Benutzer:MovGP0/Physik/Tensoren

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Physik Mathematische Grundlagen Mathematik für ET Semester 1 • Semester 2 • Semester 3 Mathematik Kombinatorik und Permutationen • Ableitung • Dreiecksnotation • Gradient, Divergenz, Rotation • Metrischer Tensor • Christoffelsymbole • Krümmungstensor • Energie-Impuls-Tensor • Kosmologische Konstante Quantenmechanik mit Matrizen Imaginäre und komplexe Zahlen • Vektoren • Matrizen • Jacobi-Matrizen • Pauli-Matrizen • Hermitesche Matrizen Lineare Algebra und Tensoren Tensornotation • Tensoren • Dirac-Notation • Körper • Vektorraum Gruppentheorie Gruppen, Lie Gruppen, Lie Algebren Tensoren Ein Tensor ist eine Funktion, welche eine bestimmte Anzahl von Vektoren (Rang $r$) auf ein Ergebnis abbildet. Verhält sich multilinear, dh. eine lineare Funktion für jeden Eingangsvektor, Es gilt: $T(v+c\,w)=T(v)+c\,T(w)$ $T(u+c\,v,w)=T(u,w)+c\,T(v,w)$ $T(u,v+c\,w)=T(u,v)+c\,T(u,w)$ Multilinearität ermöglicht es den Wert der Funktion einer beliebigen Menge von $r$ Vektoren als Funktion von $r$ Basisvektoren darzustellen. Die Ergebniswerte der Tensor-Funktion auf den jeweiligen Basisvektoren werden als Komponenten bezeichnet. Komponenten von Tensoren Seien $e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}$ die Basisvektoren des Raums $\mathbb {C} ^{n}$, so lassen sich die Vektoren $v,w$ wie folgt in Komponenten darstellen: ${\begin{array}{rcll}v=&v_{1}\,e_{1}+v_{2}\,e_{2}+\dots +v_{n}\,e_{n}&=\sum _{i=1}^{n}v_{i}\,e_{i}&=v^{i}\,e_{i}\\w=&w_{1}\,e_{1}+w_{2}\,e_{2}+\dots +w_{n}\,e_{n}&=\sum _{j=1}^{n}w_{j}\,e_{j}&=w^{j}\,e_{j}\end{array}}$ Dann gilt für den Tensor $T$ vom Rang 2: $T(v,w)=T(v^{i}\,e_{i},\ w^{j}\,e_{j})=v^{i}\,w^{j}\,T(e_{i},e_{j})=v^{i}\,w^{j}\,T_{ij}$ Die Werte $T_{ij}=T(e_{i},e_{j})$, sind hierbei die Komponenten des Tensors für die jeweiligen Basisvektoren. Der Tensor selbst ist hierbei – im Gegensatz zu den Komponenten des Tensors – unabhängig davon, welches Basissystem verwendet wird. Basistransformation Um die Komponenten $T_{ij}$ von einem Basissystem ${\mathcal {B}}$ mit den Basisvektoren $e_{i}$ in ein anderes Basissystem ${\mathcal {B}}'$ mit den Basisvektoren $e_{i'}$ zu überführen, wird der geometrische Tensor $g$ benötigt. Dieser definiert sich aus dem Zusammenhang: $e^{j'}=g_{j'i}\,e^{i}$ Daraus folgt: $T_{i'j'}=g_{i'}^{i}\,g_{j'}^{j}\,T_{ij}$ Darstellung des Tensors mit Hilfe der Komponenten Mit Hilfe der Komponenten kann ein Tensor dargestellt werden. Beispielsweise kann ein Tensor $T$ mit Rang 2 in einem gegebenen Basissystem ${\mathcal {B}}$ wie folgt als Matrix dargestellt werden: $[T]_{\mathcal {B}}\equiv {\begin{pmatrix}T_{11}&T_{12}&\cdots &T_{1n}\\T_{21}&T_{22}&\cdots &T_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\T_{n1}&T_{n2}&\cdots &T_{nn}\end{pmatrix}}$ Dadurch lässt sich der Wert $T(v,w)$ im Rahmen des entsprechenden Basissystems mit Hilfe der Matrixmultiplikation berechnen: $T(v,w)={\begin{pmatrix}v_{1}&v_{2}&\cdots &v_{n}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}T_{11}&T_{12}&\cdots &T_{1n}\\T_{21}&T_{22}&\cdots &T_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\T_{n1}&T_{n2}&\cdots &T_{nn}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\\vdots \\w_{n}\end{pmatrix}}$ Anwendungsbeispiel Es soll mit Hilfe des Trägheitstensors $I$ der Drehimpuls $L$ eines starren Körpers mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ in einem dreidimensionalen Vektorraum mit der Basis ${\mathcal {B}}=\left\{e_{x}\otimes e_{y}\otimes e_{z}\right\}=\left|x,y,z\right\rangle$ berechnet werden: $L=I(\omega ,\omega )=\left\langle \omega \right|I\left|\omega \right\rangle =\omega _{i}\,I_{j}^{i}\,\omega ^{j}={\begin{pmatrix}\omega _{x}&\omega _{y}&\omega _{z}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{pmatrix}}$