Kirchhoffsche Regeln
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Die zwei kirchhoffschen Regeln wurden 1845 von Gustav Robert Kirchhoff formuliert. (Weitere Entdeckungen siehe kirchhoffsches Strahlungsgesetz von 1859). Sie beschreiben jeweils den Zusammenhang zwischen mehreren elektrischen Strömen und zwischen mehreren elektrischen Spannungen in elektrischen Netzwerken.
Inhaltsverzeichnis |
[Bearbeiten] Der Knotenpunktsatz (Knotenregel) – 1. kirchhoffsches Gesetz
In einem Knotenpunkt eines elektrischen Netzwerkes ist die Summe der zufließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme.
Versieht man die zufließenden Ströme und die abfließende Ströme mit entgegengesetzten Vorzeichen, lässt sich allgemein sagen:
Die Summe aller in einen Knotenpunkt hineinfließenden Ströme ist null.
Das kann für einen Knoten mit n Strömen auch wie folgt geschrieben werden:
.
Diese Regel gilt nicht nur für Gleichströme in linearen Netzwerken, sondern auch für beliebig zeitlich abhängige Ströme und in Netzwerken mit nichtlinearen Bauelementen.
Insbesondere in Wechselstromnetzwerken kann die Summe der komplexen Effektivwerte oder Amplituden des Stroms betrachtet werden:
.
Für ein Netzwerk mit n Knoten lassen sich (n-1) linear unabhängige Knotengleichungen aufstellen.
[Bearbeiten] Erweiterung
Die Knotenregel gilt nicht nur für einzelne Knoten, sondern auch für ganze Schaltungen. Allerdings wird davon ausgegangen, dass der Knoten elektrisch neutral bleibt. Möchte man z. B. nur eine Kondensatorplatte betrachten (und nicht den ganzen Kondensator), ist diese Forderung nicht mehr erfüllt. Zur Beschreibung dieser nicht mehr quellenfreien Felder muss das Ampèresches Gesetz benutzt werden.
[Bearbeiten] Beispiel eines Knotens
Wie auf dem Bild zu erkennen ist, fließen die Ströme I1 und I3 in den Knoten hinein und die Ströme I2, I4 und I5 aus dem Knoten heraus. Nach der Knotenregel ergibt sich folgende Formel:
oder umgeformt
.
[Bearbeiten] Beispiel eines Netzwerkknotens
Auch ganze Netzwerke können als Knoten angesehen werden. Im Beispiel fließen die Wechselströme I1 und I2 in den Knoten hinein und der Strom I3 aus dem Knoten heraus.
Es gilt also:
.
Sind für die zufließenden Ströme folgende komplexe Effektivwerte gegeben:
.
So ergibt sich für den abfließenden Strom aus der Knotenregel:
.
[Bearbeiten] Der Maschensatz (Maschenregel) – 2. kirchhoffsches Gesetz
Alle Teilspannungen eines Umlaufs bzw. einer Masche in einem elektrischen Netzwerk addieren sich zu Null. In einem Umlauf mit n Teilspannungen eines elektrischen Netzes gilt folgende Formel:
.
Auch diese Regel gilt für beliebig zeitlich abhängige Ströme und für Netzwerke mit nichtlinearen Bauelementen.
In Wechselstromnetzwerken kann die Summe der komplexen Effektivwerte oder komplexen Amplituden der Spannung betrachtet werden:
.
Ein Netzwerk mit z Zweigen und n unabhängigen Knotengleichungen hat (z - n) unabhängige Maschengleichungen.
Die Maschenregel ist ein Spezialfall des Induktionsgesetzes und darf nur bei Abwesenheit zeitlich sich ändernder magnetischer Flüsse angewandt werden.
[Bearbeiten] Betrachtung der Vorzeichen
Beim Messen und Berechnen der Spannungen ist konsequent darauf zu achten, dass diese in der gleichen Richtung betrachtet werden, also konsequent linksherum oder konsequent rechtsherum im Stromkreis.
Zu Verwirrungen kann es bei Spannungsquellen oder Kondensatoren kommen.
Im Diagramm wollen wir die Spannungen und den Strom rechtsherum messen.
Für den Widerstand ist die Formel U = RI ohne Bedenken anwendbar, weil wir Strom und Spannung in der gleichen Richtung messen. In unserem Fall werden wir eine positive Spannung und einen positiven Strom erhalten.
Genau die gleiche positive Spannung, die wir am Widerstand messen, werden wir vom Plus- zum Minuspol der Spannungsquelle messen. Messen wir aber die Spannung vom Plus- zum Minuspol, messen wir linksherum. Um die Spannung rechtsherum zu messen, müssen wir vom Minus- zum Pluspol messen, und wir werden eine negative Spannung erhalten.
Addiert mit der positiven Spannung am Widerstand ergibt sich wieder 0.
Handelt es sich bei der Spannungsquelle um einen geladenen Kondensator, so hat dieser entsprechend der Formel Q = CU in unserer Betrachtungsweise gleichzeitig eine negative Ladung.
Aus diesen Beobachtungen resultiert die Faustregel, man müsse die Quellspannungen umdrehen. Bei komplizierteren Schaltungen, in denen nicht klar ist, welches Bauteil zu welchem Zeitpunkt Spannungsquelle ist, ist diese allerdings auch nicht immer eine Hilfe.
Eine bessere Überlegung ist, dass der Strom innerhalb einer Spannungsquelle bei Entladung tatsächlich von Minus nach Plus fließt und sich so der Stromkreis schließt. Bei einer Spule, in die eine Spannung induziert wird, also das Prinzip eines Generators, ist dies leicht einzusehen. In einer Batterie gilt das gleiche Prinzip; nur sind hier Ionen die Ladungsträger. Einzig im Kondensator ist der Stromkreis in diesem Sinne nicht geschlossen. Stattdessen verändert sich das elektrische Feld im Inneren. Zur Anwendung der Maschenregel ist diese Tatsache jedoch unbedeutend.
[Bearbeiten] Hintergrund
Beide kirchhoffschen Regeln sind Schlussfolgerungen aus physikalischen Erhaltungssätzen, der 1. und 3. maxwellschen Gleichung, jeweils in ihrer stationären, d.h. zeitlich konstanten, Form: Der ersten Regel liegt die Erhaltung der elektrische Ladung zu Grunde. Die zweite ist eine Schlussfolgerung aus dem Induktionsgesetz.
Bei der Anwendung der kirchhoffschen Gleichungen ist zu beachten, dass davon ausgegangen wird, dass alle Verbindungen zwischen den einzelnen Stromkreiselementen ideal leitend sind. Außerdem muss beachtet werden, dass die Stromkreiselemente als konzentrierte Elemente angesehen werden. Konzentrierte Stromkreiselemente sind Elemente, deren elektrisches Verhalten sich vollständig durch die an den Anschlüssen fließenden Ströme und anliegenden Spannungen beschreiben lässt. Sollten in der zu untersuchenden Schaltung nicht konzentrierte Elemente vorkommen, so müssen diese durch Ersatzschaltungen konzentrierter Stromkreiselemente ersetzt werden.
[Bearbeiten] Siehe auch
[Bearbeiten] Literatur
- Karl Küpfmüller, Gerhard Kohn: Theoretische Elektrotechnik und Elektronik. 14. Auflage. Springer, 1993, ISBN 3-540-56500-0.
[Bearbeiten] Weblinks
Auf Deutsch:
- http://leifi.physik.uni-muenchen.de/web_ph10/grundwissen/06_kirchhoff/kirchhoff.htm
- http://www.elektronik-kompendium.de/sites/grd/0608011.htm
Auf Englisch:
