Liste multivariater und matrixvariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Diese Liste multivariater und matrixvariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen enthält multivariate Wahrscheinlichkeitsverteilungen und matrixvariate Wahrscheinlichkeitsverteilungen, unterteilt in diskrete multivariate Verteilungen, absolutstetige multivariate Verteilungen und matrixvariate Verteilungen.

Notation

Es gelten folgende Konventionen:

• Ist $x\in \mathbb {R} ^{n}$, so ist $x>0$ und $x\geq 0$ komponentenweise zu verstehen, also $x\geq 0$ genau dann, wenn $x_{i}\geq 0$ für alle $i$
• Ist $X\in \mathbb {R} ^{n\times n}$, so bezeichnen die Ordnungssymbole die Loewner-Halbordnung, also $X>0$ genau dann wenn $X$ positiv definit ist und $X>Y$ genau dann, wenn $X-Y>0$
• $\mathbf {1} _{k}$ bezeichnet den Einsvektor der Länge $k$ und $\mathbf {1} _{k\times k}$ die $k\times k$-Einheitsmatrix.

Abkürzend wird verwendet

$a_{1}+a_{2}+\dots +a_{k}=\mathbf {1} _{k}^{T}a$, wobei $a=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})$ ist.

$\operatorname {etr} (A)=\exp(\operatorname {spur} (A))$.

für ein $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$. $\operatorname {spur} (A)$ bezeichnet hier die Spur der Matrix $A$.

Diskret Multivariat

Name	Träger	Parameter	Wahrscheinlichkeitsfunktion	Bemerkung
Multinomial-Verteilung, Polynomial-Verteilung	$x\in \mathbb {N} _{0}^{k}$, $\mathbf {1} _{k}^{T}x=n$	$p$ stochastischer Vektor aus $\mathbb {R} ^{k}$	$f(x)={n \choose x}\;\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{x_{i}}$	Verallgemeinerung der Binomial-Verteilung, ${n \choose x}$ ist der Multinomialkoeffizient
Negativmultinomial-Verteilung, Negative Multinomial-Verteilung, Negative Polynomial-Verteilung	$x\in \mathbb {N} _{0}^{k}$	$p\in \mathbb {R} ^{k}$, $p_{i}\in (0,1)$, $\mathbf {1} _{k}^{T}p\leq 1$, $\alpha \in (0,+\infty )$	:$f(x)={\frac {\Gamma (\alpha +\mathbf {1} _{k}^{T}x)(1-\mathbf {1} _{k}^{T}p)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )\prod _{i=1}^{k}x_{i}!}}\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{x_{i}}$	Verallgemeinerung der negativen Binomialverteilung
Multivariate hypergeometrische Verteilung, allgemeine hypergeometrische Verteilung	$x\in \mathbb {N} _{0}^{k}$, $x_{1}+\dots +x_{k}=n$	$B\in \mathbb {N} _{0}^{k}$, $\mathbf {1} _{k}^{T}B=N$, $n,N\in \mathbb {N}$, $n\leq N$	$f(x)={\binom {N}{n}}^{-1}\prod _{i=1}^{k}{\binom {B_{i}}{x_{i}}}$	Verallgemeinerung der hypergeometrischen Verteilung
Polyhypergeometrische Verteilung	$x\in \mathbb {N} _{0}^{k}$, $\mathbf {1} _{k}^{T}x\leq n$	$n,N\in \mathbb {N}$, $n\leq N$, $K\in \{1,\dots ,N-1\}^{k}$, $\mathbf {1} _{k}^{T}K\leq N$	$f(x)={\binom {n}{M}}^{-1}{\binom {1-\mathbf {1} _{k}^{T}K}{n-\mathbf {1} _{k}^{T}x}}\prod _{i=1}^{k}{\binom {K_{i}}{x_{i}}}$	Verallgemeinerung der multivariaten hypergeometrischen Verteilung
Multivariate Poisson-Verteilung	$\mathbb {N} _{0}^{k}$	$\alpha \in \mathbb {R} ^{k}$, $\alpha >0$	$f(x):=\prod _{i=1}^{k}e^{-\alpha _{i}}{\frac {\alpha _{i}^{x_{i}}}{x_{i}!}}$	-
Pólya/Eggenberger-Verteilung	$x\in \mathbb {N} _{0}^{k}$, $\mathbf {1} _{k}^{T}x\leq n$	$n\in \mathbb {N}$, $a\in (0,+\infty )$, $b\in \mathbb {R} ^{k}$, $b>0$, $\mathbf {1} _{k}^{T}b\leq a$	$f(x)={\frac {{\binom {a+n-1-\mathbf {1} _{k}^{T}(b-x)}{n+\mathbf {1} _{k}^{T}x}}\prod _{i=1}^{k}{\binom {b_{i}+x_{i}-1}{x_{i}}}}{\binom {a+n-1}{n}}}$	-

Absolutstetig Multivariat

Name	Träger	Parameter	Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion	Bemerkung
Mehrdimensionale Normalverteilung, multivariate Normalverteilung	$\mathbb {R} ^{n}$	$\mu \in \mathbb {R} ^{n}$, $\Sigma \in \mathbb {R} ^{n\times n}$, $\Sigma >0$.	:$f(x)={\frac {1}{\sqrt {(2\pi )^{n}\det(\Sigma )}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}(x-\mu )^{T}\Sigma ^{-1}(x-\mu )\right)$	Verallgemeinerung der Normalverteilung
Dirichlet-Verteilung (der Ordnung $K$)	$x\in \mathbb {R} ^{K}$, $\mathbf {1} _{K}^{T}x=1$, $x\geq 0$	$\alpha \in \mathbb {R} ^{n}$, $\alpha >0$	$f(x)={\frac {\Gamma \left(\sum _{i=1}^{K}\alpha _{i}\right)}{\prod _{i=1}^{K}\Gamma (\alpha _{i})}}\prod _{i=1}^{K}x_{i}^{\alpha _{i}-1}$	-

Matrixvariat

Name	Träger	Parameter	Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion	Bemerkung
Matrixvariate Normalverteilung (englisch matrix variate normal distribution)	$\mathbb {R} ^{n\times p}$	$M\in \mathbb {R} ^{n\times p}$, $U\in \mathbb {R} ^{n\times n}$, $V\in \mathbb {R} ^{p\times p}$, $U>0$, $V>0$	$f(X)={\frac {\operatorname {etr} \left(-{\frac {1}{2}}\left[V^{-1}(X-M)^{T}U^{-1}(X-M)\right]\right)}{(2\pi )^{np/2}\det(V)^{n/2}\det(U)^{p/2}}}$	Verallgemeinerung der Normalverteilung
Wishart-Verteilung	$\mathbb {R} ^{p\times p}$	$V\in \mathbb {R} ^{p\times p}$, $V>0$, Freiheitsgrad $n\geq p$	$f(X)={\frac {\det(X)^{\tfrac {n-p-1}{2}}\operatorname {etr} \left(-{\tfrac {1}{2}}V^{-1}X\right)}{2^{\tfrac {np}{2}}\det(V)^{\tfrac {n}{2}}\Gamma _{p}({\tfrac {n}{2}})}}$	Hierbei bezeichnet $\Gamma _{p}(\cdot )$ die Multivariate Gamma-Funktion. Die Wishart-Verteilung ist die matrixvariate Verallgemeinerung der Chi-Quadrat-Verteilung.
Matrixvariate Studentsche t-Verteilung (englisch matrix variate t-distribution)	$\mathbb {R} ^{n\times p}$	$M\in \mathbb {R} ^{n\times p}$, $\Omega \in \mathbb {R} ^{p\times p}$, $\Sigma \in \mathbb {R} ^{n\times n}$, $\Omega >0,\Sigma >0$, Freiheitsgrad $\nu$	$f(X)={\frac {\Gamma _{p}\left({\tfrac {\nu +n+p-1}{2}}\right)}{(\pi )^{\tfrac {np}{2}}\Gamma _{p}\left({\frac {\nu +p-1}{2}}\right)}}\det(\Omega )^{-{\tfrac {n}{2}}}\det(\Sigma )^{-{\tfrac {p}{2}}}$ $\cdot \det \left(\mathbb {1} _{n\times n}+\Sigma ^{-1}(X-M)\Omega ^{-1}(X-M)^{T}\right)^{-{\frac {\nu +n+p-1}{2}}}$	Verallgemeinerung der studentschen t-Verteilung
Matrixvariate Beta-Verteilung (englisch matrix variate beta-type-I distribution)	$X\in \mathbb {R} ^{p\times p}$, $0<X<\mathbb {1} _{p\times p}$	$a>{\tfrac {1}{2}}(p-1),\,b>{\tfrac {1}{2}}(p-1)$	$f(X)={\frac {1}{\beta _{p}(a,b)}}\det(X)^{a-(p+1)/2}\det(\mathbb {1} _{p\times p}+X)^{b-(p+1)/2}$	Verallgemeinerung der Beta-Verteilung
Matrixvariate inverse Beta-Verteilung (englisch matrix variate beta-type-II distribution)	$X\in \mathbb {R} ^{p\times p}$, $0<X$	$a>{\tfrac {1}{2}}(p-1),\,b>{\tfrac {1}{2}}(p-1)$	$f(X)={\frac {1}{\beta _{p}(a,b)}}\det(X)^{a-(p+1)/2}\det(\mathbb {1} _{p\times p}+X)^{-(a+b)}$	Verallgemeinerung der inversen Beta-Verteilung

Siehe auch

• Liste univariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Einzelnachweise

Diskrete univariate Verteilungen

Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | Dirac | diskret uniform | empirisch | hypergeometrisch | kategorial | negativ hypergeometrisch | Rademacher | verallgemeinert binomial | Zipf | Zipf-Mandelbrot | Zweipunkt

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | discrete-Phase-Type | erweitert negativ binomial | Gauss-Kuzmin | gemischt Poisson | geometrisch | logarithmisch | negativ binomial | parabolisch-fraktal | Poisson | Skellam | verallgemeinert Poisson | Yule-Simon | Zeta

Kontinuierliche univariate Verteilungen

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall:
Beta | Cantor | Kumaraswamy | raised Cosine | Dreieck | Trapez | U-quadratisch | stetig uniform | Wigner-Halbkreis

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall:
Beta prime | Bose-Einstein | Burr | Chi | Chi-Quadrat | Coxian | Erlang | Exponential | Extremwert | F | Fermi-Dirac | Folded normal | Fréchet | Gamma | Gamma-Gamma | verallgemeinert invers Gauß | halblogistisch | halbnormal | Hartman-Watson | Hotellings T-Quadrat | hyper-exponentiale | hypoexponential | invers Chi-Quadrat | scale-invers Chi-Quadrat | Invers Normal | Invers Gamma | Kolmogorow-Verteilung | Lévy | log-normal | log-logistisch | Maxwell-Boltzmann | Maxwell-Speed | Nakagami | nichtzentriert Chi-Quadrat | Pareto | Phase-Type | Rayleigh | relativistisch Breit-Wigner | Rice | Rosin-Rammler | shifted Gompertz | truncated normal | Type-2-Gumbel | Weibull | Wilks’ Lambda

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall:
Cauchy | Extremwert | exponential Power | Fishers z | Fisher-Tippett (Gumbel) | generalized hyperbolic | Hyperbolic-secant | Landau | Laplace | alpha-stabil | logistisch | normal (Gauß) | normal-invers Gauß’sch | Skew-normal | Studentsche t | Type-1-Gumbel | Variance-Gamma | Voigt

Multivariate Verteilungen

Diskrete multivariate Verteilungen:
Dirichlet compound multinomial | Ewens | gemischt Multinomial | multinomial | multivariat hypergeometrisch | multivariat Poisson | negativmultinomial | Pólya/Eggenberger | polyhypergeometrisch

Kontinuierliche multivariate Verteilungen:
Dirichlet | GEM | generalized Dirichlet | multivariat normal | multivariat Student | normalskaliert invers Gamma | Normal-Gamma | Poisson-Dirichlet

Multivariate Matrixverteilungen:
Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit | Invers Wishart | Matrix Beta | Matrix Gamma | Matrix invers Beta | Matrix invers Gamma | Matrix Normal | Matrix Student-t | Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung | Normal-invers-Wishart | Normal-Wishart | Wishart