Benutzer:Debenben/dezimalkomma/g-i

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  • b:it:Chimica generale/Teoria atomica 47 6,626 \cdot 10^{-34} J s
  • b:it:Chimica generale/Teoria atomica 57 r_0 = 0,053 nm
  • b:it:Utente:BlackEagle~itwikibooks/sandbox 2775 \documentclass[a4paper,10pt]{book}\usepackage[latin1]{inputenc}\usepackage[italian]{babel}\usepackage[T1]{fontenc}\usepackage{graphicx}\usepackage{amsfonts}\usepackage{pifont}\title{{\bfseries Formulario di Matematica}\\ v.6.0b}\author{Daniele Angella\thanks{daniele.angella@gmail.com}\\Leonardo Ferro\thanks{leonardoferro@gmail.com}}%\date{08/01/2005}\newtheorem{definizione}{Definizione}\newtheorem{teorema}{Teorema}\newtheorem{lemma}{Lemma}\newtheorem{metodo}{Metodo}\newtheorem{metodo2}{Metodo}\newtheorem{criterio}{Criterio}\newtheorem{notazione}{Notazione}\newtheorem{proposizione}{Proposizione}\newtheorem{osservazione}{Osservazione}\newcommand{\symb}{\Pisymbol{psy}}\begin{document}\maketitle{}\section{Prefazione}\begin{quote}\textbf{Estragone.} Troviamo sempre qualcosa, vero, Didi, perdarci l'impressione di esistere?\\\textbf{Vladimiro} (\emph{spazientito})\textbf{.} Ma sì, ma sì,siamo dei maghi. Non ci lasciamo mai distogliere dalle nostrerisoluzioni. [$\ldots$]\\\vspace{5pt}\begin{flushright}S. Beckett, \emph{Aspettando Godot}\end{flushright}\end{quote}\vspace{8cm} Copyright \copyright 2005 Daniele Angella, Leonardo Ferro. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2 or any later version published by the Free Software Foundation; with the front-Cover Text being: Formulario di Matematica - Daniele Angella, Leonardo Ferro and and anything before this section, following the title itself. You can find a copy of the license on \begin{center}{\ttfamily http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html}.\end{center}\vspace{2cm} Questo documento è stato scritto con \LaTeX{} ed èdisponibile sui siti\begin{center} {\ttfamily http://daniangella.interfree.it}; \end{center}\begin{center} {\ttfamily http://www.matematicamente.it}; \end{center}\begin{center} {\ttfamily http://edu.os3.it}. \end{center}Suggerimenti, commenti e correzioni sono ben accette.\part{Formulario}\chapter{Logica e Insiemistica}\section{Logica}\subsection{Definizioni}\begin{definizione}[Proposizione, Enunciato] Si dice\emph{proposizione} (o \emph{enunciato}) un'espressione dellinguaggio naturale per cui sia possibile attribuire un valore diverità (vero=T=1=$\top$; falso=F=0=$\bot$). Una proposizone sidice \emph{complessa} se é composta da proposizioni\emph{semplici} collegate tra loro da \emph{connettivi logici}.\end{definizione}\begin{definizione}[Predicato]Si dice \emph{predicato} una frase contenente variabili chediventi una proposizione qualora si specifichi il valore dellevariabili stesse.\end{definizione}\subsection{Connettivi Logici}\begin{itemize}\item {\bfseries non} $\neg$ (oppure: $\neg p\equiv\bar{p}$);unario; complementare; $\neg p$ ha valore vero sse $p$ ha valore falso;\\\item {\bfseries e} $\wedge$; binario; intersezione; $p\wedge q$ha valore vero sse $p$ e $q$ hanno entrambi valore vero;\\\item {\bfseries o} $\vee$; binario; unione; $p\vee q$ havalore vero se almeno uno tra $p$ e $q$ ha valore vero;\\\item {\bfseries se ... allora, implica, condizione sufficienteaffinchè q..., condizione necessaria affinchè p...}$\Longrightarrow$; binario; $p\Longrightarrow q$ havalore vero se $p$ ha valore falso o se sia $p$ che $q$ hanno valore vero;\\\item {\bfseries se e solo se (sse, iff), coimplica, condizionenecessaria e sufficiente (cnes)} $\Longleftrightarrow$; binario;$p\Longleftrightarrow q$ ha valore vero se $p$ ha lo stesso valore di verità di $q$.\\\subsection{Tabelle di Verità}%\ding{42} Tabella \ref{tab:Verita} a pag.\pageref{tab:Verita}\begin{table}[htbp]\begin{center}\begin{tabular}{cc|ccccc}$p$ & $q$ & $\neg p$ & $p\wedge q$ & $p\vee q$ & $p\Longrightarrowq$ & $p\Longleftrightarrow q$\\\hline\\$1$ & $1$ & $0$ & $1$ & $1$ & $1$ & $1$ \\$1$ & $0$ & $0$ & $0$ & $1$ & $0$ & $0$ \\$0$ & $1$ & $1$ & $0$ & $1$ & $1$ & $0$ \\$0$ & $0$ & $1$ & $0$ & $0$ & $1$ & $1$\end{tabular}\end{center}\caption{Tavole di Verità} \label{tab:Verita}\end{table}\subsection{Leggi logiche notevoli}\ding{42} Tabella \ref{tab:LeggiLogiche} apag.\pageref{tab:LeggiLogiche}\begin{table}[htbp]\begin{center}\begin{tabular}{lr}$A\Rightarrow A$ & legge dell'identità\\$A\Leftrightarrow \neg\neg A$ & legge della doppia negazione\\$A\wedge B\Leftrightarrow B\wedge A$ & commutatività di $\wedge$\\$(A\wedge B) \wedge C\Leftrightarrow A\wedge (B \wedge C)$ & associatività di $\wedge$\\$A\vee B\Leftrightarrow B\vee A$ & commutatività di $\vee$\\$(A\vee B) \vee C\Leftrightarrow A\vee (B \vee C)$ & associatività di $\vee$\\$A\wedge A\Leftrightarrow A$ & idempotenza di $\wedge$\\$A\vee A\Leftrightarrow A$ & idempotenza di $\vee$\\$A\wedge B\Leftrightarrow A$ & eliminazione di $\wedge$\\$A\Leftrightarrow A\vee B$ & introduzione di $\vee$\\$A \wedge(B\vee C)\Leftrightarrow (A\wedge B)\vee (A\wedge C)$ & distributività\\$A \vee(B\wedge C)\Leftrightarrow (A\vee B)\wedge (A\vee C)$ & distributività\\$A\wedge(A\vee B)\Leftrightarrow A$ & legge di assorbimento\\$A\vee(A\wedge B)\Leftrightarrow A$ & legge di assorbimento\\$\neg(A\wedge B)\Leftrightarrow\neg A\vee\neg B$ & legge di de Morgan\\$\neg(A\vee B)\Leftrightarrow\neg A\wedge\neg B$ & legge di de Morgan\\$\neg A \vee A \Leftrightarrow \top$ & legge del terzo escluso\\$\neg (A \wedge \neg A)\Leftrightarrow \top$ & legge di non contraddizione\\$(A\Rightarrow B)\Leftrightarrow (B \vee \neg A)$ & definizione di implicazione\\$(A\Rightarrow B)\Leftrightarrow (\neg B \Rightarrow \neg A)$ & legge di contrapposizione (contronominale)\\$A\wedge \neg A\Rightarrow \bot$ & Lewis (ex falso quodlibet)\\$A \Rightarrow (B\Rightarrow A)$ & affermazione del conseguente\\$\neg A \Rightarrow (A\Rightarrow B)$ & negazione dell'antecedente\\$((A\Rightarrow B)\wedge \neg B)\Rightarrow\neg A$ & legge di riduzione all'assurdo\\$(A\Rightarrow\neg A)\Rightarrow\neg A$ & riduzione all'assurdo debole\\$(\neg A\Rightarrow A)\Rightarrow A$ & consequentia mirabilis\\$((A\Rightarrow B)\Rightarrow A)\Rightarrow A$ & legge di Peirce\\$((A\Rightarrow B)\vee (B\Rightarrow A))\Rightarrow \top$ & legge di Dummett\\$A\Rightarrow((A\Rightarrow B)\Rightarrow B)$ & modus ponens\\$(A\Rightarrow(B\Rightarrow C))\Leftrightarrow(B\Rightarrow(A\Rightarrow C))$ & scambio antecedenti\\$((A\Rightarrow C)\wedge(B\Rightarrow C))\Leftrightarrow (A\vee B\Rightarrow C)$ & distinzione di casi\\$((A\Rightarrow B)\wedge(\neg A\Rightarrow B))\Rightarrow B$ & distinzione di casi\\$(A\Rightarrow(B\Rightarrow C))\Rightarrow((A\Rightarrow B)\Rightarrow(A\Rightarrow C))$ & distributività di $\Rightarrow$\\$((A\Rightarrow B)\wedge (B\Rightarrow C))\Rightarrow (A\Rightarrow C)$ & transitività di $\Rightarrow$\\$(A\Rightarrow (B\Rightarrow C))\Leftrightarrow ((A\wedgeB)\Rightarrow C)$ & importazione/esportazione delle premesse\end{tabular}\end{center}\caption{Leggi Logiche Notevoli} \label{tab:LeggiLogiche}\end{table}\section{Insiemistica}\begin{definizione}[Insieme] $A=\{x_1, x_2, \ldots,x_n\}=\{x|\mathcal{P}(x)\}$.\end{definizione}\begin{definizione}[Intersezione]$A\cap B=\{x|x\in A \wedge x\in B\}$\end{definizione}\begin{definizione}[Unione]$A\cup B=\{x|x\in A \vee x\in B\}$\end{definizione}\begin{definizione}[Differenza]$A\setminus B=\{x|x\in A \wedge \neg (x\in B)\}$\end{definizione}\begin{definizione}[Differenza simmetrica]$A\Delta B=A\setminus B \cup B\setminus A$\end{definizione}\begin{definizione}[Complementare]Detto $\mathcal{U}$ l'insieme universo,$A^c=cA=\bar{A}=\{x|x\in U\setminus A\}=\{x|\neg (x\in A)\}$\end{definizione}\begin{definizione}[Insieme (potenza) delle parti]$\mathcal{P}(A)=2^A=\{E|E\subseteq A\}\\|\mathcal{P}(A)|=2^{|A|}$\end{definizione}\begin{definizione}[Coppie ordinate]$(x,y)=\langle x,y\rangle =\{\{x\},\{x,y\}\}$\end{definizione}\begin{definizione}[Prodotto cartesiano]$A\times B=\{(x,y)|x\in A \wedge y\in B\}$\\$A_1\times A_2\times\cdots\times A_n=\{(x_1,x_2,\cdots,x_n)|x_i\inA_i \forall i=\{1,2,\cdots, n\}\}$\\\end{definizione}\begin{proposizione}[Leggi di de Morgan]$(E\cup F)^c=E^c\cap F^c\\(E\cap F)^c=E^c\cup F^c$\end{proposizione}\chapter{Algebra Elementare}\section{Definizione di |R}La struttura $[\mathbb{R},+,\cdot]$ è un anello. Si definisce unarelazione d'ordine totale $\leq$. I primi 4 assiomi definiscono$[\mathbb{R},+]$ come gruppo, $[\mathbb{R}\setminus\{0\},\cdot]$come gruppo, inoltre vale l'assioma di continuità in una delle sue4 forme.\\$\mathbb{R}$ è quindi definito assiomaticamente da:\begin{description}\item [S1] la somma è associativa;\\\item [S2] la somma è commutativa;\\\item [S3] esiste l'elemento neutro della somma (zero, $0$);\\\item [S4] ogni elemento ($x$) di $\mathbb{R}$ ha inverso (opposto, $-x$);\\\item [P1] il prodotto è associativo;\\\item [P2] il prodotto è commutativo;\\\item [P3] esiste l'elemento neutro del prodotto (\emph{uno}, $1$);\\\item [P4] ogni elemento ($x$) di $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ ha elemento inverso (reciproco,$\frac{1}{x}=1/x=x^{-1}$);\\\item [SP] il prodotto è distributivo rispetto alla somma;\\\item [OS] $x\leq y\Rightarrow x+z\leq y+z \forall z\in\mathbb{R}$;\\\item [OP] $x\leq y\Rightarrow x\dot z\leq y\dot z \forall z\in\mathbb{R}, z\geq 0$;\\\item [Dedekind] siano $A$ e $B$ due insiemi separati, cioè taliche $\forall a\in A, \forall b\in B, a\leq b$; allora $\existsc\in\mathbb{R}:a\leq b\leq c$.\\\end{description}\begin{definizione}[Retta reale estesa]Si definisce l'insieme$\bar{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$ detto\emph{estensione dell'insieme dei reali}.\end{definizione}\section{Scomposizioni Notevoli}\subsection{Potenza di un polinomio}$$(a\pm b)^n=\sum_{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right) a^{n-k}b^k$$\begin{tabbing}Casi particolari: \=$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$;\\\>$(a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3$;\\\>$(a\pm b\pm c)^2=a^2\pm 2ab+b^2\pm 2bc+c^2\pm 2ca$.\end{tabbing}\subsection{Fattorizzazione}$$\mathcal{P}(x)=a_n\cdot\prod_{i=0}^n(x-x_i)=\sum_{i=0}^n a_i\cdot x^i$$\\$\mathcal{P}(x)=a(x-x_1)\cdot (x-x_2)\cdot\,\cdots\,\cdot(x-x_n)$\\$\forall n\in \mathbb{N}: x^n-y^n=(x-y)\cdot(x^{n-1}+x^{n.2}y+\cdots+xy^{n-2}+y^{n-1})$\\$\forall n=2k+1, k\in \mathbb{Z}: x^n+y^n=(x+y)\cdot(x^{n-1}-x^{n-2}y+\cdots-xy^{n-2}+y^{n-1})$\\\begin{tabbing}Casi particolari: \=$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$;\\\>$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$.\end{tabbing}\subsection{Risoluzione di equazioni di secondo grado in una incognita}\begin{tabbing}$\mathcal{P}(x)=ax^2+bx+c $: \= $\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$;\\\> $\qquad x_{1,2}=\frac{-\beta\pm\sqrt{\beta^2-ac}}{a}\mbox{ con }\beta :=\frac{b}{2}$\end{tabbing}\section{Radicali doppi}$\sqrt{\mathcal{A}\pm \sqrt{\mathcal{B}}}=\sqrt{\frac{\mathcal{A}+\sqrt{\mathcal{A}^2-\mathcal{B}}}{2}}\pm \sqrt{\frac{\mathcal{A}-\sqrt{\mathcal{A}^2-\mathcal{B}}}{2}}$\section{Disequazioni irrazionali}\begin{itemize}\item$\sqrt{f(x)}\geq g(x)$$$\left\{ \begin{array}{l}g(x)\geq 0\\f(x)\geq g^2(x)\end{array}\right.\cup\left\{ \begin{array}{l}g(x)<0\\f(x)\geq 0\end{array}\right.$$\\\item$\sqrt{f(x)}<g(x)$$$\left\{ \begin{array}{l}f(x)\geq 0\\g(x)> 0\\f(x)<g^2(x)\end{array}\right.$$\end{itemize}\section{Potenze}\subsection{Definizione}\begin{definizione}[Logaritmo]$\forall y\geq 0, \foralln\in\mathbb{N}$, si definisce la radice $n$-esima di $y$ come:\\$^n\sqrt{y}=y^{1/n}=sup\{x\in\mathbb{R}:x^n<y\}=inf\{x\in\mathbb{R}:x^n>y\}$\end{definizione}\subsection{Proprietà}$a^0=1\\a^1=a\\a^{m+n}=a^m\cdot a^n\\a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}\\(a^m)^n=a^{m\cdot n}\\a^m=e^{m\cdot\log a}\\a^{\frac{1}{n}}=^n\sqrt{a}\\a^{-m}=\frac{1}{a^m}$\section{Logaritmi}\subsection{Definizione}\begin{definizione}[Logaritmo]$\displaystyle a=\log_b c \Leftrightarrow b^a=c$\end{definizione}\subsection{Proprietà}$\log_a 1=0 \\\log_a a=1 \\\log_a (m\cdot n)=\log_a m+\log_a n \\\log_a \frac{m}{n}=\log_a m-\log_a n \\\log_a m^\alpha=\alpha\cdot \log_a m\mbox{ con }\alpha\in\mathbb{R} \\\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a} \\\log_a b=\frac{1}{\log_b a}$\section{Modulo o Valore Assoluto}\subsection{Definizione}\begin{definizione}[Modulo, Valore Assoluto]Si definisce \emph{modulo} p \emph{valore assoluto} la funzione:\\$f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^+_0=[0,+\infty]$\\$f(x)=|x|=\textsf{mod}(x)=\textsf{max}\{x,-x\}=\sqrt{x^2}$.\end{definizione}\subsection{Proprietà degli Spazi Metrici}\begin{description}\item [M1] $\forall a\in\mathbb{R}, |a|\geq 0$\\\item [M2] $|a|=0 \Leftrightarrow a=0$\\\item [M3, omogeneità] $\forall \lambda\in\mathbb{R},\forall a\in\mathbb{R}, |\lambda\cdot a|=| \lambda|\cdot |a| $\\\item [M4, disuguaglianza triangolare] $\forall a,b\in\mathbb{R}, |a+b|\leq |a|+|b|$\\\end{description}La \texttt{M4} in generale assume la forma:\\$$| \sum^{n}_{i=1}a_i|\leq \sum^{n}_{i=1} |a_i| $$Può essere scritta anche: $||a|-|b||\leq|a-b|$.\section{Altre funzioni}\subsection{Fattoriale, Semifattoriale}\begin{definizione}[Fattoriale]$$\forall n\in\mathbb{N},n!=fatt(n)=\prod_{i=1}^{n}i=$$\\$$=1\cdot 2\cdot\cdots\cdot (n-1)\cdot n$$\\\'{E} definito ricorsivamente da:\\$$\left\{ \begin{array}{l} 0!=1\\n!=n\cdot(n-1)!\end{array}\right.$$\end{definizione}\begin{definizione}[Semifattoriale]$\forall k\in\mathbb{N},(2k+1)!!=\prod_{i=0}^{k}(2i+1)$;\\$$(2k)!!=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \mbox{se }k=0\\\prod_{i=1}^{k} & \mbox{se }k>0\end{array}\right.$$\\Si definisce inoltre $(-1)!!=1$.\end{definizione}\subsection{Segno}\begin{definizione}[Segno] $\forall x\in\mathbb{R}\setminus\{0\},\textsf{signum}(x)=\textsf{sign}(x)=\textsf{sgn}(x)=\frac{x}{|x|}=\frac{|x|}{x}=$$$\left\{\begin{array}{ll} 1 & \mbox{se }x>0\\-1 & \mbox{ se } x<0\end{array}\right.$$\end{definizione}\subsection{Parte intera, parte decimale}\begin{definizione}[Parte Intera]$[x]\stackrel{def}{=}max\{k\in\mathbb{Z}:k\leq x\}$\end{definizione}\begin{definizione}[Parte Decimale]$\{x\}\stackrel{def}{=}x-[x]$\end{definizione}\subsection{Parte positiva, Parte negativa}\begin{definizione}[Parte positiva, $f^+$]$f^+=\textsf{max}\{f,0\}$\end{definizione}\begin{definizione}[Parte negativa, $f^-$]$f^-=\textsf{min}\{f,0\}$\end{definizione}\begin{osservazione}$|f|=f^+-f^-$\\$f=f^++f^-$\\$\textsf{max}\{f,g\}=(f-g)^++g$\\$\textsf{min}\{f,g\}=(f-g)^-+g$\end{osservazione}\begin{osservazione}$\forall a,b\in\mathbb{R}:a<b,\\b^+-a^+\leq b-a;\\b^--a^-\leq b-a$\end{osservazione}\subsection{Funzione di Dirichlet}\begin{definizione}[Funzione di Dirichlet]$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \mbox{ se } x\in\mathbb{Q}\\0 & \mbox{ se } x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\end{array}\right.$$\end{definizione}\subsection{Funzioni iperboliche}\begin{definizione}[Seno iperbolico]$\sinh:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$\\$\sinh x=\textsf{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$\end{definizione}\begin{definizione}[Coseno iperbolico]$\cosh:\mathbb{R}\rightarrow[1,+\infty)$\\$\cosh x=\textsf{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$\end{definizione}\begin{osservazione}$\sinh^2 x-\cosh^2 x=1$.\end{osservazione}\begin{definizione}[Tangente iperbolica]$\tanh:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$\\$\tanh x=\textsf{th}x=\frac{\sinh x}{\cosh x}$\end{definizione}\begin{definizione}[Cotangente iperbolica]$\coth:\mathbb{R}\setminus\{0\}\rightarrow\mathbb{R}$\\$\coth x=\textsf{cth}x=\frac{\cosh x}{\sinh x}$\end{definizione}\begin{definizione}[Arcoseno iperbolico, Settore Seno iperbolico]$\textsf{ash}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$\\$\textsf{sett sinh} y=\textsf{ash}y=\log(y+\sqrt{y^2+1})$\end{definizione}\begin{definizione}[Arcocoseno iperbolico, Settore Coseno iperbolico]$\textsf{ach}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$\\$\textsf{sett cosh} y=\textsf{ach}y=\log(y+\sqrt{y^2-1})$\end{definizione}\begin{definizione}[Arcotangente iperbolica, Settore Tangente iperbolica]$\textsf{ath}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$\\$\textsf{sett tanh}x=\textsf{ath}y=\frac{1}{2}\cdot\log\frac{1+x}{1-x}$\end{definizione}\subsection{Funzione Esponenziale, $e^x=\textsf{exp}(x)$}\begin{teorema}[Esistenza ed Unicità della funzione esponenziale]$\exists !$ la funzione $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ cheverifichi le proprietà:\\\begin{enumerate}\item $\forall x_1, x_2 \in\mathbb{R}, f(x_1+x_2)=f(x_1)\cdot f(x_2)$;\\\item $f(1)=e$ (dove $e$ è il \emph{numero di Nepero});\end{enumerate}ed è la \emph{funzione esponenziale} definita $\forallx\in\mathbb{R}$ da $f(x)=e^x=\textsf{exp}(x)$.\end{teorema}\begin{definizione}Si definisce $f(x)=a^x=e^{x\log a}$.\end{definizione}\section{Serie}\subsection{Serie Aritmetiche}$$a_n=a_1+(n-1)d$$\\$\displaystyle S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}$\subsection{Serie Geometriche}$$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$$\\$\displaystyle S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}\mbox{ con q}\neq 1$\\Se $q=1$ si ha $\displaystyle S_n=\sum_{i=1}^{n}a_i=n\cdot a_1$\\$\displaystyle S_{k,n}=\sum_{i=k}^{n}a_i=q^k\cdot\frac{1-q^{n-k+1}}{1-q}\mbox{ con q}\neq 1$\subsection{Disuguaglianze Notevoli}\begin{itemize}\item $\forall x\in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}], |\sin x|\leq |x|$\\\item $\forall n\in\mathbb{N}, \forall a\geq -1, (1+a)^n\geq 1+a\cdot n $ ({\bfseries disuguaglianza di Bernoulli})\\\item $\forall x\in \mathbb{R}, e^x\geq x+1$\\\item $\forall x>-1, \log(x+1)\leq x$\\\item $\forall a,b>0, p,q>1:\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1, a\cdot b\leq\frac{1}{p}\cdot a^p+\frac{1}{q}\cdot b^q $ ({\bfseries disuguaglianza di Young})\\\end{itemize}\subsection{Sommatorie Classiche}$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$\\$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$\\$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i^3=(\frac{n(n+1)}{2})^2$\\$\displaystyle \sum_{i=0}^{n}\left ( \begin{array}{c}n\\i\end{array}\right )=(1+1)^n=2^n$\\$\displaystyle \sum_{i=0}^{n} (-1)^i\left ( \begin{array}{c}n\\i\end{array}\right )=0$\chapter{Geometria}\section{Goniometria}\subsection{Relazione Fondamentale}$\sin ^2 x+\cos ^2 x=1$\subsection{Tangente e Cotangente: Definizioni}\begin{definizione}[Tangente]$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\forall x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi$\\\end{definizione}\begin{definizione}[Cotangente 1]$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\forall x\neq k\pi$\\\end{definizione}\begin{definizione}[Cotangente 2]$\cot x=\frac{1}{\tan x}\forall x\neq k \frac{\pi}{2}$\end{definizione}\subsection{Secante e Cosecante: Definizioni}\begin{definizione}[Secante]$\sec\alpha=\frac{1}{\cos\alpha}\\\sec : \mathbb{R}\setminus\{\frac{pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\}\rightarrow\mathbb{R} $\end{definizione}\begin{definizione}[Cosecante]$\csc\alpha=\frac{1}{\sin\alpha}\\\csc : \mathbb{R}\setminus\{k\pi,k\in\mathbb{Z}\}\rightarrow\mathbb{R} $\end{definizione}\subsection{Formule di Addizione}$\sin ( \alpha \pm \beta)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$\\$\cos ( \alpha \pm \beta)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$\\$\tan ( \alpha \pm \beta)=\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}$\\$\cot ( \alpha \pm \beta)=\frac {\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \alpha \pm \cot \beta}$\subsection{Formule di Duplicazione e di Triplicazione}$\sin (2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$\\$\cos (2\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1$\\$\tan (2\alpha)=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$\\$\sin (3\alpha)=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha$\\$\cos (3\alpha)=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha$\\$\tan (3\alpha)=\frac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha}$\\\subsection{Formule di Bisezione}$\sin (\frac{\alpha}{2})=\pm \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$\\$\cos (\frac{\alpha}{2})=\pm \sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$\\$\tan (\frac{\alpha}{2})=\pm \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$\subsection{Formule Parametriche}$t\stackrel{def}{=}\tan\frac{\alpha}{2}\longrightarrow\left\{\begin{array}{ll}\sin\alpha=\frac{2t}{1+t^2}\\\cos\alpha=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\\tan\alpha=\frac{2t}{1-t^2}\end{array}\right.$\subsection{Formule di Prostaferesi}$\sin p+\sin q=2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$\\$\sin p-\sin q=2\cos\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2}$\\$\cos p+\cos q=2\cos\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$\\$\cos p-\cos q=-2\sin\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2}$\subsection{Formule di Werner}$\cos p \cdot\sin q=\frac{1}{2}[\sin (p+q)-\sin (q-p)]$\\$\sin p \cdot\sin q=\frac{1}{2}[\sin (p-q)-\cos (p+q)]$\\$\cos p \cdot\cos q=\frac{1}{2}[\cos (p+q)+\cos (p-q)]$%\subsection{Altre Formule}%$\sin\alpha=\pm\frac{\tan\alpha}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}$\\%$\cos\alpha=\pm\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}$\\%$\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{\cot^2\alpha+1}}$\\%$\cos\alpha=\frac{\cot\alpha}{\sqrt{\cot^2\alpha+1}}$\\%$\sin^2\alpha=\frac{1-\cos 2\alpha}{2}$\\%$\cos^2\alpha=\frac{1+\cos 2\alpha}{2}$\subsection{Formule di Conversione}\ding{42} Tabella \ref{tab:Conversione} apag.\pageref{tab:Conversione}\begin{table}[htbp]\begin{center}\begin{tabular}{c|ccc}$\swarrow$ & Sin & Cos & Tan\\\hline\\%---- :$\sin\alpha$ & $\sin\alpha$ & $\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}$ &$\pm\frac{\tan\alpha}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}$\\%---- :$\cos\alpha$ & $\pm\sqrt{1-sin^2\alpha}$ & $\cos\alpha$ &$\pm\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}$\\%---- :$\tan\alpha$ & $\pm\frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-\sin^2\alpha}}$ &$\pm\frac{\sqrt{1-\cos^2\alpha}}{\cos\alpha}$ &$\tan\alpha$\\%---- :$\cot\alpha$ & $\pm\frac{\sqrt{1-\sin^2\alpha}}{\sin\alpha}$ &$\pm\frac{\cos\alpha}{\sqrt{1-\cos^2\alpha}}$ &$\frac{1}{\tan\alpha}$\\%---- :$\sec\alpha$ & $\pm\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2\alpha}}$ &$\frac{1}{\cos\alpha}$ &$\pm\sqrt{1+\tan^2\alpha}$\\%---- :$\csc\alpha$ & $\frac{1}{\sin\alpha}$ &$\pm\frac{1}{\sqrt{1-\cos^2\alpha}}$ &$\pm\frac{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}{\tan\alpha}$\\\end{tabular}\end{center}\caption{Formule di Conversione} \label{tab:Conversione}\end{table}\subsection{Archi Noti}\ding{42} Tabella \ref{tab:ArchiNoti} a pag.\pageref{tab:ArchiNoti}\begin{table}[htbp]\begin{center}\begin{tabular}{cc|cccc}Rad & Deg & Sin & Cos & Tan & Cot\\\hline0 & 0° & 0 & 1 & 0 & n.e.\\$\frac{\pi}{12}$ & $15°$ & $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ & $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ & $2-\sqrt{3}$ & $2+\sqrt{3}$\\$\frac{\pi}{8}$ & $22°30'$ & $\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$ & $\sqrt{2}-1$ & $\sqrt{2}+1$\\$\frac{\pi}{6}$ & $30°$ & $\frac{1}{2}$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\frac{\sqrt{3}}{3}$ & $\sqrt{3}$\\$\frac{\pi}{4}$ & $45°$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $1$ & $1$\\$\frac{\pi}{3}$ & $60°$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\frac{1}{2}$ & $\sqrt{3}$ & $\frac{\sqrt{3}}{3}$\\$\frac{3}{8}\pi$ & $67°30'$ & $\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$ & $\sqrt{2}+1$ & $\sqrt{2}-1$\\$\frac{5}{12}\pi$ & $75°$ & $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ & $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ & $2+\sqrt{3}$ & $2-\sqrt{3}$\\$\frac{\pi}{2}$ & $90°$ & $1$ & $0$ & n.e. & $0$\end{tabular}\end{center}\caption{Archi noti}\label{tab:ArchiNoti}\end{table}\subsection{Archi Associati}\ding{42} Tabella \ref{tab:ArchiAssociati} apag.\pageref{tab:ArchiAssociati}\begin{table}[htbp]\begin{center}\begin{tabular}{c|cccc}Rad & Sin & Cos & Tan & Cot\\\hlinex & $\sin x $ & $\cos x$ & $\tan x$ & $\cot x$\\$\pi -x $ & $\sin x $ & $- \cos x$ & $-\tan x$ & $-\cot x$ \\$\pi +x $ & $-\sin x $ & $- \cos x$ & $\tan x$ & $\cot x$ \\$ -x $ & $-\sin x $ & $\cos x$ & $-\tan x$ & $-\cot x$ \\$2\pi -x $ & $-\sin x $ & $\cos x$ & $-\tan x$ & $-\cot x$ \\$\frac{\pi}{2} -x $ & $\cos x $ & $\sin x$ & $\cot x$ & $\tan x$ \\$\frac{\pi}{2} +x $ & $\cos x $ & $-\sin x$ & $-\cot x$ & $-\tan x$ \\$\frac{3}{2} \pi -x $ & $-\cos x $ & $-\sin x$ & $\cot x$ & $\tan x$ \\$\frac{3}{2} \pi +x $ & $-\cos x $ & $\sin x$ & $-\cot x$ & $-\tan x$\end{tabular}\end{center}\caption{Archi associati}\label{tab:ArchiAssociati}\end{table}\section{Trigonometria}\subsection{Triangolo Qualsiasi}Area: $S= \frac{1}{2} a b \sin \gamma = \frac{1}{2} b c \sin \alpha = \frac{1}{2} a c \sin \beta$\\$S= \frac{1}{2} a^2 \frac{\sin\beta\sin\gamma}{\sin(\beta+ \gamma)} =\frac{1}{2} b^2 \frac{\sin\alpha\sin\gamma}{\sin(\alpha +\gamma)} =\frac{1}{2} c^2 \frac{\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha +\beta)}$\\\begin{teorema}[Formula di Erone] $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$\end{teorema}\begin{teorema}[Formula di Brahmagupta o di Erone]Dato un quadrilatero ciclico (cioè inscrivibile in unacirconferenza) di lati $a,b,c,d$ e semiperimetro$p=\frac{a+b+c+d}{2}$, l'area vale $S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$; per $d=0$, in particolare, si ottiene la formula di Erone peril triangolo.\end{teorema}\begin{teorema}[delle Corde]: $\bar{AB} =2r \sin \alpha$\end{teorema}\begin{teorema}[dei Seni]: $\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{a}{\sin\alpha}=2R=\frac{abc}{4S}$\end{teorema}\begin{tabbing} Proiezioni: \= $a=b \cos \gamma+c \cos \beta$;\\\>$b=a \cos \gamma+c \cos \alpha$;\\\>$c=a \cos \beta+b \cos \alpha$.\\\end{tabbing}\begin{teorema}[di Carnot o del Coseno]:\\$ a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha $; \\$ b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta $; \\$ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma $.\end{teorema}\subsection{Triangolo Rettangolo}Se a,b e c sono le misure rispettivamente dell'ipotenusa e dei cateti di un triangolo rettangolo e $\alpha$ , $\beta$ e $\gamma$ sono le misure degli angoli opposti, sussistono le seguenti relazioni:\\$b=a\sin\beta=a\cos\gamma$\\$c=a\sin\gamma=a\cos\beta$\\$b=c\tan\beta=c\cot\gamma$\\$c=b\tan\gamma=b\cot\beta$\section{Geometria Analitica}\subsection{Punto e Retta}\begin{tabbing}$r$: \=$y=mx+n$ (forma implicita)\\ \>$y=ax+by+c$ (forma esplicita);\qquad $m=-\frac{b}{a}$, $n=-\frac{c}{a}$\\\end{tabbing}\begin{tabbing}\=$P_1(x_1, y_1)$\=$P_2(x_2, y_2)$\=$P_3(x_3, y_3)$\\\end{tabbing}$r_{P_1}$: $(y-y_1)=m(x-x_1)$\\$s \parallel r_{P_1}$:$y_1=m_{const} x_1+n$\\$r_{P_1P_2}:\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$\\$m_r=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$\\$r\parallel s\leftrightarrow m_r=m_s$\\$r\perp s\leftrightarrow m_r=-\frac{1}{m_s}$\\$\bar{P_1P_2}=dist(P_1,P_2)=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$\\$dist(P_1,r)=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$\\Punto medio di $P_1P_2= (\frac{x_1+x_2}{2}; \frac{y_1+y_2}{2})$\\Baricentro del triangolo $P_1P_2P_3= (\frac{x_1+x_2+x_3}{3}; \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$\subsection{Coniche 1: Circonferenza}$$\gamma:x^2+y^2+ax+by+c=0$$\\$C(x_0,y_0)\qquad r^2=x_0^2+y_0^2-c\geq 0$\\$P(x',y')\in\gamma\leftrightarrow\overline(PC)=r$\\$\gamma: (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$\\$\left\{\begin{array}{l}a=-2x_0\\b=-2y_0\\c=x_0^2+y_0^2-r^2\end{array}\right.$$\longrightarrow$$\left\{\begin{array}{l}x_0=-\frac{a}{2}\\y_0=-\frac{b}{2}\\r=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-c}\end{array}\right.$\subsection{Coniche 2.1: Parabola con asse parallelo all'asse y}$$\mathcal{P} :y=ax^2+bx+c $$\\$F(x_0,y_0);\qquad d:y=k$\\$P(x',y')\in \mathcal{P}\leftrightarrow dist(P,F)=dist(P,d)$\\$\left\langle\begin{array}{lcccc}y_0>k & \rightarrow & a>0 & \rightarrow & \smile\\y_0<k & \rightarrow & a<0 & \rightarrow & \frown\\\end{array}\right.$\\$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2y_0-2k}\\b=\frac{x_0}{k-y_0}\\c=\frac{x_0^2+y_0^2-k^2}{2y_0-2k}\end{array}\right.$$\longrightarrow$$\left\{\begin{array}{l}x_0=-\frac{b}{2a}\\y_0=\frac{1-\Delta}{4a}\\k=\frac{-1-\Delta}{4a}\end{array}\right.$\\$F(-\frac{b}{2a},\frac{1-\Delta}{4a})$\\$d:y=\frac{-1-\Delta}{4a})$\\$F(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})$\\$a:x=-\frac{b}{2a}$\\$\Delta=b^2-4ac$\subsection{Coniche 2.2: Parabola con asse parallelo all'asse x}$$\mathcal{P} :x=ay^2+by+c $$\\$F(x_0,y_0);\qquad d:y=k$\\$P(x',y')\in \mathcal{P}\leftrightarrow dist(P,F)=dist(P,d)$\\$\left\langle\begin{array}{ccccc}x_0>k & \rightarrow & a>0 & \rightarrow & \subset\\x_0<k & \rightarrow & a<0 & \rightarrow & \supset\\\end{array}\right.$\\$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2x_0-2k}\\b=\frac{y_0}{k-x_0}\\c=\frac{x_0^2+y_0^2-k^2}{2x_0-2k}\end{array}\right.$$\longrightarrow$$\left\{\begin{array}{l}x_0=\frac{1-\Delta}{4a}\\y_0=-\frac{b}{2a}\\k=\frac{-1-\Delta}{4a}\end{array}\right.$\\$F(\frac{1-\Delta}{4a},-\frac{b}{2a})$\\$d:y=\frac{-1-\Delta}{4a})$\\$F(-\frac{\Delta}{4a},-\frac{b}{2a})$\\$a:y=-\frac{b}{2a}$\\$\Delta=b^2-4ac$\subsection{Coniche 3: Ellisse}$$\mathcal{E}:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$\\$c^2=\left\{\begin{array}{lcccccc}a^2-b^2 & \mbox{se} & a>b & \rightarrow & e=\frac{c}{a}<1 & \rightarrow & F_1(-c,0),\quad f_2(c,0)\\b^2-a^2 & \mbox{se} & b>a & \rightarrow & e=\frac{c}{b}<1 & \rightarrow & F_1(0,-c),\quad f_2(0,c)\\\end{array}\right.$\\$\mathcal{E}\cap x\equiv\qquad A(-a,0)\quad B(a,0)$\\$\mathcal{E}\cap y\equiv\qquad C(0,-b)\quad D(0,b)$\\$P(x',y')\in\mathcal{E}\leftrightarrow\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2a$\subsection{Coniche 4.1.1: Iperbole riferita ai suoi assi di simmetria con fuochi sull'asse x}$$\mathcal{I}:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$\\$c^2=a^2+b^2,\quad c\geq 0$\\$\mathcal{I}\cap x\equiv\qquad V_1(-a,0)\quad V_2(a,0)$\\$F_1(-c,0)\quad F_2(c,0); \qquad F_1,F_2\in x$\\$P(x',y')\in\mathcal{I}\leftrightarrow |\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=2a$\\$a_1: y=\frac{b}{a}x$\\$a_2: y=-\frac{b}{a}x$\\$e=\frac{c}{a}>1$\subsection{Coniche 4.1.2: Iperbole riferita ai suoi assi di simmetria con fuochi sull'asse y}$$\mathcal{I}:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1$$\\$c^2=a^2+b^2,\quad c\geq 0$\\$\mathcal{I}\cap x\equiv\qquad V_1(0,-b)\quad V_2(0,b)$\\$F_1(0,-c)\quad F_2(0,c); \qquad F_1,F_2\in y$\\$P(x',y')\in\mathcal{I}\leftrightarrow |\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=2a$\\$a_1: y=\frac{b}{a}x$\\$a_2: y=-\frac{b}{a}x$\\$e=\frac{c}{b}>1$\subsection{Coniche 4.2.1: Iperbole equilatera riferita ai suoi assi di simmetria con fuochi sull'asse x}$$\mathcal{I}:x^2-y^2=a^2$$\\$c=a\sqrt{2}\qquad a=b$\\$\mathcal{I}\cap x\equiv\qquad V_1(-a,0)\quad V_2(a,0)$\\$F_1(-a\sqrt{2},0)\quad F_2(a\sqrt{2},0); \qquad F_1,F_2\in x$\\$P(x',y')\in\mathcal{I}\leftrightarrow |\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=2a$\\$a_1: y=x$\\$a_2: y=-x$\\$e=\sqrt{2}$\subsection{Coniche 4.2.2: Ip. eq. rif. assi simm. con fuochi sull'asse y}$$\mathcal{I}:x^2-y^2=-a^2$$\\$c=a\sqrt{2}\qquad a=b$\\$\mathcal{I}\cap y\equiv\qquad V_1(0,-a)\quad V_2(0,a)$\\$F_1(0,-a\sqrt{2})\quad F_2(0,a\sqrt{2}); \qquad F_1,F_2\in y$\\$P(x',y')\in\mathcal{I}\leftrightarrow |\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=2a$\\$a_1: y=x$\\$a_2: y=-x$\\$e=\sqrt{2}$\subsection{Coniche 4.3: Iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti}$$\mathcal{I}:xy=k$$\\$\left\{\begin{array}{lcll}k>0 & \rightarrow & \mathcal{I}\cap b_{I,III}:y=x\equiv\qquad V_1(\sqrt{k},\sqrt{k})\quad V_2(-\sqrt{k},-\sqrt{k})\\k>0 & \rightarrow & \mathcal{I}\cap b_{II,IV}:y=-x\equiv\qquad V_1(\sqrt{|k|},-\sqrt{|k|})\quad V_2(-\sqrt{|k|},\sqrt{|k|})\\\end{array}\right.$\\$leftrightarrow |\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=2a$\\$a_1: x=0$\\$a_2: y=0$\\$e=\sqrt{2}$\subsection{Coniche 4.4: Iperbole equilatera traslata o Funzione omografica}$$\mathcal{I}:y=\frac{ax+b}{cx+d}$$\\$$\exists\mathcal{I}\leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} c\neq 0\\ad-bc\neq 0\end{array}\right.$$\\$a_1: x=-\frac{d}{c}$\\$a_2: y=\frac{a}{c}$\\$e=\sqrt{2}$\subsection{Coniche 5: Conica generica}$$\mathcal{C}:a_{11}x^2+a_{22}y^2+a{12}xy+a_{13}x+a_{23}y+a{33}=0$$\\$$A=\left ( \begin{array}{ccc}a_{11} & \frac{1}{2}a_{21} & \frac{1}{2}a_{13}\\\frac{1}{2}a_{12} & a_{22} & \frac{1}{2}a_{23}\\\frac{1}{2}a_{13} & \frac{1}{2}a_{23} & a_{33}\end{array}\right ) $$\\$$\overline{A}=\left(\begin{array}{cc}a_{11} & \frac{1}{2}a_{21}\\\frac{1}{2}a_{12} & a_{22}\end{array}\right)\\$$$\left\langle\begin{array}{lcl}|A|=0 & \longrightarrow & \mbox{Conica Degenere}\\|A|\neq 0 & \longrightarrow & \mbox{Conica Non Degenere}\end{array}\right.$\\\\%\ding{42} Tabella \ref{tab:Coniche} a pag.\pageref{tab:Coniche}\begin{table}[htbp]\begin{center}\begin{tabular}{c|ccc} & $ |\overline{A}|>0 $ & $ |\overline{A}|=0 $ & $ |\overline{A}|<0 $ \\\hline$ |A|=0 $ & retta immaginaria & rette reali o immaginarie parallele & retta reale\\$ |A|\neq 0 $ & ellisse & parabola & iperbole\end{tabular}\end{center}\caption{Conica Generica}\label{tab:Coniche}\end{table}\section{Trasformazioni: Affinità\footnote{prof.ssa Letizia Lorenzini}}\begin{center}\begin{tabbing}$\mathcal{T}:$\= $\mathbb{R}\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\times\mathbb{R}$\\\> $(x,y)\rightarrow(x',y')$\\\end{tabbing}$ \left\{\begin{array}{l}x=ax+by+p\\y=cx+dy+q\end{array}\right.$\\$$A=\left ( \begin{array}{cc}a & b\\c & d\end{array}\right )$$\\$$ |A|\neq 0 $$\\\begin{tabbing}$\mathcal{T}^{-1}:$\= $\mathbb{R}\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\times\mathbb{R}$\\\> $(x',y')\rightarrow(x,y)$\\\end{tabbing}\end{center}$\frac{S'}{S}=|A|$\\$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{d}{|A|}x'+\frac{-b}{|A|}y'+\frac{-d}{|A|}p+\frac{b}{|A|}q\\y=\frac{-c}{|A|}x'+\frac{a}{|A|}y'+\frac{c}{|A|}p+\frac{-a}{|A|}q\\\end{array}\right.$\\$$A^{-1}=\left ( \begin{array}{cc}\frac{d}{|A|} & \frac{-b}{|A|}\\\frac{-c}{|A|} & \frac{a}{|A|}\end{array}\right )$$\begin{definizione}[Punto Unito]Punti uniti sono i punti che coincidono con i trasformati.\end{definizione}\begin{definizione}[Retta Unita]Rette unite sono le rette che coincidono con le trasformate.\end{definizione}\subsection{Prodotto di Affinità}Il prodotto di due affinità $\mathcal{T}$ e $\mathcal{T'}$ è unaaffinità (indicata con $\mathcal{T} * \mathcal{T'}$, dove siapplica per prima $\mathcal{T'}$ e successivamente $\mathcal{T}$)la cui matrice è pari al prodotto delle matrici delle affinità dipartenza.\subsection{Casi Particolari di Affinità}L'effetto geometrico di un'affinità coincide con la composizionedi\begin{itemize}\item inclinazioni; \item simmetrie; \itemdilatazioni/compressioni; \item traslazioni.\end{itemize}\subsubsection{Isometria}\begin{definizione}[Isometria] L'\emph{isometria} è un'affinità che conserva le distanze.\end{definizione}\subsubsection{Traslazione}\begin{center}$\left\{\begin{array}{l}x'=x+p\\y'=y+q\\\end{array}\right.$$$ A=\left ( \begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right ) $$$|A|=1$\end{center}\subsubsection{Rotazione}\begin{center}$\left\{\begin{array}{l}x'=x\cos\theta-y\sin\theta\\y'=x\sin\theta+y\cos\theta\\\end{array}\right.$\\$\left\{\begin{array}{l}x=x'\cos\theta+y'\sin\theta\\y=-x'\sin\theta+y'\cos\theta\\\end{array}\right.$\\$$A=\left ( \begin{array}{cc}\cos\theta & -\sin\theta\\\sin\theta & \cos\theta\end{array}\right )$$\\$ |A|=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1 $$$A^{-1}=\left ( \begin{array}{cc}\cos\theta & \sin\theta\\-\sin\theta & \cos\theta\end{array}\right )$$\\$ |A^{-1}|=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1 $\end{center}\\$\left\{\begin{array}{l}x'=ax-by\\y'=bx+ay\\\end{array}\right.\rightarrow a^2+b^2=1 $\\\subsubsection{Rototraslazione}$\left\{\rho:\{}\begin{array}{l}x'=x\cos\theta-y\sin\theta\\y'=x\sin\theta+y\cos\theta\\\end{array}\right.$\\$\left\{\tau:\{}\begin{array}{l}x'=x+p\\y'=y+q\\\end{array}\right.$\\\begin{center}$\left\{\tau * \rho :\{}\begin{array}{l}x'=x\cos\theta-y\sin\theta+p\\y'=x\sin\theta+y\cos\theta+q\\\end{array}\right.$\end{center}\subsubsection{Simmetria Centrale}\begin{center}$$\left\{\begin{array}{l}x'=2x_0-x\\y'=2y_0-y\\\end{array}\right.$$\\\end{center}con $(x_0,y_0)$ \emph{ centro di simmetria}.\subsubsection{Simmetria Assiale}\subsubsection{Simmetria Assiale con asse parallelo all'asse x}Asse: $ y=y_0 \rightarrow\left\{\begin{array}{l}x'=x\\y'=2y_0-y\\\end{array}\right.$$$|A|=\left | \begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -1\end{array}\right | =-1$$\subsubsection{Simmetria Assiale con asse parallelo all'asse y}Asse: $x=x_0 \rightarrow \left\{\begin{array}{l}x'=2x_0-x\\y'=y\\\end{array}\right.$$$|A|=\left | \begin{array}{cc}-1 & 0\\0 & 1\end{array}\right | =-1$$\subsubsection{Simmetria Assiale con asse qualsiasi}Asse: $ y=mx+q \rightarrow \left\{\begin{array}{l}x'=\frac{1}{1+m^2}[(1-m^2)x+2my-2mq]\\y'=\frac{1}{1+m^2}[2mx+(m^2-1)x+2q]\\\end{array}\right.$$$|A|=\left | \begin{array}{cc}\frac{1-m^2}{1+m^2} & \frac{2m}{1+m^2}\\\frac{2m}{1+m^2} & \frac{m^2-1}{1+m^2}\end{array}\right | =-1$$\subsubsection{Omotetia}$\left\{\begin{array}{l}x'=ax+h\\y'=ay+k\\\end{array}\right.$$$|A|=\left | \begin{array}{cc}a & 0\\0 & a\end{array}\right | =a^2>0$$\subsubsection{Similitudine}Isometria * Omotetia = Similitudine\subsubsection{Similitudine Diretta}$\left\{\begin{array}{l}x'=ax-by+p\\y'=bx+ay+q\\\end{array}\right.$$$|A|=\left | \begin{array}{cc}a & -b\\b & a\end{array}\right | =a^2+b^2>0$$\subsubsection{Similitudine Inversa}\begin{array}{l}$x'=ax+by+p$\\$y'=bx-ay+q$\\\end{array}\right.$$|A|=\left | \begin{array}{cc}a & b\\b & -a\end{array}\right | =a^2-b^2<0$$\subsubsection{Dilatazione e Compressione}$ |k|>1\rightarrow $ dilatazione\\$ |k|<1\rightarrow $ compressione\\\subsubsection{Dilatazione/Compressione lungo l'asse x}$\left\{\begin{array}{l}x'=kx\\y'=y\\\end{array}\right.$\subsubsection{Dilatazione/Compressione lungo l'asse $y$}$\left\{\begin{array}{l}x'=x\\y'=ky\\\end{array}\right.$\subsubsection{Inclinazione}\subsubsection{Inclinazione lungo l'asse x}$\left\{\begin{array}{l}x'=x+ky\\y'=y\\\end{array}\right.$\subsubsection{Inclinazione lungo l'asse y}$\left\{\begin{array}{l}x'=x\\y'=y+kx\\\end{array}\right.$\subsection{Proprietà Invarianti delle Affinità}\begin{itemize}\item Un'affinità trasforma rette in rette; \item se due rette siintersecano in un punto $P$ allora le rette trasformate siintersecano in $\mathcal{T}(P)$; \item un'affinità trasfrormatriangoli in triangoli; \item un'affinità trasforma retteparallele in rette parallele; \item i punti del segmento $PQ$vengono trasformati in punti del segmento$\mathcal{T}(P)\mathcal{T}(Q)$; \item il punto medio del segmento$PQ$ viene trasformato nel punto medio del segmento$\mathcal{T}(P)\mathcal{T}(Q)$; \item un triangolo di area$\mathcal{S}$ viene trasformato in un triangolo di area$\mathcal{S}\cdot |det(A)|$; \item un'affinità trasforma conichein coniche: ellissi in ellissi, parabole in parabole, iperboli iniperboli, circonferenze in ellissi; \item la retta tangente ad unaconica si trasforma in un'altra retta tangente alla conicatrasformata.\end{itemize}\chapter{Analisi}\section{Elementi di Topologia: Intervalli}\begin{definizione}[Maggiorante $\|$Minorante$\|$]$M \|m\|$ si dice \emph{maggiorante $\|$minorante$\|$}dell'insieme $A$ se $\forall a\in A, M\geq a \|m\leq a\|$; sidefinisce quindi l'insieme $\mathcal{M}_A=\{M\in\mathbb{R}:\foralla\in A, M\geq a\} \| m_A=\{m\in\mathbb{R}:\forall a\in A, m\leqa\}\|$\end{definizione}\begin{definizione}[Estremo superiore (sup) $\|$ Inferiore (inf)$\|$]Si definisce \emph{estremo superiore (sup))$\|$ inferiore (inf)$\|$} di A il più piccolo $\|$grande$\|$ dei maggioranti$\|$minoranti$\|$,ovvero valgono:\\$\left\{\begin{array}{l}\forall a\in A, sup A\geq a\\\forall \varepsilon >0, \exists\bar{a}\in A: sup A-\varepsilon\leq\bar{a}\leq sup A\end{array}\right.$\\e, analogamente:\\$\left\{\begin{array}{l}\forall a\in A, inf A\leq a\\\forall \varepsilon >0, \exists\bar{a}\in A: inf A\leq\bar{a}\leqinf A+\varepsilon\end{array}\right.$\\Per definizione, se $A$ è \emph{illimitato superiormente$\|$inferioremente$\|$} allora si pone $sup A=+\infty \|infA=-\infty\|$\end{definizione}\begin{definizione}[Insieme limitato/illimitato]L'insieme $A$ si dice\emph{limitato superiormente $\|$inferiormente$\|$} se esistel'estremo superiore $\|$inferiore$\|$; si dice \emph{limitato} seè limitato sia superiormente che inferiormente; si dice\emph{illimitato superiormente $\|$inferiore$\|$} se non èlimitato superiormente $\|$inferiore$\|$, ossia se $\forallx\in\mathbb{R}, \exists a\in A: a\geq x \|\forall x\in\mathbb{R},\exists a\in A: a\leq x\|$; si dice \emph{illimitato} se èillimitato sia superiormente che inferiormente.\end{definizione}\begin{osservazione}Sia $A\subset\mathbb{R}$. Allora $A$ è limitato sse$\exists M\geq 0:\forall x\in A|x|\leq M$.\end{osservazione}\begin{definizione}[Massimo (max) $\|$minimo (min)$\|$] Sidefinisce \emph{massimo (max) $\|$minimo (min)$\|$} l'estremosuperiore $\|$inferiore$\|$ qualora appartenga all'insieme A.Valgono quindi:\\$\left\{\begin{array}{l}\forall a\in A, max A\geq a\\max A\in A\end{array}\right.$\\e, analogamente:\\$\left\{\begin{array}{l}\forall a\in A, min A\leq a\\min A\in A\end{array}\right.$\\\end{definizione}\begin{definizione}[Intervallo]$A\subset\mathbb{R}$ si dice \emph{intervallo} se, dati $x, y:x<y$, allora $\forall z: x<z<y, z\in A$.\end{definizione}\begin{teorema}[Intervalli]Se $A$ è un intervallo, è necessariamente di uno dei seguentiquattro tipi:\\\begin{description}\item [aperto] $(a,b)=]a,b[=\{x\in\mathbb{R}:a<x<b\}, \mbox{ con } a,b\in\bar{\mathbb{R}}$;\\\item [aperto a sx, chiuso a dx] $(a,b]=]a,b]=\{x\in\mathbb{R}:a<x\leq b\}, \mbox{ con } a\in\bar{\mathbb{R}}, b\in\mathbb{R}$;\\\item [chiuso a sx, aperto a dx] $[a,b)=[a,b[=\{x\in\mathbb{R}:a\leq x<b\}, \mbox{ con } a\in\mathbb{R}, b\in\bar{\mathbb{R}}$;\\\item [chiuso, compatto] $[a,b]=\{x\in\mathbb{R}:a\leq x\leq b\}, \mbox{ con } a,b\in\mathbb{R}$.\\\end{description}\end{teorema}\begin{notazione}[-$A$, $\lambda\cdot A, A+B$]Dato $A$ insieme, si definisce $-A=\{-y\in\mathbb{R}:y\in A\}$.\\Dato $A$ insieme, $\lambda\in\mathbb{R}$, si definisce$\lambda\cdot A=\{\lambda\cdot x:x\in A\}$.\\Dati $A$ e $B$ insiemi, si definisce $A+B=\{x\in\mathbb{R}:x=a+b,a\in A, b\in B\}$.\end{notazione}\begin{osservazione}[Operazioni su \textsf{inf} e \textsf{sup}]$sup (A+B)=sup A+sup B, inf (A+B)=inf A+inf B\\sup (-A)=-inf A, inf (-A)=-sup A\\\lambda\geq 0: sup (\lambda\cdot A)=\lambda\cdot sup A, inf(\lambda\cdot A)=\lambda\cdot inf A\\\lambda\leq 0: sup (\lambda\cdot A)=-\lambda\cdot inf A, inf(\lambda\cdot A)=-\lambda\cdot sup A\\$\end{osservazione}\begin{teorema}[Principio di Archimede]$\forall a>0, \forall b\in \mathbb{N} \mbox{ non vuoto}, \existsn\in\mathbb{N}:na>b$;\\terza forma del Principio d'Induzione.\end{teorema}\begin{teorema}[Principio del minimo intero]Sia $A\subseteq\mathbb{R}$; allora $A$ ammette minimo.\end{teorema}\begin{teorema}[Densità di $\mathbb{Q}$] $\mathbb{Q}$ è\emph{denso} in $\mathbb{R}$, ovvero:\\$\forall a,b\in\mathbb{R}, a<b, (a,b)_{\mathbb{Q}}\neq\emptyset$,dove con $(a,b)_{\mathbb{Q}}$ si indica l'insieme$\{x\in\mathbb{Q}:a<x<b\}$.\end{teorema}\begin{definizione}[Intorno, Palla]Sia $x_0\in A$; fissato $\delta>0$ si dice intorno di $x_0$l'intervallo $(x_0-\delta, x_0+\delta)$, la cui ampiezza vale$2\cdot\delta$.\end{definizione}\begin{definizione}[Punto interno]Sia $A\subset\mathbb{R}$ e $x_0\in A$; $x_0$ si dice \emph{puntointerno di $A$} se $\exists\delta>0:(x_0-\delta,x_0+\delta)\subset A$, ovvero se $(x_0-\delta, x_0+\delta)\capA\neq\emptyset$.\end{definizione}\begin{notazione}[${\AA}$, $\textsf{int} A$]Si pone ${\AA}=int A\subset A$ l'insieme dei punti interni di $A$.\end{notazione}\begin{definizione}[Punto di frontiera]Sia $A\subset\mathbb{R}$ e $x_0\in \mathbb{R}$; $x_0$ si dice\emph{punto di frontiera di $A$} se $\forall\delta>0,(x_0-\delta,x_0+\delta)\cap A\neq\emptyset\wedge (x_0-\delta, x_0+\delta)\capA^c\neq\emptyset$.\end{definizione}\begin{definizione}[Punto di accumulazione]Sia $A\subset\mathbb{R}$ e $x_0\in \mathbb{R}$; $x_0$ si dice\emph{punto di accumulazione di $A$} se$\forall\delta>0,(x_0-\delta, x_0+\delta)\capA\setminus\{x\}\neq\emptyset$, ovvero se $\forall r>0, \existsy\in A: y\neq x:y\in(x-r,x+r)$.\end{definizione}\begin{notazione}[$\sigma A$, frontiera di $A$]Si pone $\sigma A$ l'insieme dei punti di frontiera di A, e sidice \emph{frontiera di A}.\end{notazione}\begin{definizione}[Punto isolato]Sia $A\subset\mathbb{R}$ e $x_0\in \mathbb{R}$; $x_0$ si dice\emph{punto isolato di $A$} se $x_0$ non è punto di accumulazioneper $A$, ossia se $\exists\delta>0:(x_0-\delta, x_0+\delta)\capA\setminus\{x\}=\emptyset$.\end{definizione}\begin{notazione}[$\bar{A}$, chiusura di A]Si pone $\bar{A}=A\cup\sigma A$ l'insieme dei punti interni o difrontiera di A, e si dice \emph{chiusura di A}.\end{notazione}\begin{definizione}[Insieme aperto]L'insieme $A$ si dice \emph{aperto} se $A=\AA$, ovvero se ognielemento di $A$ è interno, ovvero se $\forall x_0\in A$, $A$ èintorno di $x_0$, cioè $\forall x_0\in A, \exists r>0:(x_0-r,x_0+r)\subset A$.\end{definizione}\begin{definizione}[Insieme chiuso]L'insieme $A$ si dice \emph{chiuso} se $A^c$ è aperto, ovvero se$A=\bar{A}$.\end{definizione}\begin{teorema}$\forall A\subseteq\mathbb{R}$, l'insieme $\bar{A}$è chiuso. \end{teorema}\begin{osservazione}Gli unici insiemi contemporaneamente aperti e chiusi sono$\mathbb{R}$ e $\emptyset$.\end{osservazione}\begin{teorema} L'unione di insiemi aperti èaperto.\end{definizione}\section{Relazioni e Funzioni}\subsection{Relazioni}\begin{definizione}[Relazione] Dati $A, B$ insiemi, si definisce$\mathcal{R}\subseteq A\times B$ e si dice che $\mathcal{R}$ è una\emph{relazione} da A (\emph{dominio}) a B (\emph{codominio} o\emph{immagine di A}). Se $\langle x,y\rangle\in\mathcal{R}$si dice che $x$ è \emph{in relazione} con $y$ e si scrive $x\mathcal{R} y$.\\Una relazione $\mathcal{R}$ può essere:\\\begin{description}\item [R1, riflessiva] $\forall x\in A, x\mathcal{R} x$;\\\item [R2, simmetrica] $\forall x\in A, \forall y\in B, x\mathcal{R} y\Leftrightarrow y\mathcal{R} x$;\\\item [R2*, antisimmetrica] $\forall x\in A, \forall y\in B, (x\mathcal{R} y)\wedge (y\mathcal{R} x) \Leftrightarrow x=y$;\\\item [R3, riflessiva] $\forall x\in A, \forall y\in (A\cup B), \forall z\in B, (x\mathcal{R} y)\wedge (y\mathcal{R} z)\Rightarrow (x\mathcal{R} z)$;\\\end{description}Una relazione $\mathcal{R}$ soddisfacente le \texttt{R1},\texttt{R2} e \texttt{R3} si dice d'\emph{equivalenza}.\\Una relazione $\mathcal{R}$ soddisfacente le \texttt{R1},\texttt{R2*} e \texttt{R3} si dice d'\emph{ordine}. Se inoltrevale la:\\\begin{description}\item [R4, ordine totale] $\forall x\in A, \forall y\in B, (x\mathcal{R} y)\vee (y\mathcal{R} x)\Rightarrow\top$\\\end{description}allora la relazione si dice di \emph{ordine totale}. Se non èverificata la \texttt{R1} si parla di relazione di \emph{ordinestretto}.\end{definizione}\begin{osservazione}[Relazione d'ordine totale $\leq$]Si può definire su $\mathbb{R}$ la relazione d'ordine totale$\leq$ definendo un insieme $P$ (dei numeri positivi o nulli)verificante le proprietà:\\\begin{enumerate}\item $(x\in P)\vee (-x\in P)\Rightarrow\top$;\\\item $(x, y\in P)\Rightarrow (x+y, x\cdot y\in P)$;\\\end{enumerate}e definendo quindi $x\geq y\Leftrightarrow x-y\in P$.\\Da questa relazione si ricavano le altre relazioni d'ordine $\leq$($x\leq y\Leftrightarrow y\geq x $), $>$ (strettamente maggiore,$x>y\Leftrightarrow (x\geq y)\wedge (x\neq y)$) e $<$(strettamente nimore, $x<y\Leftrightarrow (y\geq x)\wedge (x\neqy)$).\end{osservazione}\subsection{Funzioni}\begin{definizione}[Funzione 1] Data $f$ relazione da A aB, $f$ si dice \emph{funzione} o \emph{applicazione} da A in B sse$\forall a\in A, \exists ! b\in B: a f b$ e siscrive:\\$f: A\rightarrow B$;\\$f: a\in A\rightarrow b\in B$, f(a)=b.\\Se $a f b$ si dice che $b$ è immagine di $a$ secondo $f$ e siscrive $b=f(a)$, o che $a$ è controimmagine di $b$ secondo $f$ esi scrive $a=f^{-1}(b)$.\end{definizione}\begin{definizione}[Funzione 2] Una funzione è una terna dioggetti: l'insieme $A$ detto \emph{dominio}, l'insieme $B$ detto\emph{codominio} e una legge $f$ che associ ad ogni elemento di$A$ uno ed un solo elemento di $B$.\end{definizione}\begin{definizione}[Iniettività] Una funzione $f$ si dice\emph{iniettiva} sse $\forall b\in B, \exists !! a\in A: f(a)=b$,ovvero se $\forall a_1, a_2\in A, f(a_1)=f(a_2)\Rightarrowa_1=a_2$, ovvero se $\forall a_1, a_2 \in A: a_1\neqa_2\Rightarrow f(a_1)\neq f(a_2)$.\end{definizione}\begin{definizione}[Suriettività, Surgettività] Una funzione $f$ si dice\emph{suriettiva} o \emph{surgettiva} sse $\forall b\in B, \existsa\in A: f(a)=b$.\end{definizione}\begin{definizione}[Biiniettività, Bigettività, Biunivocità] Una funzione $f$ si dice\emph{biiettiva} o \emph{bigettiva} o \emph{biunivoca} sse $f$ èsia iniettiva che suriettivà, ovvero sse $\forall b\in B, \exists! a\in A: f(a)=b$. Si parla anche di funzione \emph{invertibile},in quanto si può definire $f^{-1}$ tale che $f\circ f^{-1}=Id_B,f^{-1}\circ f=Id_A$, dove con $Id_A$ e $Id_B$ si intendono lefunzioni identiche definite rispettivemente su $A$ e $B$, ovvero$Id_A: A\rightarrow A, x\rightarrow x$ e $Id_B: B\rightarrow B,x\rightarrow x$ .\end{definizione}\begin{definizione}[Monotonia] Una funzione $f: A\rightarrow B$ si dice\emph{monotòna} se verifica una delle seguenti (e allora in particolare è come descritto):\\\begin{description}\item [monotòna crescente in senso stretto] $\forall x, y\in A, x<y\Leftrightarrow f(x)<f(y)$;\\\item [monotòna crescente in senso debole o largo] $\forall x, y\in A, x<y\Leftrightarrow f(x)\leq f(y)$;\\\item [monotòna decrescente in senso stretto] $\forall x, y\in A, x<y\Leftrightarrow f(x)>f(y)$;\\\item [monotòna decrescente in senso debole o largo] $\forall x, y\in A, x<y\Leftrightarrow f(x)\geq f(y)$.\\\end{description}\end{definizione}\begin{teorema}Sia $f:I\rightarrow\mathbb{R}$, con $I$ intervallo; allora $f$ èiniettiva (e invertibile) sse è monòtona in senso stretto.\end{teorema}\begin{notazione}[$f+g$, $f\cdot g$, $\frac{f}{g}$, $\lambda\cdot f$,$f\circ g$] Date $f$ e $g$ due funzioni definite sudominio $A\subseteq\mathbb{R}$ e codominio $\mathbb{R}$, si definiscono:\\\begin{itemize}\item $(f+g)(x): A\rightarrow\mathbb{R}, x\rightarrow f(x)+g(x)$;\\\item $(f\cdot g)(x): A\rightarrow\mathbb{R}, x\rightarrow f(x)\cdot g(x)$;\\\item $(\frac{f}{g})(x): \{x\in A:g(x)\neq 0\}\Rightarrow\mathbb{R}, x\rightarrow\frac{f(x)}{g(x)}$;\\\item $\forall\lambda\in\mathbb{R}, (\lambda\cdot f)(x): A\rightarrow\mathbb{R}, x\rightarrow \lambda\cdot f(x)$.\\\end{itemize}Date $f: A\rightarrow B$, $g: B\rightarrow C$, si definisce:\\\begin{itemize}\item $(g\circ f)(x): A\rightarrow C, x\rightarrow g(f(x))$,\\\end{itemize}e si dice che la funzione $g\circ f$ è la \emph{composizione}delle funzioni $g$ e $f$.\end{notazione}\begin{definizione}[Funzione Lipschitziana]$f:I\rightarrow\mathbb{R}:\exists L>0:\forall x,y\in I,|f(x)-f(y)|\leq L\cdot |x-y|$, f è detta \emph{Lipschitziana}. Ilminimo $L$ che verifica la definizione è detta \emph{costante diLipschitz} e $f$ si dice \emph{$L$-Lipschitziana}.\end{definizione}\begin{definizione}[Funzione H\"{o}lderiana]$f:I\rightarrow\mathbb{R}:\exists L\geq0:\forall x,y\in I,|f(x)-f(y)|\leq L\cdot |x-y|^\alpha$, f è detta\emph{H\"{o}lderiana} di esponente $\alpha>0$. Si scrive: $f\inC^{0,\alpha}(I)$.\end{definizione}\section{Limiti e Forme Indeterminate}\subsection{Definizione}\begin{definizione}[Limite 1]$$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\ell\stackrel{def}{=}\forall\varepsilon>0,\overbrace{\exists\delta_\varepsilon >0\mbox{ t.c. }\forall x,|x-x_0|<\delta_\varepsilon}^{\exists\mathcal{I}_\varepsilon(x_0)}\Rightarrow|f(x)-\ell|<\varepsilon $$\end{definizione}\begin{definizione}[Limite 2]$$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\infty\stackrel{def}{=}\forall M>0,\overbrace{\exists\delta_M >0\mbox{ t.c. }\forall x,|x-x_0|<\delta_M}^{\exists\mathcal{I}_M(x_0)} \Rightarrow|f(x)>M$$\end{definizione}\begin{definizione}[Limite 3]$$\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\ell\stackrel{def}{=}\forall\varepsilon>0,\overbrace{\exists N_\varepsilon >0\mbox{ t.c. }\forall x,|x|>N_\varepsilon}^{\exists\mathcal{I}_\varepsilon(\infty)}\Rightarrow|f(x)-\ell|<\varepsilon $$\end{definizione}\begin{definizione}[Limite 4]$$\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty\stackrel{def}{=}\forall M>0,\overbrace{\exists N_M >0\mbox{ t.c. }\forall x,|x|>N_M}^{\exists\mathcal{I}_M(\infty)}\Rightarrow|f(x)|>M $$\end{definizione}\begin{notazione}[Limite destro, Limite sinistro] e quanto sopravale solo per l'intervallo $(x_0, x_0+\delta) \|(x_0-\delta,x_0)\|$, allora si parla di \emph{limite destro $\|$sinistro$\|$}.\end{notazione}\begin{teorema}Cnes affinchè esiste il limite di una funzione inun punto, è che esistano in quel punto limite destro e sinistro ecoincidano, ovvero:\\$$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)$$\end{teorema}\subsection{Forme Indeterminate}$\frac{0}{0}$\\$\frac{\infty}{\infty}$\\$0\cdot\infty$\\$+\infty-\infty$\\$0^0$\\$\infty ^0$\\$1^\infty$\subsection{Limiti Notevoli}$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$$\\$$\lim_{x\rightarrow +\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$$\\\\$$lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\mathcal{P}(n)}{\mathcal{Q}(n)}=\left \{ \begin{array}{ccc}+\infty & \quad \mbox{se} & p>q\wedge\frac{a}{b}>0\\-\infty & \quad \mbox{se} & p>q\wedge\frac{a}{b}<0\\\frac{a}{b} & \quad \mbox{se} & p=q\\0 & \quad \mbox{se} & p<q\end{array}\right. $$\\$\mbox{dove } \mathcal{P}(n)=a_pn^p+a_{p-1}n^{p-1}+\cdots+a_1n+a_0\mbox{ e }\mathcal{Q}(n)=b_qn^q+b_{q-1}n^{q-1}+\cdots+b_1n+b_0$\subsection{Altri Limiti ricavabili dai Limiti Fondamentali}$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$$\\$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan x}{x}=1$$\\$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x+\sin x}{x}=2$$\\$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-\sin x}{x^2}=0$$\\$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-\sin x}{x^3}=\frac{1}{6}$$\\$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\arcsin x}{x}=1$$\\$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\arctan x}{x}=1$$\\$$\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^x\frac{1}{x}=e$$\\$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\log (1+x)}{x}=1$$\\$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\log_a (1+x)}{x}=\frac{1}{\log a}$$\\$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\log (1+\alpha x)}{x}=\alpha$$\\$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x -1}{x}=1$$\\$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{a^x -1}{x}=\log a$$\\$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\alpha, \alpha\in\mathbb{R}$$\\$$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\alpha^x}{x^\beta}=+\infty \mbox{ se }\alpha>1\mbox{ con }\alpha,\beta\in\mathbb{R}$$\\$$\lim_{x\rightarrow 0^+}x^\alpha \log x=0\mbox{ se } \alpha>0\mbox{ con }\alpha\in\mathbb{R}$$\\$$\lim_{x\rightarrow +\infty}(1+\frac{n}{x})^x=e^n\mbox{ con }n\in\mathbb{R}$$\\$$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\log x}{x^\alpha}=0\mbox{ se }\alpha >0\mbox{ con }\alpha\in\mathbb{R}$$\\$$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x^x}{x^\alpha}=+\infty\mbox{ con }\alpha\in\mathbb{R}$$$$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{n!}{n^p}=+\infty, \forall p\in\mathbb{R}$$\\$$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{n!}{a^n}=+\infty, \forall a\in\mathbb{R}^+_0$$\\$$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{n!}{n^n}=0$$\\$$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{n!}{n^n\cdot e^{-n}\cdot\sqrt{2\cdot\pi\cdot n}}=1 \mbox{ {\bfseries Formula di Stirling}}$$\\$$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!\cdot\sqrt{2\cdot\pi\cdot n}}=1 \mbox{ {\bfseries Formula di Wallis}}$$\\\subsection{Operazioni su $\pm\infty$}$+\infty+\infty=+\infty$\\$-\infty-\infty=-\infty$\\$\infty\cdot\infty=\infty$\\ \\$\mbox{Sia } \ell\in\mathbb{R}\mbox{.}$\\$\ell+\infty=+\infty$\\$\ell-\infty=-\infty$\\$\ell\cdot\infty=\infty\mbox{ con }\ell\neq 0$\\$\frac{\ell}{\infty}=0$\\$\frac{\infty}{\ell}=0\mbox{ con }\ell\neq 0$\\$+\infty ^\ell=+\infty\mbox{ se }\ell>0$\\$+\infty ^\ell=0\mbox{ se }\ell<0$\\$\ell^{+\infty}=0\mbox{ se }0<\ell<1$\\$\ell^{+\infty}=+\infty\mbox{ se }\ell>1$\\$\ell^{-\infty}=+\infty\mbox{ se }0<\ell<1$\\$\ell^{-\infty}=0\mbox{ se }\ell>1$\subsection{Teoremi sui Limiti}$\mbox{Siano: }f: A=(a,b)\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},x_0 \mbox{ punto di accumulazione per }A, \ell=\lim_{x\rightarrowx_0}f(x); \ell '=\lim_{x\rightarrow x_0}f(x);\ell_1=\lim_{x\rightarrow x_0}g(x);\ell _2=\lim_{x\rightarrow x_0}h(x)\mbox{ tali che } \ell,\ell ',\ell _1,\ell _2\in\bar{\mathbb{R}}\mbox{.}$\\\begin{teorema}[dell'Unicità del Limite] $\ell=\ell '$, ovvero $\exists\ell\longrightarrow\exists !\ell $.\end{teorema}\begin{teorema}[della Permanenza del Segno] Sia $A=(a,b), x_0\in [a,b]$.$ \mbox{Se }\exists\ell\neq 0 \mbox{ allora esiste }\mathcal{I}(x_0)\\\mbox{in cui } f(x)\mbox{ ha lo stesso}\mbox{ segno di }\ell\mbox{(escluso al più }x_0\mbox{).}$ \end{teorema}\begin{teorema} $(\exists\delta>0:\forall x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)\setminus\{x_0\}, f(x)=g(x))\Rightarrow (\exists\ell\Leftrightarrow\exists\ell_1 \wedge \ell=\ell_1)$.\end{teorema}\begin{teorema}[del Confronto o dei Carabinieri]$\forall x\in (a,b)\setminus\{x_0\},f(x)\leq g(x)\leq h(x) \wedge\ell =\ell _2\longrightarrow\ell _1=\ell =\ell _2 $.\end{teorema}\begin{teorema}[del Confronto]$\forall x\in (a,b)\setminus\{x_0\}, f(x)\leq g(x)\wedge\ell=+\infty \|\ell_1=-\infty\|\longrightarrow\ell _1=+\infty\|\ell=-\infty\|$.\end{teorema}\begin{teorema}[Limite della Composizione di Funzioni]Sia definita$g\circ f$.Se $\exists \lim_{y\rightarrow \ell}{g(y)}=\ell_1$ evale una delle seguenti:\\\begin{enumerate}\item $\exists\delta>0:\forall x\in (x_0-\delta, x_0+\delta)\setminus\{x_0\}, f(x)\neq\ell $;\\\item $g(\ell)=\ell_1 $ (continuità di $g$);\\allora $\exists\lim_{x\rightarrow x_0}{g\circ f(x)}=\ell_1$.\end{enumerate}\end{teorema}\subsection{Teoremi di de l'H\^opital}\begin{teorema}[di de l'H\^opital 1]Sia $f,g:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}, x_0\in[a,b]$. Siano valide leipotesi:\\\begin{enumerate}\item $f,g$ derivabili in $(a,b)$;\\\item $\forall x\in(a,b)\setminus\{x_0\}, g'(x)\neq 0$;\\\item $f(x_0)=g(x_0)=0$;\\\item $\exists\lim_{x\rightarrowx_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\ell\in\bar{\mathbb{R}}$.\\\end{enumerate}Allora:\\$$ \exists\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\ell$$\\Eventualmente, si considera l'unico limite calcolabile.\end{teorema}\begin{teorema}[di de l'H\^opital 2]Sia $f,g:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}, a,b \in \bar{\mathbb{R}}$.Siano valide le ipotesi:\\\begin{enumerate}\item $f,g$ derivabili in $(a,b)$;\\\item $\forall x\in(a,b), g'(x)\neq 0$;\\\item $\exists\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=\pm\infty; \exists\lim_{x\rightarrow a^+}g(x)=\pm\infty$;\\\item $\exists\lim_{x\rightarrow a^+}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\ell\in\bar{\mathbb{R}}$.\\\end{enumerate}Allora:\\$$ \exists\lim_{x\rightarrow a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=\ell$$\\Lo stesso risultato vale per $x\rightarrow b^-$.\end{teorema}\subsection{Proprietà sui Limiti}Siano $\ell=\lim{x\rightarrow x_0}f(x);\ell _1=\lim{x\rightarrowx_0}g(x);\ell _2=\lim{x\rightarrow x_0}h(x)$ tali che$\ell,\ell _1,\ell _2\in\mathbb{R}$.\\Siano: $\alpha,\lambda,\mu\in\mathbb{R}$; $a\in\mathbb{R}_0^+\setminus\{1\}$; $b\in\mathbb{R}_0^+;n\in \mathbb{N}$.\\Sia: $x_0=\alpha\in\mathbb{R}$ oppure $x_0=\pm\infty$. Allora:\\\begin{itemize}\item $\lim_{x\rightarrow x_0}[f(x)+g(x)]=\ell +\ell _1 $\\\item $\lim_{x\rightarrow x_0}[\lambda\codt f(x)+\mu\cdot g(x)]=\lambda\cdot\ell+\mu\cdot\ell _1 $\\\item $\lim_{x\rightarrow x_0}[f(x)]^n=\ell ^n \mbox{ con }\ell>0 $\\\item $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{\ell}\Leftrightarrow \ell\neq 0 $\\\item $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{1}{f(x)}=0\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\pm\infty $\\\item $\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\ell}{\ell _1}\Leftrightarrow \ell _1\neq 0 $\\\item $\lim_{x\rightarrow x_0}|f(x)|=|\ell | $\\\item $\lim_{x\rightarrow x_0}\log_{a}f(x)=\log_{a}\ell $\\\item $\lim_{x\rightarrow x_0}b^f(x)=b^\ell$\\\item $\lim_{x\rightarrow x_0}[f(x)]^{g(x)}=\ell ^{\ell_1}$ con $\ell>0$\\\end{itemize}\subsection{Limiti di Funzioni Monotòne}\begin{teorema}Sia $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}, a,b\in\bar{\mathbb{R}}, a<b,$ una funzione monotòna crescente $\|$decrescente$\|$, $s_0\in(a,b)$; allora:\\$$\exists\lim_{x\rightarrow x_0^-}{f(x)}=\textsf{sup}\{f(y):y<x_0\}\|=\textsf{inf}\{f(y):y<x_0\}\|=\\\textsf{sup} f((a,x_0))\|=\textsf{inf} f((a,x_0))\|$$e:\\$$\exists\lim_{x\rightarrow x_0^+}{f(x)}=\textsf{inf}\{f(y):y>x_0\}\|=\textsf{sup}\{f(y):y>x_0\}\|=\\\textsf{inf} f((x_0,b))\|=\textsf{sup} f((x_0,b))\|$$ Se$x_0\in\sigma (a,b)$, allora il teorema è vero per l'unico limiteche si può calcolare.\end{teorema}\subsection{Infinitesimi}\begin{definizione}[Infinitesimo] Sia $x_0\in\bar{\mathbb{R}}$,siano $f, g$ due funzioni definite in un intorno di $x_0$ esclusoal più $x_0$ tali che $\lim_{x\rightarrowx_0}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0}{g(x)}=0$. Si dice che $f$ è\emph{infinitesima di ordine superiore a $g$ per $x\rightarrowx_0$} o che $f$ è un \emph{"o" piccolo} di $g$ per$x\rightarrow x_0$ e si scrive $f=o(g,x_0)$ o semplicemente $f=o(g)$ se:\\$$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0 $$\end{definizione}\begin{notazione}[Funzioni Infinitesime] Funzioni che hanno limite uguale a $0$ per $x\rightarrowx_0$ si dicono \emph{infinitesime} e si indicano con$o(1,x_0)$.\end{notazione}\begin{definizione}[Infinitesimi di ordine $\alpha$] Sia $\lim_{x\rightarrowx_0}f(x)=0$; se $\exists\alpha>0:\lim_{x\rightarrowx_0}\frac{f(x)}{(x-x_0)^\alpha}=\ell\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$,si dice che $f$ è un \emph{infinitesimo di ordine $\alpha$ per$x\rightarrow x_0$} e che la sua \emph{parte principale} è$(x-x_0)^\alpha$. Analogamente per limite sx e per limite dx.\end{definizione}\begin{osservazione}[Proprietà "o" piccoli] Se $f_1=o(g,x_0),f_2=o(g,x_0)$, allora:\\\begin{description}\item [1] $f_1+f_2=o(g,x)$;\\\item [2] $\forall k\in\mathbb{R}, kf=o(kg,x_0)=o(g,x_0)$.\\\end{description}Se $f_1=o(g_1,x_0), f_2=o(g_2,x_0)$, allora:\\\begin{description}\item [3] $\frac{f_1+g_1}{f_2+g_2}=\frac{g_1}{g_2}$ in un intorno di $x_0$, cioè esiste un limitesse esiste l'altro, e sono uguali.\\\item [4] $\forall x,l>0, x^k=o(x^l,x_0)=o(x^{l+k},x_o)$;\\\item [5] $f_1\cdot f_2=o(g_1\cdot g_2,x_0)$;\\\end{description}inoltre, se $f=o(g,x_0), g=0o(h,x_0)$, allora:\\\begin{description}\item [6] $f=o(h,x_0)$;\\\end{description}\end{osservazione}\begin{teorema}Sia $x_0\in\mathbb{R}, f$ continua in $x_0$ e invertibile in unintorno di $x_0$ tale che $f(x)=f(x_0)+a\cdot(x-x_0)+o(x-x_o,x_0), a\neq 0$. Allora$f^{-1}(y)=x_0+\frac{1}{a}\cdot (y-y_0)+o(y-y_0,y_0)$ dove$y_0=f(x_0)$.\end{teorema}\begin{definizione}Siano $f,g$ definite in un intorno di$x_0\in\bar{\mathbb{R}}:f,g\neq 0$ in tale intorno ad eccezione alpiù di $x_0$. Si dice che $f$ è \emph{asintotica} a $g$ per$x\rightarrow x_0$ se $\exists\lim_{x\rightarrowx_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\ell\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ e si indicacon $f\sim g$.\end{definizione}\begin{osservazione}[Proprietà funzioni asintotiche]\begin{description}\item [1] $f\sim g\Leftrightarrowg\sim f$\\\item [2] $f\sim g \wedge g\sim h\Rightarrow f\sim h$\\\end{description}\end{osservazione}\begin{osservazione}$f\sim g\Rightarrow (\exists\lim_{x\rightarrowx_0}f(x)\Leftrightarrow\exists\lim_{x\rightarrow x_0}g(x))$.\end{osservazione}\section{Funzioni Continue}\subsection{Definizione}\begin{definizione}[Funzione Continua]$y=f(x) \mbox{ si dice \emph{continua} in }x_0\mbox{ se }\lim{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)\mbox{ o,}\\\mbox{il che è lo stesso, se } \forall\varepsilon>0\exists\delta>0\mbox{ t.c. }\forallx,|x-x_0|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$\end{definizione}\begin{teorema}Siano $f, g$ continue in $x_0$, $\lambda\in\mathbb{R}$. Allora$f+g,f\cdot g,\lambda\cdot f$ sono continue in $x_0$.\\Se è definita $g\circ f$, anch'essa è continua in $x_0$.\\Se è definita $f^{-1}$, anch'essa è continua in $x_0$.\end{teorema}\begin{teorema} Sia $f:I\rightarrow\mathbb{R}\mbox{, allora se }f(x_0)>0,\exists\delta>0:\forall x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)$ in cui f(x)>0.\end{teorema}\begin{teorema}[di Weierstrass] Ogni funzione continua in un intervallo chiuso $[a,b]$ con$a,b\in\mathbb{R}$ è dotata di massimo e minimo assoluti nell'intervallo, ovvero:\\$$f([a,b])=[\stackrel{inf}{x\in[a,b]}f(x),\stackrel{sup}{x\in[a,b]}f(x)]$$e in particolare $\exists c_1, c_2\in [a,b]:$\\$$f(c_1)=\stackrel{inf}{x\in[a,b]}f(x), f(c_2)=\stackrel{sup}{x\in[a,b]}f(x)$$\end{teorema}\begin{teorema}[dei Valori Intermed\^i] Una funzione continua in un intervallo $I$ assume nell'intervallo tutti ivalori compresi tra il minimo $m$ e il massimo $M$, ovvero, dati $x,y:f(x)<f(y), \lambda\in\mathbb{R}:f(x)<\lambda<f(y)$,allora $\forall\lambda, \exists z\in I:f(z)=\lambda$.\\\end{teorema}\begin{teorema}[dell'Esistenza degli Zeri o di Bolzano] \label{sez:Bolzano} Se una funzione continua su un intervalloassume valori disegno opposto in due punti $x-1$ e $x_2$ dell'intervallo, alloraesiste almeno un punto interno all'intervallo $]x_1,x_2[$ in cui$f(x)=0$, ovvero, data $f:[a,b)\rightarrow\mathbb{R}$, continua in $[a,b]$, $a,b\in\mathbb{R},a<b:f(a)\cdot f(b)<0$, allora$\exists c\in(a,b):f(c)=0$.\\\end{teorema}\section{Derivate}\subsection{Definizione}\begin{definizione}[Rapporto Incrementale]Sia $I$ intervallo con $x_0$ punto interno di $I$; si dice\emph{rapporto incrementale} in $x_0$ la funzione:\\$$R_{x_0}f(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$definita in $I\setminus\{0\}$.\end{definizione}\begin{definizione}[Derivata]$f$ è derivabile in $x_0$ se $\exists\lim{x\rightarrowx_0}R_{x_0}f(x)\in\mathbb{R}$ e si denota con:\\$$f'(x)=D[f(x)]=\frac{df}{dx}=\dot{f}(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{x\rightarrow x_0}R_{x_0}f(x).$$\\Analogamente si definiscono le derivate destra e sinistra. Sepossono calcolarsi derivata destra e sinistra, allora esiste laderivata e coincide con derivata dx e sx.\end{definizione}\begin{teorema}Se $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ è derivabile in $x_0$, allora $f$ ècontinua in $x_0$, ma non viceversa.\end{teorema}\begin{notazione}[Differenziabilità]$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}0f')x_0)+o(1,x_0)$\\$f(x)-f(x_0)=f'(x_0)\cdot (x-x_0)+(x-x_0)\cdot o(1,x_0)$\\$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot (x-x_0)+o(x-x_0,x_0)$$\end{notazione}\begin{definizione}[Differenziabilità]Sia $f_I\rightarrow\mathbb{R}, x_0$ punto interno di $I$; $f$ sidice \emph{differenziabile} in $x_0$ se $\forall x\in I, \existsL>0:f(x)=f(x_=)+L\cdot (x-x_0)+o(x-x_0,x_0)$.\end{definizione}\begin{definizione}[Derivata Seconda, $k$-esima]$f(x_0)=\frac{d^2}{dx^2}=\dot{\dot{f}}(x)=\frac{d}{dx}f'(x)$.$f^{(k)}(x_0)=\frac{d^k}{dx^k}=\frac{d}{dx}f^{(k-1)}$.\end{definizione}\begin{notazione}[Classe $C^k$]$f\in C^k, k\in\mathbb{N}, k\geq 1$ sta ad indicare che $f$ èderivabile $k$ volte in $I$ con derivate continue in $I$ (inparticolare, è continua $f^{(k)}$.\\In particolare, $C^0(I)=C(I)$ denota lo spazio vettoriale dellefunzioni continue in $I$; $C^{+\infty}(I)$ denota l'insieme dellefunzioni che ammettono derivate di ogni ordine in $I$ e tali che$\forall k, \frac{d^k}{dx^k}f\in C(I)$.\end{notazione}\begin{osservazione}I polinom\^{i} appartengono a $C{+\infty}(\mathbb{R})$ con laproprietà $\frac{d^k}{dx^k}P=0 \mbox{ se } k>\textsf{deg}P$.\\$e^x\in C^{+\infty}(\mathbb{R})$.\end{osservazione}\begin{teorema}La funzione $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ è differenziabile in $x_0$punto interno di $I$ sse è derivabile in $x_0$ e in tal caso$L=f'(x)$.\end{teorema}\begin{teorema}Siano $f,g: I\rightarrow\mathbb{R}, x_0$ punto interno di $I$,$f\equiv g$ in un intorno di $x_0$; allora $f$ è derivabile in$x_0$ sse lo è $g$ e in tal caso $f'(x_0)=g'(x_0)$.\end{teorema}\subsection{Proprietà locali di una funzione}\begin{osservazione}[Derivata prima e monotonia]Sia $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ derivabile in $x_0$ e debolmentecrescente $\|$decrescente$\|$ in un intorno di $x_0$. Allora$f'(x_0)\geq 0 \|\leq 0\|$.\end{osservazione}\begin{definizione}[Punto di Massimo $\|$Minimo$\|$relativo debole (locale)] Sia $f:I\rightarrow\mathbb{R}$derivabile in $x_0\in I$; $x_0$ si dice \emph{punto di massimo$\|$minimo$\|$ relativo debole (locale)} di $f$ se $\forall x\inI\cap (x_0-\delta, x_0+\delta), \exists\delta>0:f(x)\leq f(x_0)\|\geq f(x_0)\|$.\end{definizione}\begin{definizione}[Punto di Massimo $\|$Minimo$\|$ relativoforte (stretto)] Sia $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ derivabile in$x_0\in I$; $x_0$ si dice \emph{punto di massimo $\|$minimo$\|$relativo forte (stretto)} di $f$ se $\forall x\in I\cap(x_0-\delta, x_0+\delta), \exists\delta>0:f(x)< f(x_0) \|>f(x_0)\|$.\end{definizione}\begin{definizione}[Punto di Massimo $\|$Minimo$\|$ assoluto]$x_0$ di dice \emph{punto di massimo $\|$minimo$\|$ assoluto} di$f$ se $\forall x\in I, f(x)\leq \|\geq\| f(x_0)$.\end{definizione}\begin{definizione}[Punto stazionario]Se $x_0$ è tale che $f'(x_o)$ allora $x_0$ è detto \emph{puntostazionario} di $f$.\end{definizione}\begin{teorema}[Fermat]Sia $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ derivabile in $x_0$, sia $x_0\in I$estremo relativo, allora $f'(x_0)=0$.\end{teorema}\begin{teorema}[Conseguenza 1 Teorema di Lagrange]Sia $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ continua in $I$ e derivabile neipunti interni di $I$, con derivata prima positiva (strettamentepositiva, negativa, strett. negativa) in tali punti. Allora $f$ ècrescente (decrescente, str. crescente, str. decrescente) in taleintervallo.\end{teorema}\begin{teorema}[Conseguenza 2 Teorema di Lagrange]Sia $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ continua in $I$ e derivabile neipunti interni di $I$, con derivata prima nulla in tali punti.Allora $f$ è costante in tale intervallo.\end{teorema}\begin{criterio}[Massimi, minimi relativi]Se $\exists\delta>0:f'(x)\leq 0 (\geq) \mbox{ in }(x_0-\delta,x_0) \mbox{ e } f'(x)\geq 0 (\leq 0) \mbox{ in } (x_0,x_0+\delta)$ allora $x_0$ è un punto di minimo (massimo) relativodi $f$. Se le disuguaglianze valgono con i segni forti, allora$x_0$ è punto di minimo (massimo) relativo stretto.\end{criterio}\begin{teorema}Sia $f:I\rightarrow\mathbb{R}\in C^2, f'(x_0)=0, f(x_0)>0 (<),x_0$ punto interno di $I$. Allora $x_0$ è punto di minimo(massimo) relativo forte di $f$, e viceversa condizione necessariaaffinchè $x_0$ sia punto di minimo (massimo) relativo forte è che$f(x_0)\geq (\leq) 0$.\end{teorema}\subsection{Convessità}\begin{definizione}[Funzione Convessa]$f:I\rightarrow\mathbb{R}$ si dice \emph{convessa} se:\\$\forall x_0,x_1\in I: x_0<x_1, \forall t\in[0,1], f(t\cdotx_0+(1-t)\cdot x_1)\leq t\cdot f(x_0)+(1-t)\cdot f(x_1)$.\end{definizione}\begin{definizione}[Funzione Concava]$f$ si dice \emph{concava} se $-f$ è convessa.\end{definizione}\begin{teorema}Sia $f$ convessa in $I$; allora:\\$\forall x>x_0, f(x)\geq f(x_0)+f'_+(x_0)\cdot (x-x_0)$;\\$\forall x<x_0, f(x)\geq f(x_0)+f'_-(x_0)\cdot (x-x_0)$.\end{teorema}\begin{definizione}[Punto di flesso]$f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}$, $x:0$ punto interno di $I: f$convessa (concava): in $(a,x_0)$ e concava (convessa) in$(x_0,b)$. $x_0$ si dice \emph{punto di flesso} per $f$. $x_0$ sidice \emph{flesso ascendente (discendente)} se $f$ è localmentecrescente (decrescente) in un intorno di $x_0$.\end{definizione}\begin{definizione}[Asintoto obliquo]$f:(a,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ ha \emph{asintoto obliquo} a$+\infty$ se $\lim_{x\rightarrow +\infty}=\pm\infty$ e:\\$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{x}=a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$$;\\$$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)-a\cdot x=b\in\mathbb{R}$$.\\In questo caso l'asintoto obliquo è $y:a\cdot x+b$.\end{definizione}\begin{osservazione}$f,g$ convesse in $I\Rightarrow f+g$ convessa in $I$.\end{osservazione}\subsection{Teoremi}\begin{teorema}[di Rolle] Sia $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ continua in $[a,b]$ e derivabile su $(a,b)$e sia $f(a)=f(b)$; allora $\exists x_0\in (a,b)$ t.c.$f'(x_0)=0$.\\\end{teorema}\begin{teorema}[di Lagrange o del Valor Medio] Sia $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ continua in $[a,b]$e derivabile in $(a,b)$; allora $\exists x_0\in]a,b[$t.c. $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(x_0)$.\\\end{teorema}\begin{teorema}[di Cauchy] Siano $f(x)$ e $g(x)$ due funzioni continue su$[a,b]$ e derivabili su $]a,b[$ e sia $g'(x)\neq 0\forall x\in[a,b]$;allora $\exists x_0\in]a,b[$ t.c. $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}$.\\\end{teorema}\subsection{Teoremi Funzioni Convesse}\begin{teorema}[1]Sia $f: I\rightarrow\mathbb{R}$ convessa; siano $x_0, x_1\in I:x_0<x_1$. Allora $\forall x\in [x_0,x_1], f(x)\leqf(x_0)+\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}\cdot(x-x_0)\stackrel{def}{=}r_{x_0x_1}(x);\\\forall x\not\in[x_0,x_1], f(x)\geq r_{x_0x_1}(x)$.\end{teorema}\begin{teorema}[2]Siano $f: I\rightarrow\mathbb{R}$ convessa in $I$, $r$ una retta;Se $\exists x_0<x_1<x_2\in I:f(x_j)=r(x_j), j=0,1,2$ allora$\forall x\in[x_0,x_2], f(x)=r(x)$.\end{teorema}\begin{teorema}[3]Sia $f: I\rightarrow\mathbb{R}$, sia $x_0\in I$. Sia:\\$R_{x_0}f:I\setminus\{x_0\}\rightarrow\mathbb{R},\\R_{x_0}f(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$,\\allora $f$ è convessa in $I$ sse $R_{x_0}f$ è crescente in$I\setminus\{x_0\}$. Eventualmente, si considera l'unico rapportoincrementale calcolabile.\end{teorema}\begin{teorema}Sia $f$ convessa in $I$; allora è continua in tutti i puntiinterni di $I$ in quanto $\exists\lim R_{x_0}f(x)$.\end{teorema}\begin{teorema}[Convessità-derivabilità]Sia $f: (a,b)\rightarrow\mathbb{R}$ derivabile in $(a,b)$; $f$ èconvessa (concava) in $(a,b)$ sse $f'$ è crescente (decrescente)in $(a,b)$, è strettamente convessa (concava) se $f'$ è str.crescente (decrescente).\end{teorema}\subsection{Derivate Fondamentali}%\ding{42} Tabella \ref{tab:Derivate} a pag.\pageref{tab:Derivate}\begin{table}[htbp]\begin{center}\begin{tabular}{c|c}$f(x) $ & $f'(x) $\\\hline$k $ & $0 $\\$x^n $ & $nx^{n-1} $\\$\sin x $ & $\cos x $\\$\cos x $ & $-\sin x $\\$\tan x $ & $1+\tan ^2 x $\\$\tan x $ & $\frac{1}{\cos ^2 x} $\\$\cot x $ & $-1-\cot ^2 x $\\$\cot x $ & $-\frac{1}{\sin ^2 x} $\\$e^x $ & $e^x $\\$a^x $ & $a^x \log a $\\$\log x $ & $\frac{1}{x}$\\$\log_{a} x $ & $\frac{log_{a}e}{x}$\\$\arcsin x $ & $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $\\$\arccos x $ & $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $\\$\arctan x $ & $\frac{1}{1+x^2} $\\$\textsf{arccot} x $ & $-\frac{1}{1+x^2} $\end{tabular}\end{center}\caption{Derivate Fondamentali}\label{tab:Derivate}\end{table}\subsection{Regole di Derivazione}Siano $f,g:I\rightarrow\mathbb{R}$ derivabili in $x_0$, $x_0$punto interno di $I$, $\lambda\in\mathbb{R}$; allora valgono iseguenti teoremi algebrici o regole di derivazione.\\%\ding{42} Tabella \ref{tab:Derivazione} apag.\pageref{tab:Derivazione}\begin{table}[htbp]\begin{center}\begin{tabular}{ll}$y=f(x)\pm g(x) $ & $y'=f'(x)\pm g'(x) $\\$y=k\cdot f(x) $ & $y'=k\cdot f'(x) $\\$y=f(x)\cdot g(x) $ & $y'=f'(x)\cdot g(x)+f(cx)\cdot g'(x) $\\$y=\frac{f(x)}{g(x)} $ & $y'=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(cx)\cdot g'(x)}{g^2(x)} $\\$y=f(g(h(x))) $ & $y'=f'(g(h(x)))\cdot g'(h(x))\cdot h'(x) $\\$y=[f(x)]^{g(x)} $ & $y'=[f(x)]^{g(x)}\cdot [g'(x)\cdot\log f(x)+g(x)\cdot\frac{f'(x)}{f(x)}] $\end{tabular}\end{center}\caption{Regole di Derivazione}\label{tab:Derivazione}\end{table}\begin{osservazione}[Conseguenza]I polinom\^{i} sono derivabili in $\mathbb{R}$ e la derivata di unpolinomio di grado $n$ è un polinomio di grado $n-1$.\end{osservazione}\begin{teorema}[Derivabilità della funzione inversa]Sia $f$ strettamente monotòna definita in $I$ e ivi continua,derivabile in $x_0$ punto interno di $I$ tale che $f'(x_0)\neq 0$,allora $f$ è invertibile e la sua inversa è derivabile in$f(x_0)$. Inoltre:\\$(f^{-1})'(f(x_0))=\frac{1}{f'(x_0)}$\\$(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$\end{teorema}\section{Integrali}\subsection{Definizione}\begin{definizione}[Integrale]$\int f(x)\, dx=F(x)+c \Leftrightarrow F'(x)=f(x) $\\$F(x)$ si dice \emph{primitiva} di $f(x)$.\end{definizione}\begin{teorema}[di Torricelli-Barrow]$\int_a^b f(x)\, dx=F(b)-F(a) $\end{teorema}\subsection{Integrale di Riemann}\begin{definizione}[Partizione]Si dice \emph{partizione} di $[a,b]$ ogni insieme di punti$a=t_0<t_1<\cdots<t_n=b$. Data $\delta$ partizione di $[a,b]$, siha:\\$$[a,b]=\bigcup_{j=0}^{n-1}[t_j,t_{j+1}]$$\end{definizione}\begin{notazione}[Somme superiori e inferiori]$$s(f,\delta)=\{\sum_{j=0}^{n-1}\stackrel{\textsf{inf}}{t\in[t_j,t_{j+1}}f(t)\cdot (t_{j+1}-t_j)\}$$$$S(f,\delta)=\{\sum_{j=0}^{n-1}\stackrel{\textsf{sup}}{t\in[t_j,t_{j+1}}f(t)\cdot (t_{j+1}-t_j)\}$$\end{notazione}\begin{definizione}[Funzione Riemann-integrabile]$f$ è \emph{integrabile} se esiste unico l'elemento separatore tra$s(f)$ e $S(f)$ ovvero se $\textsf{sup}s(f)=\textsf{inf}S(f)$.Tale elemento separatore si dice \emph{integrale} di $f$ in$[a,b]$ e si scrive:\\$$\int_a^bf(x)\,dx=\textsf{sup}s(f)=\textsf{inf}S(f)$$ovvero $f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ limitata è integrabile in$[a,b]$ se $\forall\varepsilon>0, \exists\delta:S(f,\delta)-s(f,\delta)\leq\varepsilon$.\end{definizione}\begin{osservazione}[Conseguenza]$f$ monotòna è integrabile.\\$f$ continua è integrabile.\\Lo spazio $\mathcal{R}$ delle funzioni integrabili è vettoriale el'applicazione $\mathcal{R}\rightarrow\mathbb{R},f\rightarrow\int_1^b f(t)\,dt$ è lineare.\end{osservazione}\begin{notazione}$\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx$\\$\int_a^a f(x)\,dx=0$\end{notazione}\begin{definizione}[Funzione integrale]$f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ R-integrabile in $[a,b]$,$c\in[a,b]$ fissato; la funzione $F:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$definita da:\\$$F(x)=\int_c^xf(t)\,dt$$si dice \emph{funzione integrale} di $f$.\end{definizione}\subsection{Teoremi}\begin{teorema}[della Media]$\stackrel{inf}{[a,b]}f\leq\frac{1}{b-a}\cdot \int_a^bf(x)\,dx\leq\stackrel{sup}{[a,b]}f$\\$$ \exists c\in [a,b]\mbox{ t.c. } f(c)=\frac{\int_a^b f(x)\, dx}{b-a}$$\\\end{teorema}\begin{teorema}[fondamentale del Calcolo Integrale]$f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ R-integrabile in $[a,b]$; allora:\\\begin{enumerate}\item $\forall c\in[a,b], F(x)=\int_c^xf(t)\,dt$ èlipschitziana e $|F(x)-F(y)|\leq\stackrel{\textsf{sup}}{t\in[a,b]}|f(t)|\cdot |y-x|$;\\\item se $f$ è continua in $x_0\in(a,b)$, allora $F$ è derivabilein $x_0$ e $F'(x_0)=f(x_0)$;\\\item se $f$ è continua in $a$ ($b$), allora $F$ è derivabile a dx(sx) in $a$ ($b$) e $F'_+(a)=f(a) (F'_-(b)=f(b))$;\\\item $\forall \alpha,\beta\in[a,b]: \alpha\leq\beta,\int_\alpha^\beta f(x)\,dx=F(\beta)-F(\alpha)$\\\end{enumerate}\end{teorema}\subsection{Integrali Notevoli Fondamentali}$$\int x^n \, dx= \frac{x^{n+1}}{n+1}+c\mbox{ con } n\neq -1 $$\\$$\int \frac{1}{x}\, dx=\log |x|+c $$\\$$\int\sin x\, dx=-\cos x +c $$\\$$\int\cos x\, dx=\sin x +c $$\\$$\int\frac{1}{\cos ^2 x}\, dx=\tan x +c $$\\$$\int (1+\tan ^2 x) \, dx=\tan x +c $$\\$$\int\frac{1}{\sin ^2 x}\, dx=-\cot x +c $$\\$$\int (1+\cot ^2 x) \, dx=-\tan x +c $$\\$$\int e^x\, dx=e^x +c $$\\$$\int a^x\, dx=a^x\cdot log_a e +c $$\\$$\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+c $$\\$$\int\frac{dx}{1+x^2}=\arctan x +c $$\subsection{Regole di Integrazione}\begin{description}\item [1a] $\displaystyle \int k\cdot f(x)\, dx=k\cdot \int f(x)\, dx$\\\item [1b] $\displaystyle \int [f_1(x)+f_2(x)+\cdots +f_n(x)]\,dx=\int f_1(x)\, dx+\int f_2(x)\, dx+\cdots +\int f_n(x)\, dx$\\\item [2, monotonia] $\forall x\in [a,b], f(x)\leqg(x)\Rightarrow\int_a^b f(x)\,dx\leq\int_a^b g(x)\,dx$\\\item [2bis] $\forall x\in [a,b], g(x)\geq 0\Rightarrow\int_a^bg(x)\,dx\geq 0$\\\item [3, spezzamento] $\int_a^bf(x)\,dx=\int_a^cf(x)\,dx+\int_c^bf(x)\,dx$\\\end{description}\subsection{Altri Integrali Notevoli}$\displaystyle \int\sqrt{a^2-x^2}\, dx=\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+c $\\$\displaystyle \int\sqrt{a^2+x^2}\, dx=\frac{x}{2}\cdot \log (x+\sqrt{a^2+x^2})+\frac{x}{2}\cdot\sqrt{a^2+x^2}+c $\\$\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}\, dx=\log |x+\sqrt{a^2+x^2}|+c $\\$\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\, dx=\arcsin\frac{x}{a}+c $\\$\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}\, dx=\log |x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+c $\\$\displaystyle \int\frac{1}{x^2-a^2}\, dx=\frac{1}{2a}\cdot\log |\frac{x-a}{x+a}|+c $\\$\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{x^2+px+q}}\, dx=\log |x+\frac{p}{2}+\sqrt{(x+\frac{p}{2})^2+q-\frac{p^2}{4}}|+c $\\$\displaystyle \int\cos \alpha x\cos \beta x\, dx=\frac{\sin (\alpha+\beta)x}{2(\alpha+\beta)}+\frac{\sin (\alpha-\beta)x}{2(\alpha-\beta)}+c $\\$\displaystyle \int e^x\cdot \sin x\, dx=-\frac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)+c$\\$\displaystyle \int e^x\cdot \cos x\, dx=-\frac{1}{2}e^x(\sin x+\cos x)+c$\subsection{Integrali per Serie}$\displaystyle \mathcal{I}_n=\int\sin ^{2n}x\, dx=\frac{1}{2n}[-\sin^{2n-1}x\cos x+(2n-1)\mathcal{I}_{n-1}]\mbox{ con }\mathcal{I}_0=x+c; \mathcal{I}_1=-\frac{1}{2}\sin x \cos x+\frac{1}{2}x+c $\\$\displaystyle \mathcal{I}_n=\int\log ^{n}x\, dx=x\log^n x-n\cdot\mathcal{I}_{n-1}\mbox{ con }\mathcal{I}_0=x+c; \mathcal{I}_1=x\log x-x+c $\\$\displaystyle \mathcal{I}_n=\int x^n\cdot e^x\, dx=x^n\cdot e^x-n\cdot \mathcal{I}_{n-1}\mbox{ con }\mathcal{I}_0=e^x+c; \mathcal{I}_1=xe^x-x+c$\\$\displaystyle \mathcal{I}_{n+1}=\int\frac{1}{(1+x^2)^{n+1}} \,dx=\frac{x}{2n\cdot(1+x^2)^n}+\frac{2n-1}{2n}\mathcal{I}_{n-1}\mbox{con }\mathcal{I}_0=\arctan x+c;\mathcal{I}_1=\frac{x}{2(1+x^2)}+frac{1}{2}\arctan x+c $\subsection{Integrazione di Funzioni Goniometriche}$\displaystyle \int\sin^{2k+1}x\, dx=\int\sin^{2k}x\cdot\sin x\, dx=-\int(1-\cos^2 x)^k\, d\cos x $\\$\displaystyle \int\sin^{2k}x\, dx=\frac{1}{2}\int(\frac{1-\cos 2x}{2})^k\, d2x$\subsection{Integrazione di Funzioni Razionali}\begin{eqnarray*}f(x) & = &\frac{P(x)}{Q(x)}=\\& = &S(x)+\frac{R(x)}{Q(x)}=\\& = & S(x)+\frac{A_1}{(x-x_1)}+\frac{A_2}{(x-x_1)^2}+\cdots+\frac{A_{r_1}}{(x-x_1)^{r_1}}+\\& + & \frac{B_1}{(x-x_2)}+\frac{B_2}{(x-x_2)^2}+\cdots+\frac{R_{r_2}}{(x-x_2)^{r_2}}+\cdots+\\& + & \frac{\alpha_1\cdot x+\beta_1}{(x^2+a_1\cdotx+b_1)}+\cdots+\frac{\alpha_{l_1}\cdotx+\beta_{l_1}}+\frac{\gamma_1\cdot x+\delta_1}{(x^2+a_1\cdotx+b_1)}+\cdots+\\& + & \frac{\gamma_{l_2}\cdot x+\delta_{l_2}}+\cdots\end{eqnarray*}$$\mathcal{I}=\int\frac{P_1(x)}{P_2(x)}\, dx=\int Q(x)\,dx+\int\frac{R(x)}{P_2(x)}\, dx \mbox{ dove vale }P_1(x)=$$$$P_2(x)\cdot Q(x)+R(x)\mbox{ ed è } \varrho R(x)<\varrho P_2(x)$$Considerato il caso in cui $\varrho P_2(x)=2$ e quindi $\varrhoR(x)=0\vee 1$, essendo $P_2(x)=ax^2+bx+c$ con $a,b,c$ costantiassegnate, dette $\alpha_1,\alpha_2$ le radici di $P_2(x)=0$,definito $\Delta=b^2-4ac$, considerati $A$ e $B$ costanti in$\mathbb{R}$, si hanno i seguenti tre casi, a seconda del segno di$\Delta$:\begin{enumerate}\item $\Delta P_2(x)>0\longrightarrow \mathcal{I}=\frac{1}{a}\int\frac{A}{x-\alpha_1}\, dx+\frac{1}{a}\int\frac{B}{x-\alpha_2}\, dx=\frac{A}{a}\log |x-\alpha_1|+\frac{B}{a}\log |x-\alpha_2|+c$\\\item $\Delta P_2(x)=0\longrightarrow \mathcal{I}=\frac{1}{a}\int\frac{A}{x-\alpha}\, dx+\frac{1}{a}\int\frac{B}{(x-\alpha)^2}\, dx=\frac{1}{a} A\log |x-\alpha|-\frac{A\alpha +B}{a(x-\alpha)}+c$\\\item $\Delta P_2(x)<0\longrightarrow\mathcal{I}=\int\frac{gx+h}{ax^2+bx+c}\,dx=$\\$=gs\int\frac{d(ax^2+bx+c)}{x^2+bx+c}+ht\int\frac{dx}{(kx+j)^2+1}=$\\$=gs\log|ax^2+bx+c|+ht\arctan(kx+j)+c$\end{enumerate}\subsection{Tecniche di Integrazione}$\mbox{{\bfseries Integrazione per Sostituzione}: }x=g(t)\longrightarrow \int f(x)\, dx=\int f(g(t))\cdot g'(t)\, dt$\\$\mbox{{\bfseries Integrazione per Parti}: }\int f'(x)g(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)\, dx$\subsection{Integrazione Numerica \footnote{Marcello Pedone, {\itshape Integrazione Numerica eValutazione dell'errore}, {\ttfamilyhttp://www.matematicamente.it}}}\begin{metodo}[dei rettangoli]Si approssima l'area sottesa alla curva alla somma di $ n $ rettangoli la cui base tende a $ 0 $ tendendo l'errore$ e $ a $ 0 $ e la cui altezza è pari al valore della funzione all'estremo sinistro o destro della base.\\$\displaystyle\int_a^bf(x)\, dx\simeq\frac{b-a}{n}\cdot [f(x_0)+f(x_1)+\cdots +f(x_{n-1})] $\\$\displaystyle e\leq\frac{(b-a)^2}{2n}\cdot M \mbox{ con }|f'(x)|\leq M $\\\end{metodo}\begin{metodo}[dei trapez\^i]Si approssima l'area sottesa alla curva alla somma di $ n $ trapezi la cui altezza tende a $ 0 $ tendendo l'errore$ e $ a $ 0 $ e le cui basi sono i valori della funzione all'estremo destro e sinistro della base.\\$\displaystyle\int_a^bf(x)\, dx\simeq\frac{b-a}{2n}\cdot [f(x_0)+f(x_n)+2\cdot[f(x_1)+\cdots +f(x_{n-1})]] $\\$\displaystyle e\leq\frac{(b-a)^3}{12n^2}\cdot M \mbox{ con }|f(x)|\leq M $\\\end{metodo}\begin{metodo}[di Cavalieri-Simpson]$\displaystyle\int_a^bf(x)\, dx\simeq\frac{b-a}{3n}\cdot [f(x_0)+f(x_n)+4\cdot [f(x_1)+f(x_3)+\cdots ]+2\cdot [f(x_2)+f(x_4)+\cdots]] $\\$\displaystyle e\leq\frac{(b-a)^5}{180n^4}\cdot M \mbox{ con }|f^{iv}(x)|\leq M $\end{metodo}\subsection{Lunghezze di Archi di Curva, Volumi e Superfici di Solidi di Rotazione}$\displaystyle \ell=\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+[f'(x)]^2}\, dx $\\$\displaystyle\left\{\begin{array}{c}x=x(t)\\y=y(t)\end{array}\right.\rightarrow\ell =\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\, dt$\\$\displaystyle \mathcal{V}=\pi\cdot\int_a^b[f(x)]^2\, dx $\\\begin{teorema}[di Guldino]Il volume di un solido generato da una superficie piana $\mathcal{S}$ che compie una rotazionecompleta intorno ad una retta del suo piano che non l'attraversa è dato dal prodotto dell'area di $\mathcal{S}$ per la lunghezzadella circonferenza descritta dal baricentro di $\mathcal{S}$. \end{teorema}\\\begin{teorema}[Regola di Archimede] L'area di un segmento parabolico è i $\frac{2}{3}$ dell'area del rettangolo in cui è inscritto.\end{teorema}$$S_{laterale}=2\cdot\pi\int_a^b f(x)\cdot\sqrt{1+[f'(x)]^2}\, dx$$\section{Polinomio di Taylor}\begin{teorema}$n\in\mathbb{N},\delta P=\deltaQ=n:f(x)=P(x)+o((x-x_0)^n,x_0)=Q(x)o((x-x_0)^n,x_0)\RightarrowP\equiv Q$\end{teorema}\begin{teorema}[Polinomio e Formula di Taylor, Polinomio di Mac Laurin]$f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}, x_0\in(a,b)$,$f$ derivabile $n-1$ volte in $(a,b)$ e $n$ volte in $x_0$.Allora la seguente è una approssimazione di $f$:\\$$f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n,x_0)$$\\e si dice \emph{polinomio di Taylor} di grado $n$ centrato in$x_0$ il seguente:\\$$P_{n,x_0}f=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot(x-x_0)^k$$\\Per $x_0=0$ si ha il \emph{polinomio di Mac Laurin}.\end{teorema}\subsection{Formula di Taylor con resto di Lagrange}\begin{teorema}Sia $f:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}, x_0\in(a,b), f$ derivabile$n+1$ volte in $x_0$; allora $\exists c=c(x)\in(\textsf{min}\{x_0,x\}, \textsf{max}\{x_0,x\}):$\\$$f(x)=P_{n,x_0}f(x)+\frac{f^{(n+1)}(c(x))}{(n+1)!}\cdot(x-x_0)^{n+1}$$\end{teorema}\subsection{Formula di Taylor con resto di integrale}$f:I\rightarrow\mathbb{R}, x_0\in I, f\in C^n(I)$:$$f(x)-P^{x_0}_{n}f(x)=\frac{1}{n!}\cdot\int_{x_0}^{x}f^{(n+1)(t)\cdot(x-t)^{n}\,dt}$$\subsection{Sviluppi di Taylor}$$f(x)=P_{n,0}f+o(x^n,0)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot(x-x_0)^k+o(x^n,0)$$\hline\\\hline\\$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n,0)$$$$\log(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots+(-1)^{n-1}\cdot\frac{x^n}{n}+o(x^n,0)$$$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2},0)$$$$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1},0)$$$$\tan x=P_{6,0}\tan+o(x^6,0)=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2\cdot x^5}{15}+o(x^6,0)$$$$\arcsin x=x+\frac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{3}+\frac{3}{8}\cdot\frac{x^5}{5}+\cdots+\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+2},0)$$$$\arccos x=\frac{\pi}{2}-x-\frac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{3}+\cdots-\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+2},0)$$$$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\cdots+(-1)^n\cdot\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+2},0)$$$$\sinh x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2},0)$$$$\cosh x=1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1},0)$$$$\tanh x=P_{6,0}\tanh+o(x^6,0)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2\cdot x^5}{15}+o(x^6,0)$$$$\textsf{arcsinh} x=x-\frac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{3}+\frac{3}{8}\cdot\frac{x^5}{5}+\cdots+(-1)^n\cdot\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+2},0)$$$$\textsf{arctanh} x=\frac{1}{2}\cdot\log\frac{1+x}{1-x}=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\cdots+\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+2},0)$$$$(1+x)^\alpha=1+\alpha\cdot x+\frac{\alpha\cdot (\alpha-1)}{2}\cdot x^2+\cdots+\frac{\alpha !}{(\alpha-n)!\cdot n!}\cdot x^n+o(x^n,0)$$$$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2+\cdots+(-1)^n\cdot x^n+o(x^n,0)$$\section{Studio di Funzione}\begin{enumerate}\item Dominio;\\\item Intersezione con gli assi;\\\item Segno;\\\item Limite (asintoti):\\ \begin{enumerate} \item Asintoto Verticale: $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\infty $;\\ \item Asintoto Orizzontale: $\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=\ell$: $\varrho den=\varrho num$;\\ \item Asintoto Obliquo: $\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=\infty$: $\varrho den=\varrho num-1$:\\ $m=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{x} $\\ $n=\lim_{x\rightarrow\infty}[f(x)-mx] $\\ $A.Ob.: y=mx+n$\\ \end{enumerate}\item Derivata Prima: Crescenza$^+ $/decrescenza$^- $; Punti di Massimo e Minimo Relativi$^0 $;\\\item Derivata Seconda: Concavità verso l'alto$^+ $/basso$^- $; Punti di Flesso$^0 $.\end{enumerate}\section{Approssimazione di Radici Reali}\begin{metodo2}[di Bisezione o Dicotomico] Sia $ f(x) $ una funzione continua in $ [a,b] $ t.c. $ f(a)\cdot f(b)<0 $.Allora $ f(x) $ si annulla in almeno un punto $ x_0\in ]a,b[ $ (\ding{42} Teorema \ref{sez:Bolzano} a pag.\pageref{sez:Bolzano}).Considerato il nuovo punto $ f(\frac{a+b}{2}) $, la radice si troverà tra$ ]a,\frac{a+b}{2}[[\Leftrightarrow f(a)\cdot\frac{a+b}{2}<0 $, oppure tra$ ]\frac{a+b}{2},b[[\Leftrightarrow \frac{a+b}{2}\cdot f(b)<0 $.Iterando il procedimento, si ottengono intervalli di soluzione con un'approssimazione sempre minore.\end{metodo2}\begin{metodo2}[della Secante] Sia $ f(x) $ una funzione continua in $ [a,b] $ t.c. $ f(a)\cdot f(b)<0 $.Allora $ f(x) $ si annulla in almeno un punto $ x_0\in ]a,b[ $ (\ding{42} Teorema \ref{sez:Bolzano} a pag.\pageref{sez:Bolzano}).Per determinare questo valore, si consideri la retta passante per i due punti $ (a, f(a)) $ e $ (b, f(b)) $; questa rettaintersecherà l'asse $ x: y=0 $ in un punto $ c $ a cui corrisponderà $ f(c) $. La radice si troverà tra$ ]a,c[[\Leftrightarrow f(a)\cdot f(c)<0 $, oppure tra$ ]c,b[[\Leftrightarrow f(c)\cdot f(b)<0 $.Iterando il procedimento, si ottengono intervalli di soluzione con un'approssimazione sempre minore.\end{metodo2}\begin{metodo2}[della Tangenteo di Newton] Sia $ f(x) $ una funzione continua in $ [a,b] $ t.c. $ f(a)\cdot f(b)<0 $.Allora $ f(x) $ si annulla in almeno un punto $ x_0\in ]a,b[ $ (\ding{42} Teorema \ref{sez:Bolzano} a pag.\pageref{sez:Bolzano}).Per determinare questo valore, si consideri la retta tangente alla curva in $ (a, f(a)) $ o $ (b, f(b)) $ e t.c. intersechi l'asse$ x: y=0 $ in un punto $ c\in ]a,b[ $ a cui corrisponderà $ f(c) $. La radice si troverà tra$ ]a,c[[\Leftrightarrow f(a)\cdot f(c)<0 $, oppure tra$ ]c,b[[\Leftrightarrow f(c)\cdot f(b)<0 $.Iterando il procedimento, si ottengono intervalli di soluzione con un'approssimazione sempre minore.\end{metodo2}\chapter{Combinatoria e Probabilità}\section{Combinatoria}\subsection{Fattoriale}\begin{definizione}[Fattoriale]$$ n!=1\cdot 2\cdot\, \cdots\, \cdot (n-1)\cdot n=\prod_{i=1}^{n}i $$$$\left\{\begin{array}{l}0\,!=1 \\ n\,!=n\cdot(n-1)\, ! \mbox{ per } n\geq 1\end{array}\right.$$\end{definizione}\subsection{Coefficienti Binomiali}\begin{definizione}[Coefficiente Binomiale]$${n \choose k}= \frac{n\, !}{(n-k)\,!\: k\, !} $$\end{definizione}$${n \choose k} = {n \choose n-k}$$$${n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}$$\subsection{Combinazioni}\begin{itemize}\item Natura.\end{itemize}$ \mathcal{P}_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}={n \choose k}$\\$ \mathcal{C}'_{n,k}= {n+k-1 \choose k}$\subsection{Permutazioni}\begin{itemize}\item Ordine.\end{itemize}$\mathcal{P}_{n}=n!$\\$\mathcal{D}'_{n}^{k_1,k_2,\cdots ,k_n}=\frac{n!}{k_1!\cdotk_2!\cdot\,\cdots\,\cdot k_n!}$\subsection{Disposizioni}\begin{itemize}\item Natura;\item ordine.\end{itemize}$\mathcal{D}_{n,k}=\mathcal{C}_{n,k}\cdot\mathcal{P}_k=\frac{n!}{(n-k)!}$\\$\mathcal{D}'_{n,k}=n^k$\section{Probabilità}\subsection{Definizioni}\begin{enumerate}\item {\bfseries Definizione Classica (Laplace)}: per casi \emph{equiprobabili} è $p=\frac{f}{n}$;\\\item {\bfseries Definizione Frequentista (Legge dei Grandi Numerio Legge Empirica del Caso)}:$\displaystyle p=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{f}{n}$;\\\item {\bfseries Definizione Soggettivista};\item {\bfseries Definizione Assiomatica}: \begin{enumerate} \item $p(\emptyset)=0$\\ \item $p(\Omega)=1$\\ \item $0\leq f\leq n\rightarrow 0\leq \frac{f}{n}\leq 1\rightarrow0\leq p\leq 1$\\ \item $p(A^c)=p(\bar{A})=1-p(A)$ \end{enumerate}\end{enumerate}\subsection{Probabilità Condizionata}$p(A\setminus B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)}$\subsection{Somma}\begin{itemize}\item Per eventi \emph{incompatibili} (tali cioè che $A\cap B=\O$): $p(A\cup B)=p(A)+p(B)$.\\\item Per eventi \emph{compatibili} (tali cioè che $A\cap B\neq\O$): $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cup B)$.\end{itemize}\subsection{Prodotto}\begin{itemize}\item Per eventi \emph{stocasticamente indipendenti} (tali cioè che $p(A)=p(A\setminus B$): $p(A\cap B)=p(A)\cdot p(B)$.\\\item Per eventi \emph{stocasticamente dipendenti} (tali cioè che $p(A)\neq p(A\setminus B$): $p(A\cup B)=p(A)\cdot p(B\setminus A)$.\end{itemize}\subsection{Formula di Bayes}$$p(H_i\setminus E)=\frac{p(H_i)\cdot p(E\setminus H_i)}{\displaystyle \sum^n_1 p(H_i)\cdot p(E\setminus H_i)} $$\subsection{Distribuzione Binomiale di Bernoulli}$$p_{n,k}={n \choose k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$$\subsection{Speranza Matematica o Valor Medio}$\displaystyle\mathcal{M}(X)=\sum_1^n x_i p_i$\chapter{Aritmetica}\section{Rappresentazione in base \textsl{b}}\subsection{Rappresentazione in base \textsl{b} degli interi}Ogni intero positivo $N$ si pu\`o scrivere nella forma\\\begin{center}$N = a_nb^n + a_{n-1}b^{n-1}+\ldots+a_1b+a_0$,\end{center}dove $0\leq a_i < b$ per ogni $i = 1,\ldots,n$.\subsection{Rappresentazione in base \textsl{b} dei reali}Ogni numero reale $R$ si pu\`o scrivere nella forma\\\begin{center}$\displaystyle R = a_nb^n + a_{n-1}b^{n-1}+\ldots+a_1b+a_0+\sum_{i=1}^{\infty} a_{-i}b^{-i}$,\end{center}dove $0\leq a_i < b$ per ogni $i\leq n$, positivo, negativo, o nullo.\section{Divisibilit\`a}\subsection{Divisibilit\`a}\begin{definizione}[Divisibilit\`a]Un numero intero c \`e detto divisibile per un secondo numerointero b diverso da zero se e solo se esiste un terzo numerointero x tale che $c = b\cdot x$.\end{definizione}\begin{osservazione}Si dice anche, equivalentemente, che b \`e un divisore di c ovvero che c \`e un multiplo di b. La propriet\`a "c \`e divisibile per b" ovvero "b \e' un divisore di c" ovvero "c \`e un multiplo di b" si indica con la grafia:\begin{center}$b|c$\end{center}\end{osservazione}\begin{teorema}[Divisione euclidea]Siano a e b due interi, con $a\neq 0$. Allora esistono due interi q ed r tali che\begin{center}$b=aq+r,$\\$0\leq r < |a|$.\end{center}Inoltre q ed r sono unici. Questa si chiama divisione euclidea, o divisione con resto. In tal caso b si chiama dividendo, a si chiama divisore, q si chiama quoziente e r si chiama resto.\end{teorema}\subsection{Numeri primi}\begin{definizione}[Numeri primi]Un numero primo \`e un intero $> 1$ che ha come divisori positivi soltanto 1 e se stesso. Esistono infiniti numeri primi.\end{definizione}\begin{teorema}[Teorema fondamentale - fattorizzazione] Ogni $n>1$ pu\`o essere scritto in uno ed in un solo modo come prodotto di fattori primi:\begin{center}$n = p_1^{n_1}\cdot p_2^{n_2} \cdots p_m^{n_m}$,\end{center}dove $p_1, p_2,\ldots p_m$ sono primi distinti e $n_1, n_2, \ldots n_m$ sono interi $\geq 1$. Tale scrittura si dice \textsl{fattorizzazione} di $n$. La fattorizzazione \`e unica.\end{teorema}\subsection{Massimo Comun Divisore e Minimo Comune Multiplo}\begin{definizione}Dati due interi $a$ e $b$, un intero $c$ viene detto un loro divisore comune se\begin{center}$c|a$ e $c|b$.\end{center}\end{definizione}\begin{definizione}[Massimo Comun Divisore]Un intero positivo D \`e detto Massimo Comun Divisore dei due interi (positivi) $a$ e $b$ se:\begin{enumerate}\item $D|a$ e $D|b$\item se $x|a$ e $x|b$ allora $x|D$\end{enumerate}e si indica con MCD($a,b$) o $D=(a,b)$.\end{definizione}\begin{definizione}[Interi comprimi]Due interi $a$ e $b$ si dicono \textsl{comprimi} se MCD(a,b)=1.\end{definizione}\begin{definizione}[Combinazioni lineari]Assegnati due numeri interi A e B si dicono loro combinazioni lineari tutti gli interi\begin{center}$h\cdot A + k\cdot B$\end{center}ottenibili sommando o sottraendo tra loro multipli di A e di B.\end{definizione}\begin{teorema}[Teorema di Bezout]Siano $a$ e $b$ due interi e sia $D = (a,b)$. Allora esistono sempre interi $m$ ed $n$ tali che\begin{center}$ma + nb = D$\end{center}\end{teorema}\begin{definizione}[Minimo Comune Multiplo]Si dice Minimo Comune Multiplo di due interi positivi $a$ e $b$ un intero $m$ tale che:\begin{enumerate}\item $a|m$ e $b|m$\item per ogni $n$ tale che $a|n$ e $b|n \Longrightarrow m|n$\end{enumerate}e si indica con mcm(a,b).\end{definizione}\section{Congruenze}\subsection{Congruenza}\begin{definizione}[Congruenza]Si dice che $a$ \`e congruo a $b$ modulo $m$ se $m|(a-b)$ e si indica con\begin{center}$a \equiv b \bmod m$.\end{center}\end{definizione}La congruenza modulo $m$ \`e una relazione di equivalenza, infatti:\\\begin{itemize}\item qualunque sia $a$, $a \equiv a \bmod m$ (riflessivit\`a)\\\item se $a \equiv b \bmod m$ allora $b \equiv a \bmod m$ (simmetria)\\\item se $a \equiv b \bmod m$ e $b \equiv c \bmod m$ allora $a \equiv c \bmod m$ (transitivit\`a).\\\end{itemize}\subsection{Classi di congruenza}L'insieme quoziente dei numeri interi rispetto alla relazione di congruenza modulo $m$ si chiama \textbf{insieme delle classi resto modulo $m$}, ed è formato da $m$ classi distinte. La classe di resto modulo $m$ di un numero $a$ si indica con\begin{center}$[a]_m$\end{center}Per definizione $[a]_m + [b]_m = [a+b]_m$ e $[a]_m\cdot [b]_m = [a\cdot b]_m$.\begin{osservazione}Saper decidere se un numero $a\in [0]_m$ equivale a saper decidere se b \`e divisibile per m.\end{osservazione}\subsection{Criteri di congruenza}Tali criteri servono per determinare a che cosa \`e congruo un numero intero. Questi diventano \textsl{criteri di divisibilit\`a}, cio\`e $a$ \`e divisibile per $m$, se $a \equiv 0 \bmod m$\begin{itemize}\item \textbf{Modulo 2.} Un intero \`e congruo modulo 2 alla sua cifra delle unit\`a.\item \textbf{Modulo 3.} Un intero \`e congruo modulo 3 alla somma delle sue cifre.\item \textbf{Modulo 4.} Un intero \`e congruo modulo 4 all'intero constituito dalle sue due ultime cifre a destra.\item \textbf{Modulo 5.} Un intero \`e congruo modulo 5 alla sua cifra delle unit\`a.\item \textbf{Modulo 10.} Un intero \`e congruo modulo 10 alla sua cifra delle unit\`a.\item \textbf{Modulo 11} Un intero è congruo modulo 11 alla somma a segno alterno delle sue cifre.\end{itemize}\subsection{Il Teorema di Wilson}\begin{teorema}[Teorema di Wilson]Se $p$ \`e primo allora\begin{center}$(p-1)! \equiv -1 \bmod p$.\end{center}\end{teorema}\subsection{Il Teorema di Eulero-Fernat}La funzione euleriana $\phi (m)$ esprime il numero degli interi minori di $m$ primi con $m$, ovvero il numero degli interi $r$ tale che:\begin{enumerate}\item $1\leq r < m$;\item $(r,m) = 1$.\end{enumerate}\begin{teorema}[Teorema di Eulero-Fermat]Se $(b,m) = 1$ allora $b^{\phi (m)} \equiv 1 \bmod m$.\end{teorema}\subsection{Piccolo Teorema di Fermat}\begin{teorema}[Piccolo Teorema di Fermat]Sia a un intero e p un primo tale che (a,p)=1. Allora\begin{center}$a^{p-1} \equiv 1 \bmod p$.\end{center}\end{teorema}\begin{teorema}[Corollario del piccolo Teorema di Fermat]Per ogni intero a si ha che\begin{center}$a^p \equiv a \bmod p$\end{center}\end{teorma}\section{Principio di induzione}Sia $P_n$ una successione di proposizioni, ciascuna collegata a un numero naturale $n$. Supponiamo che\begin{enumerate}\item $P_0$ \`e vera,\item per ogni $n\in \mathbb{N}$ si ha l'implicazione $P_n$ vera \Rightarrow $P_{n+1}$ vera.\end{enumerate}Allora $P_n$ \`e vera per ogni $n\in \mathbb{N}$.\chapter{Alfabeto Greco}%\ding{42} Tabella \ref{tab:AGreco} a pag.\pageref{tab:AGreco}\begin{table}[tbhp]\begin{center}\begin{tabular}{ccll}A & $ \alpha $ & alfa/alpha & angoli piani \\B & $ \beta $ & beta & angoli piani \\$ \Gamma $ & $ \gamma $ & gamma & angoli piani \\$ \Delta $ & $ \delta $ & delta & area; $ \Delta=b^2-4ac $ (\emph{discriminante})\\E & $ \epsilon $/$ \varepsilon $ & epsilon & \\Z & $ \zeta $ & zeta & \\H & $ \eta $ & eta & \\$ \Theta $ & $ \theta $/$ \vartheta $ & theta & angoli \\I & $ \iota $ & iota & \\K & $ \kappa $ & kappa & \\$ \Lambda $ & $ \lambda $ & lambda & scalare di un vettore \\M & $ \mu $ & mu/mi & {\sffamily [SI]}: micro ($ 10^{-6} $)\\N & $ \nu $ & ni/nu & $ \nu $: frequenza\\$ \Xi $ & $ \xi $ & xi & \\O & $ \omicron $ & omicron & \\$ \Pi $ & $ \pi $/$ \varpi $ & pi/pi greco & $ \Pi $: produttoria; $ \pi \simeq 3,141592653589793238462643383279... $\\P & $ \rho $/$ \varrho $ & rho & \\$ \Sigma $ & $ \sigma $/$ \varsigma $ & sigma & $ \Sigma $: sommatoria; $ \sigma $: deviazione standard\\T & $ \tau $ & tau & $ \tau $: sezione aurea ($ 1,618... $)\\$ \Upsilon $ & $ \upsilon $ & upsilon & \\$ \Phi $ & $ \phi $/$ \varphi $ & phi & $ \phi $: sezione aurea ($ 1,618... $); $ \phi (n) $: funzione di Eulero; $ \Phi (\vec{V}) $: flusso\\X & $ \chi $ & chi & \\$ \Psi $ & $ \psi $ & psi & \\$ \Omega $ & $ \omega $ & omega & angoli solidi\\\end{tabular}\end{center}\caption{Alfabeto Greco}\label{tab:AGreco}\end{table}\part{Bibliografia}\addcontentsline{toc}{chapter}{Bibliografia}\bibliographystyle{unsrt}\bibliography{file1,file2,file3}\begin{thebibliography}{}\bibitem{courant-robbins} Richard Courant, Herbert Robbins, \emph{Che cos'è la Matematica?}, Bollati Boringhieri, 2002, Seconda Edizione riveduta da Ian Stewart.\bibitem{gobbino} Massimo Gobbino, \emph{Schede Olimpiche}, Pitagora, 2003, Prima Edizione.\bibitem{acerbi-buttazzo} Emilio Acerbi, Giuseppe Buttazzo, \emph{Primo Corso di Analisi Matematica}, Pitagora Editrice, 1997, Prima Edizione.\bibitem{precorso} Emilio Acerbi, \emph{Matematica Preuniversitaria di Base}, Pitagora Editrice, 1997, Prima Edizione.\bibitem{giusti} Enrico Giusti, \emph{Analisi Matematica 1}, Bollati Boringhieri, 2002, Terza Edizione.\end{thebibliography}\part{Indici}%\listoffigures\listoftables \addcontentsline{toc}{chapter}{Elenco delle Tabelle}\tableofcontents \addcontentsline{toc}{chapter}{Indice}\end{document}
  • b:it:Micro e nanotecnologia/Microtecnologia/Il vuoto/Le leggi del vuoto 16 8,3145\ \frac{J}{mol K} \
  • b:it:Micro e nanotecnologia/Microtecnologia/Il vuoto/Le leggi del vuoto 20 N_A=6,022\cdot 10^{23}\ mol^{-1}\
  • b:it:Esercizi di stechiometria (superiori)/Problemi d'esame/1 95 f.e.m.=0,059 log [H^{+}]_{1} + 0,059 log [H^{+}]_{2}
  • b:it:Esercizi di stechiometria (superiori)/Problemi d'esame/1 99 f.e.m.=0,059 log \frac{[H^{+}]_{1}}{[H^{+}]_{2}}
  • b:it:Esercizi di stechiometria (superiori)/Problemi d'esame/1 103 f.e.m.=0,059 log \frac{Ka \frac{Ca_{1}}{Cs_{1}}}{Ka \frac{Ca_{2}}{Cs_{2}}}
  • b:it:Esercizi di stechiometria (superiori)/Problemi d'esame/1 106 f.e.m.=0,059 log \frac{Ka \frac{0,154}{0,036}}{Ka \frac{0,084}{0,036}}
  • b:it:Esercizi di stechiometria (superiori)/Problemi d'esame/1 107 0,059 log \frac{4,28}{2,33}=0,0592 log 1,84
  • b:it:Esercizi di stechiometria (superiori)/Problemi d'esame/3 45 E^{0}_{Ag^{+}/Ag}+\frac{0,0592}{2} \log{\frac{[Ag^{+}]^{2}}{[Ag^{0}]}}-(E^{0}_{Pb^{++}/Pb}+\frac{0,0592}{2} \log{\frac{[Pb^{++}]}{[Pb^{0}]}})=0
  • b:it:Esercizi di stechiometria (superiori)/Problemi d'esame/3 49 E^{0}_{Ag^{+}/Ag}+\frac{0,0592}{2} \log{[Ag^{+}]^{2}}-E^{0}_{Pb^{++}/Pb}-\frac{0,0592}{2} \log{[Pb^{++}]}=0
  • b:it:Esercizi di stechiometria (superiori)/Problemi d'esame/3 53 E^{0}_{Ag^{+}/Ag}-E^{0}_{Pb^{++}/Pb}+\frac{0,0592}{2} \log{\frac{[Ag^{+}]^{2}}{[Pb^{++}]}}=0
  • b:it:Esercizi di stechiometria (superiori)/Problemi d'esame/3 55 E^{0}_{Pb^{++}/Pb}-E^{0}_{Ag^{+}/Ag}=\frac{0,0592}{2} \log{\frac{[Ag^{+}]^{2}}{[Pb^{++}]}}
  • b:it:Esercizi di stechiometria (superiori)/Problemi d'esame/3 56 \frac{2(E^{0}_{Pb^{++}/Pb}-E^{0}_{Ag^{+}/Ag})}{0,0592}=\log{\frac{[Ag^{+}]^{2}}{[Pb^{++}]}}
  • b:it:Esercizi di stechiometria (superiori)/Problemi d'esame/3 57 \frac{2(E^{0}_{Pb^{++}/Pb}-E^{0}_{Ag^{+}/Ag})}{0,0592}=\log{\frac{[Ag^{+}]^{2}}{[Pb^{++}]}}
  • b:it:Esercizi di stechiometria (superiori)/Problemi d'esame/3 60 \frac{2(-0,13-0,80)}{0,0592}=\log{\frac{[Ag^{+}]^{2}}{[Pb^{++}]}}=-31
  • b:it:Esercizi di stechiometria (superiori)/Problemi d'esame/3 80 \frac{[Pb^{++}]}{10^{31}}=[Ag^{+}]^{2}=\frac{0,100}{10^{31}}=10^{-32}
  • b:it:Fondamenti di automatica/Modelli di sistemi comuni 152 0,707
  • b:it:Esercizi di stechiometria (superiori)/Problemi d'esame/6 48 M=\frac{n}{L}\Rightarrow n=M\times L \Rightarrow n=C_{3}V_{3}=0,080M\times 0,07600L=0,00608
  • b:it:Esercizi di stechiometria (superiori)/Problemi d'esame/6 52 n=C_{4}V_{4}=0,045M 0,03200L=0,00144
  • b:it:Esercizi di stechiometria (superiori)/Problemi d'esame/6 56 n_{3}-n_{4}=0,0061-0,0014=0,0047
  • b:it:Esercizi di stechiometria (superiori)/Problemi d'esame/6 71 \left\{\begin{matrix} x+y=0,0047mol \\ x(PM_{x})+y(PM_{y})=0,8500 g\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}x=0,0047-y \\ x(PM_{x})+y(PM_{y})= 0,8500 g\end{matrix}\right.\Rightarrow
  • b:it:Esercizi di stechiometria (superiori)/Problemi d'esame/6 76 \left\{\begin{matrix}x=0,0047-y \\ (0,0047-y)(PM_{x})+y(PM_{y})= 0,8500 g\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix}x=0,0047-y \\ 0,0047(PM_{x})+y(PM_{x})+y(PM_{y})= 0,8500 g\end{matrix}\right.\Rightarrow
  • b:it:Esercizi di stechiometria (superiori)/Problemi d'esame/6 82 \left\{\begin{matrix}x=0,0047-y \\ y=\frac{0,8500g-0,0047(PM_{x})}{(PM_{y})-(PM_{x})} \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix}x=0,0047-y \\ y=0,00085\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix}x=0,0038 \\ y=0,00085\end{matrix}\right.
  • b:it:Fisica classica/Cinematica 82 2,99792458\cdot 10^8\ m/s
  • b:it:Crittografia/RSA 76 (3233,2753) \,
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  • b:it:Matematica per le superiori/I monomi 246 \operatorname{mcm}(45,120,75) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 8 \cdot 9 \cdot 25 = 1800.
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  • b:it:Elettronica pratica/Carica elettrica e legge di Coulomb 50 \ 1,602\ 10^{-19}
  • b:it:Elettronica pratica/Carica elettrica e legge di Coulomb 62 8,9875 \cdot 10^9 N { m^2 \over C^2 }
  • b:it:Fisica classica/Conduttori 153 \varepsilon_o=8,854\cdot 10^{-12}\ F/m\
  • b:it:Fisica classica/Calore 35 1\ cal =4,185\ J
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  • b:it:Linux multimedia/Colore 251 Y = 0,2126 \cdot R + 0,7152 \cdot G + 0,0722 \cdot B \,
  • b:it:Esercizi di fisica con soluzioni/Cristallografia 120 a=\frac {\lambda}{\sin \theta_2}=0,328\ nm
  • b:it:Teoria della Probabilità/Probabilità 212 123,132,213,231,312,321
  • b:it:Buchi neri e Universo/4. Dai buchi neri all'Universo 62 \frac{c^{4}\times 2,6\times 10^{26}}{4G\times 2,725k_{B}}\simeq 2\times 10^{92}
  • b:it:Fondamenti di informatica 1/Metodi di rappresentazione dei numeri binari 40 -14,3125_{10}
  • b:it:Fondamenti di informatica 1/Metodi di rappresentazione dei numeri binari 41 1110,0101_2
  • b:it:Fondamenti di informatica 1/Metodi di rappresentazione dei numeri binari 41 0,3125_{10} = 0,0101_2
  • b:it:Fondamenti di informatica 1/Metodi di rappresentazione dei numeri binari 42 1110,0101_2 = 1,1100101_2 * 2^3
  • b:it:Propulsione Aerea/Capitolo I° 143 \ B = {10330\times 22,4\over 427\times 273}=1,9864{Cal\over kg-mol\times K}
  • b:it:Propulsione Aerea/Capitolo I° 157 \ p\ v=J{B\over M}T = J{1,9864\over M}T
  • b:it:Propulsione Aerea/Capitolo I° 335 \ \sqrt{1,4\over 3}= 0,685,\quad V_s=340 m/s
  • b:it:Propulsione Aerea/Capitolo I° 398 \ {\rho_z\over \rho_0 }=(1-0,00002257 Z)^{4,257}
  • b:it:Propulsione Aerea/Capitolo I° 400 \ {p_z\over p_0}=(1-0,00002257 Z)^{5,527}
  • b:it:Propulsione Aerea/Capitolo I° 402 \ t_z=15-0,0065 Z
  • b:it:Propulsione Aerea/Capitolo III° 423 \ C_p=0,24\frac{cal}{kgC}\qquad C_v=0,172\frac{cal}{kgC}
  • b:it:Propulsione Aerea/Capitolo VI° 132 \ \frac{T_{cr}}{T_1}=0,835\qquad \frac{\rho_{cr}}{\rho_1}=0,633
  • b:it:Propulsione Aerea/Capitolo VI° 134 \ \frac{p_{cr}}{p_1}=0,527\qquad \frac{V_{cr}}{V_{lim}}=0,408
  • b:it:Propulsione Aerea/Capitolo VI° 138 \ \Phi_{max}=0,250\ C
  • b:it:Laboratorio di chimica in casa/Cloruro rameico 137 2,87\;mol : 1\;l = 2\;mol : X\;l \longrightarrow X = \frac{2\;mol\!\times\!1\;l}{2,87\;mol} = 0,696\;l
  • b:it:Laboratorio di chimica in casa/Cloruro rameico 147 12\;vol\,\times\,8,931\!\cdot\!10^{-2}\,\frac{mol}{l\!\times\!vol} = 1,072\;M
  • b:it:Laboratorio di chimica in casa/Cloruro rameico 151 2 mol\,\times\,1,072\;\frac{mol}{l} = 2,144\;l
  • b:it:Laboratorio di chimica in casa/Cloruro rameico 155 2,144\;l : 63,55\,g = X\;l : 1\;g \rightarrow X = \frac{2,144\;l\!\times\!1\;g}{63,55\;g} \simeq 33,7\;ml
  • b:it:Matematica per le superiori/Introduzione ai numeri reali 27 + \sqrt{9} = 3;\quad - \sqrt{25} = -5;\quad - \sqrt[3]{8} = -2;\quad - \sqrt[4]{16} = -2;\quad - \sqrt[3]{27} = -3 ;\quad \sqrt{2}=1,4142\dots
  • b:it:Laboratorio di chimica in casa/Perossido di idrogeno 107 M_{H_2O_2} = vol_{H_2O_2} \times 0,08931\;\frac{mol}{l\!\times\!vol}
  • b:it:Laboratorio di chimica in casa/Perossido di idrogeno 150 \frac{1,429\; \frac{g}{l} : 32\; \frac{g}{mol} \times 2}{1\; vol} = 0,08931\; \frac{mol}{l\!\times\!vol}
  • b:it:Laboratorio di chimica in casa/Perossido di idrogeno 154 M_{H_2O_2} = vol_{H_2O_2} \times 0,08931\; \frac{mol}{l\!\times\!vol}
  • b:it:Analisi matematica I/Numeri razionali 80 1/3 = 0,\bar 3 = 0,333...
  • b:it:Analisi matematica I/Numeri razionali 81 50/41 = 1, \overline{21951} = 1,219512195121951...
  • b:it:Analisi matematica I/Numeri razionali 82 3/4 = 0,75\bar 0 = 0,75000... = 0,75
  • b:it:Analisi matematica I/Numeri razionali 83 1 = 1,\bar 0 = 1,00000...
  • b:it:Analisi matematica I/Numeri razionali 87 0,11010010001\cdots
  • b:it:Analisi matematica I/Numeri razionali 89 0,23571113...
  • b:it:Laboratorio di chimica in casa/Estrazione del cromo dall'acciaio inox 42 \frac{85,617\;g}{55,85\;\frac{g}{mol}} = 1,53\;mol\ \xrightarrow[FeSO_4]{\times\;1\ H_2SO_4}\ 1,53\;mol
  • b:it:Laboratorio di chimica in casa/Estrazione del cromo dall'acciaio inox 67 5,0% = 50\;\frac{g}{L}\ \xrightarrow[NaClO]{:\;74,442\;\frac{g}{mol}} = 0,67\;M
  • b:it:Laboratorio di chimica in casa/Estrazione del cromo dall'acciaio inox 67 0,625 mol\;:\;0,67\;\frac{mol}{L} = 932,8 ml
  • b:it:Wikibooks:Deposito/Moduli/Introduzione ai Numeri Reali 232 7+\sqrt{50}\approx~7+7,07107=17,07107
  • b:it:Wikibooks:Deposito/Moduli/Introduzione ai Numeri Reali 232 \sqrt{50}\approx7,07107
  • b:it:Wikibooks:Deposito/Moduli/Introduzione ai Numeri Reali 240 2p=1{m}+7{m}+\sqrt{50}{m}\approx~1{m}+7{m}+7,07107{m}=15,07107{m}.
  • b:it:Wikibooks:Deposito/Moduli/Introduzione ai Numeri Reali 255 2p=\sqrt{2}{m}+\sqrt{3}{m}+\sqrt{5}{m}\approx1,4142{m}+1,7320{m}+2,2361{m}=5,3823{m}.
  • b:it:Algebra 1/Numeri/I Sistemi di Numerazione 495 160\cdot(10^9 / 2^{30}) = 160 \cdot {0,931\,322\,575} \simeq 149\text{GiB}
  • b:it:Laboratorio di chimica in casa/Le equazioni di reazione 41 10\;g :\ 105,99\;\frac{g}{mol}\ =\ 0,0943485\;mol
  • b:it:Laboratorio di chimica in casa/Le equazioni di reazione 46 0,0943485\;mol \times 2 =\ 0,1886970\;mol
  • b:it:Laboratorio di chimica in casa/Le equazioni di reazione 52 0,1886970\;mol \times 36,46\;\frac{g}{mol}\ =\ 6,8798926\;g
  • b:it:Laboratorio di chimica in casa/Le equazioni di reazione 57 NaCl = 0,0943485\;mol \times 2 \times 58,45\;\frac{g}{mol} = 11,0293424\;g
  • b:it:Laboratorio di chimica in casa/Le equazioni di reazione 61 H_2O = 0,0943485\;mol \times 18,00\;\frac{g}{mol} = 1,6982734\;g
  • b:it:Laboratorio di chimica in casa/Le equazioni di reazione 65 CO_2 = 0,0943485\;mol \times 44,01\;\frac{g}{mol} = 4,1522785\;g
  • b:it:Esercizi di stechiometria (superiori)/Legge dei gas ideali/1 28 V = \frac{nRT}{P} \longrightarrow V = \frac{500\;mol\;\times\;0,082\;\frac{L\;\cdot\;atm}{mol\;\cdot\;K}\;\times\;293,15\;K}{1\;atm} = 12\;019\;L
  • b:it:Algebra 1/Numeri/Frazioni e Numeri Razionali 181 {1,375}
  • b:it:Algebra 1/Numeri/Frazioni e Numeri Razionali 192 \tfrac{11}{8}=\tfrac{11}{2^3}=\tfrac{11\cdot 5^3}{2^3\cdot 5^3}=\tfrac{{1\,375}}{{1\,000}}={1,375}
  • b:it:Algebra 1/Numeri/Frazioni e Numeri Razionali 196 \tfrac{13}{40}=\tfrac{13}{2^3\cdot 5}=\tfrac{13\cdot 5^2}{2^3\cdot 5^3}=\tfrac{325}{{1\,000}}={0,325}
  • b:it:Algebra 1/Numeri/Frazioni e Numeri Razionali 239 {253,485\,795\,795\,795\,795}\ldots
  • b:it:Algebra 1/Numeri/Frazioni e Numeri Razionali 533 {0,000\,007}\,\text{m}
  • b:it:Algebra 1/Numeri/Frazioni e Numeri Razionali 537 A=b\cdot h={0,00\,000\,006}\cdot{0,0\,000\,002}={0,000\,000\,000\,000\,012}\,\text{m}^2.
  • b:it:Algebra 1/Numeri/Frazioni e Numeri Razionali 552 {0,000\,007}\,\text{m}
  • b:it:Algebra 1/Numeri/Frazioni e Numeri Razionali 553 {0,000\,007}\,\text{m}=7\cdot\tfrac{1}{{1\,000\,000}}\,\text{m}={7\cdot 10^{-6}}.
  • b:it:Algebra 1/Numeri/Frazioni e Numeri Razionali 555 {0,000\,000\,026}
  • b:it:Algebra 1/Numeri/Frazioni e Numeri Razionali 556 {0,000\,000\,026}={2,6}\cdot\tfrac{1}{{100\,000\,000}}={2,6}\cdot\tfrac{1}{10^8}={2,6\cdot 10^{-8}}.
  • b:it:Algebra 1/Numeri/Frazioni e Numeri Razionali 580 {0,000\,034}
  • b:it:Algebra 1/Numeri/Frazioni e Numeri Razionali 594 {\frac{{3\,000}:6\text{ milioni}}{{5\,000}\cdot{0,000\,002}}}
  • b:it:Algebra 1/Numeri/Frazioni e Numeri Razionali 603 \begin{aligned}\frac{{3\,000}:6\text{ milioni}}{{5\,000}\cdot{0,000\,002}}&=\tfrac{({3\cdot 10^3}):({6\cdot 10^6})}{({5\cdot 10^3})\cdot({2\cdot 10^{-6}})}\\ &=\tfrac{3:6\cdot10^{-3}}{5\cdot 2\cdot 10^{-3}}\\ &=\tfrac{{0,5}}{10}\cdot10^{-3+3}\\ &={0,05}\cdot10^0\\ &={0,05}\\ &={5\cdot 10^{-2}}.\end{aligned}
  • b:it:Algebra 1/Numeri/Frazioni e Numeri Razionali 629 {0,001}=10^{-3}
  • b:it:Algebra 1/Numeri/Frazioni e Numeri Razionali 633 {0,000\,001}=10^{-6}
  • b:it:Algebra 1/Numeri/Frazioni e Numeri Razionali 637 {0,000\,000\,001}=10^{-9}
  • b:it:Algebra 1/Numeri/Frazioni e Numeri Razionali 648 {0,000\,074}
  • b:it:Algebra 1/Numeri/Frazioni e Numeri Razionali 650 {0,000\,074}={7,4\cdot 10^{-5}}.\quad
  • b:it:Algebra 1/Numeri/Frazioni e Numeri Razionali 694 35\%=\tfrac{35}{100}={0,35};\qquad7\%=\tfrac{7}{100}={0,07};\qquad{12,5}\%=\tfrac{{12,5}}{100}={0,125}.
  • b:it:Algebra 1/Numeri/Frazioni e Numeri Razionali 730 \tfrac{45}{120}\cdot\,100\%={0,375}\cdot\,100\%={37,5}\%.
  • b:it:Algebra 1/Numeri/Frazioni e Numeri Razionali 896 {1,126}
  • b:it:Algebra 1/Numeri/Frazioni e Numeri Razionali 897 {1,156}
  • b:it:Algebra 1/Numeri/Frazioni e Numeri Razionali 898 {1,212}
  • b:it:Algebra 1/Numeri/Frazioni e Numeri Razionali 899 {1,248}
  • b:it:Algebra 1/Numeri/Frazioni e Numeri Razionali 902 {8,881}
  • b:it:Algebra 1/Numeri/Frazioni e Numeri Razionali 903 {8,650}
  • b:it:Algebra 1/Numeri/Frazioni e Numeri Razionali 904 {8,251}
  • b:it:Algebra 1/Numeri/Frazioni e Numeri Razionali 905 {8,013}
  • b:it:Algebra 1/Statistica/Statistica Descrittiva 141 1/12={0,083}
  • b:it:Algebra 1/Statistica/Statistica Descrittiva 161 2/12={0,167}
  • b:it:Algebra 1/Vettori e funzioni circolari/Trigonometria 184 \cos(30\text{°})=0,867
  • b:it:Algebra 1/Vettori e funzioni circolari/Trigonometria 196 {7,806\,141}
  • b:it:Algebra 1/Vettori e funzioni circolari/Trigonometria 236 \overline{AB}=\overline{BC}\cdot {\cos(\beta)}=2\cdot {\cos(20\text{°})}\simeq 2\cdot 0,940\simeq 1,879
  • b:it:Algebra 1/Vettori e funzioni circolari/Trigonometria 236 \overline{AC}=\overline{BC}\cdot {\cos(\gamma)}=2\cdot {\cos(70\text{°})}\simeq 2\cdot 0,342\simeq 0,684
  • b:it:Algebra 1/Vettori e funzioni circolari/Trigonometria 238 \text{Area}\;\simeq 0,643(\text{m}^{2})
  • b:it:Algebra 1/Vettori e funzioni circolari/Trigonometria 248 \overline{CB}=\tfrac{\overline{AB}}{\cos(\beta)}=\tfrac{5}{\cos(33\text{°})}\simeq \tfrac{5}{0,839}\simeq 5,962\text{cm}.
  • b:it:Algebra 1/Vettori e funzioni circolari/Trigonometria 254 \overline{CA}=\sqrt{\overline{CB}^{2}-\overline{AB}^{2}}\simeq \sqrt{35,543-25}\simeq \sqrt{10,543}\simeq 3,247\text{cm};
  • b:it:Algebra 1/Vettori e funzioni circolari/Trigonometria 257 \overline{CA}=\overline{CB}\cdot \cos(\gamma)\simeq 5,962 \cdot \cos(57\text{°})\simeq 5,962\cdot 0,545\simeq 3,247\text{cm}.
  • b:it:Algebra 1/Vettori e funzioni circolari/Trigonometria 294 c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{100-4}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}\simeq 9,798\text{cm}.
  • b:it:Algebra 1/Vettori e funzioni circolari/Trigonometria 296 {\beta}=\sin^{-1}(0,2)\simeq 11,537
  • b:it:Algebra 1/Vettori e funzioni circolari/Trigonometria 461 \begin{aligned}&c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos (\gamma)\\\Rightarrow\quad &c^{2}=20^{2}+10^{2}-2\cdot 20\cdot 10\cdot \cos(36\text{°})\simeq 400+100-400\cdot {0,809}\simeq {176,4}\\\Rightarrow\quad &c\simeq \sqrt{{176,4}}\simeq [cm]{13,281}.\end{aligned}
  • b:it:Algebra 1/Vettori e funzioni circolari/Trigonometria 469 \cos(\alpha)\simeq \tfrac{10^2+{176,4}-20^2}{2\cdot 10 \cdot {13,281}}\simeq\tfrac{{276,4}-400}{{265,62}}\simeq{-0,4\,653}
  • b:it:Algebra 2/Numeri reali e radicali/Numeri reali 125 {1,414}
  • b:it:Algebra 2/Numeri reali e radicali/Numeri reali 127 {1,415}
  • b:it:Algebra 2/Numeri reali e radicali/Numeri reali 160 {1,225}={1,224}\overline{9}
  • b:it:Algebra 2/Numeri reali e radicali/Numeri reali 188 A=\{1\text{, }{1,4}\text{, }{1,41}\text{, }{1,414}\text{, }{1,4\,142}\text{, }{1,41\,421}\text{, }{1,414\,213}\text{, }\ldots\}.
  • b:it:Algebra 2/Numeri reali e radicali/Numeri reali 188 B=\{2\text{, }{1,5}\text{, }{1,42}\text{, }{1,415}\text{, }{1,4\,143}\text{, }{1,41\,422}\text{, }{1,414\,214}\text{, }\ldots\}.
  • b:it:Algebra 2/Numeri reali e radicali/Radicali 65 \sqrt[3]{{0,125}}={0,5}
  • b:it:Algebra 2/Numeri reali e radicali/Radicali 65 ({0,5})^3={0,125}
  • b:it:Algebra 2/Algebra di secondo grado/Equazioni di secondo grado 904 c+{0,005}
  • b:it:Algebra 2/Algebra di secondo grado/Equazioni di secondo grado 910 c+{0,005}
  • b:it:Algebra 2/Algebra di secondo grado/Equazioni di secondo grado 912 {25\,000} (1 + c) (1 + c + {0,005} ) = {26\,291,10}.
  • b:it:Algebra 2/Algebra di secondo grado/Equazioni di secondo grado 914 c^{2} + {2,005} c - {0,046\,644}=0
  • b:it:Algebra 2/Algebra di secondo grado/Equazioni di secondo grado 914 {25\,000} ( {1,005} + c + {1,005} c + c^{2} ) = {26\,291,10}
  • b:it:Algebra 2/Algebra di secondo grado/Equazioni di secondo grado 916 c_{1\text{,}2} = \tfrac{- {2,005} \pm \sqrt{{4,020\,025} + {0,186\,576}}}{2} = \tfrac{{-2,005} \pm {2,051}}{2}\Rightarrow c_{1} = {-2,028} \vee c_{2} = {0,023}.
  • b:it:Algebra 2/Algebra di secondo grado/Equazioni di secondo grado 918 {0,023}
  • b:it:Algebre booleane e progetto logico dei calcolatori digitali/Sistemi di numerazione, aritmetica binaria 521 ..0,71875\cdot 2
  • b:it:Algebre booleane e progetto logico dei calcolatori digitali/Sistemi di numerazione, aritmetica binaria 522 parte.intera\qquad 1+\qquad 0,43750\cdot 2
  • b:it:Algebre booleane e progetto logico dei calcolatori digitali/Sistemi di numerazione, aritmetica binaria 523 parte.intera\qquad 0+\qquad 0,87500\cdot 2
  • b:it:Algebre booleane e progetto logico dei calcolatori digitali/Sistemi di numerazione, aritmetica binaria 524 parte.intera\qquad 1+\qquad 0,75000\cdot 2
  • b:it:Algebre booleane e progetto logico dei calcolatori digitali/Sistemi di numerazione, aritmetica binaria 525 parte.intera\qquad 1+\qquad 0,50000\cdot 2
  • b:it:Algebre booleane e progetto logico dei calcolatori digitali/Sistemi di numerazione, aritmetica binaria 526 parte.intera\qquad 1+\qquad 0,00000\cdot 2
  • b:it:Algebre booleane e progetto logico dei calcolatori digitali/Sistemi di numerazione, aritmetica binaria 527 parte.intera\qquad 0+\qquad 0,00000\cdot 2
  • b:it:Algebre booleane e progetto logico dei calcolatori digitali/Sistemi di numerazione, aritmetica binaria 547 =16+8+2+1+0,5+0,125=27,625
  • b:it:Algebre booleane e progetto logico dei calcolatori digitali/Sistemi di numerazione, aritmetica binaria 548 N_{10}=27,625
  • b:it:Algebra 2/Introduzione alla probabilità/La probabilità 164 p=\tfrac 1 8={0,125}={12,5}\%
  • b:it:Algebra 2/Introduzione alla probabilità/La probabilità 166 p=\tfrac 3 8={0,375}={37,5}\%
  • b:it:Algebra 2/Introduzione alla probabilità/La probabilità 217 P(E)=\tfrac 5{5+12}=\tfrac 5{17}={0,294}={29,4}\%
  • b:it:Algebra 2/Introduzione alla probabilità/La probabilità 435 P(A)=1-P(\overline A)=1-{0,482}={0,518}={51,8}\%
  • b:it:Algebra 2/Introduzione alla probabilità/La probabilità 435 P(\overline A)=\tfrac 5 6\cdot \tfrac 5 6\cdot \tfrac 5 6\cdot \tfrac 5 6=\tfrac{625}{{1\,296}}={0,482}={48,2}\%
  • b:it:Algebra 2/Introduzione alla probabilità/La probabilità 439 P(\overline B)=\underbrace{\tfrac{35}{36}\cdot\tfrac{35}{36}\cdot\tfrac{35}{36}\cdot\ldots\cdot\tfrac{35}{36}}_{24\text{ volte}}=\tfrac{35^{24}}{36^{24}}={0,509}={50,9}\%
  • b:it:Algebra 2/Introduzione alla probabilità/La probabilità 441 P(B)=1-{0,509}={0,491}={49,1}\%
  • b:it:Algebra 2/Introduzione alla probabilità/La probabilità 532 P(\overline A)=\tfrac{365}{365}\cdot \tfrac{364}{365}\cdot \tfrac{363}{365}\cdot \ldots \cdot \tfrac{343}{365}=\tfrac{365\cdot 364\cdot 363\cdot \ldots \cdot 343}{365^{23}}={0,493}={49,3}\%.
  • b:it:Algebra 2/Introduzione alla probabilità/La probabilità 535 P(A)=1-P(\overline A)=1-{0,493}={0,507}={50,7}\%
  • b:it:Analisi matematica I/Studio di funzioni reali a valori reali 190 x_1=\frac{1}{9}\left(8-19\sqrt[3]{\frac{2}{299-27\sqrt{85}}}-\sqrt[3]{\frac{299-27\sqrt{85}}{2}}\right)\approx-0,1578
  • b:it:Controlli automatici/Risposta transitoria e in frequenza 72 \omega_B t_r \cong \frac{2,048 R}{1,561 - \zeta} - 0,2923 R \cong 2
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