Alpha-stabile Verteilungen

Dichtefunktionen einiger symmetrischer α-stabiler Verteilungen

Die Familie der α-stabilen Verteilungen ist eine Verteilungsklasse von stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen aus der Stochastik, die durch folgende definierende Eigenschaft beschrieben werden: sind $X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n},X$ unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen, und gilt für die Summe

$X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{n}\sim c_{n}X$ für alle $n\in \mathbb {N}$ und eine Folge $(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }$,

so nennt man $X$ stabil verteilt, wobei $\sim$ als „hat dieselbe Verteilung wie“ zu lesen ist. Man kann zeigen, dass die einzig mögliche Wahl $c_{n}=n^{1/\alpha },\alpha \in (0,2]$ ist. Die reelle Zahl $\alpha$ nennt man hierbei den Formparameter. Da die Theorie der stabilen Verteilungen maßgeblich durch Paul Lévy mitgestaltet wurde, nennt man jene Verteilungen deshalb auch manchmal Lévy-stabile Verteilungen.

Beispiele

Obwohl die stabilen Verteilungen für jedes $\alpha$ des obigen Intervalls wohldefiniert sind, ist nur für wenige spezielle Werte von α die Dichte explizit gegeben:

• Die Normalverteilung mit Erwartungswert 0 ist stabil mit Formparameter $\alpha =2$, denn bekanntlich gilt

$X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})\Rightarrow \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim {\mathcal {N}}(0,n\sigma ^{2})\sim n^{1/2}{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})$. Die Normalverteilung ist die einzige Verteilung mit dem Formparameter $\alpha =2$.

• Die zentrierte Cauchy-Verteilung erfüllt die Gleichung

$X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\sim {\rm {Cauchy}}(0,a)\Rightarrow \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim n\,{\rm {Cauchy}}(0,a)$

sie ist also stabil mit Formparameter $\alpha =1$.

• Die (eigentliche) Standard-Lévy-Verteilung ist stabil mit $\alpha ={\frac {1}{2}}$.

Eigenschaften

Dichtefunktionen α-stabiler Verteilungen für unterschiedliche Werte des Schiefeparameters $\beta$ und Parameterwerte $\alpha =0.5$, $c=1$ und $\mu =0$

• Die charakteristische Funktion einer α-stabilen Verteilung ist durch

$\psi _{\alpha ,\beta ,c,\mu }(t)={\begin{cases}\exp \left(i\mu t-c|t|^{\alpha }\left(1-i\beta \tan \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)\operatorname {sgn}(t)\right)\right)&{\text{für }}\alpha \in (0,1)\cup (1,2]\\\exp \left(i\mu t-c|t|\left(1+i\beta {\frac {2}{\pi }}\ln(|t|)\operatorname {sgn}(t)\right)\right)&{\text{für }}\alpha =1\end{cases}}$

gegeben Der Parameter $\alpha \in (0,2]$ heißt charakteristischer Exponent. Der Parameter $\beta \in [-1,1]$ heißt Schiefeparameter. Der Parameter $c$ ist positiv. Der Parameter $\mu \in \mathbb {R}$ ist ein Lageparameter.

• Endliche Varianz existiert nur für $\alpha =2$. Dies folgt unmittelbar aus dem zentralen Grenzwertsatz. Für $\alpha =2$ spezialisiert sich die charakteristische Funktion zu $\exp(i\mu t-ct^{2})$; dies ist charakteristische Funktion einer Normalverteilung mit dem Erwartungswert $\mu$ und der Varianz $2c$.
• Für $1<\alpha \leq 2$ hat die Verteilung den Erwartungswert $\mu$, für $\alpha \leq 1$ existiert kein Erwartungswert. Dies folgt mit dem Gesetz der großen Zahlen.
• Alle α-stabilen Verteilungen sind unendlich teilbar und selbstähnlich („selfdecomposable“).

Analoge Konzepte für diskrete Verteilungen

Für diskrete Verteilungen gibt es den Begriff der diskret-stabilen Verteilung, ein Beispiel einer solchen Verteilung ist die Poisson-Verteilung, welche bei diskret-stabilen Verteilungen einen ähnlichen Stellenwert einnimmt, wie die Normalverteilung bei Lévy-stabilen kontinuierlichen Dichten.

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, Kap. 16.

Einzelnachweise

Diskrete univariate Verteilungen

Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | Dirac | diskret uniform | empirisch | hypergeometrisch | kategorial | negativ hypergeometrisch | Rademacher | verallgemeinert binomial | Zipf | Zipf-Mandelbrot | Zweipunkt

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | discrete-Phase-Type | erweitert negativ binomial | Gauss-Kuzmin | gemischt Poisson | geometrisch | logarithmisch | negativ binomial | parabolisch-fraktal | Poisson | Skellam | verallgemeinert Poisson | Yule-Simon | Zeta

Kontinuierliche univariate Verteilungen

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall:
Beta | Cantor | Kumaraswamy | raised Cosine | Dreieck | Trapez | U-quadratisch | stetig uniform | Wigner-Halbkreis

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall:
Beta prime | Bose-Einstein | Burr | Chi | Chi-Quadrat | Coxian | Erlang | Exponential | Extremwert | F | Fermi-Dirac | Folded normal | Fréchet | Gamma | Gamma-Gamma | verallgemeinert invers Gauß | halblogistisch | halbnormal | Hartman-Watson | Hotellings T-Quadrat | hyper-exponentiale | hypoexponential | invers Chi-Quadrat | scale-invers Chi-Quadrat | Invers Normal | Invers Gamma | Kolmogorow-Verteilung | Lévy | log-normal | log-logistisch | Maxwell-Boltzmann | Maxwell-Speed | Nakagami | nichtzentriert Chi-Quadrat | Pareto | Phase-Type | Rayleigh | relativistisch Breit-Wigner | Rice | Rosin-Rammler | shifted Gompertz | truncated normal | Type-2-Gumbel | Weibull | Wilks’ Lambda

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall:
Cauchy | Extremwert | exponential Power | Fishers z | Fisher-Tippett (Gumbel) | generalized hyperbolic | Hyperbolic-secant | Landau | Laplace | alpha-stabil | logistisch | normal (Gauß) | normal-invers Gauß’sch | Skew-normal | Studentsche t | Type-1-Gumbel | Variance-Gamma | Voigt

Multivariate Verteilungen

Diskrete multivariate Verteilungen:
Dirichlet compound multinomial | Ewens | gemischt Multinomial | multinomial | multivariat hypergeometrisch | multivariat Poisson | negativmultinomial | Pólya/Eggenberger | polyhypergeometrisch

Kontinuierliche multivariate Verteilungen:
Dirichlet | GEM | generalized Dirichlet | multivariat normal | multivariat Student | normalskaliert invers Gamma | Normal-Gamma | Poisson-Dirichlet

Multivariate Matrixverteilungen:
Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit | Invers Wishart | Matrix Beta | Matrix Gamma | Matrix invers Beta | Matrix invers Gamma | Matrix Normal | Matrix Student-t | Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung | Normal-invers-Wishart | Normal-Wishart | Wishart