Produkt-σ-Algebra

Eine Produkt-σ-Algebra, auch Kolmogorowsche σ-Algebra genannt, ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Produkt-σ-Algebren erlauben die Definition von Produktmaßen, die den intuitiven Volumenbegriff auf höherdimensionale Räume verallgemeinern.

Definition

Gegeben sei eine Grundmenge, die das kartesische Produkt $\textstyle \Omega =\prod _{i\in I}\Omega _{i}$ für eine nichtleere Indexmenge $I$ sei. Jede der Mengen $\Omega _{i}$ sei zudem mit einer σ-Algebra ${\mathcal {A}}_{i}$ versehen. Die Produkt-σ-Algebra von $({\mathcal {A}}_{i})_{i\in I}$ (oder auch Kolmogorowsche σ-Algebra) ist dann definiert als

$\bigotimes _{i\in I}{\mathcal {A}}_{i}:=\sigma \left(\{\pi _{i}^{-1}(A_{i})\,|\,i\in I,\,A_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}\}\right)$,

wobei $\textstyle \pi _{i}\colon \Omega \rightarrow \Omega _{i}$ die Projektion auf die $i$-te Komponente bezeichnet. Das Paar

${\biggl (}\prod _{i\in I}\Omega _{i},\bigotimes _{i\in I}{\mathcal {A}}_{i}{\biggr )}$

bildet einen Messraum, der auch als messbares Produkt der Familie $((\Omega _{i},{\mathcal {A}}_{i}))_{i\in I}$ bezeichnet wird.

Erläuterungen

Man nennt

$\pi _{i}^{*}({\mathcal {A}}_{i}):=\{\pi _{i}^{-1}(A_{i})\,|A_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}\}=\left\{\left(\prod \limits _{j\in I\setminus \{i\}}\Omega _{j}\right)\times A_{i}\,|A_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}\right\}$

auch Pullback-σ-Algebra.

Notationskonventionen

Ist $I=\{1,2\}$, so schreibt man häufig auch ${\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2}$ statt $\textstyle \bigotimes _{i=1}^{2}{\mathcal {A}}_{i}$.

Ist ${\mathcal {A}}_{i}={\mathcal {A}}$ für alle $i\in I$, so verwendet man teilweise auch die Notation ${\mathcal {A}}^{\otimes I}$ für die entsprechende Produkt-σ-Algebra.

In der Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie wird die Produkt-σ-Algebra ${\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2}$ von einigen Autoren mit ${\mathcal {A}}_{1}\times {\mathcal {A}}_{2}$ bezeichnet.

Alternative Definitionen

Mittels messbarer Funktionen

Die Produkt-σ-Algebra lässt sich auch als die kleinste σ-Algebra definieren, bezüglich derer die Projektionen auf die einzelnen Komponenten messbar sind. Da Messbarkeit nur auf einem Erzeuger ${\mathcal {E}}_{i}$ der σ-Algebren ${\mathcal {A}}_{i}$ überprüft werden muss, ergibt sich damit

$\bigotimes _{i\in I}{\mathcal {A}}_{i}=\sigma {\biggl (}\bigcup _{i\in I}\pi _{i}^{-1}({\mathcal {A}}_{i}){\biggr )}=\sigma {\biggl (}\bigcup _{i\in I}\pi _{i}^{-1}({\mathcal {E}}_{i}){\biggr )}$.

Damit ist die Produkt-σ-Algebra der ${\mathcal {A}}_{i}$ die Initial-σ-Algebra ${\mathcal {I}}$ der $\pi _{i}$:

${\mathcal {I}}(\pi _{i},\,i\in I)=\bigotimes _{i\in I}{\mathcal {A}}_{i}$.

Als Produkt von Familien

Fasst man zwei σ-Algebren ${\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {A}}_{2}$ als Mengenalgebren auf und bildet das Produkt dieser Algebren ${\mathcal {C}}:={\mathcal {A}}_{1}\boxtimes {\mathcal {A}}_{2}$, so ist ${\mathcal {C}}$ wieder eine Algebra und ein Erzeuger der Produkt-σ-Algebra:

${\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2}=\sigma ({\mathcal {A}}_{1}\boxtimes {\mathcal {A}}_{2})$.

Man beachte, dass das Produkt zweier σ-Algebren ${\mathcal {A}}_{1}$ und ${\mathcal {A}}_{2}$ im Allgemeinen keine σ-Algebra ist. Jedoch ist ${\mathcal {A}}_{1}\times {\mathcal {A}}_{2}$ ein Halbring und insbesondere $\cap$-stabil.

Für eine abzählbare (endliche oder abzählbar unendliche) Indexmenge $I$ gilt

$\bigotimes _{i\in I}{\mathcal {A}}_{i}=\sigma {\biggl (}\prod _{i\in I}^{\star }{\mathcal {A}}_{i}{\biggr )},$

wobei

$\prod _{i\in I}^{*}{\mathcal {A}}_{i}={\biggl \{}\prod _{i\in I}A_{i}\mid (A_{i})_{i\in I}\in \prod _{i\in I}{\mathcal {A}}_{i}{\biggr \}}$

aus kartesischen Produkten der Familie $({\mathcal {A}}_{i})_{i\in I}$ gebildet ist. Das gewöhnliche kartesische Produkt $\prod _{i\in I}{\mathcal {A}}_{i}$ der Mengensysteme enthält als Elemente Mengenfamilien $(A_{i})_{i\in I}$ mit $A_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}$ für alle $i\in I$, während das Produkt $\prod _{i\in I}^{*}{\mathcal {A}}_{i}$ als Elemente kartesische Produkte $\prod _{i\in I}A_{i}$ mit $A_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}$ für alle $i\in I$ enthält.

Zylindermengen

Alternativ kann man für beliebige Indexmengen die Produkt-σ-Algebra auch als die von den Zylindermengen erzeugte σ-Algebra definieren. Dabei sind die Zylindermengen die Urbilder der Elemente einer σ-Algebra unter der kanonischen Projektion.

Beispiele

• Seien $(\Omega _{1},{\mathcal {A}}_{1})=(\{K,Z\},\{\emptyset ,\{K\},\{Z\},\{K,Z\}\})$ und $(\Omega _{2},{\mathcal {A}}_{2})=(\{a,b\},\{\emptyset ,\{a,b\}\})$ zwei Messräume. Dann ist die dazugehörige Produkt-σ-Algebra:

${\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2}=\{\emptyset ,\{(K,a),(K,b)\},\{(Z,a),(Z,b)\},\{(K,b),(Z,b),(K,a),(Z,a)\}\}$

• Die Borelsche σ-Algebra auf $\mathbb {R} ^{n}$ ist gleich der Produkt-σ-Algebra auf $({\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))_{i\in \{1,\dotsc ,n\}}$, es gilt folglich:

${\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})=\bigotimes _{i=1}^{n}{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$

Sie ist die kleinste σ-Algebra, die alle Mengen der Art $\{A_{1}\times A_{2}\times \dots \times A_{n}\,|\,A_{i}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\}$ enthält.

• Warnung: Sei $(E_{i},\tau _{i})_{i\in I}$ eine abzählbare Familie topologischer Räume, die das zweite Abzählbarkeitsaxiom nicht erfüllen, und $(E,\tau )$ deren topologisches Produkt, dann gilt

$\bigotimes _{i\in I}{\mathcal {B}}(E_{i})\subset {\mathcal {B}}(E).$

Erfüllen sie jedoch das zweite Abzählbarkeitsaxiom, dann gilt

$\bigotimes _{i\in I}{\mathcal {B}}(E_{i})={\mathcal {B}}(E).$

Anwendungen

Produkt-σ-Algebren sind die Grundlage für die Theorie der Produktmaße, die wiederum die Grundlage für den allgemeinen Satz von Fubini bilden.

Für die Stochastik sind Produkt-σ-Algebren von fundamentaler Bedeutung, um Aussagen über die Existenz von Produkt-Wahrscheinlichkeitsmaßen und Produkt-Wahrscheinlichkeitsräumen zu machen. Diese sind zum einen wichtig, um mehrstufige Zufallsexperimente zu beschreiben, und zum anderen grundlegend für die Theorie stochastischer Prozesse.

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8
• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-15307-1.