Gleichverteilung
aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Der Begriff Gleichverteilung stammt aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung und beschreibt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit bestimmten Eigenschaften. Im diskreten Fall tritt jeder mögliche Zustand mit der gleichen Wahrscheinlichkeit ein, im stetigen Fall ist die Dichte konstant. Das Grundprinzip einer Gleichverteilung ist, dass es keine Präferenz für eines der Ereignisse gibt.
Beispielsweise sind die Ergebnisse beim Würfeln die sechs möglichen Zustände nach einem Wurf: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Die Eintrittswahrscheinlichkeit jedes dieser Werte beträgt 1/6, da sie für jeden möglichen Wert gleich groß ist und die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten 1 ergeben muss.
Inhaltsverzeichnis |
[Bearbeiten] Diskreter Fall
Sei Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Omega
eine endliche Menge. Dann ist bei einer Gleichverteilung die Wahrscheinlichkeit Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): P(A) eines Ereignisses Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A mit Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A\subseteq\Omega definiert durch die Laplace-Formel:
- Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathcal P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{\text{Anzahl der Elemente von }A}{\text{Anzahl der Elemente von }\Omega}.
Für genauere Informationen siehe Diskrete Gleichverteilung.
[Bearbeiten] Stetiger Fall
Sei Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Omega
ein endliches reelles Intervall, also Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Omega = [a,b] für Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): a,b \in \mathbb{R}
. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A
ist bei einer Gleichverteilung definiert als
- Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): P(A) = \int_A\frac 1{\lambda(\Omega)}\,\mathrm dx = \frac{\lambda(A)}{\lambda(\Omega)} = \frac{\lambda(A)}{b-a},
wobei Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda
das Lebesgue-Maß bezeichnet. Insbesondere gilt für ein Teilintervall Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): A = [c,d] \subset [a,b]
- Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): P(A) = \frac{\lambda(A)}{\lambda(\Omega)} = \frac{d-c}{b-a}.
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist hier eine konstante Funktion Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \rho
mit:
- Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \rho(x) = \frac 1{\lambda(\Omega)}= \frac 1{b-a}
.
In einer ähnlichen Weise kann man eine stetige Gleichverteilung auch auf Teilmenge des Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n -dimensionalen Raumes Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \mathbb{R}^n
erklären. In diesem Fall erhält man
- Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): P(A) = \int_A\frac 1{\lambda^n(\Omega)}\,\mathrm dx = \frac{\lambda^n(A)}{\lambda^n(\Omega)},
wobei Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \lambda^n
das Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): n
-dimensionale Lebesgue-Maß bezeichnet.
Für genauere Informationen siehe Stetige Gleichverteilung.
[Bearbeiten] Beispiele
- Beim Würfeln eines idealen Würfels ist die Wahrscheinlichkeit einer Augenzahl zwischen eins und sechs, gewürfelt zu werden, 1/6.
- Beim Münzwurf einer idealen Münze ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine der beiden Seiten oben zu liegen kommt, 1/2.
- Im Weißen Rauschen sind die Frequenzen stetig gleichverteilt.
[Bearbeiten] Laplace
Die Gleichverteilung war Forschungsgebiet für Pierre-Simon Laplace, der vorschlug, dass man, wenn man auf einem Wahrscheinlichkeitsraum das Wahrscheinlichkeitsmaß nicht kenne, erst einmal Gleichverteilung annehmen solle (Indifferenzprinzip). Nach ihm nennt man einen Wahrscheinlichkeitsraum Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (\Omega, \mathfrak{P}(\Omega),\mathcal{U}_{\Omega})
für endliches Ω auch Laplace-Raum.
