Diskussion:Alpha-stabile Verteilungen

Poisson-Verteilung

@Biggerj1: Gibt es für folgende Aussage einen Beleg?

"Für diskrete Verteilungen gibt es den Begriff der diskreten stabilen Verteilung, ein Beispiel einer solchen Verteilung ist die Poisson-Verteilung."

Nach meiner Kenntnis sind erstens alle nichtdegenerierten stabilen Verteilungen stetig und sind zweitens Poisson-Verteilungen ein Beispiel für Verteilungen, die zwar reproduktiv bei der Faltung, aber nicht stabil sind, z. B.: Paul Embrechts, Thomas Mikosch, Claudia Klüppelberg: Modelling extremal events (= Stochastic Modelling and Applied Probability. Band 33). Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1997, ISBN 3-540-60931-8, S. 71, doi:10.1007/978-3-642-33483-2. --Sigma^2 (Diskussion) 15:53, 6. Jul. 2023 (CEST)

@Sigma^2: Hallo Sigma^2, in dem eingefügten Satz geht es nicht um stabile (kontinuierliche Verteilungen) sondern diskrete stabile Verteilungen: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Discrete-stable_distribution . Hilft dir dieses Buch weiter? https://books.google.de/books?id=pqE1CgAAQBAJ&pg=PA134&dq=Discrete+stable+distribution+poisson&hl=de&newbks=1&newbks_redir=0&source=gb_mobile_search&sa=X&ved=2ahUKEwiIotW0yvr_AhVrSvEDHeIrA6kQ6AF6BAgKEAM#v=onepage&q=Discrete%20stable%20distribution%20poisson&f=false welches sagt: "...the Poisson [ distribution ] therefore has the same significance for discrete stable distributions as the Normal for continuous Levy-stable densities". Auf Seite 134, Stochastic Population Processes

Analysis, Approximations, Simulations

Von Eric Renshaw · 2015, ISBN 9780191060397

Vielleicht ist deine Frage ein hervorragender Ausgangspunkt den Artikel zu erweitern? Deine Gedanken sind sicher wertvoll! Übersehe ich hier denn etwas? biggerj1 (Diskussion) 20:37, 6. Jul. 2023 (CEST)

@Biggerj1: Hallo, ein Bindestrich macht es klarer. Eine diskrete stabile Verteilung würde typischerweise als eine (im üblichen Sinn) stabile Verteilung verstanden werden, die diskret ist. Dies sind aber nur die Einpunktverteilungen. Tatsächlich ist diskret-stabil eine abweichende Definition im Vergleich zur üblichen Definition der Stabilität einer Verteilung und diskret-stabile Verteilungen sind nicht stabil im üblichen Sinn, teilen aber viele Eigenschaften der stabilen Verteilungen. Ich habe den Bindestrich im Artikel eingesetzt. --Sigma^2 (Diskussion) 10:49, 8. Jul. 2023 (CEST)

Einleitung

In der Einleitung wird - ohne Beleg - eine verkürzte Charakterisierung stabiler Verteilungen gegeben, die nur zu einer Teilmenge stabiler Verteilungen führt.

Die Zufallsvariablen $X_{j}\sim \mathrm {N} (1,1)$ für $j=1,2$ seien stochastisch unabhängig, dann gilt $X_{1}+X_{2}\sim \mathrm {N} (2,2)$. Andererseits gilt für $X\sim \mathrm {N} (1,1)$ und $c\neq 0$, dass $cX\sim \mathrm {N} (c,c^{2})$. Die Bedingung

$X_{1}+X_{2}\sim cX$

kann also nicht erfüllt werden.

Vermutlich geht dies auf die Darstellung in Klenke zurück, der erst die Teilklasse symmetrischer stabiler Verteilungen mit der charakteristischen Funktion $\exp(-|t|^{\alpha })$ betrachtet, dann eine Teilklasse stabiler Verteilungen einführt, die in der Literatur meist als stabil im engeren Sinn oder strikt stabil (strictly stable) bezeichnet werden, die Klenke aber stabile Verteilungen nennt, und dann stabile Verteilungen im üblichen Sinn einführt, die er aber stabile Verteilungen im weiteren Sinn nennt.

Die Aussage „Man kann zeigen, dass die einzig mögliche Wahl $c_{n}=n^{1/\alpha },\alpha \in (0,2]$ ist.“ sollte belegt werden. --Sigma^2 (Diskussion) 12:52, 8. Jul. 2023 (CEST)