Fox-Wright-Funktion

In der Mathematik ist die Fox-Wright-Funktion, auch bekannt als Fox-Wright-Psi-Funktion (nicht zu verwechseln mit der Wright-Omega-Funktion), eine Verallgemeinerung der Verallgemeinerten Hypergeometrischen Funktion _pF_q(z) basierend auf den Ideen von Charles Fox (1928) und E. Maitland Wright (1935).

Ideen von Fox und Wright

$${}_{p}\Psi _{q}\left[{\begin{matrix}(a_{1},A_{1})&(a_{2},A_{2})&\ldots &(a_{p},A_{p})\\(b_{1},B_{1})&(b_{2},B_{2})&\ldots &(b_{q},B_{q})\end{matrix}};z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (a_{1}+A_{1}n)\cdots \Gamma (a_{p}+A_{p}n)}{\Gamma (b_{1}+B_{1}n)\cdots \Gamma (b_{q}+B_{q}n)}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}.$$

Mit dem Verändern der Normalisierung

$${}_{p}\Psi _{q}^{*}\left[{\begin{matrix}(a_{1},A_{1})&(a_{2},A_{2})&\ldots &(a_{p},A_{p})\\(b_{1},B_{1})&(b_{2},B_{2})&\ldots &(b_{q},B_{q})\end{matrix}};z\right]={\frac {\Gamma (b_{1})\cdots \Gamma (b_{q})}{\Gamma (a_{1})\cdots \Gamma (a_{p})}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (a_{1}+A_{1}n)\cdots \Gamma (a_{p}+A_{p}n)}{\Gamma (b_{1}+B_{1}n)\cdots \Gamma (b_{q}+B_{q}n)}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}$$

wird daraus _pF_q(z) ür A_1...p = B_1...q = 1.

The Fox-Wright-Funktion ist ein Spezialfall der Fox H-Funktion (Srivastava & Manocha 1984, p. 50):

$${}_{p}\Psi _{q}\left[{\begin{matrix}(a_{1},A_{1})&(a_{2},A_{2})&\ldots &(a_{p},A_{p})\\(b_{1},B_{1})&(b_{2},B_{2})&\ldots &(b_{q},B_{q})\end{matrix}};z\right]=H_{p,q+1}^{1,p}\left[-z\left|{\begin{matrix}(1-a_{1},A_{1})&(1-a_{2},A_{2})&\ldots &(1-a_{p},A_{p})\\(0,1)&(1-b_{1},B_{1})&(1-b_{2},B_{2})&\ldots &(1-b_{q},B_{q})\end{matrix}}\right.\right].$$

Ein Spezialfall der Fox-Wright-Funktion schein ein Teil der Normalisierung der Konstante der modifizierten halb-normalen Distribution mit den pdf auf $(0,\infty )$ gegeben durch $f(x)={\frac {2\beta ^{\frac {\alpha }{2}}x^{\alpha -1}\exp(-\beta x^{2}+\gamma x)}{\Psi {\left({\frac {\alpha }{2}},{\frac {\gamma }{\sqrt {\beta }}}\right)}}}$, wobei $\Psi (\alpha ,z)={}_{1}\Psi _{1}\left({\begin{matrix}\left(\alpha ,{\frac {1}{2}}\right)\\(1,0)\end{matrix}};z\right)$ die Fox-Wright-Psi-Funktion ist.

Wright-Funktion

Die ganze Funkt $W_{\lambda ,\mu }(z)$ wird oft als die Wright-Funktion bezeichnet. Es ist ein Spezialfall der ${}_{0}\Psi _{1}\left[...\right]$ der Fox-Wright-Funktion. Ihre Reihenentwicklung lautet

$$W_{\lambda ,\mu }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!\,\Gamma (\lambda n+\mu )}},\lambda >-1.$$

Diese Funktion wir oft in der Fraktionellen Infinitesimalrechnung und Stabilen Zähl-Distribution genutzt.

Drei Eigenschaften die aus Theorem 1, von Wright (1933) und 18.1(30-32) von Erdelyi, Bateman Project, Vol 3 (1955) (p.212), besagen

$${\begin{array}{lcl}\lambda zW_{\lambda ,\mu +\lambda }(z)&=&W_{\lambda ,\mu -1}(z)+(1-\mu )W_{\lambda ,\mu }(z)&(a)\\{d \over dz}W_{\lambda ,\mu }(z)&=&W_{\lambda ,\mu +\lambda }(z)&(b)\\\lambda z{d \over dz}W_{\lambda ,\mu }(z)&=&W_{\lambda ,\mu -1}(z)+(1-\mu )W_{\lambda ,\mu }(z)&(c)\end{array}}$$

Gleichung (a) ist eine Rekursionsformel. (b) und (c) liefern zwei Wege, um eine Ableitung zu reduzieren. Und (c) kann aus (a) und (b) abgeleitet werden.

Einen Spezialfall von (a) ist gegeben für $\lambda =-\alpha ,\mu =1$. Replizieren $z$ mit $-z$, so erhalten wir

$$-\alpha zW_{-\alpha ,1-\alpha }(-z)=W_{-\alpha ,0}(-z)$$

Zwei Notationen, $M_{\alpha }(z)$ und $F_{\alpha }(z)$, werden intensiv in der Literatur genutzt:

$${\begin{aligned}M_{\alpha }(z)&=W_{-\alpha ,1-\alpha }(-z),\\[1ex]\implies F_{\alpha }(z)&=W_{-\alpha ,0}(-z)=\alpha zM_{\alpha }(z).\end{aligned}}$$

M-Wright-Funktion

$M_{\alpha }(z)$ ist als M-Wright-Funktion bekannt und tritt als Wahrscheinlichkeitsdichte in eine relevante Klasse von selbstähnlichen stochastischen Prozessen ein, die allgemein als zeitfraktionale Diffusionsprozesse bezeichnet werden.

Seine Eigenschaften wurden in Mainardi et al (2010) untersucht.

Durch die Stable-Count-Verteilung. $\alpha$ ist mit dem Stabilitätsindex von Lévy verbunden $(0<\alpha \leq 1)$.

Ihre asymptotische Form von $M_{\alpha }(z)$ für $\alpha >0$ ist gegeben durch

$$M_{\alpha }\left({\frac {r}{\alpha }}\right)=A(\alpha )\,r^{(\alpha -1/2)/(1-\alpha )}\,e^{-B(\alpha )\,r^{1/(1-\alpha )}},\,\,r\rightarrow \infty ,$$

wobei $A(\alpha )={\frac {1}{\sqrt {2\pi (1-\alpha )}}},$ $B(\alpha )={\frac {1-\alpha }{\alpha }}.$

Siehe auch

• Gaußesche Hypergeometrische Funktion
• Verallgemeinerte Hypergeometrische Funktion

Literatur

• C. Fox: The asymptotic expansion of integral functions defined by generalized hypergeometric series. In: Proc. London Math. Soc. 27. Jahrgang, Nr. 1, 1928, S. 389–400, doi:10.1112/plms/s2-27.1.389. 
• E. M. Wright: The asymptotic expansion of the generalized hypergeometric function. In: J. London Math. Soc. 10. Jahrgang, Nr. 4, 1935, S. 286–293, doi:10.1112/jlms/s1-10.40.286. 
• E. M. Wright: The asymptotic expansion of the generalized hypergeometric function. In: Proc. London Math. Soc. 46. Jahrgang, Nr. 2, 1940, S. 389–408, doi:10.1112/plms/s2-46.1.389. 
• E. M. Wright: Erratum to "The asymptotic expansion of the generalized hypergeometric function". In: J. London Math. Soc. 27. Jahrgang, 1952, S. 254, doi:10.1112/plms/s2-54.3.254-s. 
• H. M. Srivastava, H. L. Manocha: A treatise on generating functions. 1984, ISBN 0-470-20010-3 (englisch). 
• A. R. Miller, I.S. Moskowitz: Reduction of a Class of Fox–Wright Psi Functions for Certain Rational Parameters. In: Computers Math. Applic. 30. Jahrgang, Nr. 11, 1995, S. 73–82, doi:10.1016/0898-1221(95)00165-u. 
• Jingchao Sun, Maiying Kong, Subhadip Pal: The Modified-Half-Normal distribution: Properties and an efficient sampling scheme. In: Communications in Statistics - Theory and Methods. 52. Jahrgang, Nr. 5, 22. Juni 2021, ISSN 0361-0926, S. 1591–1613, doi:10.1080/03610926.2021.1934700 (tandfonline.com). 

Weblinks

• hypergeom auf GitLab