Drehmoment
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| Physikalische Größe | |||||||
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| Name | Drehmoment | ||||||
| Größenart | Moment | ||||||
| Formelzeichen der Größe | M | ||||||
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Das Drehmoment ist wie die Kraft eine grundlegende physikalische Größe in der klassischen Mechanik. Es spielt für die Rotation die gleiche Rolle, wie die Kraft für die geradlinige Bewegung. In technischen Anwendungen steht im Vordergrund, dass ein Drehmoment einen Körper um eine Achse drehen, oder durch Torsion verformen kann. Das Drehmoment ist sowohl der Kraft als auch dem Hebelarm (Abstand zwischen Kraft und Achse), an dem diese angreift, proportional.
[Bearbeiten] Zusammenhang zwischen geradliniger Bewegung und Rotation infolge Kraft beziehungsweise Drehmoment
Wirkt eine Kraft auf den Schwerpunkt eines frei beweglichen starren Körpers, so führt dieser eine geradlinige Bewegung aus. Bei Kraft-Angriff außerhalb des Schwerpunkts wird der Körper in Drehung versetzt, wobei die Wirkung sowohl von der Größe der Kraft als auch vom Abstand der Kraft-Wirkungslinie zum Schwerpunkt abhängt. Der Kraft entspricht jetzt das Drehmoment, nämlich das Produkt aus Kraft und einem Abstand.
In technischen Anwendungen wird für eindeutige Bewegung eines Körpers durch Einschränkung der Beweglichkeit auf den erwünschten Freiheitsgrad f gesorgt. In den vorliegenden Fällen soll sich der Körper entweder nur geradlinig (zum Beispiel mit Hilfe einer Schiene) oder nur drehbar (zum Beispiel in einem Drehlager) bewegen.
Eine Kraft beschleunigt einen Körper bei gradliniger Bewegung, ein Drehmoment sorgt für Beschleunigung bei Drehbewegung. Beide Bewegungen sind gleichförmig (inklusive Ruhe), wenn mehrere angreifende Kräfte beziehungsweise Drehmomente im Gleichgewicht sind. Bei großen Kräften oder Drehmomenten kann der Körper verformt oder zerstört werden.
Dem Newtonschen Gesetz
- Kraft gleich Masse mal Beschleunigung
entspricht bei der Rotation
- Drehmoment gleich Trägheitsmoment mal Winkelbeschleunigung.
[Bearbeiten] Wirkung eines Drehmomentes
Ein Drehmoment kann die Drehung des Körpers beschleunigen etwa beim “Hochfahren” oder Abbremsen einer Schwungscheibe. In vielen technischen Anwendungen besteht Gleichgewicht zwischen mehreren an einer Achse wirksamen Drehmomenten, so dass sich die Drehbewegung nicht ändert; die Drehgeschwindigkeit bleibt konstant. Zum Beispiel ist das Antriebs-Drehmoment an den Radachsen eines Autos bei gleichmäßiger Fahrt im Gleichgewicht mit dem aus dem Fahrwiderstand resultierendem Drehmoment. Der drehbare Körper kann auch in Ruhe sein, wie etwa bei einer ausbalancierten Balkenwaage. Ein auslösender Drehmomentschlüssel rastet beim Anziehen einer Schraube aus, wenn das eingestellte Anzugsmoment im Gleichgewicht mit dem Gegenmoment ist, das durch elastische Torsion und Dehnung der Schraube entsteht. Die Dehnung erzeugt über die Reibung unter dem Schraubenkopf ein Gegenmoment. Bei zu großem Anzugsmoment wird die Schraube plastisch verformt oder sogar abgerissen.
Umgekehrt entspricht ein um eine Achse wirkendes Drehmoment einer Kraft, die um so kleiner ausfällt, je größer der Abstand von der Achse ist. Dieser Zusammenhang ist Inhalt des Hebelgesetzes.
[Bearbeiten] Größe und Richtung eines Drehmomentes
In der Technik wird das Drehmoment in der Regel auf die materiell vorhandene Drehachse bezogen. Bei gegebenem Ansatzpunkt der vektoriellen Größe Kraft 
lässt sich das Drehmoment in Bezug auf diese Achse als Kreuzprodukt von Hebelarm und Kraft berechnen:
.
Dabei ist der Hebelarm der Ortsvektor 
zwischen der Achse und dem Ansatzpunkt.
Bei Verwendung des einfachen traditionellen Merksatzes Drehmoment ist Kraft mal Hebelarm ist zu beachten, dass dieser nur gilt, wenn Kraft und Hebelarm zueinander rechtwinklig sind, und sich beide in einer Ebene senkrecht zur Achse befinden. Wirkt die Kraft schief zu dieser Ebene, ist ein auf die Lager der Achse wirkender Drehmoment-Anteil vorhanden.
Aus den Rechenregeln des Kreuzprodukts ist erkennbar, in welche Richtung der Vektor Drehmoment zeigt. Wirkt die Kraft in einer Ebene senkrecht zur Achse (siehe obere Abbildung), liegt der Drehmoment-Vektor in der Achse. Seine Richtung lässt sich durch Anwendung der Rechte-Hand-Regel angeben. Wenn die leicht angewinkelten Finger der rechten Hand in Richtung der wirkenden Kraft zeigen, gibt der gestreckte Daumen die Richtung des Drehmoments an (siehe untere Abbildung).
[Bearbeiten] Maßeinheit des Drehmoments
Die Maßeinheit des Drehmoments ist das Newtonmeter. In den Basiseinheiten Kilogramm, Meter und Sekunde ausgedrückt ist ein Newtonmeter:
![[\mathrm{Nm}] = [\tfrac{\mathrm{kg \, m^2}}{\mathrm{s^2}}]](http://upload.wikimedia.org/math/0/f/1/0f15442a3973fed0ad60e95fd8cadad0.png)
Das Newtonmeter ist auch eine Maßeinheit für Energie. Dennoch sind Energie und Drehmoment unterschiedliche physikalische Größen, die sich nicht ineinander umrechnen lassen. Sowohl Drehmoment als auch Energie lassen sich als "Kraft mal Strecke" auffassen. Energie wird umgewandelt, wenn bei einer Bewegung entlang einer Strecke eine Kraft parallel zur Bewegung wirkt. Beim Drehmoment wirkt dagegen die Kraft senkrecht zu der durch den Hebelarm gebildeten Strecke.
[Bearbeiten] Messung des Drehmoments
Ist der Kraftarm (Hebellänge) bekannt, so genügt die Kraftmessung, und das Drehmoment ergibt sich aus dem Produkt der Werte beider Größen. In anderen Fällen wird die übertragene Leistung P (zusammen mit der Drehzahl n) oder die Winkelbeschleunigung α (wenn das Trägheitsmoment J bekannt ist) gemessen.
Bei der Leistungsmessung ist zur Errechnung des Drehmoment M die Gleichung
,
bei der Beschleunigungmessung die Gleichung
anzuwenden.
Siehe
[Bearbeiten] Unterschiedliche technische Bezeichnungen für das Drehmoment
In der Technik ist es gebräuchlich, dem Drehmoment unterschiedliche Bezeichnungen zu geben, je nachdem in welchem Zusammenhang sie betrachtet werden.
Das an der Welle eines Motors wirksame Drehmoment ist das Abtriebsmoment des Motors, der mechanische Energie abgibt. An der Eingangsswelle einer Arbeitsmaschine wirkt das Antriebsmoment. Die Maschine wird mit mechanischer Energie angetrieben. An einem zwischen Motor und Arbeitsmaschine befindlichem Getriebe mit Wellen an Ein- und Ausgang spricht man von beiden verschiedenen Drehmomenten, dem Antriebsmoment (Eingang) und dem Abtriebsmoment (Ausgang). Das an den Rädern eines Fahrzeugs oder am Propeller eines Flugzeugs oder Schiffes wirksame Drehmoment ist ebenfalls ein Antriebsmoment.
Bezogen auf die Drehgeschwindigkeit einer Welle spricht man zum Beispiel vom Anfahrmoment, wenn die Drehzahl noch klein ist, und vom Nennmoment oder maximalen Moment mit zugehöriger Nenndrehzahl.
Beim Anziehen von Schrauben oder Muttern wirkt das Anzugsmoment.
[Bearbeiten] Drehmomente an ausgewählten Maschinen
obere Kennlinie: Dreieckschaltung
mittlere Kennlinie: Sternschaltung
[Bearbeiten] Beispiel: Elektromotor
Elektromotoren haben ein relativ hohes Anfahrmoment, das bei Drehstrommotoren durch temporären Betrieb in Dreieckschaltung noch erhöht werden kann. Das Bild zeigt das Abtriebsmoment eines Asynchronmotors in Abhängigkeit von der Drehzahl. Der normale Betriebsbereich ist rechts von den Kipppunkten K1 oder K2 auf der steil abfallenden Kurve. Der Bereich links von den Kipppunkten ist der Anfahrbereich, der wegen des schlechten Wirkungsgrads möglichst schnell durchfahren werden soll.
[Bearbeiten] Beispiel: Drehmoment und Leistung eines Verbrennungsmotors
Der bei Automobilen verwendete Begriff maximales Drehmoment des Verbrennungsmotors bei einer bestimmten Drehzahl bezeichnet das maximale vom Motor an der Kurbelwelle abgegebene Drehmoment. Das an der Kurbelwelle bei Volllast abgegebene Drehmoment ist nicht über den gesamten Drehzahlbereich des Motors konstant, sondern hat in einem bestimmten Bereich des nutzbaren Drehzahlbereiches ein Maximum.
Das Drehmoment M für Viertaktmotoren berechnet sich aus:
Hierbei ist Vh das Hubvolumen und pe der effektive Mitteldruck, der Faktor 2π im Nenner stammt aus der Formel für die Arbeit eines Drehmoments, die entlang des Umfanges 2π verrichtet wird. Der Wert 2π wird bei Viertaktmotoren mit 2 multipliziert, da Viertaktmotoren nur bei jeder zweiten Umdrehung Arbeit verrichten. Für Zweitaktmotoren gilt entsprechend:
Rechenbeispiel für das Drehmoment eines Serienfahrzeuges mit 2000 cm³ (=0,002 m³) Hubvolumen, dessen Viertaktmotor bei einer Drehzahl von 2000 1/min einen Mitteldruck von 22 Bar (=2.200.000 Pa; 1 Pa = 1 N/m²) erreicht, in SI-Einheiten gerechnet:
Die Gleichung für die Leistung bei einer Drehbewegung lautet (siehe oben):
und für eine drehzahlabhängige Leistung
- M(n) ist die für die untersuchte Maschine typische drehzahlabhängige Drehmomentkenngröße, die durch Messung erhalten wird.
Ein Verbrennungsmotor, der bei 2000 Umdrehungen pro Minute ein Drehmoment von 350 Nm abgibt, gibt somit bei dieser Drehzahl auch eine Leistung von
ab.
[Bearbeiten] Beispiel: Leistung und Drehmoment eines Hydraulikmotors
Die hydraulische Leistung P errechnet sich aus den Drücken p1 und p2 am Motoreingang bzw.-ausgang und dem geschlucktem Ölvolumen Q = q · n (q = Volumen je Umdrehung):
Aus der Gleichung für die Leistung bei einer Drehbewegung (siehe oben)
folgt das Drehmont mit:
