Skorochod-Integral

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Das Skorochod-Integral (auch Hitsuda-Skorochod-Integral) ist ein stochastischer Integralbegriff und zentraler Begriff des Malliavin-Kalküls. Das Integral ist eine Erweiterung des Itō-Integrals bezüglich der brownschen Bewegung für nicht-adaptierte Prozesse als Integranden und unendlich-dimensionale Verallgemeinerung der klassischen Divergenz. Das Skorochod-Integral ist der Divergenz-Operator des Malliavin-Kalküls im Falle des weißen Rauschens, d. h. wenn der zugrundeliegende Hilbert-Raum ein σ-endlicher L2-Raum ist, und zugleich der adjungierte Operator des Malliavin-Ableitungsoperators. Bei allgemeinen Hilbert-Räumen spricht man vom Divergenz-Operator, statt vom Skorochod-Integral. Alternativ lässt sich das Skorochod-Integral auch über die Wiener-Itō-Chaos-Zerlegung definieren. Das Skorochod-Integral ist kein klassisches Integral, da es viele der üblichen Integral-Eigenschaften nicht mehr besitzt, wenn der Integrand allerdings adaptiert ist, dann stimmt es mit dem Itō-Integral überein.

Um den entsprechenden Kalkül von dem des Ogawa-Integrals zu unterscheiden, spricht man vom vorwegnehmenden Kalkül oder vorausschauenden Kalkül (englisch anticipating calculus) beim Skorochod-Integral und vom nicht-kausalen Kalkül beim Ogawa-Integral.

Das Hitsuda-Skorochod-Integral wurde 1972 ([1]) von dem japanischen Mathematiker Masuyuki Hitsuda und unabhängig davon 1975 ([2]) von dem ukrainischen Mathematiker Anatolij Skorochod eingeführt.

Skorochod-Integral

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Sei

  • ein vollständiger Wahrscheinlichkeitsraum,
  • ein separabler Hilbertraum,
  • eine vollständige Orthonormalbasis von ,
  • ein isonormaler Gauß-Prozess,
  • ,
  • der Raum der Folgen mit endlichen Gliedern ungleich Null.

Für ein definiere

  • und .

Betrachte nun den Fall des weißen Rauschens , wobei σ-endlich und atomlos auf dem messbaren Raum ist.

Definition über die Malliavin-Ableitung

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Sei der Malliavin-Ableitungsoperator. Der Divergenz-Operator oder das Skorochod-Integral besitzt als Domäne alle Zufallsvariablen , so dass

für alle gilt, wobei eine Konstante ist, welche von abhängt.

Das Skorochod-Integral ist der unbeschränkte Operator definiert für ein durch

welches für alle gilt.[3]

Die Domäne ist der Malliavin-Sobolew-Raum (oder Watanabe-Sobolew-Raum). Sei ein Prozess, man verwendet für das Skorochod-Integral auch folgende Integral-Notation

In Integral-Notation wird die Definition über die Malliavin-Ableitung zu

Das Skorochod-Integral lässt sich auch als Prozess darstellen .[4]

Ist an adaptiert, so stimmt das Integral mit dem Itō-Integral überein.

Definition über die Wiener-Itō-Chaos-Zerlegung

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Sei der -fache symmetrische Tensorproduktraum von ausgestattet mit der Norm . Weiter sei die Wiener-Chaos-Zerlegung, das -te Wiener-Chaos und ein Multiindex mit . Dann ist das multiple stochastische Integral der Ordnung die lineare Isometrie definiert durch

wobei das -te Hermite-Polynom ist. Nach der Wiener-Itō-Chaos-Zerlegung gilt für einen Prozess die Zerlegung

wobei symmetrisch in den ersten Variablen ist. Sei nun

die vollständige Symmetrisierung von , dann ist das Skorochod-Integral definiert als

und diese Reihe konvergiert genau dann in wenn .[5]

  • Sei und so, dass . Weiter sei . Dann gilt und
[6]

Einzelnachweise

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  1. Masuyuki Hitsuda: Formula for Brownian partial derivatives. In: Second Japan-USSR Symp. Probab. Th.2. 1972, S. 111–114.
  2. Anatolij Wolodymyrowytsch Skorochod: On a generalization of a stochastic integral. In: Th. Probab. Appl. Band 20, 1975, S. 219–233.
  3. David Nualart: The Malliavin Calculus and Related Topics. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 2006, S. 36–37, doi:10.1007/3-540-28329-3.
  4. Dominique Michel und Etienne Pardoux: An introduction to Malliavin calculus and some of its applications, in Recent advances in stochastic calculus (College Park, MD, 1987), 65-104, Progr. Automat. Info. Systems, Springer, New York, 1990.
  5. David Nualart: The Malliavin Calculus and Related Topics. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 2006, S. 4–41, doi:10.1007/3-540-28329-3.
  6. David Nualart: The Malliavin Calculus and Related Topics. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 2006, S. 39, doi:10.1007/3-540-28329-3.