6	20910	53148	164688
7	268616	694582	2232200
8	3567400	9348664	30920128
9	48555069	128625067	435506703

Exemplarische Ausführung der genannten Summenformeln:

${\color {blue}1}\times {\color {blue}15}+{\color {blue}2}\times {\color {blue}2}+{\color {blue}15}\times {\color {blue}1}={\color {RoyalBlue}34}$

${\color {RoyalBlue}1}\times {\color {RoyalBlue}34}+{\color {RoyalBlue}4}\times {\color {RoyalBlue}4}+{\color {RoyalBlue}34}\times {\color {RoyalBlue}1}={\color {Green}84}$

${\color {blue}1}\times {\color {blue}150}+{\color {blue}2}\times {\color {blue}15}+{\color {blue}15}\times {\color {blue}2}+{\color {blue}150}\times {\color {blue}1}={\color {RoyalBlue}360}$

${\color {RoyalBlue}1}\times {\color {RoyalBlue}360}+{\color {RoyalBlue}4}\times {\color {RoyalBlue}34}+{\color {RoyalBlue}34}\times {\color {RoyalBlue}4}+{\color {RoyalBlue}360}\times {\color {RoyalBlue}1}={\color {Green}992}$

Liste der Werte

Nicht Gelfondsche Werte

Im nun Folgenden werden einige Nomenfunktionswerte gegliedert angegeben.

Das sind die Nicht Gelfondschen Werte, also die Werte, welche nicht mit der Gelfondschen Konstante $\mathrm {e} ^{\pi }$ in Verwandtschaft stehen:

$q(0)=0$

$q(1)=1$

$q(-1)=1$

Lemniskatische und Landensche Werte

In folgender Liste werden einige Lemniskatischen und Landenschen Standardwerte dargestellt:

$q({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})={\text{e}}^{-\pi }$

$q({\sqrt {2}}-1)={\text{e}}^{-{\sqrt {2}}\pi }$

$q{\bigl \{}\operatorname {sech} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arsinh} (1){\bigr ]}{\bigr \}}=\exp(-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,\pi )$

$q{\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}={\text{e}}^{-2\pi }$

$q{\bigl [}2{\sqrt[{4}]{2}}\,({\sqrt {2}}-1){\bigr ]}=\exp(-{\tfrac {1}{2}}\pi )$

$q{\bigl \{}\tanh {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arsinh} (1){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}={\text{e}}^{-2{\sqrt {2}}\pi }$

$q{\bigl [}({\sqrt {2}}+1)^{2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{4}{\bigr ]}={\text{e}}^{-4\pi }$

Weitere Lemniskatische Tochterwerte lauten wie folgt:

$q{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}}){\bigr ]}={\text{e}}^{-3\pi }$

$q{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}+{\sqrt[{4}]{3}}){\bigr ]}=\exp(-{\tfrac {1}{3}}\pi )$

$q{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {10}}-2{\sqrt {2}}\,)(3-2{\sqrt[{4}]{5}}\,){\bigr ]}={\text{e}}^{-5\pi }$

$q{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {10}}-2{\sqrt {2}}\,)(3+2{\sqrt[{4}]{5}}\,){\bigr ]}=\exp(-{\tfrac {1}{5}}\pi )$

$q{\biggl \langle }\sin {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arcsin {\bigl [}{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {14}}+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{7}}\,{\bigr )}^{12}{\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }={\text{e}}^{-7\pi }$

$q{\biggl \langle }\cos {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arcsin {\bigl [}{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {14}}+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{7}}\,{\bigr )}^{12}{\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{7}}\pi )$

Als Module in den gezeigten Wertepaaren sind hier zueinander Pythagoräische Gegenstücke eingetragen!

Weitere Werte

Werte vom Muster 4n + 2:

$q{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}={\text{e}}^{-{\sqrt {6}}\pi }$

$q{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {6}}\,\pi )$

$q{\bigl [}({\sqrt {10}}-3)({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}={\text{e}}^{-{\sqrt {10}}\pi }$

$q{\bigl [}({\sqrt {10}}-3)({\sqrt {2}}+1)^{2}{\bigr ]}=\exp(-{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {10}}\,\pi )$

$q{\bigl [}(10-3{\sqrt {11}})(3{\sqrt {11}}-7{\sqrt {2}}){\bigr ]}={\text{e}}^{-{\sqrt {22}}\pi }$

$q{\bigl [}(10-3{\sqrt {11}})(3{\sqrt {11}}+7{\sqrt {2}}){\bigr ]}=\exp(-{\tfrac {1}{11}}{\sqrt {22}}\,\pi )$

$q{\bigl [}(13{\sqrt {58}}-99)({\sqrt {2}}-1)^{6}{\bigr ]}={\text{e}}^{-{\sqrt {58}}\pi }$

$q{\bigl [}(13{\sqrt {58}}-99)({\sqrt {2}}+1)^{6}{\bigr ]}=\exp(-{\tfrac {1}{29}}{\sqrt {58}}\,\pi )$

Als Module in den gezeigten Wertepaaren sind hier zueinander tangentielle Gegenstücke eingetragen!

Werte vom Muster 4n - 1:

$q{\bigl [}{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\,){\bigr ]}={\text{e}}^{-{\sqrt {3}}\pi }$

$q{\bigl [}{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\,){\bigr ]}=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\,\pi )$

$q{\bigl [}{\tfrac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}}\,){\bigr ]}={\text{e}}^{-{\sqrt {7}}\pi }$

$q{\bigl [}{\tfrac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}+{\sqrt {14}}\,){\bigr ]}=\exp(-{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {7}}\,\pi )$

$q{\bigl [}{\tfrac {1}{16}}{\bigl (}{\sqrt {22}}+3{\sqrt {2}}{\bigr )}{\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {11}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {11}}-1{\bigr )}^{4}{\bigr ]}={\text{e}}^{-{\sqrt {11}}\pi }$

$q{\bigl [}{\tfrac {1}{16}}{\bigl (}{\sqrt {22}}-3{\sqrt {2}}{\bigr )}{\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {11}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {11}}+1{\bigr )}^{4}{\bigr ]}=\exp(-{\tfrac {1}{11}}{\sqrt {11}}\,\pi )$

Hier sind wieder zueinander Pythagoräische Gegenstücke eingetragen!

Werte vom Muster 4n + 1:

$q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin({\sqrt {5}}-2){\bigr ]}{\bigr \}}={\text{e}}^{-{\sqrt {5}}\pi }$

$q{\bigl \{}\cos {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin({\sqrt {5}}-2){\bigr ]}{\bigr \}}=\exp(-{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5}}\,\pi )$

$q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin(5{\sqrt {13}}-18){\bigr ]}{\bigr \}}={\text{e}}^{-{\sqrt {13}}\pi }$

$q{\bigl \{}\cos {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin(5{\sqrt {13}}-18){\bigr ]}{\bigr \}}=\exp(-{\tfrac {1}{13}}{\sqrt {13}}\,\pi )$

$q{\biggl \langle }\sin {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arcsin {\bigl [}({\sqrt {37}}-6)^{3}{\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }={\text{e}}^{-{\sqrt {37}}\pi }$

$q{\biggl \langle }\cos {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arcsin {\bigl [}({\sqrt {37}}-6)^{3}{\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{37}}{\sqrt {37}}\,\pi )$

Auch die hier gezeigten Modulpaare sind Pythagoräische Gegenstücke!

Elementar parametrisierte Potenzierungsgesetze

Herleitung des Quadrierungsgesetzes

Das Gesetz für das Quadrat des elliptischen Nomens beinhaltet die Bildung des Landenschen Tochtermoduls:

$q(x)^{2}=q{\bigl [}x^{2}(1+{\sqrt {1-x^{2}}})^{-2}{\bigr ]}=q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin(x){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}=q{\bigl \{}\operatorname {tanh} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {artanh} (x){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}$

Der Landensche Tochtermodul ist zugleich das tangentielle Gegenstück des pythagoräischen Gegenstücks des Muttermoduls.

Diese Formel resultiert als Kombination aus folgenden Gleichungen: $(1+{\sqrt {1-x^{2}}})F{\bigl [}\arctan(w);x{\bigr ]}=F{\bigl [}\arctan(w)+\arctan({\sqrt {1-x^{2}}}\,w);x^{2}(1+{\sqrt {1-x^{2}}})^{-2}{\bigr ]}$ Der Differentialquotient von dieser Gleichungswaage bezüglich $w$ bestätigt die Richtigkeit dieser Formel. Denn auf beiden Seiten der Gleichungswaage entsteht die gleiche Ableitungsfunktion und beide Seiten der Waage verlaufen bezüglich $w$ durch den Koordinatenursprung. Daraus folgt direkt: $(1+{\sqrt {1-x^{2}}})K(x)=2K{\bigl [}x^{2}(1+{\sqrt {1-x^{2}}})^{-2}{\bigr ]}$ Durch Umsubstituierung entsteht dieser Ausdruck: $K{\bigl [}2{\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}(1+{\sqrt {1-x^{2}}})^{-1}{\bigr ]}=(1+{\sqrt {1-x^{2}}})K({\sqrt {1-x^{2}}})$ Die Kombination dieser beiden Formeln ergibt folgende Quotientengleichung: $2\,{\frac {K({\sqrt {1-x^{2}}})}{K(x)}}={\frac {K[2{\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}(1+{\sqrt {1-x^{2}}})^{-1}]}{K[x^{2}(1+{\sqrt {1-x^{2}}})^{-2}]}}$ Auf beiden Seiten dieser Gleichung stehen Periodenverhältnisse. Denn auf beiden Seiten ist der Modul im Zähler pythagoräisch komplementär zum Modul im Nenner. Das elliptische Nomen ist als Exponentialfunktion des negativen Kreiszahlfachen des reellen Periodenverhältnisses definiert. Und das reelle Periodenverhältnis ist als Quotient vom K-Integral des pythagoräischen Komplementärmoduls dividiert durch das K-Integral des betroffenen Moduls selbst definiert. Daraus folgt dann: $q(x)^{2}=\exp {\biggl [}-\pi \,{\frac {K'(x)}{K(x)}}{\biggr ]}^{2}=\exp {\biggl [}-\pi \,{\frac {K({\sqrt {1-x^{2}}})}{K(x)}}{\biggr ]}^{2}=\exp {\biggl \{}-\pi {\biggl [}2\,{\frac {K({\sqrt {1-x^{2}}})}{K(x)}}{\biggr ]}{\biggr \}}=$ $=\exp {\biggl \{}-\pi \,{\frac {K[2{\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}(1+{\sqrt {1-x^{2}}})^{-1}]}{K[x^{2}(1+{\sqrt {1-x^{2}}})^{-2}]}}{\biggr \}}=\exp {\biggl \{}-\pi \,{\frac {K'[x^{2}(1+{\sqrt {1-x^{2}}})^{-2}]}{K[x^{2}(1+{\sqrt {1-x^{2}}})^{-2}]}}{\biggr \}}=q{\bigl [}x^{2}(1+{\sqrt {1-x^{2}}})^{-2}{\bigr ]}$ QUOD ERAT DEMONSTRANDUM!

Beispiele für das Quadrierungsgesetz

Für diese Formel sollen im nun Folgenden drei Beispiele ausgeführt werden:

Trigonometrisch dargestellte Beispiele:

$\exp(-2{\sqrt {3}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )^{2}=q{\bigl [}\sin({\tfrac {1}{12}}\pi ){\bigr ]}^{2}=q{\bigl [}\tan({\tfrac {1}{24}}\pi )^{2}{\bigr ]}$

$\exp(-2{\sqrt {5}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {5}}\,\pi )^{2}=q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin({\sqrt {5}}-2){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}=q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arcsin({\sqrt {5}}-2){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}$

$\exp(-2{\sqrt {7}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {7}}\,\pi )^{2}=q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin({\tfrac {1}{8}}){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}=q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arcsin({\tfrac {1}{8}}){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}$

$\exp(-2{\sqrt {13}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {13}}\,\pi )^{2}=q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arcsin(5{\sqrt {13}}-18){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}=q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\arcsin(5{\sqrt {13}}-18){\bigr ]}^{2}{\bigr \}}$

Hyperbolisch dargestellte Beispiele:

$\exp(-2{\sqrt {6}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {6}}\,\pi )^{2}=$

$=q{\biggl \langle }\operatorname {tanh} {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }^{2}=q{\biggl \langle }\operatorname {tanh} {\bigl \{}{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}{\bigr \}}^{2}{\biggr \rangle }$

$\exp(-2{\sqrt {10}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {10}}\,\pi )^{2}=$

$=q{\biggl \langle }\operatorname {tanh} {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}({\sqrt {5}}-2)^{2}{\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }^{2}=q{\biggl \langle }\operatorname {tanh} {\bigl \{}{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}({\sqrt {5}}-2)^{2}{\bigr ]}{\bigr \}}^{2}{\biggr \rangle }$

$\exp(-2{\sqrt {14}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {14}}\,\pi )^{2}=$

$=q{\biggl \langle }\operatorname {tanh} {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}({\sqrt {2}}+{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {4{\sqrt {2}}+5}})^{3}{\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }^{2}=q{\biggl \langle }\operatorname {tanh} {\bigl \{}{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}({\sqrt {2}}+{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {4{\sqrt {2}}+5}})^{3}{\bigr ]}{\bigr \}}^{2}{\biggr \rangle }$

$\exp(-2{\sqrt {22}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {22}}\,\pi )^{2}=$

$=q{\biggl \langle }\operatorname {tanh} {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{6}{\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }^{2}=q{\biggl \langle }\operatorname {tanh} {\bigl \{}{\tfrac {1}{4}}\operatorname {arsinh} {\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{6}{\bigr ]}{\bigr \}}^{2}{\biggr \rangle }$

Herleitung des Kubierungsgesetzes

Diese parametrisierte Formel für den Kubus des elliptischen Nomens ist für alle Werte −1 < u < 1 gültig.

$q[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)]^{3}=q[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1)]$

Diese Formel resultiert als Kombination aus folgenden Gleichungen: $(2{\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-2u^{2}+1)F{\bigl [}\arctan(w);u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1){\bigr ]}=$ $=F{\bigl \{}\arctan(w)+2\arctan {\bigl [}({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2})\,w{\bigr ]};u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1){\bigr \}}$ Der Differentialquotient von dieser Gleichungswaage bezüglich $w$ bestätigt die Richtigkeit dieser Formel. Denn auf beiden Seiten der Gleichungswaage entsteht die gleiche Ableitungsfunktion und beide Seiten der Waage verlaufen bezüglich $w$ durch den Koordinatenursprung. Daraus folgt direkt: $(2{\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-2u^{2}+1)K{\bigl [}u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1){\bigr ]}=3K{\bigl [}u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1){\bigr ]}$ Durch Umsubstituierung entsteht dieser Ausdruck: $K{\bigl [}{\sqrt {1-u^{2}}}({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}){\bigr ]}=(2{\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-2u^{2}+1)K{\bigl [}{\sqrt {1-u^{2}}}({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}){\bigr ]}$ Die Kombination dieser beiden Formeln ergibt folgende Quotientengleichung: $3\,{\frac {K[{\sqrt {1-u^{2}}}({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2})]}{K[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)]}}={\frac {K[{\sqrt {1-u^{2}}}({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2})]}{K[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1)]}}$ Auf beiden Seiten dieser Gleichung stehen Periodenverhältnisse. Denn auf beiden Seiten ist der Modul im Zähler pythagoräisch komplementär zum Modul im Nenner. Das elliptische Nomen ist als Exponentialfunktion des negativen Kreiszahlfachen des reellen Periodenverhältnisses definiert. Und das reelle Periodenverhältnis ist als Quotient vom K-Integral des pythagoräischen Komplementärmoduls dividiert durch das K-Integral des betroffenen Moduls selbst definiert. Daraus folgt dann: $q{\bigl [}u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1){\bigr ]}^{3}=\exp {\biggl \{}-\pi \,{\frac {K'[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)]}{K[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)]}}{\biggr \}}^{3}=$ $=\exp {\biggl \{}-\pi \,{\frac {K[{\sqrt {1-u^{2}}}({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2})]}{K[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)]}}{\biggr \}}^{3}=\exp {\biggl \langle }-\pi {\biggl \{}3\,{\frac {K[{\sqrt {1-u^{2}}}({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2})]}{K[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)]}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }=$ $=\exp {\biggl \{}-\pi \,{\frac {K[{\sqrt {1-u^{2}}}({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2})]}{K[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1)]}}{\biggr \}}=\exp {\biggl \{}-\pi \,{\frac {K'[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1)]}{K[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1)]}}{\biggr \}}=q{\bigl [}u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1){\bigr ]}$ Quod erat demonstrandum!

Beispiele für das Kubierungsgesetz

Alternativ hierzu kann diese Formel aufgestellt werden:

$q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(t^{3}){\bigr ]}{\bigr \}}^{3}=q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(t^{3}){\bigr ]}^{3}\tan {\bigl [}\arctan {\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {t^{4}-t^{2}+1}}-t^{2}+2}}+{\sqrt {t^{2}+1}}{\bigr )}-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}^{4}{\bigr \}}$

Die nun gezeigte Formel dient zur vereinfachten Rechnung, weil hier für die Ermittlung des betroffenen Wertes $t$ ganz einfach der gegebene elliptische Modul herangezogen werden kann, dieser einer Tangensverdopplung anvertraut werden kann und dann aus der Tangensverdopplung nur mehr nur die Kubikwurzel gezogen werden muss, um so direkt den Parametrisierungswert $t$ zu bekommen.

Hierfür sollen zwei Beispiele behandelt werden:

Im ersten Beispiel wird der Wert $t=1$ eingesetzt:

$\exp(-3{\sqrt {2}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )^{3}=q({\sqrt {2}}-1)^{3}=q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(1){\bigr ]}{\bigr \}}^{3}=$

$=q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(1){\bigr ]}^{3}\tan {\bigl [}\arctan {\bigl (}{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}{\bigr )}-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}^{4}{\bigr \}}=q{\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{3}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {6}}-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}{\bigr ]}$

Im zweiten Beispiel wird der Wert $t=\Phi ^{-2}$ eingesetzt:

$\exp(-3{\sqrt {10}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {10}}\,\pi )^{3}=q{\bigl [}({\sqrt {10}}-3)({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}^{3}=q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(\Phi ^{-6}){\bigr ]}{\bigr \}}^{3}=$

$=q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(\Phi ^{-6}){\bigr ]}^{3}\tan {\bigl [}\arctan {\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {\Phi ^{-8}-\Phi ^{-4}+1}}-\Phi ^{-4}+2}}+{\sqrt {\Phi ^{-4}+1}}{\bigr )}-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}^{4}{\bigr \}}=$

$=q{\bigl \{}({\sqrt {10}}-3)^{3}({\sqrt {2}}-1)^{6}\tan {\bigl [}\arctan {\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {\Phi ^{-8}-\Phi ^{-4}+1}}-\Phi ^{-4}+2}}+{\sqrt {\Phi ^{-4}+1}}{\bigr )}-{\tfrac {1}{4}}\pi {\bigr ]}^{4}{\bigr \}}$

Elliptisch dargestellte Potenzierungsgesetze

Reduzierte Hermitesche elliptische Funktionen

Alle Potenzen mit dem Nomen einer positiven algebraischen Zahl als Basis und einer positiven rationalen Zahl als Exponent ergeben erneut Nomina von positiven algebraischen Zahlen:

$q(\varepsilon _{1}\in \mathbb {A} ^{+})^{m\,\in \,\mathbb {Q^{+}} }=q(\varepsilon _{2}\in \mathbb {A} ^{+})$

Denn akkurat basiert die Nomentransformation auf folgendem Grundmuster, welches für alle natürlichen Zahlen $n\in \mathbb {N}$ gültig ist:

$q(\varepsilon )^{n}=q{\bigl [}\varepsilon ^{n}\Phi _{HRn}(\varepsilon )^{4}{\bigr ]}$

Die reduzierte Hermitesche elliptische Funktion hat diese Definition:

$\Phi _{HRn}(\varepsilon )={\frac {\varphi _{H}[q(\varepsilon )^{n}]}{\varphi _{H}[q(\varepsilon )]^{n}}}$

Diese reduzierte Hermitesche Phifunktion ist für ungerade Indizes identisch mit folgenden Sinus-Amplitudinis-Produkten:

$\Phi _{HR(2s+1)}(\varepsilon )=\prod _{r=1}^{s}\mathrm {sn} {\biggl [}{\frac {2r-1}{2s+1}}K(\varepsilon );\varepsilon {\biggr ]}$

Beispielsweise gelten folgende Werte:

$\Phi _{HR3}(\varepsilon )=\mathrm {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}$

$\Phi _{HR5}(\varepsilon )=\mathrm {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}\mathrm {sn} {\bigl [}{\tfrac {3}{5}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}$

$\Phi _{HR7}(\varepsilon )=\mathrm {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{7}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}\mathrm {sn} {\bigl [}{\tfrac {3}{7}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}\mathrm {sn} {\bigl [}{\tfrac {5}{7}}K(\varepsilon );\varepsilon {\bigr ]}$

Für die effiziente Berechnung der reduzierten Hermiteschen Funktionswerte mögen in Abhängigkeit vom elliptischen Modul beziehungsweise von der Exzentrizität $\varepsilon$ folgende Gleichungen nach der positiven zwischen Null und Eins liegenden Lösung aufgelöst werden:

$\varepsilon ^{2}\Phi _{HR3}(\varepsilon )^{4}-2\,\varepsilon ^{2}\Phi _{HR3}(\varepsilon )^{3}+2\,\Phi _{HR3}(\varepsilon )-1=0$	$q(\varepsilon )^{3}=q{\bigl [}\varepsilon ^{3}\Phi _{HR3}(\varepsilon )^{4}{\bigr ]}$
$\varepsilon ^{6}\Phi _{HR5}(\varepsilon )^{6}-4\,\varepsilon ^{6}\Phi _{HR5}(\varepsilon )^{5}+5\,\varepsilon ^{4}\Phi _{HR5}(\varepsilon )^{4}-5\,\varepsilon ^{2}\Phi _{HR5}(\varepsilon )^{2}+4\,\Phi _{HR5}(\varepsilon )-1=0$	$q(\varepsilon )^{5}=q{\bigl [}\varepsilon ^{5}\Phi _{HR5}(\varepsilon )^{4}{\bigr ]}$

Folgende Hermiteschen Phi-Ausdrücke lösen nachfolgende Gleichungen:

Stufe Sieben: $x=\Phi _{HR7}(k)$ löst die Gleichungen $k^{12}x^{8}-8k^{12}x^{7}+28k^{10}x^{6}-56k^{8}x^{5}+70k^{6}x^{4}-56k^{4}x^{3}+28k^{2}x^{2}-8x+1=0$ und $(1-k^{2}x)^{8}=(1-k^{2})(1-k^{14}x^{8})$

Stufe Elf: $x=\Phi _{HR11}(k)$ löst die Gleichung $k^{30}x^{12}+(-32k^{30}+22k^{28})x^{11}+44k^{26}x^{10}-(88k^{24}+22k^{22})x^{9}+165k^{20}x^{8}-132k^{18}x^{7}+(-44k^{16}+44k^{14})x^{6}+$$+132k^{12}x^{5}-165k^{10}x^{4}+(22k^{8}+88k^{6})x^{3}-44k^{4}x^{2}+(-22k^{2}+32)x-1=0$

Beispiele für die Potenzierung mit Hermiteschen Funktionen

Erstes quintisches Rechenbeispiel:

${\tfrac {1}{8}}\Phi _{HR5}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{6}-{\tfrac {1}{2}}\Phi _{HR5}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{5}+{\tfrac {5}{4}}\Phi _{HR5}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}-{\tfrac {5}{2}}\Phi _{HR5}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{2}+4\,\Phi _{HR5}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})-1=0$

$\Phi _{HR5}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt[{4}]{5}}-1)$

$\exp(-5\pi )=\exp(-\pi )^{5}=q({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{5}=q{\bigl [}{\tfrac {1}{8}}{\sqrt {2}}\,\Phi _{HR5}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}{\bigr ]}=q{\bigl \{}{\tfrac {1}{8}}{\sqrt {2}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt[{4}]{5}}-1){\bigr ]}^{4}{\bigr \}}=q{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {10}}-2{\sqrt {2}}\,)(3-2{\sqrt[{4}]{5}}\,){\bigr ]}$

Zweites quintisches Rechenbeispiel:

$({\sqrt {2}}-1)^{6}\Phi _{HR5}({\sqrt {2}}-1)^{6}-4\,({\sqrt {2}}-1)^{6}\Phi _{HR5}({\sqrt {2}}-1)^{5}+$ $5\,({\sqrt {2}}-1)^{4}\Phi _{HR5}({\sqrt {2}}-1)^{4}-5\,({\sqrt {2}}-1)^{2}\Phi _{HR5}({\sqrt {2}}-1)^{2}+4\,\Phi _{HR5}({\sqrt {2}}-1)-1=0$

$\Phi _{HR5}({\sqrt {2}}-1)=({\sqrt {2}}+1)\tan {\bigl [}\arctan {\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}+4{\sqrt {5}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}-4{\sqrt {5}}}}{\bigr )}-{\tfrac {1}{8}}\pi {\bigr ]}$

$\exp(-5{\sqrt {2}}\,\pi )=\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )^{5}=q({\sqrt {2}}-1)^{5}=q{\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{5}\,\Phi _{HR5}({\sqrt {2}}-1)^{4}{\bigr ]}=$

$=q{\biggl \langle }({\sqrt {2}}-1)^{5}{\bigl \{}({\sqrt {2}}+1)\tan {\bigl [}\arctan {\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}+4{\sqrt {5}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}-4{\sqrt {5}}}}\,{\bigr )}-{\tfrac {1}{8}}\pi {\bigr ]}{\bigr \}}^{4}{\biggr \rangle }=$

$=q{\bigl \{}({\sqrt {2}}-1)\tan {\bigl [}\arctan {\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}+4{\sqrt {5}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}-4{\sqrt {5}}}}\,{\bigr )}-{\tfrac {1}{8}}\pi {\bigr ]}^{4}{\bigr \}}$

Septisches Rechenbeispiel:

${\bigl [}1-{\tfrac {1}{2}}\Phi _{HR7}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}){\bigr ]}^{8}={\tfrac {1}{2}}{\bigl [}1-{\tfrac {1}{128}}\Phi _{HR7}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{8}{\bigr ]}$

$\Phi _{HR7}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})=1-{\tfrac {1}{2}}(8{\sqrt {7}}+21)^{1/4}({\sqrt[{4}]{28}}-{\sqrt {7}}+1)$

$\exp(-7\pi )=\exp(-\pi )^{7}=q({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{7}=q{\bigl [}{\tfrac {1}{16}}{\sqrt {2}}\,\Phi _{HR7}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})^{4}{\bigr ]}=q{\bigl \{}{\tfrac {1}{16}}{\sqrt {2}}{\bigl [}1-{\tfrac {1}{2}}(8{\sqrt {7}}+21)^{1/4}({\sqrt[{4}]{28}}-{\sqrt {7}}+1){\bigr ]}^{4}{\bigr \}}$

Gesetze mit reduzierten Weberschen Funktionen

Die reduzierten Weberschen Modulfunktionen $w_{Rn}(x)$ und $W_{Rn}(x)$ dienen zur schnellen Ermittlung der neuen elliptischen Module potenzierter Nomina. Diese beiden Weberschen Funktionen können so definiert werden:

$w_{Ra}(x)={\frac {2^{(a-1)/4}[q(x)^{a};q(x)^{2a}]_{\infty }}{[q(x);q(x)^{2}]_{\infty }^{a}}}$

$W_{Ra}(x)=2^{(a-1)/4}w_{Ra}(x)^{-1}w_{Ra}{\bigl [}x^{2}(1+{\sqrt {1-x^{2}}})^{-2}{\bigr ]}$

Diese beiden Funktionen erfüllen für konkrete Werte n folgende Gleichungen:

$w_{R3}(x)^{12}-2{\sqrt {2}}\,w_{R3}(x)^{9}=\tan {\bigl [}2\arctan(x){\bigr ]}^{2}{\bigl [}2{\sqrt {2}}\,w_{R3}(x)^{3}+1{\bigr ]}$

$2{\sqrt {2}}\,W_{R3}(x)^{9}-W_{R3}(x)^{12}=\sin {\bigl [}2\arcsin(x){\bigr ]}^{2}{\bigl [}2{\sqrt {2}}\,W_{R3}(x)^{3}+1{\bigr ]}$

$w_{R5}(x)^{6}-2\,w_{R5}(x)^{5}=\tan {\bigl [}2\arctan(x){\bigr ]}^{2}{\bigl [}2\,w_{R5}(x)+1{\bigr ]}$

$2\,W_{R5}(x)^{5}-W_{R5}(x)^{6}=\sin {\bigl [}2\arcsin(x){\bigr ]}^{2}{\bigl [}2\,W_{R5}(x)+1{\bigr ]}$

$w_{R5}(x)={\frac {5\,\vartheta _{01}[q(x)^{5}]^{2}}{2\,\vartheta _{01}[q(x)]^{2}}}-{\frac {1}{2}}={\text{nc}}[{\tfrac {4}{5}}K(x);x]-{\text{nc}}[{\tfrac {2}{5}}K(x);x]$

$W_{R5}(x)={\frac {5\,\vartheta _{00}[q(x)^{5}]^{2}}{2\,\vartheta _{00}[q(x)]^{2}}}-{\frac {1}{2}}={\text{dn}}[{\tfrac {2}{5}}K(x);x]+{\text{dn}}[{\tfrac {4}{5}}K(x);x]$

Für alle natürlichen Zahlen n ist diese Formel gültig:

$q(x)^{2n+1}=q{\bigl [}4^{n}x^{2n+1}w_{R(2n+1)}(x)^{-4}W_{R(2n+1)}(x)^{-8}{\bigr ]}$

Wenn der Wert x im Intervall -1 < x < 1 liegt, dann gilt generell auch diese Formel:

$q(x)^{2n+1}=q{\bigl \langle }\tan {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arctan {\bigl [}{\bigl (}{\tfrac {2x}{1-x^{2}}}{\bigr )}^{2n+1}w_{R(2n+1)}(x)^{-12}{\bigr ]}{\bigr \}}{\bigr \rangle }$

Und speziell für die Potenzierung mit Fünf dient folgende Formel zur effizienten Berechnung:

$q(x)^{5}=q{\biggl \langle }x^{5}{\biggl \{}{\frac {(1-x^{2})[w_{R5}(x)^{4}-w_{R5}(x)^{3}]-2[w_{R5}(x)+1]}{(1-x^{2})[w_{R5}(x)^{4}-w_{R5}(x)^{3}]+2\,x^{2}[w_{R5}(x)+1]}}{\biggr \}}^{4}{\biggr \rangle }$

Theoreme für die natürlichen Logarithmen der Nomina

Pythagoräische und tangentielle Gegenstücke

Wenn zwei Zahlen a und b positive zueinander pythagoräische Gegenstücke sind und somit a² + b² = 1 ist, dann gilt: ln[q(a)] ln[q(b)] = π²

Wenn zwei Zahlen c und d positive zueinander tangentielle Gegenstücke sind und somit (1 + c) (1 + d) = 2 ist, dann gilt: ln[q(c)] ln[q(d)] = 2π²

Trigonometrische Parametrisierungen der Theoreme

Somit sind folgende vier Darstellungen für alle reellen Zahlen x gültig und ergeben überall reelle Werte:

Pythagoräische Gegenstücke:

$\ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{2}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi +{\tfrac {1}{2}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }=\pi ^{2}$

$\ln {\bigl \{}q{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-2x(x^{2}+1)^{-1/2}}}{\bigr ]}{\bigr \}}\ln {\bigl \{}q{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+2x(x^{2}+1)^{-1/2}}}{\bigr ]}{\bigr \}}=\pi ^{2}$

Tangentielle Gegenstücke:

$\ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{8}}\pi -{\tfrac {1}{4}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{8}}\pi +{\tfrac {1}{4}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }=2\pi ^{2}$

$\ln {\bigl \{}q{\bigl [}{\sqrt {({\sqrt {x^{2}+1}}+x)^{2}+1}}-{\sqrt {x^{2}+1}}-x{\bigr ]}{\bigr \}}\ln {\bigl \{}q{\bigl [}{\sqrt {({\sqrt {x^{2}+1}}-x)^{2}+1}}-{\sqrt {x^{2}+1}}+x{\bigr ]}{\bigr \}}=2\pi ^{2}$

Kombinatorische Berechnungen der Werte

Direkte Resultate genannter Theoreme

Für die Ermittlung der Nomina sollen im Folgenden Beispiele aufgestellt werden:

Beispiel 1:

Für x = 0 entsteht aus der Formel der pythagoräischen Gegenstücke diese Gleichung:

$\ln {\bigl \{}q{\bigl [}\sin({\tfrac {1}{4}}\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}=\pi ^{2}$

$q{\bigl [}\sin({\tfrac {1}{4}}\pi ){\bigr ]}=\exp(-\pi )$

Beispiel 2:

Für x = 0 entsteht aus der Formel der tangentiellen Gegenstücke jene Gleichung:

$\ln {\bigl \{}q{\bigl [}\tan({\tfrac {1}{8}}\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}=2\pi ^{2}$

$q{\bigl [}\tan({\tfrac {1}{8}}\pi ){\bigr ]}=\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )$

Kombinationen von jeweils zwei Theoremen

Beispiel 1:

Für $x={\sqrt {3}}$ entsteht aus der Formel der pythagoräischen Gegenstücke diese Gleichung:

$\ln {\bigl \{}q{\bigl [}\sin({\tfrac {1}{12}}\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}\ln {\bigl \{}q{\bigl [}\sin({\tfrac {5}{12}}\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}=\pi ^{2}$

In einem vorherigen Abschnitt wurde dieses Theorem genannt:

$q[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)]^{3}=q[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1)]$

Aus diesem Theorem für das Kubieren ergibt sich für $u=1/{\sqrt {2}}$ folgende Gleichung:

$q{\bigl [}\sin({\tfrac {5}{12}}\pi ){\bigr ]}^{3}=q{\bigl [}\sin({\tfrac {1}{12}}\pi ){\bigr ]}$

Die Lösung des Gleichungssystems mit zwei Unbekannten lautet dann so:

$q{\bigl [}\sin({\tfrac {1}{12}}\pi ){\bigr ]}=\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )$

$q{\bigl [}\sin({\tfrac {5}{12}}\pi ){\bigr ]}=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\,\pi )$

Beispiel 2:

Für $x={\sqrt {8}}$ entsteht aus der Formel der tangentiellen Gegenstücke jene Gleichung:

$\ln {\bigl \{}q{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}{\bigr \}}\ln {\bigl \{}q{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}{\bigr \}}=2\pi ^{2}$

Auch hier wird das Theorem für das Kubieren verwendet:

$q[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)]^{3}=q[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1)]$

Aus dem vorher genannten Theorem für das Kubieren ergibt sich für $u=({\sqrt {3}}-1)/{\sqrt {2}}$ folgende Gleichung:

$q{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}^{3}=q{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}$

Die Lösung des Gleichungssystems mit zwei Unbekannten lautet dann so:

$q{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}=\exp(-{\sqrt {6}}\,\pi )$

$q{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {6}}\,\pi )$

Kombinationen von jeweils drei Theoremen

Gegeben seien folgende vier elliptischen Module:

$k_{A}=\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {10}}+3)^{2}({\sqrt {5}}+2)^{2}]\}$

$k_{B}=\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {10}}+3)^{2}({\sqrt {5}}-2)^{2}]\}$

$k_{C}=\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {10}}-3)^{2}({\sqrt {5}}+2)^{2}]\}$

$k_{D}=\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {10}}-3)^{2}({\sqrt {5}}-2)^{2}]\}$

In das genannte Theorem für das Kubieren soll der Wert $u={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {10}}+{\sqrt {6}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})$ eingesetzt werden:

$q[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)]^{3}=q[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1)]$

So entsteht dieses Gleichungspaar:

$q{\bigl \langle }\tan {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arctan {\bigl [}({\sqrt {10}}+3)^{2}({\sqrt {5}}+2)^{2}{\bigr ]}{\bigr \}}{\bigr \rangle }^{3}=q{\bigl \langle }\tan {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arctan {\bigl [}({\sqrt {10}}+3)^{2}({\sqrt {5}}-2)^{2}{\bigr ]}{\bigr \}}{\bigr \rangle }$

${\color {blueviolet}q(k_{A})^{3}=q(k_{B})}$

Im Folgenden wird $w_{R5}(k_{A})$ ermittelt:

$\tan {\bigl [}2\arctan(k_{A}){\bigr ]}=({\sqrt {10}}+3)^{2}({\sqrt {5}}+2)^{2}$

$w_{R5}(k_{A})^{6}-2\,w_{R5}(k_{A})^{5}=\tan {\bigl [}2\arctan(k_{A}){\bigr ]}^{2}{\bigl [}2\,w_{R5}(k_{A})+1{\bigr ]}$

$w_{R5}(k_{A})^{6}-2\,w_{R5}(k_{A})^{5}=({\sqrt {10}}+3)^{4}({\sqrt {5}}+2)^{4}{\bigl [}2\,w_{R5}(k_{A})+1{\bigr ]}$

$w_{R5}(k_{A})={\tfrac {1}{2}}(3+{\sqrt {5}})({\sqrt {10}}+3)$

$q(k_{A})^{5}=q{\biggl \langle }k_{A}^{5}{\biggl \{}{\frac {(1-k_{A}^{2})[w_{R5}(k_{A})^{4}-w_{R5}(k_{A})^{3}]-2\,w_{R5}(k_{A})-2}{(1-k_{A}^{2})[w_{R5}(k_{A})^{4}-w_{R5}(k_{A})^{3}]+2\,k_{A}^{2}w_{R5}(k_{A})+2\,k_{A}^{2}}}{\biggr \}}^{4}{\biggr \rangle }$

So entsteht jenes Gleichungspaar:

$q{\bigl \langle }\tan {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arctan {\bigl [}({\sqrt {10}}+3)^{2}({\sqrt {5}}+2)^{2}{\bigr ]}{\bigr \}}{\bigr \rangle }^{5}=q{\bigl \langle }\tan {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arctan {\bigl [}({\sqrt {10}}-3)^{2}({\sqrt {5}}+2)^{2}{\bigr ]}{\bigr \}}{\bigr \rangle }$

${\color {blueviolet}q(k_{A})^{5}=q(k_{C})}$

Die Module mit den Indizes B und C sind zueinander tangentielle Gegenstücke:

$\arctan(k_{B})+\arctan(k_{C})={\tfrac {1}{4}}\pi$

$(1+k_{B})(1+k_{C})=2$

Und aus dem Theorem für die tangentiell komplementären Module folgt die nun gezeigte Gleichung:

$\ln[q(k_{B})]\ln[q(k_{C})]=2\pi ^{2}$

So ergibt sich folgendes Gleichungstriplett:

${\color {blue}3\ln[q(k_{A})]=\ln[q(k_{B})]}$ ${\color {blue}5\ln[q(k_{A})]=\ln[q(k_{C})]}$ ${\color {blue}\ln[q(k_{B})]\ln[q(k_{C})]=2\pi ^{2}}$

Das Einsetzungsverfahren ergibt dieses Resultat:

${\color {RoyalBlue}15\ln[q(k_{A})]^{2}=2\pi ^{2}}$

${\color {Limegreen}q(k_{A})=q{\bigl \langle }\tan {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arctan {\bigl [}({\sqrt {10}}+3)^{2}({\sqrt {5}}+2)^{2}{\bigr ]}{\bigr \}}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{15}}{\sqrt {30}}\,\pi )}$

Und danach folgen aus den beiden obersten Gleichungen des Kästchens jene beiden Resultate:

${\color {Limegreen}q(k_{B})=q{\bigl \langle }\tan {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arctan {\bigl [}({\sqrt {10}}+3)^{2}({\sqrt {5}}-2)^{2}{\bigr ]}{\bigr \}}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {30}}\,\pi )}$

${\color {Limegreen}q(k_{C})=q{\bigl \langle }\tan {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arctan {\bigl [}({\sqrt {10}}-3)^{2}({\sqrt {5}}+2)^{2}{\bigr ]}{\bigr \}}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {30}}\,\pi )}$

Aus dem Theorem für tangentielle Gegenmodule folgt:

${\color {Limegreen}q(k_{D})=q{\bigl \langle }\tan {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arctan {\bigl [}({\sqrt {10}}-3)^{2}({\sqrt {5}}-2)^{2}{\bigr ]}{\bigr \}}{\bigr \rangle }=\exp(-{\sqrt {30}}\,\pi )}$

Ermittlungen über unvollständige Integrale

Mit den unvollständigen elliptischen Integralen erster Art können die Werte der elliptischen Nomenfunktion direkt hergeleitet werden.

Bei zwei akkuraten Beispielen sollen diese direkten Herleitungen im nun Folgenden ausgeführt werden:

Erstes Beispiel:

$F{\biggl [}2\arctan {\biggl (}{\frac {x^{3}+{\sqrt {3}}\,x}{{\sqrt {3}}\,x^{2}+1}}{\biggr )};{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}){\biggr ]}={\sqrt {3}}\,F{\biggl [}2\arctan(x);{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\biggr ]}$ Die Richtigkeit dieser Formel kann durch Ableiten beider Seiten der Gleichungswaage bewiesen werden. Durch Einsatz des Wertes $x=1$ entsteht dieses Resultat: $K{\bigl [}{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}={\sqrt {3}}\,K{\bigl [}{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}$ So kommen folgende zwei Resultate hervor: $q{\bigl [}{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}=\exp {\bigl \{}-\pi \,K{\bigl [}{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}\div K{\bigl [}{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}{\bigr \}}=\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )$ $q{\bigl [}{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}=\exp {\bigl \{}-\pi \,K{\bigl [}{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}\div K{\bigl [}{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}{\bigr \}}=\exp {\bigl (}-{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\,\pi {\bigr )}$

Zweites Beispiel:

$F{\biggl [}2\arctan {\biggl (}{\frac {x^{5}+2{\sqrt {5}}\,\Phi ^{-1/2}\,x^{3}+{\sqrt {5}}\,x}{{\sqrt {5}}\,x^{4}+2{\sqrt {5}}\,\Phi ^{-1/2}\,x^{2}+1}}{\biggr )};{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigl (}\Phi ^{-1/2}+\Phi ^{-1}{\bigr )}{\biggr ]}={\sqrt {5}}\,F{\biggl [}2\arctan(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigl (}\Phi ^{-1/2}-\Phi ^{-1}{\bigr )}{\biggr ]}$ Die Richtigkeit dieser Formel kann durch Ableiten beider Seiten der Gleichungswaage bewiesen werden. Durch Einsatz des Wertes $x=1$ entsteht dieses Resultat: $K{\bigl [}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigl (}\Phi ^{-1/2}+\Phi ^{-1}{\bigr )}{\bigr ]}={\sqrt {5}}\,K{\bigl [}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigl (}\Phi ^{-1/2}-\Phi ^{-1}{\bigr )}{\bigr ]}$ So kommen folgende zwei Resultate hervor: $q{\bigl [}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigl (}\Phi ^{-1/2}-\Phi ^{-1}{\bigr )}{\bigr ]}=\exp {\bigl \{}-\pi \,K{\bigl [}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigl (}\Phi ^{-1/2}+\Phi ^{-1}{\bigr )}{\bigr ]}\div K{\bigl [}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigl (}\Phi ^{-1/2}-\Phi ^{-1}{\bigr )}{\bigr ]}{\bigr \}}=\exp(-{\sqrt {5}}\,\pi )$ $q{\bigl [}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigl (}\Phi ^{-1/2}+\Phi ^{-1}{\bigr )}{\bigr ]}=\exp {\bigl \{}-\pi \,K{\bigl [}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigl (}\Phi ^{-1/2}-\Phi ^{-1}{\bigr )}{\bigr ]}\div K{\bigl [}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigl (}\Phi ^{-1/2}+\Phi ^{-1}{\bigr )}{\bigr ]}{\bigr \}}=\exp {\bigl (}-{\frac {1}{5}}{\sqrt {5}}\,\pi {\bigr )}$

Drittes Beispiel:

$F{\biggl [}2\arctan {\biggl (}{\frac {x^{5}+2\,{\sqrt {7}}\,x^{5}+7x^{3}+{\sqrt {7}}\,x}{{\sqrt {7}}\,x^{6}+7x^{4}+2\,{\sqrt {7}}\,x^{2}+1}}{\biggr )};{\frac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}+{\sqrt {14}}){\biggr ]}={\sqrt {7}}\,F{\biggl [}2\arctan(x);{\frac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}}){\biggr ]}$ Die Richtigkeit dieser Formel kann durch Ableiten beider Seiten der Gleichungswaage bewiesen werden. Durch Einsatz des Wertes $x=1$ entsteht dieses Resultat: $K{\bigl [}{\frac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}+{\sqrt {14}}){\bigr ]}={\sqrt {7}}\,K{\bigl [}{\frac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}}){\bigr ]}$ So kommen folgende zwei Resultate hervor: $q{\bigl [}{\frac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}}){\bigr ]}=\exp {\bigl \{}-\pi \,K{\bigl [}{\frac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}+{\sqrt {14}}){\bigr ]}\div K{\bigl [}{\frac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}}){\bigr ]}{\bigr \}}=\exp(-{\sqrt {7}}\,\pi )$ $q{\bigl [}{\frac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}+{\sqrt {14}}){\bigr ]}=\exp {\bigl \{}-\pi \,K{\bigl [}{\frac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}}){\bigr ]}\div K{\bigl [}{\frac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}+{\sqrt {14}}){\bigr ]}{\bigr \}}=\exp {\bigl (}-{\frac {1}{7}}{\sqrt {7}}\,\pi {\bigr )}$

Lemniskatische Parametrisierungen

Diejenigen elliptischen Module, deren elliptischen Nomina gleich einem Wert der Potenz vom Kehrwert der Gelfondschen Konstante $\mathrm {e} ^{-\pi }$ als Basis und der Quadratwurzel aus einer positiven rationalen Zahl als Exponent sind, werden Singuläre elliptische Module genannt. Ihre zugehören vollständigen elliptischen Integrale erster und zweiter Art werden im deutschen Sprachraum als Singuläre elliptische Integralwerte und im englischen Sprachraum als Elliptic Integral Singular Values bezeichnet. Diese Singulären elliptischen Integralwerte lassen sich immer als algebraische Kombination von Gammafunktionswerten rationaler Zahlen und von elementaren Werten darstellen. Und die Singulären elliptischen Module selbst können besonders effizient und besonders vereinfacht mit Lemniskatischen Funktionen dargestellt werden. Folgende lemniskatischen Identitäten sind gültig:

Ableitungen der lemniskatischen Standardfunktionen	Funktionsquadrate
$\operatorname {cl} '{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} (u){\bigr ]}=$ $=2^{-1/2}{\bigl [}{\bigl (}{\sqrt {1+u}}-{\sqrt {1-u}}{\bigr )}{\bigl (}1+{\sqrt {1+u^{2}}}{\bigr )}+u{\bigl (}{\sqrt {1+u}}+{\sqrt {1-u}}{\bigr )}{\bigr ]}{\bigl (}1+{\sqrt {1+u^{2}}}{\bigr )}^{-3/2}$	$\operatorname {sl} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} (u){\bigr ]}^{2}=$ $={\frac {1-{\sqrt {1-u^{2}}}}{1+{\sqrt {1+u^{2}}}}}$
$\operatorname {sl} '{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} (u){\bigr ]}=$ $=2^{-1/2}{\bigl [}{\bigl (}{\sqrt {1+u}}+{\sqrt {1-u}}{\bigr )}{\bigl (}1+{\sqrt {1+u^{2}}}{\bigr )}+u{\bigl (}{\sqrt {1+u}}-{\sqrt {1-u}}{\bigr )}{\bigr ]}{\bigl (}1+{\sqrt {1+u^{2}}}{\bigr )}^{-3/2}$	$\operatorname {cl} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} (u){\bigr ]}^{2}=$ $={\frac {1+{\sqrt {1-u^{2}}}}{1+{\sqrt {1+u^{2}}}}}$

Mit diesen Ausdrücken lassen sich viele Werte des elliptischen Nomens darstellen:

Muttermodul (Mm)	Tochtermodul (Tm)
$q{\bigl \{}\operatorname {cl} '[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}})]{\bigr \}}=\exp(-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {6}}\,\pi )$	$q{\bigl \{}\operatorname {sl} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}})]^{2}{\bigr \}}=\exp(-{\sqrt {6}}\,\pi )$
$q{\bigl \{}\operatorname {cl} '[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{3}})]{\bigr \}}=\exp(-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {10}}\,\pi )$	$q{\bigl \{}\operatorname {sl} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{3}})]^{2}{\bigr \}}=\exp(-{\sqrt {10}}\,\pi )$
$q{\bigl \{}\operatorname {cl} '[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{33}}{\sqrt {11}})]{\bigr \}}=\exp(-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {22}}\,\pi )$	$q{\bigl \{}\operatorname {sl} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{33}}{\sqrt {11}})]^{2}{\bigr \}}=\exp(-{\sqrt {22}}\,\pi )$
$q{\bigl \langle }\operatorname {cl} '\{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} [{\tfrac {1}{3}}({\sqrt {17}}-4)]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {34}}\,\pi )$	$q{\bigl \langle }\operatorname {sl} \{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} [{\tfrac {1}{3}}({\sqrt {17}}-4)]\}^{2}{\bigr \rangle }=\exp(-{\sqrt {34}}\,\pi )$
$q{\bigl \{}\operatorname {cl} '[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{99}})]{\bigr \}}=\exp(-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {58}}\,\pi )$	$q{\bigl \{}\operatorname {sl} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{99}})]^{2}{\bigr \}}=\exp(-{\sqrt {58}}\,\pi )$
$q{\bigl \langle }\operatorname {cl} '\{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} [{\tfrac {1}{69}}(8{\sqrt {41}}-51)]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {82}}\,\pi )$	$q{\bigl \langle }\operatorname {sl} \{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} [{\tfrac {1}{69}}(8{\sqrt {41}}-51)]\}^{2}{\bigr \rangle }=\exp(-{\sqrt {82}}\,\pi )$
Pythagoräisches Gegenstück vom Tm	Pythagoräisches Gegenstück vom Mm = Tangentielles Gegenstück vom Tm
$q{\bigl \{}\operatorname {sl} '[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}})]{\bigr \}}=\exp(-{\tfrac {1}{6}}{\sqrt {6}}\,\pi )$	$q{\bigl \{}\operatorname {cl} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}})]^{2}{\bigr \}}=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {6}}\,\pi )$
$q{\bigl \{}\operatorname {sl} '[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{3}})]{\bigr \}}=\exp(-{\tfrac {1}{10}}{\sqrt {10}}\,\pi )$	$q{\bigl \{}\operatorname {cl} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{3}})]^{2}{\bigr \}}=\exp(-{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {10}}\,\pi )$
$q{\bigl \{}\operatorname {sl} '[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{33}}{\sqrt {11}})]{\bigr \}}=\exp(-{\tfrac {1}{22}}{\sqrt {22}}\,\pi )$	$q{\bigl \{}\operatorname {cl} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{33}}{\sqrt {11}})]^{2}{\bigr \}}=\exp(-{\tfrac {1}{11}}{\sqrt {22}}\,\pi )$
$q{\bigl \langle }\operatorname {sl} '\{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} [{\tfrac {1}{3}}({\sqrt {17}}-4)]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{34}}{\sqrt {34}}\,\pi )$	$q{\bigl \langle }\operatorname {cl} \{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} [{\tfrac {1}{3}}({\sqrt {17}}-4)]\}^{2}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{17}}{\sqrt {34}}\,\pi )$
$q{\bigl \{}\operatorname {sl} '[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{99}})]{\bigr \}}=\exp(-{\tfrac {1}{58}}{\sqrt {58}}\,\pi )$	$q{\bigl \{}\operatorname {cl} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{99}})]^{2}{\bigr \}}=\exp(-{\tfrac {1}{29}}{\sqrt {58}}\,\pi )$
$q{\bigl \langle }\operatorname {sl} '\{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} [{\tfrac {1}{69}}(8{\sqrt {41}}-51)]\}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{82}}{\sqrt {82}}\,\pi )$	$q{\bigl \langle }\operatorname {cl} \{{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} [{\tfrac {1}{69}}(8{\sqrt {41}}-51)]\}^{2}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{41}}{\sqrt {82}}\,\pi )$

Weitere Werte:

$q{\biggl \langle }\operatorname {sl} {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} {\bigl [}(8{\sqrt {2}}+11)^{-1/2}{\bigr ]}{\bigr \}}^{2}{\biggr \rangle }=\exp(-{\sqrt {14}}\,\pi )$

$q{\biggl \langle }\operatorname {sl} {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} {\bigl [}{\tfrac {1}{33}}{\bigl (}2{\sqrt[{3}]{132{\sqrt {78}}+837}}-2{\sqrt[{3}]{132{\sqrt {78}}-837}}-9{\bigr )}{\bigr ]}{\bigr \}}^{2}{\biggr \rangle }=\exp(-{\sqrt {26}}\,\pi )$

$q{\biggl \langle }\operatorname {sl} {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} {\bigl [}{\tfrac {1}{627}}{\sqrt {19}}{\bigl (}2{\sqrt[{3}]{3300{\sqrt {114}}+27323}}-2{\sqrt[{3}]{3300{\sqrt {114}}-27323}}-35{\bigr )}{\bigr ]}{\bigr \}}^{2}{\biggr \rangle }=\exp(-{\sqrt {38}}\,\pi )$

$q{\biggl \langle }\operatorname {sl} {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}(104{\sqrt {2}}+147)^{-1/2}{\bigr ]}{\bigr \}}^{2}{\biggr \rangle }=\exp(-{\sqrt {46}}\,\pi )$

$q{\biggl \langle }\operatorname {sl} {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} {\bigl [}{\bigl (}{\tfrac {75}{2}}+{\tfrac {13}{2}}{\sqrt {33}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1842{\sqrt {33}}+10578}}{\bigr )}^{-1}{\bigr ]}{\bigr \}}^{2}{\biggr \rangle }=\exp(-{\sqrt {66}}\,\pi )$

Ableitungen und Differentialgleichungen

Ableitungsliste

Die elliptische Nomenfunktion wird so abgeleitet:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}q(x)={\frac {\pi ^{2}}{2x(1-x^{2})K(x)^{2}}}q(x)$

Für die Herleitung dieser Ableitung, siehe den Artikel Legendresche Identität!

Die zweite Ableitung lautet wie folgt:

${\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}q(x)={\frac {\pi ^{4}+2\pi ^{2}(1+x^{2})K(x)^{2}-4\pi ^{2}K(x)E(x)}{4x^{2}(1-x^{2})^{2}K(x)^{4}}}q(x)$

Und die dritte Ableitung nimmt diese Form an:

${\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}q(x)={\frac {\pi ^{6}+6\pi ^{4}(1+x^{2})K(x)^{2}-12\pi ^{4}K(x)E(x)+8\pi ^{2}(1+x^{2})^{2}K(x)^{4}-24\pi ^{2}(1+x^{2})K(x)^{3}E(x)+24\pi ^{2}K(x)^{2}E(x)^{2}}{8x^{3}(1-x^{2})^{3}K(x)^{6}}}q(x)$

Dabei ist das vollständige elliptische Integral zweiter Art auf folgende Weise definiert:

$E(x)=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-x^{2}\sin(\varphi )^{2}}}\mathrm {d} \varphi =2\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {(y^{2}+1)^{2}-4x^{2}y^{2}}}{(y^{2}+1)^{2}}}\mathrm {d} y$

Synthese der quartischen Differentialgleichung

Aus diesen Gleichungen folgt durch die Eliminierung des vollständigen elliptischen Integrals zweiter Art:

$3{\biggl [}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}q(x){\biggr ]}^{2}-2{\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}q(x){\biggr ]}{\biggl [}{\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}q(x){\biggr ]}={\frac {\pi ^{8}-4\pi ^{4}(1+x^{2})^{2}K(x)^{4}}{16x^{4}(1-x^{2})^{4}K(x)^{8}}}q(x)^{2}$

Somit gilt diese quartische Differentialgleichung dritter Ordnung:

$x^{2}(1-x^{2})^{2}[2q(x)^{2}q'(x)q'''(x)-3q(x)^{2}q''(x)^{2}+q'(x)^{4}]=(1+x^{2})^{2}q(x)^{2}q'(x)^{2}$

Summenreihen und Produktreihen

Summenreihen

Durch Richard Dedekind wurde das Elliptische Nomen erforscht und dieses bildet in seiner Theorie über die Etafunktion das Fundament. Das Elliptische Nomen bildet den Anfangspunkt bei der Konstruktion der Lambert-Reihe und wird als Abszisse in den Theta-Nullwertfunktionen von Carl Gustav Jacobi den algebraischen Kombinationen des arithmetisch-geometrischen Mittels zugeordnet. Generell werden sehr viele Reihenentwicklungen durch das Elliptische Nomen beschrieben:

$\sum _{n=1}^{\infty }q(x)^{\Box (n)}={\tfrac {1}{2}}\vartheta _{00}[q(x)]-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}\operatorname {agm} (1-x;1+x)^{-1/2}-{\tfrac {1}{2}}$

$\sum _{n=1}^{\infty }q(x)^{\Box (2n-1)}={\tfrac {1}{4}}\vartheta _{00}[q(x)]-{\tfrac {1}{4}}\vartheta _{01}[q(x)]={\tfrac {1}{4}}(1-{\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}){\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2q(x)^{n}}{q(x)^{2n}+1}}={\tfrac {1}{2}}\vartheta _{00}[q(x)]^{2}-{\tfrac {1}{2}}=\pi ^{-1}K(x)-{\tfrac {1}{2}}$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2q(x)^{2n-1}}{q(x)^{4n-2}+1}}={\tfrac {1}{4}}\vartheta _{00}[q(x)]^{2}-{\tfrac {1}{4}}\vartheta _{01}[q(x)]^{2}={\tfrac {1}{2}}(1-{\sqrt {1-x^{2}}})\pi ^{-1}K(x)$

$\sum _{n=1}^{\infty }\Box (n)q(x)^{\Box (n)}=2^{-1/2}\pi ^{-5/2}K(x)^{3/2}[E(x)-(1-x^{2})K(x)]$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {2q(x)^{n}}{1+q(x)^{2n}}}{\biggr ]}^{2}=2\pi ^{-2}E(x)K(x)-{\tfrac {1}{2}}$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {2q(x)^{n}}{1-q(x)^{2n}}}{\biggr ]}^{2}={\tfrac {2}{3}}\pi ^{-2}(2-x^{2})K(x)^{2}-2\pi ^{-2}K(x)E(x)+{\tfrac {1}{6}}$

Das Viereck stellt die Quadratzahlen von n dar, weil in der regulären Schreibweise ein Exponent im Exponent zu klein aussieht. Es gilt also: □(n) = n²

Mit E(ε) wird das vollständige elliptische Integral zweiter Art zum Ausdruck gebracht, welches das Verhältnis des Viertelumfangs zur größeren Halbachse bei der Ellipse mit der spezifischen Exzentrizität ε nennt.

Produktreihen

Für die zwei wichtigsten Thetafunktionen gelten folgende Produktdefinitionen:

$\prod _{n=1}^{\infty }[1-q(x)^{2n}][1+q(x)^{2n-1}]^{2}=\vartheta _{00}[q(x)]={\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}$

$\prod _{n=1}^{\infty }[1-q(x)^{2n}][1-q(x)^{2n-1}]^{2}=\vartheta _{01}[q(x)]={\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}{\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}$

Außerdem gelten für die beiden bekanntesten Pochhammer-Produkte diese zwei Beziehungen:

$q(\varepsilon )[q(\varepsilon );q(\varepsilon )]_{\infty }^{24}=256\,\varepsilon ^{2}(1-\varepsilon ^{2})^{4}\pi ^{-{12}}K(\varepsilon )^{12}$

$\varepsilon ^{2}[q(\varepsilon );q(\varepsilon )^{2}]_{\infty }^{24}=16\,(1-\varepsilon ^{2})^{2}q(\varepsilon )$

Die Pochhammer-Produkte spielen beim Pentagonalzahlensatz eine wichtige Rolle.

Integrale über das Nomen

Vollständige elliptische Integrale

Ebenso kann das Nomen für die Definition von den vollständigen elliptischen Integralen erster Art und zweiter Art verwendet werden:

$K(\varepsilon )={\tfrac {1}{2}}\pi \,\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{2}$

$K(\varepsilon )={\tfrac {1}{2}}\pi \,(1-\varepsilon ^{2})^{-1/2}\,\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{2}$

$E(\varepsilon )=2\pi q(\varepsilon )\,\vartheta _{00}'[q(\varepsilon )]\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{-3}+{\tfrac {1}{2}}\pi (1-\varepsilon ^{2})\,\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{2}$

$E(\varepsilon )=2\pi q(\varepsilon )\,\vartheta _{01}'[q(\varepsilon )]\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{-1}\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{-2}+{\tfrac {1}{2}}\pi \,\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{2}$

In diesem Falle ist Theta-Strich die Ableitung der genannten Theta-Nullwertfunktion:

$\vartheta _{00}'(w)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}\,\vartheta _{00}(w)=2+\sum _{n=1}^{\infty }2(n+1)^{2}w^{n(n+2)}$

$\vartheta _{01}'(w)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}\,\vartheta _{01}(w)$

Diskrete Cauchysche Distribution

Die Langevinsche Funktion hat diese Summenreihe:

$\mathrm {L} _{\mathrm {LV} }(x)=\coth(x)-{\frac {1}{x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2x}{n^{2}\pi ^{2}+x^{2}}}$

Die Differenz aus Cosekans Hyperbolicus und Kehrwertfunktion hat dementsprechend die Summe mit den alternierenden Vorzeichen:

$\operatorname {csch} (x)-{\frac {1}{x}}=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {2x}{n^{2}\pi ^{2}+x^{2}}}$

Deswegen gelten für die Diskrete Cauchysche Distribution beispielsweise diese unendlichen Summen:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+1}}={\frac {\pi }{2}}\coth(\pi )-{\frac {1}{2}}\approx 1{,}07667404746858117413405079475$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}+1}}={\frac {\pi }{2}}\operatorname {csch} (\pi )-{\frac {1}{2}}\approx -0{,}3639854725089334185248817$

Diese Werte können für die Berechnung der folgenden zwei Integrale herangezogen werden:

$\int _{0}^{1}\vartheta _{00}(w)\,\mathrm {d} w=\int _{0}^{1}1+2{\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }w^{\,\Box (n)}{\biggr ]}\,\mathrm {d} w=1+2{\biggl (}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+1}}{\biggr )}=\pi \coth(\pi )$

$\int _{0}^{1}\vartheta _{01}(w)\,\mathrm {d} w=\int _{0}^{1}1+2{\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}w^{\,\Box (n)}{\biggr ]}\,\mathrm {d} w=1+2{\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}+1}}{\biggr ]}=\pi \operatorname {csch} (\pi )$

Als Nächstes werden drei genannte Zusammenhänge involviert:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}q(x)={\frac {\pi ^{2}q(x)}{2x(1-x^{2})K(x)^{2}}}$

$\vartheta _{00}{\bigl [}q(x){\bigr ]}={\biggl [}{\frac {2}{\pi }}K(x){\biggr ]}^{1/2}$

$\vartheta _{01}{\bigl [}q(x){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}{\biggl [}{\frac {2}{\pi }}K(x){\biggr ]}^{1/2}$

Und daraus wiederum ergeben sich diese zwei Integrale:

$\int _{0}^{1}{\frac {\pi ^{3/2}q(x)}{{\sqrt {2}}\,x(1-x^{2})\,K(x)^{3/2}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,q(x){\biggr ]}\vartheta _{00}{\bigl [}q(x){\bigr ]}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\vartheta _{00}(w)\,\mathrm {d} w=\pi \coth(\pi )$

$\int _{0}^{1}{\frac {\pi ^{3/2}q(x)}{{\sqrt {2}}\,x(1-x^{2})^{3/4}\,K(x)^{3/2}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,q(x){\biggr ]}\vartheta _{01}{\bigl [}q(x){\bigr ]}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\vartheta _{01}(w)\,\mathrm {d} w=\pi \operatorname {csch} (\pi )$

Quintische Gleichungen

Nach dem Satz von Abel-Ruffini ist der Allgemeinfall der Gleichungen fünften Grades nicht elementar lösbar. Aber mit einer Kombination aus elliptischem Nomen, Thetafunktion und den beiden Rogers-Ramanujan-Kettenbrüchen R und S können alle quintischen Gleichungen gelöst werden. Für folgendes quintische Polynom in Bring-Jerrard-Normalform soll nun die reelle Lösung mit den genannten elliptischen Funktionen dargestellt werden:

$x^{5}+5\,x=4\,c$

Die reelle Lösung kann für alle reellen Werte $c\in \mathbb {R}$ so ermittelt werden:

$x={\frac {S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(c)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}-R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(c)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }}{S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(c)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}}}\times$

$\times {\frac {1-R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(c)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }\,S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(c)]^{2}\}{\bigr \rangle }}{R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(c)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }^{2}}}\times$

$\times {\frac {\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}^{1/5}{\bigr \rangle }^{2}-5\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{3}}{4\,\vartheta _{10}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{01}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (c)]^{2}\}{\bigr \rangle }}}$

Alternativ kann dieselbe Lösung auch so dargestellt werden:

$x={\frac {[\vartheta _{00}(Q^{1/5})^{2}-5\,\vartheta _{00}(Q^{5})^{2}]{\sqrt {\vartheta _{00}(Q^{1/5})^{2}+5\,\vartheta _{00}(Q^{5})^{2}-2\,\vartheta _{00}(Q^{1/5})\,\vartheta _{00}(Q^{5})-4\,\vartheta _{00}(Q)^{2}}}}{4\,\vartheta _{10}(Q)\,\vartheta _{01}(Q)\,\vartheta _{00}(Q)}}$

${\text{mit}}\,Q=q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(c)]^{2}\}$

Das Quadrat des Kotangens lemniscatus hyperbolicus von der Hälfte des Areakosinus lemniscatus hyperbolicus hat diese algebraische Identität:

${\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(c)]^{2}={\bigl (}2c^{2}+2+2{\sqrt {c^{4}+1}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {c^{4}+1}}+1}}+c{\bigr )}$

Wenn c reell ist, dann existiert für die gezeigte Bring-Jerrard-Gleichung nur eine reelle Lösung, nämlich die soeben genannte Lösung. Alle regulären quintischen Gleichungen können auf kubisch radikalem Weg in die Bring-Jerrard-Form überführt werden. In der Bring-Jerrard-Form sind nur das quintische, das lineare und das absolute Glied vorhanden, aber das quartische, kubische und quadratische Glied sind in dieser Form grundsätzlich nicht enthalten.

Für die angewandten elliptischen Funktionen sind die nun folgenden definierenden Identitäten gültig:

Thetafunktion und Kettenbrüche

Funktionsnamen	Rogers-Ramanujan-R-Funktion	Rogers-Ramanujan-S-Funktion
Jacobische Thetafunktionen	$\vartheta _{01}(y)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-y^{2n})(1-y^{2n-1})^{2}$	$\vartheta _{00}(y)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-y^{2n})(1+y^{2n-1})^{2}$
	$\vartheta _{10}(y)=2\,y^{1/4}\prod _{n=1}^{\infty }(1-y^{2n})(1+y^{2n})^{2}={\sqrt[{4}]{\vartheta _{00}(y)^{4}-\vartheta _{01}(y)^{4}}}$
Rogers-Ramanujan-Kettenbrüche	$R(y)=y^{1/5}{\frac {(y;y^{5})_{\infty }(y^{4};y^{5})_{\infty }}{(y^{2};y^{5})_{\infty }(y^{3};y^{5})_{\infty }}}$	$S(y)={\frac {R(y^{4})}{R(y^{2})R(y)}}$

Die gezeigte Doppelklammer aus zwei Einträgen stellt das Nomen-Pochhammer-Symbol dar:

$(a;b)_{\infty }=\prod _{n=1}^{\infty }(1-a\,b^{n})$

Rechenbeispiele

Im Folgenden werden hierzu zwei Rechenbeispiele durchgeführt:

Erstes Rechenbeispiel:

Quintische Bring-Jerrard-Gleichung: $x^{5}+5\,x=8$ Lösungsformel: ${\begin{aligned}x={}&{\frac {S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}-R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }}{S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}}}\times \\[4pt]&{}\times {\frac {1-R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }\,S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}{\bigr \rangle }}{R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }^{2}}}\times \\[4pt]&{}\times {\frac {\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}^{1/5}{\bigr \rangle }^{2}-5\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{3}}{4\,\vartheta _{10}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{01}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}{\bigr \rangle }}}\end{aligned}}$ Nachkommastellen des Nomens: $q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (2)]^{2}\}=q{\bigl [}{\bigl (}10+2{\sqrt {17}}\,{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {17}}+1}}+2{\bigr )}{\bigr ]}=$ $=0{,}3063466544466074265361088194021326272090461143559097382981847144\ldots$ Nachkommastellen der Lösung: $x=1{,}1670361837016430473110194319963961012975521104880199105205748723\ldots$

Zweites Rechenbeispiel:

Quintische Bring-Jerrard-Gleichung: $x^{5}+5\,x=12$ Solution: ${\begin{aligned}x={}&{\frac {S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}-R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }}{S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}}}\times \\[4pt]&{}\times {\frac {1-R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }\,S{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}{\bigr \rangle }}{R{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }^{2}}}\times \\[4pt]&{}\times {\frac {\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}^{1/5}{\bigr \rangle }^{2}-5\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{3}}{4\,\vartheta _{10}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{01}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}{\bigr \rangle }}}\end{aligned}}$ Nachkommastellen des Nomens: $q\{\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3)]^{2}\}=q{\bigl [}{\bigl (}20+2{\sqrt {82}}\,{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {82}}+1}}+3{\bigr )}{\bigr ]}=$ $=0{,}3706649511520240756244325221775686571518680899597473957509743879\ldots$ Nachkommastellen der Lösung: $x=1{,}3840917958231463592477551262671354748859350601806764501691889116\ldots$

Jacobische Amplitudenfunktionen

Definitionen der Jacobischen Amplitudenfunktionen

Die elliptischen Funktionen Zeta amplitudinis und Delta amplitudinis können vereinfacht mit der elliptischen Nomenfunktion definiert werden:

${\text{zn}}(x;k)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2\pi K(k)^{-1}\sin[\pi K(k)^{-1}x]q(k)^{2n-1}}{1-2\cos[\pi K(k)^{-1}x]q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}}$

$\operatorname {dn} (x;k)={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+2\cos[\pi K(k)^{-1}x]q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}{1-2\cos[\pi K(k)^{-1}x]q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}}$

Beide Formeln gelten im reellen Zahlenbereich für alle k-Werte von ausgeschlossen −1 bis ausgeschlossen +1.

Sukzessiv können dann die Jacobischen Funktionen Sinus amplitudinis und Kosinus amplitudinis aufgestellt werden:

${\text{sn}}(x;k)={\frac {2\{{\text{zn}}({\tfrac {1}{2}}x;k)+{\text{zn}}[K(k)-{\tfrac {1}{2}}x;k]\}}{k^{2}+\{{\text{zn}}({\tfrac {1}{2}}x;k)+{\text{zn}}[K(k)-{\tfrac {1}{2}}x;k]\}^{2}}}$

${\text{cn}}(x;k)={\text{sn}}[K(k)-x;k]\,{\text{dn}}(x;k)$

Die Gebrüder Borwein gaben in ihrem Werk π and the AGM auf Seite 60 auch folgende Formel für den Sinus amplitudinis an:

${\text{sn}}(x;k)=2{\sqrt[{4}]{k^{-2}q(k)}}\,\sin[{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}x]\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-2q(k)^{2n}\cos[\pi K(k)^{-1}x]+q(k)^{4n}}{1-2q(k)^{2n-1}\cos[\pi K(k)^{-1}x]+q(k)^{4n-2}}}$

Diese Formel basiert auf der Definition der Theta-Nichtnullwertfunktionen nach Whittaker und Watson.

Jacobische Amplitudenfunktionswerte

In Kombination mit den Thetafunktionen liefert das elliptische Nomen die Werte der Jacobischen Amplitudenfunktionen:

${\text{sc}}[{\tfrac {2}{3}}K(k);k]={\frac {{\sqrt {3}}\,\vartheta _{01}[q(k)^{6}]}{{\sqrt {1-k^{2}}}\,\vartheta _{01}[q(k)^{2}]}}$

${\text{sn}}[{\tfrac {1}{3}}K(k);k]={\frac {2\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}{3\vartheta _{00}[q(k)^{3}]^{2}+\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}}={\frac {3\vartheta _{01}[q(k)^{3}]^{2}-\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}{3\vartheta _{01}[q(k)^{3}]^{2}+\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}}$

${\text{cn}}[{\tfrac {2}{3}}K(k);k]={\frac {3\vartheta _{00}[q(k)^{3}]^{2}-\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}{3\vartheta _{00}[q(k)^{3}]^{2}+\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}}={\frac {2\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}{3\vartheta _{01}[q(k)^{3}]^{2}+\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}}$

${\text{sn}}[{\tfrac {1}{5}}K(k);k]={\biggl \{}{\frac {{\sqrt {5}}\,\vartheta _{01}[q(k)^{5}]}{\vartheta _{01}[q(k)]}}-1{\biggr \}}{\biggl \{}{\frac {5\vartheta _{01}[q(k)^{10}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(k)^{2}]^{2}}}-1{\biggr \}}^{-1}$

${\text{sn}}[{\tfrac {3}{5}}K(k);k]={\biggl \{}{\frac {{\sqrt {5}}\,\vartheta _{01}[q(k)^{5}]}{\vartheta _{01}[q(k)]}}+1{\biggr \}}{\biggl \{}{\frac {5\vartheta _{01}[q(k)^{10}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(k)^{2}]^{2}}}-1{\biggr \}}^{-1}$

${\text{cn}}[{\tfrac {2}{5}}K(k);k]={\biggl \{}{\frac {{\sqrt {5}}\,\vartheta _{00}[q(k)^{5}]}{\vartheta _{00}[q(k)]}}+1{\biggr \}}{\biggl \{}{\frac {5\vartheta _{01}[q(k)^{10}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(k)^{2}]^{2}}}-1{\biggr \}}^{-1}$

${\text{cn}}[{\tfrac {4}{5}}K(k);k]={\biggl \{}{\frac {{\sqrt {5}}\,\vartheta _{00}[q(k)^{5}]}{\vartheta _{00}[q(k)]}}-1{\biggr \}}{\biggl \{}{\frac {5\vartheta _{01}[q(k)^{10}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(k)^{2}]^{2}}}-1{\biggr \}}^{-1}$

Für die nun präsentierten Thetafunktionsidentitäten zu den Jacobischen Funktionen können folgende Formeln zur Bestimmung effizient verwendet werden:

Diese Identitäten dienen zur Herleitung der genannten Thetafunktionsquotienten:

$\operatorname {nc} [{\tfrac {4}{5}}K(k);k]-\operatorname {nc} [{\tfrac {2}{5}}K(k);k]={\frac {5\vartheta _{01}[q(k)^{5}]^{2}}{2\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}}-{\frac {1}{2}}$

Dieser Wert auf beiden Seiten der Gleichungswaage löst als y-Wert folgende Gleichung auf:

$y^{6}-2y^{5}-\tan[2\arctan(k)]^{2}(2y+1)=0$

$y={\frac {5\vartheta _{01}[q(k)^{5}]^{2}}{2\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}}-{\frac {1}{2}}$

Und es gilt weiter:

$\operatorname {dn} [{\tfrac {2}{5}}K(k);k]+\operatorname {dn} [{\tfrac {4}{5}}K(k);k]={\frac {5\vartheta _{00}[q(k)^{5}]^{2}}{2\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}}-{\frac {1}{2}}$

Jener Wert auf beiden Seiten der Gleichungswaage löst als z-Wert nachfolgende Gleichung auf:

$z^{6}-2z^{5}+\sin[2\arcsin(k)]^{2}(2z+1)=0$

$z={\frac {5\vartheta _{00}[q(k)^{5}]^{2}}{2\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}}-{\frac {1}{2}}$

Herleitung von der Ableitung der Hauptthetafunktion

Die Ableitung der Hauptfunktion unter den Jacobischen Thetafunktionen kann auf folgende Weise mit Hilfe der Kettenregel und der Ableitungsformel des elliptischen Nomens hergeleitet werden:

${\frac {\pi ^{2}}{2\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )^{2}}}\,q(\varepsilon )\,{\biggl \{}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \,q(\varepsilon )}}\,\vartheta _{00}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}{\biggr \}}={\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\,q(\varepsilon ){\biggr ]}{\biggl \{}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \,q(\varepsilon )}}\,\vartheta _{00}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}{\biggr \}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\,\vartheta _{00}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\,{\sqrt {2\pi ^{-1}K(\varepsilon )}}=$

$={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,\pi ^{-1/2}\,K(\varepsilon )^{-1/2}{\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\,K(\varepsilon ){\biggr ]}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,\pi ^{-1/2}\,K(\varepsilon )^{-1/2}\,{\frac {E(\varepsilon )-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}$

Denn es gilt die nun genannte Identität zwischen Thetafunktion und elliptischem Integral erster Art:

$\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]={\sqrt {2\pi ^{-1}K(\varepsilon )}}$

Daraus folgt diese Gleichung:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \,q(\varepsilon )}}\,\vartheta _{00}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}={\sqrt {2}}\,\pi ^{-5/2}\,q(\varepsilon )^{-1}\,K(\varepsilon )^{3/2}{\bigl [}E(\varepsilon )-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon ){\bigr ]}$

Es gilt für die vollständigen elliptischen Integrale zweiter Art folgende Identität:

$\left(1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\right)\,E\left({\frac {1-{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}{1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}}\right)=E(\varepsilon )+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\,K(\varepsilon )$

So entsteht mit dieser Modulidentität folgende Umformung:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \,q(\varepsilon )}}\,\vartheta _{00}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}={\sqrt {2}}\,\pi ^{-5/2}\,q(\varepsilon )^{-1}\,K(\varepsilon )^{3/2}\left(1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\right)\left[E\left({\frac {1-{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}{1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}}\right)-{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\,K(\varepsilon )\right]$

Weiter gilt diese Identität:

$\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]={\sqrt[{4}]{1-\varepsilon ^{2}}}{\sqrt {2\pi ^{-1}K(\varepsilon )}}$

Mit den Thetafunktionsausdrücken ϑ₀₀(x) und ϑ₀₁(x) kann die gezeigte Formel so dargestellt werden:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \,q(\varepsilon )}}\,\vartheta _{00}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}={\frac {1}{2\pi }}\,q(\varepsilon )^{-1}\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]{\bigl \{}\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{2}+\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{2}{\bigr \}}{\biggl \langle }E{\biggl \{}{\frac {\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{2}-\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{2}}{\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{2}+\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{2}}}{\biggr \}}-{\frac {\pi }{2}}\,\vartheta _{01}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}^{2}{\biggr \rangle }$

Daraus folgt jene Endgleichung:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\vartheta _{00}(x)=\vartheta _{00}(x){\bigl [}\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}{\bigr ]}{\biggl \{}{\frac {1}{2\pi x}}E{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{2}-\vartheta _{01}(x)^{2}}{\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}}}{\biggr ]}-{\frac {\vartheta _{01}(x)^{2}}{4x}}{\biggr \}}$

Umkehrfunktion vom elliptischen Nomen

Die Umkehrfunktion des elliptischen Nomens, invertiertes oder inverses Nomen genannt, stimmt mit der vierten Potenz der Hermiteschen Transzendenten $\varphi _{H}$ überein. Die Ausdrucksweise dieser Umkehrfunktion beinhaltet ein q in Basisstellung und eine Minus Eins in Spitzklammern in Exponentenstellung:

$q^{\langle -1\rangle }(x)=\varphi _{H}(x)^{4}={\frac {\vartheta _{10}(x)^{2}}{\vartheta _{00}(x)^{2}}}$

Nach der Definition der Thetafunktionen durch Sir Edmund Taylor Whittaker und Professor George Neville Watson gilt:

$q^{\langle -1\rangle }(x)=4{\sqrt {x}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(1+x^{2n})^{4}}{(1+x^{2n-1})^{4}}}$

Somit gilt gemäß der Definition für 0 ≤ x ≤ 1:

$q{\bigl [}q^{\langle -1\rangle }(x){\bigr ]}=x$

Für das invertierte Nomen kann diese Reihenentwicklung aufgestellt werden:

$q^{\langle -1\rangle }(x)=4{\sqrt {x}}{\biggl \{}1+\sum _{n=1}^{\infty }x^{2\bigtriangleup (n)}{\biggr \}}^{2}{\biggl \{}1+2\sum _{n=1}^{\infty }x^{\Box (n)}{\biggr \}}^{-2}$

Mit dem Delta werden die Dreieckszahlen von n dargestellt: Δ(n) = n(n+1)/2

Für das invertierte elliptische Nomen existiert auch die nun folgende Kettenbruchdarstellung:

${\sqrt[{4}]{q^{\langle -1\rangle }(x)}}=\varphi _{H}(x)={\cfrac {{\sqrt {2}}\,x^{1/8}}{1+{\cfrac {x}{1+x+{\cfrac {x^{2}}{1+x^{2}+{\cfrac {x^{3}}{1+x^{3}+{\cfrac {x^{4}}{1+x^{4}+{\cfrac {x^{5}}{\ddots }}}}}}}}}}}}$

Auf der Grundlage der Definition des invertierten Nomens über die Thetafunktionen kann auch die Elliptische Lambdafunktion definiert werden:

$\lambda ^{*}(x)=q^{\langle -1\rangle }[\exp(-\pi {\sqrt {x}})]$

Siehe auch

• Elliptisches Integral
• Jacobische Thetafunktion
• Legendresche Identität

Literatur

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. OCLC 1097832. Siehe Abschnitt 17.3.17 Definition! 1972 edition: ISBN 0-486-61272-4
• Tom M. Apostol: Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York: ISBN 0-387-97127-0
• Folkmar Bornemann, Dirk Laurie, Stan Wagon und Jörg Waldvogel: Vom Lösen numerischer Probleme, Seite 275
• Toshio Fukushima: Fast Computation of Complete Elliptic Integrals and Jacobian Elliptic Functions. 2012, National Astronomical Observatory of Japan (国立天文台)
• Lowan, Blanch und Horenstein: On the Inversion of the q-Series Associated with Jacobian Elliptic Functions. Bull. Amer. Math. Soc. 48, 1942
• H. Ferguson, D. E. Nielsen, G. Cook: A partition formula for the integer coefficients of the theta function nome. Mathematics of computation, Volume 29, Nummer 131, Juli 1975
• J. D. Fenton and R. S. Gardiner-Garden: Rapidly-convergent methods for evaluating elliptic integrals and theta and elliptic functions. J. Austral. Math. Soc. (Series B) 24, 1982, S. 57
• Nikolaos Bagis: On the solution of the general quintic using the Rogers-Ramanujan continued fraction. Pella, Makedonien, Griechenland, 2015
• Nikolaos Bagis: Solution of Polynomial Equations with Nested Radicals. Pella, Makedonien, Griechenland, 2020
• Viktor Prasolov (Прасолов) und Yuri Solovyev (Соловьёв): Elliptic Functions and Elliptic Integrals. Volume 170, Rhode Island, 1991. Seiten 149–159
• Sun Zhi-Hong: New congruences involving Apery-like numbers. Huaiyin Normal University, Huaian (淮安), China, 2020. Seite 2
• Robert Fricke: Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen: Dritter Teil. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2012. ISBN 978-3-642-20953-6, ISBN 978-3-642-20954-3 (E-Book)
• Adolf Kneser: Neue Untersuchung einer Reihe aus der Theorie der elliptischen Funktionen. J. reine u. angew. Math. 157, 1927. Seiten 209–218