Hypergeometrische Funktion mit Matrix-Argument

Die hypergeometrische Funktion mit Matrix-Argument ist eine Verallgemeinerung der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion auf ein Matrix-Argument. Sie taucht häufig in der multivariaten Statistik und in der Theorie der Zufallsmatrizen bei der Berechnung multivariater Integrale auf.

Eine Schwierigkeit beim Berechnen der Funktion besteht darin, dass man Jack-Polynome mit Parameter $\alpha$ berechnen muss. Häufig interessiert man sich für den Fall $\alpha =2$, welches die zonalen Polynome sind. Dies sind orthogonale Polynome und multivariate Verallgemeinerungen der Monome. Außerdem sind sie Eigenfunktionen eines Differentialoperators und Jack-Polynome mit einer C-Normalisierung. Es gibt unterschiedliche Definitionen und Berechnungsmöglichkeiten.

Auch wenn es sich bei der hypergeometrischen Funktion mit Matrix-Argument eigentlich um eine verallgemeinerte hypergeometrische Funktion handelt, so verzichtet man in der Literatur in der Regel auf den Zusatz verallgemeinert.

Definition

Sei

• $\kappa =(k_{1},\dots ,k_{p})$ eine Partition einer Zahl $k\in \mathbb {N} _{0}$, das heißt, es gilt $k=k_{1}+\dots +k_{p}$ und $k_{1}\geq \cdots \geq k_{p}\geq 0$ wobei $k_{1},\dots ,k_{p}\in \mathbb {N} _{0}$ .
• $l(\kappa )$ die Länge der Partition $\kappa$, das heißt die Anzahl Folgenglieder, welche verschieden von Null sind (das bedeutet $l((2,1,0,0))=2$),
• $(a)_{\kappa }^{\alpha }$ das verallgemeinertes Pochhammer-Symbol.
• $m,n\geq 0$ nicht-negative ganze Zahlen.

Seien $a_{1},\dots ,a_{m}$ und $b_{1},\dots ,b_{n}$ komplexe Zahlen und $S$ eine komplexe symmetrische Matrix mit Dimension $r\times r$. Die hypergeometrische Funktion mit Matrix-Argument ist definiert als

${}_{m}F_{n}^{(\alpha )}(a_{1},\ldots ,a_{m};b_{1},\ldots ,b_{n};S)=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{\kappa \vdash k}{\frac {(a_{1})_{\kappa }^{\alpha }\cdots (a_{m})_{\kappa }^{\alpha }}{(b_{1})_{\kappa }^{\alpha }\cdots (b_{n})_{\kappa }^{\alpha }}}{\frac {C_{\kappa }^{(\alpha )}(S)}{k!}},$

wobei $\kappa \vdash k$ die Summation über alle Partitionen von $k$ ist und $C_{\kappa }^{(\alpha )}(S)$ das Jack-Polynom zum Parameter $\alpha$ von $S$ für $\kappa$ ist.

Erläuterungen

• ${}_{m}F_{n}^{(\alpha )}(a_{1},\ldots ,a_{m};b_{1},\ldots ,b_{n};S)$ ist Skalar-wertig.
• In der Statistik und in der Stochastik interessiert man sich vor allem für den Fall $\alpha =2$, dann sind $C_{\kappa }^{(2)}(S)$ zonale Polynome respektive C-normalisierte Jack-Polynome.

Zweifaches Matrix-Argument

Analog definiert man die hypergeometrische Funktion für zwei symmetrische Matrizen $S$ und $T$ mit Dimension $r\times r$

${}_{m}F_{n}^{(\alpha )}(a_{1},\ldots ,a_{m};b_{1},\ldots ,b_{n};S,T)=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{\kappa \vdash k}{\frac {(a_{1})_{\kappa }^{\alpha }\cdots (a_{m})_{\kappa }^{\alpha }}{(b_{1})_{\kappa }^{\alpha }\cdots (b_{n})_{\kappa }^{\alpha }}}{\frac {1}{k!}}{\frac {C_{\kappa }^{(\alpha )}(S)C_{\kappa }^{(\alpha )}(T)}{C_{\kappa }^{(\alpha )}(I)}},$

wobei $I$ die Identitätsmatrix der Dimension $r\times r$ ist.

Zonale Polynome

Sei $X$ eine $r\times r$ symmetrische Matrix mit Eigenwerten $y_{1},\dots ,y_{r}$ und $\kappa =(k_{1},\dots ,k_{r})$ eine Partition von $k$, welche nicht aus mehr als $r$ Teilen besteht. Die zonalen Polynome $C_{\kappa }^{(2)}(X)$ sind die Eigenfunktionen des Differentialoperators

$\Delta _{X}=\sum \limits _{i=1}^{r}y_{i}^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y_{i}^{2}}}+\sum \limits _{i=1}^{r}\sum \limits _{\begin{array}{c}j=1\\i\neq j\end{array}}^{r}{\frac {y_{i}^{2}}{y_{i}-y_{j}}}{\frac {\partial }{\partial y_{i}}},$

das heißt sie erfüllen die partielle Differentialgleichung

$\Delta _{X}C_{\kappa }^{(2)}(X)=\alpha C_{\kappa }^{(2)}(X)$

mit

$\alpha =\sum \limits _{i=1}^{r}k_{i}(k_{i}-i)+k(r-1).$

Literatur

• Arjun K. Gupta, D. K. Nagar: Matrix variate distributions. Chapman & Hall /CRC, 2000, ISBN 1-58488-046-5 (englisch). 
• Robb J. Muirhead: Aspects of Multivariate Statistical Theory. Hrsg.: Wiley, Deutschland. 2009, S. 258.