Kongruenzuntergruppe

In der Mathematik sind Kongruenzuntergruppen eine Klasse arithmetisch definierter diskreter Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe.

In der Theorie der Modulformen werden häufig Kongruenzuntergruppen zur Modulgruppe $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$ betrachtet.

Definition

Sei

$G\subset \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$

eine über $\mathbb {Q}$ definierte algebraische Gruppe und $N$ eine natürliche Zahl. Dann ist

$\Gamma :=\ker(p_{N}\colon G(\mathbb {Z} )\rightarrow \mathrm {GL} (n,\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} ))$

eine Kongruenzuntergruppe. (Hierbei bezeichnet $p_{N}$ die Einschränkung der „Reduktion modulo N“ auf $G(\mathbb {Z} )$.)

Arithmetische Gruppen

Kongruenzuntergruppen sind (nach Konstruktion) arithmetische Gruppen. Für $n\geq 3$ enthält jede arithmetische Gruppe $\Gamma \subset \mathrm {SL} (n,\mathbb {C} )$ eine Kongruenzuntergruppe.

Allgemeine Ringe

Sei $R$ ein kommutativer Ring. Eine Kongruenzuntergruppe ist der Kern des Homomorphismus

$SL(R)\to SL(R/I)$

für ein Ideal $I\subset R$.

Congruence subgroup problem

Das congruence subgroup problem fragt, ob für einen kommutativen Ring $R$ jeder Normalteiler in $SL(R)$ eine Kongruenzuntergruppe ist.