Kramkows Optional Decomposition Theorem

Kramkows Optional Decomposition Theorem (oder einfach nur Optional Decomposition Theorem) ist ein mathematischer Satz aus der Stochastik, der von besonderem Interesse für die Finanzmathematik ist. Der Satz gibt eine Zerlegung eines positiven Supermartingales $V$ bezüglich einer Familie von Martingalmaßen in folgende Form

$V_{t}=V_{0}+(H\cdot X)_{t}-C_{t},\quad t\geq 0$

an. $(H\cdot X)$ bezeichnet dabei ein stochastisches Integral und $C$ einen adaptierten (optionalen) Prozess.

Die finanzmathematische Interpretation ist folgende: $V$ stellt den Vermögensprozess eines Traders dar, $(H\cdot X)$ den Gewinn-/Verlustprozess seines Portfolios und $C$ seinen Konsumprozess.

Das Theorem wurde 1994 von dem russischen Mathematiker Dmitri Kramkow bewiesen und der Name leitet sich von der Doob-Meyer-Zerlegung (englisch Doob-Meyer decomposition theorem) ab. Im Unterschied zur Doob-Meyer-Zerlegung ist der Prozess $C$ nicht mehr vorhersagbar, sondern adaptiert, was unter den Bedingungen des Satzes dasselbe wie ein optionaler Prozess ist.

Kramkows Optional Decomposition Theorem

Sei $(\Omega ,{\mathcal {A}},\{{\mathcal {F}}_{t}\},P)$ ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum mit den üblichen Bedingungen.

Lokal-Beschränkt

Ein $d$-dimensionaler Prozess $X=(X^{1},\dots ,X^{d})$ heißt lokal-beschränkt, falls eine Folge von $(\tau _{n})_{n\geq 1}$ von Stoppzeiten existiert, so dass $\tau _{n}\to \infty$ fast sicher wenn $n\to \infty$ und $|X_{t}^{i}|\leq n$ für $1\leq i\leq d$ und $t\leq \tau _{n}$.

Aussage

Sei $X=(X^{1},\dots ,X^{d})$ ein $d$-dimensionaler Càdlàg-Prozess, der lokal-beschränkt ist. Sei $M(X)\neq \emptyset$ der Raum der äquivalenten lokalen Martingalmaße für $X$ und o. B. d. A. nehmen wir an das $P\in M(X)$.

Sei $V$ ein positiver stochastischer Prozess, dann ist $V$ genau dann ein $Q$-Supermartingal für jedes $Q\in M(X)$, falls ein $X$-integrierbarer und vorhersagbarer Prozess $H$ und ein adaptierter aufsteigender Prozess $C$ existiert, so dass

$V_{t}=V_{0}+(H\cdot X)_{t}-C_{t},\quad t\geq 0.$

Bemerkung

Die Aussage ist unter Maßwechsel zu einem äquivalenten Maß auch gültig.

Literatur

• Freddy Delbaen und Walter Schachermayer: The Mathematics of Arbitrage. Hrsg.: Springer Berlin. Heidelberg 2006.