Integration durch Substitution

Die Integration durch Substitution oder Substitutionsregel ist eine wichtige Methode in der Integralrechnung, um Stammfunktionen und bestimmte Integrale zu berechnen. Durch Einführung einer neuen Integrationsvariablen wird ein Teil des Integranden ersetzt, um das Integral zu vereinfachen und so letztlich auf ein bekanntes oder einfacher handhabbares Integral zurückzuführen.

Die Kettenregel aus der Differentialrechnung ist die Grundlage der Substitutionsregel. Ihr Äquivalent für Integrale über mehrdimensionale Funktionen ist der Transformationssatz, der allerdings eine bijektive Substitutionsfunktion voraussetzt.

Aussage der Substitutionsregel

Ist $f\colon I\to \mathbb {R}$ eine stetige Funktion auf einem reellen Intervall $I$ und $\varphi \colon [a,b]\to I$ eine stetig differenzierbare Funktion, so gilt

$\int _{a}^{b}f(\varphi (x))\cdot \varphi '(x)\,\mathrm {d} x=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(t)\,\mathrm {d} t.$

Differentialkalkül

Im auf Euler zurückgehenden Differentialkalkül lautet die Substitutionsregel wie folgt:

$\int _{a}^{b}f(\varphi (x))\cdot \varphi '(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(\varphi (x))\cdot {\frac {\mathrm {d} \varphi (x)}{\mathrm {d} x}}\,\mathrm {d} x=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(t)\,\mathrm {d} t,$

wobei im letzten Schritt der Funktionsterm $\varphi (x)$ durch die neue Variable $t$ ersetzt wird und das neue Differential $\mathrm {d} t$ gemäß $\mathrm {d} t={\frac {\mathrm {d} \varphi (x)}{\mathrm {d} x}}\,\mathrm {d} x$ entsteht.

Beweis

Sei $F$ eine Stammfunktion von $f$. Nach der Kettenregel gilt für die Ableitung der zusammengesetzten Funktion $F\circ \varphi$

$(F\circ \varphi )'(x)=F'(\varphi (x))\cdot \varphi '(x)=f(\varphi (x))\cdot \varphi '(x).$

Damit ist $F\circ \varphi$ eine Stammfunktion von $(f\circ \varphi )\cdot \varphi '$. Mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung erhält man die Substitutionsregel:

${\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(\varphi (x))\cdot \varphi '(x)\,\mathrm {d} x&{}=(F\circ \varphi )(b)-(F\circ \varphi )(a)\\&{}=F(\varphi (b))-F(\varphi (a))\\&{}=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(t)\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}$

Anwendung

Wir betrachten:

$\int _{a}^{b}f(\varphi (x))\cdot \varphi '(x)\,\mathrm {d} x$.

Der Term ${\textstyle \varphi (x)}$ erscheint innerhalb der Funktion $f$ und seine Ableitung $\varphi '(x)$ als Faktor außerhalb der Funktion $f$. Diese Konstellation ermöglicht es, durch Substitution den Term ${\textstyle \varphi (x)}$ aus dem Integranden in die Integrationsgrenzen zu verschieben. Zur Substitution benutzt man die Umkehrfunktion $\varphi ^{-1}$ und einen neuen Variablennamen, hier $t$. Es soll gelten $\varphi (x)=t$ und $x=\varphi ^{-1}(t)$. Die Substitution besteht darin, zuerst im Integranden den Faktor ${\textstyle \varphi '(x)}$ zu streichen und gleichzeitig das Symbol $\mathrm {d} x$ durch $\mathrm {d} t$ zu ersetzen. Anschließend wird überall die Integrationsvariable ${\textstyle x}$ durch ${\textstyle \varphi ^{-1}(t)}$ ersetzt. Abschließend werden die Integrationsgrenzen ${\textstyle a}$ und ${\textstyle b}$ durch ${\textstyle \varphi (a)}$ bzw. ${\textstyle \varphi (b)}$ ersetzt.

Rechnerisch läuft folgendes ab:

${\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(\varphi (x))\cdot \varphi '(x)\,\mathrm {d} x=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(\varphi (\varphi ^{-1}(t)))\,\mathrm {d} t=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(t)\,\mathrm {d} t\end{aligned}}$

Hat man die Stammfunktion ${\textstyle F}$ gefunden, kann man sie direkt an den (neuen) Grenzen ${\textstyle \varphi (a)}$ und ${\textstyle \varphi (b)}$ auswerten:

${\begin{aligned}\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(t)\,\mathrm {d} t=F(\varphi (a))-F(\varphi (b)).\end{aligned}}$

(Man könnte auch die Stammfunktion zum ursprünglichen Integranden als ${\textstyle F\circ \varphi }$ bilden und dann an den alten Grenzen $a$ und $b$ auswerten. In der Praxis ist diese Rücksubstitution aber unnützer Aufwand, wenn es nur um bestimmte Integrale geht.)

Diese Substitutionsmethode lässt sich auch rückwärts durchführen; allerdings muss die Funktion $\varphi$ injektiv sein. Man geht von

${\begin{aligned}\int _{\alpha }^{\beta }f(t)\,\mathrm {d} t\end{aligned}}$

aus (man beachte die Benennung der Integrationsgrenzen). Die Integrationsvariable ${\textstyle t}$ wird durch den Term von ${\textstyle \varphi (x)}$ ersetzt, ebenso das Symbol $\mathrm {d} t$ durch $\mathrm {d} x$. Der Integrand wird mit ${\textstyle \varphi '(x)}$ multipliziert. Die Integrationsgrenzen $\alpha$ und $\beta$ werden durch $\varphi ^{-1}(\alpha )$ bzw. $\varphi ^{-1}(\beta )$ ersetzt. Das sieht dann so aus:

${\begin{aligned}\int _{\alpha }^{\beta }f(t)\,\mathrm {d} t=\int _{\varphi ^{-1}(\alpha )}^{\varphi ^{-1}(\beta )}f(\varphi (x))\cdot \varphi '(x)\,\mathrm {d} x\end{aligned}}$

Bei geschickter Wahl der Funktion $\varphi$ kann entgegen des ersten Anscheins der Integrand vereinfacht werden.

Substitution eines bestimmten Integrals

Beispiel 1

Berechnung des Integrals

$\int _{0}^{a}\sin(2x)\,\mathrm {d} x$

für eine beliebige reelle Zahl $a>0$: Durch die Substitution $t=\varphi (x)=2x$ erhält man $\mathrm {d} t=\varphi '(x)\,\mathrm {d} x=2\,\mathrm {d} x$, also $\mathrm {d} x={\tfrac {1}{2}}{\mathrm {d} t}$, und damit:

$\int _{0}^{a}\sin(2x)\,\mathrm {d} x=\int _{\varphi (0)}^{\varphi (a)}\sin(t)\,{\frac {1}{2}}{\mathrm {d} t}=\int _{0}^{2a}\sin(t)\,{\frac {1}{2}}{\mathrm {d} t}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2a}\sin(t)\,\mathrm {d} t$

$={\frac {1}{2}}[-\cos(t)]_{0}^{2a}={\frac {1}{2}}(-\cos(2a)+\cos(0))={\frac {1}{2}}(1-\cos(2a))$.

Beispiel 2

Berechnung des Integrals

$\int _{0}^{2}x\cos \left(x^{2}+1\right)\,\mathrm {d} x$:

Durch die Substitution $t=\varphi (x)=x^{2}+1$ erhält man $\mathrm {d} t=2x\,\mathrm {d} x$, also $x\,\mathrm {d} x={\tfrac {1}{2}}\mathrm {d} t$, und damit

$\int _{0}^{2}x\cos \left(x^{2}+1\right)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\int _{1}^{5}\cos(t)\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}\left(\sin(5)-\sin(1)\right)$.

Es wird also $x^{2}+1$ durch $t$ ersetzt und $x\,\mathrm {d} x$ durch ${\tfrac {1}{2}}\,\mathrm {d} t$. Die untere Grenze des Integrals $x=0$ wird dabei in $t(0)=0^{2}+1=1$ umgewandelt und die obere Grenze $x=2$ in $t(2)=2^{2}+1=5$.

Beispiel 3

Das ist ein Beispiel für die Substitution rückwärts.

Für die Berechnung des Integrals

$\int _{0}^{1}{\sqrt {1-t^{2}}}\,\mathrm {d} t$

kann man $t=\sin(x)$ substituieren. Daraus ergibt sich $\mathrm {d} t=\cos(x)\,\mathrm {d} x$. Um die Integrationsgrenzen umzurechnen, benutzt man die umgekehrte Beziehung $x=\arcsin(t)$. Die obere Grenze $1$ wird zu ${\frac {\pi }{2}}$, weil $\arcsin(1)={\frac {\pi }{2}}$. Aus $\arcsin(0)=0$ ergibt sich die neue untere Grenze $0$. Mit ${\sqrt {1-\sin ^{2}(t)}}=\cos(t)$ für $0\leq t\leq {\frac {\pi }{2}}$ rechnet man

$\int _{0}^{1}{\sqrt {1-t^{2}}}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-\sin ^{2}(x)}}\cos(x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}(x)\,\mathrm {d} x$.

Das Ergebnis kann mit partieller Integration oder mit der trigonometrischen Formel

$\cos ^{2}(x)={\frac {1+\cos(2x)}{2}}$

und einer weiteren Substitution berechnet werden. Es ergibt sich

$\int _{0}^{1}{\sqrt {1-t^{2}}}\,\mathrm {d} t=\left[{\frac {x}{2}}+{\frac {1}{4}}\sin(2x)\right]_{x=0}^{x={\frac {\pi }{2}}}={\frac {\pi }{4}}$.

(Damit haben wir die Fläche eines Viertelkreises berechnet.)

Substitution eines unbestimmten Integrals

Voraussetzungen und Vorgehen

Unter den obigen Voraussetzungen gilt

$F(\varphi (\cdot ))=\int f(\varphi (t))\cdot \varphi '(t)\,\mathrm {d} t.$

wobei $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist.

Beispiel 1

Durch quadratische Ergänzung und anschließende Substitution $t=x+1$, $\mathrm {d} x=\mathrm {d} t$ erhält man

$\int {\frac {1}{x^{2}+2x+2}}\,\mathrm {d} x=\int {\frac {1}{(x+1)^{2}+1}}\,\mathrm {d} x=\int {\frac {1}{t^{2}+1}}\,\mathrm {d} t=\arctan(t)+C=\arctan(x+1)+C$

Beispiel 2

Mit der Substitution $t=x^{2},\mathrm {d} t=2x\,\mathrm {d} x$ erhält man

$\int x\,\cos \left(x^{2}\right)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\int 2x\cos \left(x^{2}\right)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\int \cos(t)\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}\left(\sin(t)+C'\right)={\frac {1}{2}}\sin \left(x^{2}\right)+C$

Man beachte, dass die Substitution nur für $x\geq 0$ bzw. nur für $x\leq 0$ streng monoton ist.

Spezialfälle der Substitution

Lineare Substitution

Integrale mit linearen Verkettungen können wie folgt berechnet werden: Ist $F$ eine Stammfunktion von $f$, dann gilt

$\int f(ax+b)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}F(ax+b)+C$, falls $a\neq 0$.

Zum Beispiel gilt

$\int e^{3x+1}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{3}}e^{(3x+1)}+C$,

da $f(x)=e^{x}=F(x)$ und $a=3$.

Logarithmische Integration

Integrale, bei denen der Integrand ein Bruch ist, dessen Zähler die Ableitung des Nenners ist, können sehr einfach mit Hilfe der logarithmischen Integration gelöst werden:

$\int {\frac {f'(x)}{f(x)}}\,\mathrm {d} x=\ln |f(x)|+C\quad \left(f(x)\neq 0\right)$.

Das entspricht einem Spezialfall der Substitutionsmethode mit $t=f(x)$.

Zum Beispiel gilt

$\int {\frac {x}{x^{2}+1}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\int {\frac {2x}{x^{2}+1}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+1)+C$,

da $f(x)=x^{2}+1$ die Ableitung $f'(x)=2x$ hat.

Eulersche Substitution

Nach einem Satz von Bernoulli lassen sich alle Integrale des Typs

$\int {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\;\mathrm {d} x$

und

$\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$

elementar integrieren.

Beispiel:

$\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x^{2}+1}}}$

Durch die Substitution $t-x={\sqrt {x^{2}+1}}$ also $t^{2}-2tx=1$, $x={\tfrac {t}{2}}-{\tfrac {1}{2t}}$, $t-x={\tfrac {t}{2}}+{\tfrac {1}{2t}}$ und $\mathrm {d} x=\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2t^{2}}}\right)\mathrm {d} t$ ergibt sich

$\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x^{2}+1}}}=\int {\frac {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2t^{2}}}}{{\frac {t}{2}}+{\frac {1}{2t}}}}\mathrm {d} t=\int {\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\ln t+C=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)+C$.

Siehe auch

• Partielle Integration für eine weitere wichtige Regel zur Berechnung von Integralen,
• Weierstraß-Substitution für bestimmte Funktionen, die trigonometrische Funktionen enthalten.

Literatur

• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1, 5. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1988, ISBN 3-519-42221-2, S. 464
• Konrad Königsberger: Analysis 1, Springer, Berlin 1992, ISBN 3-540-55116-6, S. 200–201

Weblinks

• Einfache Erklärung/Beispiele für die Substitutionsregel
• Landesbildungsserver BW: Verfahren der linearen Substitution mit ausführlichem Beispiel und Übungen/Lösungen
• Video: Substitutionsregel. Jörn Loviscach 2011, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/9911.
• Video: Integration durch Substitution, Fingerübung. Jörn Loviscach 2013, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/10142.
• Video: drei Wege für Integration durch Substitution. Jörn Loviscach 2013, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/10144.
• Video: Partielle Integration, Substitutionsregel, Integration durch Partialbruchzerlegung. Jörn Loviscach 2012, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/9987.
• Video: Beispiele partielle Integration, Substitutionsregel, Integration durch Partialbruchzerlegung. Jörn Loviscach 2012, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/9988.