Holm begann im Alter von fünf Jahren Tennis zu spielen. Seine Eltern waren beide mit diesem Sport verbunden; seine Mutter war Tennistrainerin und sein Vater war ehemaliger schwedischer Davis-Cup-Spieler. Holm wurde 1988 Tennisprofi und trat in den ersten Jahren zusammen mit seinem jüngeren Bruder Niels im Doppel an. Erste Weltranglistenpunkte sammelten sie mit dem Doppeltitel bei einem Satellite-Turnier in Österreich. Im darauf folgenden Jahr sicherte sich Holm bei einem Challenger-Turnier in Dublin seinen ersten Einzeltitel und mit seinem Bruder erreichte er das Halbfinale des Turniers. 1990 gewann er das Challenger-Turnier von Aptos und mit seinem Bruder den Titel beim Challenger-Turnier von Genf, im Jahr darauf gewannen sie mit São Paulo und Istanbul zwei weitere Challenger-Doppeltitel.
1992 war Holms erfolgreichstes Jahr im Einzel; er wurde von der ATP mit dem Most Improved Player Award ausgezeichnet. Neben zwei Titeln auf der Challenger-Tour stand er zweimal im Endspiel eines ATP-Turniers. In Washington unterlag er Petr Korda und in Tokio dann Ivan Lendl, nachdem er in der dritten Runde Boris Becker überraschend mit 6:1 und 6:2 besiegt hatte. Es blieben seine einzigen Finalteilnahmen auf der ATP Tour, im darauf folgenden Jahr gelangen ihm noch drei Halbfinalteilnahmen. Stattdessen feierte er seine größten Erfolge nun im Doppel. Zusammen mit Stefan Edberg stand er im Finale des Masters-Turniers von Cincinnati, mit Anders Järryd gewann er die Swedish Open und Rotterdam und mit Martin Damm das ATP-Turnier von München. 1994 gewann er an der Seite von Järryd zwei weitere Turniere, gemeinsam standen sie zudem im Finale des Masters-Turniers von Hamburg. In seiner Karriere gewann er insgesamt fünf Doppeltitel, weitere vier Mal stand er in einem Doppelfinale. Seine höchsten Notierungen in der ATP-Weltrangliste erreichte er 1993 mit Platz 17 im Einzel sowie 1994 mit Position 10 im Doppel.
Sein bestes Abschneiden bei einem Grand-Slam-Turnier war die Achtelfinalteilnahme in Wimbledon im Jahr 1992. Im Doppel stand er 1994 im Achtelfinale der Australian Open.
Schweden
Dublin
Cristiano Caratti
Aptos
Istanbul
Stéphane Simian
Azoren
Kenneth Carlsen
Annenheim
Martin Damm
Heilbronn
Petr Korda
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Tokio Indoor
Rotterdam
David Adams
Andrei Olchowski
Saragossa
Tokio
Sébastien Lareau
Thessaloniki
Jerusalem
Genf
São Paulo
Olli Rahnasto
Monte Carlo
Kuala Lumpur
Bent-Ove Pedersen
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Piet Norval
Danny Sapsford
Saša Hiršzon