Diskussion:Normalverteilung

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Abgeschnittene Normalverteilung

Die "normale" Normalverteilung erstreckt sich bekannterweise über den gesamten reelen Wertebereich R, also über dem offenen Intervall <NegativeInfinity; PositiveInfinity>. Das heißt aber auch, dass x Werte weit ab vom Erwartungswert μ immer noch eine Wahrscheinlichkeit größer als Null haben, also (p(x >> μ) > 0) und (p(x << μ) > 0), auch wenn diese sehr klein sein mag. Nun ist es aber in der Praxis häufig so, dass man nur eine annähernde Normalverteilung der Zufallsgröße vorliegen hat. Die mehrfach erwähnte Zwölferregel (man addiere 12 über dem Intervall[-0.5;+0.5] gleichverteilte Zufallszahlen, um eine standardnormalverteilte Zufallsgröße zu bekommen) hat meines Erachtens einen Haken. Für eine "Daumenpeilung" mag die Zwölferregel ja noch ausreichen, aber die Wahrscheinlichkeit p, dass die Summe S aus 12 über [-0.5; +0.5] gleichverteilten Zufallszahlen, größer als +6 oder kleiner als -6 ist, ist definitiv gleich Null, also (p(S > +6) = 0) und (p(S < -6) = 0), was bei der "normalen" Normalverteilung aber niemals der Fall ist.

Man könnte jetzt die Anzahl der Summanden NS erhöhen, damit sich die Summe aus NS gleichverteilten Zahlen über [-a; +a] immer besser an eine "normale" Normalverteilung (mit (μ = 0) und (δ = (sqrt(NS) * DeviationOfUniformDistribution))) anpasst, aber "erhöht" man entweder das Signifikanzniveau α von (α = 0.01) (also 1 Prozent) auf z.B. (α = 0.001) (also 1 Promille), oder erhöht deutlich die Anzahl der durchgeführten Tests z.B von NT = 10³ auf NT >= 10⁹, oder erhöht die Anzahl der Intervalle für den Chi-Quadrat-Anpassungstest von NI = 2⁴ auf NI >= 2¹⁰, hat man das gleiche Anpassungsproblem wie vorher, das heißt, sowohl ein Chi-Quadrat-Anpassungstest als auch ein Kolmogorov-Smirnov-Anpassungstest lehnen die Hypothese, unsere Zufallsgröße sei normalverteilt, wieder zuverlässig ab, falls man auf irgend eine Art und Weise die Testkriterien verschärft. Mit anderen Worten: unsere Zwölferregel ist tatsächlich nur annähernd und nicht wirklich normalverteilt.

In der englischen Wikipedia gibt es für solche Art von Anpassungsproblemen schon eine allgemeine Lösung mit den Begriff der "truncated distribution" und speziell auch die "truncated normal ditribution", zu deutsch würde das wohl eher beidseitig begrenzte Normalverteilung als abgeschnittene Normalverteilung heißen, aber das soll hier nicht das Thema sein. Wichtig ist hier nur, dass eine "abgeschnittene" Normalverteilung, im Gegegnsatz zur "normalen" Normalverteilung, zwei zusätzliche reelle Parameter a und b (mit NegativeInfinity << a < b << PositiveInfinity) hat, welche die Endpunkte des Werteintervalls [a, b] der "abgeschnitten" Normalverteilung angeben und somit das unendliche Werteintervall <NegativeInfinty; PositiveInfinity> der "normalen" Normalverteilung ersetzen. Die Wahrscheinlichkeit, das x kleiner als a oder größer als b ist, ist hier im Gegensatz zur "normalen" Normalverteilung stets gleich 0, (also (p(x < a) = 0) und (p(x > b) = 0)). Damit die Fläche unter der ProbabilityDensityFunction (PDF) einer "abgeschnittenen" Verteilung aber immer noch 1 ergibt, wird die PDF entsprechend "zusammengeschoben". Damit ändern sich aber nicht nur die Form der PDF sondern auch die charakteristischen Merkmale bzw. Parameter (avg, var, dev, skn, kur, exz, ...) einer "abgeschnitten" Verteilung entsprechend im Vergleich zu der "normalen" Verteilung.

Natürlich gibt es auch nur einseitige Beschränkungen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit unendlichen Wertebereichen. Das Thema ist also schon etwas umfangreicher, als ich es hier umrissen habe. Vielleicht gibt es so etwas, wie die "abgeschnittenen" Verteilungen ja auch schon in der deutschen Wikipedia (und ich war nur zu blöd, es zu finden, dann helft mir bitte auf die Sprünge), aber wenn nicht, sollte so etwas auch hier eingeführt oder besser verlinkt werden, denn das Prinzip, welches hinter den "abgeschnittenen" Verteilungen steckt, müßte meines Erachtens doch auf fast jede "unendliche" Verteilung anwendbar sein, oder? --Aragorn321 (Diskussion) 12:03, 13. Okt. 2015 (CEST)

Der deutsche statistische Fachbegriff für truncated distribution ist gestutzte Verteilung, z. B.: P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, gestutzte Verteilung, S. 146-148. --Sigma^2 (Diskussion) 13:29, 12. Mär. 2023 (CET)

Es wäre sinnvoll, einen Abschnitt oder einen Artikel "gestutzte Normalverteilung" analog zu truncated normal distribution" zu schreiben.--Sigma^2 (Diskussion) 10:21, 3. Jun. 2023 (CEST)

Inzwischen gibt es den Artikel Stutzung, in dem auch gestutzte Normalverteilungen behandelt sind.--Sigma^2 (Diskussion) 12:33, 15. Okt. 2023 (CEST)

Ich habe einen Verweis darauf unter Anwendungen eingefügt.--M.J. (Diskussion) 10:42, 17. Dez. 2023 (CET)

Kontinuierliche Irwine-Hall-Verteilung

Aber auch bei der "abgeschnittenen" Normalverteilung melden die Anpassungstests bei NT >= 10⁹ Testwiederholungen, einer "kleinen" Anzahl von Summanden (NS <= 12), einem strengen Signifikanzniveau (α <= 0.001) und einer großen Intervallanzahl (NI >= 2¹⁰) kleinere Probleme. Es kommt daher schnell der Verdacht auf, dass die Zwölferregel durch die "abgeschnittene" Normalverteilung zwar durchaus etwas besser beschieben wird als durch die "normale" Normalverteilung, aber dass dies immer noch nicht "das Gelbe vom Ei" ist.

Ich bin durch reinen Zufall auf die englische Irwin-Hall-Verteilung (Irwin-Hall-Distribution) gestoßen, welche exakt die Verteilung einer Summe aus (N >= 1) über dem Intervall [0 ; 1] gleichverteilten Zufallswerten beschreibt. Im Fall (N = 1) oder (N = 2) entspricht dies genau der kontinuierlichen Gleich- oder Dreiecksverteilung. Um so größer N wird, um so mehr passt sich die Irwin-Hall-Verteilung der Normalverteilung an. Selbstverständlich kann man die Irwin-Hall-Verteilung noch um die zwei reellen Parametern A und B (mit A < B) erweitern, so dass sie exakt die Verteilung einer Summe S aus N über dem Interval [A ; B] gleichverteilten Zufallswerten beschreibt. Wie das genau gemacht wird, ist bei der englischen Bates-Verteilung (Bates Distribution) zu finden, welche exakt die Verteilung des Mittelwertes AVG = (S / N) aus N über dem Interval [A ; B] gleichverteilten Zufallswerten beschreibt.

Mit anderen Worten, man testet häufig gegen die "falsche" sprich "unendliche" oder "normale" Verteilung, nur weil man von der "richtigen" Verteilung nur noch nix wußte. Und wenn jeder Anpassungstest dann beharrlich "nein" sagt, schiebt man die Schuld bequemerweise dem "schlechten" Zufallsgenerator in die Schuhe, der manchmal aber gar nicht "schuldig" ist, wie obiges Beispiel mit der Zwölferregel hoffentlich anschaulich genug zeigt.

--Aragorn321 (Diskussion) 12:29, 22. Okt. 2015 (CEST)

Es gibt hier keinen Bezug zum Artikel. Es geht um die Qualität von Zufallserzeugung.--Sigma^2 (Diskussion) 10:25, 3. Jun. 2023 (CEST)

Wenn man den Artikel über die Gleichverteilung um die Faltung gleichverteilter Zufallsvariablen erweitern würde, wäre dort ein guter Platz für die genannten Verteilungen.--Sigma^2 (Diskussion) 10:39, 3. Jun. 2023 (CEST)

Versicherungsmathematik: mittlerer Schadenshöhen

In der Versicherungsmathematik ist die Normalverteilung geeignet zur Modellierung von Schadensdaten im Bereich mittlerer Schadenshöhen.

Ich reime mir mal zusammen: Es gibt kleine, mittlere und große Schadenshöhen. Kleine und große Schadenshöhen sind wohl weniger normalverteilt. Aber ohne eine Velinkung des Begriffes mittlere Schadenshöhe ist dieser Satz ziemlich wertlos. Zudem scheint mir dieser Satz stark abhängig vom versicherten Gut. Ich würde ihn streichen. --Siehe-auch-Löscher (Diskussion) 10:36, 23. Mär. 2018 (CET)

Ich habe den unbelegten und teils unverständlichen Satz im Artikel gelöscht und hier abgelegt:

In der Versicherungsmathematik ist die Normalverteilung geeignet zur Modellierung von Schadensdaten im Bereich mittlerer Schadenshöhen.

--Sigma^2 (Diskussion) 12:28, 3. Jun. 2023 (CEST)

Entropie

Die Bemerkungen über die Entropie sind falsch, siehe entsprechend englischsprachigen Artikel, dort ist die Entropie korrekt beschrieben. (nicht signierter Beitrag von 2003:DE:2F2C:A594:FCCC:DBE3:71D6:898A (Diskussion) 16:08, 7. Mär. 2021 (CET))

Ein bisschen mehr Erklärung wäre nützlich gewesen. Der englischsprachige Artikel schwankt ohne Erläuterung zwischen 'log' und 'ln'. Dort ist – ohne Beleg – ein Ausdruck für $H(X)$ angegeben, der vermutlich falsch ist, sich jedenfalls nicht mit anderen Quellen deckt.--Sigma^2 (Diskussion) 14:11, 12. Mär. 2023 (CET)

Allerdings ist die Formel für die Entropie in der Tabelle falsch. --Sigma^2 (Diskussion) 14:31, 12. Mär. 2023 (CET)

Immerhin ist $H(X)={\tfrac {1}{2}}\left(1+\ln {2\sigma ^{2}\pi }\right)={\tfrac {1}{2}}\left(\ln e+\ln {2\pi \sigma ^{2}}\right)=\ln(\sigma {\sqrt {2\pi e}})$, also ident zu dem Ausdruck in unserem Artikel. Das beweist aber noch nicht viel. --Wrongfilter ... 14:34, 12. Mär. 2023 (CET)

In der Tat; die richtige Formel ist mit zwei Belegen im Text zu finden und inzwischen auch in der Tabelle.--Sigma^2 (Diskussion) 12:44, 3. Jun. 2023 (CEST)

Ausreißer

Es heißt im Artikel:

Andererseits liegt bei einer Normalverteilung im Durchschnitt ca. jeder 20. Messwert außerhalb der zweifachen Standardabweichung und ca. jeder 500. Messwert außerhalb der dreifachen Standardabweichung.

Außerhalb der zweifachen Standardabweichung zu landen, hat eine Wahrscheinlichkeit von 4.55%. Das ist eine geometrisch verteilte Zufallsvariable, die als Erwartungswert 1/4.55%≈21.978 hat. Analog haben wir bei der dreifachen Standardabweichung eine Wahrscheinlichkeit von ungefähr 0.27% außerhalb zu landen. D. h. 1/0.27%≈370.37. Da von "ca. jeder 500. Messwert" zu sprechen, ist keine gute Abschätzung. Oder übersehe ich etwas? Bitte um Peer review, dann würde ich es beheben. --Anthroporraistes (Diskussion) 12:39, 11. Mär. 2023 (CET)

1. Es gibt keinen Zusammenhang zum statistischen Fachbegriff des Ausreißers, der einen Wert bezeichnet, der gerade nicht der Verteilung zugeordnet wird. Wenn überhaupt, dann gibt es einen Zusammenhang zu Extremwert.
2. "Das ist eine geometrisch verteilte Zufallsvariable" ist wenig verständlich. Welche, wie definierte, diskrete Zufallsvariable ist in diesem Zusammenhang geometrisch verteilt?
3. Bei groben Abschätzungen ist es üblich, zunächst mit 10er-Potenzen (Größenordnungen) zu arbeiten, dann mit den dazwischen liegenden Halbierungen. Außerhalb des Drei-Sigma-Bereichs liegt bei der Normalverteilung etwa 0,27 % Wahrscheinlichkeit, somit etwa jede 370-te Beobachtung: $0{,}27\,\%=0,0027\approx {\frac {1}{370}}$. Die grobe Angabe "ca. jeder 500. Messwert" ist als Veranschaulichung vertretbar, eine Änderung auf die nicht ganz so grobe Abschätzung "ca. jeder 400. Messwert" aber auch. Eine ganzzahlige Abschätzung wäre "ca. jeder 370. Messwert". --Sigma^2 (Diskussion) 13:25, 11. Mär. 2023 (CET)

   Den ersten Punkt verstehe ich nicht, wie hängt der mit dem Kommentar zusammen? Zum zweiten Punkt: Die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ für einen Ausreißer wird durch denjenigen Bereich bestimmt, der außerhalb der genannten Streuintervalle liegt. Zudem hängt die auf eine Zufallszahl folgende Zufallszahl nicht von letzterer ab. Das Warten auf den ersten "Treffer" (=Ausreißer) wird durch die geometrische Verteilung beschrieben. Zum dritten Punkt: Ich würde es auf 400 ändern. LG --Anthroporraistes

   Dann war ich zum ersten Punkt nicht deutlich genug. Der Begriff 'Ausreißer' wird von Dir vollkommen falsch verwendet. Eine Beobachtung aus einer Verteilung ist kein Ausreißer deswegen, weil diese aus den Verteilungsrändern kommt. Ausreißer sind Werte in einer Beobachtungsreihe, die nicht aus der Verteilung kommen, aus der die übrigen Beobachtungen entstammen, sondern z. B. durch Messfehler, durch Verschreiben, durch Übertragungsfehler oder Geräteausfall fälschlich in einen Datensatz geraten sind. Ausreißer können eventuell dadurch auffallen, dass ein extrem großer oder kleiner Wert vorliegt, der nicht zur Verteilung passt, welche die übrigen Daten beschreibt.
   Ritualisiert einen Teil großer und kleiner Beobachtungen in einem Datensatz zu Ausreißern zu erklären, ist statistisch gesehen völliger Unsinn, auch wenn es in manchen Anwendungsbereichen üblich ist (z. B. bei kommerziellen Mietspiegel-Erstellern). Für diesen Zweck gibt es in der Statistik Ausreißertests.
   Allerdings transportiert der von mir oben verlinkte Wikipedia-Artikel Ausreißer diesen Unsinn leider teilweise in der Einleitung, wie ich jetzt erst gesehen habe. Dort ist Änderungsbedarf.
   Dies ist ein Standardwerk zu Ausreißern in statistischen Daten : Vic Barnett, Toby Lewis: Outliers in Statistical Data. 3. Auflage. Wiley, Chichester 1995 (584 Seiten).  Hier gibt es dazu eine Buchbesprechung. Gruß, --Sigma^2 (Diskussion) 00:15, 12. Mär. 2023 (CET)

   Wenn man annimmt, dass eine Zufallsvariable normalverteilt ist, wäre das Sprechen über Ausreißer dann doch nicht mehr möglich. Bei der Normalverteilung hat jeder Wert, egal wie weit vom Erwartungswert entfernt, eine - wenn auch sehr kleine - Auftretenswahrscheinlichkeit. Was hieße es hier, nicht aus der Verteilung zu kommen? Der Artikel zur Normalverteilung schreibt: "Werte außerhalb der zwei- bis dreifachen Standardabweichung werden oft als Ausreißer behandelt." --Anthroporraistes (Diskussion) 12:01, 12. Mär. 2023 (CET)

   Der Text "werden oft als Ausreißer behandelt" ist überarbeitungsbedürftig. Wenn damit suggeriert wird, das solche Beobachtungen ausgeschlossen werden sollten, ist es Unsinn. Dass man sich eventuell solche Daten genauer ansieht, weil Sie eventuell Ausreißer sein könnten, ist in Ordnung. --Sigma^2 (Diskussion) 13:19, 12. Mär. 2023 (CET)

   Okay, danke für deinen kritischen Input. Apropos, da du den Artikel "Multiples Testen" geschrieben hast, kann es sein, dass bei der Konsonanz ein Tippfehler ist? Sollte dort bei $H_{2}$, als eine der stärkeren Hypothesen, nachfolgend $\theta \in \Theta _{2}$ stehen? (Index) Ich habe allerdings keine Erfahrung mit multiplem Testen, ist das erste, was ich dazu lese. --Anthroporraistes (Diskussion) 13:29, 12. Mär. 2023 (CET)

   PS: Ich verstehe jetzt auch den ersten Punkt. Die Verlinkung auf diesen Artikel hat mich verwirrt. Dieser hier hat es für mich geklärt. --Anthroporraistes (Diskussion) 14:53, 12. Mär. 2023 (CET)

   Danke für den Hinweis auf den Fehler in Multiples Testen. Es war auch mein Fehler, dass ich auf falsch auf Extremwert verlinkt hatte, sorry. Extremwertstatistik und Extremwertverteilungen bilden ein wichtiges Teilgebiet der mathematischen Statistik, wobei Extremwert ein häufig verwendeter Begriff für den maximalen oder minimalen Wert einer Stichprobe ist und im weiteren Sinn aber auch für die größten oder kleinsten Werte einer Stichprobe verwendet wird. Da muss noch eine Begriffsklärungsseite Extremwert in die Wikipedia. --Sigma^2 (Diskussion) 15:25, 14. Mär. 2023 (CET)

   PS: Siehe auch Ordnungsstatistik für die Verteilung von Minimum und Maximum.--Sigma^2 (Diskussion) 15:34, 14. Mär. 2023 (CET)--

Kontaminierte Normalverteilung

Im Abschnitt "Kontaminierte Normalverteilung" findet sich die Behauptung, dass die angegebene Verteilung die Eigenschaft hat das 92.5% aller Werte im Bereich von $[\mu -\sigma ,\mu +\sigma ]$ liegen. Das kommt mir äußerst fraglich vor, und tatsächlich sind wenn ich die Verteilung simuliere wie erwartet 65.5% der Werte in diesem Interval.

Wo kommen die 92.5% her? Sind die frei erfunden oder ist (was ich vermute) ein durchaus interessantes Beispiel falsch kopiert worden? 2A00:23C6:1526:9F01:A582:88E9:C806:D450 10:08, 30. Jun. 2023 (CEST)

Hast du den Querstrich bei ${\overline {\sigma }}$ berücksichtigt? Gemeint ist nicht der Parameter $\sigma$ in der Angabe der Verteilung, sondern die tatsächliche Standardabweichung der kontaminierten Verteilung. Bei einer Simulation mit 10000 Punkten ($\mu =0,\,\sigma =1$) bekomme ich ${\overline {\sigma }}=3.33$ und 9249 Punkte im Intervall $[\mu -{\overline {\sigma }},\mu +{\overline {\sigma }}]$. --Wrongfilter ... 10:58, 30. Jun. 2023 (CEST)

Herleitung der Normalverteilung aus der Binomialverteilung

Dieser Abschnitt ist unglücklich aufgebaut und schlecht lesbar. Zunächst heißt es "Die Normalverteilung kann aus der Binomialverteilung hergeleitet werden, wenn [...]". Dann werden vier Bedingungen aufgezählt, unter denen diese Herleitung möglich sei, wobei unklar bleibt, ob diese Bedingungen nun erfüllt sind oder nicht, und unter welchen Voraussetzungen sie erfüllt sind. Dann ist von Annäherungen für $n\to \infty$ die Rede, wobei $n$ auf beiden Seiten der jeweiligen Gleichungen steht. Was hier stattdessen stehen könnte, ist ein klarer Beweis beruhend auf den Verteilungsfunktionen von Binomialverteilungen und Normalverteilungen.

Wenn der Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace über die asymptotische Normalverteilung einer binomialverteilten Zufallsvariable gemeint ist, dann sollte dies zunächst dort stehen und nicht abgeschriebene Rechnungen. Die angegebene Quelle erfüllt zudem nicht die Qualitätsanforderungen der WP.

Gerade sehe ich, dass im Artikel Satz von Moivre-Laplace mit derselben Quelle dieselbe unglückliche Beweisstruktur steht. Jedenfalls ist die Doppelung der Herleitung überflüssig.--Sigma^2 (Diskussion) 12:26, 6. Sep. 2023 (CEST)

Es sieht auch für mich sehr abschreckend aus. Es ist auch nicht beschrieben, was n und p sind. Anschaulich verstehe ich die Voraussetzungen als doppelt formuliert: erst gilt es in der Nähe des Erwartungswertes (dann müsste da stehen "höchstens von der Größenordnung O(sqrt(n))"). Und dann gilt es von den Rändern k und n-k entfernt.

Ich finde, dass normalerweise Beweise nicht in so einen Artikel gehören, zumal so umfangreiche. Aber ich kann die Bedeutung dieser "Herleitungen" nicht einschätzen und kenne mich da sonst auch nicht aus, deshalb traue ich mich nicht ran. --M.J. (Diskussion) 21:43, 7. Sep. 2023 (CEST)

Ich beabsichtige, diese Herleitung zu löschen. Ein Verweis auf Normalapproximation und Satz von Moivre-Laplace ist ausreichend. --Sigma^2 (Diskussion) 23:02, 27. Sep. 2023 (CEST)

Auch die Formulierungen sind unscharf, da sprachlich nicht unterschieden wird zwischen einer Herleitung der Dichtefunktion einer Normalverteilung aus der Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Binomialverteilung (lokaler Grenzwertsatz von Moivre-Laplace) und der Herleitung der Verteilungsfunktion einer Normalverteilung aus der Verteilungsfunktion einer Binomialverteilung (globaler Grenzwertsatz von Moivre-Laplace). --Sigma^2 (Diskussion) 10:37, 1. Okt. 2023 (CEST)

Die Herleitung hat bei Moivre-Laplace doch eine passenden Ort. Ob die Herleitung selbst besser geht, mag dort beurteilt werden. Wenn es zu Verbesserungen darin kommt, ist es auf jeden Fall einfacher, wenn nur diese eine Stelle geändert werden muss. --M.J. (Diskussion) 22:06, 5. Okt. 2023 (CEST)

Ich habe jetzt den holprigen Beweis, bei dem nicht klar ist, was eigentlich bewiesen werden soll, gelöscht und hierhin kopiert:

Die Normalverteilung kann aus der Binomialverteilung hergeleitet werden, wenn die Differenz $k-np$ zwischen der Anzahl $k$ der Erfolge und dem Erwartungswert $np$ von der Größenordnung ${\mathcal {O}}({\sqrt {n}})$ ist und $k$ und $n-k$ von der Größenordnung ${\mathcal {O}}(n)$ sind.

Aus der Stirlingformel $n!=n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{n}}\right)\right)$ ergibt sich dann folgende Näherung für die Binomialverteilung:

${\begin{aligned}::B(k\mid p,n)&={\frac {n!}{k!(n-k)!}}p^{k}(1-p)^{n-k}\\::&={\frac {n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}}{k^{k}e^{-k}{\sqrt {2\pi k}}(n-k)^{n-k}e^{-(n-k)}{\sqrt {2\pi (n-k)}}}}p^{k}(1-p)^{n-k}\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{n}}\right)\right)\\::&=n^{n}\left({\frac {p}{k}}\right)^{k}\left({\frac {1-p}{n-k}}\right)^{n-k}{\sqrt {\frac {n}{2\pi k(n-k)}}}\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{n}}\right)\right)\\::&=\left({\frac {np}{k}}\right)^{k}\left({\frac {n(1-p)}{n-k}}\right)^{n-k}{\sqrt {\frac {n}{2\pi k(n-k)}}}\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{n}}\right)\right)\\::\end{aligned}}$

Um den Ausdruck $\left({\tfrac {np}{k}}\right)^{k}\left({\tfrac {n(1-p)}{n-k}}\right)^{n-k}$ als Potenz von $e$ darzustellen, wird der natürliche Logarithmus dieses Ausdrucks approximiert. Definiert man $d:=k-np$, dann gilt

${\begin{aligned}::\ln \left({\frac {np}{k}}\right)&=\ln \left({\frac {np}{np+d}}\right)=-\ln \left({\frac {np+d}{np}}\right)=-\ln \left(1+{\frac {d}{np}}\right)\\::\ln \left({\frac {n(1-p)}{n-k}}\right)&=\ln \left({\frac {n(1-p)}{n(1-p)-d}}\right)=-\ln \left({\frac {n(1-p)-d}{n(1-p)}}\right)=-\ln \left(1-{\frac {d}{n(1-p)}}\right)\\::\end{aligned}}$

Aus der Potenzreihe $\ln(1+x)=x-{\tfrac {x^{2}}{2}}+{\mathcal {O}}(x^{3})$ für den natürlichen Logarithmus folgt

${\begin{aligned}::\ln \left(\left({\frac {np}{k}}\right)^{k}\left({\frac {n(1-p)}{n-k}}\right)^{n-k}\right)&=k\ln \left({\frac {np}{k}}\right)+(n-k)\ln \left({\frac {n(1-p)}{n-k}}\right)\\::&=k\ln \left(1+{\frac {d}{np}}\right)-(n-k)\ln \left(1-{\frac {d}{n(1-p)}}\right)\\::&=-(np+d)\left({\frac {d}{np}}-{\frac {d^{2}}{2n^{2}p^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {d^{3}}{n^{3}}}\right)\right)-(n(1-p)-d)\left(-{\frac {d}{n(1-p)}}-{\frac {d^{2}}{2n^{2}(1-p)^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {d^{3}}{n^{3}}}\right)\right)\\::&=-d-{\frac {d^{2}}{np}}+{\frac {d^{2}}{2np}}+{\frac {d^{3}}{2n^{2}p^{2}}}-(np+d){\mathcal {O}}\left({\frac {d^{3}}{n^{3}}}\right)+d-{\frac {d^{2}}{n(1-p)}}+{\frac {d^{2}}{2n(1-p)}}-{\frac {d^{3}}{2n^{2}(1-p)^{2}}}-(n(1-p)-d){\mathcal {O}}\left({\frac {d^{3}}{n^{3}}}\right)\\::&=-{\frac {d^{2}}{2np(1-p)}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {d^{3}}{n^{2}}}\right)\\::\end{aligned}}$

Wendet man die Exponentialfunktion auf diese Gleichung an, dann erhält man

$\left({\frac {np}{k}}\right)^{k}\left({\frac {n(1-p)}{n-k}}\right)^{n-k}=e^{-{\frac {d^{2}}{2np(1-p)}}}\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {d^{3}}{n^{2}}}\right)\right)$

Außerdem gilt die Näherung

${\sqrt {\frac {n}{2\pi k(n-k)}}}={\sqrt {\frac {n}{2\pi (np+d)(n(1-p)-d)}}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi np(1-p)}}}\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {d}{n}}\right)\right)$

Weil $d:=k-np$ von der Größenordnung ${\mathcal {O}}({\sqrt {n}})$ ist, gilt ${\mathcal {O}}\left({\frac {d^{3}}{n^{2}}}\right)={\mathcal {O}}\left({\frac {d}{n}}\right)={\mathcal {O}}\left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\right)$. Daraus folgt, dass die Binomialverteilung folgendermaßen dargestellt werden kann:

$B(k\mid p,n)={\frac {1}{\sqrt {2\pi np(1-p)}}}e^{-{\frac {(k-np)^{2}}{2np(1-p)}}}\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\right)\right)$

Dieser Wert nähert sich für große $n$ der Normalverteilung mit dem Erwartungswert $\mu =np$ und der Varianz $\sigma ^{2}=npq$ an.

Santa Cruz Institute for Particle Physics: The Normal Approximation to the Binomial Distribution

--Sigma^2 (Diskussion) 01:09, 7. Okt. 2023 (CEST)

So genannte "Streuintervalle"

Das Wort Streuintervall kommt in der gesamten Wikipedia in genau in einem Artikel - nämlich diesem - (allerdings ohne Beleg) vor. Ich vermute, es ist eine Ad-Hoc-Worterfindung eines Wikipediaautors, also unzulässige WP:TF.

Mit Literatur belegbare Begriffe aus der Statistik sind: Zufallstreubereich, Schwankungsintervall, Prognoseintervall (diese drei meist mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit, Progoseintervall meist mit speziellerer Bedeutung), k-Sigma-Bereiche oder k-Sigma-Intervalle für Intervalle der Form $[\mu -k\sigma ,\mu +k\sigma ]$ (meist mit ganzzahligem $k$).

Streubereich wird in der deskriptiven Statistik für das Intervall $[x_{min},x_{max}]$ verwendet, wobei $x_{min}$ und $x_{max}$ der kleinste und größte von $n$ Beobachtungswerten $x_{1},\dots x_{n}$ sind.

Wenn keine Belege geliefert werden – vielleicht ist es ja ein Begriff aus der Schuldidaktik, dort wurde schon so mancher Begriff kreiert – beabsichtige ich die Löschung bzw. Ersetzung durch einen anderen Begriff.--Sigma^2 (Diskussion) 12:26, 15. Okt. 2023 (CEST)

Geht auch einfach nur "Intervall" oder "Bereich"? Konfidenzintervall trifft es wohl nicht?--M.J. (Diskussion) 15:17, 15. Okt. 2023 (CEST)

Eventuell kannst du auch https://de.wikipedia.org/wiki/Mehrdimensionale_Normalverteilung#Streuregionen_der_mehrdimensionalen_Normalverteilung auf Korrektheit bei der Benutzung der Begriffe überprüfen biggerj1 (Diskussion) 16:48, 15. Okt. 2023 (CEST)

Streuregion und Streukreisradius könnten Erfindungen desselben Autors sein. --Sigma^2 (Diskussion) 17:28, 15. Okt. 2023 (CEST)

Richtig, Konfidenzintervall trifft es überhaupt nicht. Ein Konfidenzintervall hat zufällige Intervallenden. Intervall ist ok. Es geht einfach nur um die Wahrscheinlichkeit eines Intervalls. --Sigma^2 (Diskussion) 17:24, 15. Okt. 2023 (CEST)

Tabelle "Erwartete Anteile ..."

• Gemischte Verwendung von Dezimalpunkt und Dezimalkomma, teils in derselben Spalte.
• In der ersten Spalte ist $\sigma$ durchgängig redundant.
• Die Erklärung der zweiten und dritten Spalte ist unglücklich.
• In der vierten Spalte ist ppb nicht erklärt.

--Sigma^2 (Diskussion) 12:49, 15. Okt. 2023 (CEST)

• Es sollte das Komma verwendet werden, ich sehe aber gerade keinen Fehler. Die Leerzeichen der Nachkommerstellen sind nicht nach der Konvention, glaube ich.
• Das $\sigma$ kann weg. Vielleicht sollte mit $\sigma$ verständlicher sein?
• Eine glücklichere Beschreibung findet sich vielleicht auf dieser Diskussionsseite einen Abschnitt weiter oben.
• Die ppb-Spalte kann eigentlich auch weg, ppb wird nur einmal bei "6-sigma" verwendet, das ich weiter nach hinten verschoben habe. Dort wird aber auch ppm verwendet, was etwas irritiert. Eigentlich ist eine Spalte für die Multiplikation mit 10⁹ übertrieben. Das finde ich übrigens auch für die letzte Spalte, wo der Kehrwert angegeben wird.

--M.J. (Diskussion) 15:24, 15. Okt. 2023 (CEST)

Ich habe die Punkte im Abschnitt "Standardabweichung" überarbeitet und dabei in die Tabellenüberschrift "Anteil der Dichtefunktion..." geschrieben, was mir bei nochmaligem Lesen auch als unglückliche Formulierung vorkommt. Gibt es da einen passenderen Vorschlag? Dann könnten auch die Bildunterschriften angepasst werden, wo jetzt noch das "Streuintervall" erwähnt wird.--M.J. (Diskussion) 22:05, 17. Okt. 2023 (CEST)

• "Anteile der Dichtefunktion" ist nicht gut. Wenn, dann sind es Flächenanteile und die sind Wahrscheinlichkeiten
• Die Fehlerfunktion wird eigentlich nur noch in der numerischen Mathematik und Physik verwendet. In der Statistik spielt Sie überhaupt keine Rolle. Deswegen sollte sie in den laufenden Text aber nicht in den Tabellenkopf.
• Mein Vorschlag:
  • Tabellenbezeichnung: Wahrscheinlichkeiten für eine Zufallsvariable $X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$
  • Kopf zweite Spalte: $P(X\in [\mu -z\sigma ,\mu +z\sigma ])$
  • Kopf dritte Spalte: $1-P(X\in [\mu -z\sigma ,\mu +z\sigma ])$

--Sigma^2 (Diskussion) 22:21, 17. Okt. 2023 (CEST)

Bisher wird Schreibweise P() nicht im Artikel verwendet, wenn es geht, würde ich es nicht für die Tabelle einführen. Wie wäre es mit

• Kopf zweite Spalte: Wahrscheinlichkeit für $X\in [\mu -z\sigma ,\mu +z\sigma ]$
• Kopf dritte Spalte: Wahrscheinlichkeit für $X\notin [\mu -z\sigma ,\mu +z\sigma ]$

P.S.: die Schreibweise "$X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$" wird im Artikel auch nicht eingeführt. --M.J. (Diskussion) 18:13, 18. Okt. 2023 (CEST)

Doch, erste Zeile der Definition. --Sigma^2 (Diskussion) 00:37, 19. Okt. 2023 (CEST)

Weiter unten im Artikel wird die Schreibweise P(...) auch verwendet.

Ich bin gegen umgangssprachliche Formulierungen, die sich in der Nähe des Fachsprache befinden. Fachsprachlich heißt es Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und nicht Wahrscheinlichkeit für .... Ein Ereignis ist eine Menge, hier die Menge $\{X\in [\mu -z\sigma ,\mu +z\sigma ]\}$ als eine abgekürzte Schreibweise von ausführlicher $\{\omega \mid X(\omega )\in [\mu -z\sigma ,\mu +z\sigma ]\}$, denn eine Zufallsvariable ist eine Funktion auf einer Ergebnismenge. Und $P(X\in [\mu -z\sigma ,\mu +z\sigma ])$ ist eine vereinfachende Schreibweise von $P(\{X\in [\mu -z\sigma ,\mu +z\sigma ]\})$, da doppelte Klammern redundant sind. Also, wenn ich P nicht verwenden dürfte, würde ich schreiben:

• Kopf zweite Spalte: Wahrscheinlichkeit von $\{X\in [\mu -z\sigma ,\mu +z\sigma ]\}$
• Kopf dritte Spalte: Wahrscheinlichkeit von $\{X\notin [\mu -z\sigma ,\mu +z\sigma ]\}$ --Sigma^2 (Diskussion) 01:02, 19. Okt. 2023 (CEST)

  Ich habe deinen Vorschlag mit dem P() eingefügt, die geschweifte Klammer mag ich noch weniger. Übrigens ist mir die numerische Mathematik und Physik näher als Statistik, deshalb kann es schon vorkommen, dass ich fachsprachlich nicht treffend formuliere. --M.J. (Diskussion) 22:38, 19. Okt. 2023 (CEST)

  Danke für Deine geduldigen Überarbeitungen. Der Artikel wird immer besser. --Sigma^2 (Diskussion) 08:50, 20. Okt. 2023 (CEST)

  "Umgekehrt ist die Grenze des Intervalls, in dem der Anteil an Werten $p\in (0,1)$ liegt, durch

  $z={\sqrt {2}}\cdot \operatorname {erf} ^{-1}(p)=\Phi ^{-1}\left({\frac {p+1}{2}}\right)$

  bestimmt." Wo beginnt das Intervall, wo endet es? Es könnte bei -unendlich beginnen oder zentriert um den Erwartungswert sein... Bitte im Text präzisieren :) biggerj1 (Diskussion) 11:09, 20. Okt. 2023 (CEST)

  Heute gemacht. --Sigma^2 (Diskussion) 20:53, 20. Okt. 2023 (CEST)

  Danke schön! biggerj1 (Diskussion) 06:30, 21. Okt. 2023 (CEST)

  Mir kommt es jetzt so vor, als wenn da zweimal etwas sehr ähnliches steht, einmal im Text, einmal in der Anmerkung 13:

  • Die Wahrscheinlichkeit $p$ kann alternativ durch die Verteilungsfunktion $\Phi$ der Standardnormalverteilung oder durch die Fehlerfunktion $\operatorname {erf}$ ausgedrückt werden. Dazu betrachtet man ein Intervall, welches symmetrisch um den Median aufgebaut ist:
    $\int _{-z}^{+z}\varphi (t)\mathrm {d} t=p$ bzw. wegen Symmetrie $2\int _{0}^{z}\varphi (t)\mathrm {d} t=p$
    daher gilt $2(\Phi (z)-\underbrace {\Phi (0)} _{0.5})=p$ bzw. äquivalent:
  • Es gilt
    $P(Z\in [-z,z])=P(-z\leq Z\leq z)=\Phi (z)-\Phi (-z)=\Phi (z)-(1-\Phi (z))=2\Phi (z)-1\,.$

  Mir gefällt die zweite Rechnung besser, weil man nicht "wissen" muss, dass $\Phi (0)=0.5$ ist und das Integral weiter oben bei $-\infty$ anfängt. Dass die Verteilungsfunktion und die Fehlerfunktion zusammenhängen, steht schon im Abschnitt "Verteilungsfunktion", ich hätte es daher hier nicht nochmal erwähnt, nur beide Formeln hingeschrieben.

  Jetzt ist es noch unglücklich, dass die Standartnormalverteilung Z und das Intervall mit z bezeichnet wird. Ich wäre für einen anderen Buchstaben an einer der Stellen. --M.J. (Diskussion) 19:17, 21. Okt. 2023 (CEST)

  Ich fand die letzte Ergänzung von Benutzer:biggerj1 auch seltsam, nachdem es schon eine vollständige Herleitung in der Anmerkung gab, die aber biggerj1 vielleicht übersehen hat. $Z$ ist das übliche Symbol für eine standardnormalverteilte Zufallsvariable, $k$ wird häufig bei der Vervielfachung von $\sigma$ verwendet. Ich finde an dieser Stelle $z$ eigentlich nicht störend, weil es doch als eine mögliche Realisierung von $Z$ mitgedacht wird und Realisierungen von $Z$ häufig mit $z$ bezeichnet werden. Oder stört etwas anderes? --Sigma^2 (Diskussion) 22:47, 21. Okt. 2023 (CEST)

  Ohh entschuldige! Die Fußnote ist mir tatsächlich entgangen. Habe meine Änderungen rausgenommen. biggerj1 (Diskussion) 01:52, 22. Okt. 2023 (CEST)

  Ja, stimmt, dass Z und z so richtig zusammen passen hatte ich nicht bemerkt, ich hatte das z nur als übernommen von $X\in [\mu -\sigma ,\mu -\sigma ]$ verstanden. --M.J. (Diskussion) 20:57, 22. Okt. 2023 (CEST)

Normierte Normalverteilung

Das klingt für mich sehr seltsam. So als hätte ich es noch nie gelesen. Gibt es dafür einen Beleg?--Sigma^2 (Diskussion) 17:25, 28. Okt. 2023 (CEST)

Das steht so im Taschenbuch der Mathematik, mindestens in der 2. und 5. Auflage (1995, 2000). --M.J. (Diskussion) 17:31, 28. Okt. 2023 (CEST)

Dann bitte ein Beleg an die erste Verwendung, möglichst mit Seitenzahl. In der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie gibt es das wohl eher selten. Da aber der Bronstein eine Bibel für Ingenieure und Physiker ist, sollte es jedenfalls - mit Beleg - drinbleiben. --Sigma^2 (Diskussion) 17:43, 28. Okt. 2023 (CEST)

Ok.

Wo es gerade zu Definition geht, ist die Schreibweise $-\infty <x<\infty$ üblich, warum nicht $x,\sigma \in \mathbb {R}$? Im Bronstein steht keine Bedingung zu $x,\sigma$ auf den angrenzenden Seiten. --M.J. (Diskussion) 18:19, 28. Okt. 2023 (CEST)

Ich habe es überarbeitet. Bei Funktionen den Definitionsbereich anzugeben, ist jedenfalls besser, als keine Angabe zu machen. Bei $\sigma ^{2}$ sind die Bedingungen $\sigma ^{2}>0$ und $\sigma ^{2}<\infty$ wichtig.--Sigma^2 (Diskussion) 19:17, 28. Okt. 2023 (CEST)

Ich verstehe, dass $\sigma \neq 0$. Wo ich gelernt habe, war $\infty \notin \mathbb {R}$. Im Artikel folgt: $\sigma ={\sqrt {\sigma ^{2}}}$, womit dann $\sigma >0$ implizit festgelegt ist (also ohne Quadrat). --M.J. (Diskussion) 19:34, 28. Okt. 2023 (CEST)

1) $-\infty <x<\infty$ bedeutet $x\in \mathbb {R}$, denn $-\infty <\dots <\infty =(-\infty ,\infty )=\mathbb {R} \setminus \{-\infty ,\infty \}=\mathbb {R}$

2) Der Fall $\sigma ^{2}=0$ existiert durchaus über die alternative Definition. Er spielt zwar keine Rolle für die Grundlagen und die meisten Leser, aber er spielt eine Rolle in der Theorie der stochastischen Differentialgleichungen.--Tensorproduct 16:51, 31. Okt. 2023 (CET)

Ich habe jetzt mehr $\sigma$ statt $\sigma ^{2}$ in die Definition gebracht, weil mir nicht ersichtlich ist, warum es $\sigma ^{2}$ sein soll. Ich hoffe, du, Sigma^2 nimmst es mir zumindest nicht aus Eitelkeit übel. Wenn es Gründe für das Quadrat gibt, kann es auch wieder revertiert werden, bzw. eine einheitliche Schreibweise wäre schon schön, so dass im Exponenten auch $\sigma ^{2}$ steht und nicht $(x/\sigma )^{2}$ oder so.

Das hatte ich überhaupt nicht verstanden, dass es Dir um $\sigma$ anstelle von $\sigma ^{2}$ geht. Natürlich ist die Standardabweichung als Wurzel der Varianz definiert und es fällt nicht eine Standardabweichung vom Himmel, deren Quadrat dann die Varianz ist. Andererseits ist $\sigma$ Skalenparameter, so dass es aus statistischer Sicht auch Argumente dafür gibt, $\mu$ und $\sigma$ als Parameter der Normalverteilung aufzufassen. Dies findet sich in der österreichischen Schule der Statistik und z. B. in Mit Franz Baur, Michael Krapp: Statistik: Eine Einführung für Wirtschafts- und Sozialwissenschaftler. 19. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin / Boston 2022, ISBN 978-3-11-075919-8, doi:10.1515/9783110759327 (E-Book-ISBN 978-3-11-075940-2). .

Für die Zufallsvaraiable X verlange ich jetzt nicht mehr, dass sie stetig ist, so verstehe ich die Verlinkung von "stetige Zufallsvariable" und so steht es im Bronstein. Dass X stetig ist, ergibt sich aus der Verteilungsfunktion. Ev. könnte es irgendwo erwähnt werden, falls es erwähnenswert ist. --M.J. (Diskussion) 22:10, 31. Okt. 2023 (CET)

Der singuläre Fall $\sigma ^{2}=0$ wird auch in der multivariaten Statistik häufig mitberücksichtigt. Im Artikel Mehrdimensionale Normalverteilung ist es besser gemacht. Beispielsweise gibt es eine einfache Charakterisierung, die auch zur Definition verwendet wird, eines multivariat normalverteilten Zufallsvektor $\mathbf {X}$ durch univariate Normalverteiltheit aller Linearkombinationen $\mathbf {a} ^{T}\mathbf {X}$ mit $\mathbf {a} \neq \mathbf {0}$. Im Fall einer nichtinvertierbaren Kovarianzmatrix (singulärer Fall) ergeben sich für bestimmte Vektoren $\mathbf {a}$ Einpunktverteilungen (mit $\sigma ^{2}=0$), die dann zu den univariaten Normalverteilungen gezählt werden.--Sigma^2 (Diskussion) 00:00, 1. Nov. 2023 (CET)

verblüffende Übereinstimmung

Wer war denn 1845 verblüfft? Laplace war schon lange tot. Gauß zwar noch nicht, aber siehe Carl Friedrich Gauß#Beiträge zur Astronomie. --Rainald62 (Diskussion) 16:31, 11. Mär. 2024 (CET)

Vermutlich soll Monsieur Quetelet selbst verblüfft gewesen sein. In der angegebenen Quelle schreibt er auf S. 259 von der concordance remarquable qui existe entre les nombres observés et les nombres calculés. Allerdings meint remarquable eher ein nüchterneres "bemerkenswert", und "verblüfft" scheint übertrieben, jedenfalls wenn diese Stelle tatsächlich gemeint ist. --Wrongfilter ... 19:54, 11. Mär. 2024 (CET)

Da hat er aber lange für gebraucht, denn das Buch ist von 1844. ;-) --≡c.w. @… 17:05, 13. Mär. 2024 (CET)

Interessant. Die [angegebene Quelle] ist ein Abdruck desselben im Bulletin de la Commission Centrale de Statistique, datiert auf 1845. But what's another year? Die Daten zu den Brustumfängen stammen übrigens aus dem Jahr 1817. --Wrongfilter ... 18:06, 13. Mär. 2024 (CET)

Die "Übereinstimmung" sollte aber in Anführungszeichen als Zitat genannt werden. --M.J. (Diskussion) 20:57, 13. Mär. 2024 (CET)